Una mirada discreta a los medios granulares
A discrete glance at granular media
Jesús SANCHEZ1 y Gabriel AUVINET2
1, 2 Instituto
de Ingeniería, UNAM
RESUMEN: Terzaghi, Dantu, Marsal y otros investigadores consideraban que la hipótesis de medio continuo no es del
todo adecuada para describir los medios granulares. En la presente investigación se analiza la estructura de los medios
granulares considerándolos como medios discretos. Por medio de simulaciones numéricas se generan muestras
granulares aleatorias constituidas por partículas esféricas. Se estudia la estructura de los espacios vacíos y de la
fracción sólida dentro de materiales depositados en el campo de la gravedad. El análisis de los poros se lleva a cabo
mediante la porosidad y la distribución de tamaño de poros. El estudio de la fracción sólida comprende el número de
coordinación y la repartición de contactos. Los resultados muestran que estas características del medio están
fuertemente afectadas por el coeficiente de fricción interparticular y la granulometría. El estudio de las fuerzas de
contacto muestra la existencia de una fuerte dispersión tanto en magnitud como en orientación. Se pone en evidencia la
anisotropía geométrica y mecánica.
ABSTRACT: Terzaghi, Dantu, Marsal and other researchers considered that the continuum hypothesis is not entirely
adequate to describe granular media. In this work, the structure of granular media considering them as discrete media is
analyzed. Granular random samples consisting of spherical particles are generated by numerical simulations. The fabric
of voids and solid fraction is studied within materials deposited in the gravity field. The analysis of pores is carried out
assessing porosity and pore size distribution. The study of the solid fraction comprises the coordination number and
contacts distribution. The results show that these characteristics are strongly affected by interparticular friction coefficient
and grain size. Besides, the contact forces present a notable scattering both in magnitude and orientation. Geometric
and mechanical anisotropy are evidenced.
1 INTRODUCCIÓN
Los medios granulares son sistemas compuestos
por un gran número de partículas que interactúan
entre sí. Sin embargo, desde los inicios de la
geotecnia estos materiales se abordaron como
medios continuos.
Therzaghi fue el primero en advertir que la
hipótesis de continuidad había sido útil para resolver
un problema particular, pero que se había convertido
en un obstáculo para futuros avances tan pronto
como dicha suposición quedó en el olvido.
Posteriormente, Dantu, Biarez, Cundall, Marsal,
Auvinet, entre otros, han estudiado tanto teórica
como experimentalmente el comportamiento de
estos materiales considerando su naturaleza
discontinua.
Para analizar los medios granulares desde el
punto de vista discreto, el estudio de la estructura de
los medios granulares es fundamental. En física e
ingeniería, la estructura de los medios granulares se
describe con el tamaño y forma de los granos, el
arreglo geométrico de las partículas (desordenados
o arreglos regulares) y el tipo de interacciones entre
ellas (fricción, cohesión y fuerzas de contacto).
Motivados por las importantes aportaciones que
se han hecho en México a este tema, a través de
experimentación y modelación numérica, se
presenta a continuación un estudio elemental de la
estructura de los medios granulares. Los resultados
obtenidos contribuyen a la todavía no unificada teoría
de los medios discretos. Se recurre a modelos
avanzados de simulación de la estructura y del
comportamiento de medios granulares.
2 MODELOS
En la actualidad existe una gran cantidad de
modelos numéricos para simular arreglos de
partículas. Isola (2008) distingue cuatro categorías:
contracción mecánica (consiste en generar las
partículas en un espacio con volumen mucho mayor
al del arreglo final, en aplicar fuerzas verticales y
dejar que las partículas se depositen hasta alcanzar
una estructura estable), Monte Carlo (se generan
partículas pequeñas aleatoriamente dentro de un
recipiente en un volumen aproximadamente igual al
del medio granular y las esferas se expanden por
medio de pequeños incrementos sin traslaparse
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
2
Una mirada discreta a los medios granulares
unas con otras), depósito vertical (las partículas se
colocan individualmente por caída vertical dentro de
un recipiente y posteriormente la partícula rueda
libremente hasta encontrar una posición de
equilibrio) y depositación esférica (las partículas se
acomodan en forma centrípeta ocasionando que el
arreglo crezca en forma esférica).
