“Matemática, armonía y proporcionalidad de belleza en el entorno, a

“Matemática, armonía y proporcionalidad de belleza en el entorno, a
través del Número de oro”
Los seguidores de Pitágoras pensaban que el mundo estaba
configurado según un orden numérico donde sólo tenían cabida los
números racionales. El azar hizo que en su propio símbolo la estrella
pentagonal o pentágono estrellado se encontrara el número de oro.
Esta estrella se obtiene al trazar las
diagonales de un pentágono. Los
griegos obtuvieron el número de
oro al realizar el cuociente entre la
diagonal del pentágono regular y su
lado.
Si dibujamos dos diagonales del pentágono que concurren en O. Cada
diagonal es dividida en dos segmentos desiguales, que tienen la misma
razón.
AC AO BD DO



 1,618 .....
AO CO DO BO
Del mismo modo si trazamos todas las diagonales,
comprobamos que hay diferentes tipos de
triángulos isósceles: los triángulos ABE, ABF y AFG, los
demás triángulos son semejantes, finalmente hay
cuatro segmentos diferentes en estos triángulos,
que llamaremos: BE= a, AB=AE=b, AF=BF=AG=c y
GF=d, las longitudes de cada segmento cumplen:
a>b>c>d. Utilizando un poco de trigonometría,
tenemos que:
a b c
   1,618 ...
b c d
La sucesión de Fibonacci también se relaciona con el número de oro.
Esta sucesión se genera a partir de la suma de los dos términos
anteriores, es decir,
tn  tn1  tn2 que da origen a la sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,…….
Si se realiza el cuociente entre un término de la sucesión y el
inmediatamente anterior, se obtiene el número de oro , como el límite
t
tn donde se deduce
de la sucesión de cuocientes , es decir,   lim n de
n  t

n 1
tn 1
que:
Del mismo modo si se realiza el cuociente
sucesión y su subsiguiente, es decir,
tn
tn  2

entre un término de la
1
2
A medida que se avanza en los términos de la sucesión se obtiene una
mejor aproximación del número de oro.
Como phi es solución de la ecuación x2 –x-1 =0, nos interesó estudiar
algunas curiosidades algebraicas de phi como, por ejemplo:

1 5
 1.618...
2
  1  0.618 ....
1
  1

2  1 
Continuando con ese análisis nos interesó estudiar las potencias, las
cuales tenían una estrecha relación con los términos de la sucesión de
Fibonacci.
Así se estudió la siguiente expresión de Edouard Lucas que genera los
términos de la sucesión desde n>1.
n
1 5  1 5 

 

 2   2 




tn 
5
 n  t n   t n1 ; n  1
n
, la cual se utilizó para obtener las siguientes
expresiones que nos entregan potencias con
exponentes positivos y negativos de Φ.
Y
  n  (1) n1 t n1  (1) n t n
, n>1
De la misma forma se obtuvo otra relación para las potencias de phi.
 n   n2   n1
Todas estas relaciones se encuentran en nuestro entorno, han sido
utilizadas en las más variadas creaciones del hombre y la naturaleza,
consciente o inconscientemente como, por ejemplo.