UNIDAD 7 PROPORCIONES ¿Forman los siguientes números una

UNIDAD 7 PROPORCIONES
¿Forman los siguientes números una proporción?
a) 3, 4, 6, 8
b) 7, 5, 21, 15
c) 3, 6, 9, 8
Solución:
3 6
a)   Sí .
4 8
7 21
b) 
 Sí .
5 15
3 9
c)   No .
6 8
¿Son proporcionales los siguientes conceptos?
a) peso y altura
b) masa y volumen
c) velocidad y tiempo que se tarda en recorrer un trayecto.
Solución:
a) No, se puede ser mas alto y pesar menos.
b) No, el aire de un globo aerostático tiene muy poca masa y mucho volumen.
c) Sí, a mayor velocidad menor tiempo y viceversa, por lo que son inversamente proporcionales.
Calcula la distancia entre A Coruña y Carballo si en un mapa a escala 1:250 000 están a 12 cm.
Solución:
1:250 000 significa que 1cm del mapa equivale a 250 000cm, es decir, 2 500m, o, lo que es lo mismo,
2,5km.
Por tanto, la distancia entre A Coruña y Carballo será 12·2,5 = 30km
¿Qué distancia tendré que recorrer entre dos puntos a y b separados 5 cm en un plano si la escala
es 1 : 100 000?
Solución:
1
5
 ;
100 000 x
x  5  100 000  500 000 cm  5 000 m  5 km
¿Qué número falta para que los siguientes números formen una proporción?
1) 3, 5, a, 20
2) 7, b, 21, 6
3) 12, 30, 4, c
Solución:
3
a
20  3

a 
 12
5 20
5
7 21
67

b
2
b 6
21
12 4
4  30
 c
 10
30 c
12
¿Cuál ha de ser el valor de z para que las siguientes fracciones se encuentren en proporción?:
17
z
y
9
81
Solución:
17 z
17  81

z
 153
9 81
9
Completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta que las magnitudes son directamente
proporcionales.
Cajas de galletas
5
12
3
Precio(en euros) 15 18
3
Solución:
La relación de proporcionalidad es 1:3.
1
x
1 12
1 z
1 3

 x  6; 
 y  36;   z  1;   p  9
3 18
3
y
3 3
3 p
Cajas de galletas
Precio(en euros)
5
15
6
18
12
36
1
3
3
9
Para hacer un bizcocho necesito 6 huevos; 0,5 l de leche, 300 g de harina y 250 g de azúcar.
¿Necesitaré más de 1kg de harina para hacer cuatro bizcochos?
Solución:
Para hacer cuatro bizcochos necesitaré 4·300 = 1 200 g de harina que son más de un kg.
Si por cada litro de agua se presentan 120 mg de impurezas, ¿cuántos mg de impurezas hay en una
botella de 1,5 l?
Solución:
Habrá que calcular 1,5·120 = 180
Completa la siguiente expresión para que se trate de una proporción.
2 a

3 6
Solución:
2 a
12
  2·6  3·a  12  3·a  a 
4
3 6
3
La expresión será:
2 4

3 6
Completa la siguiente tabla de ingredientes presentes en un alimento.
gramos
proteínas
h. de carbono
lípidos
100 g
8g
45 g
12 g
200 g
400 g
Solución:
200 g = 2·100 g
400 g = 4·100 g
gramos proteínas
100 g
8g
200 g
16 g
400 g
32 g
h. de carbono
45 g
90 g
180 g
lípidos
12 g
24 g
48 g
Para que una persona sobreviva en el desierto, necesita 1,5 l de agua y 1 g de sales por día.
¿Cuánto necesitarán dos personas para sobrevivir un día?
Solución:
Dos personas necesitarán el doble que una, es decir 2·1,5 = 3 litros de agua y 2·1 = 2 g de sales.
En la siguiente lista, indica si es verdadero o falso que las magnitudes que se relacionan son
directamente proporcionales:
a) el dinero que se abona y los kg de fruta que se compran.
b) el tiempo que tarda en vaciarse un depósito y el caudal de agua del desagüe.
c) la longitud de una calle y la longitud de su representación en un plano a escala.
d) el grueso de un libro y el número de páginas.
Solución:
a) verdadero; cuantos más kg se compren, más tendré que pagar.
b) falso; a más caudal, menos tiempo en vaciarse.
c) verdadero; cuanto más larga sea la calle, más larga será su representación a escala.
d) verdadero; a mayor número de páginas, mayor grosor.
Completa la tabla sabiendo que las dos filas están en proporción directa.
1
3
10
5
10
20
Solución:
Puesto que están en proporción directa y ésta es 1:5:
2
4
1
3
10
5
10 15
20 50
Para hacer croquetas necesitamos 250 g de harina por cada 50 cl de leche. ¿Cuántos gramos de
harina necesitaré si quiero emplear 1,5 l de leche?
Solución:
Tengo 1,5 l = 150 cl de leche.
150:50 =3
Necesitaré 3·250 = 750g de harina
Las instrucciones de una sopa preparada dice que por cada tres litros de sopa deben añadirse dos
cucharadas de preparado. Si en un paquete de preparado vienen quince cucharadas, ¿cuántos litros
de sopa pueden prepararse?
Solución:
En cada paquete hay 15:2 = 7,5 veces la dosis indicada.
Podremos preparar 7,5·3 = 22,5 l de sopa.
Completa la siguiente tabla con ingredientes para la elaboración de una receta.
personas
leche
huevos
levadura
1
6
300 cl
6
18 g
12
Solución:
1 : 6 = 1/6
12 : 6 = 2
personas
1
6
12
leche
50 cl
300 cl
600 cl
huevos
1
6
12
levadura
3g
18 g
36 g
Mi abuelo quiere repartir la paga proporcionalmente a la edad de sus nietos. Somos tres hermanos
de 4, 6 y 10 años. Si quiere repartir 60 €, ¿cuánto nos tocará a cada uno?
Solución:
4 + 6 + 10 = 20
3·4  12€

