Guía de preparación para Prueba C2

Internado Nacional Barros Arana
Departamento de Matemática
Profesora Inés Aravena
Guía de “Ecuaciones Cuadráticas”
Nivel: 3 er año medio
Nombre:........................................................................................
Aprendizajes esperados:
Plantean y resuelven problemas que
involucran ecuaciones de segundo grado;
explicitan sus procedimientos de solución y
analizan la existencia y pertinencia de las
soluciones obtenidas.
Concepto de Ecuaciones de 2º grado:
Es aquella ecuación en la que el mayor exponente de la incógnita es dos y por lo tanto su conjunto solución
posee dos soluciones.
Su forma general es:
ax2  bx  c  0; a, b, c  IR; a  0
Existen ecuaciones cuadráticas completas e incompletas:

ax2  bx  c  0; a  1; b  0; c  0
Ec. Completa General.
x  bx  c  0; a  1; b  0; c  0
ax2  c  0; b  0; c  0
ax2  bx  0; b  0; c  0
bc0
ax2  0;
2




Ec. Completa Particular.
Ec. Incompleta Pura.
Ec. Incompleta Binomial.
Ec. Incompleta.
Ejercicios:
Aprendizaje esperado: Reconocer una ecuación cuadrática e identificar sus coeficientes. Clasificar las
ecuaciones cuadráticas.
1.
¿Cuáles de las ecuaciones dadas son de 2º
grado?
I)
2x  x  5  0
II)
4  x
2
1
2
2
x
5.
III) 25x  6 x  7
a)
Sólo I, II
b)
Sólo I, III
c)
Sólo II, III
d)
Sólo I
e)
I, II y III
¿Cuáles de las ecuaciones dadas son
incompletas?
7.
2
3
xx  4  12 xx  3  32 
de  2b  3c  es igual a:
a)
1
b)
2
c)
8
d)
-1
e)
-8
9
6
Sólo I
Sólo II
I y II
I y III
I, II y III
8.
Si la ecuación  y  1   y  2  y 2 la
2
2
escribimos de la forma ax2  bx  c  0;
¿Cuál es el valor del coeficiente c?
a)
3
b)
2
c)
-5
d)
-2
e)
1
En la ecuación 3x 2  5x 1  6  0;
expresándola como ax2  bx  c  0; el valor
x  7x  0
 5x 2  34  0
III)
a)
b)
c)
d)
e)
4x  8 4
  0; al expresarla
3
x
2
como ax  bx  c  0; ¿Cuál es el valor de
La ecuación
los coeficientes b y c, en ese orden?
a)
-8 y 12
b)
4 y 12
c)
-4 y 8
d)
8 y -12
e)
12 y -8
2
I)
II)
4.
6.
El valor del coeficiente b en la ecuación
3x 2  10x  5  0 es:
a)
3
b)
0
c)
10
d)
5
e)
-5
3.
xx  1  4  xx  1  64  x el
coeficiente a vale:
a)
0
b)
-1
c)
1
d)
2
e)
-2
2
2
2.
En la ecuación
x  x  8
 2  0 expresándola
4
como 4a x 2  bx  c  0; entonces el
La ecuación
producto de los coeficientes a, b y c es:
a)
-1
b)
-4
c)
4
d)
0
e)
1
9.
En la ecuación xx  3  2  3x al
10.
expresarla como ax  bx  c  0; el valor
del producto a  b es:
a)
1
b)
0
c)
-1
d)
2
e)
-2
En la ecuación 2x 2  3x  1  0, el valor de
2
2c  a  b es:
a)
b)
c)
d)
e)
11.
La ecuación xx  3  2  11x es:
a)
Completa general
b)
Completa particular
c)
Incompleta pura
d)
Incompleta binomial
e)
Incompleta
Claves
1b
2c
3e
4a
0
6
8
10
12
5d
6d
7a
8a
9b
10 e
11 b
Resolución de Ecuaciones cuadráticas
El objetivo de resolver una ecuación cuadrática es determinar los valores numéricos para la variable x que hacen
que la expresión ax2  bx  c valga cero. Equivale a determinar los valores numéricos para la variable x que en
la función cuadrática f x   ax2  bx  c tienen imagen cero.
I.
Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas, cuando uno de los coeficientes b o c es cero:
a) Incompleta de la forma ax2  c  0
Se despeja la incógnita y se obtiene su raíz cuadrada
ax2  c  0
Ejemplo: 2 x 2  18  0
ax2  c
c
x2 
a
c
x
a
2 x 2  18
18
x2 
2
2
x 9
x  3
Por lo tanto su conjunto solución es S  3,3
b) Incompleta de la forma ax2  bx  0
Se factoriza por la incógnita para obtener los factores que igualados a cero darán la solución:
ax2  bx  0
Ejemplo: 3x 2  2 x  0
x  ax  b  0
x  0  ax  b  0
Luego x '  0  x" 
x  3x  2  0
x  0  3x  2  0
2
Entonces x '  0  x"
3
b
a
 3
Su conjunto solución es S  0, 2
II.
Resolución de ecuaciones cuadráticas completas ax2  bx  c  0
a) x 2  bx  c  0; a  1; b  0; c  0
Ecuación Completa Particular
b) ax2  bx  c  0; a  1; b  0; c  0
Ecuación Completa General
En el caso de la ecuación completa particular a veces es posible resolverla por factorización de un trinomio
ordenado.
Ejemplos:
x 2  5x  6  0
x  2  x  3  0
x2  0  x3 0
Entonces x '  2  x"  3
x 2  2 x  15  0
x  5  x  3  0
x5  0  x3 0
Entonces x '  5  x"  3
En el caso que el trinomio no sea factorizable, que x ' y x" no sean números enteros, entonces la ecuación
cuadrática Completa Particular (y Completa General) se puede resolver a través de la fórmula:
x
 b  b 2  4ac
2a
Con esta fórmula se obtienen sus dos soluciones que son:
x' 
 b  by2  4ac
2a
y
 b  b 2  4ac
x" 
2a
Ejemplo:
x 2  7x  6  0
1.
a  1, b  7 y c  6, por lo tanto:
x
  7 
 72  4 1 6
2 1

