Horizontes en cosmología
En cosmología podemos definir algunas distancias que tienen ciertas propiedades
especiales y que es conveniente conocer.
Radio de Hubble. Distancia a la que la velocidad de recesión de
una galaxia es igual a la velocidad de la luz. La velocidad de
recesión de una galaxia viene dada por la relación v = dr/dt = H r.
H es la constante de Hubble y r es la distancia cómovil radial.
Igualando a la velocidad de la luz tenemos que rH = c/H = 3000 h-1
Mpc, con h = H/100 .
Horizonte de partículas (radio del universo observable).
Distancia a los objetos más lejanos que podemos observar
en principio debido al viaje finito de la luz desde el Big Bang.
Esos objetos tendrán un desplazamiento al rojo virtualmente
infinito. La distancia puede ser definida como la distancia
recorridad por la luz c dt amplificada por la expansión del
universo en una cantidad directamente proporcional al
cambio del factor de escala a(t0)/a(t) = 1/a(t) = (1+z). Y por
tanto tendremos que
El horizonte de partículas representa el radio del universo
observable.
Radio del universo visible. La radiación electromagnética
más primitiva que podemos observar, el fondo cósmico de
microondas, proviene de la época en la que los electrones se
combinaron con protones para formar hidrógeno (a unos
3000 grados) y corresponde a un desplazamiento al rojo de
unos 1100, cuando el universo tenía unos 300,000 años de
edad (ver universo primigenio). Por tanto, el radio del
universo visible sería
Horizonte de eventos. Corresponde a la distancia de los
objetos más lejanos que podremos observar en un futuro
arbitrariamente lejano. El horizonte de eventos separa
aquellos objetos en su interior que podremos observar en
algún momento de aquellos objetos que jamás podrán ser
observados por hallarse fuera del cono de luz futuro del
observador. Los modelos de universo donde la integral
converge tienen un horizonte de eventos. tmáx es el tiempo de
expansión futuro que puede ser infinito o finito (por ejemplo en un
universo donde empieza una fase de contracción) y t0 es la edad del
universo en el momento de la observación.
Veamos las carácterísticas de estas distancias especiales en diferentes modelos de
universos. Empecemos por un caso matemáticamente sencillo (veremos que
conceptualmente no lo es tanto):

Expansión lineal a(t) = t/t0.
Esta situación podría darse idealmente en un universo vacío de materia
y con una constante cosmológica igual a cero.
La constante de Hubble puede calcularse en este modelo como
H0 =1/a da/dt = 1/t0y no es más que la inversa de la edad del universo o
tiempo de Hubble. Y por tanto el radio de Hubble será
rH = c/H0 = c t0. Los objetos que están a esta distancia se alejarán del
obserador a la velocidad de la luz. rH puede calcularse como la distancia
recorridad por la luz c dt amplificada por la expansión del universo en una
cantidad directamente proporcional al cambio del factor de escala
a(t0)/a(t) 1/a(t) =t0/t = (1+z). Y por tanto tendremos que la distancia a un
objeto de desplazamiento al rojo z viene dada por
donde vemos que el desplazamiento al rojo de los objetos en la esfera de
Hubble tienen que cumplir log (1+z) = 1 y por tanto z = e - 1 = 1.718
Observamos así algo importante. La esfera de Hubble no es un
horizonte cosmológico. En principio podemos observar tranquilamente
una galaxia situada más allá de la esfera de Hubble, de mayor
desplazamiento al rojo que 1.718 y por tanto que se aleje a una velocidad
mayor que c!!!. Tenga el lector en cuenta que esto no contradice la
relatividad especial porque la galaxia no es capaz de viajar más rápido que
un rayo de luz que se mueva en sus proximidades. En realidad, la
velocidad de una galaxia comparada con la luz que se mueve en sus
inmediaciones es como mucho del orden de unos centenares de km/s (su
velocidad peculiar).
Vemos además que la velocidad a la que se aleja del observador la
esfera de Hubble es drH/dt = c. Esto significa que la esfera de Hubble se
aleja del observador a la misma velocidad que las galaxia que se
encuentran sobre ella. Por tanto, la cantidad de galaxias (más
especificamente la cantidad de materia) que permanecen dentro de la
esfera de Hubble es constante con el tiempo.
