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Albino Bocaz S.
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C O M P A T I B I L I D A D ENTRE POBLACION
Y MORTALIDAD
^
B
y*
.
^
y
c
CENTRO mTinonmERicnno de DEmocROFin
Serie A, N° 165
Santiago de Chile
Agosto de 1979
Las opiniones y datos que figuran en este
trabajo son
responsabilidad
del
autor,
sin que el Centro Latinoamericano de Demo
grafía (CELADE) sea necesariamente partícipe de ellos.
I N D I C E
Página
Introducción
1
Relaciones usadas
2
Aplicación de la Forma 1 al caso de una población estacionaria ..
9
Aplicación de la Forma 5 al caso de una población estacionaria ..
11
Aplicación de las Formas 3 y 6 al caso de una
modelo
13
población
estable
Aplicación de las Formas 3 y 6 al caso de una población estable mo
délo sesgada
18
Aplicación de las Formas 2 y 6 al caso de México (censos 1930, 1940
y 1950) y mortalidad 1950
21
Aplicación de las Formas 1 y 5 a regiones geográficas chilenas p £
ra el año 1970
a ) Aplicación al área metropolitana (año 1970)
b ) Aplicación a la región I
c ) Aplicación a la región IX (Malleco-Cautín)
26
27
30
33
Aplicación de las Formas 1 y 5 a datos históricos
34
Conclusiones y recomendaciones
37
AiíEXO
39
Introducción
En numerosas ocasiones l a información sobre mortalidad de una población, dada en l a forma de una distribución de las defunciones por sexo
y
grupos de edades, adolece de importantes subregistros de los hechos y
de
declaración sesgada de l a edad de los fallecidos.
Esta f a l t a de cobertura de los hechos de mortalidad en los
diferen-
tes grupos de edades hace que tanto e l cálculo de l a tasa bruta de morta_
lidad (d) como de las tasas específicas por edad ( m ) no representa
«c
ade-
cuadamente la mortalidad tanto a nivel general como en esos grupos de ed£
des. •
Por otra parte, l a información censal acerca dé la distribución
de
la población por sexo y grupos de edades presenta sesgos de tipo parecido.
Es notable, en muchos casos, e l importante grado de subenumeración de los
menores de edad y la declaración errónea cíe l a edad para las personas mayores.
Ciertas edades presentan una mayor preferencia de declaración que
otras, haciendo que l a distribución por edades simples presenten fluctuaciones con oscilaciones impresionantes frente a ciertas edades
partícula
r'is.
Pese a estas circunstancias negativas se hace necesario
determinar
e l nivel general más probable de l a mortalidad, como asimismo l a
inciden
cia de la mortalidad por sexo y edad.
Haciendo uso de ciertas relaciones entre diversos parámetros
demo-
gráficos, que es posible deducir para poblaciones ideales (poblaciones teo
r i c a s ) , se puede solucionar este tipo de deficiencia surgido con l a infor
mación censal y v i t a l y lograr estimaciones plausibles tanto para
indi-
cadores de mortalidad de orden general como para aquellos más específicos.
2
En este artículo se indica cómo usar estas relaciones para
informa-
ción demográfica censal de tipo corriente y de estadísticas v i t a l e s incom
pletas.
Es posible ver en las aplicaciones numéricas que no
siempre
el
uso de estas relaciones conduce a los mismos resultados y que l a deficieii
cia de l a información sobre mortalidad puede en algunos casos l l e v a r a es_
timaciones muy diferentes según sea e l tipo de relación usada.
Además, l a aplicación numérica de las relaciones exige una breve r e visión del tipo de cálculo numérico que debe usarse para determinar
ade-
cuadamente los valores de las variables que aparecen en las relaciones
u
sadas, de modo que e l l o conduzca a estimaciones insesgadas de los parámetros demográficos.
Podremos ver cómo ciertas relaciones, válidas para poblaciones
esta
bles, pueden ser usadas aun en situaciones en que l a población no solamen
te no es cerrada, sino que l a mortalidad y l a fecundidad pueden estar cam
biando en e l tiempo.
Sin duda que e l uso de dichas relaciones teóricas en
estos casos da una idea aproximada de ciertos parámetros demográficos con
un grado de confiabilidad menor debido a l apartamiento según
categorías
qus tienen las distribuciones empíricas de las teóricas.
Relaciones usadas
Las relaciones que pueden usarse para establecer e l grado de compati^
bilidad entre l a distribución por sexo y edad de una población y las
rrespondientes distribuciones de fallecidos se apoyan en algunas
co-
relacio^
nes deducidas de l a estructura de una población estable.
De esa manera s i
N(x) - número de personas de edad exacta (a?)
N
w
= L N(x) = t o t a l de personas, todas las edades
x
c(x) = N(x)/N
= distribución r e l a t i v a de l a población en laedadexac
ta ( x ) en una población estable se.tiene que
rx
170c )= N b e'
lx
(1)
3
siendo
b
- tasa bruta de natalidad
r
- tasa de crecimiento
Z
« sobrevivientes a l a edad exacta (a:).
Cualquiera que sea l a población de referencia* l a distribución de los
fallecidos de edad exacta ( x ) está dada por l a relación
D(x) =
N(x) u <x)
(2)
siendo
y (x) =-d (lnlx) /de
lx
(3)
l a tasa instantánea de mortalidad frente a l a edad ( x ) .
De a l l í que tomando logaritmos (naturales) de l a relación ( 1 ) se pue_
de e s c r i b i r
In (¿!Kx)) • ln (21ffi>) -
+ In (1 )
(4)
x
que luego de derivar con respecto a (x) nos da
N'(x) / N(x)
=
-r - y
(x)
y tomando en cuenta l a relación ( 2 ) , luego de reemplazar llegamos a
ff'(x)
que denominaremos l a
/ ü?(x) =» -i» -D(x)
/ Hx)
(5)
Forma 1.
Esta forma nos indica que s i una población es "estable" l a tasa
cambio de l a estructura
(-N'(x)/N(x)) mantiene
con l a tasa de mortalidad l o c a l
miento.
(D(x)/N(x))
una
diferencia
de
constante
igual a l a tasa ( r ) de
creci_
En símbolos
- i 7 ' ( x ) / ¿7(x) - D(x) / S(x)
» v
<6>
forma a l t e r n a t i v a de escribir l a relación ( 5 ) .
La relación ( 5 ) puede considerarse como e l caso particular de una r e
gresión l i n e a l simple
-tf'(x) /
IiCx) « a + 8 D(x)
/ J7(x)
(7)
4
en que para el caso en que la población de referencia es estrictamente es^
table, los parámetros (a) y (8) valen (r) y (1), respectivamente.
Frente a una población teórica definida (población estacionaria mode_
lo o población estable modelo) es posible verificar numéricamente
la
lación (6) usando algunas fórmulas aproximadas para determinar las
ras derivadas de N(x)
si se dispone de grupos de edades como
re-
prime_
información
básica.
Más adelante se indicarán los tipos de fórmulas aproximadas que pueden usarse para verificar la calidad de esas formas aplicándolas
a
los
tipos de poblaciones teóricas recién mencionadas.
En las aplicaciones a poblaciones reales de la relación (6) no es po
sible que ésta se cumpla estrictamente.
Si la población en referencia se
asemeja bastante a una población estable se cumplirá más
cercanamente la
relación (6), lo que se puede verificar gráfica y analíticamente.
Se su-
pone que tanto la distribución de la población como la de las defunciones
por edad tienen sesgos relativos iguales en los grupos
correspondientes.
Si esto no ocurre y se tiene, por ejemplo, que la distribución de la mortalidad está más sesgada que la de la población censada, el parámetro (8)
reflejará esta situación adquiriendo valores distintos de 1. Corrientemen_
te se puede esperar que el citado coeficiente de regresión (3).sea
mayor
que 1 indicando ello que el subregistro de la mortalidad por edad es mayor
que la subenumeración censal.
La estimación de la tasa bruta de
dad, en este caso, estará dada por
mortali^
<¿8, siendo (d) = D/N y D = total
de
las defunciones registradas; N = población total censada.
Dado que las formulas para el cálculo de las derivadas primeras esti_
man aproximadamente esta variable y que el resultado de ellas se deteriora por la insuficiente calidad de los datos N(x)
y D(x)
usados, es que se
debe ser cauteloso en darle excesiva confiabilidad a l valor del parámetro
(8) cuando discrepa de (1).
Es posible aceptar que mientras el valor del
parámetro tenga una fluctuación del 5 por ciento alrededor de (1), o
varíe entre 0,95 y 1,05, se puede considerar que tanto la información
población como la de la mortalidad tienen igual cobertura.
sea
de
5
Para obviar esta situaci&n de grados de cobertura diferentes para la
población censada y los hechos de mortalidad podemos cambiar levemente la
relación (5) usando las distribuciones relativas de población y de defunciones .
N(x)
De modo que si
/
N - o(x)
(8)
D(x) / D = d(x)
(9)
representan respectivamente la distribución relativa de la población y de
las muertes» luego de reemplazar estas relaciones en (5) se tiene
-a'ix)
/ o(x) = r + D d(x)
/ S
c(x)
-c'(x)
/ o(x) » r + d d(x) / c(x)
de modo que
(10)
que denominaremos la Forma 2.
La relación (10) adquiere, igual que antes, la estructura de una
gresión lineal simple entre las variables (-c'(x)/o(x))
re_
y d(x)/c(x),
con
coeficientes de regresión (a,f5) iguales respectivamente a (r) y (d)
las
tasas de crecimiento y bruta de mortalidad de la población.
Al aplicar la relación (10) a una información determinada se
llegar a valores de id)
que a juicio del investigador son muy
a los valores probables de las poblaciones.
puede
diferentes
Pueden resultar demasiado ba
jos lo que, obviamente, estará explicado por subregistros importantes
las defunciones.
La Forma
como lo permite la Forma
Forma
l,
de
2 no permite, sin embargo, aclarar este asunto
lo que nos da inmediatamente la ventaja de la
1 con respecto a esta segunda forma.
Si se elabora un gráfico de puntos usando como abscisas los
(d(x)/o(x))
y como ordenadas los valores (-o'(x)/o(x))
valores
estos puntos se a-
linean aproximadamente, en una línea ascendente cuya pendiente
(inclina-
ción positiva) es parecida a ( d ) .
En lugar que (r) sea la intersección y la inclinación de
una
línea
recta, podemos invertir la función de esos parámetros haciendo que (r) pa_
se a ser la inclinación de una línea y (d) la intersección con el eje
las ordenadas.
de
6
Para lograr'esto multiplicamos -miembro a miembro- la relación
por la razón c(x)
(10)
/ d ( x ) , de modo que se tiene
-c'(x)
/ d(x) - d + r c(x) / d(x)
(11)2/
relación sobre la cual llamó la atención J. Bourgeois-Pichat—
nos años y que denominaremos Fovma
hace algu-
3 y que aplicó a México en que analizó
la compatibilidad de la distribución relativa media de la población femenina en el período 1930-1950 con la distribución relativa de las defuncio
Este ejemplo se analizará usando la For_
nes observadas. para el afio 1950.
ma 3 y la Fovma
5 que se pasará a deducir inmediatamente.
