FUNCIONES - ies catalina de lancaster

FUNCIONES
1.- Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
2.- Se considera la función f(x) =
. Halla su dominio, las imágenes de 1, 1/3, 4/5, 7.3 y de 10. Halla las imágenes inversas de –1, 3, 3/5 y de 100. Halla la expresión
de f-1(x).
3.- Dadas las funciones: f(x) =
, g(x) =
, h(x) =
, calcula: a) f(g(x)), b) g(h(x)), c) g(h(f(x))), d) g-1(x), e) f-1(x) e) Su dominio
4.-Halla la función inversa y el dominio de: a)
5.- Si f(x) = x2 – 5, g(x) = 2+
f -1(x), g –1(x), h-1(x).
, h(x) =
b)
c)
, calcula f(g(x)), h(h(x)), g(h(x)),
6.- Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) =
1
, b) g(x) =
7.- Representa gráficamente las funciones:
8.- Dada la función
, se pide:
a) Dominio, asíntotas, monotonía y corte con los ejes
b) Representación gráfica
9.- Representa gráficamente las funciones: f(x) = 3x – 4, g(x) = |3x – 4|, h(x) = x2 –13x
+40,
i(x) = | x2 –13x +40|
10.- Representa las funciones: f(x) = -x2 +8x – 15, y a partir de esta representa: |f(x)|,
f(x) + 4,
f(-x), -f(x)
, f(2x), f(x – 4), f(x+3) –4,
11.- Representa la función:
12.- Sea la función
a) Representa gráficamente la función b) Calcula asíntotas, dominio, corte con los
ejes y monotonía
13.- Sea la función:
2
a) Representación gráfica
b) Indica Dominio, Corte con los ejes, Asíntotas, Monotonía y Extremos
14.- Halla los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
INTERPOLACIÓN
1.- Se sabe que el peso ideal de correspondiente a las alturas de los hombres se rige por
una función lineal. Sabemos que a una altura de 165 cm y a una de 170 cm,
corresponden los pesos ideales de 68 kg y de 72 kg., respectivamente. Obtén por
interpolación la función lineal correspondiente. ¿Cuál es el peso adecuado para un
hombre que mide 172 cm? ¿Y cuál es la altura de un hombre que tiene un peso ideal de
70 kg?
2.- El número de turistas que visitaron España en el periodo 1970 a 1985 siguió la
siguiente tendencia: año 1970 – 24.1 millones de turistas, año 1975 – 30.1 millones de
turistas, año 1980 – 38,1 millones de turistas, y 1985 – 43.1 millones de turistas.
a) Halla la previsión para el año 1988 a partir de la función de interpolación lineal que
obtienes a partir de los datos correspondientes a 1980 y 1985. b) Realiza la misma
previsión utilizando el polinomio de interpolación de 2º grado (interpolación cuadrática)
utilizando la información de los últimos tres años.
3.- Hallar por interpolación cuadrática la función que pasa por los puntos (1,7), (2,10),
(3,13)
PROBLEMAS CON FUNCIONES:
1.- Se considera la función f(x) = ka2x. Sabemos que f(0) = 20 y que para x = -1 la
función toma el valor 5. Halla la función (es decir: determina "k" y "a"). Representa la
función obtenida.
2.- Una población de insectos crece de acuerdo con la siguiente ley: y = 1+2ex, donde y
representa el número de insectos expresado en miles y x es el tiempo transcurrido
expresado en meses. ¿En cuánto tiempo se duplica la población? Dibuja la función
dando valores, o bien utilizando una calculadora gráfica o algún programa de ordenador.
3
3.- En un mercado potencial de 1000000 de personas, la proporción de ellas que
responden a la publicidad de un nuevo artículo viene dada por la función exponencial
y=1-e-0.001t , donde t es el tiempo, medido en días a partir del primero en que el producto
está en el mercado.
La campaña de publicidad ha costado 3000000 pts, y cada día que se emite el anuncio
en televisión, supone un gasto de medio millón de pts. Se sabe además, que cada unidad
del producto se vende a 700 pts. Se pide:
a) ¿Cuántas personas compran el producto el primer día de su comercialización?
b) ¿Cuántas lo hacen el segundo día?
c) ¿Cuántas lo hacen el día t?
d) ¿Cuál es la función g(t) que expresa el gasto en publicidad en función del tiempo?.
e) ¿Cuál es la que expresa el beneficio B(t)?.
f) Halla el gasto a los 20 días de iniciada la campaña.
g) Halla el beneficio a los 30 días de iniciada la campaña.
h) Representa en papel milimetrado o cuadriculado la funciones V(t) y g(t). V(t) nos da
el importe de las ventas conseguidas y g(t) que nos da el gasto en publicidad, ambas
hasta el día t.
i) Indica el día a partir del cual el beneficio empieza a ser positivo.
4.- Se considera la función f(x)=k a2x de la que se sabe que inicialmente vale 20 y que
para x=-1 vale 5. Hallar k y a y representarla para estos valores.
5.- Una población de insectos crece con arreglo a la ley y=1+2ex, (y son los insectos en
miles, x es el tiempo en meses). a) Haz una gráfica de la función. b) ¿En cuánto tiempo
se duplica la población inicial?
6.- El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo
t, en años, viene dado por la función:
a) ¿Cuál será el valor de las existencias para
? ¿Y para
?
b) ¿Cuál es el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcanza?
c) ¿En qué instante el valor de las existencias es de 185 millones de euros?
7.- El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene
dado por la función:
a) Representa gráficamente esta función.
b) Determina el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el
beneficio sea máximo.
c) Determina cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que
la empresa no tenga pérdidas.
4
8.-Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función,
indica su dominio, su imagen y los puntos de corte con los ejes.
9.- En las siguientes gráficas determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento e
indica los mínimos o máximos relativos y absolutos(si los tiene).
5
10.- A partir de la gráfica, indica el tipo de simetría que presenta cada una de la
siguientes funciones:
LÍMITES




