PROBABILIDAD

PROBABILIDAD
(I). EXPERIMENTOS ALEATORIOS SIMPLES:
Se habla de azar cuando no podemos predecir el resultado de un fenómeno porque desconocemos las causas
que lo determinan.
Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir el resultado. Tienen las siguientes
características:
-
se pueden repetir en las mismas condiciones tantas veces como se quiera
-
hay un conjunto de resultados posibles
-
no se sabe el resultado de un experimento concreto antes de realizarlo
-
si repetimos el experimento muchas veces, podemos predecir cuántas veces aparecerá cada
resultado.
Ejemplos:
- El lanzamiento de dos monedas al aire.
- La extracción de tres cartas de una baraja.
- La esperanza de vida de una persona.
Espacio muestral
Llamamos espacio muestral o universo al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio. Lo vamos a representar por .
Ejemplos:
1- El experimento aleatorio “lanzar un dado” tiene como espacio muestral:
  1, 2, 3, 4, 5, 6
2- El experimento aleatorio “lanzar dos monedas” tiene como espacio muestral:
Llamando C=“sacar cara” y X=“sacar cruz”
  C. C, C, X ,  X , C,  X , X 
Suceso
Es cada uno de los subconjuntos o partes de . Se designan poniendo entre llaves los resultados de que se
componen.
Clases de sucesos
-
Suceso elemental: es cada resultado del experimento aleatorio
-
Suceso seguro
1
-
Suceso imposible
-
Suceso contrario a uno dado: es aquel que no se verifica cuando se verifica el dado. Al suceso
contrario de A lo designaremos por A’
-
Sucesos compatibles: son aquellos que tienen algún suceso elemental común
-
Sucesos incompatibles: son aquellos que no tienen ningún suceso elemental común
Dos sucesos contrarios son siempre incompatibles, pero no siempre dos sucesos incompatibles son
contrarios.
Ejemplos:
1- El experimento aleatorio “lanzar dos monedas”


Un suceso elemental es A=“sacar dos caras”= C, C
Un suceso compuesto sería B=“sacar al menos una cara”=
El suceso contrario del suceso A=“sacar alguna cara”=
ninguna cara”=
 X , X 
C.C, C, X ,  X , C
C.C, C, X ,  X , C
es A c =“no sacar
2- El experimento aleatorio “lanzar un dado”
Un suceso imposible sería A=“sacar múltiplo de 7”
Un suceso seguro sería A=“sacar menos de 6”
3- El experimento aleatorio “lanzar una moneda al aire”
Espacio muestral   C, X 


Espacio de sucesos P  0,
 C,  X , C, X 
Operaciones con sucesos
-
Unión: dados dos sucesos A y B, se llama suceso unión y se escribe AB al suceso formado por
los sucesos elementales de A y de B
-
Intersección: AB es el suceso formado por los sucesos elementales comunes de A y B.
Ejemplos:
Experimento “Lanzar un dado”.
Sean A=“sacar mayor que 3”= 4, 5, 6
B=“sacar impar”= 1, 3, 5
Entonces: A  B  1, 3, 4, 5, 6 ; A  B  5
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Frecuencias absolutas y relativas de un suceso
Supongamos que realizamos un experimento aleatorio, que podemos repetir un nº de veces n. Sea A
un suceso observable, ligado al experimento, que aparece fA veces.
Se llama frecuencia absoluta del suceso A al nº de veces fA que se verifica A, a lo largo de las n
repeticiones del experimento.
Se llama frecuencia relativa del suceso A al cociente entre el nº de veces que se verifica A y el nº de
veces que se repite el experimento, es decir,
fA
n
Regla de Laplace
Llamamos sucesos equiprobables a los sucesos que tienen la misma posibilidad de ocurrir.
Para calcular la probabilidad de un suceso sería necesario realizar un gran nº de pruebas y ver hacia
qué valor tiende la frecuencia relativa. Como esto es incómodo, vamos a ver otro método de asignar
probabilidades:
Si todos los resultados de un experimento aleatorio son equiprobables. Se tiene que:
P(A) = probabilidad de un suceso A=
nº de casosfavorables
delsuceso
A
nº de casosposibles
Si A y B son dos sucesos incompatibles:
P(AB) = P(A)+P(B)
Si A y B son sucesos compatibles:
P(AB) = P(A)+P(B) - P(AB)
Si A es un suceso y A’ su contrario:
P(A’)=1 – P(A)
(II). PROBABILIDAD CONDICIONADA
Cuando la probabilidad de un suceso está condicionada al resultado del suceso anterior, hablamos de
probabilidad condicionada, y la escribimos así: P(B/A) y se lee: probabilidad de que se realice el suceso B
habiéndose realizado el suceso A.
P(B/A)= P(A  B)/P(A) y P(A/B)= P(A  B)/P(B)
(III). EXPERIMENTOS ALEATORIOS COMPUESTOS
Los experimentos aleatorios compuestos resultan de realizar uno tras otro, varios experimentos aleatorios
simples.
Se puede calcular la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto determinando el espacio
muestral y aplicando la regla de Laplace, una vez conocidos el nº de casos favorables y el nº de casos
posibles. Sin embargo, no siempre se puede determinar el espacio muestral del experimento compuesto y
entonces debemos seguir otro camino, el de determinar la probabilidad del suceso compuesto a partir de las
probabilidades de los sucesos simples que lo componen.
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En las experiencias compuestas por sucesivas extracciones (de una baraja, de una bolsa,.....) pueden darse dos
modalidades, que es muy importante distinguir:

Extracciones con reemplazamiento: son aquellas en las que, después de cada extracción, el elemento
extraído se repone. De este modo, cada extracción se realiza en las mismas condiciones que la anterior.

Extracciones sin reemplazamiento: las sucesivas extracciones se realizan sin devolver el elemento
anteriormente extraído. Las condiciones de cada extracción son distintas y dependen de cuál o cuáles
sean los elementos anteriormente extraídos.
Dos o más experiencias se llaman independientes cuando el resultado de cada una de ellas no depende del
resultado de las demás.
Dos o más experiencias se llaman dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influye en las
probabilidades de las siguientes.
(IV). PROBABILIDAD DE SUCESOS COMPUESTOS DEPENDIENTES.

Probabilidad de un suceso compuesto de dos sucesos
La probabilidad de que se realicen dos sucesos A y B es igual a la probabilidad de que se realice el primero
(A) por la probabilidad de que se realice el segundo habiéndose realizado el primero(B/A). Se escribe de una
de estas tres formas:
P(AB)=P(AB)=P(A y B)= P(A). P(B/A)

Probabilidad de un suceso compuesto de tres sucesos
Si en lugar de dos sucesos fueran tres sucesos A, B y C:
P(ABC) = P(A). P(B/A). P(C/AB)
La probabilidad de que se realicen los sucesos A, B y C es igual a la probabilidad de que se realice el
primero, P(A), por la probabilidad de que se realice el segundo habiéndose realizado el primero, P(B/A), y
por la probabilidad de que se realice el tercero, habiéndose realizado el primero y el segundo, P(C/AB).
(V). PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS INDEPENDIENTES
Si A y B son dos sucesos independientes: P(AB)= P(A).P(B)
Si A, B y C son tres sucesos independientes: P(ABC)= P(A).P(B).P(C)
(Hay que tener muy en cuenta en los enunciados de actividades si son extracciones de cartas o de bolas con o
sin devolución. Cuando se especifica que es con devolución, el segundo suceso no depende del primero, son
independientes. Sin embargo, cuando es sin devolución o son extracciones simultáneas, el segundo suceso
depende del primero y por tanto son dependientes.)
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