Nº - Mino Urbani B
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CONTENIDO
Pag.
UNIDAD NRO. I: Mecanismos de transferencia de calor
1. Conducción .........................................................................................................................
2. Convección .........................................................................................................................
3. Radiación ............................................................................................................................
4. Balance de energía ..............................................................................................................
5. Resistencia térmica .............................................................................................................
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1
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UNIDAD NRO. II: Conducción unidimensional de calor en estado estacionario
1. Conducción de calor a través de una Pared Plana ..............................................................
2. Conducción radial de calor a través de una Esfera Hueca ..................................................
3. Conducción radial de calor a través de un Cilindro Hueco y Largo ...................................
4. Resistencia térmica .............................................................................................................
5. Radio crítico de aislamiento ...............................................................................................
6. Fuentes de calor ..................................................................................................................
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UNIDAD NRO. III: Conducción bidimensional en estado estacionario
1. Método Analítico.................................................................................................................
2. Análisis Gráfico...................................................................................................................
3. Análisis numérico ...............................................................................................................
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13
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UNIDAD NRO. IV: Convección
1. Convección forzada en tubos circulares .............................................................................
2. Convección natural de una pared vertical ...........................................................................
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UNIDAD NRO. V: Transferencia de calor con cambio de fases
1. Transferencia de calor en la condensación .........................................................................
2. Transferencia de calor por ebullición .................................................................................
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UNIDAD NRO. VI: Intercambiadores de calor
1. Clasificación ......................................................................................................................
2. Coeficiente global de transferencia de calor ......................................................................
3. Análisis del intercambiador de calor ..................................................................................
4. Eficiencia ............................................................................................................................
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22
22
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UNIDAD NRO. VII: Radiación Térmica
1. Cálculos en transferencia de calor por radiación idealizada ...............................................
2. La ley de Stefan – Boltzmann ............................................................................................
3. Propiedades de radiación básica .........................................................................................
4. Factores de forma para la radiación y sus relaciones .........................................................
5. Intercambiado de radiación de cuerpo negro ......................................................................
6. Intercambio de radiación entre cuerpos grises ...................................................................
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BIBLIOGRAFIA
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TRANSFERENCIA DE CALOR
UNIDAD NRO. I: Mecanismos de transferencia de calor
1.- Introducción:
El calor es energía en transito, debido a diferencia de temperaturas. Transferencia de calor es el
área de ingeniería que trata los mecanismos encargados de transferencia de energía de un lugar a
otro cuando existe una diferencia de temperaturas. La ciencia de la transferencia de calor permite
determinar la razón, con respecto al tiempo, de energía transferida provocada por un desequilibrio de
temperaturas. Por otra parte, el área de transferencia de calor intenta dar respuesta a cuestiones
como las siguientes:
a.- ¿Se puede liberar (o extraer) calor de un sistema a una razón deseada, con respecto al tiempo,
sin tener que emplear diferencias de temperaturas excesivas?
b.- ¿Qué tiempo toma transferir la energía calorífica?
c.- ¿Qué tanta energía calorífica se transfiere?
d.- ¿Qué tan grande debe ser el área para transferir la energía calorífica?
e.- ¿Qué tipo de distribución de temperatura existe en el sistema?
2.- Conducción:
El matemático francés Fourier (1822) propuso una ley que hoy se conoce como “Ley de
conducción de calor de Fourier” la cual predice cómo se conduce el calor a través de un medio,
partiendo de una región de alta temperatura a una región de baja temperatura. Si se considera una
fracción de pared de un horno, caliente en el interior y frío en el exterior (Fig. 1.1). La razón de calor
transferido, desde dentro del horno hasta el exterior, es directamente proporcional al área de la
superficie de la pared, A, que se encuentra normal a la dirección del flujo de calor, directamente
proporcional a la diferencia de temperaturas entre las paredes (T1 – T2), e inversamente proporcional
al espesor de las paredes, L:
A
T
A (T1 –T2)
T1
Qcond
L
=
L
T2
Qcond
K A (T1 –T2)
L
X
Fig. 1.1: Transferencia de calor por conducción a través de una pared plana
Donde:
Qcond = Calor transferido por conducción por unidad de tiempo: W
A = Area de la pared normal al flujo de calor: m2
T1 = Temperatura de la superficie interior de la pared: ºC
T2 = Temperatura de la superficie exterior de la pared: ºC
K = Conductividad térmica del material: W / m ºC ó W / m ºK
La conductividad térmica, K, es la constante de proporcionalidad que es una propiedad de
transporte característico del material de la pared y sus valores representativos se encuentran en el
Apéndice A de los textos: Fundamentos de Transferencia de Calor de Incoprera – De Witt y
Transferencia de Calor de Mills, entre otros.
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TRANSFERENCIA DE CALOR
Flujo de Calor Unitario: El flujo de calor, qcond, se define como la razón de flujo de calor por
unidad de área:
qcond = Qcond / A
(W / m2)
3.- Convección:
La convección ocurre siempre que una superficie está en contacto con un fluido que tiene
temperatura diferente a la de la superficie en cuestión. Considérese una pared caliente vertical y en
contacto con un fluido muy frío (Fig 1.2). Con el transcurso del tiempo, el fluido en contacto
inmediato con la pared se calienta por conducción, provocando que el fluido se haga menos denso.