En este trabajo se consideran medios granulares
de partículas esféricas, simulados con un
procedimiento geométrico de depositación vertical
(Auvinet, 1972). Por su carácter geométrico, este
algoritmo se ejecuta a gran velocidad. La interacción
mecánica entre partículas de las muestras obtenidas
se simula mediante el método de elementos
discretos (DEM).
2.3 Procedimiento de simulación
2.1 Modelo de simulación geométrico
Tabla 1. Parámetros de simulación
Auvinet (1972) formuló un algoritmo que permite
construir arreglos de partículas esféricas dentro de
un recipiente cúbico.
La simulación de la formación de la estructura
consiste en elegir aleatoriamente el diámetro de una
partícula
dentro
de
una
granulometría
predeterminada, seleccionar al azar la posición de
cada partícula, buscar tres partículas de apoyo (en
su caso las paredes del recipiente) y verificar el
equilibrio estático local. La posición de la partícula
colocada se acepta si no interseca otras partículas o
el recipiente. Los pasos anteriores se repiten hasta
contar con un número suficiente de partículas para
llenar el recipiente.
Parámetro
Valor
Número de partículas
30 000
Tamaño del recipiente, L (m × m × m)
2×2×2
Granulometría, G
uniforme, binaria y
continua
Relación de diámetros, a
1, 3, 10
Densidad,  (kg / m3)
2 600
Módulo de rigidez normal, kn (N / m)
106
Módulo de rigidez tangencial, ks (N / m)
106
Coeficiente de fricción, µ (adim)
0.0, 0.7
Coeficiente de amortiguamiento (adim)
0.5
Nota: kn, kn y  se aplican también al recipiente de simulación
2.2 Modelo de simulación mecánico
Para tomar en cuenta las interacciones mecánicas
entre partículas se recurrió al programa de cómputo
PFC3D (Itasca, 2008), el cual utiliza el método de
elementos discretos (DEM).
El DEM simula el comportamiento mecánico de un
conjunto de partículas que interactúan entre sí a
través de sus puntos de contacto. Este método
numérico fue formulado por Cundall (1971) para
bloques de roca y Cundall y Strack (1979) para
medios granulares. Las características del DEM son
bien conocidas en la literatura y se pueden consultar
en las referencias anteriores o en Itasca (2008).
Para lograr un estudio en su aspecto más
elemental se adoptó un modelo de contacto lineal
(Itasca, 2008), que consiste en un elemento elástico
en dirección normal al contacto, un elemento elástico
en dirección tangencial y un elemento de
deslizamiento en dirección tangencial dado por el
coeficiente de fricción .
Para disipar la energía cinética del sistema se
utiliza
un
amortiguamiento
proporcional
al
desequilibrio global de fuerzas en el medio. El
amortiguamiento permite mejorar el desempeño del
DEM pero no tiene significado físico.
La secuencia de modelación utilizada en este trabajo
consiste en generar medios granulares aleatorios
con el algoritmo de simulación geométrico de
Auvinet (1972). En seguida, el medio granular se
somete a la acción de la gravedad recurriendo al
programa PFC3D (Itasca, 2008). En esta etapa de la
simulación se toma en cuenta la interacción
mecánica entre partículas. Una vez alcanzado el
equilibrio estático, el estudio de la estructura se lleva
a cabo considerando solamente las partículas del
centro de la muestra para eliminar los efectos de
frontera.
Los parámetros de simulación utilizados en el
presente trabajo se muestran en la Tabla 1.
El estudio comprende materiales formados por
esferas iguales (uniformes), mezclas de dos
componentes (binarias) y esferas con granulometría
continua. La figura 1 presenta un ejemplo de las
muestras simuladas.
Figura 1. Muestra granular de granulometría continua
Se entiende por mezcla binaria un material
granular obtenido a partir de dos materiales con
partículas de igual diámetro Dmáx (esferas grandes),
Dmín (esferas pequeñas) y se denomina a=Dmáx/Dmín a
la relación de los diámetros. La distribución
granulométrica P3V(d) es la proporción del volumen
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3
SÁNCHEZ J. et al.
para d  Dmín
p ;
P3V d    3V
1  p3V ; para d  Dmáx
(1)
La granulometría continua considera partículas de
todos los tamaños comprendidos entre Dmin y Dmax.