3·6  18€
3·10  30€

60
 3 euros por cada año.
20
Si compramos 6 cajas de folios, debemos pagar 30 €. ¿Cuánto pagaremos por 17 cajas?
Solución:
Constante de proporcionalidad:
6 cajas 1
1 17
  
 x  17  5  85 €.
30 €
5
5
x
El autobús que nos trae al Instituto consume 8 litros de gas-oil cada 100 km. Si en su depósito
quedan 5 l, ¿podrá llevarnos a clase si la ruta que debe realizar mide 30 km?
Solución:
Con 8 litros recorre 100 km; entonces, con un litro recorrerá 1008 km.
Con 5 litros de gas-oil, podremos recorrer:
100 500
5

 62,5 km.
8
8
Por tanto, podrá llevarnos, pues tiene combustible para más kilómetros de los que mide la ruta.
Si cinco trabajadoras tardan una semana en levantar las paredes de un piso, ¿cuánto tiempo
tardarán las mismas trabajadoras en levantar las paredes de un edificio de 12 pisos, si continúan
trabajando al mismo ritmo?
Solución:
Si las trabajadoras trabajan dos semanas, levantarán dos pisos. Por tanto las magnitudes pisos y semanas
son proporcionales con la siguiente relación de proporcionalidad: 1piso  1 semana.
Por tanto, en levantar los 12 pisos tardarán
1piso
12 pisos
12  1

;x 
 12 semanas.
1semana x semanas
1
Si por un grifo salen 150 l en cuatro horas, ¿cuántos litros saldrán en 12 horas?
Solución:
150
x
12  150

x
 450 l
4
12
4
Comprueba con un ejemplo la siguiente igualdad:
a c
a c ac
   
b d
b d bd
Solución:
2
6
2
6
26
8

¿ 


?
5 15
5 15 5  15 20
2·20  8·5  40 
2
8

5 20
Si la razón entre dos números es 2/7 y el menor es 20, calcula el otro.
Solución:
20 2
7·20
 t
 70
t
7
2
Tengo una granja con 20 gallinas que comen cada día 2,5 kg de pienso. He comprado 7 gallinas más.
¿Cuántos kg de pienso consumirán cada día?
Solución:
20 gallinas 27 gallinas
27 · 2,5

x
 3,375 kg
2,5 kg
x
20
En un plano de una casa, a escala 1:100, una habitación está representada por un rectángulo de 5
cm x 3,6 cm. Calcula su superficie.
Solución:
Al estar a escala 1:100, las dimensiones del rectángulo serán:
largo 5x100 = 500 cm = 5 m
ancho 3,6x100 = 360 cm = 3,6 m
S = 5·3,6 = 18 m2
Calcula a qué distancia quedarán sobre un mapa a escala 1:250 000 dos localidades que sobre un
mapa a escala 1:100 000 están a 24 cm.
Solución:
Si el primer mapa está a escala 1:100 000 significa que 1cm del mapa equivale a 100 000cm, es decir, 1
000m, o, lo que es lo mismo, 1km. Las localidades estarán a 24·1 = 24 km de distancia.
El segundo mapa esta a escala 1:250 000, lo que significa que 1cm mapa equivale a 250 000cm, es decir, 2
500m, o, lo que es lo mismo, 2,5km. La distancia entre los dos puntos que representen las localidades en el
segundo mapa será 24:2,5=9,6cm.
Una empresa ha generado 30 000 € de beneficios. Inicialmente éramos tres socios, cada uno de los
cuales invirtió 100 000, 150 000 y 200 000 € respectivamente. ¿Cuánto dinero de los beneficios
corresponde a cada inversor?
Solución:
100 000 + 150 000 + 200 000 = 450 000
1
15 ·100000  6666,67€

