Una mirada discreta a los medios granulares A discrete glance at granular media Jesús SANCHEZ1 y Gabriel AUVINET2 1, 2 Instituto de Ingeniería, UNAM RESUMEN: Terzaghi, Dantu, Marsal y otros investigadores consideraban que la hipótesis de medio continuo no es del todo adecuada para describir los medios granulares. En la presente investigación se analiza la estructura de los medios granulares considerándolos como medios discretos. Por medio de simulaciones numéricas se generan muestras granulares aleatorias constituidas por partículas esféricas. Se estudia la estructura de los espacios vacíos y de la fracción sólida dentro de materiales depositados en el campo de la gravedad. El análisis de los poros se lleva a cabo mediante la porosidad y la distribución de tamaño de poros. El estudio de la fracción sólida comprende el número de coordinación y la repartición de contactos. Los resultados muestran que estas características del medio están fuertemente afectadas por el coeficiente de fricción interparticular y la granulometría. El estudio de las fuerzas de contacto muestra la existencia de una fuerte dispersión tanto en magnitud como en orientación. Se pone en evidencia la anisotropía geométrica y mecánica. ABSTRACT: Terzaghi, Dantu, Marsal and other researchers considered that the continuum hypothesis is not entirely adequate to describe granular media. In this work, the structure of granular media considering them as discrete media is analyzed. Granular random samples consisting of spherical particles are generated by numerical simulations. The fabric of voids and solid fraction is studied within materials deposited in the gravity field. The analysis of pores is carried out assessing porosity and pore size distribution. The study of the solid fraction comprises the coordination number and contacts distribution. The results show that these characteristics are strongly affected by interparticular friction coefficient and grain size. Besides, the contact forces present a notable scattering both in magnitude and orientation. Geometric and mechanical anisotropy are evidenced. 1 INTRODUCCIÓN Los medios granulares son sistemas compuestos por un gran número de partículas que interactúan entre sí. Sin embargo, desde los inicios de la geotecnia estos materiales se abordaron como medios continuos. Therzaghi fue el primero en advertir que la hipótesis de continuidad había sido útil para resolver un problema particular, pero que se había convertido en un obstáculo para futuros avances tan pronto como dicha suposición quedó en el olvido. Posteriormente, Dantu, Biarez, Cundall, Marsal, Auvinet, entre otros, han estudiado tanto teórica como experimentalmente el comportamiento de estos materiales considerando su naturaleza discontinua. Para analizar los medios granulares desde el punto de vista discreto, el estudio de la estructura de los medios granulares es fundamental. En física e ingeniería, la estructura de los medios granulares se describe con el tamaño y forma de los granos, el arreglo geométrico de las partículas (desordenados o arreglos regulares) y el tipo de interacciones entre ellas (fricción, cohesión y fuerzas de contacto). Motivados por las importantes aportaciones que se han hecho en México a este tema, a través de experimentación y modelación numérica, se presenta a continuación un estudio elemental de la estructura de los medios granulares. Los resultados obtenidos contribuyen a la todavía no unificada teoría de los medios discretos. Se recurre a modelos avanzados de simulación de la estructura y del comportamiento de medios granulares. 