Debido a la diferencia de densidad, se obtiene una fuerza de flotación resultante, provocando que el
fluido mas ligero se eleve y lo reemplace otra cantidad de fluido mas frío, repitiéndose
continuamente este proceso. Puesto que el movimiento de fluido queda establecido por fuerzas
naturales este tipo de convección se denomina “Convección natural o libre” (Caída de un fluido en
contacto con una pared vertical); y cuando se utiliza una fuente externa entonces provocaría el
movimiento del fluido dando como resultado un efecto de “Convección forzada” (Flujo forzado en
una tubería); y si el movimiento del fluido es provocado por ambas fuerzas se esta en presencia de
una “Convección combinada”.
La siguiente expresión se usa para determinar la razón de transferencia de calor por convección:
Qconv = h A (Ts–T)
Fig. 1.2: Transferencia de calor por convección a través de una pared vertical
Esta expresión se conoce como la “Ley de enfriamiento de Newton e indica que el calor
transferido por convección de la superficie al fluido circulante, Qconv, es proporcional a la
diferencia de temperaturas de la superficie y el fluido.
Donde:
Qconv = Calor transferido por convección de la superficie al fluido circulante: W
A = Area de la superficie: m2
Ts = Temperatura de la superficie: ºC
T = Temperatura del fluido: ºC (, indica aquella parte del fluido lo suficientemente alejado de
la superficie para que no le afecte ésta por medio del proceso de transferencia de calor)
h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor: W / m2 ºC ó W / m2 ºK
El coeficiente convectivo de transferencia de calor, h, depende de las condiciones de la capa
límite, en las que influyen la geometría de la superficie, la naturaleza del movimiento del fluido y
una variedad de propiedades termodinámicas del fluido y de transporte; y sus valores típicos se
encuentran en la Tabla 1.1 (pág. 8) del texto Fundamentos de transferencia de Calor de Incoprera –
De Witt, en la Tabla 1.4 (pág. 23) del texto Transferencia de Calor de Mills, entre otros.
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TRANSFERENCIA DE CALOR
4.- Mecanismos combinados de transferencia de calor
El Ingeniero encuentra problemas de transferencia de calor en lo que casi siempre intervienen de
manera simultánea, varios mecanismos de transferencia. Para resolver esta situación real se debe de
desarrollar desde el principio una teoría que permita manejar la combinación de los mecanismos de
transferencia de calor.
A.- Balance de energía
La ecuación que se usa para hacer un balance de energía en análisis de transferencia de calor
es una forma matemática de la primera “Ley de la termodinámica”. Así, para fines de análisis de
transferencia de calor, el balance de energía para un sistema con masa fija se puede escribir como:
Qint – Qext = dU / dt
Cuyas expresiones Qint y Qext son la razón de transferencia de calor dentro y fuera del
sistema, respectivamente. Para una situación de estado estacionario, el balance de energía para un
sistema de masa fija da:
Qint = Qext
En la Fig. 1.3 se muestra tres formas de transferencia de calor; éstas son conducción del
medio hacia la superficie (Qcond), convección desde la superficie hacia el fluido (Qconv) e
intercambio de radiación neta desde la superficie hacia los alrededores (Qrad). El balance de
energía será:
Qrad
T1
Qconv
T2
Qcond
L
T
Talr
Qcond = Qconv + Qrad
Fluido
X
T, h
Fig. 1.3: Balance de energía en la superficie de un medio
B.- Resistencia térmica:
Existe una analogía entre la difusión de calor y la carga eléctrica. De la misma manera que se
asocia una resistencia eléctrica con la conducción de electricidad, se asocia una resistencia térmica
con la conducción de calor. En la tabla siguiente se integra una síntesis de resistencia térmica de los
mecanismos de transferencia de calor:
Tabla Nro. 1.1: Resistencia Térmica
Mecanismo
Ecuación para el flujo de calor
K A (T1 –T2)
(T1 –T2)
Conducción
Qcond =
=
L
Rtcond
Convección
Radiación
Resistencia térmica
L
Rtcond =
KA
1
Rtconv =
Qconv = h A (Ts–T) = (Ts–T) / Rtconv
hA
1
Qrad = A (Ts4 – Talr4) = (Ts – Talr) / Rtrad Rtrad =
A (Ts3 – Talr3)
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TRANSFERENCIA DE CALOR
Los circuitos térmicos sirven para sistemas o medios sencillos; pero en la práctica
generalmente se presentan sistemas mas complejos que incluyen cualquier número de resistencias
térmicas en serie y/o en paralelos; tales son los casos de paredes simples o compuestas:
a.- Pared Sencilla: Se tiene la pared sencilla de la Fig. 1.4, cuyas condiciones se indican en
la misma; la transferencia unidimensional de este sistema se expresa como:
Fluido 1
T1, h1 T1
T1
T1
Q
1 / h1 A
T2
Q
T2
L / KA
T2
1 / h2 A
Fluido 2
T2, h2
Rt = 1 / h1 A + L / K A + 1 / h2 A
L
Q = (T1 –T2) / Rt
Fig. 1.4: Transferencia de calor a través de una pared: Distribución de temperatura y
circuito térmico equivalente.
