Capítulo 1: Álgebra Matricial

Capítulo 1: Álgebra Matricial
1.1 INTRODUCCIÓN
En muchos análisis se supone que las variables que intervienen están relacionadas mediante un conjunto de
ecuaciones lineales. El álgebra matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y
resolución de tales problemas, muchos de los cuales serían casi imposibles de plantear con la notación algebraica
ordinaria.
En este capítulo, se definen los vectores y las matrices, así como las operaciones correspondientes. Se
consideran tipos especiales de matrices, la transpuesta de una matriz, las matrices subdivididas y el determinante
de una matriz. También se tratan y aplican a la resolución de ecuaciones lineales simultáneas, la dependencia
lineal de un conjunto de vectores, y el rango y la inversa de una matriz. Así mismo, se define e ilustra la
diferenciación vectorial. Por último, en el Capítulo 2 se discuten otras aplicaciones del álgebra matricial.
1.2 DEFINICIÓN DE MATRIZ
Una matriz es una disposición (o “arreglo”) rectangular de números en la forma
a11

a
A   21


am1
a12
a 22
am 2
a1n 

a 2n 


a mn 
o
a11

a
A   21


am1
a12
a 22
am 2
a1n 

a 2n 


amn 
Las letras ai j representan números reales, que son los elementos de la matriz. Nótese que ai j designa al
elemento en la i-ésima
fila y la j-ésima columna de la matriz A; la matriz A se denota también a veces por ( ai j )

o por { ai j }. Una matriz que tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz m x n (“m por n”), o bien, una
matriz
han de realizarse varias
 de orden m x n. Si m = n, se expresa que la matriz es cuadrada. Cuando 
operaciones en matrices, su orden suele denotarse mediante subíndices, por ejemplo, A mn , o bien, ai j mn .
 

EJEMPLO

1 0 2 6


4 8 3 9
 6 6
3


 3 8 2

1 0 0

es una matriz 2  4
es una matriz 3 3 (cuadrada)
 5 8 2


12 10 1
13 9 3


 2 7 6

 6 4 10

es una matriz 5  3

 1 1


1 1
es una matriz 2  2 (cuadrada)
Se dice que dos matrices del mismo orden son iguales solamente si todos sus elementos correspondientes son
también iguales, es decir, si las matrices son idénticas. Observemos que, por definición, las matrices que son de
diferente orden no pueden ser iguales.
EJEMPLO
Si
 2 2
A  

2 2
 2 2 2
B  

2 2 2
2 2
C  

 2 2
 2 2
D  

2 2
A  D, pero A  B, A  C, B  C, B  D, y C  D.

DEFINICIÓN DE VECTOR (EN ÁLGEBRA MATRICIAL)
Una matriz que consta de una sola columna, es decir, una matriz m x l se conoce como vector columna, y se
expresa como
u1 
 
u
u   2 
 
 
um 
u1 
 
u
o bien u   2 
 
 
um 
Las letras u i son números reales: los componentes del vector; u i es el i-ésimo componente del vector u. Un
vector columna que tiene m filas se
 dice que es un vector de m componentes, o que es m-dimensional.
Análogamente, una matriz que contiene una sola fila, es decir, una matriz 1 x n, se dice que es un vector fila y
se expresa como


v = v1 , v2 , ...,vn 
o bien
v = v1 , v2 , ...,vn 
Las letras v j son números reales: los componentes del vector; v j es el j-ésimo componente del vector v. Un
vector fila con n columnas se
o que es n-dimensional.
dice que es un vector de n componentes,


EJEMPLO

1
 
1
0
 
0
3
 
0

2


0,
1,


3, 0

1, 5, 1
es una matriz 2 x 1, o sea, un vector columna de 2 dimensiones (o bidimensional)
es una matriz 5 x 1, o sea, un vector columna de 5 dimensiones (o pentadimensional)
es una matriz 1 x 3, o sea, un vector fila de 3 dimensiones (o tridimensional)
es una matriz 1 x 4, o sea, un vector fila de 4 dimensiones (o tetradimensional)
Dos vectores fila que tienen el mismo número de columnas, o dos vectores columna que tienen el mismo
número de filas, se dice que son iguales solamente si todos los elementos correspondientes son también iguales,
es decir, si los vectores son idénticos.
EJEMPLO
1
v =  
w = 1, 3
3
u = w, pero u ≠ v, u ≠ x, y v ≠ w, v ≠ x, y w ≠ x.
u = 1, 3