2 MODELOS En la actualidad existe una gran cantidad de modelos numéricos para simular arreglos de partículas. Isola (2008) distingue cuatro categorías: contracción mecánica (consiste en generar las partículas en un espacio con volumen mucho mayor al del arreglo final, en aplicar fuerzas verticales y dejar que las partículas se depositen hasta alcanzar una estructura estable), Monte Carlo (se generan partículas pequeñas aleatoriamente dentro de un recipiente en un volumen aproximadamente igual al del medio granular y las esferas se expanden por medio de pequeños incrementos sin traslaparse SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 2 Una mirada discreta a los medios granulares unas con otras), depósito vertical (las partículas se colocan individualmente por caída vertical dentro de un recipiente y posteriormente la partícula rueda libremente hasta encontrar una posición de equilibrio) y depositación esférica (las partículas se acomodan en forma centrípeta ocasionando que el arreglo crezca en forma esférica). En este trabajo se consideran medios granulares de partículas esféricas, simulados con un procedimiento geométrico de depositación vertical (Auvinet, 1972). Por su carácter geométrico, este algoritmo se ejecuta a gran velocidad. La interacción mecánica entre partículas de las muestras obtenidas se simula mediante el método de elementos discretos (DEM). 2.3 Procedimiento de simulación 2.1 Modelo de simulación geométrico Tabla 1. Parámetros de simulación Auvinet (1972) formuló un algoritmo que permite construir arreglos de partículas esféricas dentro de un recipiente cúbico. La simulación de la formación de la estructura consiste en elegir aleatoriamente el diámetro de una partícula dentro de una granulometría predeterminada, seleccionar al azar la posición de cada partícula, buscar tres partículas de apoyo (en su caso las paredes del recipiente) y verificar el equilibrio estático local. La posición de la partícula colocada se acepta si no interseca otras partículas o el recipiente. Los pasos anteriores se repiten hasta contar con un número suficiente de partículas para llenar el recipiente. Parámetro Valor Número de partículas 30 000 Tamaño del recipiente, L (m × m × m) 2×2×2 Granulometría, G uniforme, binaria y continua Relación de diámetros, a 1, 3, 10 Densidad, (kg / m3) 2 600 Módulo de rigidez normal, kn (N / m) 106 Módulo de rigidez tangencial, ks (N / m) 106 Coeficiente de fricción, µ (adim) 0.0, 0.7 Coeficiente de amortiguamiento (adim) 0.5 Nota: kn, kn y se aplican también al recipiente de simulación 2.2 Modelo de simulación mecánico Para tomar en cuenta las interacciones mecánicas entre partículas se recurrió al programa de cómputo PFC3D (Itasca, 2008), el cual utiliza el método de elementos discretos (DEM). El DEM simula el comportamiento mecánico de un conjunto de partículas que interactúan entre sí a través de sus puntos de contacto. Este método numérico fue formulado por Cundall (1971) para bloques de roca y Cundall y Strack (1979) para medios granulares. Las características del DEM son bien conocidas en la literatura y se pueden consultar en las referencias anteriores o en Itasca (2008). Para lograr un estudio en su aspecto más elemental se adoptó un modelo de contacto lineal (Itasca, 2008), que consiste en un elemento elástico en dirección normal al contacto, un elemento elástico en dirección tangencial y un elemento de deslizamiento en dirección tangencial dado por el coeficiente de fricción . Para disipar la energía cinética del sistema se utiliza un amortiguamiento proporcional al desequilibrio global de fuerzas en el medio. El amortiguamiento permite mejorar el desempeño del DEM pero no tiene significado físico. La secuencia de modelación utilizada en este trabajo consiste en generar medios granulares aleatorios con el algoritmo de simulación geométrico de Auvinet (1972). En seguida, el medio granular se somete a la acción de la gravedad recurriendo al programa PFC3D (Itasca, 2008). En esta etapa de la simulación se toma en cuenta la interacción mecánica entre partículas. Una vez alcanzado el equilibrio estático, el estudio de la estructura se lleva a cabo considerando solamente las partículas del centro de la muestra para eliminar los efectos de frontera. Los parámetros de simulación utilizados en el presente trabajo se muestran en la Tabla 1. El estudio comprende materiales formados por esferas iguales (uniformes), mezclas de dos