b.- Pared compuesta en serie: Se tiene la pared en serie de la Fig. 1.5, cuyas condiciones se
indican en la misma; la transferencia unidimensional de este sistema se expresa como:
Ka Kb
T1
T2
T3
T1
T2
Q
Fluido 1
T2
T1, h1 T1
L / Kb A
1 / h1 A L / Ka A
1 / h1 A
T3
Fluido 2
T2, h2
Q
Rt = 1 / h1 A + L / Ka A + L/ Kb A+ 1 / h2 A
L
Q = (T1 –T2) / Rt
Fig. 1.5: Transferencia de calor a través de una pared compuesta en serie:
Distribución de temperatura y circuito térmico equivalente.
c.- Pared compuesta en serie – paralelo: Se tiene la pared en serie – paralelo de la Fig. 1.6,
cuyas condiciones se indican en la misma; la transferencia unidimensional es:
Ka
Kb Kd
Lb / Kb Ab
T1
Q
T1
T2
La / Ka Aa
Q
Kc
T1
T2
La
Lc / Kc Ac
(Lb / Kb Ab) (Lc / Kc Ac)
Ld
Rt = La / Ka Aa +
Lb = Lc
Ld / Kd Ad
+ Ld / Kd Ad
Lb / Kb Ab + T
Lc
2 / Kc Ac
Q = (T1 –T2) / Rt
Fig. 1.6: Transferencia de calor a través de una pared compuesta en serie –
paralelo: Circuito térmico equivalente.
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TRANSFERENCIA DE CALOR
5.- Radiación:
La radiación térmica es la energía emitida por la materia que se encuentra a una temperatura
finita. La energía del campo de radiación es transportada por ondas electromagnéticas, por lo que no
requiere la presencia de un medio material como en la conducción y en la convección.
Considere los procesos de transferencia por radiación para la superficie de la Fig. 1.2. La
radiación que la superficie emite se origina a partir de la energía térmica de la materia limitada por
la superficie, y la velocidad a la que libera energía por unidad de área (W / m2) se denomina la
potencia emisiva superficial, E. Hay un límite superior para la potencia emisiva, que es establecida
por la “Ley de Stefan – Booltzmann”:
eb = Ts4
Gas
E
G
Talr
T, h
Gas
T, h
Ts
qconv
Ts
qrad
qconv
Fig. 1.2: Intercambio de radiación en la Fig. 1.3: Intercambio de radiación entre una
superficie y alrededores, con = , área, A
superficie: Con emisividad , absortividad, .
Donde:
eb = Potencia emisiva del cuerpo negro (Emisor de radiación ideal): W / m2
Ts = Temperatura absoluta de la superficie: º K (º K = T(º C) + 273)
= Constante de Stefan – Booltzmann: = 5,67 X 10 –8 W / m2 ºK4
El flujo de calor emitido por una superficie real es menor que el de un cuerpo negro a la misma
temperatura y está dado por:
e = Ts4
Donde: = Emisividad (Propiedad radiactiva de la superficie que proporciona una medida de la
eficiencia con que una superficie emite energía en relación con un cuerpo negro): 0 < < 1. Valores
representativos se encuentran en el Apéndice A (Tabla A.11) Fundamentos de transferencia de Calor
de Incoprera – De Witt.
La radiación también puede incidir sobre una superficie desde sus alrededores. Si tener presente
la fuente (originada por el sol u otras superficies a la que se expone la superficie de interés), se
designa a la velocidad a la que toda esa radiación incide sobre un área unitaria de la superficie como
la Irradiación, G; donde una parte de la irradiación, o toda, tal vez sea absorbida por la superficie. La
velocidad a la que la energía radiante es absorbida por área superficial unitaria se evalúa a partir del
conocimiento de una propiedad radiactiva de la superficie denominada Absortividad, , es decir:
Gabs = G
Donde: 0 < < 1.