1
 ·150000  10000€
15
1
15 ·200000  13333,33€

30000
1
 € por cada € invertido.
450000 15
El reparto de la herencia de la abuela se hizo de forma directamente proporcional a la edad de los
tres nietos. Si el que tenía 10 años recibió 5 350 €, ¿cuánto dinero dejó en herencia la abuela si las
edades de los otros dos nietos son 25 y 3 años?
Solución:
10+25+3 = 38 años suman en total las edades de los nietos. Así:
5350 €
m
5350  38

m
 20 330 €.
10 años 38
10
Para hacer una tortilla, Luis, Carmen y Lola aportan 3, 1 y 4 huevos, respectivamente. La tortilla es
redonda y de grosor constante. ¿Qué parte de la tortilla corresponde a cada uno?
Solución:
La relación de proporcionalidad será:
 x 360
 2  6  x  120º
 y 360
x y z
360º
360º

  

 
 y  60º
2 1 3 2  1 3
6
6
1
 z  360  z  180º

6
3
Calcula el valor de x para que las fracciones siguientes formen una proporción:
x
36
y
49
x
Solución:
x
36

; x x  49  36; x 2  7 2  2 2  3 2  x  (7  2  3)  42
49
x
¿Qué valor deben tener las letras en la siguiente serie de razones iguales?
2
a
12
c3



9 18 b  1
27
Solución:
2 a
18  2

a 
4
9 18
9
2 12
12  9

 b 1 
 54  b  54  1  55
9 b 1
2
2 c 3
27  2


 c 3  6  c 3 ; c  6  3  3
9
27
9
Queremos repartir 45 caramelos entre cuatro niños de manera que cada uno se lleve el doble del
anterior. ¿Cuántos le tocan a cada uno de ellos?
Solución:
1 + 2 + 4 + 8 = 15 partes.
45
 3 caramelos cada parte.
15
3·1  3 caramelos

3·2  6 caramelos

3·4  12 caramelos

3·8  24 caramelos
Aplica los siguientes porcentajes a 6500 utilizando el número decimal equivalente:
a) 85%
b) 10%
c) 0,2%
d) 125%
Solución:
a) 0,85 · 6500= 5525
b) 0,1 · 6500 = 650
c) 0,002 · 6500 = 13
d) 1,25 · 6500 = 8125
Calcula la cantidad que hay que pagar al hacer a 54 los siguientes descuentos:
a) 5%
b) 40%
c) 10%
d) 2%
Solución:
a) 54 · 0,95 = 51,3
b) 54 · 0,6 = 32,4
c) 54 · 0,9 = 48,6
d) 54 · 0,98 = 52,92
Calcula la cantidad que hay que pagar al aplicar a 120 los siguientes recargos porcentuales:
a) 12%
b) 1%
c) 25%
d) 100%
Solución:
a) 120 · 1,12 = 134,4
b) 120 · 1,01 = 121,2
c) 120 · 1,25 = 150
d) 120 · 2 = 240
Sobre una compra de 65 euros se realiza un descuento del 14%. ¿Cuánto hay que pagar?
Solución:
Si se hace un descuento del 14%, quedará el 86% de la cantidad.
Hay que pagar 65 · 0,86 = 55,9 euros.
Si deposito 10 € en una cuenta al 8% anual durante 15 años, ¿cuánto dinero tendré pasado ese
tiempo?
Solución:
i
C r t 10  8  15

 12 € de interés.
100
100
Total = 10 €  12 €  22 €
Expresa en forma de fracción los siguientes porcentajes:
18% 23%
15% 3%
Solución:
18
18% 
100
15
15% 
100
23
100
3
3% 
100
23% 
En las rebajas, el comercio de la esquina hace un descuento del 15% sobre el precio marcado en la
etiqueta. Si el precio de unos guantes era de 12,37 €, calcula el precio final.
Solución:
Precio: 12,37 €.
Descuento 12,37·(15/100)=12,37·0,15=1,86€
Precio final = Precio-Descuento = 12,37-1,86=10,51€.
Escribe en forma de número decimal los siguientes porcentajes:
a) 25%
b) 3%
c) 90%
d) 150%
e) 0,5%
Solución:
a) 0,25
b) 0,03
c) 0,9
d) 1,5
e) 0,005
Colorea en cada segmento la parte correspondiente a los porcentajes que se indican:
a)
b)
c)
d)
80%
20%
10%
1 00%
|_._._._._:_._._._._|
|_._._._._:_._._._._|
|_._._._._:_._._._._|
|_._._._._:_._._._._|
0
0,5
1
02
10
20
0
5
10
0
0,5
1
Solución:
a)
80%
|_._._._._:_._._._._|
0
0,5
1
b)
c)
20%
10%
|_._._._._:_._._._._|
|_._._._._:_._._._._|
02
10
20
0
5
10
d)
100%
|_._._._._:_._._._._|
0
0,5
1
Encuentra la fracción; porcentaje y decimal correspondiente a la parte sombreada del dibujo:
Solución:
Fracción:
4
10
decimal: 0,4
porcentaje: 40%
¿Cuál es el beneficio de ingresar 10 000 € al 2,25% anual durante 3 años?
Solución:
C r t 10 000  2,25  3
i

