TALLER Nº 4 PROBABILIDADES Y ESTADISTICA (Ingeniería)

TALLER Nº 4
PROBABILIDADES Y ESTADISTICA (Ingeniería)
1) Se lanza una serie de cohetes hasta que se obtiene el primer lanzamiento exitoso. Si esto
no se logra, el experimento continúa, caso contrario se detiene. Suponga que hay una
probabilidad de 0,8 de obtener un lanzamiento exitoso y que los ensayos sucesivos son
independientes.
a. Determinar la probabilidad de detener el experimento cuando el número de
lanzamiento sea múltiplo de 3.
b. Si el jefe de pruebas decide detener el experimento al obtener 3
lanzamientos exitosos. Calcule la probabilidad de que se detenga el
experimento al efectuar a lo menos cinco lanzamientos.
c. Un comprador de cohetes, recibe un lote de 50 unidades y este decide
aceptar si al tomar una muestra de 5 cohetes y los lanza, a lo menos 2
resultan exitosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el
lote?
2) En una fábrica se examinan cada hora las piezas producidas por una máquina una a una
hasta obtener una defectuosa. Si esto no se logra la máquina continúa su producción.
Caso contrario se detiene el proceso para examinar la causa del defecto.
Supongamos que la máquina produce 1.5% de piezas defectuosas:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que se interrumpa el proceso al examinar la 5º
pieza?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se interrumpa el proceso al examinar más de
3 piezas?
c. Si se exigieran 3 piezas defectuosas para detener la producción. ¿Cuál será
la probabilidad de detener el proceso al examinar 6 piezas?
3) Se observa una fuente radiactiva durante 5 intervalos de 6 segundos de duración cada
uno y se cuenta el número de partículas emitidas durante cada período.
Suponiendo que el número de partículas, digamos X, durante cada período observado
tiene una distribución de Poisson con parámetro de intensidad 2,0 (es decir, las
partículas son emitidas a razón de 0,3 partículas por segundo):
a. ¿Cuál es la probabilidad de que sean emitidas 3 o más partículas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos en dos de los 5 intervalos de
tiempo, sean emitidas 3 o más partículas?
4) En una fábrica se va a evaluar la efectividad de un programa de seguridad que requiere
que algunos trabajadores seleccionados al azar usen zapato de seguridad. Durante el
período de prueba se encuentra que el 2% de los trabajadores usó zapatos de seguridad
y sufrió lesiones en los pies. También encontró que el 46% no usó zapatos de seguridad
ni tuvo lesiones en los pies; además de aquellos que usaron zapatos de seguridad el 5%
tuvo lesiones en los pies.
a. Si se escogen 5 trabajadores al azar ¿Cuál es la probabilidad de que todos
hayan usado zapatos de seguridad?
b. Si se elige una muestra de 400 trabajadores ¿Cuál es la probabilidad de que a
lo menos 3 hayan usado zapatos de seguridad y sufrido lesiones en los pies?
c. De aquellos que tuvieron lesiones se escogen 10 al azar ¿qué probabilidad
hay de que al menos 2 hayan usado zapatos de seguridad?
5) El número de partículas emitidas por un trozo de material tiene una distribución de
Poisson con intensidad 2. Un investigador expuesto a dicha radiación (sin saberlo) sufre
trastornos visuales cuando radiación recibida supera la intensidad de emisión .
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un investigador no sufra trastornos visuales
cuando está expuesto a la radiación en el período antes señalado?
b. Suponga que 10 investigadores disponen cada uno de trozo del mismo
material para estudiar sus cualidades ¿Cuál es la probabilidad de que por lo
menos 2 de ellos sufran trastornos visuales?
Vida Útil (Y)
6) Una muestra de 60 ampolletas se agrupan según potencia X y vida útil Y, obteniéndose
los siguientes resultados:
25
Potencia (X)
40
60
75
Total
150-250
3
7
1
4
15
250-350
5
9
2
1
17
350-450
8
2
6
3
19
450-550
Total
5
21
1
19
1
10
2
10
9
60
Se sabe que el fabricante garantiza a sus clientes una duración mínima de 350 horas por
ampolleta.
a. Si se eligen al azar 5 ampolletas ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2
cumplan con la garantía?
b. Si se eligen al azar 5 ampolletas de 60 Wats ¿Cuál es la probabilidad de que por
lo menos 2 cumplan con la garantía?
7) Se observa una fuente radiactiva durante intervalos de 10 segundos de duración cada
uno y se cuenta el número de partículas emitidas durante cada periodo. Suponiendo que
el número de partículas emitidas X, durante cada periodo observado sigue un modelo de
Poisson con   5 .
a. Determine la probabilidad de que de 7 intervalos observados, en 2 se emitan a lo
más 4 partículas, en 3 se emitan más de 4 y menos de 8 partículas y en 2 se
emitan a lo menos 8 partículas.
b. Si se observan intervalos de 10 segundos hasta que en 3 se emiten 8 o más
partículas. Determine la probabilidad de observar a lo menos 6 intervalos.
8) Supongamos que la razón de neumáticos defectuosos en una fábrica es 4 en un millón
de neumáticos fabricados en un mes.
a. Si los neumáticos se fabrican independientemente y mensualmente se producen
500000 neumáticos:
i.
Determine la probabilidad de que a lo más 4 neumáticos resulten
defectuosos en un mes.
ii. Determine la probabilidad de que en un año al menos en 2 meses resulten
más de 4 neumáticos defectuosos.
b. Si se observa la producción de neumáticos mes a mes hasta que en 4 meses
resultan a lo más 4 neumáticos defectuosos. Determine la probabilidad de tener
que observar la producción de a lo menos 6 meses.
9) Sea X v.a. continua con la siguiente función de densidad
x
f X ( x)  A e , x  
a. Determine el valor de A para que sea función de densidad de probabilidades.
b. Determine FX .
c. Calcule PX  2 / X  1 .
10) Una industria produce neumáticos cuya vida útil K (en kilómetros) se relaciona con la
temperatura T del medio en el cual serán utilizados, según la siguiente ecuación:
2  106
K
. Si la temperatura T sigue un modelo normal de media 26º y varianza
T 1
6.76:
a. Encuentre la temperatura mínima del 25% de los neumáticos que soportan las
más altas temperaturas.
b. ¿Qué porcentaje de neumáticos tiene una vida util entre 70000 y 100000
kilómetros?
c. Encuentre un intervalo que contenga el 90% central de la distribución de la vida
util de los neumáticos.
11) Sea X U  1,1 . Sea Y  Ln( X  1) . Encuentre:
a. fY
b. E(Y) y V(Y).
c. La probabilidad de que Y no difiera de su valor esperado en más de 0.08
unidades.
12) Sea X v.a.c. con función de densidad definida por:

