Tarea1 2007 1

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
PRIMERA TAREA: INTRODUCCIÓN ANÁLISIS NUMÉRICO
Fecha de entrega: Abril 09 2007
Pregunta 1
Considere el número x representado en punto flotante normalizado en base 10, esto
es: ε 0.α1 . . . αt αt+1 ∗ 10b , con b ∈ Z, ε ± 1, α1 ≥ 1, αi ∈ {0,1,2...9}, i = 2,3,4 . . .,t,t+1
Redondear x a t dı́gitos significativos de la manera siguiente:
a) si αt+1 < 5 haga rd(x) = ε(0.α1 . . . αt ) ∗ 10b
b) si αt+1 ≥ 5 haga rd(x) = ε(0.α1 . . . αt + 10−t ) ∗ 10b
Obtenga las isguientes afirmaciones:
i) |rd(x) − x| ≤ 0.5∗10b−t
ii)
|rd(x)−x|
|x|
≤ EP S en que EP S = 10−t
Pregunta 2
Pruebe la siguiente afirmación en base 2 y 10.
S
x +∗ y = x si |y| ≤ EP
|x|, x ,y ∈ A
B
Donde B es la base del sistema de números, A es el conjunto de números de máquina y
EPS es la precisión de la máquina definida como:
EP S = min{g ∈ A|1 +∗ g > 1 y g > 0}
Pregunta 3
"
Sea
n
X
1
ϕ(n) = n! e −
i!
i=0
#
n = 0, 1, 2, . . .
a) Demuestre que ϕ(n) es monótona decreciente y que
lı́m ϕ(n) = 0
n→+∞
b) Demostrar que ϕ(n + 1) = (n + 1)ϕ(n) − 1
Presente sus resultados de la forma:
1
n = 0, 1, 2, . . .
n
ϕ(n)
c) Con el algoritmo dado en b) calcular ϕ(15) con 8 decimales.
d) Determine la fuente de error en sus resultados y modifique el algoritmo dado en b)
para corregir sus resultados
e) ¿Cómo puede asegurarse de la confiabilidad de los nuevos resultados.
Pregunta 4
Encuentre la menor raı́z positiva de la ecuación:
1+
∞
X
(−1)n x2n
n=1
22n (n!)2
=0
con la menos 6 D.S. Justifique claramente su respuesta.
OBS.
a) Se dice que x̃=0.a1 a2 . . . an ∗ 10σ , σ ∈ Z
menos m D.S. si |x-x̃| ≤0.5∗10σ−m
a1 6= 0 es una aproximación de x de al
b) Lo que debe justificar es el doble proceso de aproximación que debe efectuar
Pregunta 5
1)El siguiente sistema de ecuaciones no lineales se encuentra vinculado a un problema
de astronomı́a:
p3 =
α3
T 2 (µ1 + µ2 )
(1)
−m1 − 0,2 = 5 ln(p) + 8,75 ln(µ1 )
(2)
−m2 − 0,2 = 5 ln(p) + 8,75 ln(µ2 )
(3)
donde son µ1 , µ1 , p magnitudes positivas. Dados los valores T = 88 años,α = 4.6 seg.
de arco, m1 = 4,2 m2 = 6,0 y encuentre las soluciones para p, µ1 y µ2
R.A.F/W.B/2007
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