3, 1
x=
NOTA: Con frecuencia es útil considerar
a una matriz 
como compuesta de una serie de vectores fila o de

 ejemplo, la matriz
vectores columna; por
 1 6


 2 2 se puede considerar constituida por los dos vectores columna

3 4 

o bien. compuesta de los tres vectores fila 1, 6
2, 2

y
3,
 1
 
 2

3

y
6
 
 2

 4 

4

1.3 OPERACIONES CON MATRICES

Operaciones análogas a las de adición. Sustracción, multiplicación y división de números reales se pueden
definir para las matrices. Puesto que una matriz es una disposición de números reales, en lugar de un solo
número real, algunas propiedades de las operaciones para los números reales no tienen equivalencia en las
operaciones análogas con matrices; ejemplos específicos se dan en las siguientes secciones. En esta sección se
definen e ilustran la adición y la sustracción de matrices, la multiplicación de una matriz por un escalar, y la
multiplicación de matrices entre sí.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES
Las matrices se pueden sumar o restar solamente si son del mismo orden. La suma o la diferencia de dos
matrices m x n es otra matriz m x n cuyos elementos son las sumas o diferencias de los elementos
correspondientes de las matrices originales; de modo que si
a11

A  

am1
a1n 


a mn 

b11

B  

bm1
b1n 


bmn 

entonces A ± B = C

en donde
a11  b11

C  

am1  bm1
a1n  b1n  c11
 
 
a mn  bmn 
 
c m1
c1n 


c mn 

es decir, ai j  bi j  ci j , en donde ci j  ai j  bi j para toda i y toda j.



EJEMPLO
a

3 2 4  0
3 8  3 5 4 

 
 

5 6 8  5 6 2  0 0 10 

3 0 0 
 
0 0 4 
 
3 0 4 

b
1  1  0
     
1  1  0
(d ) 2  2  0
     
4  4  0

1 
 
1 
 
0


c 4,
6, 12 3, 2, 12  1, 8, 0

2 3  1 1 0 0  3 4
(e) 
 
 
 

6 4 1 2 6 4 1 2


(g)
2, 1 3,
1 3  6 0 2
         
( f ) 1 2  8 1 4 

1
 
4 
 
10
 
0
 
5


4 6, 7 11, 12  0, 0
PROBLEMAS
 3 10 6 4   9 6

 
 

11 25  22 21 33 46
1 4  0 5 10 13  9 14

 
 
 

(h) 2 6  7 9 20 0 25
3

3 8
 
11 12
 
 1 0
 
 9 4


Obtener la matriz que resulta de cada una de las siguientes operaciones:
2 3 6 1 3 4 

 

1. 5 4 5 0 2 5

0 1 9
 
1 0 1

6 1 0 5 0 2 2 1 3
2. 
 
 

1 1
4 2 1 0 1 3 4
1 2  3
     
3. 3 0  1

4 
 
2
 
2

2 1 1 0 2 2
4. 
 
 

1 2  0 1 2 2
5.

1,
3, 1, 2  0, 1, 2, 3
1, 2 3,
4   1, 2  6, 5
Respuestas a los Problemas de Número Impar
 1 0 2


1.  5 6 0

1 1 8


6.
2
 
3. 4

0

5.
1,
2, 1, 1
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR
Un solo número real (que equivale a una matriz 1 x 1) se denomina escalar en las operaciones del álgebra
matricial. Cuando una matriz se multiplica por un escalar, cada elemento de la matriz queda multiplicado por ese
escalar (que es una constante); por lo tanto, si
a11

A  

am1
a1n 

 y k es cualquier escalar (o constante)
a mn 

entonces



k  Amn  kAmn
ka11

 

ka m1
ka1n 

 k ai j mn  ka i j mn
ka mn 

EJEMPLO
a
 4 3 12 9

 

3 8 2 24 6

1 0
 
3 0

b
 0  0
   
5 1 5

 0
 
 0

c 
1 6, 2, 3  6, 2, 3
d 
 5 6 2 4   5a 6a 2a 4a 
a 
 

0 6a 
3 1 0 6 3a a
e
 0  0
   
2  2b
 b  3 3b
   
1  b

 5
 
5b

f  c 0,
0, 0, 0, 16  0, 0, 0, 0, 16c 
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Dos matrices se pueden multiplicar entre sí sólo si el número de columnas en una de ellas es igual al número de
filas en la otra. En particular, la matriz producto AB está definida solamente si el número de columnas en A es el
mismo que el número de filas en B; en este caso se dice que las matrices A y B son compatibles ante la
multiplicación, y la matriz producto tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que
B. Así, una matriz m x n se puede multiplicar con una matriz n x p para obtener una matriz m x p.
DEFINICIÓN: Cuando un vector fila 1 x n multiplica a un vector columna n x 1, el resultado es un escalar al
que se le denomina producto interior de los dos vectores, y su valor es la suma de los productos de los
componentes de los vectores. Por lo tanto si
u = u1 ,
, un 
entonces u1xn vnx1 = w (un escalar),
en donde w  u1 v1  u2 v 2 