2 x e  x , si x  0
f X ( x)  

c.o.c.
 0 ,
2
a.
b.
c.
d.
Hallar FX .
Hallar la función de densidad de Y  X 2 .
Calcule E(Y) y V(Y).
Calcule PY  2 / Y  5 .
13) La arista de cierto producto en forma de cubo (cerrado) que emite una fábrica tiene
una distribución uniforme en el intervalo 0,5 ; 1.5 . La cantidad Y de pintura (en
litros) que se necesita para pintar cada cubo está dada numéricamente por la relación
Y  Superficie a p int ar  L , donde L es un excedente por retoque, que ha sido
estimado en 0.5 Lts.
a. Encuentre la función de densidad de Y.
b. ¿Cuál es la cantidad de pintura que se espera utilizar? Justifique.
c. Si los productos que utilizam más de 6 litros de pintura se venden con recargo
¿Cuál es la probabilidad de que los productos tengan recargo en su valor?
14) Sea X v.a.c. con función de densidad
1

 , si - 1  x  1
f X ( x)   2

c.o.c.
 0,
Sea Y  X 2  1 .
a. Determine fY .
b. La esperanza y varianza de Y.
c. Calcule Y  0.5 / Y  0.25 .
15) Sea X v.a.c. con función de densidad normal de media 100 y varianza 9. Sea
si x  106.3
30 ,