Si se tiene un intercambio de radiación entre una superficie pequeña a Ts y una superficie
isotérmica a Talr, mucho mas grande que rodea por completo a la pequeña (Fig. 1.3), la irradiación
se aproxima con la emisión a un cuerpo negro a Talr, implica que G = Talr4; y si se supone que la
superficie es tal que = (superficie gris), la velocidad neta de transferencia de calor por radiación
desde la superficie expresada por unidad de área de la superficie, es:
qrad = Qrad / A = e – G = (Ts4 – Talr4)
Donde:
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TRANSFERENCIA DE CALOR
qrad = Diferencia entre la energía térmica que se libera debido a la emisión por radiación y la que
se gana debido a la absorción por radiación (Intercambio radiante de energía): W / m2
Ts = Temperatura absoluta de la superficie: º K (º K = T(º C) + 273)
Talr = Temperatura absoluta de la superficie alrededor: º K (º K = T(º C) + 273)
= Constante de Stefan – Booltzmann: = 5,67 X 10 –8 W / m2 ºK4
= Emisividad
Las superficies de la Fig. 1.3 también pueden transferir simultáneamente calor por convección a
un gas contiguo; por tal, la velocidad total de transferencia de calor desde la superficie será:
Q = Qconv + Qrad = h A (Ts–T) + A (Ts4 – Talr4)
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TRANSFERENCIA DE CALOR
UNIDAD NRO. II: Conducción unidimensional de calor en estado estacionario
Existen dos cantidades de interés práctico en el estudio de los problemas de conducción de calor,
las cuales son la razón de flujo de calor y la distribución de temperatura. Las razones de flujo de
calor tratan de la demanda de energía en un sistema dado, cuando se requiere una distribución de
temperaturas conveniente para diseñar de manera adecuada el sistema, desde el punto de vista de los
materiales. En un suceso cualquiera, una vez que es conocida la distribución de temperatura es
posible determinar las razones de flujo de calor con la ayuda de la “Ley de Fourier”.
1.- Conducción de calor a través de una Pared Plana:
El primer problema que se considera es el de la pared plana, que está constituida de un material
que tiene K constante y que se extiende al infinito en las direcciones y y z. Es importante notar que
K es constante y no depende de cualquiera posición o temperaturas. Para un problema de este tipo,
la temperatura es función de x únicamente; por lo tanto se dice que se trata de un problema
unidimensional. Esto es, la única variable dependiente es la temperatura y la única variable
independiente es la posición x.
T1
T2
T
A
Q = Constante
Qx
T1
T2
Qx + dx
0
L
0
L
x
x
Fig. 2.1: Conducción de calor a través de una pared plana
Se obtiene la ecuación diferencial que gobierna el proceso, haciendo un balance de energía en un
pequeño elemento de volumen de la pared, con espesor dx, y área transversal A. De la Fig. 2.1:
Qx = Calor conducido hacia dentro del elemento de volumen en x = x.
Qx + dx = Calor conducido hacia afuera del elemento de volumen en x = x + dx.
Condiciones:
a.- Estado estacionario: la temperatura no es función del tiempo. No hay cambio en su energía
interna.
b.- Temperatura varía en función de x. No hay conducción de calor en y y z (Ty = Tz = 0).
c.- No hay generación interna de calor; lo que implica:
Qx + dx = Qx + d (Qx) dx (2.2)
Qx = Qx + dx (2.1)
dx
Qx = Qx + d (Qx) dx (2.3)
Sustituyendo (2.2) en (2.1):
dx
Qx = - K A dT
(2.4)
Ecuación diferencial (Ley de Fourier):
dx
- K A dT = - K A dT + d - K A dT dx
Sustituyendo (2.4) en (2.3):
dx
dx dx
dx
d
- K A dT
dx = 0 Para este problema, K y A son constantes, y ya
Esto implica:
que, dx no puede ser cero, la ecuación queda:
dx
dx
Esta ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden; por lo que se
d2T = 0
requiere dos condiciones de frontera para hallar su solución:
dx2
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TRANSFERENCIA DE CALOR
De la Fig. 2.1:
En x = 0,
T = T1
y x = L, T = T2
Realizando doble integración en la ecuación diferencial de segundo grado:
T(x) = C1x + C2
(2.5)
Aplicando las condiciones de frontera:
En x = 0, T(0) = T1 T(0) = C1O + C2 = T1
C2 = T1
En x = L, T(L) = T2 T(L) = C1L + T1 = T2
C1 = (T2 – T1) / L
Sustituyendo los valores de las constantes C1x y C2 en (2.5):
Tx = [(T2 - T1) x] / L + T1
Esta ecuación representa la distribución de temperatura en una pared plana; y demuestra que
esta distribución es una función de x.
En resumen para una pared plana:
Razón de Calor que debe suministrarse a la cara
Ecuación diferencial
Q = K A(T1 – T2) / L izquierda de la pared plana para mantener diferencia
Qx = - K A dT / dx
de temperatura (T1 – T2). Q no es función de x
Flujo de calor para una porción de la pared plana
Qx = K A (T1 – Tx) / X
entre x = 0 y x = x
Ecuación diferencial de segundo orden para la
d2T / dx2 = 0
distribución de temperatura en una pared plana.
Distribución de temperatura en una pared plana.
Tx = [(T2 - T1) x] / L + T1
2.- Conducción radial de calor a través de una Esfera Hueca:
A continuación se estudia el caso de conducción de calor a través de una esfera hueca apreciada
en la Fig. 2.2, en donde se mantiene constante la temperatura de las superficies interior y exterior.
Se obtiene la ecuación diferencial que gobierna
Qr + dr
el proceso, haciendo un balance de energía en un
pequeño elemento de volumen de la esfera, dr, y
Qr
área transversal Ar. De la Fig. 2.2:
ff
Qr = Calor conducido hacia adentro de una
ro
cáscara esférica en r = r.
ri
Qr + dr = Calor conducido hacia afuera de una
r
cáscara esférica en r = r + dr.
dr
Condiciones: Conducción térmica constante,
To
estado estacionario y no hay fuente de calor:
Ti
Qr = Qr + dr
Fig. 2.2: Conducción de calor a través de una esfera hueca.