Tomando en cuenta las relaciones (2) y (3) se tiene que en una pobla
ción
D(x) - N(x)
(-11/1)
X
X
y si la población es estable, o sea si N(x) tiene la forma dada por la re
lación (1)
D(x) « -N b e~*X V
(12)
w
de modo que el numero de defunciones D(z+)
de personas de edades
iguales
o superiores a ( z ) está dado por
w
f
w
.
D(x) dx = -N b S
Z
e~V!C l' dx
Z
X
relación que puede integrarse por parte, originando la relación
D(a*) = -N b
j e'™
w
-PN
z
= n b e'rz
l
s
-Ti
F
w
2
b
E~RX
L
d
X X
w
z
N(x) dx
1/
Si en lugar de usar las distribuciones relativas o(x)
y d(x)
se usan
:
los valores absolutos Six) y Dix) la relación (11) pasa a -NÍx)/D(x)=
2/
Bourgeois-Pichat, J., El concepto de Población Estable> ST/SOA/Serie A,
N° 39, Naciones Unidas, Nueva York, págs. 63-66, 1970.
1+v N(x) /D(x) , que se denominará Forma 4.
7
de manera que en definitiva se tiene
D(z-h) = N(z) -r
siendo N(z)
N(z+)
(13)
= número de personas de edad "exacta" z .
N(z+) - número de personas de edades iguales o superiores a ( z )
W
= edad límite de vida; í, = 0
w
La relación (13) puede escribirse en la forma
N(s)
que denominaremos Forma
/ N(s+) = r + D(z+) / N (z+)
5.
(14)
Sobre este tipo de relación ha llamado la
a-
tención W. Brass como método alternativo al de Bourgeois-Pichat para
ana
lizar el posible grado de compatibilidad entre la distribución de la
po-
blación y el de las defunciones.
Se puede anticipar que el uso de las acumulaciones sugeridas por
Brass permite llegar en las aplicaciones a estimaciones adecuadas de
y del grado diferencial de cobertura de los dos tipos
de
W.
(r)
información
usada.—
Cuando existen diferencias de coberturas por edades en la
población
censada y de las muertes la relación (14) adquiere la forma
N(.z) /N(z+)
= u + ft D(z+) /
N(z+)
(15)
midiendo el coeficiente (8) de regresión el grado diferente
de- cobertura
de los dos tipos de información usados en el análisis de la
compatibili-
dad.
Si (8) resulta mayor a (1) esto indica que la mortalidad tiene
una
cobertura menor que las cifras de población y que la tasa bruta de mortalidad es por lo menos igual a (<¿B), siendo d=D/N
la tasa bruta de
morta-
lidad dada por los datos.
3/
También es posible demostrar con algunos ejemplos numéricos que la aplicación de la forma sugerida por W. Brass puede conducir a
resul^
tados inadecuados.
8
Se verá más adelante, no obstante, que la aplicación del método de W.
Brass implica que el registro de la mortalidad esté igualmente
rio en los diferentes grupos de edades.
Si esta condición no
deficitase
el uso de las Formas 4 y 5 afecta no solamente a la estimación
sino de manera importante al valor
cumple,
de
(r),
del parámetro (8) originando una esti_
mación inadecuada del sesgo en el registro de las defunciones,
(Caso
de
México, como se verá más adelante).
En otras aplicaciones (caso de Chile) la Forma
4 resulta muy adecua-
da a pesar que no es admisible la estabilidad de las estructuras
de
la
población por regiones consideradas cano correspondientes a las de una po
blación estable, debido al efecto de la migración geográfica interna.
La relación (14) puede escribirse en otra forma alternativa
se tiene una mayor confiabilidad en las distribuciones relativas
población y de las muertes que en sus valores absolutos.
cuando
de
la
Usando las releí
ciones (8) y (9) se puede escribir
N e(z)
/ N c(s+) * v + D d(s+) /
e(Nc(z+))
o sea
o(z)
/ a(z+) ** r + d d{z+) / c{z+)
que se denominará como la Forma
(16)
6.
Esta relación es de tipo muy parecido a la relación (10) que
se
ha
denominado Forma 2.
Se puede ver que la tasa de cambio de la estructura (-£?' (x)/e(x)) ha
sido cambiada por la proporción de personas de edad exacta ( x ) dentro del
grupo de personas de edad (x)
dad (d(x)/a(x))
o mayores y que la tasa "local" de mortali-
por la mortalidad "relativa" de las personas de edad
(a?)
o mayores.
Más adelante, en las aplicaciones, se podrá ver el grado de confiaba^
lidad que se puede prestar a la Forma 5 para determinar en especial
forma adecuada la tasa bruta de mortalidad ( d ) .
y
en
9
Resumiendo: bajo e l supuesto que una población real pueda asimilarse
a una población estable es posible analizar e l grado de compatibilidad en
t r e l a población censada por sexo y grupos de edades con l a correspondían
te a l registro de las muertes.
Pueden adoptarse 6 Formas alternativas:
Forma 1
-N'ixVNix)
~
Forma 2
-cr(x)/c(x)
= r+d
d(x)/c(x)
(18)
Forma 3
-c'(x)/d(x)
- d+r
c(x)/d(x)
(19)
Forma 4
-N'(x)/D(x)
= 1+r
N{x)/D(x)
(20)
Forma 5
N ( x ) / f f ( x f )= r+d
(x+)/N(x+)
(21)
Forma 6
c(x)/c(x+)
Aplicación
(17)
r+D(x)/ít(x)
= r+d
(22)
d(x+)/c(xb)
de la Forma 1 al caso de una población
estacionaria
Con e l objeto de revisar l a bondad del uso de algunas
fórmulas
de
cálculo numérico en l a determinación de l a primera derivada de l a función
N(x) se aplicará l a Forma 1 a l caso de una población estacionaria modelo.
Las poblaciones modelo que se usarán serán las correspondientes
a
las
poblaciones estacionarias indicadas en el Manual 4 de las Naciones Unidas
para e l sexo femenino en los Niveles: Nivel 1 (e Q = 20 años)*,
(e
o
= 35 años); Nivel 13 (e
o
= 50 años) y Nivel 19 (e
Nivel
7
= 65 años),
o
Para l a determinación de los valores de (~N'(x)/N(x))
se usarán
las
dos aproximaciones siguientes:
Aproximación 1:
-ff'(x)
/ N(x) ® (5 Sm
Aproximación 2:
-N'(x)
/ N(x) = (In
w" 5
5
) / 10( N)
5
N . / N
5
5
X
) / 10
que se denotarán por (2*^) y (2^), respectivamente, para distinguirlos
los valores observados que se denotarán por ( 0 ) . •
(23)
(24)
de
10
Los resultados son los siguientes:
Edad
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30 -34 •
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
Nivel 7 ( e Q =35,0 años)
Nivel .1 (e Q =20,0 años)
0
T
15,17
11,77
15,35
19,24
21,61
24,51
26,84
28,55
30,25
39,24
49,87
74,31
98,82
143,65
l
33,35
13,53
15,24
18,68
21,59
24,22
26,60
28,51
31,65
38,61'
50,88
70,17
97,76
137,86
T
2
30,52
1,3,51
15,36
18,80
21,69
24,32
26,66
28,53
31,92
39,30
52,43
72,98
101,68
144,28
Nivel 13 (e =50,0 años)
Edad
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
——
0
4,32 .
3,35
4,57
5,85
6,64
7,55
8,48
9,51
11,05
14,87
2.0,01
30,12
43,95
68,31
T
1
7,69
3,89
4,57
5,71
'6,65
7,53
8,48
9,60
11,51
14,97
20,71
29,88
44,00
65,87
iV
2
7,55
3,90
4,58 .
5,72
6,67
7,55
8,49
9,62
11,58
15,12
21,06
30,64
45,66
69,47
0
8,45
6,57 ,
8,68
10,93
.12,31
13,95
15,39
16,68 .
18,28
23,98
31,09
46,21
63,69
94,16
»
T
X
16,30
7,57
8,65
10,65
12,32
13,84
15,30
16,69
19,08
23,84
31,97
44,65
63,10
90,47
T
2
15,64
7,57
8,69
10,69
.12,36
.13,88
15,34
16,73
' 19,22
24,16
32,69
46,07
65,68
95,41
Nivel 19 (e Q =65,0 años)
:
:—'
T
• T .
0
2
i
1,38
1,07
1,64.
2,23
2,62
3,06
3,69
4,60
6,15
8,78
12,69
19,73
31,39
51,82
2,12
1,29
1,65
2,18
2,64
3,10
' 3,75
. 1,74
6,37
9,00
13,21
20,21
31,86
50,76
2,11
. 1»¿9
1,65
2,18
2,63
3,11
3,76
4,75
6,41
9,07
13,38
20,65
32,97
53,47
11
Esto nos indica que los dos tipos de aproximaciones conducen, a part i r del grupo 15-19, a valores muy semejantes a los de l a tabla de origen.
De esa manera l a secuencia de valores -N'(x)/N(x)
estimados con e l uso de
esas dos aproximaciones es adecuada desde l a edad x=17,5 en adelante.
Se puede recurrir a l uso de relaciones de mayor complejidad empleando los valores acumulados de las ( N ) desde l a edad limite de vida hacia
5 x
l a edad ( 0 ) . En e l Anexo se indica e l uso de una función bilogistica pa
ra este propósito y l a gran calidad reproductiva de esta fórmula,
para los valores N(x) como para las razones
Aplicación
tanto
N'(x)/N(x).
de la Forma 5 al caso de una población
estacionaria
Esta es una de las formas sugeridas por W. Brass aplicables en los ca
sos en que se presume que existe un registro diferencial de l a
#(«) y de las defunciones
población
D(x),
En l a aplicación de esta Forma, e l problema numérico básico está
l a estimación de los valores N(x) apoyándose en los valores
(
5
en
quinquenales
BJ.
X
Entre las aproximaciones que pueden usarse están las siguientes:
Aproximación 1: ( 27
S X"
+ N ) /10
(24)
5 X
Aproximación 2: (0,0619 IT
5 JC"5
*0,1692 N
5 X
-0,0123 N .
g w*5
-0,0306
ff,
S Xrjp
+ 0,0118
+
(25)
en que l a primera aproximación supone una variación l i n e a l de las N .
La
segunda aproximación que se discutirá en e l Anexo se basa en un principio
4/
de interpolación de suavidad óptima introducido por Greville.—
4 7 B o c a z , A. Interpolación,
Chile, a b r i l 1971.