Y  g ( X )  25 , si 92.5  x  106.3
 15
, si x  92.5.

a. Encontrar k tal que px  K   0.99.
b. Determine la función de cuantía de la nueva variable Y .
c. Calcule la esperanza y la varianza de Y .
16) Las longitudes de las barras de acero producidas por una fábrica es una variable
aleatoria continua X con función de densidad normal con una media   31.6 pies y
una varianza  2  0.2025pies 2 .
a. Calcular p31.6  x  32.5 / 32.0  x  32.6.
b. Calcular el máximo valor del 25% inferior de las longitudes.
c. Determine el intervalo que contiene el 95% central de la distribución de X.
d. Si se mantiene la varianza ¿Cuál debe ser la media de X para que las barras
cortas constituyan el 0.1% ? Suponga que las barras son consideradas cortas si
su longitud es menor a 30 pies.
e. Suponga que las barras son clasificadas como :
Tipo A : longitud mayor a 31.5 pies,
Tipo B : longitud menor a 30.2 pies.
Si queremos que las barras del tipo A sean el 5% y la del tipo B sean el 2%
¿Cuáles deben ser los valores de  y  en la máquina ?
17) La figura siguiente representa la gráfica de la f.d.a. de una v.a. X .
a.
b.
c.
d.
Calcular Pa  X  4 .
Calcular el valor de "a" si PX  0.05  0.4 .
Calcular el valor de "b" si PX  4.2  0.1 .
Calcular la varianza de X .
18) Si el largo de unos pernos es una variable aleatoria X que sigue un modelo normal de
media 11 cms. y una varianza de 4 cms 2 y el fabricante clasifica los pernos, según su
longitud, en tres categorías :
A: X  8
;
B : 8  X  12
;
C : X  12
a. Si se pide una remesa de 2000 pernos ¿Cuántos deberían venir de cada
categoría?.
b. Si se selecciona una muestra de 10 pernos de la producción de la fábrica,
determine la probabilidad de obtener 3 de la categoría A, 5 de la categoría B y
2 de la categoría C.
c. Si el 10% de los pernos de mayor longitud son considerados demasiado largos
y el 15% de los pernos de menor longitud son considerados demasiado cortos
¿ Entre qué longitudes un perno será considerado correcto?.
d. Si se mantiene la varianza ¿Cuánto valdrá la longitud media si los pernos de la
categoría C constituyen el 25% de la producción?.
19) Supongamos que el diámetro X de un cable eléctrico es una variable aleatoria
continua con
 x(1  x), si 0  x  1
f X ( x)  
0 ,
c.o.c.

a. ¿Es una función de densidad de probabilidades? En caso negativo construya
una función f o X , de la forma f o X ( x)  A f X ( x) , que tenga como factor a A ,
de manera que sea una función de densidad de probabilidades.
b. Con la determinada en a) obtenga FX y grafíquela.
c. Determinar el valor de "k" tal que PX  k   2PX  k .
d. Si el precio de venta del cable depende de su diámetro. Específicamente, si
1
2
 X  el cable se vende a 8 dólares el metro; de otro modo, se vende a 5
3
3
dólares el metro.
e. Si el costo es de 2 dólares por metro, determine la utilidad neta esperada por
metro.
20) Sea X variable aleatoria continua y X definida por:
ax, si 0  X  1.


a, si 1  X  2.

f X ( x)  
 ax  3a, si 2  X  3.

0, c.o.c.
Determine el valor de "a" para que X sea función de densidad.
Determine la función de distribución acumulada de X.
Calcule la probabilidad de que X sea mayor que 1.5.
Determine E X .
Si se hacen 3 observaciones independientes de X, determine la probabilidad de
que a lo más una sea mayor que 1.5.
f. Se hacen observaciones de X hasta que 4 son mayores que 1.5. Determine la
probabilidad de tener que realizar a lo menos 6 observaciones.
a.
b.
c.
d.
e.
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