componentes (binarias) y esferas con granulometría continua. La figura 1 presenta un ejemplo de las muestras simuladas. Figura 1. Muestra granular de granulometría continua Se entiende por mezcla binaria un material granular obtenido a partir de dos materiales con partículas de igual diámetro Dmáx (esferas grandes), Dmín (esferas pequeñas) y se denomina a=Dmáx/Dmín a la relación de los diámetros. La distribución granulométrica P3V(d) es la proporción del volumen SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 3 SÁNCHEZ J. et al. para d Dmín p ; P3V d 3V 1 p3V ; para d Dmáx (1) La granulometría continua considera partículas de todos los tamaños comprendidos entre Dmin y Dmax. Su distribución granulométrica F3V(d) se interpreta como la proporción en volumen de partículas con diámetro menor o igual que d. Para el presente estudio se considera una F3V(d) lineal en el intervalo [0,1], con F3V(d=Dmin)=0 y F3V(d=Dmax)=1. 3 ESTRUCTURA DE LOS POROS El espacio de los vacíos de un medio granular puede describirse recurriendo a dos conceptos usuales en geotecnia. Porosidad, n total de sólidos que corresponde a las partículas de cada tamaño (ec. 1) 2 n1 n Np (2) Donde: 2: la varianza de la porosidad; n: la porosidad; y Np: el número de puntos de la estimación. Los análisis de esta investigación se realizaron con Np=106 lo que corresponde a un ancho del intervalo de confianza (+/- ) de 0.0005. En medios uniformes la porosidad puede variar entre 0.26 y 0.48 (arreglos regulares tetraédrico y cúbico simple respectivamente). En los medios desordenados simulados se obtuvo una porosidad de 0.35 si no existe fricción y hasta de 0.43 cuando > 0.7. Las mezclas binarias se caracterizan por presentar una porosidad menor respecto a los materiales uniformes. Furnas (1931) y Dias et al., (2004) presentaron ecuaciones para calcular la porosidad mínima en función de p3V cuando a→∞. En las Figuras 2 y 3 se muestran los resultados de la porosidad obtenida en las muestras simuladas, así como la porosidad mínima calculada de acuerdo con los autores anteriores. Puede observarse que la porosidad máxima siempre corresponde al material uniforme. La Figura 3 muestra que, en medios no friccionantes, se alcanza prácticamente el valor teórico de Dias et al., (2004) para a = 10. 0 0.7 n min (Dias 2004) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p3V Figura 2. Mezclas binarias. Efecto de p3V sobre la porosidad, para a=3 (simulación numérica) y para a=∞ (Dias et al. 2004) Porosidad , n 3.1 Porosidad Para evaluar la porosidad de los medios simulados se generan puntos al azar en el espacio y se cuenta el número de ellos que caen en los espacios vacíos. La porosidad se obtiene como el cociente entre el número de puntos en los vacíos y el número total de puntos generados (Np). El Np requerido para alcanzar determinada precisión de estimación se calcula tomando en cuenta que el número de puntos que se encuentran en los poros es una variable aleatoria con distribución binomial (ec. 2): 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0 2 0.7 n min (Dias 2004) 4 6 a=Dmáx/Dmín 8 10 Figura 3. Mezclas binarias con p3V=0.5. Efecto de a sobre la porosidad (a=∞ para Dias et al. 2004) Los estudios experimentales de Mota et al. (2001) y Dias et al. (2004), realizados con esferas de vidrio, mostraron que se obtienen arreglos más densos cuando aumenta la relación a y cuando la proporción de partículas pequeñas p3V está entre 0.3 y 0.5. En las muestras con granulometría continua simuladas con a=10 se obtuvo una porosidad de 0.25 y 0.35 con un coeficiente de fricción de 0 y 0.7 respectivamente. La porosidad es menor que la de un material uniforme pero mayor que la de las mezclas binarias con mismo valor de a. 3.2 Distribución de tamaño de poros La estructura de los poros de un medio granular es amorfa, continua y por tanto no es fácil describirla. Una función que permite describir en forma implícita las dimensiones de los poros es la distribución de tamaño de poros F3V(p) (Matheron, 1967 y Auvinet, 1978). Esta función puede definirse como la proporción del volumen total de vacíos inaccesibles a una esfera de referencia de diámetro p. La Figura 4 presenta algunos ejemplos de las distribuciones de poro obtenidas. Si la granulometría es uniforme, los poros son menores que el diámetro de las partículas, la mayor proporción de poros se encuentra de 0.2 a 0.5d y aparecen poros más SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 4 Una mirada discreta a los medios granulares grandes cuando se tiene un mayor coeficiente de fricción. 