 675€.
100
100
¿A qué porcentaje equivalen las siguientes expresiones?
a) La tercera parte del 60%.
b) El 10% del doble.
c) Los
3
de la mitad.
5
d) El doble más la mitad.
Solución:
a)
1 60
20


; el 20%
3 100 100
b) 0,1 · 2 = 0,2 ; el 20%
3 1 3
 
 0,3 ; el 30%
5 2 10
1 5
d) 2    2,5 ; el 250%
2 2
c)
¿Qué recargo ha de aplicarse a una camisa que cuesta 50 euros para obtener unos beneficios de 13
euros?
Solución:
Ha de venderse por 63 euros; 50 · ? = 63 ; ? = 63 : 50 = 1,26.
Por tanto, se ha de aplicar un recargo del 26%.
Un reloj cuesta 30 euros, a la venta al público. ¿Cuánto le costó al joyero si había añadido un 20% al
precio de costo?
Solución:
1 + 0,2 = 1,2
1,2 · ? = 30; le costó 30 : 1,2 = 25 euros.
En el alumbrado de las Fiestas hay 100 000 bombillas. Cada día se funden un 12% de las que hay.
¿Cuántas bombillas quedarán después de cuatro días?
Solución:
Si se funden el 12% quedarán el 100-12= 82%. Recuerda que no hay medias bombillas, que el número de
bombillas es un número natural:
1o día hay 100 000 quedan : 100 000·0,82  82 000
2o día hay 82 000 quedan : 82 000·0,82  67 240
3o día hay 67 240 quedan : 67 240·0,82  55 136
4o día hay 55 136
quedan : 55 136·0,82  45 211
Cuando compramos algo, siempre hemos de pagar un impuesto, el IVA. El IVA más utilizado es el del
16%. ¿Qué precio tendría un producto al que ya se le ha aplicado el IVA y que tiene un precio de
venta de 13,57€?
Solución:
Si pagamos el precio y le añadimos el IVA, estaremos pagando el 100% del producto y un 16% más; esto
es, pagaremos el 116% del precio del producto. Por tanto, para saber cuál era el precio, realizamos la
siguiente proporción:
13,57
x
13,57 13,57

x

 11,698
116
116
100
1,16
100
El precio original era de 11,70€
¿Cuánto tiempo tendré que depositar 127 € para que se produzcan 60,98 € de beneficios en una
cuenta al 6%?
Solución:
i
C r t
127  6  t
100·60,96
 60,96 
t
 8 años.
100
100
127·6
Calcula cuánto dinero tenía en mi cuenta, si con un interés del 3,5% anual ha producido en 3 meses
32,17 € de beneficios.
Solución:
32,17  100
C r t
C 3,5  0,25
i
 32,17 
C
 3 676,57 €.
100
100
3,5  0,25
¿Qué beneficio producirán 100 € al 3% anual, depositados durante 3 años si al final de cada año los
intereses producidos se incorporan al capital?
Solución:
100·3·1


i
 3€

100
capital al f inal de año : 100€  3€  103€
103·3·1


i
 3,09€
segundo año 
100
capital al f inal de año : 103€  3,09€  106,09€
106,09·3·1


i
 3,18€
tercer año

100
capital al f inal de año : 106,09€  3,18€  109,27€
primer año
Sólo tengo 10 euros para comprar unos guantes que cuestan 12,5. ¿Qué porcentaje de descuento
me tendrían que hacer para poder pagarlos?
Solución:
12,5  ?  10; ? 
10
 0,8
12,5
Por tanto, pagaría un 80% del precio haciéndome un 20% de descuento.
¿Es cierto que si me hacen un descuento del 70% y a continuación otro del 30%, me sale la compra
gratis?
Solución:
No. En realidad pagaré el 70% del 30% restante, es decir de cada 100 € pagaré 100·0,7·0,3 = 21 €.
Si aumento un 15% una figura que es obtenida después de reducir otra un 15%, ¿cómo será el
resultado?
a) mayor
b) menor
c) igual.
Solución:
Si el tamaño original es T, el resultado de reducir la figura un 15% será R y el de ampliar el resultado será A:

