TEMA 5: TRANSFORMACIONES LINEALES

TEMA 5: TRANSFORMACIONES LINEALES
● En muchas ocasiones transformar el conjunto de datos de
una
variable
facilita
su
estudio,
ya
que
genera
distribuciones más simples y con buenas propiedades
(Ejemplo: simetría, media cero, desviación típica igual a
uno…).
● En los temas anteriores ya hemos visto el efecto que tenían
algunas transformaciones de los datos en las medidas de
posición y dispersión estudiadas.
● En este tema nos vamos a centrar en las transformaciones
lineales (repasando sus efectos sobre las principales
medidas de descripción numérica de los datos) y
especialmente en los datos tipificados.
1
Transformaciones lineales en las variables
● La transformación lineal en los datos consiste en
multiplicarlos todos por un mismo número y luego
sumarles una cantidad igual a todos.
● Es decir, si se dispone de los datos:
x1 , x2 ,..., x N
los nuevos datos:
y1  ax1  b, y2  ax2  b, ..., y N  ax N  b
son una transformación lineal de los iniciales.
● Ejemplo: y  ax  b 
x
1
2a 
b2
3
3
x1  6, x2  3, x3  0, x4  6, x5  9
x1
x
x
 2  0, y2  2  2  1, y3  3  2  2,
3
3
3
x
x
y4  4  2  4, y5  5  2  5
3
3
y1 
2
● Recordemos de los temas anteriores el efecto de las
transformaciones lineales sobre las medidas de posición y
dispersión:
Si y  ax  b entonces:
Medidas de posición:
Media
→ y  ax  b
Mediana
→ med y  amed x  b
Medidas de dispersión:
Desviación típica
→ S y  a Sx
MEDA
→ MEDAy  a MEDAx
Rango Intercuartílico → RI y  a RI x
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Datos tipificados
● La transformación lineal más importante desde el punto de
vista estadístico consiste en tipificar las observaciones.
● Dado un conjunto de datos:
x1 , x2 ,..., x N
las observaciones tipificadas se construyen restando a cada
dato la media x y dividiéndolo por la desviación típica S x .
Así, los datos tipificados serán:
z1 
● Al
x1  x
x x
x x
, z2  2
, ..., z N  N
Sx
Sx
Sx
tipificar
una
variable
estamos
transformación lineal z  ax  b en la que:
a
1
Sx
b
4
x
Sx
haciendo
una
● El conjunto de datos tipificado tiene media cero y
desviación típica uno, es decir, z  0 y Sz  1.
z  ax  b 
Sz  a S x 
x
x

0
Sx Sx
Sx
1
Sx
Ejemplo:
Dado el conjunto de datos:
x1  2 x2  4 x3  6 x4  8
con:
4
x
x
i

i1
4
20
5
4
4
Sx 
x
2
i
i1
4
 x2 
120
 25  2,236
4
5
los datos tipificados serán:
25
45
 1,342 z2 
 0,447
2,236
2,236
65
85
z3 
 0,447 z4 
 1,342
2,236
2,236
z1 
con:
4
z
z
i

i1
4
0
0
4
4
Sz 
z
2
i
i1
4
 z2 
4,001
1
4
● Una variable tipificada expresa el número de desviaciones
típicas que cada observación dista de la media. Esto nos
permite comparar la posición relativa de cada dato en
diferentes distribuciones.
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Ejemplo:
Los estudiantes de una clase han realizado dos pruebas: A
y B.
Prueba A: Calificación media= x A  6,23 con Sx A  2,3
Prueba B: Calificación media= x B  5,2
con Sx B  1,3
Un estudiante ha obtenido 6,84 en la prueba A y 6,31 en la
B, ¿qué resultado es mejor comparativamente?
El 6,31 de la prueba B
Si tipificamos ambos resultados con respecto a sus
distribuciones tenemos:
6,84  6,23
 0,26
2,3
6,31  5,2
zB 
 0,85
1,3
zA 
El resultado de 6,31 en B es comparativamente mejor que
el 6,84 en A, aunque éste último sea mayor en términos
absolutos. (Ver Figura 6.1 de Peña y Romo)
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Ejercicio:
Las notas finales de una clase han sido:
Matemáticas:
x M  4 Sx M  18
,
Dibujo:
xD  7 S x D  1
Un alumno obtuvo un 6,25 en matemáticas y un 8 en
dibujo, ¿En qué asignatura tuvo mejor posición relativa?
Si tipificamos cada valor respecto a su distribución:
zM 
6,25  4
 1,25
1,8
zD 
87
1
1
Comparado con el resto de la clase ha obtenido mejor
calificación en Matemáticas.
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