CELADE, Serie B, N° 5, Rev. 1, Santiago
de
12
En e l caso de aplicación que luego se indica,•se ha requerido e l uso
de l a segunda aproximación por considerar una variación más r e a l
de
las
(27•v ) , con los siguientes resultados
Se:;o femenino
Eda<}
.
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
Nivel 7
Nivel 1
¿7 /27 .
X . Xr .
29,34
32,06
35,10
38,36
42,07
• 46,41
51,88
59,50
70,29
85,37
105,88
133,59
v
.4*
.....
29,21
32,09
35,15
38,36
42,08
46,43
51,83
59,32
70,40
85,08
106,50
132,74
XV x+
19,25
20,89
22,76
24,91
27,46
30,55
34,44
39,50
46,21
55,28
67,76
85,73-
22,99
25,08
27,38
29,91
32,89
36,47
40,96
46,91
55,18
66,16
81,70
102,21
23,05
25,07
27,35
29,90
32,88
36,45 :
40,94
46,94
- 55,09
66,23
81,40
102,54
Nivel 19
Nivel 13
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40^44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69.
v
19,22
20,90
22,78
24,92
27,47
30,57
34,46
39,51
46,28
55,31
67,92
85,37
27/27,
X
X+
16.64
18,04
19.65
21,55
23,81
26,59
30,07
34,50
40,29
48,04
58,78
74 ¿72
pudiendo verse'que a l . a p l i c a r este procedimiento se logra una
muy reducida entre los valores ( / i ^ / i ^ ) y (2)^/21/^),
16,64
18,04
19,66
21,55
23,82
26,60
30,08
34,53
40,34
48,10
58,87
74,13
diferencia
13
Sexo masculino
Edad
Nivel -1
< v =18,03 años)
w
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
^x+'^sri-
30,27
33,61
37,39
41,48
46,28
52,08
59,09
. 67,87
79,24
94,53
115,46
144,08
20,13
21,99
24,10
26,53
29,46
33,08
37,61
43,39
50,93
60,99
74,67
93,94
Aplicación
w
30,12
33,60
37,52
41,48
46,28
52,08
59,16
67,72
79,35
94,02
115,57
143,05
Nivel 13 (e : =47,11 años)
o
D./N.
Xi- Xr
10-14 ,
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
,0 _
•Nivel 2 (e = 32,48 años)
o
20,10
21,99
24,13
26,53
29,47
33,10
37,65
43,42
51,01
61,02
.74,81
93,73
w
24,01
26,38
29,07
32,08
35,66
40,05
45,45
52,29.
61,17
73,03
89,13
111,39
Niveí 19
v
23,94
26,39
29,13
32,08
35,68
40,06
45,50
52,28
61,28
72,93
89,31
111,15
(e
c
=61,23 años)
w
17,51
19,05
20,82
22,90
25,44
28,61
32,62
37,77
44,47
53,39
65,51
82,90
17,50
19,05
20,83
22,90
25,45
28,63
32,65
37,80
44,53
53,47
65,62
82,53
de las Formas 3 y 6 al caso de una
población estable
modelo
Usando l a población estacionaria modelo, sexo femenino,
Nivel
11
(eo=45 años) del modelo regional Oeste de Coale-Demeny, cuya estructura y
mortalidad es l a siguiente:
14
Edad
0'
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
1000hmx
}Px
90
320
381
372
363
351
338
323
307
161,'! 5
24, y 6
5,51
4,29
5,76
7,32
8,28
9,39
10,47
502
442
683
430
207
543
115
525
872
Edad
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80 y +
se puede construir una población estable modelo—
crecimiento arbitraria.
1000hmx
hLx
291
273
253
229
198
161
119
75
47
388
969
884
493
946
882
112
083
125
adoptando una
11,57
13,13
17,48
23,18
34,68
49,52
75,74
114,39
227,52
tasa
Usando una tasa de crecimiento r=24 por mil
logra la siguiente estructura relativa de la población y de las
de
se
defuncio
nes:
Edad
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
5aX
38
128
137
119
103
88
75
64
54
684
993
916
356
237
623
599
157
149
Edad
a
5 x
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80 y +
45
37
31
24
19
13
9
5
2
d
5X
326
168
39
26
31
34
32
31
29
278
202
700
750
065
168
464
472
618
Total
—5/
Hx+2 S)
'
5c,X - be-
L
; d5 X= 5 o X • 5.mx
5 X
5
d
x
454
904
154
977
204
842
044
056
651
27 474
26 000
28 449
30 246
34 792
35 809
35 787
30 216
31 510
1 000 000
1 000 000
15
Al aplicar la Forma 3 se encuentra
o
-C'
y
y
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
802,45
673,84
616,54
553,56
489,32
428,85
372,99
323,16
284,97
258,30
240,09
224,79
203,38
27
23
20
17
15
12
10
7
6
6
4
3
2
dy
y
7
5
6
6
6
6
5
5
5
5
5
7
7
464
849
637
713
108
821
820
575
226
226
992
838
777
-1000o'/d
y h
1000cy/dy
3,5111
4,6282
3,3339
2,5675
2,3318
2,0351
1,8283
1,6462
1,4740
1,0866
0,8327
0,5473
0,3876
822
153
190
899
479
300
918
139
730
730
995
013
165
en que las ordenadas y primeras derivadas de (a
) y (d
v
102,59
130,77
99,60
80,24
75,52
68,07
63,03
58,58
55,45
45,08
40,05
32,05
28,39
y
) se han calculado
con las siguientes formulas de aproximación:
Ordenadas frente
a
a ( y ) - para y = 7,5; 12,5, ... 67,5
°>0119
y =
- 0,0036
7*5
* °'2310
5
sex-0'
0 2 9 8
* °'0143
sVxo
(26)
de (c ) frente a y = 7,5
y
• - 0,0717
Primera derivada
=
V
5eK+is
Primera derivada
e'
5
5
de o
2,5=
^ - 0 , 0 0 3 1
c
0,1152
5
5
10
- 0,0552
5
c
15
+ 0,0117
5
O
20
(27)
para y ® 12,5; 17,5; ... 67,5
5
V
1 0
-
0,0126
« V s
+
°'02W
^^0,0041
^
(28)
relaciones cuya deducción puede verse en el Anexo.
Como podrá ahí compro
barse estas relaciones se apoyan en arcos parabólicos de interpolación visando criterios de osculación (Sprague) o de suavidad óptima
Si se denota por
x
x
i
-
10 3 a /d
y
- -103 o^d
y
(Greville).
(29)
(30)
16
es posible dibujar un diagrama de puntos usando (x^) como abscisa y
(x^)
como ordenada.
Esta representación puede verse en el gráfico 1, en donde puede apre
ciarse que los puntos (x ^ x ^ ) se encuentran sobre una línea recta de pen_
diente igual a (r) y una intersección sobre el eje de las (x^)
(d).
GRAFICO 1
igual
a
17
- La aplicación de la Forma 6 nos da
-
y
7,5
12¿5
17 s 5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
52 j 5
57,5
62,5
67,5
o
X
y
27 464
23
20
17
15
12
10
9
7
6
4
3
2
—
849
637
713
108.
821
820
082
575
226
992
838
777
760
632
521
425
343
274
215
165
124
89
61
39
23
956
669
587
844.
.927
229
242
592
027
579
568
509
151
482
452
424
390
357
325
294
266
239
212
183
151
115
385
341
063
881
478
454
831
256
992
763
758
466
541
2
d
o
dy+j,
<3y fr -
1000
.
.
V
36,09
37,70
39,57
41,60
43,93
46,75
50,27
54,85
61,08
69,50
81,08
97,14
119,95
.
1000
.
1
1
1
1
1
2
2
3
4
633,92
714,97
813,03
917,90
039,40
186,80
369,77
607,90
935,00
375,14
984,63
833,7Í
990,76
la que puede representarse en un sistema cartesiano de coordenadas (x
tal como se indica en el siguiente gráfico
.GRAFICO
1000Í1L
Cy •
2
V
,x
12
)
18
Puede constatarse que se logra una mayor alineación
que en el caso del uso de la Forma 3.
de
los
puntos
La razón fundamental de esto es que
en la aplicación de la íorma 6 no existe tanto problema en el cálculo
de
las coordenadas (x
,x ) como sucede en la aplicación de la íbrma 3 en don
1 2
~
de el problema numérico "crucial" está en la determinación adecuada de la
primera derivadas de
o(x).
A través del gráfico 2 puede constatarse que se logra una línea recta de pendiente del orden de
de las (x
2
d=lS por mil con una intersección en el
eje
) igual a 2»=24 por mil; tasa de crecimiento con que fue
cons-
truida la población estable modelo.
Aplicación
de las Formas 3 y 6 al caso de una
estable modelo sesgada
población
Se va a considerar ahora el caso de una población estable modelo
en
que la distribución por grupos de edades tiene sesgos de enumeración
va-
riables por edad y la distribución de la mortalidad está afectada por sub
registros diferentes de los hechos vitales según esa misma variable.
Se
considerarán los dos siguientes tipos de sesgos
Edad
Sesgo
Tipo 1
Sesgo
Tipo 2
(Porcentajes)
0-4
5-14
15-39
40-49
50 y +
15
0
5
5
2,5
25
20
20
5
5
15
0
5
5
2,5
30
25
25
5
5
suponiendo además que 1/3 de las defunciones de mujeres de edades
se hallan incluidas en el grupo de defunciones de 80 años y más.
blación estable modelo a la que se aplicarán estos sesgos ha sido
60-79
La
pocons
truida con una tasa de crecimiento de r=24 por mil y adoptando como nivel
de la mortalidad femenina el Nivel 11 al modelo Oeste de Coale-Demeny.
19
a) Caso del sesgo tipo
1
Para este caso se tiene:
Edad
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80 y +
Total
h°x
34
115
145
125
103
88
75
64
54
45
37
32
25
19
14
9
5
2
a /d
n x
657
567
368
804
373
740
699
242
221
514
954
016
669
736
225
294
196
725
299
154
38
26
30
33
31
30
28
31
30
33
35
26
27
27
23
89
1 000 000
y
404
348
859
183
407
443
776
806
990
934
221
068
156
960
748
731
414
552
-
-
62,84
160,39
121,89
82,75
77,10
69,72
64,60
50,94
44,66
37,15
34 93
42,45
37,63
-
í
i
i
i
i
2
2
3
4
6
-
—
-
<3
7,5+
y+
— 0,2824 c
5+
+1,0704 o
+ 0,2104 o
0
'
«
^
1 5
para y = 12,5, 17,5, ...