Si ahora intentamos calcular la distancia al horizonte de partículas,
vemos que la integral correspondiente diverge. Eso significa que no hay
horizonte de partículas o que en principio podemos observar todo el
univero. ¿Pero cómo puede ser esto así si el universo fuera arbitrariamente
grande?. La razón es extraña desde el punto de vista intuitivo. Por muy
alejadas que se encuentren dos galaxias en una determinada época,
siempre encontramos un tiempo finito en el pasado donde se encontraban a
una distancia lo suficiente pequeña para que la luz pudiera viajar entre
ellas en el resto de tiempo disponible hasta dicha época. Esta es una
propiedad bastante curiosas de los modelos de expansión lineal.
La ausencia de un horizonte de eventos dependerá de que el tiempo de
expansión sea finito o infinito en el futuro. En un universo con un
parámetro de expansión que aumenta linealmente con el tiempo, el tiempo
de expansión disponible es en principio infinito y por tanto no existe un
horizonte de eventos. En principio, si dejamos pasar el tiempo suficiente
siempre podemos recibir la luz de un objeto por muy distante que se
encuentre.

Universo de Einstein-de Sitter. a(t) = (t/t0)2/3
El universo de tipo Einstein-de Sitter es el caso más sencillo de universo
dominado por materia y, consecuentemente, en expansión desacelerada.
La constante de Hubble en este caso puede ser calculada como
H0 =1/a da/dt = 2/(3 t)
Por tanto, el radio de Hubble será rH = c/H0 = 3/2 c t0
Los objetos que están a esta distancia tendrán se alejarán del obserador a la
velocidad de la luz. rH puede calcularse como la distancia recorridad por la
luz c dt amplificada por la expansión del universo en una cantidad
directamente proporcional al cambio del factor de escala a(t0)/a(t) = 1/a(t)
=(t/t0)-2/3 = (1+z). Y por tanto tendremos que la distancia a un objeto de
desplazamiento al rojo z viene dada por
donde vemos que el desplazamiento al rojo de los objetos en la esfera de
Hubble tienen que cumplir 2 [1-(1+z)-1/2] = 1 ó z = 3
La esfera de Hubble se aleja del observador a una velocidad
igual a 3/2 c, lo que significa que las galaxias que se encontraban
fuera de esta esfera la cruzan hacia el interior a una velocidad
relativa de 1/2 c. En otras palabras, el número de galaxias dentro
de la esfera de Hubble aumenta con el tiempo.
Vemos por tanto que galaxias (superlumínicas) que se
encuentran en algún momento fuera de la esfera de Hubble
terminan por entrar y convertirse en sublumínica. La luz emitida por
esta galaxia empieza en algún momento a acercarce al observador
terminando por alcanzarlo en algún momento.
¿Y el horizonte de partículas?. Si calculamos la integral
rP = r (z = 3 c t0
obtenemos una respuesta finita, lo que implica la existencia de un
horizonte de partículas y por tanto un universo observable finito.
La velocidad de recesión del horizonte de partículas es de 3 c,
mientras que la velocidad de recesión de las galaxias es v = H0 rP =
2/3 t0 3 c t0= 2 c
lo que implica que nuevas galaxias entran en el universo
observable a velocidad c, y a medida que transcurre el tiempo
podemos ver mayor parte del universo. A consecuencia de esto, el
modelo de Einstein-de Sitter carece de horizonte de eventos.

Universo en expansión exponencial. Universos tipo de Sitter.
a(t) = exp [(t-t0)/t0]
Los universos de tipo de Sitter tienen gran importancia en el
escenario conocido como inflación donde el universo se expande
exponencialmente con una tasa de expansión tremenda (doblando
su tamaño unas 80 veces en unos meros 10-33 s).
En este caso la constante de Hubble permanece realmente
constante con el tiempo pues H = 1/a da/dt = 1/t0
t0 representa en este caso un tiempo característico de expansión
que no tiene por qué tener ninguna relación en principio con la
edad del universo. Por ello es más conveniente escribir el
parámetro de expansión como
a(t) = exp [H (t-t0)]
Siendo t-t0 el intervalo de tiempo considerado.
Debido a la constancia de la constante de Hubble, el radio de
Hubble permanece fijo. Por tanto, las galaxias saldrán del radio de
Hubble a la velocidad de la luz.
Tendremos que la distancia a un objeto de desplazamiento al
rojo z viene dada por
r(z) = c z/H
Y los objetos que se encuentre a desplazamiento al rojo z = 1 se
alejan del observador a la velocidad de la luz.
El horizonte de partículas se encontraría a una distancia r (z)
y por tanto arbitrariamente lejos del observador. En otras palabras,
un universo tipo de Sitter carece de horizonte de partículas y
podemos decir que todos los objetos estuvieron en algún momento
suficientemente cerca para que la luz pudiera llegar hasta nosotros.