1 Unif, =0 Unif, =0.7 Bin, a=3, =0 Bin, a=3, =0.7 Cont, a=10, =0 Cont, a=10, =0.7 0.4 0.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tamaño de poros, p / Dmin 3.5 0.4 = 1.0 4 Figura 4. Distribución de tamaño de poros En materiales con granulometría binaria y continua, aparecen poros relativamente más grandes asociados a las partículas grandes. Es de esperarse que los poros pequeños estén asociados a partículas pequeñas y que las partículas grandes den lugar a poros más grandes. Las partículas más numerosas son las que determinan el tamaño de los poros del medio. La distribución F3V(p) ofrece mucha más información que un único valor de la porosidad. F3V(p) puede ser útil para describir la complejidad del tamaño de poros, distinguir entre micro, meso y macro poros, relacionar el tamaño de poros con el de las partículas, estudiar la permeabilidad y transporte de partículas disueltas, entre otras cosas. 4 ESTRUCTURA DE LOS SÓLIDOS Entre las características que proporcionan información acerca de la configuración local, conectividad entre partículas, transmisión de fuerzas o de calor, entre otras cosas, se encuentra el número de contactos por partícula y su repartición. 4.1 Número de coordinación En las ciencias de materiales se llama número de coordinación (Nc) al número de granos que están en contacto directo con una partícula de interés. El Nc es una variable aleatoria discreta comprendida en el intervalo [2,12] cuando la granulometría es uniforme. El valor mínimo es requerido para la continuidad del sistema granular y el máximo es el número de esferas que caben alrededor de otra de igual tamaño. Auvinet (1986) y otros investigadores han observado que la distribución de probabilidad del número de contactos tiene forma aproximadamente gaussiana (Figura 5). En granulometrías no uniformes el problema es tan complejo que no se ha encontrado siquiera un Frecuencia, P[Nc=n] 0.6 = 0.0 0.3 0.2 0.1 0 3 4 5 6 7 8 9 Número de contactos, Nc Figura 5. Número de granulometría uniforme Frecuencia F3V ( p / Dmin ) 0.8 intervalo acotado. Pinson et al., (1998), Kristiansen et al., (2005) y Sánchez et al., (2014, b) estudiaron el Nc por tamaño de partículas en mezclas binarias. Observaron que el Nc obedece a un efecto geométrico dado por el espacio que ocupan unas partículas en el contacto con otras y a un efecto estadístico que depende del número de partículas de cada tamaño presentes en la mezcla. Además, se ha observado que el aumento en el coeficiente de fricción reduce significativamente el Nc. contactos 10 11 por partícula 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 en ep-ep ep-eg eg-ep eg-eg 0 10 20 30 Número de contactos 40 Figura 6. Nc por tamaño de partículas en mezcla binaria con a=3, p3V=0.5 y =0. (ep: esfera pequeña, eg: esfera grande) Auvinet (1986) observó que la distribución del número de contactos en materiales de granulometría continua es aproximadamente poissoniana. Las distribuciones observadas en este trabajo se muestran en la Figura 7. Se ha intentado relacionar el Nc con la superficie externa de las partículas o con el ángulo sólido que ocupa una partícula sobre otra pero no se han conseguido avances relevantes. SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. SÁNCHEZ J. et al. Los análisis por fracción granulométrica muestran que la anisotropía geométrica varía con el tamaño de las partículas. Sánchez et al., (2014, b) observaron que en mezclas binarias la anisotropía global del medio refleja la existente en las partículas más numerosas. La posición de los contactos entre partículas de diferentes tamaños pone en evidencia la acumulación de partículas pequeñas sobre las grandes. Este último rasgo había sido observado por Auvinet (1986) en materiales de granulometría continua. 