Ecuación diferencial: Es posible escribir la derivada ordinaria
Qr = Qr + d (Qr) dr
Qr = - K Ar dT/dr
(d/dr)(Qr) ya que la temperatura es
dr
función únicamente de r
Donde: Ar = 4r2
(2.6)
- K Ar dT = - K Ar dT + d - K Ar dT dr
dr
dr dr
dr
Para este problema, K es una constante y Ar no lo es, sino
d - K Ar dT dr
Esto implica:
que es función de r, y ya que dr no puede tener el valor de
dr
dr
cero, el balance de energía puede escribirse de la forma:
d r2 dT = 0 Esta ecuación diferencial sirve para determinar la distribución de temperatura
en una esfera hueca. Las dos condiciones de frontera para hallar su solución:
dr
dr
Sustituyendo la ecuación diferencial en (2.6):
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TRANSFERENCIA DE CALOR
T = To
De la Fig. 2.2:
En r = ri,
T = Ti
y r = ro,
Realizando doble integración en la ecuación diferencial:
T(r) = - C1 (1/r) + C2
Aplicando las condiciones de frontera:
En r = ri, T(ri) = Ti T(ri) = C1(1/ri) + C2 = Ti
En r = ro, T(ro) = To T(ro) = C1(1/ro) + C2 = To
Resolviendo las ecuaciones:
C1 = (To - Ti) / (ro - ri) / (ro ri)
C2 = (To - Ti) / (ro - ri) / (ro ri) (1/ri) + Ti
Sustituyendo los valores de las constantes C1x y C2 en (07):
(2.7)
Tr = ro r - ri (To - Ti) + Ti
r ro - ri
Esta ecuación representa la Distribución de temperatura en una esfera hueca.
En resumen para una esfera hueca:
Ecuación diferencial:
Razón de Calor para una
Q = 4ro ri K (Ti – To)
Qr = - K Ar dT
Donde: Ar = 4r2
esfera hueca
ro - ri
Dr
Ecuación diferencial para la distribución de temperatura
d r2 dT = 0
en una esfera hueca.
dr
dr
Tr = ro r - ri (To - Ti) + Ti
Distribución de temperatura en una esfera hueca.
r ro - ri
3.- Conducción radial de calor a través de un Cilindro Hueco y Largo.
La Fig. 2.3 muestra un cilindro hueco y largo, que puede analizarse en forma semejante a la
esfera hueca. Usualmente un tubo de vapor se puede modelar como un cilindro hueco y largo. La
exposición siguiente es un análisis abreviado:
La ecuación diferencial que gobierna el proceso, haciendo un balance de energía en un pequeño
elemento de volumen del cilindro, dr, y área transversal Ar. De la Fig. 2.3:
Qr = Calor conducido hacia adentro de una cáscara cilíndrica en r = r.
Qr + dr = Calor conducido hacia afuera de una cáscara cilíndrica en r = r + dr.
Condiciones: Conducción térmica constante, estado estacionario y no hay fuente de calor:
Qr = Qr + dr
dr
r
ro
ri
Ti: Temperatura de la superficie interna.
To: Temperatura de la superficie externa.
L >> ro
Qr
Ecuación diferencial:
Qr = - KAr dT
dr
Qr + dr
Donde: Ar = 2rL
Se escribir la derivada ordinaria
(d/dr)(Qr), ya que la temperatura es
función de r:
L
Qr = Qr + d (Qr) dr
dr
Fig. 2.3: Conducción de calor a través de un cilindro Hueco y largo.
9
TRANSFERENCIA DE CALOR
Procediendo como se hizo con la esfera hueca:
d r dT = 0 Ecuación diferencial para determinar la distribución de temperatura en un
cilindro hueco y largo. Las condiciones de frontera para este caso:
dr
dr
De la fig. 2.3:
En r = ri, T = Ti
y r = ro, T = To
La solución de este problema es:
Tr = Ti - (Ti - To) ln (r / ri)
ln (ro / ri)
Esta ecuación representa la Distribución de temperatura en un cilindro hueco y largo.
En resumen para un cilindro hueco y largo:
Ecuación diferencial:
Q = 2 K L (Ti – To) Razón de Calor para un cilindro
Qr = - K Ar dT
Donde: Ar = 2rL
hueco y largo.