y
v1 
 
v =  

v n 


n
 un v n 
ui v i .
i1
 fila y en la j-ésima columna de la matriz
Cuando se multiplican dos matrices, el elemento en la i-ésima
producto, es el producto interior del i-ésimo vector fila de la primera matriz con el j-ésimo vector columna de la

segunda. De acuerdo con lo anterior, el producto de dos matrices puede expresarse como una matriz de sus
productos interiores: Si A  ai j  y B  bi j  , entonces AB = C, en donde
mn


C  ci k 
m p
n p
 n
 a1 j b j1
j1
 
 n
 a b
j1 mj j1



n
a

1 j b jm 



n
amj b jn 

j1

j1
es decir, ci k 


n
j1
ai j b j k .

EJEMPLO

1 3 1


a 2 0 0

0 1 6
33
 1 0
3 3




1 2   2 0

 1 3
32 
 7 16
32
en donde


11 31 11 3
21 01 01 2
01 11 61 7
10 32 13 3
20 02 03 0
00 12 6316
b 1,
0, 6, 3, 215
 3 0


 4 0
2
3  12, 3812


 1 8
 0 2

52
en donde


13 04 62 31 20 12
10 00 63 38 22 38
En la multiplicación de matrices, el orden (o sucesión) según el cual se efectúa la multiplicación es muy
importante. Si A es m x n y B es n x m, entonces es posible obtener las matrices producto AB, y BA; sin
embargo, en general AB ≠ BA. En el producto matricial AB, se dice que A premultiplica a B, o
alternativamente, que B posmultiplica a A. Como, en general, la premultiplicación y la posmultiplicación dan
resultados diferentes, aun cuando ambos están definidos, se debe tener cuidado en mantener el orden apropiado
en todas las multiplicaciones de matrices. Esta precaución no es necesaria en la multiplicación de números, como
se recordará.
EJEMPLO
(a) Si
4 6 1 3
A  

0 1 2 1
entonces

4 6 1 3
AB  

0 1 2 124
 1

1
BA  
 1

 2

(b) Si
y
 1

1
 1

 2
2

1
6

3
2

1  3 17
 

6
5 1422

342
2

4 6 1 3
1


6
0 1 2 124

342
 5 6


A  1 0 y

3
 0

 1

1
B  
 1

 2
 4 4 3 5


4 7 3 2


 4
0 11 9


 8 9 4 944
1 8 3
B  

 0 10 4 
entonces


 5 6
5 20
9
1 8 3




AB  1 0
3

   1 8
 0 10 4 23


3
 0
32
 0 30 12
33
 5 6
1 8 3
13 3


BA  
1
0





 0 10 4 23 
10 1222


332
 0

(c) Si
1 3 1


A   2 0 2

5
 0 4

y
 0 2 3


B   8 1 9

2 0 5

entonces


1 3 1


AB   2 0 2

5
 0 4
33
 0 2 3 22 5 29




4 4 
 8 1 9   4

2 0 5
33 
22 4 61
33
 0 2 3


BA   8 1 9

2 0 5
33
1 3 1
 4 12 11




 2 0 2  10 60 55

5
 0 4
33 
 2 14 23
33
NOTA: Cuando un vector fila premultiplica a un vector columna, el resultado es un producto interior, es decir,
un escalar cuyo valor es la suma de los productos de los elementos de los dos vectores. Cuando un vector
columna n x 1 premultiplica a un vector fila 1 x n, el resultado es una matriz cuadrada n x n cuyos elementos son
los productos interiores de los vectores dados; por tanto, si
u = u1 ,
, un 
v1 
 
v =  

v n 

y
entonces, como se indicó anteriormente,
u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde w 