15+
+ 0
'
0 2 2 4
(31)
25 +
*(a?+5)+ *
)
si-
+
— 0,0376 G
0 3 7 6
1 4 0 6 c
, se han usado las
y+
^ -0,5256 <î
10+
20+
-
-
1 000 000
guientes fórmulas:
0
_
34,66
39,53
39,23
41,32
43,58
46,28
49,62
54,00
59,56
69,60
81,08
97,10
119,81
_
_
675,34
773,70
888,89
011,27
156,03
333,47
559,90
836,96
195,00
688,51
353,43
473,39
528,64
_
-
en que para la obtencion de los valores de o , y d
V - » -
oy/o y+
-
3,74
4,80
3,40
2,65
2,38
2,08
1,87
1,43
1,26
0,97
0,73
0,73
0,51
_
-
,
dy+Jo y+
^
y
^+
2
<>.«**
-
oo)
(32)
Para las derivadas primeras se han usado las re
laciones (27) y (28) y para los valores (o y ) y (d y ) la relación (26).
20
¿pilcando el método de A. Wald para la estimación de los componentes
de regresión para las diferentes formas se tiene:
Forma 3
Forma 6
(Bourgeois-Pichat)
(W. Brass)
r => 24,3 por mil
r = 24,3 por mil
d = 18,5 por mil
d = 15,3 por mil
pudiendo constatarse que las dos Ibrmas -tanto la de Bourgeois-Pichat como la de Brass- conducen a la misma tasa de crecimiento (r=24,3 por mil).
En cambio, puede verse que la Forma 3 nos lleva a una tasa bruta de morta
lidad de 18,5 por mil muy vecina de 19 por mil que corresponde
mente a esta población.
efectiva-
El método de Brass dándonos una tasa <¿=15,3
mil en lugar de 19,0 por mil conduce a una discutible subestimación
por
del
nivel general de la mortalidad (20 por ciento).
b) Caeo del sesgo
Hpo 2
Para este caso se tiene
,
hQx
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80 y +
34
115
145
125
103
88
75
64
54
45
37
32
25
19
14
9
5
2
Ibrma 3
hx
657
567
368
804
373
740
699
242
221
514
954
016
669
736
225
294
196
725
293
150
38
25
29
32
31
30
28
33
31
34
36
28
29
29
24
93
1000-Cy/dy
313
691
108
678
819
798
162
210
431
404
613
591
776
202
026
008
493
667
1000 000 1000 000
Total
i
3,81
4,90
3,47
2,71
2,43
2,13
1,91
1,36
1,20
0,93
0,70
0,70
0,70
ÍOOQOy/dy
64,08
163,54
124,30
84,38
78,62
71,10
• 65,87
48,70
42,70
35,52
33,39
40,58
35,98
Ibrma 6
1000d
1
1
1
1
1
2
2
3
4
6
/o
689,77
792,10
912,30
041,36
195,05
384,33
628,34
922,00
296,00
812,37
507,90
679,43
829,33
1000o^/o
37,67
39,53
39,23
41,23
43,58
46,28
49,62
54,00
59,56
69,60
81,08
97,10
119,81
21
las que conducen a las siguientes estimaciones
Forma 3
Forma 5
(Bourgeois-Pichat)
(W*. firass)
r = 24,8 por mil
r = 26,6 por mil
d « 17,3 por mil
d - 14,6 por mil
pudiendo comprobarse que en e¡sta nueva situación, los dos métodos
condu-
cen a sobre-estimaciones de la tasa de crecimiento, siendo menor la
dada
por el método de Bourgeois-Pichat.
En cuanto a la estimación de la tasa bruta de mortalidad puede constatarse que la aplicación de las dos formas conducen
relativas apreciables.
a
sub-estimaciones
El método de W. Brass en este caso subestima
la
mortalidad general en un 23 por ciento frente a un 9 por ciento de subestimación de la aplicación de la Forma 3.
Gbmo se verá a continuación ésta es aproximadamente la situación que
se presenta cuando se aplican las Formas 3 y 6 al caso de México.
Aplicación
(censos
de las Formas 2 y 6 al caso de México
19Z0a 1940 y 1950) y mortalidad
1950
En este ejemplo se pretende contrastar la bondad del uso de las
mas 1y
For-
5 para determinar el nivel general de la mortalidad (d) y el valor
de la tasa de crecimiento ( r ) .
Aunque el caso que se considera ha
fi/
analizado por J. Bourgeois-Pichat—
a través del uso de la Forma
3, en la
aplicación numérica que se considera se recurrirá al uso de la Forma
mo procedimiento alternativo.
Además se usará la Forma
5 (método de
Brass) para indicar que existen casos en que debido al desigual
sido
1 c£
W.
registro
de la mortalidad por edades, la aplicación de esta Forma conduce a valores
de los parámetros demográficos (d y r ) significativamente
distintos
de
los valores que probablemente tienen en ese momento.
6/
Naciones Unidas, El Concepto
cuadros IV.10 y IV.12.
de Población
Estable., ST/SOA/Serie A/39,
22
La información sobre distribución relativa de la población y de
la
mortalidad, es la siguiente:
Años del censo
Grupos
de
edades
29
117
133
95
105
99
91
68
62
50
38
34
19
23
10
8
4
3
2
0
1-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85 y +
Total
772
442
338
335
799
863
695
903
710
661
067
326
261
457
175
866
014
831
396
1 000 000
26
115
139
116
103
81
84
68
70
48
39
31
22
21
11
8
4
3
2
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
"i
863,43
615,75
530,21
258,05
502,82
436,74
378,72
293,92
321,61
325,00
257,08
231,59
171,94
30
119
138
115
105
94
79
56
61
47
41
32
20
22
12
9
5
3
2
278
992
361
107
136
141
317
743
407
971
699
818
054
571
583
446
500
363
510
1 000 000
Al aplicar la Forma
y
1950
1940
1930
830
929
465
558
875
320
433
082
097
634
235
359
411
106
967
735
049
941
974
1 000 000
Ajustado
35
125
135
117
103
90
77
65
55
46
40
31
24
18
12
9
4
2
796
921
521
193
624
714
745
707
950
621
358
672
027
633
691
528
942
603
804
1 000 000
Defunciones
femeninas
(1950)
256
221
40
17
22
27
28
23
31
26
28
27
24
38
35
38
29
31
50
964
823
466
141
245
877
168
396
107
139
861
922
320
411
025
391
329
524
890
1 000 000
2 se logran los siguientes valores:
O
y
27
23
20
18
15
13
11
9
8
6
4
3
2
1000 (öjJAy)
044
388
714
143
553
109
205
232
101
386
765
759
487
7
3
4
5
5
4
6
5
5
5
4
7
6
891
449
422
558
829
412
441
120
733
805
505
983
796
31,93
.26,33
25,60
29,10
32,33
33,32
33,80
31,84
39,70
50,89
53,95
61,61
69,14
1000(dy/Cy
291,78
147,47
213,48
306,34
374,78
336,56
574,83
554,59
707,69
909,02
945,23
2 123,70
2 732,61
23
Usando como coordenadas los valores de las dos últimas columnas:
x. - - 1000 d /a
(31)
x
(32)
i
2
y
y
« 1000 a'/a
y
y
se puede ver que estos puntos se alinean, aproximadamente, sobre una recta de pendiente <¿=20,6 por mil e intersección r=23,7 por mil
gráfico 3), lo que nos da una tasa bruta de natalidad
de
(véase
el
por
mil
(r+d).
GRAFICO
3
1000 c£jl'
y
SO"
40'
20'
I000?y_
500
1000
1500
2000
2500
Estos valores pueden considerarse razonables para México en el perío
do considerado y nos indica además que la estructura
de
la
mortalidad
( d^) registrada en 1950 es compatible con la población de ese año.
s >»
24
El cálculo de los parámetros (d y í ) de la línea de regresión
puede
calcularse usando el principio ordinario de mínimos cuadrados (OLS)o bien
recurrir a un proceso más sencillo de estimación conocido como método
de
A. Wald
Pasemos a considerar ahora la aplicación de la Forma 6 o
W. Brass.
y
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
72,5
método
de
Los resultados son los siguientes:
V
767
642
532
435
350
279
218
167
124
88
60
39
23
12
883
344
814
013
829
360
628
758
104
057
495
130
770
566
V
C
y
27
23
20
18
15
13
11
9
8
6
4
3
2
1
495
471
435
427
398
374
346
317
290
261
237
204
168
130
044
388
714
143
553
109
205
232
101
386
765
759
487
937
1000c 'C ^
+
y
426
708
259
772
738
358
075
863
328
124
148
465
076
067
y
35,22
36,41
38,88
41,71
44,33
46,93
51,25
55,03
65,28
72,52
78,77
96,06
104,63
154,15
1000d /o ^
y
i
i
i
i
2
2
3
5
7
10
y+
645,18
734,35
850,69
983,35
136,56
340,06
582,94
894,77
339,39
965,40
920,17
225,27
070,93
350,71
en que se han usado las fórmulas (31) y (32) para la interpolación de
va
lores de acumulación a mitad de los intervalos.
Para el cálculo de los valores (o
y
~(c
, )) se han usado la
2JS
relación
(26) al aplicar la Forma 3.
Tomando como coordenadas los valores de las variables
x \ - 1000 d y+Jo y+.
x i = 1000 o y/o y+
^
se puede elaborar el gráfico 4.
Se puede notar que los puntos de coordenadas (x , x ) se apartan sen
1 2
•
—
siblemente de una línea recta.
Descartando los 3 últimos puntos, o
sea,
si no se consideran las edades superiores a 60 años, la aplicación del me
todo de A. Wald conduce a
v - 26,2 por mil
d = 15,1 por mil
25
. GRAFICO
4
iooofx
Cy «
valores muy diferentes a los encontrados al aplicar la Forma 2 de
23,7
por mil, <¿=20,6 por mil,que a juicio de J. Bourgeois-Pichat parece representar adecuadamente .la tasa de crecimiento y e l nivel general de la mortal^
dad femenina en-México alrededor de 1950.
26
La razón fundamental porque la Forma 6 conduce a una estimación inadecuada de la tasa bruta de mortalidad es por la presencia de sesgos dife
renciales en el registro de las defunciones.
Ya se vio en el caso de una
población estable modelo que si la distribución de la población
como
la
de las muertes, según la edad, tiene sesgos de registro variables con
la
edad, ello afecta en forma importante la estimación de la tasa bruta
de
mortalidad.
A través de los ejemplos numéricos se ha
podido
comprobar,
que pese a esos sesgos, la aplicación de la Forma 3 (método de BourgeoisPichat) o la de la Forma 2 conducen a estimaciones más adecuadas
que se obtienen
si se aplica la Forma 6 (método de W. Brass).
En definitiva puede decirse que siempre será conveniente
Formas: 3 y 5
que las
aplicar
2
ó 2 y 5 para ver el grado de discrepancia de las estimacio
nes logradas y decidir a cuál de ellas se le puede dar mayor
confiabili-
dad o usar un valor medio conjunto.
