Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas
Probabilidad y Estadística
28 de Noviembre de 2007
Probabilidad
1. Un examen de estadística es tipo test, tiene 20 preguntas y cada una consta de 4
posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. El alumno debe responder
escogiendo sólo una de ellas. La puntuación del alumno es X = A – (F/3), siendo A el
número de aciertos, y F el número de fallos. Si un alumno contesta de forma aleatoria
todas las preguntas, calcular:
a) La esperanza y la varianza de X
b) La probabilidad de que el alumno apruebe.
2. Se considera una célula en el instante t=0. En el instante t=1 la célula puede: bien
reproducirse, dividiéndose en dos, con probabilidad 3/4, o bien morir con probabilidad
1/4. Si la célula se divide, entonces en el tiempo t=2 cada uno de sus dos descendientes
puede también subdividirse o morir, con las mismas probabilidades que antes,
independientemente uno de otro. Sea X = número de células que hay en el tiempo t=2.
Dar la función de probabilidad de X.
3. La duración T (meses) de cierto tipo de bombillas verifica
1
PT  t  
t0
1 t
Se instalan 3 de estas bombillas. Sabiendo que después de un mes las tres seguían
funcionando, calcular la probabilidad de que después de nueve meses al menos una siga
funcionando.
Estadística
4. En una experiencia de agricultura genética se midió el diámetro de 20 tomates,
resultando
8 8.2 7.7 7.8 8.1 8 8.2 8.1 7.6 8.1
8.1 8.2 8.9 9.2 5 8.7 7.2 7 9.9 7
Suponiendo que el diámetro de un tomate sigue una distribución normal, hallar
intervalos de confianza
a) Para la media, al 95% y decir si puede aceptarse que la media es de 8 cm.
b) Para la varianza al 95 %.
5. Se lleva a cabo un experimento para comparar la habilidad de hombres y mujeres
armando cierta pieza de un proceso de producción. Se sabe de experiencias anteriores
que los tiempos son normales y la media es aproximadamente la misma para ambos
sexos, pero se cree que la varianza para las mujeres es menor. Se trabajó con un grupo
de 11 hombres y 14 mujeres y se obtuvo unas desviaciones típicas de 6.1 y 5.3,
respectivamente. Estudiar la hipótesis de que las varianzas son distintas con confianza
del 90 %.
6. En un colegio se tienen los datos siguientes de niños inmigrantes extranjeros
europeos asiáticos africanos americanos
57
14
36
51
Se elige un grupo de 40 niños para hacer un estudio de inmigración y se obtiene
europeos asiáticos africanos americanos
12
3
16
9
¿Puede decirse que los 40 niños son una muestra aleatoria simple de los niños
inmigrantes de ese colegio?




El examen dura 3 horas.
Para aprobar la nota media de las dos partes debe ser superior o igual a 5.
Cada parte se puntúa de 0 a 10. Para sacar nota media cada parte debe
tener al menos un 4.
Todas las preguntas puntúan igual (3.3 ptos.)
Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas
Probabilidad y Estadística
28 de Noviembre de 2007
Probabilidad
2. Un examen de estadística es tipo test, tiene 20 preguntas y cada una consta de 4
posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. El alumno debe responder
escogiendo sólo una de ellas y no puede dejar preguntas sin contestar. La puntuación del
alumno es X = A – (F/3), siendo A el número de aciertos, y F el número de fallos. Si un
alumno contesta de forma aleatoria todas las preguntas, calcular:
c) La esperanza y la varianza de X
d) La probabilidad de que el alumno apruebe.
Solución:
Sea A = número de aciertos en las 20 preguntas, A B(20, 0.25).
El número de fallos, suponiendo que contesta todas las preguntas, es F = 20-A
a)
20  A 
20  EA
20  5

EX   E  A 
 EA 
 5
0

3 
3
3

20  A 
16

 4 A  5 16
varX   var A 
 var
 varA  5  varA 


3 
9

 3  9
16
16 1 3 20
 np1  p   20

 6,66
9
9
44 3
b) En cuanto a la calificación suponemos que cada pregunta vale un punto y que
por tanto se está puntuando de 0 a 20, con lo que aprobar debe ser sacar 10
puntos o más.
20  A 4 A  20
X  10  A 

 10  A  12 ,5
3
3
Para aprobar debe contestar al menos 13 preguntas bien
P X  10  P A  12  1  P A  12  1  0.9998 0.0002
Sólo 2 de cada 10000 veces un alumno podría aprobar el examen rellenando las
preguntas al azar.
2. Se considera una célula en el instante t=0. En el instante t=1 la célula puede: bien
reproducirse, dividiéndose en dos, con probabilidad 3/4, o bien morir con probabilidad
1/4. Si la célula se divide, entonces en el tiempo t=2 cada uno de sus dos descendientes
puede también subdividirse o morir, con las mismas probabilidades que antes,
independientemente uno de otro. Sea X = número de células que hay en el tiempo t=2.
Dar la función de probabilidad de X.
Solución:
Los sucesos elementales posibles son:
1. Que la célula muera en el instante t=1, X=0
2. que la célula se subdivida en el instante t=1 en A1 yA2 y en t=2
i. que A1 muera y A2 muera, X=0
ii. que A1 se subdivida y A2 muera, X=2
iii. que A1 muera y A2 se subdivida, X=2
iv. que A1 se subdivida y A2 se subdivida, X=4
El recorrido de la variable aleatoria X por tanto es 0,2,4. Las probabilidades
asociadas
1 311
P X  0  
4 444
331
P X  2  2
444
333
P X  4 
444
3. La duración T (meses) de cierto tipo de bombillas verifica
1
PT  t  
t0
1 t
Se instalan 3 de estas bombillas. Sabiendo que después de un mes las tres seguían
funcionando, calcular la probabilidad de que después de nueve meses al menos una siga
funcionando.
Solución:
Sea X = número de bombillas que funcionan al cabo de los 9 meses de las 3
instaladas, X es binomial B(3, p), siendo p la probabilidad de que una bombilla
funcione 9 meses o más sabiendo que ha durado al menos 1 mes, es decir
1
PT  9  T  1 PT  9 1  9
p  PT  9 / T  1 


