INTRODUCCIÓN
En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton, F = m a, que se
enuncia como sigue:
Una partícula sujeta a la acción de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleración a que tiene la
misma acción que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza.
Equilibrio dinámico. La ecuación del movimiento se puede expresar de la forma
"F − m a = 0.
Marco inercial de referencia. Siempre que se aplique la ecuación del movimiento, se requiere que las
medida de la aceleración se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial. Tal sistema
coordenado no gira y está, ya sea fijo, o se traslada en una dirección dada con velocidad constante (
aceleración cero ). Esta definición asegura que la aceleración de la partícula medida en dos marcos de
referencia inerciales siempre será la misma.
Ecuaciones de movimiento. Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los
diagramas de cuerpo libre y cinético, aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes
escalares.
Fracción. Si l partícula tiene contacto con una superficie rugosa, puede ser necesario usar la ecuación de
fricción, que relaciona el coeficiente de fricción cinética k con las magnitudes de las fuerzas de fricción y
normal Ff y N que actúan en las superficies de contacto, es decir, Ff = k N.
Cinemática. Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solución completa a partir de la ecuación de
movimiento. En este aspecto, si se va a hallar la posición o la velocidad de la partícula, será necesario aplicar
las ecuaciones cinemáticas adecuadas una vez que se determina la aceleración de la partícula a partir de F =
m a.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS :
P = 50 N
m = 200 gr = 0.200 Kg.
k = 0.025
W = mg = 1.962 Kg.
DIAGRAMA
TAREAS
Como la F = m a, y del diagrama anterior tenemos:
F = m ax, sustituyendo nos resulta:
1
P − WX − Fr = m ax ec. 1
Pero como fr = k N y W = mg, por lo tanto:
F = m ay,
Wy − N = m ay = 0............ ec. 2
Wy − N = 0 (se considera como cero, ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)
Wy = N y como
Wy = W cos
Wx = W sen
Sustituyendo lo anterior en la ecuación 1
P − W sen − k W cos = m a.
SOLUCIÓN COMPLETA
Sustituyendo los datos en la ecuación:
P − W sen − k W cos = m a
50N − 1.962 kg sen 25 − (0.025) (1.96 kg cos 25) = 0.2 kg a
50 N − 1.96 kg (0.442) − (0.025) (1.962 kg) (0.906) = 0.2 kg a
50 N − 0.829 − 0.044 = 0.2 a
(49.127 N) / (0.2 kg) = a
a = 245.6 m / s2
INTRODUCCIÓN
Una fuerza neta ejercida sobre un objeto lo acelerará, es decir, cambiará su velocidad. La aceleración será
proporcional a la magnitud de la fuerza total y tendrá la misma dirección y sentido que ésta.
Un objeto con más masa requerirá una fuerza mayor para una aceleración dada que uno con menos masa. Lo
asombroso es que la masa, que mide la inercia de un objeto (su resistencia a cambiar la velocidad), también
mide la atracción gravitacional que ejerce sobre otros objetos. Resulta sorprendente, y tiene consecuencias
profundas, que la propiedad inercial y la propiedad gravitacional estén determinadas por una misma cosa. Este
fenómeno supone que es imposible distinguir si un punto determinado está en un campo gravitatorio o en un
sistema de referencia acelerado. Einstein hizo de esto una de las piedras angulares de su teoría general de la
relatividad, que es la teoría de la gravitación actualmente aceptada.
El rozamiento, generalmente, actúa como una fuerza aplicada en sentido opuesto a la velocidad de un objeto.
En el caso de deslizamiento en seco, cuando no existe lubricación, la fuerza de rozamiento es casi
independiente de la velocidad. La fuerza de rozamiento tampoco depende del área aparente de contacto entre
2
un objeto y la superficie sobre la cual se desliza. El área real de contacto esto es, la superficie en la que las
rugosidades microscópicas del objeto y de la superficie de deslizamiento se tocan realmente es relativamente
pequeña. Cuando un objeto se mueve por encima de la superficie de deslizamiento, las minúsculas
rugosidades del objeto y la superficie chocan entre sí, y se necesita fuerza para hacer que se sigan moviendo.
El área real de contacto depende de la fuerza perpendicular entre el objeto y la superficie de deslizamiento.