Ln (ro / ri)
Dr
Ecuación diferencial para la distribución de temperatura en
d r dT = 0
un cilindro hueco y largo.
dr
dr
Tr = Ti - (Ti - To) ln (r / ri)
Distribución de temperatura en un cilindro hueco y largo.
ln (ro / ri)
4.- Resistencia térmica:
En la tabla siguiente se integra una síntesis de resistencia térmica de las diferentes geometrías:
Tabla Nro. 2.1: Resistencia Térmica
Geometría
Ecuación para el flujo de calor
Resistencia térmica
Q = K A (Ti – To)
Pared plana
L/KA
L
Q = 4ro ri K (Ti – To)
Esfera hueca
(ro - ri) / 4ro ri K
ro - ri
Q = 2 K L (Ti – To)
Cilindro hueco largo
ln (ro / ri) / 2 K L
ln (ro / ri)
Superficie convectiva
1/hA
Q = h A (Ts - T)
Q = T sobre el total
Ecuación fundamental
ri
5.- Radio crítico de aislamiento:
Se tiene una tubería que se desea aislar para evitar la pérdida de energía y proteger a la gente
contra las quemaduras. Si el vapor no está sobrecalentado, se condensará algo de vapor en el interior
de la tubería. Toda la superficie interior de la tubería estará a una temperatura constante
aproximadamente igual a la temperatura de saturación, Tsat, que corresponde a la presión de vapor,
ya que la resistencia convectiva bajo dichas condiciones es demasiado pequeña, por tanto
despreciable.
Aislante Ka = Conductividad térmica del aislante.
Tsat
ho = Coeficiente convectivo en la
Tif
Tso
superficie exterior del aislante.
Ka
Tubería T = Temperatura del aire exterior.
ho
Tso = Temperatura
en la superficie
ri
exterior del aislante.
Tif = Temperatura en la interfase tubería /
T
ro
aislante = Tsat.
L
Fig. 2.4: Tubo de vapor
10
TRANSFERENCIA DE CALOR
La resistencia térmica del tubo de vapor de este problema es:
Q
Tsat
Tif = Tsat
Tso
T
Resistencia convectiva de la superficie
exterior del aislante (Rconva)
Resistencia a la conducción a través del aislante (Rconda)
Resistencia a la conducción a través de la tubería (Rcondt) = 0
La razón del flujo de calor es:
Q = (Tsat - T) / (Rcondt + Rconda + Rconv)
ro
R
Q
ro
Q
Rcondt = 0
Rconda
0
Rconda = ln (ro / ri) / 2 Ka L
>
Rconva
rcr
máx
Rconva = 1 / ho A = 1 / 2 ro L ho
>
Sustituyendo cada resistencia en la ecuación de la razón del flujo de calor es:
Q = (Tsat - T) / [ ln (ro / ri) / 2 Ka L + 1 / 2 ro L ho ]
Para determinar rcr en el cual Q es máximo, entonces derivamos:
dQ / dro = {0 - (Tsat - T)[ (1 / 2 Ka L) + (1 / 2 ro2 L ho) ]} = 0
[ ln (ro / ri) / 2 Ka L + 1 / 2 ro L ho ]2
Como la diferencia de temperatura y el divisor no pueden ser cero, entonces:
(1 / 2 Ka L) + (1 / 2 ro2 L ho) = 0
Q máx
ro = Ka / ho = rcr
rcr
Radio crítico de aislamiento para el
cual la pérdida de calor es máxima.
ro < rcr
ro >rcr
Fig. 2.5: Relación cualitativa entre Q y ro
6.- Fuentes de calor
Se requiere un análisis que tome en cuenta la generación o absorción de calor dentro de un
cuerpo dado. Tales tipos de problemas se encuentran en materiales a través de los cuales fluye
corriente eléctrica, en reactores nucleares, en hornos de microondas, en la industria de
procesamiento químicos y en proceso de combustión.
La fuente de calor se llamará q¨ y se considerará distribuida uniformemente a través del material,
así constante con respecto al tiempo. Tendrá unidades de energía / tiempo – volumen. Se supondrá,
en todos los casos, que el material tiene conductividad constante, el flujo de calor es unidimensional,
y existen condiciones de estado estacionario.
A.- Pared Plana
Considere una placa delgada de cobre sumergida en un baño a temperatura constante igual a
T. Suponga que circula una corriente eléctrica a través de la placa, provocando con esto una
generación de calor uniforme, q¨. El coeficiente convectivo de transferencia de calor en cada cara de
la placa es el mismo, dado por resultado una temperatura, Tso, en ambas caras.
11
TRANSFERENCIA DE CALOR
x=0
Qgen = q¨A dx
Qx
Tso
Qx +dx
Tc
Tso
A
x = -L
dx
x=L
Para encontrar la distribución
de temperatura en la placa, se debe
conocer
ecuación
diferencial
apropiada. Para ello, se realiza
balance de energía en la placa de
espesor dx, y área transversal, A:
Qx + Qgen = Qx + dx
Fig. 2.6: Pared plana con generación de calor uniforme.
Siendo Qgen = q¨A dx, la generación de calor uniforme debido a la circulación de corriente
a través de la placa. Sustituyendo esta expresión y la ecuación diferencial conducción de Fourier en
la ecuación se tiene:
(d2T / dx2) + (q¨ / A) = 0
Esta es la ecuación diferencial de segundo orden que determina la distribución de
temperatura con generación de calor en la pared plana, lo cual indica que se requiere dos
condiciones de frontera para su solución:
Por simetría: Para x = 0, se tiene dt / dx = 0 y para x = L, se tiene T(L) = Tso
Resolviendo la ecuación diferencial:
T(x) – Tso = (q¨ / 2K) (L2 – x2)
Esta es la ecuación que determina la distribución de temperatura a través de una pared plana
con generación de calor uniforme.