Sin embargo, debido a que los objetos salen de la esfera de
Hubble a la velocidad de la luz, la luz de objetos que se encuentren
más allá de la esfera de Hubble (z > 1) empezará a alejarse del
observador, y por tanto, sucesos que ocurran ahora mismo a
distancias mayor que el radio de Hubble no serán nunca
observables en un futuro arbitrariamente lejano. La esfera de
Hubble actúa por tanto como un horizonte de eventos.
Una manera intuitiva de entender la existencia de los diferentes
tipos de horizontes es mediante el uso de diagramas espaciotiempo conformes. En un diagrama espacio tiempo conforme se
representa en el eje horizontal la distancia comóvil r frente al
tiempo conforme  en el eje vertical siendo
dt/a(t) . En esas coordenada los rayos de luz tienen
trayectorias rectas de la forma r = siendo el tiempo conforme
en el momento de observación.
El radio del universo observable es es la distancia OP formada
por todos los objetos desde donde ha podido llegar la luz (lineas
rojas) hasta el observador en algún momento desde el Big Bang
(línea horizontal inferior de la figura). El momento en que el fondo
cósmico de microndas empieza a viajar libremente sin interaccionar
con la materia (indicado con la línea horizontal azul) marca el límite
del universo visible (distancia OD).
Es importante apreciar el hecho de que los sucesos indicados
con c son los sucesos más lejanos del observador que han podido
ser influidos por lo sucedido en su pasado mutuo. Por simple
geometría se puede ver a partir del triángulo en rojo, que esta
distancia mínima OC = OP/3. En otras palabras, objetos que se
encuentren en direcciones opuestas del cielo y situados en menos
de 1/3 del radio universo observable están causalmente
conectados.
También se puede notar que si la integral dt/a(t) diverge cuanto
testaremos en un universo con edad conforme infinita
(aunque su edad sea finita) y por tanto sin horizonte de partículas,
pues en principio los rayos de luz pueden proceder de cualquier
objeto, por muy alejado que se encuentre. Esto se puede
compreder fácilmente en el diagrama prolongando el eje vertical
infinitamente hacia el pasado.
El otro caso interesante es cuando la integral dt/a(t) converge
cuanto tEn este caso staremos en un universo limitado en el
futuro en tiempo conforme y con un horizonte de eventos.
Horizontes de partículas en los
escenarios inflacionarios
De acuerdo con los escenarios inflacionarios, una expansión
exponencial ocurrió en el universo muy temprano cuando habían
transcurrido unos 10-35 segundos desde el Big Bang y la energía
característca rondaba los 1015 GeV.
Dicha expansión exponencial duró una cantidad finita (y muy pequeña)
de tiempo de tal forma que las escalas de distancia crecieron en un factor
enorme que podemos poner como
a(tf)/a(ti) = eN
siendo a(tf) el parámetro de expansión en el momento de finalizar el
periodo inflacionario, a(ti) el parámetro de expansión en el momento
inicial de inflación y N una medida apropiada del incremento de la escala
de distancias.
En una expansión exponencial el parámetro de expansión evoluciona
como
a(t) = a(ti) exp [H (t-ti)]
Un observador después de que haya ocurrido la transición inflacionaria
verá el horizonte de partículas a una distancia
rP = c0tfa(tf) dt/a(t) =c0tia(tf) dt/a(t) + ctitfa(tf) dt/a(t)
Despreciando la contribución del universo preinflacionario y
teniendo en cuenta que da(t) = H a(t) dt tenemos que
rP = c/H a(tf)
a(ti)a(tf)da/a2(t) = c/H {a(tf)/a(ti)-1}
Luego rP = c/H {eN-1}
y el horizonte se aleja del observador durante inflación a una
velocidad superlumínica
drP/dt= c/H eN dN/dt = c eN
y mientras que una partícula situada en el horizonte del observador
se aleja a una velocidad
v = H rP = c {eN-1}
donde se ve fácilmente que el horizonte traspasa a las partículas que se hallan en él a velocidad c,
como debe ser siempre el caso.
Puesto que el radio de Hubble permanece constante a una
distancia c/H, todas las partículas son barridas mucho más allá del
radio de Hubble por el periodo inflacionario. Sin embargo, cualquier
partícula que se encontrar dentro del universo observable antes de
inflación permanecerá dentro del universo observable después de
inflación.
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