Frecuentemente, esta fuerza no es sino el peso del objeto que se desliza. Si se empuja el objeto formando un
ángulo con la horizontal, la componente vertical de la fuerza dirigida hacia abajo se sumará al peso del objeto.
La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza perpendicular total.
Cuando hay rozamiento, la segunda ley de Newton puede ampliarse a:
F efectiva = F − F rozamiento = m a
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS:
W
P
a=?
DIAGRAMAS:
TAREAS Y SOLUCIÓN COMPLETA
Analizando la figura 2 y aplicando las ecuaciones:
• Fx = m ax,
• øFø= k N,
• W = m g,
• N = W Cos ,
• Wy = W Cos y
• Wx = W Sen
(P Cos ) − Wx −øFø= m ax
(P Cos ) − (W Sen ) − øFø= m ax
(P Cos ) − (W Sen ) − k N = (W / g) ax
[(P Cos ) − (W Sen ) − k N] (g / W ) = ax
{[(P Cos ) − (W Sen ) − k N] / W} (g) = ax A
Analizando la figura 3 y aplicando las ecuaciones:
3
• Fy = m ay,
• øFø= k N,
• W = m g,
• N = W Cos ,
• Wy = W Cos y
• Wx = W Sen
(P Sen ) − Wy +N= 0
(P Sen ) − (W Cos ) + N = 0
[(P Sen ) − (W Cos ) = − N
[(P Sen ) − (W Cos ) = −N] (−1)
W Cos − P Sen = N .................... B
Sustituyendo la ecuación B en la ecuación A, obtenemos:
a = {[(P Cos ) − (W Sen ) − k (W Cos − P Sen )] / W} (g)
a = {[(P Cos ) − (W Sen ) − k W Cos + k P Sen ] / W} (g)
INTRODUCCIÓN
Como un cuerpo tiene tamaño y forma determinados, la aplicación de un sistema de fuerzas no concurrentes
podría provocar que dicho cuerpo se trasladara y girara. Se dice que los aspectos de rotación, a causa del
momento M, están regidos por la ecuación M = I . El símbolo I se usara para designar el momento de
inercia. Por comparación se concluye que el momento de inercia es una forma de medir la resistencia opuesta
por el cuerpo a la aceleración angular (M = I ), igual que la masa es una medición de la resistencia opuesta
por el cuerpo a la aceleración (F = m a).
El momento de inercia se define como la integral del segundo momento en torno de un eje de todos los
elementos de masa dm que componen el cuerpo. El momento de inercia de un cuerpo en torno al eje z es:
I ="m r2 dm
En este caso el brazo del momento r es la distancia perpendicular desde el eje y el elemento arbitrario dm.
Como la formula involucra a r, el valor de I será diferente para cada eje sobre el que se calcule.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS:
l
m
Iy = ?
(densidad)
4
Masa homogénea
Barra delgada
DIAGRAMA:
TAREAS Y SOLUCIÓN COMPLETA
Usando el teorema fundamental del calculo, obtenemos:
• Si r = x2 + y2 , por lo tanto
• I =" r2 dm, será igual a:
• Ix = " (y2 + z2) dm
• Iy = " (x2 + z2) dm
• Iz = " (x2 + y2) dm
Aplicando las formulas anteriores al problema:
• Iy = " (x2 + z2) dm
Considerando que es una barra delgada, despreciamos a z2 (x2 >> z2).
Por lo tanto nos resulta la ecuación:
Iy = " x2 dm .............. A
Considerando que la masa es homogénea:
= m / l = dm / dx
Despejando a dm obtenemos:
dm = (m / l) dx.. B
Sustituyendo A en B:
Iy = " x2 (m / l) dx
Iy = (m / l) " x2 dx
Resolviendo la integral:
Iy = (m / l) [x3 / 3]−l/2l/2
Iy = (1 / 3) (m / l) [(l / 2)3 − (−l / 2)3]
Iy = (1 / 3) (m / l) ( 1 / 2) [(l3) + (l3)]
Iy = (1 / 3) (m) ( 1 / 2) (2 l2)
Iy = (1 / 3) (m l2)
5
INTRODUCCIÓN
Inercia, propiedad de la materia que hace que ésta se resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de
dirección o de velocidad. Esta propiedad se describe con precisión en la primera ley del movimiento del
científico británico Isaac Newton: un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en
movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa.