x2  x  2
1) lim3x  6 x  1 ; 2) lim x  2 x  1 ; 3) lim  3x  x ; 4) lim 2
;
x 
x  
x 1
x 1 x  2 x  1
1
x2  x  2
1 
 1
lim
5) lim 
;
6)
; 7) lim
;


2
2
x  1 x  2 x  1
x 
x  x  2
x 2
x  4x  4

x4
x 2  6x  9
x 2  25
lim
lim
8) lim
;
9)
;
10)
x 5 x 2  5 x
x   2 x 4  3 x 3  6
x 0
x2
x3  2x 2  x
x4  x2
 3x 5  x 2
lim
lim
11) lim
;
12)
;
13)
;
x 
x  x 5  1
x  
2x 2  6x
2x 2  1
2
2
6
3
14)
lim
x 
x2 1
;
x 1
x  13
x3  x  34
17) lim
;
1
x 3  6 x 2  5x
 x  1  x 3
15) lim 
16) lim 4
;
 ;
x 1 x  x 3  x  1
x 3  2 x  4 
x 3  5 x 2  3x  9
x 4  2x 3  x  2
lim
18) lim 3
;
19)
;
x  3 x  7 x 2  15x  9
x 2 x 3  4 x 2  11x  2
x 4  4 x 3  5x 2  4 x  4
x 4  6 x 2  8x  3
lim
;
21)
;
x 2
x 1 x 4  2 x 3  2 x  1
x 4  4x 3  4x 2
 x  2 x2  4 
x2
x2
 ; 23) lim
22) lim  2
,
24) lim

x

0
x 2
x


3
x  3 1
x  3 1
x 4 x2 
20) lim
 x 1 
25) lim 

x  x  2


3 X 4
 3x  1 

26) lim  2
x  3x  2 


2
;
X2
X 2
ASÍNTOTAS
Calcula las asíntotas de las siguientes funciones dibujando la situación de la
curva respecto a la asíntota en el caso de las verticales y horizontales
1+ x
2x + 3
2 2
d) f (x)= 2 x
x + x+3
3x + 1
x-3
c) f (x)= 2
x-4
x +1
2 x2
x
e) f (x)= 2
f) f (x)=
x -1
x -1
2
2
- 2 x +3
x
g) f (x)=
h) f (x)=
x+2
x +1
Sol: a) x=-3/2, y=1/2; b) x=4, y=3; c) y=0; d) y=2; e) x=1, x=-1, y=0; f) x=1,
y=2x+2
g) y=x-2
h) y=-2x+2
a) f (x) =
b) f (x) =
CONTINUIDAD
7
8
Soluciones:
6. Halla el valor de k para que sean continuas las funciones:
2
si x  0
si x  -2
 3+ x
 x +1