Su distribución granulométrica F3V(d) se interpreta
como la proporción en volumen de partículas con
diámetro menor o igual que d. Para el presente
estudio se considera una F3V(d) lineal en el intervalo
[0,1], con F3V(d=Dmin)=0 y F3V(d=Dmax)=1.
3 ESTRUCTURA DE LOS POROS
El espacio de los vacíos de un medio granular puede
describirse recurriendo a dos conceptos usuales en
geotecnia.
Porosidad, n
total de sólidos que corresponde a las partículas de
cada tamaño (ec. 1)
2 
n1  n 
Np
(2)
Donde: 2: la varianza de la porosidad; n: la
porosidad; y Np: el número de puntos de la
estimación.
Los análisis de esta investigación se realizaron
con Np=106 lo que corresponde a un ancho del
intervalo de confianza (+/- ) de 0.0005.
En medios uniformes la porosidad puede variar
entre 0.26 y 0.48 (arreglos regulares tetraédrico y
cúbico simple respectivamente). En los medios
desordenados simulados se obtuvo una porosidad
de 0.35 si no existe fricción y hasta de 0.43 cuando
> 0.7.
Las mezclas binarias se caracterizan por
presentar una porosidad menor respecto a los
materiales uniformes. Furnas (1931) y Dias et al.,
(2004) presentaron ecuaciones para calcular la
porosidad mínima en función de p3V cuando a→∞. En
las Figuras 2 y 3 se muestran los resultados de la
porosidad obtenida en las muestras simuladas, así
como la porosidad mínima calculada de acuerdo con
los autores anteriores. Puede observarse que la
porosidad máxima siempre corresponde al material
uniforme. La Figura 3 muestra que, en medios no
friccionantes, se alcanza prácticamente el valor
teórico de Dias et al., (2004) para a = 10.
0
0.7
n min (Dias 2004)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p3V
Figura 2. Mezclas binarias. Efecto de p3V sobre la
porosidad, para a=3 (simulación numérica) y para a=∞
(Dias et al. 2004)
Porosidad , n
3.1 Porosidad
Para evaluar la porosidad de los medios simulados
se generan puntos al azar en el espacio y se cuenta
el número de ellos que caen en los espacios vacíos.
La porosidad se obtiene como el cociente entre el
número de puntos en los vacíos y el número total de
puntos generados (Np). El Np requerido para
alcanzar determinada precisión de estimación se
calcula tomando en cuenta que el número de puntos
que se encuentran en los poros es una variable
aleatoria con distribución binomial (ec. 2):
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0
2
0.7
n min (Dias 2004)
4
6
a=Dmáx/Dmín
8
10
Figura 3. Mezclas binarias con p3V=0.5. Efecto de a sobre
la porosidad (a=∞ para Dias et al. 2004)
Los estudios experimentales de Mota et al. (2001)
y Dias et al. (2004), realizados con esferas de vidrio,
mostraron que se obtienen arreglos más densos
cuando aumenta la relación a y cuando la proporción
de partículas pequeñas p3V está entre 0.3 y 0.5.
En las muestras con granulometría continua
simuladas con a=10 se obtuvo una porosidad de
0.25 y 0.35 con un coeficiente de fricción de 0 y 0.7
respectivamente. La porosidad es menor que la de
un material uniforme pero mayor que la de las
mezclas binarias con mismo valor de a.
3.2 Distribución de tamaño de poros
La estructura de los poros de un medio granular es
amorfa, continua y por tanto no es fácil describirla.
Una función que permite describir en forma implícita
las dimensiones de los poros es la distribución de
tamaño de poros F3V(p) (Matheron, 1967 y Auvinet,
1978). Esta función puede definirse como la
proporción del volumen total de vacíos inaccesibles a
una esfera de referencia de diámetro p.
La Figura 4 presenta algunos ejemplos de las
distribuciones de poro obtenidas. Si la granulometría
es uniforme, los poros son menores que el diámetro
de las partículas, la mayor proporción de poros se
encuentra de 0.2 a 0.5d y aparecen poros más
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4
Una mirada discreta a los medios granulares
grandes cuando se tiene un mayor coeficiente de
fricción.