Por ejemplo, los pasajeros de un automóvil que acelera sienten contra la espalda la fuerza del asiento, que
vence su inercia y aumenta su velocidad. Cuando éste frena, los pasajeros tienden a seguir moviéndose y salen
despedidos hacia delante. Si realiza un giro, un paquete situado sobre el asiento se desplazará lateralmente,
porque la inercia del paquete hace que tienda a seguir moviéndose en línea recta.
Cualquier cuerpo que gira alrededor de un eje presenta inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar
su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada
por su momento de inercia. Para cambiar la velocidad de giro de un objeto con elevado momento de inercia se
necesita una fuerza mayor que si el objeto tiene bajo momento de inercia. El volante situado en el cigüeñal de
los motores de automóvil tiene un gran momento de inercia. El motor suministra potencia a golpes; la elevada
inercia del volante amortigua esos golpes y hace que la potencia se transmita a las llantas con suavidad.
La inercia de un objeto a la translación está determinada por su masa. La segunda ley de Newton afirma que la
fuerza que actúa sobre un objeto es igual a la masa del objeto multiplicada por la aceleración que experimenta.
Por tanto, si una fuerza hace que un objeto sufra una determinada aceleración, habrá que aplicar una fuerza
mayor para conseguir que un objeto con mayor masa experimente esa misma aceleración. Por ejemplo, para
conseguir arrastrar por un mismo pavimento, y con la misma velocidad, una caja de zapatos o un embalaje con
varias de estas cajas, habrá que aplicar una fuerza mayor al embalaje, puesto que tiene más inercia.
Momento de inercia, resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro. A veces
se denomina inercia rotacional. El momento de inercia desempeña en la rotación un papel equivalente al de la
masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si una catapulta lanza una piedra pequeña y una grande aplicando
la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. De modo similar, si se
aplica un mismo par de fuerzas a una rueda con un momento de inercia pequeño y a otra con un momento de
inercia grande, la velocidad de giro de la primera rueda aumentará mucho más rápidamente que la de la
segunda.
El momento de inercia de un objeto depende de su masa y de la distancia de la masa al eje de rotación. Por
ejemplo, un volante de 1 kg con la mayoría de su masa cercana al eje tendrá un momento de inercia menor
que otro volante de 1 kg con la mayoría de la masa cercana al borde exterior.
El momento de inercia de un cuerpo no es una cantidad única y fija. Si se rota el objeto en torno a un eje
distinto, en general tendrá un momento de inercia diferente, puesto que la distribución de su masa en relación
al nuevo eje es normalmente distinta.
Las leyes del movimiento de los objetos en rotación son equivalentes a las leyes del movimiento de los
objetos que se mueven linealmente (el momento de inercia sustituye a la masa, la velocidad angular a la
velocidad lineal, ...).
MOMENTO DE INERCIA DE PLACAS DELGADAS
Considérese una placa delgada de espesor uniforme t, la cual esta hecha de un material homogéneo de
densidad (densidad = masa por unidad de volumen). El momento de inercia de masa de la placa con
respecto de un eje AA' contenido en el plano de la placa esta dado por:
Como dm = t dA, se escribe:
6
Pero r representa la distancia que hay del elemento de área dA al eje AA' ; por lo tanto, la integral es igual al
momento de inercia del área de la placa con respecto de AA'. Así, se tiene que:
Similarmente, para un eje BB' que esta contenido en el plano de la placa y que es perpendicular a AA', se tiene
que:
Ahora, considerando al eje CC' que es perpendicular a la placa y que pasa a través del punto de intersección C
de AA' y BB', se escribe:
Donde Jc es el momento polar de inercia del área de la placa con respecto del punto C.
Recordando la relación Jc = IAA' + IBB' que existe entre el momento polar de inercia y los momentos
rectangulares de inercia de un área, se escribe la siguiente relación entre los momentos de inercia de masa de
una placa delgada:
Ic = IAA' + IBB'
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS
t (grosor)
m
Iz = ?
