Soluciones de matrices y determinantes

SOLUCIONES
MATRICES Y DETERMINANTES
Ejercicio nº 1.-
Dadas las matrices:
 2 0 1
 1 1




A   1 3 0  y B =  2 1




5 1 3
0 3




a) Compruebaque A
1
 9

1

3
4
  14

1
1
2
 3

1 

6 
b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.
Solución:
a) Se trata de probar que A A 1  I, donde I es la matrizidentidad de orden 3.
Ef ectuamosel producto:
2

1

5

1

 0

0

1
 9


1
0    3
 4
  14
3 

0
3
1
0
1
0
1
1
2
 3
2


1
1   1
 4
5
6 

0
3
1
1  9

0   3

3    14
1
1
2
 3
4


1
1   0
 4
0
6 

0
4
0
0

0 

4 
0

0  , como queriamos demostrar.

1 
b) Despejamos X en la igualdad AX  B, multiplicando por la izquierda por A1:
A1AX  A1B  IX  A1B  X  A1B
Por el apartadoa), conocemos A1; luego:
 9

1
X
3
4
  14

1
1
2
 3   1 1
 11
 


1
1    2 1    1
 
 4


  18
6   0 3 

 11

 4
1  
 
1
1 
  4
2  

9

 2
1 

4 

1 
4 


1 

2 
Ejercicio nº 2.-
Resuelve la ecuación matricial 2A = AX + B, siendo:
 1 0
  1 2
 yB

A
  1 1
  3 1




Solución:
Despejamos X en la ecuación propuesta:
2A  AX  B  2A  B  AX  A12A  B  A1AX
2A1A  A1B  IX  2I  A1B  X
Calculamos la inversa de A:
a
Llamamos A 1  
c

 1 0 a

AA 1  
  1 1  c


a  1

b  0

 a  c  0

 b  d  1 
b
, entonces:
d 
b  a

d    a  c
 1 0 

; de donde:
 b  d  1 0 
b
a 1



b0

c  a 1


d  1  b  1  0  1
1 0 

Por tanto: A 1  
1 1 


Operamospara obtener X  2I  A1B :
1 0    1

A 1B  
1 1    3


2   1

1    4
2
X  2I  A 1B  
0

0   1 2  3


2    4 3   4
2

3 
 2

 1 
Ejercicio nº 3.-
Dados los vectores:



u1  3,  1, 2, 0; u2  1, 2,  1, 1; u3  2, 1, 0,  1
Estudia la dependencia o independencia lineal y di cuál es el rango de la matriz cuyas



filas son u1, u2 , u3 .
Solución:
  
Calculael rango de la matrizcuy asf ilassonlos v ectores u1 , u2 , u3 :
3

 1

2

1
0

1 1  

0  1
 1

a 
1
3

a 
3  2
2
2
1
 1

a
 0

2

a
a 
73 32  0
a
1
2
a
2
1
7
5
0
1
2
1
1
2
1
0
1

0 

 1
 1

 3 1  0

a 
 2 1  0
a
1
2
a
3
a
a
2
1
7
5
3
2
1 

 3 

 3 
1 

 3  . Por tanto,el rango de la matriz es 3.

 12 
  
Estosignif icaque u1, u2 , u3 sonlinealmente independientes.
Ejercicio nº 4.-
En una acería se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se
obtienen a partir de chatarra, carbón mineral y ciertas aleaciones metálicas, según la
tabla adjunta, que representa las unidades de cada material necesaria para fabricar una
unidad de producto:
Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones
necesarias para la producción de 6 unidades de A, 4 de B y 3 de C.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que
buscamos:
A
CHAT ARRA  8

CARBÓN  6


ALEACIONES  2
B
6
6
1
C
6 A6
CHAT ARRA  90 
  
 
4  B  4 
CARBÓN  72 
  
 



3  C  3  ALEACIONES  25 
Es decir, necesitaremos 90 unidades de chatarra, 72 de carbón mineral y 25 de
aleaciones.
Ejercicio nº 5.-
 2 3
 , halla el valorque deben t ener x e y
Si I es la matrizident idadde orden 2 y A  
  2 1
para que se cumpla la igualdad A 2  xA  yI  0.
Solución:
Calculamos A2  xA  yI e igualamosa 0:
 2
A2  
 2

3  2

1    2
 2
A 2  xA  yI  
 6

3   2

1    6
9 

 5 
9 
 2
x
 2
 5 

3
 1 0    2  2x  y
y 

 0 1   6  2x
1 

 
9  3x
 0

 5  x  y   0
Así, tenemos que ha de ser:
 2  2 x  y  0

9  3 x  0

 6  2 x  0

 5  x  y  0
 y  2  2 x  2  6  8
 x 3
 x 3
 y  5  x  5  3  8
Por tanto: x = 3, y = 8
Ejercicio nº6.-
Se considera la matriz:
0

A  0

0

a
0
0
b

c  , donde a, b y c son tres númerosreales arbitrarios.

0 
a) Encuentra An para todonatural n .