0.5 =0.0 =0.7 0.3 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Número de contactos por partícula Figura 7. Nc en medios de granulometría continua, a=10 4.2 Repartición de contactos La anisotropía geométrica de los medios granulares se puede estudiar examinando la repartición de los contactos sobre la superficie de los granos. En un sistema de referencia con origen en el centro de un grano esférico, los puntos de contacto quedan definidos en coordenadas esféricas por su latitud (ángulo vertical, ), su azimut (ángulo horizontal, ) y el radio de la partícula. En los materiales depositados por gravedad, la repartición de contactos es uniforme en el azimut pero puede existir una concentración inherente de contactos en la latitud (Auvinet, 1986) que depende del coeficiente de fricción (Sánchez et al., 2014, a). Como se muestra en la Figura 8, los materiales sin fricción tienden a ser isótropos. En las muestras con fricción, si la granulometría es uniforme se tiene una concentración de contactos entre los 30 y 60° y un déficit en el ecuador. Esta anisotropía inherente se presenta también en las mezclas binarias debido a los grupos de partículas del mismo diámetro. Los materiales con granulometría continua muestran una repartición de contactos aproximadamente isótropa. En el caso de =0.7 se detecta, sin embargo, una leve anisotropía inherente. G. UNIFORME 90 60 90 60 =0.7 =0 0 Isotropía Isotropía -30 0 0 -30 -30 -60 -60 -60 -90 30 30 =0.7 =0 -90 -90 Figura 8. Repartición de contactos 5.1 Magnitud de fuerzas Estudios experimentales y simulaciones numéricas han mostrado que la densidad de probabilidad de la magnitud de las fuerzas de contacto presenta un pico para valores inferiores a la fuerza media y tiene una cola a la derecha que decrece en forma exponencial. Esta reducción exponencial de las fuerzas grandes es una característica robusta de la distribución de fuerzas en dos y tres dimensiones (van Eerd, 2008). En cambio, las fuerzas débiles son sensibles a la preparación de la muestra, a la forma y tamaño de las partículas. Las simulaciones efectuadas en este trabajo muestran que también el coeficiente de fricción interparticular afecta la densidad de probabilidad de las fuerzas (Figura 9). Marsal (1966 y 1971), consideraba que la magnitud de las fuerzas de contacto depende del tamaño de las partículas y del número de contactos por partícula, entre otros factores. La densidad de probabilidad de la Figura 10 muestra que, con gran frecuencia, las fuerzas entre partículas pequeñas (ep-ep) son cercanas a cero mientras que las fuerzas entre partículas grandes (eg-eg) resultan de mayor magnitud. G. UNIFORME G CONTINUA, a=10 90 60 G. BINARIA a=3, p 3V=0.5 30 5 FUERZAS DE CONTACTO Las teorías de esfuerzos usadas comúnmente en geotecnia fueron concebidas para medios continuos. El concepto de esfuerzo en medios granulares debe interpretarse en términos de fuerzas de contacto entre partículas (Dantu, 1968 y Marsal, 1966). 0.01 Densidad de probabilidad Frecuencia 0.4 5 =0.0 =0.3 =0.7 =1.0 0.008 0.006 0.004 0.002 0 0 100 200 300 400 500 600 700 Fuerza total ( N ) Figura 9. Densidad de probabilidad de las fuerzas de contacto, granulometría uniforme SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 6 Una mirada discreta a los medios granulares Densidad de probabilidad 0.015 G. BIMODAL, a=3, p 3V=0.5, =0.0 0.01 Fuerzas ep-ep Fuerzas ep-eg Fuerzas eg-eg 0.005 0 0 200 400 600 800 Fuerza total de contacto ( N ) fuerzas juegan un papel muy importante en el efecto de memoria que exhiben los medios granulares. Las observaciones realizadas en los materiales simulados muestran que las cadenas de fuerzas tienen diversas trayectorias (Figura 12). Presentan una tendencia preferentemente vertical debido a que las partículas fueron depositadas en el campo de la gravedad. En algunos tramos siguen direcciones horizontales evidenciando el efecto de arqueo. En otros casos, cuando la cadena forma un nudo, las fuerzas se transmiten con mayor uniformidad. 