Delgado y homogéneo
R ( radio)
DIAGRAMAS
TAREAS Y SOLUCIÓN COMPLETA
Se dice que el momento de inercia en Z es:
Iz = (X2 + Y2) dm
Analizando la figura 1 y usando las coordenadas polares:
Iz = r2 dm..........1
Tomando en cuenta que la masa es homogénea:
..........2
Analizando la figura 4 tenemos:
.........3
7
Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 2 obtenemos:
..........4
Sustituyendo la ecuación 4 en la ecuación 1 obtenemos:
Resolviendo la integral:
Tomando en cuenta que el volumen es:
Nos queda la ecuación:
De manera sintetizada tenemos:
Tomando en cuenta que la placa es delgada y analizando las figuras 2 y 3:
Considerando la simetría del cuerpo:
Usando la ecuación A
Considerando la ecuación B
Por lo tanto:
INTRODUCCIÓN
Energía cinética, energía que un objeto posee debido a su movimiento. La energía cinética depende de la masa
y la velocidad del objeto según la ecuación
E = (1/2)mv2
donde m es la masa del objeto y v2 la velocidad del mismo elevada al cuadrado. El valor de E también puede
derivarse de la ecuación
E = (ma)d
donde a es la aceleración de la masa m y d es la distancia a lo largo de la cual se acelera. Las relaciones entre
la energía cinética y la energía potencial, y entre los conceptos de fuerza, distancia, aceleración y energía,
pueden ilustrarse elevando un objeto y dejándolo caer.
Cuando el objeto se levanta desde una superficie se le aplica una fuerza vertical. Al actuar esa fuerza a lo
largo de una distancia, se transfiere energía al objeto. La energía asociada a un objeto situado a determinada
altura sobre una superficie se denomina energía potencial. Si se deja caer el objeto, la energía potencial se
convierte en energía cinética.
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Cuando un sistema de fuerzas, que actúa sobre un cuerpo rígido, consta sólo de fuerzas conservativas, es
posible utilizar el teorema de la conservación de la energía para resolver un problema que podría solucionarse
de otro modo utilizando el principio del trabajo y la energía. Con frecuencia es más fácil de aplicar este
teorema debido a que el trabajo de una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria y depende sólo
de las posiciones inicial y final del cuerpo. Tomando en cuenta que el trabajo de una fuerza conservativa
8
puede expresarse como la diferencia entre la energía potencial del cuerpo medida a partir de una referencia o
punto de referencia seleccionada en forma arbitraria.
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL.
Como el peso total de un cuerpo puede considerarse concentrando en su centro de gravedad, es posible
determinar la energía potencial gravitacional sobre el cuerpo al conocer la altura del centro de gravedad de
dicho cuerpo por encima o debajo del punto horizontal de referencia. Al medir YG como positiva hacia arriba,
la energía potencial gravitacional del cuerpo es:
En este caso, la energía potencial es positiva cuándo YG lo es, ya que el cuerpo tiene la capacidad de realizar
un trabajo positivo cuando regresa al punto de referencia. Del mismo modo, si el cuerpo se ubica debajo del
punto de referencia (−YG), la energía potencial gravitacional es negativa, ya que el peso realiza un trabajo
negativo cuando el cuerpo regresa al punto de referencia.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS:
R
W
K
mA
mB
mC
S
=?
DIAGRAMAS:
TAREAS Y SOLUCIÓN COMPLETA
Usando el principio de la conservación de la energía mecánica:
Calculando la Energía cinética de mB
Calculando la energía cinética en mc
Calculando la Energía potencial de mB
Calculando la Energía cinética de mC
Utilizando la ecuación A y sustituyendo a las ecuaciones 1 y 2:
Utilizando la ecuación B y sustituyendo las ecuaciones 3 y 4:
9
Igualando las ecuaciones D y E, ya que la masa mA
es igual para los dos objetos y finalmente despejando a :
INTRODUCCIÓN
Energía cinética, energía que un objeto posee debido a su movimiento. La energía cinética depende de la masa
y la velocidad del objeto según la ecuación
E = (1/2)mv2
donde m es la masa del objeto y v2 la velocidad del mismo elevada al cuadrado. El valor de E también puede
derivarse de la ecuación
E = (ma)d
donde a es la aceleración de la masa m y d es la distancia a lo largo de la cual se acelera. Las relaciones entre
la energía cinética y la energía potencial, y entre los conceptos de fuerza, distancia, aceleración y energía,
pueden ilustrarse elevando un objeto y dejándolo caer.