Aplicación
de las formas 1 y S a regiones
chilenas para el año 1970
geográficas
Se ha podido ver que las relaciones de compatibilidad entre
pobla-
ción y mortalidad presumen que la población es estrictamente estable.
De
esa manera cuando se aplican las Formas 1 a 6 de compatibilidad y éstas no
se cumplen adecuadamente no solamente ello se debe a la calidad de la información usada (sesgos en los levantamientos censales y en el registro de
los hechos vitales) sino a que no se cumple la presupuesta estabilidad (in
variabilidad en el tiempo) de la natalidad y de la mortalidad.
Pese a estas circunstancias las relaciones aplicables
a poblaciones
estables pueden ensayarse en poblaciones en que están cambiando las condi
ciones de la natalidad y la mortalidad y la región está sujeta a movimien
tos migratorios.
Se aplicarán las Formas 1 y 5 a las regiones
geográfi-
cas chilenas observando en qué medida éstas se siguen cumpliendo y a
medidas generales dé crecimiento, natalidad y mortalidad conducen.
qué
27
Como sería demasiado largo aplicar las Formas indicadas (1 y 5) a to
das las regiones geográficas, se hará solamente a 3 regiones del país:
Area metropolitana
Región I: Tarapacá
Región IX: Malleco y Cautín
considerando el sexo femenino únicamente.
a) Aplicación
al área metropolitana
(año 1970)
. 7 /
La información que se usará es la siguienteEdad
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
5
N
191
206
185
167
159
128
104
103
89
X
5
636
913
591
113
303
991
169
365
994
D
Edad
X
2 402
120
84
140
175
184
226
279
360
5
U
D
X
394
541
672
878
1 055
1 130
1 104
948
1 651 132
11 734
69
61
53
43
33
23
13
8
6
1 para la información dada, se tiene
U
a
-1000N'/N
10002? /N
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
72,5
77,5
157,31
239,30
427,43
246,00
137,14
372,85
402,89
268,49
346,73
457,03
598,14
826,04
1,075,54
8,38
10,99
14,26
21,70
26,99
40,00
56,44
87,44
126,32
'202,20
316,29
481,45
790,43
y
y
y
y
Chile', Tablas Abreviadas de Mortalidad a Nivel
1969-1970, CELADE, Serie A, N° 141, pág. 26-27.
Pujol, J.M.,
y Regional
5
X
811
868
200
422
355
471
967
449
514
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85 y +
Total
Usando la Forma
N
Nacional
28
que luego de aplicair el método de A. Wald nos da :
-N'/N
y
y
« 0,025 + 1,0585 D /Ñ,
y
y
indicándonos que la población femenina del Area Metropolitana estaría ere
ciendo a una tasa anual de 25 por mil.
El valor del coeficiente 8 de re-
gresión (1,0585) nos indicaría -bajo la hipótesis que no
ción
hay
subenumera
censal- que la tasa "verdadera" de mortalidad sería:
d? « 1,0585. (11734/1651132)
= 1,0585 (7,11) » 7,53 por mil
La aplicación de la Forma
5 se hará previo suavizamiento de los gru-
pos quinquenales de edades 10 en adelante y ajuste del grupo 0-4 por
sub
enumeración.
Usando una función logística de 2 asíntotas a la acumulación de
(T)
«w
grupos quinquenales es posible estimar una probable subenumeración del gru
po 0-4 y proceder a la redistribución de los grupos quinquenales.
tructura de población corregida
Edad
5
X
i f es
La es-
la siguiente:
Edad
A
0-4
220 658
45-49
74 774
5-9
207 781
50-54 - ~
61 552
10-14
180 138
55-59
53 530
15-19
172 557
60-64
43 221
20-24
155 777
65-69
33 552
25-29
132 518
70-74
22 894
30-34
111 628
75-79
14 543
35-39
95 911
80-84
9 298
40-44
85 024
85 y +
5 665
Total
1 681 021
que implica una corrección general por subenumeración censal del 1,8
ciento.
por
29
Aplicando la Forma
X
ií
X
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
38
35
33
28
24
20
18
16
13
11
9
7
5
3
679
098
091
891
286
585
010
020
588
462
699
683
620.
652
5 se llega a los siguientes valores
x+
1 252 582
1 072 444
899 887
744 110
611 592
499 964
404 053
319 029
244 255
182 703
129 173
85 952
52 400
29 506
D
x+
9
9
8
8
8
8
8
7
7
6
6
5
4
3
212
128
988
813
529
403
124
764
270
829
157
279
224
094
1000
1000Z? /N
x+
V^+
.
7,35
8,51
9,98
11,84
14,11
16,81
20.11
24,34
29,76
37,38
47.66
61,12
80,81
104,^6
30,88
32,73
36,77
38,83
39,71
41,17
44,57
50,21
55,63
62,74
75,09
89,39
107,25
123,77
que luego de aplicar el método de A. Wald nos da
lo que nos indica que el crecimiento de la población femenina es del orden
de r=25 por mil y que esta estructura "ajustada" es totalmente compatible
con el registro de la mortalidad.
Se puede ver que la aplicación de las Formas 1 y 5 conducen al mismo
resultado en cuanto a la tasa de crecimiento y puede probarse que éste se
corresponde bien al crecimiento observado en el período intercensal 19601970.
La Forma 1 no obtante (datos sin corregir) conduce a la
conclusión
que no serían compatibles las distribuciones de población y de las defunciones por presentar sesgos diferentes.
Al aplicar la Forma 5 en que
se
ha corregido la estructura por subenumeración de menores de un año, esencialmente se logra una total compatibilidad entre los dos tipos de
infor
nación.
Es interesante indicar que la Forma 1 se ha aplicado a la estructura
censal corregida pero los resultados obtenidos son "prácticamente" análogos a los obtenidos sin usar la corrección por subenumeración censal.
problema que tiene la aplicación de la Forma 1 está en
la
El
determinación
30
del cambio relativo de la población (-tf^/tf^) cuando la distribución de la
población por edades, aunque es descendente, no es regular.
El
suaviza-
miento usando la función logística de 2 asíntotas no logra llegar
cuados valores de las primeras derivadas de (N
a
ade
).
X
Como corolario, se puede decir que en este caso el uso de la Forma 5
(método de W. Brass) conduce a un resultado satisfactorio.
b) Aplicación
a la región
I
La información usada es la siguiente:
REGION I: DISTRIBUCION DE LA POBLACION Y DE LAS
DEFUNCIONES DE MUJERES EN EL AÑO 1970, SEGUN EDAD
Grupos de
edades
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
Grupos de
edades
10
11
9
8
7
6
5
5
4
654
622
896
739
930
773
456
231
756
N.
5 X
Total
La aplicación de la Forma
u
y
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
6,522
29,133
22,497
24,792
36,527
28,262
13 382
40,097
0,602
0,404
1,144
2,144
1,624
2,566
2,294
2,S44
23
19
32
40
38
51
56
45
39
85 046
600
1 nos lleva a los valores
-1000N'/N
y y
+1000D/N
y y
324
723
202
870
496
962
643
379
290
3
2
2
1
1
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85 y +
168
7
4
10
17
11
14
12
14
1000Z?/¿!7
u
y
y
y
6,919
6,978
14,532
20,305
25,401
-. 53,015
37,092
118,734
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
72,5
77,5
82,5
-ÍOOON'/S,
y
y
61,61
41,205
34,196
35,838
67,380
88,669
90,669
93,140
que luego de aplicar el método de A. Wald, para la estimación de los coeficientes de regresión, se llega a
-N'/N
y
y
- 0,0235 + 0,9743 D /N
y
y
31
que desde el punto de vista del grado de comparabilidad de los sesgos
de
registro (0,9743) estaría bien pero que desde el punto de vista de la estimación del crecimiento (r=23,5 por mil) está mal, ya que el crecimiento
"real" es del orden de 36 por mil.
La aplicación de la
Forma 5 nos lleva a los siguientes valores:
N
X
X
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
2227,6
2151,8
1863,5
1666,9
1470,3
1222,9
1068,7
998,7
808,0
604,7
492,5
417,2
346,6
245,8
160,5
102,2
1000N
ÍC+
74
62
52
44
36
29
23
18
13
10
7
5
3
2
1
392
770
874
135
205
432
976
745
989
665
942
740
770
274
312
669
432
425
421
411
394
383
369
357
343
320
301
269
229
191
140
84
29,94
34,28
35,24
37,77
40,61
41,55
44,57
53,28
57,76
56,70
62,01
72,68
91,94
108,09
122,33
152,77
10000j/D
5,81
6,77
7,96
9,31
10,88
13,01
15,39
19,05
24,52
30,00
37,90
46,86
60,74
83,99
106,71
125,56
y a la siguiente ecuación de regresión lineal
N /N
+ 0,9453 D/N
x x+ ® 0,0294
'
*
x+ x+^
Si la población es estrictamente estable y la enumeración censal fue
ra completa como asimismo el registro de las defunciones, se tendría
NV / N\
X
*
X+
X+
/ NV
x+
(35)
siendo
NV = el valor "verdadero" de (N )
x
•
x
DV = valor "verdadero" de (D )
x
x
Aceptando que los valores "observados" N° y D° tienen
•C
X
relativos de "e " y de "e " respectivamente tendremos
1
2
N° = (1+e ) N°
x
IX
V
DX = (1+e2 ) XD°
subregistros
(36)
(37)
32
y la relación (35) pasa a
„
»
U
C
l+e
^
+
^
D
-
(38)
f
N ,
1
lo que permite identificar el coeficiente de regresión (8) con los
res relativos de la información de población y de defunciones.
erro-
De ese mo
do el "coeficiente de regresión (8) es-igual a
3 = (l+e
2
) /
(l+e
1
)
(39)
Si el subregistro general de la mortalidad en la región I hibiese s_i
Forma
do de 2,5 por ciento, la regresión encontrada (luego de aplicar la
5)
nos daría
l+e ^ = 1,025/0,9453
1,0843
indicándonos una subenumeración censal de 8,4 por ciento, que puede cons_i
derarse elevada.
Aun suponiendo que el registro de la mortalidad fuese "completo"
o
sea que e =0 se tendría l+e =1,058 o sea que el Censo tendría una subenu2
i
meración de 5,8 por ciento.
Esta cifra puede considerarse más
probable
aunque todavía -por la larga experiencia censal chilena- una cifra
alta.
La conclusión final a que puede llegarse, es que el registro de la mortal^
dad es completo y que el Censo tiene una subenumeración del orden de
2,6
por ciento (resultado con la Forma 2).
Además lá aplicación de las Formas 1 y 5, en este caso, indica
que
esta Forma da un resultado más adecuado (Método de W. Brass) para la tasa
de crecimiento (29,4 por mil) ya que el crecimiento observado-sin
corre-
gir los totales censales de 1960 y 1970- es del orden de 36 por mil.