1
Unif, =0
Unif, =0.7
Bin, a=3, =0
Bin, a=3, =0.7
Cont, a=10, =0
Cont, a=10, =0.7
0.4
0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Tamaño de poros, p / Dmin
3.5
0.4
 = 1.0
4
Figura 4. Distribución de tamaño de poros
En materiales con granulometría binaria y
continua, aparecen poros relativamente más grandes
asociados a las partículas grandes. Es de esperarse
que los poros pequeños estén asociados a partículas
pequeñas y que las partículas grandes den lugar a
poros más grandes. Las partículas más numerosas
son las que determinan el tamaño de los poros del
medio.
La distribución F3V(p) ofrece mucha más
información que un único valor de la porosidad.
F3V(p) puede ser útil para describir la complejidad del
tamaño de poros, distinguir entre micro, meso y
macro poros, relacionar el tamaño de poros con el
de las partículas, estudiar la permeabilidad y
transporte de partículas disueltas, entre otras cosas.
4 ESTRUCTURA DE LOS SÓLIDOS
Entre
las
características
que
proporcionan
información acerca de la configuración local,
conectividad entre partículas, transmisión de fuerzas
o de calor, entre otras cosas, se encuentra el
número de contactos por partícula y su repartición.
4.1 Número de coordinación
En las ciencias de materiales se llama número de
coordinación (Nc) al número de granos que están en
contacto directo con una partícula de interés.
El Nc es una variable aleatoria discreta
comprendida en el intervalo [2,12] cuando la
granulometría es uniforme. El valor mínimo es
requerido para la continuidad del sistema granular y
el máximo es el número de esferas que caben
alrededor de otra de igual tamaño. Auvinet (1986) y
otros investigadores han observado que la
distribución de probabilidad del número de contactos
tiene forma aproximadamente gaussiana (Figura 5).
En granulometrías no uniformes el problema es
tan complejo que no se ha encontrado siquiera un
Frecuencia, P[Nc=n]
0.6
 = 0.0
0.3
0.2
0.1
0
3
4
5
6
7
8
9
Número de contactos, Nc
Figura 5. Número de
granulometría uniforme
Frecuencia
F3V ( p / Dmin )
0.8
intervalo acotado. Pinson et al., (1998), Kristiansen
et al., (2005) y Sánchez et al., (2014, b) estudiaron el
Nc por tamaño de partículas en mezclas binarias.
Observaron que el Nc obedece a un efecto
geométrico dado por el espacio que ocupan unas
partículas en el contacto con otras y a un efecto
estadístico que depende del número de partículas de
cada tamaño presentes en la mezcla. Además, se ha
observado que el aumento en el coeficiente de
fricción reduce significativamente el Nc.
contactos
10
11
por partícula
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
en
ep-ep
ep-eg
eg-ep
eg-eg
0
10
20
30
Número de contactos
40
Figura 6. Nc por tamaño de partículas en mezcla binaria
con a=3, p3V=0.5 y =0. (ep: esfera pequeña, eg: esfera
grande)
Auvinet (1986) observó que la distribución del
número de contactos en materiales de granulometría
continua es aproximadamente poissoniana. Las
distribuciones observadas en este trabajo se
muestran en la Figura 7. Se ha intentado relacionar
el Nc con la superficie externa de las partículas o con
el ángulo sólido que ocupa una partícula sobre otra
pero no se han conseguido avances relevantes.
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SÁNCHEZ J. et al.
Los análisis por fracción granulométrica muestran
que la anisotropía geométrica varía con el tamaño de
las partículas. Sánchez et al., (2014, b) observaron
que en mezclas binarias la anisotropía global del
medio refleja la existente en las partículas más
numerosas. La posición de los contactos entre
partículas de diferentes tamaños pone en evidencia
la acumulación de partículas pequeñas sobre las
grandes. Este último rasgo había sido observado por
Auvinet (1986) en materiales de granulometría
continua.