1000 Figura 10. Fuerzas de contacto por tamaño de partículas En otros trabajos se ha supuesto que las componentes cartesianas de las fuerzas de contacto son variables aleatorias con densidad de probabilidad normal (Auvinet y Marsal, 1975). Las estructuras depositadas por gravedad simuladas en este trabajo confirman las consideraciones anteriores, pero con un pico muy marcado para las fuerzas cercanas a cero como lo muestra la Figura 11. Se obtuvo un coeficiente de curtosis (pico) de 3.4 a 7.3 en granulometría uniforme, de 10 a 50 en granulometría continua y mayor de 450 en mezclas binarias. El coeficiente de curtosis es mayor cuando el coeficiente de fricción es nulo. G. CONTINUA 0.01 0.005 F Observada Normal 0.04 0.03 =0.7 0.02 0.01 Densidad de Probabilidad 0.015 Densidad de probabilidad G. UNIFORME Normal F Observada =0.7 FX ( N ) 0 -100 0 100 200 FX ( N ) 0 -200 0 200 Figura 11. Densidad de probabilidad de las componentes cartesianas de las fuerzas de contacto Figura 12. Cadenas de fuerzas En las muestras de granulometría uniforme se observó que las partículas con mayor número de contactos transmiten fuerzas mayores debido a que se encuentran más confinadas. Si se considera como partícula inactiva a aquella que transmite fuerzas inferiores a su peso propio (W). En los medios granulares simulados se ha podido observar que, a pesar de que existe una alta proporción de fuerzas pequeñas, la cantidad de partículas inactivas es prácticamente despreciable (Figura 13). En efecto, se requieren numerosas fuerzas pequeñas para equilibrar las escasas fuerzas grandes dentro del medio granular. En muestras de granulometría no uniforme, las cargas mínimas están asociadas a las esferas pequeñas que pueden quedar aisladas en los poros de las grandes. Las partículas grandes rara vez son inactivas ya que reciben el peso de las partículas pequeñas que se acumulan sobre ellas. 3 3 Dantu (1968) observó que dentro de un medio granular existen partículas sobrecargadas así como partículas inactivas. A la secuencia de partículas que transmiten fuerzas mayores y que dan soporte a la estructura se les denomina “cadenas de fuerzas”. Tighe et al., (2010) consideran que las cadenas de Fuerza máxima de contacto ( N ) 5.2 Actividad de partículas 10 10 Fuerza máxima de contacto ( N ) Las distribuciones de fuerzas de contacto permitieron formular modelos para el análisis de rotura de granos (Auvinet y Marsal, 1975). La rotura de partículas influye en forma significativa en el comportamiento mecánico de masas granulares (por ejemplo en las presas de enrocamiento). 2 10 1 F contacto Wep 10 Weg 0 10 -1 10 1 G BIMODAL a=3, p 3V=0.5, =0.7 2 3 D / Dmin 2 10 1 10 G. CONTINUA a=10, =0.7 0 10 F contacto Wgranos -1 4 10 2 4 6 D / Dmin 8 10 Figura 13. Partículas inactivas: Fmáx<Wgrano En las muestras analizadas se observó que el número de partículas inactivas es bajo. Por lo tanto, SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. SÁNCHEZ J. et al. el concepto de relación de vacíos estructural sugerido por Marsal (1971) y estudiado por Alberro (1980) y Alberro y Magaña (1981) parece no tener la relevancia que se le ha atribuido. Latitud () de FT 90 60 Latitud () de FT 90 60 Uniforme p =0.8 3V 30 p3V=0.5 5.3 Orientación de fuerzas p =0.2 En el inciso 4.2 se estudió la anisotropía geométrica correspondiente a la repartición de contactos sobre la superficie de los granos. A continuación se revisa la anisotropía mecánica asociada a la orientación de las fuerzas de contacto. Cuando no existe fricción en la superficie de los granos, las fuerzas de contacto tienen la misma orientación que las normales a los contactos. En caso contrario, las fuerzas pueden tener una dirección distinta. De igual forma que la repartición de contactos, la