a) f(x)=  x + 1 si 0 < x < 2
b) f(x)=  - x - 1 si - 2 < x < 1


si x  1
k
si x  2
 k x+2

 x 2 + x - 2 si x  1
 x - 2 si x  2


x-1
c) f(x)= 
d) f(x)=  x 2 - 4


k si x = 1
k si x = 2


Sol: a) k=3; b) k=-4; c) k=3; d) k=1/4
9
PROBLEMAS DE DERIVADAS
1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2+x-3 en los intervalos:
a) [-1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6
3. Calcula aplicando la definición, la derivada de las funciones siguientes en el
punto de abscisa x = 1.
a) f(x) = x2-1; b) f(x) = x2+x+3;
c) f(x) = x3-3x2+x-2;
d) f(x)=3x-1;
e)f(x)= x ;
f) f(x)=(x-1)/(x+3)
Sol: a) 2; b) 3; c) -2; d) 3
7. Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) y = 4x5-3x4-3x
b) y = 2x-3
c) y = (2/3)x3- x +3/x
d) y = (5/2)x2+2x-3 x
e) y = (x+3)2 f) y = (x+2)(x+1)
Sol: Sol: a) 20x4-12x3-3; b) 2; c) 2x2-1/(2 x )-3/x2; d) 5x+2-3/(2 x ); e)
2(x+3);
8.
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) y = ln (3 x4 - 3 x3 )
b) y = cos( x3 - 2)
c) y = 3x+ 2
2
+3
d) y = x3
e) y = (2 x3 + 3 x2 ) . (3 x2 - 2x)
f) y = x2 + 2
x +3
3
4 3+2
g) y =
h) y = sen ln (3 x2 +1) 
i) y = x2
x
x +x
3
2
3
12 - 9 x
Sol: a) y = x4
; b) y = - sen ( x3 - 2) . 3 x2 ; c) y =
;
3
3 x -3 x
2 3x+ 2
2x ( x3 + 3) - 3 x2 ( x2 + 3)
d) y =
;
( x3 + 3 )2
e) y = (6 x2 +6x) . (3 x2 - 2x) + (2 x3 + 3 x2 ) . (6x- 2);
x
3
6x
f) y =
; g) y = - 2 ; h) y = cos ln (3 x2 + 1) 
;
2
3 x2 + 1
x
x +2
12 x2 . ( x2 + x) - (4 x3 + 2) . (2x+ 1)
( x2 + x )2
9. Calcula las derivadas de las siguientes funciones:
2
3x - 2
2x - 1
x -3
c) y = ln x +1 e) y =
f) y =
g) y = 2
5
2x + 5
x -x
1
1
3x sen x - ( x3 - 2) cos x
Sol: c) y =
;
d) y =
;
2
x +1 2 x +1
sen x
3
2x (2x+ 5) - ( x2 - 3) . 2
2 ( x2 - x) - (2x - 1 )2
e) y =
; f) y = ;
g) y =
5
(2x+ 5 )2
( x2 - x )2
i) y =
10. Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos
que se indican:
10
a) y = 3 x2 + 2x - 1 en x = 1
3
c) y = ( x 2 - 1 ) en x =
b) y =
1
en x = 0
2x + 1
1
2
2
e) y = x - x - 1 en x = 2
3
2
g) y =
h) y = ln (x + 1) + sen x en
en x = - 1
(x - 1 )2
3
i) y =
en x = 2
x+2
Sol: a) 8; b) -2; c) 27/16; d) π+1; e) 5/6; f) 0; g) 1/2; h) 2; i) 3/16
x=0
13. Halla la función derivada de las siguientes funciones:
2
2
e) y = ln ( x2 - 1)
a) y = ex -2
2
Sol: a) y = ex -2 . 2 x ; e) y =
2x
; g) y =
2
x -1
1
2
2
x
x-2
2 x (x - 2) - x2
.
;
(x - 2 )2
g) y =
x
x-2
15. Dada la función definida mediante y = x3+x2+2x-1. Halla la ecuación de las
rectas tangentes en: a) x = 0 , b) x = 1 y c) x = -1.
Sol: a) y=2x-1; b) y=7x-4; c) y=3x
17. La recta tangente a una cierta función f(x) en x = 1 es y = 3x+2. )Cuánto
vale f'(1)?. Si en x=2 la recta tangente es y=-x+5, )Cuánto vale f'(2)?.
Sol: f'(1)=3; f'(2)=-1
18. Encuentra la ecuación de la recta tangente a y = x 2 en el punto (0,0) y dibuja
su gráfica. Sol: y=0
23. Halla un punto de la función y = x3+x2+x en el que la tangente sea paralela a
la recta y = 2x+5. Sol: x=-1; x=1/3
27. Calcula el valor de a para que la derivada de la función f(x) sea 2 cuando
2
x +a
x=2, siendo f (x)=
. Sol: a=-4
x
29. Calcula la ecuación de la recta tangente a la función y = ln x en el punto de
abscisa x=1. Sol: y=x
31. )En qué punto de la gráfica de la función f(x)=x2-4x+3 la tangente es
paralela al eje de abscisas. Sol: x=2
11
34. Escribe las ecuaciones de las tangentes a y=x2-4x+3 en los puntos en que
esta parábola corta al eje de abscisas. Sol: y=-2x+2; y=2x-6
35. Calcula la pendiente de la tangente a la curva y=x 2-3x+2 en el punto de
abscisa x=2. Sol: m=1
88. Determina la parábola: y = ax2+bx+c que es tangente a la recta y=4x+1 en el
punto A(1,2) y que pasa por el punto B(0,1). Sol: y=3x2-2x+1
90. Halla a, b y c en f(x) = x3+ax2+bx+c de modo que la gráfica de f tenga
tangente horizontal en x=-2 y en x=2 y que pase por (0,3). Sol: y=x3-12x+3
CRECIMIENTO DECRECIMIENTO MÁXIMOS Y
MÍNIMOS RELATIVOS
91.- Dada la función f(x) = x3-6x2+9x, obtén su función derivada y estudia su
signo. )Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f? )Tiene f
máximo o mínimo?
Sol: y'=3x2-6x+9; Crece (-,1)(3,+), decrece (1,3); máximo (1,4), mínimo
(3,0)
92.- Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = (x+1)3. Sol:
Crece en R
93.- Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=2x 3-3x2. Sol:
Crece (-,0)(1,+), decrece (0,1)
94.- Estudia el crecimiento y el decrecimiento de estas funciones analizando el
signo de su derivada:
a) y=(x-1)/2
b) y=x2-2
c) 3x2+5x-2
d) x3-3x2+3
e) y=x3
f) (x-1)2
Sol: a) Crece en ; b) Decrece (-,0), crece (0,+); c) Decrece (-,-5/6), crece (5/6,+); d) Crece (-,0)(2,+), decrece (0,2); e) Crece en ; f) Decrece (-,1), crece
(1,+)
3
1.- Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f (x) = x –
12x y calcula sus extremos relativos.
Solución: Crece en (–∞, –2) ∪ (2, +∞) y decrece en (–2, 2). Máximo en (–2, 16) y
mínimo en (2, –16).
2.- Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos
de las siguientes funciones:
3
3
4
a) f (x) = x – 3x + 2 b) f (x) = 4x – x c) f ( x) 
12
2
x 1
2
x2  6x  5
x2
x3
f
(
x
)