B.- Esfera Sólida:
La fig. 2.7 muestra una esfera sólida con una fuente de calor distribuida uniformemente, con
un material que tiene conductividad térmica constante, K, y temperatura en la superficie constante,
Tso:
Balance de energía:
r
ro
dr
Qr + Qgen = Qr + dr
Ecuación diferencial:
(d/dr) (r2 dT/dr) + (q¨ r2/ K) = 0
Tso
Condiciones de frontera:
Qgen = q¨4 r2 dr
En r = ro implica T = Tso
En r = 0 implica dT/dr = 0
Qr + dr
Resolviendo
la ecuación diferencial:
Qr
T(r) – Tso = (q¨ / 6K) (ro2 – r2)
Fig. 2.7: Esfera sólida con una fuente de calor
Esta es la ecuación que determina la distribución de temperatura a través de una esfera sólida
con generación de calor uniforme.
C.- Cilindro sólido y largo:
El último problema a tratar es la generación de calor uniforme en un cilindro sólido y largo,
que tiene una pérdida de calor despreciable en los extremos, con un material que tiene conductividad
térmica constante, K, y temperatura en la superficie constante, Tso, (ver Fig. 2.3):
Ecuación diferencial:
(1/r)(d/dr) (r dT/dr) + (q¨ / K) = 0
Condiciones de frontera: En r = ro implica T = Tso y en r = 0 implica dT/dr = 0
Resolviendo la ecuación diferencial:
T(r) – Tso = (q¨ / 4K) (ro2 – r2)
12
TRANSFERENCIA DE CALOR
Esta es la ecuación que determina la distribución de temperatura en un cilindro sólido y largo
con generación de calor uniforme.
Puede suceder que en algunos problemas no se conozca Tso, pero en cambio q¨, h, T sean
conocidos. Con el fin de encontrar la solución para la distribución de temperatura en cada uno de los
problemas planteados en esta sección, se debe determinar Tso. Esto se hace después de observar que
en el estado estacionario, todo el calor generado en el sólido se debe transmitir por convección hacia
fuera del fluido que lo rodea. Se puede determinar Tso para las tres geometrías anteriores en forma
siguiente:
En forma general:
V q¨ = h A (Tso - T)
Donde:
V = Volumen total del cuerpo.
A = Area de la superficie que transfiere calor por convección al fluido circundante a T.
a.- Pared Plana de espesor 2L:
- Carga total generado en la pared: Qcond = q¨ (A) (2L)
- Calor que transfiere por convección la pared al fluido: Qconv = h 2 A (Tso - T)
q¨ (A) (2L) = h 2 A (Tso - T)
o bien:
Tso = (q¨ L / h) + T
b.- Esfera de radio ro:
- Carga total generado en la pared: Qcond = q¨ (4/3) ro3
- Calor que transfiere por convección la pared al fluido: Qconv = h 4 ro2 (Tso - T)
q¨ (4/3) ro3 = h 4 ro2 (Tso - T)
o bien:
Tso = (q¨ ro / 3h) + T
c.- Cilindro de longitud L y radio ro (L >> ro)
- Carga total generado en la pared: Qcond = q¨ ro2
- Calor que transfiere por convección la pared al fluido: Qconv = h 2 ro L (Tso - T)
q¨ ro2 = h 2 ro L (Tso - T)
o bien:
Tso = (q¨ ro / 2h) + T
13
TRANSFERENCIA DE CALOR
UNIDAD NRO. III: Conducción bidimensional en estado estacionario
El principal objetivo de cualquier análisis de transferencia de calor es la determinación de la
distribución de temperatura y el flujo de calor dentro y en la frontera de un cuerpo dado. Al resolver
problemas bidimensionales, es común usar técnicas analíticas, gráficas, o numéricas. Normalmente
se emplean métodos analíticos o gráficos en los problemas mas sencillos y se usan técnicas
numéricas en los mas complejos.
1.- Método Analítico:
Para poder obtener una solución analítica a los problemas de conducción de calor bidimensional,
se requiere la introducción del concepto de una expansión en serie de Fourier de una función.
Durante la solución de un problema de conducción bidimensional, se llega a cierto punto en que
aparecen términos seno y coseno en el lado derecho de un signo de igualdad, y la función aparece en
el lado izquierdo del mismo signo de igualdad. En este punto se hace necesario expander la función
en una serie de Fourier con el fin de determinar coeficientes desconocidos.
y
Considérese la Fig. 3.1, en donde tres lados de la
T2 , = 0
placa rectangular se mantienen a una temperatura
W
constante, T1, mientras el cuarto lado está a una
T1 , = 0
T1, = 0 temperatura constante, T2 = T1. Se desea definir la
distribución de temperatura T(x,y), pero para simplificar
la solución se introduce la transformación.