 100  15 
R
  T  0,85  T 
97,75

 100 
T
  A  1,15  (0,85  T)  1,15  0,85  T  0,9775  T 
 100  15 
100

A
  R  0,85  R
 100 

El resultado final será más pequeño
Escribe cuál será el resultado de descontarle un 13% a un mueble que costaba 965 € y al que ya le
han hecho una rebaja previa del 20%.
Solución:
Precio original: 965 €.
Precio tras el primer descuento: (100-20)% de 965€, es decir [(100-20)/100]·965 = 0,8·965 = 772 €.
Precio tras el segundo descuento: (100-13)% de 772€; [(100-13)/100]·772 = 0,87·772 = 671,64 €.
Un tendero aplica un recargo del 40% a unos pantalones que le han costado 15 euros. Al precio
recargado aplica, en unas rebajas un descuento del 20%. ¿Cuánto ha de pagar una persona que
quiera comprar los pantalones en las rebajas?
Solución:
Con el recargo cuestan 15 · 1,4 = 21 euros.
En las rebajas 21 · 0,8 = 16,8 euros.
Un ciclista ha recorrido el 80% de una etapa cuando le informan de que aún le quedan 28 km.
¿Cuántos kilómetros tiene la etapa?
Solución:
El 20% son 28 km; es decir, si ? son los kilómetros totales ? · 0,2 = 28; ? = 28 : 0,2 = 140 km.
Los
1
3
de los alumnos de una clase se han ido al museo y
ha estado enfermo. ¿Qué porcentaje
4
5
de alumnos ha estado en clase?
Solución:
3
= 0,6 = 60%
5
1
= 0,25 = 25%
4
En total han estado el 100% - (60%+25%) = 100% - 85% = 15% de los alumnos en clase.
De una novela he leído, la primera semana los
2
y la segunda el 30%. Si en total he leído 175
5
páginas, ¿qué porcentaje del libro he leído? ¿Qué fracción me queda por leer? ¿Cuántas páginas
tiene el libro?
Solución:
2 40

, he leído primero el 40% y después el 30%, en total el 70%
5 100
30
3

Me queda por leer el 30%, es decir
100 10
1750
7 175
 250 páginas.

Como
, el libro tiene
7
10
?
Los
¿Cuál es el porcentaje de descuento efectuado en un producto al que se le aplica, dos veces
consecutivas, un descuento del 12,5%?
Solución:
Precio original: P
P1 = Precio tras el primer descuento: (100-12,5)% de P, es decir, P1 = 87,5% de P = 0,875 P
P2 = Precio tras el segundo descuento: (100-12,5)% de P1, es decir,
P2 = 87,5% de P1 = 0,875 P1 = 0,875·0,875·P = 0,765625·P = 76,5625% de P
El porcentaje de descuento será (100-76,5625)%=23,4375%.
Reparte 1500 proporcionalmente a los números 3, 5 y 7.
Solución:
3  1500
1500 a
 300
 15  3  a  15

1500
5  1500
a b c
1500 b
   
 b
 500
357 3 5 7
5
15
 15
1500  c  c  7  1500  700

7
15
 15
Una persona, para desplazarse de su casa al trabajo, realiza los
3
del recorrido en autobús; el 20%
4
en metro y finalmente, recorre un kilómetro andando.
a) ¿Qué porcentaje del recorrido hace andando?
b) ¿Cuántos kilómetros recorre en total? ¿Cuántos en autobús? ¿Cuántos en metro?
Solución:
a) Como
3
 0,75 , realiza el 75% en autobús.
4
Entre el autobús y el metro hace el 75% más el 20%, es decir el 95%.
Andando realiza por tanto el 5% restante.
b) El 5% del total es 1 km, luego, si ? Es el total, 0,05 · ? = 1;
? = 1 : 0,05 = 20 km recorre en total.
En autobús recorre 0,75 · 20 = 15 km.
En metro recorre 0,2 · 20 = 4km.
Inma va al banco con la intención de depositar 100 € en una cuenta. En el banco le hacen dos
ofertas:
a) Un interés del 8,8% anual, con una comisión de mantenimiento del 1% del total (capital e
intereses)
b) Un interés del 1% mensual, con una comisión de mantenimiento de 0,5 € al año.
¿Con qué oferta debe quedarse si quiere dejar el dinero en depósito durante 5 años?
Solución:
a)
100  8,8  5
144  1
i
 44 €  Capital Interés  100  44  144; comisión
 1,44 €  Total  144  1,44  142,56 €.
100
100
b)
i
100  1 60
 60 €  Capital Interés  100  60  160; comisión  0,5  5  2,5 €  Total  160  2,5  157,5 €.
100
Conviene más la segunda opción.
Un camión descarga en el primer comercio los
2
de su mercancía y en el segundo comercio el 20%
5
del resto. Vuelve al almacén y carga la mitad de lo que quedaba en el camión. ¿Qué porcentaje del
camión lleva cargado? ¿Qué fracción del total es?
Solución:
En tantos por uno:
Descarga
2
 0,4 primero y después 0,6 · 0,2 = 0,12
5
En total descarga 0,52 ; le quedan por tanto 0,48
Vuelve a cargar 0,24.
Lleva por tanto cargado 0,48 + 0,24 = 0,72 ; es decir el 72%
La fracción correspondiente es
72 18