f
(
x
)

e)
f)
x3
2x  2
x  12
Solución: a) Crece en (–∞, –1) ∪ (1, +∞ ). Decrece en (–1, 1). Máximo en (–1, 4).
Mínimo en (1, 0).
b) Crece en (–∞, 3). Decrece en (3, +∞). Máximo en (3, 27).
c) Crece: (–∞, –1) ∪ (–1, 0). Decrece: (0, 1) ∪ (1,+∞). Máximo en (0, –2).
d) Crece en (0, 1). Decrece en (–∞, 0) ∪ (1, +∞). Mínimo en (0, 0).
e) Creciente en todo su dominio.
f) Crece en (–∞, 0) ∪ (2, +∞) y decrece en (0, 1) ∪ (1, 2). Máximo en (0, 0). Mínimo en
(2, 2).
d) f ( x) 
3
2
3.- Halla los extremos, si los tiene, de la función f (x) = x – 6x + 9x. Determina
sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Solución: Crece en (–∞, 1) ∪ (3, +∞) y decrece en (1, 3). En (1, 4) hay un máximo. En
(3, 0) hay un mínimo.
3
2
4.- Dada la función f (x) = x – 3x + 5, encuentra todos los extremos relativos,
intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Solución: Crece en (–∞, 0) ∪ (2, +∞). Decrece en (0, 2). Máximo en (0, 5). Mínimo en
(2, 1)
13