(una matriz cuadrada), siendo xi j  v i u j .
n
i1
ui v i , y vnx1 u1xn = xnxn

EJEMPLO
a

 
2
 
1, 3, 6  4 2 12  6  4

1

2
2 6 12
 


 4 1, 3, 6   4 12 24


1

1 3 6


b 1,
0, 0, 2, 3
 0
 
1
4  0  0  0  6  6  0
 
3

2

 0
 0
 

1
1
4  1, 0, 0, 2, 3  4
 

3
3



2
2

0

3
0 0 8 12

0 0 6 9
0 0 4 6

0 0
0
0 0 2
Aunque el orden según el cual se multiplican dos matrices afecta al resultado, el orden en el que se
multiplican tres o más matrices no influye en el resultado, siempre y cuando se conserve la secuencia de las
operaciones, Es decir,
Amxn Bnxp Cpxq = Amxn(Bnxp Cpxq) = (Amxn Bnxp)Cpxq
Una propiedad correspondiente se tiene en el caso de la multiplicación de números. En resumen, la adición de
matrices es conmutativa, o sea, A + B = B + A, y tanto la adición como la sustracción son asociativas, es decir,
A ± B ± C = A ± (B ± C) = (A ± B) ± C; la multiplicación de dos matrices no es conmutativa (es decir, AB ≠
BA) pero la de tres o más es asociativa, es decir ABC = A(BC) = (AB)C. Tratándose de números, la adición, la
sustracción y la multiplicación son asociativas y conmutativas.
EJEMPLOS
A.
A
1 1 0


2 3 4

0 0 1
33

B
 3
 
 1

1
31
A

BC
1 1 0


0, 2, 113  2 3 4

0 0 1
33
ABC
0 6 3
0 4 2




0 2 1  0 2 1

0 2 1
33 
0 2 1
33
O por asociatividad,
A
1 1 0


2 3 4

0 0 1
33


C
B
 3
 
 1

1
31
 AB
C
 2
 
0, 2, 113  1

1
31
B.
A
B
C


C
A
ABC
0 4 2


0, 2, 113  0 2 1

0 2 1
33
BC
 ABC
1
1 1
 5 2 3
1 1
17
 1
 
0  





   


6 1022 8 0 623
6 1022 1621 26221


4
 31
O bien por asociatividad,

A
B
C

AB
1
1 1
 5 2 3
 13 2 3
 
0  






6 1022 8 0 623
50 12 7823

4
31

C
 ABC
1
 1
 

 0  
26221

4
31
C.
A
B
C

A
BC

ABC
3 4
 0 1
6 8 10
3 4
5 5
 9 47 28
4





  


  

4 322 1 022 5 5 423 4 322  6 8 1023 2 44 1423

O por asociatividad,
A
B
C

AB
C

ABC
3 4
 0 1
6 8 10
4 3
6 8 10
 9 47 28





  


  

4 322 1 022 5 5 423 3 422 5 5 423 2 44 1423

D.
A
1,
1, 4, 214
B
 0
 
 2
1
 
 041

C
1,
A
BC
0, 613  1, 1, 4, 214
 0

2
 1

 0

ABC
0 0

0 12
 6, 0, 3613
0 6

0 043
Alternativamente, por asociatividad,

A
1,
1, 4, 214
B
 0
 
 2
1
 
 041
 AB
C
1,
C

ABC
0, 613  6  1, 0, 613  6, 0, 3613
PROBLEMAS

Obtener la matriz resultante de cada una de las siguientes operaciones:


1 2 3 4


1. 3 0 1 1 2

 1 2 0 3

2 1

2 1
2. 1 0

1 0


3
3


 2

1
3. 1, 1, 0, 2
1

 0
1

3
0

2
 1 1

2
4. 1, 2, 0 3 0 
1

2 1

1 12 01 1 1
5. 



 1 10 21 1 1
2 0

1 0
6. 1, 1, 10 2

0 1


2
2


Respuestas a los Problemas de Número Impar
3 6 9 12


1.  0 3 3 6

 3 6 0 9

3.
1, 2
0 0 0
5. 

0 0 0
1.4 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
En esta sección se estudiarán tres tipos especiales de matrices: las matrices diagonales, las matrices identidad y
las matrices nulas.
MATRICES DIAGONALES
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos son todos iguales a cero, excepto los que
pertenecen a su diagonal principal, la cual es la que va del extremo superior izquierdo al extremo inferior
derecho; así pues,
a11

A  

am1
a1n 

 a i j nn
amn 

es una matriz diagonal si y sólo si
ai j  0
ai j  0



para i ≠ j
si al menos i = j (cuando todos los elementos de una matriz son ceros, se trata de una matriz
nula, la cual se describirá más adelante)
Una matriz diagonal n x n puede indicarse por la notación
a11

A  

0
0 


a nn 

o
a1



0
0 


a n 

o bien, por

d1

Dn  

0
EJEMPLO
1 0 0


0 3 0

0 0 10


0 


d n 


y
1

 0
 0

 0
0 0 0

0 0 0
0 0 0

0 0 7
son matrices diagonales.
MATRICES IDENTIDAD
Una matriz identidad es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales al
número uno. Por consiguiente,
a11

A  

am1
a1n 

 a i j nn
amn 

es una matriz identidad si y sólo si
ai j  0
ai j 1


para i ≠ j
para i = j
o en forma equivalente, una matriz diagonal Dn es una matriz identidad si y sólo si
di  1
para i = 1, 2, …, n
Una matriz identidad n x n se representa por In.