 0.2
1
PT  1
PT  1
11
Ahora la probabilidad pedida es
3
P X  1  1  P X  0   1   3 1  p   1  0.8 3  0.488
0
 
Estadística
4. En una experiencia de agricultura genética se midió el diámetro de 20 tomates,
resultando
8 8.2 7.7 7.8 8.1 8 8.2 8.1 7.6 8.1
8.1 8.2 8.9 9.2 5 8.7 7.2 7 9.9 7
Suponiendo que el diámetro de un tomate sigue una distribución normal, hallar
intervalos de confianza
a) Para la media, al 95% y decir si puede aceptarse que la media es de 8 cm.
b) Para la varianza al 95%.
Solución:
Sea X = diámetro de un tomate, X  N  μ ,σ  , tenemos X  7.95, S  0.9838

S  
0.9838
I μ , 0.95   X  t19 ;0.975
  7.95  2.093

n 
20  Como el intervalo cubre

 7.95  0.4604  7.4895,8.4104
el valor 8 puede aceptarse que la media del diámetro de los tomates es 8.
a)
 n  1S 2 n  1S 2  19  0.9678 19  0.9678
b) I σ 2 ,0.95   2
, 2
,
 0.559, 2.064

8.907 
 Χ n1;1α 2  Χ n1; α 2   32.852
5. Se lleva a cabo un experimento para comparar la habilidad de hombres y mujeres
armando cierta pieza de un proceso de producción. Se sabe de experiencias anteriores
que los tiempos son normales y la media es aproximadamente la misma para ambos
sexos, pero se cree que la varianza para las mujeres es menor. Se trabajó con un grupo
de 11 hombres y 14 mujeres y se obtuvo unas desviaciones típicas de 6.1 y 5.3,
respectivamente. Estudiar la hipótesis de que las varianzas son distintas con confianza
del 95 %.
Solución:
Sea X = tiempo que tarda un hombre en armar la pieza, X  N  μ1 ,σ1 
Y = tiempo que tarda una mujer en armar la pieza, Y  N  μ2 ,σ 2 
Fijamos el nivel de significación  = 0.1 y planteamos el contraste unilateral
H 0 : σ12  σ 22
H : σ 2  σ 2
2
 1 1
S12 6.12

 1.325 F10 ,13
S22 5.32
 F10 ,13;0.95 ,   2.67, 
El estadístico del contraste es
La región crítica es RC0.05
No hay evidencia de que las varianzas sean distintas.
6. En un colegio se tienen los datos siguientes de niños inmigrantes extranjeros
europeos asiáticos africanos americanos
57
14
36
51
Se elige un grupo de 40 niños para hacer un estudio de inmigración y se obtiene
europeos asiáticos africanos americanos
12
3
16
9
¿Puede decirse que los 40 niños son una muestra aleatoria simple de los niños
inmigrantes de ese colegio?
Solución:
Para que la muestra sea aleatoria debe representar convenientemente a la
población de la que procede (los niños inmigrantes del colegio en cuestión). Por
tanto deben mantenerse aproximadamente las proporciones de cada una de las
clases también en la muestra.
Es un problema de bondad de ajuste, las proporciones verdaderas son:
p1 = P(europeo) = 57/158
p2 = P(asiático) = 14/158
p3 = P(africano) = 36/158
p4 = P(americano) = 51/158
Lo que queremos estudiar las proporciones se mantienen, aproximadamente, en
los 40 niños elegidos
H 0 : las proporciones son las descritas
H : las proporciones son otras
 1
Las frecuencias observadas son las de la segunda tabla. Las frecuencias
esperadas son
57
E1  np1  40
 14.43
158
14
E 2  np 2  40
 3.54
158
36
E3  np 3  40
 9.12
158
51
E 4  np 4  40
 12.91
158
El estadístico del contraste es:
4
Oi  Ei 2 4 Oi 2

 n  46.866  40  6.866 Χ 32

Ei
i 1
i 1 Ei
La región crítica para significación 0.05 es
RC0.05  Χ32,0.95 ,   9.36, 


El valor del estadístico no cae en la región crítica por tanto no hay evidencia en
la muestra de que las proporciones de las distintas procedencias sean diferentes
a las globales del colegio y por tanto podemos considerar que los 40 niños sobre
los que se va a realizar el estudio constituyen una muestra aleatoria de todos los
niños inmigrantes del colegio.