33
c) Aplicación
a la región
IX (Malleco-Cautín)
La información usada es Xa siguiente:
Grupos de
edades
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
N
X
5
40
43
39
31
23
18
15
16
14
5
843
627
072
819
618
381
659
730
245
Grupos de
edades
*
1 118
53
39
59
70
66
79
78
80
5
J
2!
5
D
X
324
053
620
803
323
063
397
639
346
93
112
143
160
210
206
198
166
214
300 562
3 144
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85 y +
12
11
9
7
6
4
2
1
1
Total
X
Aplicando la Forma 1 se tienen los siguientes valores
1000Ö /N
y
y
y
-1000N'/N
y y
y
ÍQOOD'/N
56,897
10,543
10,543
8,452
30,930
25,901
52,5
62,5
62,5
67,5
72,5
77,5
10,13
20,51
20,51
33,21
50,70
82,60
2,964
5,045
5,045
4,662
5,616
7,546
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
y
-ÍOOON'/N
y
y
y
24,464
42,253
42,253
59,149
96,628
101,126
y usando el método de Wald para la estimación de los parámetros de la regresión
lineal entre
B
(-N'/N
y
-N'/N
y
y
y
) y
(D /N ) se llega a
y
y
= 24,47 + 0,9934
.
(V /N
y
y
)
lo que nos indica que el subregistro de la mortalidad y la subenumeración
censal son del mismo orden.
La tasa de crecimiento que se encuentra sien
do de 24,47 por mil correspondería a la situación que la población
cerrada.
fuese
La tasa de crecimiento intercensal entre 1960 y 1970 para la re
gión es del orden del 6 por mil, lo que nos indica qué esta región
es de
una gran salida de personas a otras regiones del país.
En la aplicación de la Forma 5 (método de Brass) encontramos
X
D'/N
x+ x+
20
25
30
35
40
45
12,91
14,85
16,85
18,96
22,34
26,55
NWN
x x+
32,53
30,24
30,35
38,22
40,23
43,57
X
50
55
60
65
70
75
D' /H ^
x
x+
31,85
39,08
48,96
63,04
83,01
107,40
N
.
N
~
^
T / X+
49,96
59,97
66,21
80,20
86,03
89,07
34
que luego de aplicar el método de Wald nos da la ecuación de regresión
N
/Nx+
°>8215
*
lo que conduce -bajo la hipótesis que el registro de la mortalidad es com
pleto- a una cifra muy alta de subenumeración censal (18 por ciento).
Se puede ver entonces que la Forma 1 conduce a un resultado muy adecuado -tanto los datos de mortalidad como los de población tienen errores
relativos semejantes-, en cambio la Forma 5 de Brass nos lleva a un resul.
tado impropio.
Se puede argumentar que en aplicaciones a poblaciones
biertas o bien poblaciones cerradas no estables no deben aplicarse
a-
ningu
na de estas formas. Sin .embargo, siempre será útil saber si las tasas centrales de mortalidad deducidas suponiendo que tanto el numerador como el denominador de estas tasas tienen errores relativos semejantes son
bles en primera instancia.
acepta
La. Forma 1 da una respuesta favorable en
ese
sentido con lo cual se puede argumentar que sería un procedimiento más ro
busto que el de la Forma 5.
Aplicación
de las Formas 1 y 5 a datos
históricos
Como dato histórico, consideraremos todo tipo de información estadís
tica sobre distribución de la población y de hechos vitales referente
un tiempo pretérito en que no existía aún un registro rutinario de
a
infor
mación demográfica.
Así por ejemplo, en el CELADE se ha tratado de determinar los
nive-
les de mortalidad y de crecimiento de la población chilena, de hace
de un siglo atrás, para ciertas áreas geográficas o grupos especiales
población.
En el caso que se analiza luego, se considera
más
de
la información
sobre población y mortalidad registrada en San Felipe alrededor
del
año
1785
8/
Arretx, C., Mellafe, R., Somoza, J., Estimación
de la
Mortalidad
Adulta a partir de Información sobre la Estructura por Edades de las
Muertes.
Aplicación a Datos de San Felipe en Torno a 17873 CELADE,
Serie A , N° 150, Santiago de C h i l e f e b r e r o 1977.
35
En el caso de datos históricos se puede constatar que los hechos vitales registrados en el área (ciudad, por ejemplo) no se correspondan
la población que "habitualmente" reside en ella.
En el caso
a
de registro
de las defunciones puede suceder que la ciudad tenga hospitales
en
los
cuales fallecen personas no residentes (habituales) de la ciudad, lo
que
contribuye a abultar el registro de hechos vitales y originándose de
ese
modo tasas de mortalidad, específicas
por edad, que no corresponden a
la
población residente.
Si se supone que
subenumeración relativa del Censo de Población
e
2
-
e^ =
subregistro relativo de las defunciones para residentes
sobre-registro relativo de defunciones debido a no residentes.
Al aplicar la Forma 1, debido a estos errores, debemos escribir
la
relación
-íP/íf3 = r + (1+e -e )/ (1+e ) D°/¡f
X X
2
en que los valores
l
3
X
(11)
X
son valores "observados".
x
x
Los datos tomados del trabajo de Arretx, Mellafe y Somoza, son los s^L
guientes:
Grupos de
edades
Muertes
registradas
1783-1787
Promedio anual
Población censada
1787
0-9
54
10,8
539
10-19
32
6,4
363
20-29
70
14,0
277
30-39
36
7,2
260
40-H9
35
7,0
184
50-59
49
9,8
124
60 y +
86
17,2
71
362
72,4
1 818
Total
36
luego de desglosar los grupos decenales en quinquenales se tiene
N
Edad
5 X
0-4
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
298,2
240,8
197,4
165,6
142,0
135,0
137,6
122,4
99,8
5
D
x
;
N
Edad
17,7
3.1
2,4
4,0
7,4
6,6
4,0
3.2
3,2
S X
45-49
50-54
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80 y +
;
A -
84,2
71,6
52.4
31.5
19,2
11,9
5,8
2,6
3.8
4.3
5,0
4.9
4.4
3.6
2,6
1.7
72,4
1 818,0
Edad
Para la aplicación de las Formas 1 y 5 se debe tener
X
D J® x+
^
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
33,42
33,26
33,56
37,92
48,66
56,22
69,87
71,37
91,60
110,99
116,32
51,45
57,87
61,19
62,54
68,52
81,35
99,11
123,09
.. 157,12
208,25
275,80
Puesto que la alineación de puntos (D
y
D /N
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
38,10
33,45
21,65
3,26
9,16
30,88
38,28
33,49
. 44,41
76,53
105,40
x+
/N
y
J
x+
; N/N
x
y
. ) o bien
x+
N'/N
y
y
12,16
24,15
52,11
48,89
29,07
26,14
32,06
45,13
- 67,04
95,42
155,56
(D /N
y
y
;
Ny/'Ny) no es suficiente para aplicar el método de Wald en la determinación
de los coeficientes de regresión, se usará el principio de mínimos cuadra
dos, que no depende de la jerarquización de las abscisas.
Usando el intervalo 10-55, la aplicación de la Forma 6 conduce a
W
=
7 98
>
+
°'513
D
x/Nx*
lo que indicaría que, si se supone e =0, e = 0 , o sea que el Censo de Po1
2
blación hubiera sido completo al igual que el registro de defunciones re
s identes
1-e
3
® 0,513
estaría indicando que el registro de las defunciones de San Felipe, alrede_
dor del año 1785 contiene un48,7 por ciento de defunciones de no-residentes.
37
Usando el intervalo 10-54 en la aplicación de la Forma 1, o sea
los
valores desde y=12,5 hasta 57,5 se obtiene
-ti*/ti - 8,30 + 0,584 D /N
y
y
y
y
dando un registro de defunciones para no residentes de 41,6 por ciento un
poco inferior al obtenido por aplicación del método de Brass.
Se debe hacer notar que el uso de estas relaciones de las poblaciones
estables deben considerarse simplemente como guías para proceder al
ajus
te de datos demográficos que no son compatibles.
aquí
El resultado
que
se ha logrado, significa en términos gruesos que las defunciones registra
das corresponden a una población de tamaño doble que no resuelve el
pro-
blema de cómo ajustar la distribución de las defunciones por edad.
Como
una primera aproximación se puede reducir todas las defunciones
41,6
en
por ciento (resultado obtenido con la aplicación de la Forma 1). Comparar
las tasas centrales de mortalidad con tasas de población reales para proceder a un segundo ajuste diferencial por edad, si es posible.
Conclusiones
y
recomendaciones
A través de las aplicaciones numéricas realizadas pudo verse que, en
general, las formas 1 a 6 de compatibilidad entre población
condujeron en la mayoría de las aplicaciones a resultados
y mortalidad
relativamente
semejantes.
Que en la medida en que la información de distribución de la
pobla-
ción por edad es irregular (inadecuada información censal o población
a-
bierta) la determinación de la variación relativa de la estructura(ff^/ff^)
se hace difícil, y los valores determinados no guardan una adecuada corre
lación con los valores (Dy/^y)•
Por otra parte, ciertos tipos de tendenciosidades en la variación
de
los sesgos de registro de la edad para las muertes influyen poderosamente
en los resultados al aplicar la Forma 5 (método de Brass).
Esto pudo ver
se muy claramente cuando se "desajustó" una población estable modelo y se
38
aplicaron las Formas 3 y 6.
Se pudo constatar que la
Forma 3
resistió
bien los sesgos impuestos y que en cambio la Forma 6 condujo a resultados
muy inadecuados para el nivel general de la mortalidad.
Los ensayos realizados conducen a recomendar la conveniencia del uso
de dos relaciones, de distinta estructura, simultáneamente.
Si
conducen
al mismo resultado no existe problema en qué valores tomar para (r) y (d).
Si los 2 métodos usados conducen a valores (r) y (d)
muy diferentes, el a-
nalista podrá descartar ambos resultados o adoptar el resultado que a
su
juicio le parezca más razonable.
Otra conclusión que se logra de estos ensayos es que si el coeficieri
te (S) al aplicar las Formas 1 y 5 no difiere significativamente de 1 por
ejemplo si varía entre 0,95 y 1,05, las tasas de mortalidad (Z^/A^) estarán bien o, lo que es lo mismo, no se debe hacer ajustes a la
Sin embargo, es conveniente comparar las tasas
encontradas
mortalidad.
con
las de
otras poblaciones reales, ya que ese 5 por ciento puede deberse, esencial^
mente,a que sea impropia la tasa para la población menor (menores de laño,
1-4 años).
A N E X O
HI
En el presente anexo se indican los diversos procedimientos
numéri-
cos seguidos para encontrar las diversas relaciones usadas en el
cálculo
de ordenadas y derivadas de las funciones N(x)
y D(x)
para las aplicacio-
nes de las formas 1 a 6.
