Dinámica •

Dinámica
• Explicar porqué un cuerpo entra en resonancia; escribir las condiciones de oscilamiento del cuerpo para
un cuerpo con geometría definida; deben determinarse los efectos externos.
Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad son capaces de vibrar. La mayoría de las maquinas y
estructuras experimentan vibración hasta cierto grado y, su diseño, requiere generalmente consideración de su
conducta oscilatoria.
Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse, como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el
principio de la superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrollas. Por el
contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son menos conocidos y difíciles de aplicar. Sin
embargo algún conocimiento de sistemas no lineales es deseable puesto que todos los sistemas tienden a
volverse no lineales cuando crece la amplitud de la oscilación.
Hay dos clases generales de vibraciones, libres y forzadas. La vibración libre es la que ocurre cuando un
sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al mismo y, cuando las fuerzas externamente aplicadas son
inexistentes. El sistema bajo vibración libre vibrara a una o mas de sus frecuencias naturales que, son
propiedades del sistema dinámico que dependen de su distribución de masa y de rigidez.
La vibración que tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas es una vibración forzada. Cuando la
excitación es oscilatoria, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si esta coincide con una
de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren oscilaciones
peligrosamente grandes.
Las vibraciones más importantes desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería son las vibraciones
forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren cuando un sistema está sujeto a una fuerza periódica o
cuando está unido elásticamente a un soporte que tiene un movimiento alternativo.
Consideremos el caso de un cuerpo de masa m suspendido de un resorte unido a un soporte. La vibración
obtenida en este sistema consiste en dos vibraciones superpuestas. Una es una vibración libre del sistema. La
frecuencia de esta vibración es llamada frecuencia natural del sistema. Esta vibración libre es llamada también
vibración transitoria ya que en realidad será amortiguada rápidamente por las fuerzas de rozamiento. La otra
vibración superpuesta es la vibración del estado estacionario producido y mantenido por la fuerza aplicada o
por el movimiento aplicado por el soporte. Esta frecuencia es la frecuencia forzada generada por esta fuerza o
movimiento y, su amplitud xm, depende de la razón de frecuencia ð/p. La razón de amplitud xm de la
vibración de estado estacionario a la deformación estática Pm/k causada por una fuerza Pm, o a la amplitud m
del movimiento de soporte se llama factor de amplificación.
Factor de amplificación = xm/(Pm/k) = xm/m = 1/(1−(ð/p)2
Cuando ð = p, la amplitud de la vibración forzada se vuelve infinita. La fuerza aplicada o el movimiento
aplicado por el soporte se dice que está en resonancia con el sistema dado. La resonancia se define como un
fenómeno que presenta un sistema físico influido por una fuerza de excitación periódica externa, en la que la
amplitud resultante de la oscilación del sistema resulta grande cuando la frecuencia de la fuerza de excitación
se aproxima a una frecuencia de oscilación libre natural de un sistema. En realidad, la amplitud de vibración
permanece finita a causa de las fuerzas de amortiguamiento; sin embargo tal situación debe evitarse si la
frecuencia forzada no debe escogerse muy cercana a la frecuencia natural del sistema. En el caso de ð < p, la
vibración forzada está en fase con la fuerza aplicada o el movimiento aplicado por el soporte, mientras que
para ð > p, la vibración forzada se encuentra 180º fuera de fase. Cuando la excitación es oscilatoria, el sistema
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es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación. Si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del
sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren situaciones realmente graves. La falla de estructuras
mayores como puentes, edificios o alas de aviones, es una horrible posibilidad, bajo resonancia. Así el cálculo
de las frecuencias naturales es de importancia capital en el estudio de las vibraciones.
El movimiento oscilatorio puede repetirse a sí mismo regularmente, como en el caso de un balancín de reloj o,
desplegar considerable irregularidad, como en el caso de los movimientos sísmicos. Cuando el movimiento se
repite a intervalos de tiempo ð, se le llama periódica. El tiempo de repetición ð es el período de la oscilación y
su recíproco, f = 1/ð es la frecuencia. Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento periódico debe
satisfacer la relación:
x(t) = x(t + ð)
• ¿Qué métodos se pueden aplicar para disminuir las vibraciones?
Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o de un cuerpo que oscila alrededor de una
posición de equilibrio. La mayor parte de las vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables porque
aumentan los esfuerzos y las tensiones y por las pérdidas de energía que las acompañan. Deben por lo tanto
eliminarse o reducirse lo más que sea posible con diseños apropiados. El análisis de las vibraciones se ha
vuelto cada vez más importante en los últimos años en virtud de la tendencia actual de emplear máquinas de
alta velocidad y estructuras más ligeras. Existe una evidencia para esperar que esta tendencia continúe y que
se tenga una necesidad mayor de desarrollar en el futuro el análisis de las vibraciones.
Una vibración mecánica se produce casi siempre cuando un sistema es desplazado desde un posición de
equilibrio estable. El sistema tiende a regresar a esa posición bajo la acción de fuerzas de restitución (ya sean
fuerzas elásticas, como en el caso de la masa unida a un resorte, o fuerzas gravitacionales en el caso del
péndulo).
Cuando el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución se dice que la vibración es una
vibración libre. Cuando se aplica una fuerza periódica al sistema, el movimiento resultante se describe como
una vibración forzada. Cuando los efectos del rozamiento pueden despreciarse se dice que las vibraciones son
no amortiguadas. Pero en realidad todas las vibraciones son amortiguadas hasta cierto grado. Si una vibración
libre es sólo ligeramente amortiguada, su amplitud decrece lentamente hasta que después de cierto tiempo el
movimiento se detiene. Pero el amortiguamiento puede ser lo bastante grande para impedir cualquier
vibración real; el sistema regresa entonces lentamente a su posición inicial. Una vibración forzada
amortiguada dura tanto como dura la aplicación de la fuerza periódica que produce la vibración. Pero la
amplitud de la vibración se modifica por la magnitud de las fuerzas de amortiguamiento.
3. ¿Qué métodos existen para determinar las propiedades de los materiales que se encuentran sometidos a
esfuerzos dinámicos (ensayos de fatiga)?
En las máquinas, la mayoría de los elementos están sometidos a esfuerzos variables,
producidos por cargas sucesivas y repetidas. Los elementos sujetos a este tipo de esfuerzos se rompen o fallan,
frecuentemente, para un valor de esfuerzo mucho menor que el de ruptura correspondiente, determinado por el
clásico ensayo estático de tensión. Este tipo de falla se denomina ruptura por fatiga. Para el diseño correcto de
elementos sometidos a esfuerzos alternados, es necesario conocer el esfuerzo que puede aplicarse, sin que el
elemento se rompa, un número indefinido de veces, o el esfuerzo (algo más alto) que puede quedar aplicado a
un cierto número limitado de veces, caso que es importante ya que a veces se diseñan máquinas o elementos
que sólo se utilizan ocasionalmente y que pueden tener, por tanto, una vida larga sin que el número de veces
que se hayan aplicado las cargas sea demasiado grande.
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El ensayo para determinar estos valores se llama ensayo de fatiga. El procedimiento más sencillo consiste en
la flexión alternada. Una probeta de sección circular se monta sobre unos cojinetes y su parte central queda
sometida a un momento
flexionante puro bajo la acción de una carga. Al girar la varilla mediante un motor, una fibra que inicialmente
estuviera en la parte superior y, por tanto, comprimida, pasa a la parte inferior y queda sometida a tensión, de
nuevo a compresión y así sucesivamente, de manera que en cada vuelta se produce una inversión completa de
esfuerzos. También se llevan a cabo pruebas de fatiga en muestras tensiles cargadas axialmente, en muestras
flexionadas o en otras colocadas bajo torsión, posiblemente el tipo más común de carga sea el que se produce
al aplicar una carga a una viga en rotación. Lo más probable es que esta última se sostenga en ambos
extremos, aplicando la carga entre los soportes. Las cargas para vigas en rotación se aplican por medio de
chumaceras, que permiten que la viga gire libremente.
Bibliografía:
R.C. Hibbeler. Engineering Mechanics. Statics and Dynamics.Prentice Hall. Edición: 7ª.1995. EUA.
F. P. Beer & E. R. Johnston. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinámica.. McGraw Hill. 5ª. 1990. México.
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