EJEMPLO
1 0 0


I 3  0 1 0

0 0 1

1

0
0
I 6  
0
0

0
y
0 0 0 0 0

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0

0 0 1 0 0
0 0 0 1 0

0 0 0 0 1
son las matrices identidad 3 x 3 y 6 x 6.

Nótese que al premultiplicar o posmultiplicar una matriz por la matriz identidad del tamaño (u orden)
apropiado, no cambia la matriz dada; es decir,
Amxn = Im Amxn = Amxn In = Amxn
EJEMPLOS
A.
A24
I2
A24
A24
 2 3 6 4
1 0  2 3 6 4

  
 

1 1 0 324 0 122 1 1 0 324
I4
1
 2 3 6 4 0
 
 
1 1 0 324 0

0
0
1
0
0
A24
0
0
1
0
0

 2 3 6 4
0
 

0
1 1 0 324

144
B.
A33


I3
A33
A33
I3
A33
3 0 0
1 0 0 3 0 0
3 0 0 1 0 0
3 0 0



 


 



0 2 0  0 1 0 0 2 0  0 2 0 0 1 0  0 2 0

0 0 6
33 
0 0 1
33
0 0 6
33 
0 0 6
33
0 0 1
33 
0 0 6
33
MATRICES NULAS
Una matriz nula es una matriz m x n cuyos elementos son todos iguales a cero; se simboliza con O. Cuando una
matriz nula del orden (o tamaño) apropiado se suma o se resta de otra matriz, esta última no cambia; es decir,
Amxn ± Omxn = Amxn
Premultiplicar o posmultiplicar una matriz nula de orden apropiado da lugar a otra matriz nula; es decir,
Okxm Amxn = Okxn
y
Amxn Onx1 = Omx1
EJEMPLOS
A.

A23

O23
A23
 0 1 0
0 0 0
 0 1 0

  
  

10 0 323 0 0 023 10 0 323

B.
O33
A24
O34
0 0
4 10

  1 6
0
0


 1 20 13 11
24

0 0
32
A24
O41
0 0 0 0


 0 0 0 0

0 0 0 0
34
O21
0
 
 1 6
0
4 10 0
  


1 20 13 1124 0
021
 
041

1.5 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
En muchos análisis en los que intervienen matrices, es conveniente emplear la transpuesta de una matriz. En
esta sección se define la transpuesta de una matriz, le de una suma o diferencia de matrices, y la de un producto
de matrices.
La transpuesta de una matriz A de orden m x n es una matriz de orden n x m, denotada por A´, cuyas filas son
las columnas de A, y cuyas columnas son las filas de A. Por tanto, si
Amn
a11

 

am1
a1n 

 ai j mn
amn 

Entonces la transpuesta de A es

Anm
a11

 

am1
a1n  a11
 
  
amn 
 
am1
a1n 


 ai j nm  ai j  mn
amn 

Nótese que la transpuesta de un vector fila n-dimensional es un vector columna también n-dimensional, y
 transpuesta de un vector columna de n-dimensiones es un vector fila de n-dimensiones
análogamente, la
también. La transpuesta de una matriz diagonal es la misma matriz diagonal.
EJEMPLO
3 6
 3 2 0


Si A  
 , entonces A 2 0
6 0 123

0 1
32
 6
 
 2

Si A  6, 2, 1, 0, 515 , entonces A  1
 
 0

5
51


 6 8 10
 6 2 30




Si A  2 0
7 , entonces A  8 0 40



0
30 40
33
10 7 0
33
 3
 
0
Si A    , entonces A
 3, 0, 1, 414
1
 
 4 41

1 5 3
1 5 3




Si A   5 0 4  , entonces A  5 0 4


3 4 9
33
3 4 9
33

6 0 0 0
6 0 0 0




0 2 0 0
0 2 0 0
, entonces A 
Si A  
0 0 3 0
0 0 3 0




0 0 0 544
0 0 0 544

Si una matriz (cuadrada) y su transpuesta son iguales, es decir, ai j  a j i para toda i y toda j, entonces la
 matriz se denomina simétrica
 (con respecto a su diagonal principal). En los dos últimos ejemplos citados, las
matrices son simétricas.