7  49  24 7  25 7  5


2
2
2
Entonces:
7  5 12

6
2
2
Luego el conjunto solución es S  1,6
x' 
2.
x" 
75 2
 1
2
2
3x 2  7 x  2  0
a  3, b  7 y c  2
x
 7  7 2  4  3  2  7  49  24  7  25  7  5



23
6
6
6
Entonces
x' 
 7  5  2 1


6
6
3
x" 
 7  5  12

 2
6
6
 b  b 2  4ac
2a
Puede dividirse por a ya que a  0
De dónde se obtiene la fórmula x 
ax2  bx  c  0
ax2 bx c 0
  
que equivale a
a
a a a
bx c
x2 
  0, como el primer término es un cuadrado perfecto se formará un cuadrado de binomio
a a
2bx
c
x2 

pero falta agregar el cuadrado del segundo término en ambos lados de la igualdad
2a
a
2bx b 2
b2
c
x2 
 2  2 
El lado izquierdo de la igualdad es un cuadrado de binomio
2a 4 a
a
4a
b 
b 2  4ac

x   
2a 
4a 2

2
Se debe despejar la variable x
x
b
b 2  4ac

2a
4a 2
x
b
b 2  4ac
 b  b 2  4ac

, lo que se expresa como x 
2a
2a
2a
Una base positiva o negativa tiene su cuadrado positivo
Ecuaciones Literales
Son ecuaciones que algunos o todos sus coeficientes son letras distintas a la incógnita y se resuelven de la misma
manera que las anteriores.
Ejemplo:
2 x 2  ax  3a 2  0 Donde a  2, b  a y
c  3a 2
Ejercicios:
1.
La ecuación x 2  2 x  3  0 tiene como
soluciones:
a)
-1 y 3
b)
-3 y -1
c)
-3 y 1
d)
3 y 1
e)
0y1
2.
3.
4.
Las soluciones o raíces de la ecuación
x 2  10x  21  0 son:
a)
-3 y -8
b)
7 y -7
c)
-7 y -3
d)
3 y2
e)
-3 y -2
En la ecuación x 2  2 x  p  0 una de sus
soluciones es -5, luego el valor de p es:
a)
1
b)
8
c)
-12
d)
15
e)
-15
El conjunto solución de la ecuación
5x x 2  2  10xx  1 es:

a)
b)
c)
d)
e)
5.

0,2
0,2
2
2,5
0,5
En la ecuación
6.
1
7
11
 2 
las raíces o
3x 5 x
60
-3 y 2
c)
d)
5 y 1
4
16
2 y  3 119
La ecuación 3a 2  2 x 2  ax tiene como
solución :
a)
 a y  2a
b)
a y 3a
c)
a y
d)
1 y a
e)
-1 y
 3a
2
a
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
a
c
d
a
e
c
b
Naturaleza de las soluciones de una ecuación de
segundo grado:
Anteriormente se mencionó que una parábola puede
intersectar o no al eje X, y que esto depende del
discriminante.
Se establece que una ecuación cuadrática tiene:
a)
Dos soluciones reales   0
b)
Una solución real   0
No tiene soluciones reales   0 ,
lo que es equivalente a afirmar que una ecuación
cuadrática tiene:
a)
Dos soluciones reales distintas.
b)
Dos soluciones reales iguales.
c)
Dos soluciones complejas conjugadas
3
-2 y  3
e)
Claves:
c)
soluciones son:
a)
2 y -3
b)
La ecuación x 2  2ax  a 2  0 tiene como
solución:
a)
–a y 2 a
b)
a y a
2
a y a
c)
4a y  a
d)
e)
Ninguna de las anteriores.
7.