100 25
El 40% del 30% de la cuarta parte del 80% de un número es 3. ¿De qué número se trata?
Solución:
0,4 · 0,3 · 0,25 · 0,8 · ? = 3
0,024 · ? = 3 ; el número es 3 : 0,024 = 125
Por cada día que pasa sin pagar una multa por exceso de velocidad me recargan un interés del 1%.
Si me comprometo a recibir un cursillo de Seguridad Vial, me harán un descuento del 15% del total
que debo pagar. Si la multa era de 15€, me he retrasado 12 días y me comprometo a asistir al
cursillo, ¿cuánto deberé pagar de multa?
Solución:
15  1  12
i
 1,8 €  Multa : 15  1,8  16,8 € ; descuento: 0,15  16,8  2,52 €  Total : 16,8  2,52  14,28 €.
100
Un frutero ha vendido 185 kg de naranjas obteniendo unas ganancias de 74 euros. Si las vende a
1,65 euros el kilo, ¿qué recargo porcentual ha aplicado?
Solución:
Ha ganado por cada kilo
74
 0,4 euros.
185
Es decir, cada kilo le costó 1, 25 y lo vende a 1,65.
1,25 · ? = 1,65 ; ? =1,65 : 1,25 = 1,32.
Por lo que aplica un recargo del 32%.
¿Qué cantidad será el 15% de un número si el 27% de ese mismo número es 81?
Solución:
El número original será:
81
81  x·0,27  x 
 300
0.27
y su 15%:
y  300·0,15  45
¿Es cierto que si dos magnitudes son proporcionales el cociente entre dos cantidades de una
magnitud es igual al cociente de las cantidades correspondientes de la otra magnitud?
Solución:
No, sólo es cierto cuando las magnitudes son directamente proporcionales; para las inversamente
proporcionales es al contrario.
“Cuando aumenta el número de personas en una habitación, disminuye la cantidad de oxígeno
disponible” ¿Es esta afirmación una relación entre magnitudes proporcionales?
Solución:
Sí, se trata de magnitudes que son inversamente proporcionales.
Reparte 2600 euros en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4.
Solución:
k k k 6 k 4 k 3 k 13 k
2600·12
  



 2600  k 
 2400
2 3 4 12 12 12
12
13
2400
 1200€
2
2400
 800€
Al 2º:
3
2400
 600€
Al 3º:
4
Al 1º:
Con un grupo de 6 personas tardamos 10 días en finalizar una tarea. Si queremos finalizar la misma
tarea en 5 días, ¿a cuántas personas necesitaremos?
Solución:
Reducimos a la unidad:
personas tardan
1
6 · 10 = 60
días
Por tanto, para tardar 5 días necesitaremos que 60 : (nº personas) = 5, es decir, el número de personas
será 60 : 5 = 12.
Si un ciclomotor realiza un viaje de tres horas y media a 50 km/h, ¿cuánto tardará en realizar el
mismo viaje a 35 km/h?
Solución:
Si viajase a 1 km/h, tardaría 3,5 · 50 = 175 horas; por tanto, viajando a 35 km/h tardará 175 : 35 = 5 horas
Completa la siguiente tabla, sabiendo que las magnitudes están en proporción inversa:
niños
caramelos
10
12
20
6
40
a
1
b
Solución:
Son magnitudes inversamente proporcionales.
1
20
12


6
10
6
12
Por tanto,
40
1
12
12·10


a
3
a
10
a
40
12
b
1
12
12·10


b
 120
1
10
1
1
12
En una fiesta tenemos un número de regalos que repartimos entre los asistentes con arreglo a la
siguiente tabla, que debes completar:
asistentes
regalos
10
12
20
6
40
a
1
b
Solución:
Son magnitudes inversamente proporcionales
1
20
12