Cálculo de N(x) usando grupos quinquenales
de edades
Disponiendo de los grupos quinquenales
y
3
=
N y
S X
2
=
tf
5 X+5
y
3
»
N ^
y
5 X+lfl t
^ y
5n x+m^s
s
tal como se indica en el gráfico siguiente:
GRAFICO
1
X
X* 5
X*10
es posible aislar del grupo
N
X*1 5
el grupo N
X«20
X»25
de edades (x+4) y los 4 pri_
meros grupos individuales de ( s # n + 5 ) » usando la matriz de multiplicadores
de Greville que se indica:
42
N
x+i»
N
x+s
N
x+$
"«7
1
I 0,0851
0,1380
0,0034
-0,0412
0,0147
0,0420
0,1936
-0,0248
-0,0192
0,0084
0,0094
0,2264
-0,0396
0,0024
0,0014
-0,0114
0,2296
-0,0284
0,0136
-0,0034
-0,0205
0,2020
0,0130
0,0100
-0,0045j
\y
Puede reducirse la dimensión de esta matriz aceptando que
3
aproximada à
,
3x+n
X+5
\
y -0 cotí lo que se llega a la matriz de Grabill
í 0,0851
0,1527
-0,0407
0,0029
0,0420
0¿2020
-0,0500
0,0060
0,0094
0,2278
-0,0438
0,0066
-0,0114
0,2262
-0,0182
0,0034
-0,0205
0,1975
0,0265
-0,0035
Apoyándose en estos 5 grupos de edades
individuales
(A.l)
y.
en
forma
siguiente:
(A.2)
(IV
,.. .N
)
X+i»
X+8
es posible proceder a la participación en quintos de ellos, de modo que es
posible encontrar franjas de ancho 0,2 para los grupos N«C«T| y N
se el gráfico 2).
XT$
.
(Vea
A ambos lados de (x+5) y a una distancia de 0,2 se tie
ne
5(0,0851 N ^ + 0,1527 N ^
X+ij
X+5
» 0,0662 y
+ 0,1761 y
0,0407
'
tf + 0,0029
X+6
- 0,0468 u
+
tf )
X+7
0,0045 y
para la franja anterior (amplificada en 5 ) y
5(0,0420 N A + 0,2020 N A - 0,0500 N ^ + 0,0060 N ^ ) '
X+i»
X+s
X+6
X+7
= 0,0576 y
1
= 0,1859 y
2
- 0,0486 y
3
+
0,0051 y
**
para la franja posterior (amplificada en (5)).
Dada la vecindad a que se encuentran estas franjas es posible
tomar
un promedio de estos dos valores con» estimación para (27
), con lo cual
XT 5
se llega a
JP
x+5
= 0,0619 y
3
\
+
0,1810 y
i
- 0,0477 y
3
+ 0,0048 y
h
(A.3)
43
Cálculo
de A"
usando grupos
quinquenales
X+ 2J5
Usando para
quinquenal (
) el valor central de la descomposición del
grupo
podemos aplicar los multiplicadores de Grabill o de
Gre-
ville
a)
usando multiplicadores de Grabill, para tramo semi-externo
N ^
=-0,0080
X+2>S
b)
N
5 X-5
N
-0,0080
5 X
'
5
N
X+
(A.4)
5
usando multiplicadores de Greville, para tramo semi-externo
N .
= -0,0114
íC+2a5
'
tf
de N'
X+7s5
+ 0,2296
5 ÍC-5
+ 0,0136
Cálculo
+ 0,2160
*
5
N
S
X
- 0,0284
N
- 0,0034
X+10
5
N ^
3C+5
+
N
(A.5)
S ®+15
usando los grupos quinquenaless
desde
N
5 X
hasta
N
5
3J+15
Disponiendo de los grupos quinquenales
Q
1
M
5 X
Q =;
2
ff
5 X+s
Q »
3
N
5 #+10
U
•»
=
I
.
5 £+15
es posible descomponer el grupo quinquenal (Q ) en sus (5) componentes de
2
edad detallada usando los multiplicadores semi-extremos de Grabill, de mo
do que
0,0336
0,2272
-0,0752
0,0144
N
x+&
N
0,0080
0,2320
-0,0480
0,0080
-0,0080
0,2160
-0,0080
0,0000
N
-0,0160
0,1840
0,0400
-0,0080
X+7
X+Q
Qi
Q
2
(A.6)
Q
3
Q1*
Usando los valores (N
.) como valores pivotales de una parábola de cuar•¡Gil*
to grado es posible encontrar el valor de la derivada al centro del inter
valo ( x + 5 ,
x+9).
Para una parábola de cuarto grado apoyada en los pivotes
-i y.-1 yn0 y, 1 y2 j
el valor de la derivada frente a i/^es igual a
K0 = -
2r
8
+3
- y 1, 1^
-
y?2
f
12
(A.7)
44
de modo que se tiene
N'
= - 0 . 0 1 1 7 N - 0,0248 N A +0,0448 N ^ - 0,0083 S ^ • (A.8)
X+7£
*
5 X
5 X+5
5 X+io
5 £+15
Osando los multiplicadores de Greville, se llega a
0,0148 N - 0,0126
ff
+ 0,0264
tf
+
'
5 X
5 X+5
5 ^+10
X+7#
+ 0,0041
y adoptando la hipótesis que (A N)=0
5 X
los multiplicadores de Grabill.
Calculo
de N
X+2£
(A.9)
N ^ .- 0,0031 N ^
S X+15
5 X+20
se cae en la relación deducida
usando los grupos quinquenales
desde
N hasta
5 X
con
N
5 31+15
Para descomponer el" grupo quinquenal extremo ( N ) usamos los multi-
x
5
plicadores para tramo extremo de Grabill, con el resultado
0,3616
-0,2768
0,1488
-0,0336
0,2640
-0,0960
0,0400
-0,0080
0,1840
0,0400
-0,0320
0,0080
N
0,1200
0,1360
-0,0720
0,0160
Nx+* f
0,0704
0,1968
-0,0848
0,0176
X+z
X+3
y el valor de la derivada de
K
N>
x
N
x+x
N
«3
(A.10)
Q
usando los multiplicadores de la
cuar
tica indicada anteriormente, nos da
IV
X+2¿
= -0,0717 N +0,1152
5 X
5
N
- 0,0552 N
+0^0117 21?
X+5
5 X+io
5 X+15
(A,11)
Si se visan los multiplicadores de Greville necesitando para ello
el
grupo quinquenal
Si en esta relación suponemos que (A í? )=0
5 X
caemos en la relación
anterior, deducida
directamente usando los multi-
plicadores de Grabill.
Cálculo
de T ,
Casos:
X+26
conociendo
acumulaciones
T
x
Intervalo semi-externo
Conociendo las acumulaciones
y
=T
X-5
y -T
57
O
X
3
u =2V
1
X+5
y =T ^
2
X+10
y =T
a
3
X+15
45
se pueden determinar las acumulaciones
:=
v
ü
0¡2
T
X + i
3
'
v
—T
X + 1 2 '
'
u —T
Oí
'
X+3*
v
=
O58
T
Mediante el uso de vina parábola de quinto grado apoyada en los pivotes
y¿0
ynj0s2
yniO>
s*»
y«j0:6
0ysn8j
laO
se puede determinar el valor de (í/0jg) que corresponde a í 1 ^ ^ .
Los valores de interpolación
en el intervalo (0,1) están
dados por
la siguiente matriz de Grabill de multiplicadores semi-extremos:
y
\ !-0,0336
Oá
y
\ -0,0416
Oah 1
0,8064
0,3024
-0,0896
0,0144
0,5824
0,5824
-0,1456
0,0224
y.Oá
0,3584
0,8064
-0,1536
0,0224
0,1584
0,9504
-0,1056
0,0144
y
0 58
-0,0176
M
y
0
(A.12)
y
l
\y>l
El valor para (y
y
0,5
) está dado por
= 0,011719 V
~ 0,097656 u
+ 0,585938 y
+
(A.13)
•f 0,585938 y Oá - 0,097656 y 0s8 + 0,011719 y 1
lo que conduce a:
X+2£
= - 0,0391 T
+ 0,4688 T + 0,7031 T ^
X-S
X
X+5
+ 0,0234 T
- 0,1562 r
x+xs
X+10
(A.14)
que 110 difiere mucho de la obtenida por interpolación lineal entre (y
e (y
)
o»
)
OjS
T
X+2jS
= 0,0376 T
X - 5
+0,4704 T +0,6944 T
'
X
X+5
-0,1406 T +
+ 0,0224 T
X+15
que es la que ha sido usado en las aplicaciones.
x
10
(A.15)
46
Caso 2. Intervalo extremo
En este caso disponemos de las acumulaciones
y
= T \y
3T X
= T
X+S
\y
2
= T.
X+10
; y
3
= T ,
tf+15
y - T
if
t
X+20
y podemos determinar las acumulaciones
y
"oí.
- T , \ y
- T x+z
=
^ 0*
3^3^058 = ^
usando la matriz de Grabill de multiplicadores para tramo extremo
y
—
^ 0j6
0,6284
0,6384
-0,4256
0,1824
-0,0336
¡y.
0,3744
0,9984
-0,5616
0,2304
-0,0416
V
0,1904
1,1424
-0,4896
0,1904-0,0336
0,0704
1,1264
-0,2816
0,1024
l
(A.16)
-0,0176
y la interpolación con la parábola de quinto grado con los valores pivotales
0
nos da para y
04* Q*S
Cb2
0j8 X
0J5
T t
= 0,2734 T + 1,0938 T , - 0,5469
X+ÍS
X
a+X5
3+10
+0,2188
T .
X+15
-0,0391 t
(A.17)
x+%¡
que no difiere mucho de la obtenida por interpolación lineal entre y
o*
e
y 04»
T
x+m
= 0,2824 T +1,0704 T
'
x
x+5
-0,5256 T ,
x+\o
+0,2104 T .
Calculo de N y N? usando una función bilogística
SO
arfis
-0,0376 ¡T . (A.18)
atf-20
modificada
1/
Se han demostrado—
delo adecuada
tasas
que una función bilogística modificada es un mo-
para describir la variación, según edad, de proporciones o
específicas
Se verá ahora como una bilogística modificada por una función de
edad puede ser usada como forma adecuada para describir la variación
1/
Bocaz, A., Tasas de Fecundidad por Edad.
Un Modelo Bilogístico
Resumen3 CELADE, (inédito).
la
de
de
47
una estructura de población (N ) b
Denotemos por (T
res a (x).
de su primera derivada.