orientación de las fuerzas es uniforme en el azimut. Por lo tanto, la anisotropía mecánica se refleja únicamente en la latitud . Los análisis de las muestras con granulometría uniforme permiten observar que la anisotropía es más marcada cuando se incrementa el coeficiente de fricción (Figura 14). Las fuerzas de contacto tienden a orientarse en dirección vertical, es decir, actúan en dirección de la gravedad. Isotropía 30 a=3 a=10 3V Latitud () de FT Latitud () de FT Latitud () de FT 90 90 90 60 60 60 7 Isotropía 0 0 p3V=0.5 a=3 Figura 15. Anisotropía mecánica, mezclas binarias con =0.7 Latitud ( ) 90 60 Fuerzas Contactos Isotropía 30 0 a=10, =0.7 Figura 16. Anisotropía en materiales con granulometría continua De acuerdo con los resultados anteriores, las fuerzas de contacto tienden a orientarse verticalmente. Puede decirse que la orientación de las fuerzas está dada en primer lugar por la posición del contacto y en segundo lugar por el campo de esfuerzos externo. LATITUD DE CONTACTOS 6 CONCLUSIONES En el presente trabajo se analiza la estructura de 30 30 30 los medios granulares en sus aspectos más elementales por medio de simulaciones numéricas. Se consideran partículas esféricas depositadas en el campo de la gravedad y un modelo lineal de 0 0 0 interacción entre partículas. =0.1 =0.3 =0.7 Los análisis muestran que el coeficiente de Figura 14. Anisotropía mecánica, granulometría uniforme fricción interparticular influye en las características del medio como: porosidad, tamaño de poros, En mezclas binarias con un coeficiente de fricción anisotropía geométrica y anisotropía mecánica y en =0.7, las fuerzas de contacto se orientan alrededor el número de contactos por partícula. de 75° respecto al plano horizontal cuando p3V=0.8 Los arreglos con granulometría uniforme (Figura 15). La inclinación preferente de las fuerzas presentan mayor porosidad que los de granulometría respecto a un plano horizontal es de binaria o continua. aproximadamente 60° cuando la mezcla está Se ha observado que el tamaño de poros se formada principalmente por partículas grandes relaciona con el tamaño de las partículas y (p3V=0.2). principalmente con el de las más abundantes. Se observa que con el incremento de la relación El número de contactos por partícula o número de de tamaños a, la anisotropía mecánica de la mezcla coordinación tiene una distribución de probabilidad binaria disminuye. Si a=1, las fuerzas presentan una aproximadamente normal para granulometría concentración notoria en 70° y una ligera uniforme y poissoniana en granulometría continua. El concentración que va de los 50 a 90° cuando a=10. número máximo de contactos depende de las En los materiales con granulometría continua, las dimensiones relativas de las partículas en la mezcla. fuerzas se orientan principalmente de 45 a 75°. En la El estudio de la repartición de contactos muestra Figura 16 se aprecia que la anisotropía mecánica es que la anisotropía geométrica es más marcada en más pronunciada que la geométrica. medios de granulometría uniforme y con altos coeficientes de fricción. SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C. 8 Una mirada discreta a los medios granulares La densidad de probabilidad de la magnitud de las fuerzas muestra que existe una alta proporción de fuerzas pequeñas y muy pocas fuerzas grandes. La densidad de probabilidad permite establecer que las partículas grandes transmiten las fuerzas más grandes. Las trayectorias de las cadenas de fuerzas muestran una relación con el campo de gravedad y evidencian el efecto de arqueo. Se observa que todas las partículas son necesarias para el equilibrio de la estructura y que existen pocas partículas inactivas. La anisotropía mecánica asociada a la orientación de fuerzas aumenta a mayores valores del coeficiente de fricción. Si las partículas son perfectamente lisas, las fuerzas coinciden con las normales en los contactos. Cuando el coeficiente de fricción aumenta, las fuerzas se orientan de acuerdo al campo de gravedad. Tanto