0.5
=0.0
=0.7
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Número de contactos por partícula
Figura 7. Nc en medios de granulometría continua, a=10
4.2 Repartición de contactos
La anisotropía geométrica de los medios granulares
se puede estudiar examinando la repartición de los
contactos sobre la superficie de los granos. En un
sistema de referencia con origen en el centro de un
grano esférico, los puntos de contacto quedan
definidos en coordenadas esféricas por su latitud
(ángulo vertical, ), su azimut (ángulo horizontal, ) y
el radio de la partícula.
En los materiales depositados por gravedad, la
repartición de contactos es uniforme en el azimut
pero puede existir una concentración inherente de
contactos en la latitud (Auvinet, 1986) que depende
del coeficiente de fricción (Sánchez et al., 2014, a).
Como se muestra en la Figura 8, los materiales
sin fricción tienden a ser isótropos. En las muestras
con fricción, si la granulometría es uniforme se tiene
una concentración de contactos entre los 30 y 60° y
un déficit en el ecuador. Esta anisotropía inherente
se presenta también en las mezclas binarias debido
a los grupos de partículas del mismo diámetro.
Los materiales con granulometría continua
muestran
una
repartición
de
contactos
aproximadamente isótropa. En el caso de =0.7 se
detecta, sin embargo, una leve anisotropía inherente.
G. UNIFORME
90
60
90
60
=0.7
=0
0
Isotropía
Isotropía
-30
0
0
-30
-30
-60
-60
-60
-90
30
30
=0.7
=0
-90
-90
Figura 8. Repartición de contactos
5.1 Magnitud de fuerzas
Estudios experimentales y simulaciones numéricas
han mostrado que la densidad de probabilidad de la
magnitud de las fuerzas de contacto presenta un
pico para valores inferiores a la fuerza media y tiene
una cola a la derecha que decrece en forma
exponencial. Esta reducción exponencial de las
fuerzas grandes es una característica robusta de la
distribución de fuerzas en dos y tres dimensiones
(van Eerd, 2008). En cambio, las fuerzas débiles son
sensibles a la preparación de la muestra, a la forma
y tamaño de las partículas. Las simulaciones
efectuadas en este trabajo muestran que también el
coeficiente de fricción interparticular afecta la
densidad de probabilidad de las fuerzas (Figura 9).
Marsal (1966 y 1971), consideraba que la
magnitud de las fuerzas de contacto depende del
tamaño de las partículas y del número de contactos
por partícula, entre otros factores. La densidad de
probabilidad de la Figura 10 muestra que, con gran
frecuencia, las fuerzas entre partículas pequeñas
(ep-ep) son cercanas a cero mientras que las fuerzas
entre partículas grandes (eg-eg) resultan de mayor
magnitud.
G. UNIFORME
G CONTINUA, a=10
90
60
G. BINARIA
a=3, p 3V=0.5
30
5 FUERZAS DE CONTACTO
Las teorías de esfuerzos usadas comúnmente en
geotecnia fueron concebidas para medios continuos.
El concepto de esfuerzo en medios granulares debe
interpretarse en términos de fuerzas de contacto
entre partículas (Dantu, 1968 y Marsal, 1966).
0.01
Densidad de probabilidad
Frecuencia
0.4
5
=0.0
=0.3
=0.7
=1.0
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
100
200
300
400
500
600
700
Fuerza total ( N )
Figura 9. Densidad de probabilidad de las fuerzas de
contacto, granulometría uniforme
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6
Una mirada discreta a los medios granulares
Densidad de probabilidad
0.015
G. BIMODAL, a=3, p 3V=0.5, =0.0
0.01
Fuerzas ep-ep
Fuerzas ep-eg
Fuerzas eg-eg
0.005
0
0
200
400
600
800
Fuerza total de contacto ( N )
fuerzas juegan un papel muy importante en el efecto
de memoria que exhiben los medios granulares.
Las observaciones realizadas en los materiales
simulados muestran que las cadenas de fuerzas
tienen diversas trayectorias (Figura 12). Presentan
una tendencia preferentemente vertical debido a que
las partículas fueron depositadas en el campo de la
gravedad. En algunos tramos siguen direcciones
horizontales evidenciando el efecto de arqueo. En
otros casos, cuando la cadena forma un nudo, las
fuerzas se transmiten con mayor uniformidad.
