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INGENIERÍA VESPERTINA EN
AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL
GUÍA DE PROBLEMAS
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
MATEMÁTICA 1
PROFESOR
HERALDO GONZÁLEZ
2004
GUIA DE EJERCICIOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS
MATEMATICA I , HERALDO GONZALEZ SERRANO
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GUIA DE EJERCICIOS Nº 5 – MÁXIMOS Y MÍNIMOS
1) Determine un gráfico aproximado para las siguientes funciones reales
4
2
a) f ( x)  x  2x  6
Resp. máximo en x  0 ; mínimo en x  1
4
b) f ( x)  x Resp. mínimo en x  0
c)
d)
f ( x) 
1 4 3 2
x  x
4
2
Resp. . máximo en x  0 ; mínimo en x   3
f ( x) 
x2 1
x
Resp. máximo en x  1 ; mínimo en x  1
2) La suma del doble de un número y el quíntuplo de otro segundo número debe ser 70. ¿Qué números
deben elegirse de modo que su producto sea el mayor posible?
Resp. x  17,5 ; y  7
3) La suma de dos números positivos en una constante C. Encontrar dos números de tal modo que su
C
x y
2
producto sea el máximo posible. Resp.
4) Un rectángulo tiene un perímetro de 120 metros ¿Qué largo y ancho dan el área máxima? Resp.
x  y  30
5) La diferencia entre dos números es 20. Elegirlos de modo que su producto sea el menor posible Resp.
x  10, y  10
6) Demuestre que entre todos los rectángulos de perímetro dado, el de área máxima es el cuadrado.
7) Encontrar el área del máximo rectángulo que tiene base inferior sobre el eje X y sus otros dos
2
vértices en la curva de ecuación: y  12  x
8) Encuentre las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una semicircunferencia de radio
r.
Programa Vespertino Automatización Industrial Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Santiago de Chile
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GUIA DE EJERCICIOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS
MATEMATICA I , HERALDO GONZALEZ SERRANO
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9) Debe hacerse una caja sin tapa a partir de una plancha metálica cuadrada de lado igual a 120 cm;
cortando cuadrados iguales en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. Encontrar las
dimensiones de la caja de capacidad máxima que puede construirse en ésta forma.
Resp. corte de 20 cm. ; base de 80 cm. y altura de 20 cm.
10) Debe construirse una caja de base cuadrada y sin tapa y el área del material que debe emplearse es
de 100 cm2 ¿Qué dimensiones debe tener para que su volumen sea máximo?
11) Un tanque de forma cilíndrica circular recto sin tapa y con base horizontal ha de contener 400  litros.
El material de la base cuenta el doble por metro cuadrado que el del manto (superficie lateral). Calcule las
dimensiones del tanque más económico.
12) Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 cm3. Su base debe ser el doble
de largo que el ancho. El material de la base cuenta $ 10 por cm 2 y el de los lados $ 5 por cm2. Encuentre
las dimensiones que hagan el costo mínimo.
13) Se desea construir un calentador para agua con forma de un cilindro circular recto con eje vertical
usando para ello una base de cobre y para el manto usando hojalata. Si el cobre cuesta cinco veces lo que
la hojalata, calcule la razón de la altura h y el radio r que hará que el costo sea mínimo cuando el volumen
V sea constante.
14) Se va a construir un tanque de concreto para agua, con base cuadrada y sin tapa. El tanque ha de
tener una capacidad de 192 cm3. Si los lados cuestan $ 400 por cm2 y la base cuesta $ 300 por cm2
¿Cuales han de ser las dimensiones para que el costo total sea mínimo? ¿Cuál es dicho costo mínimo?
15) Exprese el 8 como la suma de dos enteros positivos tales que la suma del cuadrado del primero y
el cubo del segundo sea la más pequeña posible
16) Usando L Hopital calcule los siguientes limites
e x  ln(x  1)  1
x2
a) x0
Resp. 1
2
x  x 1
lim x
x
c) x e  e
Resp. 0
lim
e senx  e x
x2
e) x0
Resp. 0
1 x  1 x
lim
x
g) x0
Resp. 1
lim
sen 7 x
7
b) x 0 sen 3 x Resp. 3
e 3 x  e senx
lim
x
d) x0
Resp. –4
lim
1
f)
h)
lim(e x  x ) x
x 0
2
Resp. e
lim( x  cos x) ctgx
x 0
Resp. e
Programa Vespertino Automatización Industrial Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Santiago de Chile
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