Cuando el objeto se levanta desde una superficie se le aplica una fuerza vertical. Al actuar esa fuerza a lo
largo de una distancia, se transfiere energía al objeto. La energía asociada a un objeto situado a determinada
altura sobre una superficie se denomina energía potencial. Si se deja caer el objeto, la energía potencial se
convierte en energía cinética.
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
Cuando un sistema de fuerzas, que actúa sobre un cuerpo rígido, consta sólo de fuerzas conservativas, es
posible utilizar el teorema de la conservación de la energía para resolver un problema que podría solucionarse
de otro modo utilizando el principio del trabajo y la energía. Con frecuencia es más fácil de aplicar este
teorema debido a que el trabajo de una fuerza conservativa es independiente de la trayectoria y depende sólo
de las posiciones inicial y final del cuerpo. Tomando en cuenta que el trabajo de una fuerza conservativa
puede expresarse como la diferencia entre la energía potencial del cuerpo medida a partir de una referencia o
punto de referencia seleccionada en forma arbitraria.
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL.
Como el peso total de un cuerpo puede considerarse concentrando en su centro de gravedad, es posible
determinar la energía potencial gravitacional sobre el cuerpo al conocer la altura del centro de gravedad de
dicho cuerpo por encima o debajo del punto horizontal de referencia. Al medir YG como positiva hacia arriba,
la energía potencial gravitacional del cuerpo es:
En este caso, la energía potencial es positiva cuándo YG lo es, ya que el cuerpo tiene la capacidad de realizar
un trabajo positivo cuando regresa al punto de referencia. Del mismo modo, si el cuerpo se ubica debajo del
punto de referencia (−YG), la energía potencial gravitacional es negativa, ya que el peso realiza un trabajo
negativo cuando el cuerpo regresa al punto de referencia.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS:
mA
10
mB
mc
R1
R2
K
V
S=?
DIAGRAMA:
INTRODUCCIÓN
TRASLACIÓN
Cuando un cuerpo rígido de masa m es sometido a una traslación rectilínea o curvilínea, la energía cinética
debida a la rotación es igual a cero, ya que = 0. Por lo tanto, la energía cinética de un cuerpo es:
En donde es la magnitud de la velocidad de traslación en el instante considerado.
ROTACIÓN EN TORNO A UN EJE FIJO
Cuando un cuerpo rígido gira en torno de un eje fijo que atraviesa el punto O. El cuerpo tiene energía cinética
de traslación y de rotación, según lo defínela ecuación:
Es posible formular la energía cinética del cuerpo de otra manera al observar que,, en cuyo caso,. Por el
teorema de los ejes paralelos, los términos dentro del paréntesis representan el momento de inercia IO del
cuerpo en torno de un eje perpendicular al plano de movimiento, que atraviesa por el punto O. Por lo tanto:
MOVIMIENTO EN EL PLANO GENERAL
Cuando un cuerpo rígido está sujeto a un movimiento en el plano general, tiene una velocidad angular y su
centro de masa tiene una velocidad VG. Por lo tanto, la energía cinética se define por medio de la ecuación:
En este caso se observa que la energía cinética total del cuerpo está constituida por la suma escalar de las
energía cinéticas de traslación,, y de rotación en torno al centro de masa del cuerpo,.
Debido a que la energía es una cantidad escalar, la energía cinética total de un sistema de cuerpos rígidos
conectados resulta de la suma de las energías cinéticas de todas las partes en movimiento. Dependiendo del
tipo de movimiento, la energía cinética de cada cuerpo se determina al aplicar la ecuación:
o de las formas alternas ya mencionadas.
DIAGRAMAS
11
DATOS:
R1
R2
R3
mA
mB
mC
KA
KB
S
=0
=?
DIAGRAMA:
TAREAS Y SOLUCIÓN COMPLETA
Formulas a utilizar:
Aplicando la formula del Principio de la Conservación de la energía:
Calculando el cambio de energía potencial:
Calculando el cambio de energía cinética, para el bloque B:
Calculando el cambio de energía cinética, para el bloque A:
Calculando el cambio de energía cinética, para el bloque C:
Calculando al
Tomando en cuenta que:
Sustituyendo la ecuación C en la ecuación B:
Sustituyendo las ecuaciones A y D en la ecuación 1:
INTRODUCCIÓN
CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS
12
Los diferentes tipos de movimiento de un cuerpo rígido pueden agruparse en forma conveniente como sigue:
• TRASLACIÓN: Se dice que el movimiento es de traslación si cualquier línea recta de un cuerpo
permanece en la misma dirección durante el movimiento. Puede observarse también que en una
traslación todas las partículas que forman el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si
estas trayectorias son líneas rectas, se dice que el movimiento es una traslación rectilínea; si las
trayectorias son líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea.
• ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO: En este movimiento las partículas que forman el
cuerpo rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo.
Si este eje, llamado eje de rotación, interseca al cuerpo rígido, las partículas localizadas sobre el
mismo eje tienen velocidad y aceleración cero.
Como cada partícula se mueve en el plano dado se dice que la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo
es un movimiento plano.
• MOVIMIENTO EN EL PLANO GENERAL: Existen otros tipos de movimiento en el plano, es
decir, movimientos en que todas las partículas del cuerpo se mueven en planos paralelos. A cualquier
movimiento plano que no es ni una rotación ni una traslación se le llama movimiento en el plano en
general.
• MOVIMIENTO CON RESPECTO A UN EJE FIJO: este es el movimiento tridimensional de un
cuerpo rígido con respecto a un punto fijo O. Un ejemplo de movimiento con respecto a un eje fijo se
encuentra el movimiento de un trompo sobre una superficie rugosa.
• MOVIMIENTO GENERAL: a cualquier movimiento de un cuerpo rígido que no cae en ninguno de
las categorías anteriores se le llama movimiento general.
TRASLACIÓN: Considérese un cuerpo rígido en traslación y sean A y B cualesquiera de sus partículas.
Representado por rA y rB los vectores de posición de A y B con respecto a un sistema de referencia fijo y por
rA/B al vector que une a A y B, escribimos:
Derivando esta relación con respecto a t. Notamos que la definición de una traslación el vector rA/B debe
mantener una dirección constante; su magnitud debe ser también constante, ya que A y B corresponden a l
mismo cuerpo rígido. Entonces la derivada de rA/B es cero y tenemos
Derivando una vez mas:
Así que, cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad y
la misma aceleración en cualquier instante. En el caso de la traslación curvilínea, la velocidad y la aceleración
cambian tanto de dirección como de su magnitud en cada instante. En el caso de la traslación rectilínea todas
las partículas del cuerpo se mueven a lo largo de las líneas rectas paralelas y su velocidad y aceleración
mantienen la misma dirección durante todo el movimiento.
ROTACIÓN CON RESPECTO A UN EJE FIJO: consideremos un cuerpo rígido que gira con respecto a
un eje fijo AA'. Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posición con respecto a un sistema de referencia
fijo. Por conveniencia supondremos que el sistema esta centrado en el punto O sobre AA' y que el eje z
coincide con AA'. Sea B la proyección de P sobre AA', como P debe permanecer a una distancia constante de
B, describirá un circulo de centro B y de radio r sen, donde representa el ángulo formado por r y AA'.
La posición de P y de todo cuerpo esta definida completamente por el ángulo se conoce como la coordenada
angular del cuerpo. La coordenada angular se define como positiva cuando se recorre en sentido contrario al
13
movimiento de las manecillas del reloj visto desde A; se expresara en radianes y ocasionalmente en grados o
revoluciones.
Recordamos que la velocidad de una partícula P y de magnitud . Observando que la longitud %s del arco
descrito por P cuando el cuerpo gira hasta longitud % es:
y dividiendo ambos miembros entre %t, obtenemos en el limite cuando %t tiende a cero:
donde representa la derivada de respecto al tiempo. Concluimos que la velocidad V de P es un vector
perpendicular al plano que contiene a AA' y r, de magnitud V definida por . Pero es precisamente el resultado
que obtendríamos si trazamos a lo largo de AA' un vector y formásemos el producto vectorial x r. Entonces
escribimos:
El vector:
se le llama velocidad angular del cuerpo. Está dirigida a lo largo del eje de rotación y es igual en magnitud a
la rapidez de cambio de la coordenada angular y su sentido puede obtenerse por la regla de la mano derecha
del sentido de rotación del cuerpo.