2
b) Calcula A35  A .
Solución:
a) A1  A
0

0 
0

A  0

0

a
2
0
0
b 0

c  0

0   0
0

A3  A2 A   0

0

a
0
0
b 0
 
c   0
 
0   0
ac   0

0  0

0   0
0
0
0
a
0
0
0
0
0
ac 

0

0 
b 0
 
c   0
 
0   0
0

0

0 
0
0
0
Por tanto,como A3  0, tenemosque An  0 para n  3.
b) Teniendo en cuenta lo obtenido en a):
A
35
A
  0  A   A
2
2
2
0

 A2   0

0

0
0
0
ac 

0

0 
Ejercicio nº 7.-
a) Halla el rango de la matriz:
2

1
A
3


4
0
1
1
2
 1

3

4 

1
b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores:



u1  2,  1, 3, 4; u2  0, 1, 1, 2 y u3   1, 3, 4, 1
Solución:
a)  2

1

3


4
 1

3
 
4 

1
0
1
1
2
 1

a
 0
2

a 
22
 0
a 
32  0
a
1

3
a
4
a
1

a
1  2

a 
3
3
a 
4  4
2
1
2
0
0
a
1
0
1
2
3 

5 
 
3 

 2
3

 1
 
4 

1
1

a
 2 1  0

a 
 3 1
0
a 
 4 1  0
a
1
2
a
3
a
4
a
1

a
0
2

0
a
3

a
a 
34  23  0
a
1
1
2
0
0
1
2
4
6
3

5
 
13 

13 
3

5
 . Por tanto, ran A   3.
3 

0
  
b) Observ amosque las columnasde la matriz A coincidencon los v ectores u1, u2 , u3 .
El número de vectores linealmente independientes es el rango de A. Por tanto, los
vectores son linealmente independientes.
Ejercicio nº 8.En una papelería van a vender carpetas, cuadernos y bolígrafos, agrupándolos en tres
tipos de lotes:
- Lote A: 1 carpeta, 1 cuaderno y 1 bolígrafo.
- Lote B: 1 carpeta, 3 cuadernos y 3 bolígrafos.
- Lote C: 2 carpetas, 3 cuadernos y 4 bolígrafos.
Cada carpeta cuesta 6 euros, cada cuaderno 1,5 euros y cada bolígrafo 0,24 euros.
a) Escribe una matriz que describa el contenido (número de carpetas, cuadernos y
bolígrafos) de cada lote.
b) Obtén matricialmente el precio total de cada uno de los lotes A, B y C.
Solución:
a) La matriz será:
CARPET AS
CUADERNOS
BOLíGRAFOS
1
1

3

4 
A1

B1

C  2
3
3
b) Los precios de cada carpeta, cada cuaderno y cada bolígrafo se resumen en la
matriz:
 6 


CUADERNO  1,5 




BOLíGRAFO  0,24 
CARPET A
Si multiplicamos la matriz obtenida en a) con esta última, obtendremos la matriz que
buscamos:
CARPET A
A1

B1

C  2
CUADERNO
1
3
3
BOLíGRAFO
1  CARPET A  6  A  7,74 





3   CUADERNO  1,5   B  11,22 









4  BOLÍGRAFO  0,24  C 17,46 
Es decir, el lote A cuesta 7,74 euros, el lote B, 11,22 euros y el lote C, 17,46 euros.
Ejercicio nº 9.-
Resuelve la ecuación propuesta:
a
a
1
1 1 a 0
0 1 1
Solución:
a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:
COLUMNAS
a
a
a
1
a
0
1
1
1
a  2 1 1
0
a 
0
1 1
1
a
a
3
a
0
1
1 1
a
1
1
a
 a 2  1  0  a  1
1 Desarrollamos por la 2a columna.
Hay dos soluciones: a1  1; a2  1
Ejercicio nº 10.-
Demuestra que:
a bc
2a
2a
2b
bc a
2b
2c
2c
cab
 a  b  c 
3
Solución:
abc
2a
2a
2b
bc a
2b
2c
2c
c ab
1
abc
abc
abc
2b
bc a
2b
2c
2c
c ab

=
COLUMNAS
2
1
 a  b  c  2b
2c
3
1
1
bc a
2b
2c
c ab
a
1
1
 2 a  1a a  b  c  2b
3
a
a
1
 a  b  c  a  b  c  a  b  c   a  b  c 
3
2c
0
0
abc
0
0
abc
3 

1 Sumamosa la 1 f ilalas otras dos.
2 Sacamos a  b  c  f actorcomún.
3 Es el determinante de una matriz triangular.
a
Ejercicio nº 11.a)
Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:
a
b
c

d
a
a
b
;
c
d
c
b
 2
d
a
b
;
c
d
a
b
c
d
 2
a
b
c
d
a b
 3, calcula el valorde los siguientesdeterminantes :
c d
b) Si
a
c
;
b
d
2a  2b
b
2c  2d
d
Solución:
a)
b)
a
b
c
d
a
c
b
d
 ad  bc  ad  bc   
a
b
c
d
a
b
c
d

a
b
c
d
  2 ad  bc   2
a
b
c
d
a
b
c
d
 VERDADERA
  2 ad  bc   FALSA
  2 ad   2 bc   2 ad  bc    2
a
b
c
d
 VERDADERA
3
2a  2b
b
2c  2d
d

2a
b
2c
d

2b
2d
b 1 a
2
d
c
b
 0  23  6
d
1 El segundo determinante es 0 por tener las dos columnasproporcionales.
Ejercicio nº 12.Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:
 1

M  0

1

0
4
t
4
3
t
2 

0 

 2 
Solución:
Observ amosque la 4 a columna es el doble de la 1a. Luego, podemos prescindir de ella
para obtener el rango.
1
4
0
4
Tomamos un menor de orden 2 distintode cero:
40
Así, ran (M)  2.
Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres
primeras columnas:
1
0
4
0
t
4  t 2  4t  12  0  t 
1 3
t
 4  16  48  4  8

2
2

t  2


t  6
 Si t  2 y t  6  ran M   3
 Si t  2 o t  6  La 2a columnadepende linealmente de la 1a y 3a.
Por tanto, ran (M) = 2.