1000
Figura 10. Fuerzas de contacto por tamaño de partículas
En otros trabajos se ha supuesto que las
componentes cartesianas de las fuerzas de contacto
son variables aleatorias con densidad de
probabilidad normal (Auvinet y Marsal, 1975). Las
estructuras depositadas por gravedad simuladas en
este trabajo confirman las consideraciones
anteriores, pero con un pico muy marcado para las
fuerzas cercanas a cero como lo muestra la Figura
11. Se obtuvo un coeficiente de curtosis (pico) de 3.4
a 7.3 en granulometría uniforme, de 10 a 50 en
granulometría continua y mayor de 450 en mezclas
binarias. El coeficiente de curtosis es mayor cuando
el coeficiente de fricción es nulo.
G. CONTINUA
0.01
0.005
F Observada
Normal
0.04
0.03
=0.7
0.02
0.01
Densidad de Probabilidad
0.015
Densidad de probabilidad
G. UNIFORME
Normal
F Observada
=0.7
FX ( N )
0
-100
0
100
200
FX ( N )
0
-200
0
200
Figura 11. Densidad de probabilidad de las componentes
cartesianas de las fuerzas de contacto
Figura 12. Cadenas de fuerzas
En las muestras de granulometría uniforme se
observó que las partículas con mayor número de
contactos transmiten fuerzas mayores debido a que
se encuentran más confinadas.
Si se considera como partícula inactiva a aquella
que transmite fuerzas inferiores a su peso propio
(W). En los medios granulares simulados se ha
podido observar que, a pesar de que existe una alta
proporción de fuerzas pequeñas, la cantidad de
partículas inactivas es prácticamente despreciable
(Figura 13). En efecto, se requieren numerosas
fuerzas pequeñas para equilibrar las escasas fuerzas
grandes dentro del medio granular.
En muestras de granulometría no uniforme, las
cargas mínimas están asociadas a las esferas
pequeñas que pueden quedar aisladas en los poros
de las grandes. Las partículas grandes rara vez son
inactivas ya que reciben el peso de las partículas
pequeñas que se acumulan sobre ellas.
3
3
Dantu (1968) observó que dentro de un medio
granular existen partículas sobrecargadas así como
partículas inactivas. A la secuencia de partículas que
transmiten fuerzas mayores y que dan soporte a la
estructura se les denomina “cadenas de fuerzas”.
Tighe et al., (2010) consideran que las cadenas de
Fuerza máxima de contacto ( N )
5.2 Actividad de partículas
10
10
Fuerza máxima de contacto ( N )
Las distribuciones de fuerzas de contacto
permitieron formular modelos para el análisis de
rotura de granos (Auvinet y Marsal, 1975). La rotura
de partículas influye en forma significativa en el
comportamiento mecánico de masas granulares (por
ejemplo en las presas de enrocamiento).
2
10
1
F contacto
Wep
10
Weg
0
10
-1
10
1
G BIMODAL
a=3, p 3V=0.5, =0.7
2
3
D / Dmin
2
10
1
10
G. CONTINUA
a=10, =0.7
0
10
F contacto
Wgranos
-1
4
10
2
4
6
D / Dmin
8
10
Figura 13. Partículas inactivas: Fmáx<Wgrano
En las muestras analizadas se observó que el
número de partículas inactivas es bajo. Por lo tanto,
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SÁNCHEZ J. et al.
el concepto de relación de vacíos estructural
sugerido por Marsal (1971) y estudiado por Alberro
(1980) y Alberro y Magaña (1981) parece no tener la
relevancia que se le ha atribuido.
Latitud () de FT
90
60
Latitud () de FT
90
60
Uniforme
p =0.8
3V
30
p3V=0.5
5.3 Orientación de fuerzas
p =0.2
En el inciso 4.2 se estudió la anisotropía geométrica
correspondiente a la repartición de contactos sobre
la superficie de los granos. A continuación se revisa
la anisotropía mecánica asociada a la orientación de
las fuerzas de contacto.
Cuando no existe fricción en la superficie de los
granos, las fuerzas de contacto tienen la misma
orientación que las normales a los contactos. En
caso contrario, las fuerzas pueden tener una
dirección distinta.
De igual forma que la repartición de contactos, la
orientación de las fuerzas es uniforme en el azimut.