) el total de personas de edades iguales o superio-
se
Aceptando que el límite de vida (en años) sea (w)x
se
pueden
definir 2 funciones bilogísticas modificadas:
Forma 1
In
(T /T - 1 ) » a -f bx + m In
o x
(x/(w-x))
(A. 19)
Forma 2
In (T /T - 1 ) » a + b ox
o x
+ m In (x/(w-x))
(A.20)
en que la segunda forma puede considerarse una forma un poco más
general
que la forma 1.
Veamos cómo se pueden calcular los parámetros de estas 2 formas
logísticas para algunos casos, concretos d e disponibilidad de
bi-
información
demográfica.
Caso de la Forma 1
Se dispone de los valores
T
0
T T
1 5
y se desea determinar los valores: N ,
1
N .
2
N , N para las edades indi3
k
viduales 1, 2, 3 y 4 del grupo cuatrienal N
Las condiciones que debe satisfacer la bilogística
y
-Forma 1- son
= a + b + m vi
y
yff
5
io
= a + rb +. m v
(A.21)
5
~ a + 10b + m v
10
siendo y
= In (T /T -1); v = ln( 1/109); v
- In (1/21); v
=
X
o x
1
5
10
con w=110.
ln(
1/10)
La solución de este sistema es
b - M
w = 4
l
5
- A ) / (5/u -4/w )
1
5
1
- 4/ü
l
a —y
l
- b - rm>
i
siendo & = (w - w ) / w ; A
1
^5
1 5
= (z/ -y / w
Mo
5
5
(A.22)
48
cuyo programa para una Hewlett-Packard 25 es:
RCL6
RCL5-ST06
-RCL5T
+
RCL5 RCL4
ST07-(5) RCL6T
ST07 RCL4
-ST05 RCL3 RCL2
4 RCL5V-
x CHS RCL3 - RCL
TST03
1 + GTO
(31)
V =lní 1 / 1 0 9 )
- 1)
STO
5
V
- 1)
STO
6
V
i
o
5
o
10
ln(T /T
3
+
STO 4
o
2 ln(T /T
RCL1
CHS RCL7
00
con almacenamientos en STO O T
1 ln(T /T
-RCL6* RCL2
(4x) RCL5T
-1)
l
5
10
=Z«(1/21)
=ZTT(L/10)
resultados en GTO 00 •*• a
RCL3
f b
RCL7
•*• m
Para el cálculo de los grupos ( N ) de edades individuales aplicamos la
«v
relación
W « &T = T
x
x
x+i
- T
x
(A.23)
y para la primera derivada de la función (N ) -tratándose del cambio infini
•C
**
tesimal(A.24)
"ilo que puede llevarse a l siguiente programa en HP-25:
RCL4 RCLlx RCL3 + g e X RCL2 RCL1-5-1-RCL5 fy X r 1 + gl/x ST06 RCLO x
ST07 RCL5 RCL2 X RCL1* RCL2 RCL1-* RCL4+RCL7x RCL6 (1) STO+1
-x GTO «>
(40)
STO 0
con los almacenamientos en:
1
x
2
UJ=110
3
a
4
b
5
m
y los resultados en GTO 00; N' = n
SC
ST07
2C
: T
x
con un programa en que se aumenta automáticamente en (1) el valor de ( x ) de
modo que basta pulsar sucesivamente la tecla R/S para obtener los diferentes valores de (T ) y (17'=n )a medida que (x) aumenta de 1 en 1.
x
J
x
x
49
Ejemplo 1
2
Poblaciones estacionarias femenina y masculina. Chile 1952-1953—'
Mujeres
Hombres
- 5 683 539
T
» 5 591 718
T
T5
= 5 246 791
T5
T
= 4 822 673
T
= 0,392385
a
b
- 0,009876
b
= 0,011047
m
=
m
= 0,960263
T
T
a
0
1
10
0,961656
0
l
10
-
5 295 301
= 5 204 783
= 4 865 345
-
4 448 260
ss 0,442097
con los siguientes valores del modelo bilogistico modificado (BIM)
CHILE: MUJERES 1952-1953
T»
«
V
L
T
X
1
X
X
BIM
0BS
BIM
OBS
0
5 683 539
91821
91821
100060
100060
1
5 591 718
87535
87720
88563
88765
2
5 504 183
86326
86263
86780
86675
3
5 417 857
85713
•85640
85961
85850
4
5 332 144
85352
85304
85504
85447
5
5 246 792
85220
85170
CHILE: HOMBRES 1952-1953
X
TX
l
X
L
x
BIM
OBS
BIM
OBS
0
5 295 301
90518
90518
100000
100000
1
5 204 783
86165
86252
87202
87204
2
5 118 618
84953
84898
85406
85301
3
5 033 665
84340
84304
84588
84495
4
4 949 325
83980
83984
84132
84113
5
4 865 345
2/
Gomosa, J. y Tacía, 0., La Mortalidad en Chile según las Tablas de Vida
de 19203 1930, 19403 1952-19603 CELADE, Serie A, N° 17.
50
Caso de la Forma 2
Como Xa función tiene 4 parámetros: a,
(y
b,
o y m debemos usar 4 valores
) como pivotes.
Para el tramo 0-15 podemos establecer las siguientes condiciones:
u1
~
y
»
a + bo -f m ln
«
a + bo • + m ln
y í0 =
a + bo10
y
a
«
(1/109)
(1/21)
(A.25)
-f- m ln ( 1 / 1 0 )
* Z?C?LS F R O Í W
(3/19)
siando
w = IníT /T -1); w *
x
o x
110
El valor de (o) se calcula resolviendo por iteración la ecuaaión
r
=
A
10
-4
5
) /
(I 4
S
1
) S
o
(es/U
10
—
1/W
5
)/*
(A.26)
siendo
^
K
4
0
=(y
f
y»»
w
i
=
10
í y
ioVü5
= Q/ -y )A>
1
w
= ln( V )
W
- 3/
= ln(
X
«e/u
55
10
= c^(cs-l)/(e',-l)
- in(1/ )
21
IO
10
10
10
).
m9
1
21
. ., . 10
(A. 27)
y usando el siguiente programa HP 25:
RCLO (5) fy X ST04(1)- RCL4 RCLO; STO 5 x RCL 5 (1)- : ST05 RCL2Í
RCL 1 gl/x -ST06 gl/x RCL4 RCL3* RCL2 gl/x -x RCL5 x RCL7 - GTO 00
(35 instrucciones)
colocando en:
STO 0: c ST07: r
1: w
2: w
3: w
(razón conocida)
i
5
10
Para el cálculo de (c) se coloca un (o) arbitrario -alrededor de 1se modifica hasta que el resultado sea una cantidad muy vecina de 0.
y
51
Ejemplo 1
Poblaciones estacionarias -femeñinaV masculina- para los Estados
Unidos
en el año 1901™^
Mujeres
Hombres
T
X
5
5
4
4
4
0
1
5
10
15
324
231
885
463
047
T
X
X
150
438
249
619
193
0
1
5
10
15
a as -0,07829
b = 0,557654
1,015615
a
m•ss 0,963690
X
4
4
4
3
3
787
696
367
969
578
531
858
098
411
223
a - -0,184739
b « 0,684573
c = 1,014827
m ss . 0,950126
con los siguientes valores bilogísticos modificados (BIM)
T
X
-
X
.
L.. .
l
X
X
BIM .
BIM
JWGÜ/
JWGB/
Mujeres
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
324
231
143
056
970
885
800
715
631
547
363
150
438
205
449
557
249
366
813
528
471
619
92712
88233
86756
85892
.85308
84883
84553
84285
84057
83852
92712
88227
86719
85901
85342
84923
84570
84278
84034
83825
100000
89395
87342
86261
85567
85076
84705
84411
84166
83952
100000
89623
87257
86242
85587
85117
84730
84410
84145
83922
90673
84633
82673
81598
80856
80301
79850
79475
79163
78898
100000
86204
83484
82060
81149
SO 506
80024
79644
79329
79057
100000
86426
83386
82041
81189
80548
80054
79645
79306
79021
Hambres
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
37
4/
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
787
696
612
529
447
367
286
207
127
048
969
531
858
195
483
908
098
843
015
533
343
410
90673
84663
82712
81575
80810
80255
79828
79482
79190
78933
BIM = Bilogística modificada
JWG = J.W. Glover
Department of Commerce, Bureau of the Census, United States Life
Tables
1890,
1901,
1910 and 1901-1910.
Table 6, pag. 62.
Glover, J.W., United States
Life Tables (1890s
Dept. of Commerce, Bureau of the Census, 1921.
1901, 1910 and 1901-1910)
52
Ejemplo 2
Poblaciones estacionarias -femenina y masculina- para Chile
en
1960«
1961.
M u j e r e s H o m b r e s
X
X
0
1
5
10
5
5
5
5
991
898
550
119
417
958
016
246
5
5
5
4
0
1
5
10
a ss 3 , 9 1 6 1 2 2
b « 3,564072
0,99729
o
S
0,962937
m
a s
b ss
a JR
m js
467
376
033
609
653
464
236
883
-6,660714
7,084036
1,00153
0,961558
con la siguiente comparación entre valores bilogísticos y valores indicados
por los autores:
f
L
x.
X
S-T
S-T
BIM
92459
88390
87214
86789
86549
100000
89341
87693
86977
86605
86397
86270
86184
86110
86036
85949
100000
89281
87499
86930
86648
86450
100000
87985
86285
85541
85152
84932
84797
84704
84624
84543
84447
100000
87776
86089
85533
85217
85004
BIM
Mujeres
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
991
898
810
723
636
550
463
377
291
205
119
417
958
573
280
507
016
687
462
315
241
246
92459
88385
87293
86773
86491
86329
86225
86147
86074
85995
85834
Hombres
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
467
376
289
203
118
033
948
863
778
694
609
653
464
465
596
269
236
376
628
964
380
883
91189
86999
85869
85327
85033
84860
84748
84664
84584
84497
91189
86932
85811
85375
85110
84297
BIM s Bilogística modificada
S-T = Somoza-Tacla
53
pudiendo verse que la función bilogística describe bien la variación
la población estacionaria en el intervalo 1-9 años usando
la
de
situación
conocida frente a las edades 1, 5, 10 y 15 años.
La derivada segunda de las funciones bilogísticas modificadas pueden
escribirse en la forma general
n
=
x
siendo
pf
k
T
[(1'2Pr) k*
x «T
+
= TJ?q
qf
= l-p y
= x/w
q
= 1 -p
~ b + rw/x(w~x);
X
k = bo
(Ino
)
z
/ (P¿7 X > 2 ]
(A
-28)
para la forma 1
+ mu/x(w~x)i
para la forma 2
Para el caso de una población estacionaria la razón (
senta la tasa instantánea de mortalidad.
Por otra parte, el
)
reprevalor
de
(n*) se usa en la aplicación de las Formas 2 y 3, sugeridas por J. BourgeoisX
Pichat.
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