la anisotropía geométrica como la mecánica son más marcadas en materiales con granulometría uniforme y con altos coeficientes de fricción interparticular. REFERENCIAS Alberro J. (1980). “Estructura discontinua y propiedades mecánicas de los suelos granulares”, Informe N° 290, Instituto de Ingeniería, UNAM, México. Alberro J. y Magaña R. (1981). “Relación de vacíos estructural de un suelo granular”, Informe N° 326, Instituto de Ingeniería, UNAM, México. Auvinet G. (1972). “Generation of granular media by computer”, Fifth Pan-American Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Buenos Aires, Argentina. Auvinet G y Marsal R. (1975). “Statistical model of grain breakage”, Proceedings, Fifth Pan-American Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering. Buenos Aires, Argentina. Auvinet G. (1978). “Estructura intersticial de los medios granulares”, Revista latinoamericana de geotecnia, IV, 237 – 245. Auvinet G. (1986). “Estructura de los medios granulares”, Tesis doctoral. Universidad Nacional Autónoma de México. Cundall P. A. (1971). “A computer model for simulating progressive large scale movements in blocky rock systems”, Proceedings of the Symposium of the International Society of Rock Mechanics. Vol. 1, Paper No. II-8. Nancy, France. Cundall P A y O. D. L. Strack. (1979). “A discrete numerical model for granular assemblies”. Geotechnique, 29, No 1, pp 47 – 65. Dantu P. (1968). “Etude statistique des forces intergranulaires dans un milieu pulvérulent”, Geotechnique 18, pp. 50 a 55, Great Britain. Dias R, Teixeira J, Mota M y Yelshin A. (2004). “Particulate binary mixtures: dependence of packing porosity on particle size ratio”. American Chemical Society. Ind. Eng. Chem. Res. 2004, 43, 7912-7919. Furnas C. (1931). “Grading aggregates. I. Mathematical relations for beds of broken solids of maximum density”. Ind. Eng. Chem., vol. 23, USA. Isola R. (2008). “Packing of granular materials”, PhD Thesis, The University of Nottingham. United Kingdom. Itasca Consulting Group Inc. (2008). “Particle flow code in 3 dimensions. Theory and background”, Minneapolis Minnesota. USA. Kristiansen K, Wouterse A y Philipse A. (2005). “Simulation of random packing of binary sphere mixtures by mechanical contraction”. Physica A 358 (2005) 249 – 262. Marsal R. (1966). “Fuerzas de contacto en suelos y enrocamientos”, Informe interno, Instituto de Ingeniería, UNAM, México. Marsal R. (1972). “Suelos granulares: modelo estadístico, teoría de falla y relaciones esfuerzodeformación”, Informe N° 290, Instituto de Ingeniería, UNAM, México. Marsal R (1977). “Research on granular materials (Rockfills and soil-gravel mixtures)”, Publicación E-25, Instituto de Ingeniería, UNAM, México. Matheron G. (1967). “Eléments pour une théorie des milieux poreux”, Masson et Cie. Editeurs, Paris, France. Mota M, Teixeira J, Bowen W y Yelshin A. (2001). “Binary spherical particle mixed beds: porosity and permeability relationship measurement”, The Filtration Society. Trans Filt. Soc. Vol 1 (4). Nimmo J. R. (2004). “Porosity and pore size distribution”, Encyclopedia of soils in the environment. London, UK. Elsevier v.3, p. 295 – 303. Pinson D, Zou R, Yu A, Zulli P & McCarthy. (1998). “Coordination number of binary mixtures of spheres”, Journal of Physics D: Applied physics. 31 (1998) 457 – 462. Sánchez J, Auvinet G y Cambou B. (2014, a). “Fabric of monodisperse granular media”, International Symposium on Geomechanics form Micro to Macro. Cambridge, UK. Sánchez J, Auvinet G y Cambou B. (2014, b). “Coordination number and geometric anisotropy in binary sphere mixtures”, International Symposium on Geomechanics form Micro to Macro. Cambridge, UK. Tighe B, Snoeijer J, Vlugt T y van Hecke M. (2010). “The force network ensemble for granular packings”, Soft Matter Vol 6, pp 2908 – 2917. The Royal Society of Chemstry. van Eerd A. (2008). “Statistics of large contact forces in granular matter”, PhD thesis, Utrecht University, the Netherlands. SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.