Por lo tanto, la anisotropía mecánica se refleja
únicamente en la latitud .
Los análisis de las muestras con granulometría
uniforme permiten observar que la anisotropía es
más marcada cuando se incrementa el coeficiente
de fricción (Figura 14). Las fuerzas de contacto
tienden a orientarse en dirección vertical, es decir,
actúan en dirección de la gravedad.
Isotropía
30
a=3
a=10
3V
Latitud () de FT Latitud () de FT Latitud () de FT
90
90
90
60
60
60
7
Isotropía
0
0
p3V=0.5
a=3
Figura 15. Anisotropía mecánica, mezclas binarias con
=0.7
Latitud ( )
90
60
Fuerzas
Contactos
Isotropía
30
0
a=10, =0.7
Figura 16. Anisotropía en materiales con granulometría
continua
De acuerdo con los resultados anteriores, las
fuerzas de contacto tienden a orientarse
verticalmente. Puede decirse que la orientación de
las fuerzas está dada en primer lugar por la posición
del contacto y en segundo lugar por el campo de
esfuerzos externo.
LATITUD DE CONTACTOS
6 CONCLUSIONES
En el presente trabajo se analiza la estructura de
30
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los medios granulares en sus aspectos más
elementales por medio de simulaciones numéricas.
Se consideran partículas esféricas depositadas en el
campo de la gravedad y un modelo lineal de
0
0
0
interacción entre partículas.
=0.1
=0.3
=0.7
Los análisis muestran que el coeficiente de
Figura 14. Anisotropía mecánica, granulometría uniforme
fricción interparticular influye en las características
del medio como: porosidad, tamaño de poros,
En mezclas binarias con un coeficiente de fricción
anisotropía geométrica y anisotropía mecánica y en
=0.7, las fuerzas de contacto se orientan alrededor
el número de contactos por partícula.
de 75° respecto al plano horizontal cuando p3V=0.8
Los arreglos con granulometría uniforme
(Figura 15). La inclinación preferente de las fuerzas
presentan mayor porosidad que los de granulometría
respecto
a
un
plano
horizontal
es
de
binaria o continua.
aproximadamente 60° cuando la mezcla está
Se ha observado que el tamaño de poros se
formada principalmente por partículas grandes
relaciona con el tamaño de las partículas y
(p3V=0.2).
principalmente con el de las más abundantes.
Se observa que con el incremento de la relación
El número de contactos por partícula o número de
de tamaños a, la anisotropía mecánica de la mezcla
coordinación tiene una distribución de probabilidad
binaria disminuye. Si a=1, las fuerzas presentan una
aproximadamente normal para granulometría
concentración notoria en 70° y una ligera
uniforme y poissoniana en granulometría continua. El
concentración que va de los 50 a 90° cuando a=10.
número máximo de contactos depende de las
En los materiales con granulometría continua, las
dimensiones relativas de las partículas en la mezcla.
fuerzas se orientan principalmente de 45 a 75°. En la
El estudio de la repartición de contactos muestra
Figura 16 se aprecia que la anisotropía mecánica es
que la anisotropía geométrica es más marcada en
más pronunciada que la geométrica.
medios de granulometría uniforme y con altos
coeficientes de fricción.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
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Una mirada discreta a los medios granulares
La densidad de probabilidad de la magnitud de las
fuerzas muestra que existe una alta proporción de
fuerzas pequeñas y muy pocas fuerzas grandes.
La densidad de probabilidad permite establecer
que las partículas grandes transmiten las fuerzas
más grandes.
Las trayectorias de las cadenas de fuerzas
muestran una relación con el campo de gravedad y
evidencian el efecto de arqueo. Se observa que
todas las partículas son necesarias para el equilibrio
de la estructura y que existen pocas partículas
inactivas.
La anisotropía mecánica asociada a la orientación
de fuerzas aumenta a mayores valores del
coeficiente de fricción. Si las partículas son
perfectamente lisas, las fuerzas coinciden con las
normales en los contactos. Cuando el coeficiente de
fricción aumenta, las fuerzas se orientan de acuerdo
al campo de gravedad.
Tanto la anisotropía geométrica como la mecánica
son más marcadas en materiales con granulometría
uniforme y con altos coeficientes de fricción
interparticular.
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