6
10
6
12
Por tanto,
40
1
12
12·10


a
3
a
10
a
40
12
b
1
12
12·10


b
 120
1
10
1
1
12
La velocidad de una grabadora de CD-ROM se expresa con las expresión 6x, 8x, 12x, etc., que
significan que la grabación dura seis veces, ocho veces, doce veces menos que la duración del CD
copiado. ¿Cuánto durará el proceso de grabación de un CD de 60 minutos en una grabadora de tipo
6x? ¿Y en una 12x?
Solución:
Las magnitudes velocidad y tiempo de grabación son inversamente proporcionales. Por tanto:
a) Si la grabadora es 6x:
x
1
60
 x
 10 min.
60 6
6
b) Si es 12x:
x
1
60

x
 5 min.
60 12
12
¿Están las siguientes magnitudes en proporción inversa?:
a) Número de astronautas y tiempo que dura el oxígeno de la nave espacial.
b) El número de personas que componen un equipo y la cantidad de trabajo que pueden realizar.
c) El tiempo que tarda en llenarse un depósito y el caudal del grifo.
Solución:
a) Sí; cuantos menos astronautas, más durará el oxígeno.
b) No; a más personas, más trabajo podrán realizar.
c) Sí; a mayor caudal, menos tiempo.
Tres pintores tardan seis días en pintar una casa, ¿cuánto tardarán seis pintores en pintar la misma
casa?
Solución:
El doble de pintores tardarán la mitad de días, es decir, tres días.
Una fuente echando 12 l/min tarda en llenar un depósito 40 horas. ¿Cuántas horas tardaría en
llenarlo si la fuente sólo echara 10 l/min?
Solución:
Inversamente proporcional:
Si echara 1 l/min tardaría 12 · 40 = 480 horas, por lo que si echa 10 l/min tardará 480 : 10 = 48 horas.
En una ciudad sitiada en la que hay víveres para 2 000 personas durante 15 días, un grupo de 500
habitantes decide rendirse. ¿Cuántos días podrán resistir los demás, si los que se rinden no se
llevan víveres?
Solución:
Si fuese una única persona, los víveres durarían para 2 000 · 15 = 30 000 días; si se rinden 500, quedarán 1
500 personas, que tendrán víveres para 30 000 : 1 500 = 20 días.
La densidad de un cuerpo es inversamente proporcional a su volumen. Si un globo contiene 10 000
dm3 de aire con una densidad de 10 g/ dm3, ¿qué volumen ocupará con una densidad de 0,2 g/ dm3?
Solución:
A 1 g/dm3 ocupará 10 000 · 10 = 100 000 dm 3, por tanto, a 0,2 g/dm3 ocupará 100 000 : 0,2 = 500 000 dm 3.
En un cuartel había 270 soldados y tenían provisiones para 40 días. Al marcharse 150, ¿para cuántos
días tendrán provisiones los que quedan?
Solución:
Inversamente proporcional:
Un soldado tardaría 270 · 40 = 10800 días, por lo que 270 - 150 = 120 soldados tardarán 10800 : 120 = 90
días.
Expresa como una proporción la expresión “la atracción gravitatoria (G) es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia (r)”
Solución:
k
G 2
r
Cinco vacas se acaban su pienso en 7 días. Compramos 2 vacas más. ¿Cuántos días tardarán en
acabarse la misma cantidad de pienso?
Solución:
Es inversamente proporcional:
Una vaca tardaría 7 · 5 = 35 días, por lo que 5 + 2 = 7 vacas tardarán 35 : 7 = 5 días.
Para pintar su habitación, Manuel dio 40 pasadas con un rodillo de 56 cm de ancho. ¿Cuántas
pasadas tendrá que dar para pintar la misma habitación con otro rodillo de 80 cm de ancho?
Solución:
Reducimos a la unidad:
Con un rodillo de 1 cm de ancho, tendría que dar 40 · 56 = 2 240 pasadas; entonces, con un rodillo de 80
cm necesitará dar: 2 240 : 80 = 28 pasadas.
Dos grifos del mismo caudal tardan tres días en llenar una piscina. ¿Cuántos grifos del mismo
caudal necesitaremos para que la piscina se llene en ocho horas?
Solución:
Reducimos a la unidad:
grifos
Tardan
1
2 · 3 = 6 días  6 · 24 = 144 h
Por tanto, para tardar 8 horas necesitaremos que 144 : (nº horas) = 8, es decir, el número de grifos será 144
: 8 = 18 grifos.
Un barco navegando a 80 nudos tarda 16 días en recorrer la distancia entre dos puntos. ¿Cuántos
días tardará otro barco cuya velocidad es de 32 nudos?
Solución:
Inversamente proporcional:
Si viajara a 1 nudo tardaría 80 · 16 = 1280 días, por lo que viajando a 32 nudos tardará 1280 : 32 = 40 días.
El legado de un emigrante de mi pueblo, un total de 700 000 €, se reparte entre las tres escuelas del
pueblo de modo inversamente proporcional al número de alumnos. Las escuelas tienen 25, 50 y 100
alumnos respectivamente. Calcula el legado que corresponde a cada escuela.
Solución:
k
k
k
4k
2k
1k


