TEMA 5 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

ESTADÍSTICA D37. tema 5
TEMA 5
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.5.6.5.1.-
Introducción
Distribuciones estadísticas bidimensionales: tabla de correlación
Representaciones gráficas: diagrama de dispersión
Distribuciones marginales
Distribuciones condicionadas. Caso de independencia estadística
Covarianza. Caso de independencia
Introducción
Estudiaremos dos características de un mismo elemento de la población (altura y peso, dos asignaturas,
longitud y latitud).
De forma general, si se estudian sobre una misma población y se miden por las mismas unidades
estadísticas una variable X y una variable Y, se obtienen series estadísticas de las variables X e Y.
Considerando simultáneamente las dos series, se suele decir que estamos ante una variable estadística
bidimensional.
5.2.- Distribuciones estadísticas bidimensionales: tablas de doble entrada o de contingencia o de
correlación
Tablas de doble entrada o de contingencia
Sea una población estudiada simultaneamente según dos caracteres X e Y; que representaremos
genéricamente como (xi; yj ; nij), donde xi; yj, son dos valores cualesquiera y nij es la frecuencia absoluta conjunta
del valor i-ésimo de X con el i-ésimo de Y.
Una forma de disponer estos resultados es la conocida como tabla de doble entrada o tabla de
contingencia, la cual podemos representar como sigue:
Y
…..
…..
y1
y2
yj
yk
ni .
X
x1
n11
n12
…..
n1j
…..
n1k
n1 .
x2
n21
n22
…..
n2j
…..
n2k
n2 .
.
.
.
.
.
.
.
.
….
.
.
.
.
….
.
.
.
.
.
xi
ni1
ni2
…..
nij
…..
nik
ni .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
….
.
.
.
.
.
….
.
.
.
.
.
.
.
xh
nh1
nh2
…..
nhj
…..
nhk
nh .
n. j
n. 1
n. 2
…..
n. j
…..
n. k
N
En este caso, n11 nos indica el número de veces que aparece x1 conjuntamente con y1;
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n12, nos indica la frecuencia conjunta de x1 con y2, etc.
5.3.-
Representaciones gráficas: diagrama de dispersión o nube de puntos
Representamos en ejes coordenados, una de las dos variables en el eje X, y la otra en el eje Y. Para indicar
el número de coincidencias, o bien ponemos símbolos diferentes, o bien indicamos entre paréntesis, el número n ii.
Nube de puntos
Pesos (kg.)
82
77
72
67
62
57
150
155
160
165
170
175
180
Alturas (cm.)
5.4.-
Distribuciones marginales
Dada la distribución bidimensional (xi ; yj ; nij), se llaman distribuciones marginales a cada una de las dos
distribuciones unidimensionales que se pueden obtener, de forma que en cada una de ellas no se tenga en cuenta
la otra, es decir, dada la siguiente distribución bidimensional;
Y
X
y1
y2
y3
y4
ni.
x1
n11
n12
n13
n14
n1 .
x2
n21
n22
n23
n24
n2.
x3
n31
n32
n33
n34
n3 .
x4
n41
n42
n43
n34
n4.
n.j
n.1
n.2
n.3
n.4
N
podemos obtener las siguientes distribuciones marginales
X
Y
xi
ni.
yj
n.j
x1
n1.
y1
n.1
x2
n2.
y2
n.2
x3
n3 .
y3
n.3
x4
n4.
n
y4
n.4
n
Por tanto, podemos decir:
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n
N
i 1
j 1
 n j .   n. j   nij  n
5.5.-
Distribuciones condicionadas. Caso de independencia estadística
Al poner una restricción o condición a una de las dos variables, tenemos las distribuciones condicionadas.
Se las suele representar como:
X/Y , indica que el valor de X viene condicionado por Y
Y/X indica que el valor de Y viene condicionado por X
Independencia estadística
Se dice que dos variables X e Y son independientes estadísticamente cuando la frecuencia relativa conjunta
es igual al producto de las frecuencias relativas marginales en todos los casos, es decir:
nij
n n. j
Para todo i, j
 i .··
n
n n
Si esto no se cumple para todos los valores se dice que hay dependencia estadística.
5.6.-
Covarianza. Caso de independencia
En el estudio conjunto de dos variables, lo que nos interesa principalmente es saber si existe algún tipo de
relación entre ellas. Esto se ve gráficamente con el diagrama de dispersión. Veremos ahora una medida descriptiva
que sirve para medir o cuantificar esta relación:
n
k
S xy  
i 1 j 1
( x i  x )( y j  y )n ij
n
Si Sxy >0 hay dependencia directa (positiva), es decir a grandes valores de x corresponden grandes
valores de y.
Si Sxy = 0 las variables están incorreladas, es decir no hay relación lineal.
Si Sxy < 0 hay dependencia inversa o negativa, es decir a grandes valores de x corresponden grandes
valores de y.
Gráficamente, indicaría la Covarianza, que los datos, se ajustan a una recta, en los siguientes casos:
Sxy >0
Sxy<0
PROPIEDADES DE LA COVARIANZA:
1.- Si a todos los valores de la variable x, les sumamos una constante k y a todos los valores de la variable y les
sumamos una constante k’, la covarianza no varía.
2.- Si a todos los valores de una variable x los multiplicamos por una constante k y a todos los valores de la variable
y los multiplicamos por una constante k’, su covarianza queda multiplicada por el producto de las constantes.
3.- A partir de las anteriores: si tenemos dos variables x, y con la covarianza Sxy, y transformaciones lineales de las
variables de la forma z=ax+b, y t=cy+d, la nueva covarianza se relaciona con la anterior de la forma:
Szt=acSxy.
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4.- Otra forma de calcular la Covarianza sería: S xy   
i
x i y j n ij
n
j
 X Y . Será la que utilizaremos en
la práctica.
NOTA: El inconveniente de la covarianza, como medida de asociación es su dependencia de las unidades. Habrá
que definir una nueva medida, que no está afectada por los cambios en las unidades de medida. Esta medida será
el coeficiente de correlación lineal rxy, con la siguiente expresión:
S xy
r xy 
Sx Sy
siendo Sx y Sy las desviaciones típicas de x e y. Este coeficiente es adimensional y siempre estará entre –1 y
1.



Si hay relación lineal positiva, rxy>0 y próximo a 1.
Si hay relación lineal negativa rxy<0 y próximo a –1.
Si no hay relación lineal rxy será próximo a 0.
Nota: Cuando las variables x e y son independientes, Sxy =0, y por tanto rxy=0. Es decir, si dos variables son
independientes su covarianza vale cero. No podemos asegurar lo mismo en sentido contrario. Si dos
variables tienen covarianza cero, no podemos decir que son independientes. Sabemos que linealmente no
tienen relación, pero podrían tener otro tipo de relación y no ser independientes.
Ejemplo: A partir de los siguientes datos, vamos a calcular la Covarianza y el coeficiente de correlación:
Altura
Peso
175 180 162 157 180 173 171 168 165 165
80 82 57 63 78 65 66 67 62 58
Los cálculos que necesitamos:
x  169'6
s xy
s x  7'2139
s y  8'7567
y  67'8
175  80  180  82  162  57  

 169'6  67'8  52'32
10
Ahora se puede calcular el coeficiente de correlación lineal rxy y el de determinación lineal R2
52'32
rxy 
 0'8282
7'2139  8'7567
que nos indica que las variables están relacionadas.
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