Determinaremos la aceleración a de la partícula P. Derivando a y recordando la regla de la derivación de un
producto vectorial, tenemos:
El vector se representa por y se llama aceleración angular del cuerpo. Sustituyendo también v de , tenemos:
.
Derivando a y recordando que k es de magnitud y dirección constante, tenemos:
Entonces la angular de un cuerpo rígido que gira con respecto a un eje fijo es un vector dirigido a lo largo del
eje de rotación, e igual en magnitud a la rapidez de cambio de de la velocidad angular. Regresando ,
notamos que la aceleración P es la suma de dos vectores. El primer vector es igual al producto vectorial x r;
es tangente al circulo descrito por P y representa por consiguiente a la componente tangencial de la
aceleración. El segundo vector es igual al triple producto vectorial obtenido por el producto vectorial de ;
como es tangente al circulo descrito por P, el triple producto vectorial se dirige hacia el centro de B del
circulo y representa, por consiguiente a la normal de la aceleración.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS:
R1
R2
mB
mC
mA
KA
14
KB
V
S=?
DIAGRAMA:
TAREAS Y SOLUCIÓN COMPLETA
Usando el principio de la conservación de la energía:
Cambio de energía potencial:
Cambio de energía cinética (BLOQUE B)
Cambio de energía cinética (BLOQUE A)
Cambio de energía cinética (BLOQUE C)
Por lo tanto el % Ec:
Sustituyendo a las ecuaciones A y B en la ecuación 1:
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS:
V=?
S
KA
mA
R1
DIAGRAMA
TAREAS Y SOLUCIÓN COMPLETA
Usando el principio de la conservación de la energía:
Cambio de energía potencial:
Cambio de energía cinética:
Sustituyendo la ecuación A y B en la ecuación 1:
INTRODUCCIÓN
15
Energía Cinética
Un planteamiento alternativo que nos permite entender y resolver problemas de movimiento es relacionar la
velocidad de una partícula con su desplazamiento bajo la influencia de alguna fuerza neta. La siguiente figura
muestra un bloque de masa m que se mueve hacia la derecha bajo la acción de una fuerza constante F.
Como la fuerza es constante, por la segunda ley de Newton sabemos que el bloque se moverá con aceleración
constante a. Si la partícula se desplaza una distancia s, el trabajo efectuado por la fuerza F es:
W = F.s = (m.a) .s
En cinemática las siguientes relaciones son válidas:
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación del trabajo tenemos:
La cantidad representa la energía asociada al movimiento de una partícula; a esta cantidad se le ha dado el
nombre de energía cinética. La energía cinética, Ek, de una partícula de masa m que se mueve con velocidad v
se define como:
Energía Potencial
Veremos ahora que un objeto también puede realizar un trabajo por efecto de la energía que produce su
posición en el espacio. Cuando un objeto cae en un campo gravitacional, el campo ejerce una fuerza sobre él
en la dirección de su movimiento, efectuando trabajo sobre él, con lo cual incrementa su energía cinética.
Consideremos un bloque que se deja caer desde el reposo. Cuando es soltado el bloque cae hacia la tierra
ganando velocidad y, en consecuencia, ganando energía cinética. Gracias a su posición en el espacio, el
ladrillo tiene energía potencial (tiene el potencial para realizar el trabajo), la cual se convierte en energía
cinética conforme cae. La energía que un objeto tiene debido a su posición en el espacio recibe el nombre de
16
energía potencial gravitacional.
Ahora vamos a obtener una expresión para la energía potencial gravitacional de un objeto en un punto dado.
Consideremos un bloque de masa m a una altura inicial y sobre el suelo, como en la figura anterior. Ignore la
resistencia del aire y considere que cuando cae el bloque la única fuerza que hace trabajo sobre él es la
gravitacional, mg. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional conforme el bloque experimenta un
desplazamiento hacia abajo s es el producto de la fuerza hacia abajo por el desplazamiento:
La cantidad mgy representa la energía potencial asociada a un objeto en cualquier punto en el espacio. En
conclusión la energía potencial es:
Ep = mgy
La fuerza normal
Supongamos que un bloque de masa m está en reposo sobre una superficie horizontal como se muestra en la
figura, las únicas fuerzas que actúan sobre él son su peso y la fuerza de contacto de la superficie. La fuerza
ejercida por la superficie soporta el bloque, manteniéndolo en reposo. Ya que la aceleración del bloque es
cero, y esto significa que la fuerza de contacto es la fuerza normal N, porque tiene dirección perpendicular, o
normal, a la superficie, así en la figura N = mg a fuerza normal, reacción del plano o fuerza que ejerce el
plano sobre el bloque depende del peso del bloque, la inclinación del plano y de otras fuerzas que se ejerzan
sobre el bloque.