Una matriz simétrica que al multiplicarse por si misma queda
igual, se dice que es idempotente. Por tanto, A
es idempotente sólo si
A´ = A
y
AA = A
EJEMPLOS
A.
Una matriz identidad (de cualquier orden) es idempotente, puesto que
In´ = In
B.
y
In In = In
La matriz
1
52
5

2 
5

4
5 
es idempotente, puesto que

2  1
5
  52
4
5  5
1
52
5
2 
5

4
5 
y
1
52
5
2 1
5
52
4
5 5
2  1
5
 52
4
5  5
2 
5

4
5 
TRANSPUESTA DE UNA SUMA O DE UNA DIFERENCIA DE MATRICES


La transpuesta de una suma o diferencia de matrices es igual a la suma o diferencia de las transpuestas de las
matrices; por consiguiente,
(Amxn ± Bmxn ± Cmxn)´= A´nxm ± B´nxm ± C´nxm
es decir,
(di j)´mxn = (di j)nxm
en donde di j  ai j  bi j  ci j y d j i  a j i  b j i  c j i .
EJEMPLOS

A.

Si

1 6 2
B  

 3 2 1
 0 0 6
C  

2 5 25
2 5
 2 6 6 

entonces
[A + B + C]´ = 
  6 11
5 11 25

6 25

3 6 1 3 0 2 2 5

 
 
 

o de otra manera
A´ + B´ + C´ = 0 8  6 2 0 5 6 11

1

2 1
 
2
 
6 25
 
6 25

B.
Si

 3 0 2
A  

6 8 1
2 1
A  

0 1
entonces
 6
8
B  

10 12
0 1
C  

0 0
 4 10  4 10
[A - B + C]´ = 
  

10 11 10 11
 2 0 6 10  0 0  4 10
o, alternativamente, A´ - B´ + C´ = 
 
 
 

1 1 8 12 1 0 10 11

TRANSPUESTA DE UN PRODUCTO DE MATRICES
de matrices es igual al producto de las transpuestas de las matrices tomadas en
La transpuesta de un producto
orden inverso; por tanto,
[Amxn Bnxp Cpxq]´= C´qxp B´pxn A´nxm
EJEMPLOS
A.
Si
 3 0
A  

4 1
entonces

3 5 7
B  

0 1 8
 6
 
C  1

 0

 6
 9
15 21   39
ABC  
 1   
12 19 20   53

 0


 39
ABC  53  39, 53
 
 3 0
3 4

3 4 
ABC


CBA

6,
1,
0
5
1

13,
1
o en forma
alternativa,









 39, 53


0 1
0 1

7 8

B.
Si


A  3, 1, 0
 6 0


B  7 2

 0 3

0
C   
1
0
entonces* ABC = 26 2   2 y asimismo [ABC]´= -2 (la transpuesta de un escalar es el mismo
1
escalar), o de otra manera,
 3
 3
6 7 0 
 
[ABC]´ =
C´B´A´= 0, 1 
1 0 2 3 1 2
0 2 3


 0

 0

PROBLEMAS

Obtenga la transpuesta de cada una de las siguientes matrices
2 6
1. 

5 3
 1 6 3


4. 1 4 8

 0 5 7

3
 
6
2.  
 5
 
2
5.
3,
2, 4, 9
7 5 6
3. 

 8 10 3
1 3


6.  2 1

4 2


*
N. Del R. Est resultado es una matriz de orden 1 que sólo puede multiplicarse con matrices de orden 1 x n, y no es propiamente el
escalar  2. Un escalar puede multiplicarse con cualquier matriz.
7. Si
1 2
A  
,
2 1
a. A  B
8. Si


0 1
C  
; encuentre :
2 3
b. B  C 
c. AB
d. ABC
2 1
 3
 3 0 2


A  1 2 , B    , C  

121
1 2 423


0
1

32
a. AB

2 3
B  
,
 4 0
b. C  D
c. D C 
3 0 2
y D  
 , encuentre :
1 2 423
d. A  D  C 
Respuestas a los Problemas de Número Impar
2 5
1. 

6 3
7 8


3. 5 10

 6 3

1 6
7. a. 

 5 1
2 6
b. 

 2 3
 3
 
2
5.  
 4 
 
9
6 0
c. 

3 6
6 12
d. 