 700 000 


 7 00 000  7 k  70 000 000  k  10 000 000
25 50 100
100 100 100
k
10 000 000

 400 000€
25
25
k 10 000 000

 200 000€
50
50
k
10 000 000

 100 000€
100
100
Se quiere repartir 630 euros en partes inversamente proporcionales a las edades de dos personas,
que son 20 y 36 años. ¿Cuánto le corresponde a cada una?
Solución:
k
k
9k
5k
14 k
630·180




 630  k 
 8100
20 36 180 180 180
14
8100
 405€
20
Al de 20 años:
8100
 225€
36
Al de 36 años:
Cinco personas tardan dieciocho horas en realizar un trabajo. ¿Cuánto tardarán 3 personas en hacer
el mismo trabajo?
Solución:
A menor número de personas tardarán más tiempo en hacerlo, luego son inversamente proporcionales.
5 · 18 = 90 h será el trabajo total que hay que realizar
90 : 3 = 30 h tardarán en realizar el trabajo.
Si una moto que circula a 90 km/h tarda 4 h en realizar un trayecto, calcula cuánto tardará en realizar
el mismo trayecto a 72 km/h.
Solución:
Si circula durante 4 h a 90 km/h, el trayecto es de: 4 · 90 = 360 km.
Si circula a 72 km/h, tardará: 360 : 72 =5 h.
El reparto de la herencia de la abuela se hizo de forma inversamente proporcional a la edad de los
tres nietos. Si el que tenía 10 años recibió 5 350 €, ¿cuánto dinero dejó en herencia la abuela si las
edades de los otros dos nietos son 25 y 3 años?
Solución:
Por ser un reparto inversamente proporcional,
k
 5 350€  k  5 350·10  53 500€
10
El total de la herencia será
k
k
k
53 500 53 500 53 500





 17 833,33  5 350  2 140  25 323,33 €.
3 10 25
3
10
25
Una persona deja sus bienes a sus 5 nietos para que hagan un reparto inversamente proporcional a
sus edades, que son 5, 6, 7, 8 y 9 años. Si el menor recibe 1512 euros, ¿cuánto recibe cada nieto y
cuánto se repartió en total?
Solución:
k
 1512  k  5·1512 euros se repartieron en total.
5
1512
 252€
Al de 6 años:
6
1512
 216€
Al de 7 años:
7
1512
 189€
8
1512
 168€
Al de 9 años:
9
Al de 8 años:
Un libro tiene 450 páginas y cada una tiene 66 líneas de 80 caracteres. ¿Cuántas páginas tendría el
libro si cada página tiene 72 líneas de 90 caracteres?
Solución:
Reducimos a la unidad:
Si las líneas tuviesen 1 carácter, el libro tendría 450 · 80 = 36 000 páginas de 66 líneas; si cada página
tuviese una línea de un carácter, el libro sería de 36 000 · 66 = 2 376 000 páginas.
Buscamos la solución:
Si cada página tuviese una línea de 90 caracteres, serían 2 376 000 : 90 = 26 400 páginas. Si cada página
fuese de 72 líneas, el libro tendría 26 400 : 72 = 367 páginas.
En una competición de comedores de pan se reparten 7 800 € entre los tres finalistas. El premio se
repartirá de forma inversamente proporcional al tiempo que tarden en comerse una bolla de pan de
tres kg.
El primer clasificado tardó una hora; el segundo, hora y media y el tercero, dos horas. Calcula el
importe del premio de cada uno.
Solución:
Las magnitudes son inversamente proporcionales. Sea k la constante de proporcionalidad.
El primero tardó 1h = 60 min, el segundo 1½ h = 90 min y el tercero 2 h = 120min.
Al primer clasificado le corresponden k/60, al segundo k/90 y al tercero k/100. Por tanto,
k
k
k
6k
4k
3k


 7 800 


 7 800  13 k  2 808 000  k  216 000
60 90 120
360 360 360
Las cantidades serán:
216 000
k

 3 600€
60
60
216 000
k

 2 400€
90
90
216 000
k

 1 800€
120
120
Voy a viajar al Reino Unido y me han dicho en el banco que el cambio está a 3 euros cada 2 libras. Si
quiero tener 250 libras, ¿cuántos euros me costará?
Solución:
3 euros
x
250 · 3

x
 375 euros
2 libras 250
2