Soluciones Hoja 5

Instituto de Educación Secundaria SANTA CLARA
Departamento de Matemáticas
1º BACHILLERATO CT
Hoja 5 (Problemas de sistemas)
En todos los problemas, indicar DATOS, INCÓGNITAS, PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN (POR
GAUSS), SOLUCIÓN
1
En una librería se han obtenido 335€ por la venta de 21 libros. Se venden tres tipos de
ediciones: lujo, normal y de bolsillo. Calcular cuántos libros de cada tipo se han vendido,
sabiendo que la edición de lujo se vende a 32€, la normal a 16€ y los de bolsillo a 7€. Por
otra parte se sabe que la suma de los libros de bolsillo y de lujo es el doble que los
normales. Indicar el tipo de sistema que resulta.
x  y  z  21
x  5

32x  16y  7z  335  y  7
z  9
x  z  2y

2
Juan y Pedro invierten 2 000€ cada uno. Juan coloca una cantidad A al 4% de interés, una
cantidad B al 5% y el resto al 6%. Pedro invierte la misma cantidad A al 5%, la B al 6% y el
resto al 4%. Halla las respectivas cantidades si se sabe que Juan obtuvo unos intereses de
105€ y Pedro de 95€
A  B  C  2000
 A  500

0,04A  0,05B  0,06C  105 B  500
0,05A  0,06B  0,04C  95 
C  1000
3
Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un total de 2 000€. Si el
número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 20, averigua cuántos
billetes de cada tipo hay en el cajero.
x  y  z  95
 x  50

10x  20 y  50z  2000 y  25
 z  20
x  2y

4
En una comunidad de vecinos se quiere hacer un arreglo. El coste, dividido entre todos,
sale 200 euros, pero hay ocho de ellos que no quieren colaborar. Los demás calculan que
prescindiendo de estos, les saldrá a 250 euros. Calcula cuántos vecinos hay en la
comunidad y cuánto cuesta la obra.
x  40

y  8000
x  825  y 
200x  y
5
Un cliente gasta 150€ en 12 artículos: discos, libros y carpetas. Cada disco cuesta 20 €,
cada libro 15€ y cada carpeta 5€. Entre discos y carpetas hay el triple que libros. Halla
cuántos artículos de cada tipo adquiere.
x  y  z  12
x  4

20x  15y  5 z  150 y  3
z  5
x  z  3y

6
Un padre, el día de su cumpleaños da a sus tres hijos una cantidad de dinero. Averigua lo
que recibe cada uno si se sabe: a la hija mayor le corresponde la media de la parte de los
otros dos, más 3€; a la segunda la media de las partes de los otros dos y al pequeño la
media de los otros dos menos 48€.
yz

3 
2

xz

y
 No tiene solución
2

x y

z
 48
2

x
7
Tres batidos de zumos de frutas A, B y C han sido hechos poniendo en cada litro las
siguientes cantidades de zumo de pera, zumo de piña y zumo de uva:
A: 600 cl de zumo de pera, 300 cl de zumo de piña y 100 cl de zumo de uva
B: 300 cl de zumo de pera, 400 cl de zumo de piña y 300 cl de zumo de uva
C: 200 cl de zumo de pera, 600 cl de zumo de piña y 200 cl de zumo de uva
¿Cuántos cl deben tomarse de cada batido para hacer otro que contenga 370 cl de zumo de
pera, 400 cl de zumo de piña y 200 cl de zumo de uva?
600
300
200

x
y
z  370
1000 1000
1000
 x  340
300
400
600

x
y
z  335 y  400
1000 1000
1000
 z  230
100
300
200

x
y
z  200
1000 1000
1000

8
De un número de tres cifras se sabe que la suma de estas es 15. Si se intercambian las
unidades y las decenas, el número aumenta 54 unidades y la cifra de las unidades es el
cuádruplo que la de las decenas. Calcula dicho número.
x  y  z  15
x  5

100x  10y  z  100x  10z  y  54 y  2
z  8
z  4y

9
Resuelve (si es posible) los siguientes sistemas, aplicando el método de Gauss
2 x  3 y  5 z  10

a) 3 x  2 y  z  8
5 x  5 y  4 z  18

a) (x=1, y=33/13, z= - 1/13)
SCD
x  4 y  5

b) 3 x  y  7
4 x  3 y  11

b) No existe solución
SI