Si ahora, el plano está inclinado un ángulo , el bloque está en equilibrio en sentido perpendicular al plano
inclinado por lo que la fuerza normal N es igual a la componente del peso perpendicular al plano, mgcos
17
N=mgcos
Fuerza de fricción estática.
Existe una fuerza de fricción entre dos objetos que no están en movimiento relativo. Tal fuerza se llama fuerza
de fricción estática. En la siguiente figura aplicamos una fuerza F que aumenta gradualmente, pero el bloque
permanece en reposo. Como en todos estos casos la aceleración es cero, la fuerza F aplicada es igual y opuesta
a la fuerza de fricción estática Fe, ejercida por la superficie.
La máxima fuerza de fricción estática Fe max , corresponde al instante en que el bloque está a punto de
deslizar. Los experimentos demuestran que:
Fe máx = eN
Donde la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de fricción estática. Por tanto, la fuerza de
fricción estática varía, hasta un cierto límite para impedir que una superficie se deslice sobre otra:
Fe máx <= eN
Fuerza de fricción cinética
En la siguiente figura mostramos un bloque de masa m que se desliza por una superficie horizontal con
velocidad constante. Sobre el bloque actúan tres fuerzas: el peso mg, la fuerza normal N, y la fuerza de
fricción Fk entre el bloque y la superficie. Si el bloque se desliza con velocidad constante, la fuerza aplicada F
será igual a la fuerza de fricción Fk.
Podemos ver que si duplicamos la masa m, se duplica la fuerza normal N, la fuerza F con que tiramos del
bloque se duplica y por tanto Fk se duplica. Por tanto la fuerza de fricción cinética Fk es proporcional a la
18
fuerza normal N.
Fk = m k N
La constante de proporcionalidad k es un número sin dimensiones que se denomina coeficiente de fricción
cinético.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS:
mA,
mB,
mC,
kB,
R1,
V,
C,
S=?
DIAGRAMA:
TAREAS
Analizar el diagrama anterior.
Usando el principio de la conservación de la energía.
Calcular la energía cinética para el bloque B
Calcular la energía cinética para el bloque A
Calcular la energía cinética para el bloque C
Calcular la energía potencial para el bloque A
Sustituyendo las ecuaciones en la ecuación general del principio de la conservación de la energía.
SOLUCIÓN COMPLETA
Usando el principio de la conservación de la energía:
Cambio de energía potencial:
Cambio de energía cinética (BLOQUE B)
19
Cambio de energía cinética (BLOQUE A)
Cambio de energía cinética (BLOQUE C)
Sustituyendo la ecuación A, B, C y D en la ecuación 1:
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS:
mA,
mB,
mC,
kB,
R1,
V,
C,
S=?
DIAGRAMA:
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
DATOS:
mA,
mB,
mC,
kB,
R1,
V,
C,
S=?
X
Y
20
fr
P
N
25o
WX
WY
W
l/2
−l / 2
X
Z
Y
Y
X
W
P
Figura 1
Y
X
W
P Cos
Figura 2
21
W Sen
WX
WY
øFø
N
P Sen
WX
Figura 3
X
Y
W
WY
W Cos
N
øFø
Figura 1
Y
X
dm
x
Y
R
Y
Figura 2
22
R
Y
x
dm
X
Y
Figura 3
R
Y
x
dm
X
Figura 4
r
dr
ds
R
K mA
mC
mB
K mA
R1
R2
S
mC
mB S
23
KA mA
R2
R1
mB
KB R3
mC
S
=?
KA
mA
R1
V=?
S
mC
V
S=?
mB
R2
KB
mA
R1
KA
mC
C
mB
R1
24
kB
mA
S=?V
Aguilar Gordillo
FIC / UNACH
DINÁMICA
TAREA # 10
18 de Febrero de 2003
Dr. Rubén Herrera
25
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INTRODUCCIÓN F = m a, enuncia como sigue: F

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