3 18
1.6 MATRICES SUBDIVIDIDAS
Con frecuencia es conveniente subdividir (o particionar) una matriz descomponiéndola en sub-matrices. Éstas se
pueden considerar como escalares al efectuar operaciones sobre la matriz original. La partición o subdivisión de
una matriz se indica mediante líneas punteadas horizontales o verticales trazadas entre filas o columnas.
Por ejemplo, la matriz A de orden m  n se pueden subdividir como sigue:
A  A1
A2 

en donde A1 es de orden m  n1, A2 es de orden m  n 2 , y n1  n 2  n . La transpuesta de una matriz subdividida
se puede escribir en términos de las transpuestas de sus submatrices. Así pues,


EJEMPLO
Si

A  A1


A1 
A    
A 2 

4 3 5 0


A2   2 1 1 6

8 2 3 7

entonces

 4 2 8


3 1 2
A     
A 2   5 1 3


 0 6 7
A1 
Si se subdividen en forma compatible, las matrices particionadas se pueden sumar, restar o multiplicar. Si una
matriz A de orden m n se subdivide como A  A1 A2 , en donde A1 es m  n1, A2 es m  n2 , y n1  n 2  n ;
y si una matriz B de orden m n se particiona como B  B1 B2 , en donde B1 es m  n1 , B2 es m  n 2 , y
n1  n 2  n , entonces


A  B  A1  B1


A2  B2 



De igual modo, si


A 
A   1
A2 
en donde A es m n , A1 es m1  n , A2 es m2  n , y m1  m2  m y
B 
B   1 
B2 
en donde B es m n , B1 es m1  n , B2 es m2  n y m1  m2  m , entonces
A  B 
A  B   1 1
A1  B2 

EJEMPLO
Si
 3 4 2 0


A  1 0 5 6

 7 3 3 2

entonces

A  B  A1
A2  B1

y
3 0 2 4 


B  1 1 2 5

3 1
 5 4

 3 4 2 0 3 0 2 4  0 4 0 4


 
 

B2  1 0 5 6 1 1 2 5 2 1 3 11 A1  B1

3 1
 7 3 3 2
 
 5 4
 
12 7 6 3

A2  B2 
o bien,

 3 4 2 0 3 0 2 4   0 4 0 4
A1  B1 
 
 
  A  B 
A  B      1 0 5 6 1 1 2 5 2 1 3 11  1 1
A2  B2 
A2  B2 

3 1
 7 3 3 2
 
 5 4
 
12 7 6 3

Otras muchas subdivisiones posibles conducen al mismo resultado.

Particionar o subdividir una matriz es frecuente y conceptualmente conveniente cuando las matrices han de
ser sumadas o restadas, pero las ventajas computacionales de la subdivisión de matrices se utilizan
principalmente en la multiplicación y en otras operaciones más complicadas. Las matrices deben subdividirse en
forma compatible para la multiplicación. Si una matriz A de orden m n se subdivide como A  A1 A2 , en
donde A1 es m  n1, A2 es m  n2 , y n1  n 2  n ; y una matriz B de orden n  p se subdivide como
B 
B   1 
 B2 

en donde B1 es n1  p y B2 es n2  p , entonces


AB  A1
B 
A2  1 A1B1  A2 B2
B2 
EJEMPLO
Si
 3 0 1


A  2 4 1

 1 1 2

y
 2 1


B   1 3

1 1

entonces

 3 0 1


AB  2 4
1

 1 1 2

 2

 1

1
1  3 0
 

3 2 4
1
 
 1 1

1
6
3  1 1  7 2
2 1  

 
 


  1 1, 1  0 10 1 1 1 11
1 3


 2

1 2
 
2 2
 
1 0

lo que puede verificarse por multiplicación matricial directa.

Las matrices se pueden subdividir en más de dos submatrices. De hecho, es posible particionar una matriz
m n en un máximo de mn submatrices; observemos que la partición máxima equivale a no subdividir en
absoluto la matriz, puesto que cada elemento se trata como una matriz escalar. A menos que se tenga una
partición lógica en términos de las variables de un problema, las matrices se deben subdividir para facilitar los
cálculo; esto implica un compromiso razonable entre minimizar el número de submatrices y minimizar su
tamaño máximo.
Las matrices se particionan ya sea horizontalmente o verticalmente. Por tanto, la matriz A de orden m n se
puede subdividir en la forma
A
A   11
A21
A12 

A22 
en donde A11 es m1  n1 , A12 es m1  n2 , A21 es m2  n1 , A22 es m2  n2 , y asimismo, m1  m2  m ,
n1  n2  n . Entonces

A
A  11
A21
Si la matriz B de orden n  p se 
particiona como
A12  A11
  
A22  A21

B
B   11
B21
A12 

A22
 
B12 

B22 
en donde B11 es n1  p1 , B12 es n1  p2 , B21 es n2  p1 , B22 es n2  p2 , y asimismo, n1  n2  n ,
p1  p2  p , entonces A y B están particionadas
 en forma compatible para la multiplicación y
A
AB   11
A21
EJEMPLO

A12 B11

A22 B21
B12  A11 B11  A12 B21
 
B22  A21 B11  A22 B21
A11 B12  A12 B22 

A21 B12  A22 B22 
Si

 1 3 1


1 0 1
A  
 2 1 4 


 0 2 3
A
AB   11
A21
entonces
y
A12 B11

A22 B21
3 2 1 0 1


B  5 1 4 3 2

3 2 0 1 1

 1 3 1

3 2 1 0 1
B12  1 0 1

5 1 4 3 2


B22   2 1 4 
3 2 0 1 1



 0 2 3
y
 1 3
1
18 5  3 2 21 7

3 2  

 
 

A11
B11  A12 B21  1 0
0
 13, 2  3 2  3 2  0
5
1





 2 1

4 

 1 3
 
12 8
 
13 11


 1 3
1
13 9
5 0 1 1 13 8 4

1 0 1  

 
 

A11B12  A12 B22  1 0
1 0 1 1 1 1 0
 10, 1, 1  1 0
4 3 2




3 4
 2 1

4
2
 
0 4 4
 
2 7 8


3 2
A21B11  A22 B21  0, 2
 3 3, 2  10, 2  9, 6  1, 4
5 1

1 0 1
A21B12  A22 B22  0, 2
 3 0, 1, 1  8, 6, 4  0, 3, 3  8, 9, 7
4 3 2
En consecuencia,

A B  A B
AB   11 11 12 21
A21 B11  A22 B21
21 7 13 8 4 


A11 B12  A12 B22   0
0 1 1 0

A21 B12  A22 B22  13 11 2 7 8


4
8 9 7
 1
lo cual se puede verificar por multiplicación matricial directa.

PROBLEMAS
1. Calcule lo siguiente:
 6 1
 4 2




a. 2  0 3  3  0 1


1 2

5 1

 4 2
6 0 1 

b. 
  0 1
1
3
2



5 1

Emplee matrices subdivididas para verificar los resultados.

5
1
 
 
2. Si U  1, 1, 4 , X  0, 1, 2, V  0 y Y  1, obtenga


1

 2

b. 5UV 10X2V Y 
a. UV  XY

3. Si A es 2  3 , B es 4  3 , C es 3 3 , y D es 3 2 , determine la disposición u orden de


a. AC
4. Si
b. DA
1 2 3


A  0 1 1

2 3 0

c. AD
d. BC
e. DAC
f . BCDA
3 1 0


B  1 1 2

0 2 1

evalúe 2AB BA y emplee matrices subdivididas para verificar el resultado.

5.
Si
1 2 2


A   1 2
1

1 1 0

3 6 2


B   2 4 1

3 0
 2

5 8 0


C   3 5 0

 1 2 1

demuestre que

a. A 2  B2  C 2  I
b. AB  BA  C
c. BC  CB A
d. AC  CA  B
Emplee matrices particionadas para verificar los resultados.

6. Si
 5 4 2


A   4 5 2

2 2 2

demuestre que A 2 11A 10I  O . Utilice matrices particionadas para verificar el resultado.

7. Si
1 0
A   
 1 0
0 0
B  

1 1
2 2
C  

2 2
2 3
D  

4 25
evalúe


a. AB2CD
8. Si
b. A2
U  1, 0, 1
c.
BC
1
 
V  2

3

2
 4 2 1


X  1 3 0

 0 1 1

1 0 0


Y  0 1 0

0 0 1

encuentre


a. UV
b. VU  X
c. XY
Emplee matrices particionadas para verificar los resultados.
9. Si
 2 2 4 


U  1 3 4 

 1 2 3

1 2 4 


V   1 2 4 

1 2 4 

demuestre que

a. U 2  U
V2 V
y
b. UV  VU  O
c. U V  I
Utilice matrices subdivididas para comprobar los resultados.

10. Si
 1 2 3


X   1 2 3

1 2 3

demuestre que X 2  O . Utilice matrices con subdivisión para comprobar el resultado.

11. Si
 1 2 1


A   2
1 3


5 2 3

 2 5 1 7


X  2 1 3 4 

 3 2 1 2

 3 6 0 6


Y  1 2 4
5

3
 4 3 2

demuestre que AX  AY (aunque X  Y ) y emplee matrices particionadas para verificar el resultado.

12. Si
1 2


A  0
3


2 1

0 2 3
B
 

1 3
0
2
 
C   3

3

1
 
D   1

 2

determine AB  CD  .

Respuestas
a los Problemas de Número Impar

 0 4 


1. a.  0 9

13 7

3. a. 2  3
29 13
b. 

6 3
b. 3 3
24 32
7. a. 

24 32

c. 2  2
1 0
b.  
1 0
d. 4  3
 0 0
c. 

16 16
e. 3 3
f. 43