0
L
X
= (T - T1) / (T2 - T1)
Para
condiciones
de estado estable en dos
T1 , = 0
dimensiones sin generación y con una conductividad
Fig. 3.1: Conducción bidimensional térmica constante, la ecuación apropiada para la
en una placa rectangular.
transferencia de calor es:
2 / x2 + 2 / y2 = 0
Aplicando la técnica de separación de variables, condiciones de frontera y sustituciones
respectivas se obtiene la solución final:
(-1)n + 1 + 1 sen nx senh (ny / L)
(x,y) = 2
n
L senh (nW / L)
n=1
2.- Análisis Gráfico:
Debido a las geometrías irregulares asociadas con problemas específicos y debido a la
imposición de ciertas condiciones de frontera, resulta con frecuencia difícil encontrar una solución
analítica a los problemas. Muchas veces se puede llegar a solución aproximada a medios gráficos.
Esto es particularmente cierto si las fronteras del cuerpo en cuestión incluyen segmentos que son
isotérmicos.
Para generar una solución gráfica, se crea una red de cuadrados curvilíneos, dibujando líneas
isotermas y de flujo de calor de acuerdo a los lineamientos siguientes:
a.- Siempre se dibujan las líneas de flujo de calor perpendiculares a las isotermas y a las
fronteras isotermas, y bisectan el ángulo en una esquina donde dos fronteras isotermas se
intersectan.
b.- Las isotermas corren perpendiculares a superficies aisladas.
c.- Las diagonales de un cuadrado curvilíneo se intersectan en ángulos rectos.
d.- Todos los lados de un cuadrado curvilíneo tienen aproximadamente la misma longitud, aún
cuando un cuadrado curvilíneo puede ser mayor o menor que otro.
14
TRANSFERENCIA DE CALOR
Para determinar la transferencia de calor en un sistema bidimensional se utiliza la siguiente
ecuación.
Q = (Ml / N) K (T1 – T2) = (Ml / N) K T1 – 2 = S K T1 – 2
Donde:
K = Conductividad térmica.
T1 – 2 = Diferencia de temperatura entre dos isotermas adyacentes.
S = (Ml / N) = Factor de forma de conducción para sistemas bidimensionales. En la Tabla 4.1
del texto (Fundamento de transferencia de calor de Incropera – De Witt) se
da el factor de forma para algunas configuraciones que se encuentran con mas
frecuencia.
3.- Análisis Numérico:
Las soluciones analíticas y gráficas se generan para una variedad de geometrías simples y
condiciones de frontera bien definidas, respectivamente. Sin embargo, con frecuencia los problemas
bidimensionales implican geometrías y/o condiciones de frontera que excluyen este tipo de
soluciones. En estos casos, la mejor alternativa es a menudo la que utiliza una técnica numérica
como lo es el método de diferencias finitas, del elemento finito o del elemento de frontera.
Típicamente, los pasos que se incluyen en una solución numérica son los siguientes:
a.- Se reúne toda la información acerca del problema dado, incluyendo geometría, condiciones
de frontera (temperaturas preestablecidas, flujo de calor unitario preestablecidos, fronteras
aisladas, radiación en las fronteras), y propiedades físicas.
b.- Se divide el cuerpo en una red nodal, que lo subdivide en número finito de elementos y
puntos llamados nodos. La exactitud aumentará a medida que la red se haga mas fina; sin
embargo, aumentará el tiempo requerido para encontrar la solución. En análisis numérico de
conducción de calor, se usa a un nodo en general para representar un elemento. El nodo de
un elemento interior se localiza en el centro del elemento; y, el de la frontera se encuentra en
la superficie exterior del elemento.
c.- Se supone que (a) la temperatura de un elemento se representa por el nodo, (b) la
distribución de temperatura entre dos nodos adyacente es lineal, (c) la conductividad térmica
que se usa para el flujo calor entre dos nodos adyacentes se evalúa en la temperatura
interface de los dos nodos adyacentes, y (d) el área disponible para la conducción de calor
entre dos nodos adyacentes es el área de la interface de los dos elementos.
d.- Se efectúa un balance de energía en cada elemento que interviene para llegar a una ecuación
algebraica para la temperatura del nodo.
e.- Se arreglan todas las ecuaciones en una forma adecuada, de modo tal que se puedan resolver
mediante un proceso interactivo o por algún otro método (Método de inversión de matrices,
Iteración de Gauss – Seidel, etc), y obtener así una solución con auxilio de una computadora.
15
TRANSFERENCIA DE CALOR
UNIDAD NRO. IV: Convección
En el contexto de Transferencia de calor, convección significa el proceso de alejar la energía
térmica, de una superficie sólida a un fluido adyacente en movimiento, en presencia de diferencias
de temperatura o viceversa. El proceso de convección tiene dos mecanismos que contribuyen al
mismo: (a) la conducción de calor, de una superficie sólida hacia una capa delgada de fluido
adyacente, y (b) el movimiento de partículas calientes de fluido, alejándose de la superficie sólida y
ocupando su lugar partículas relativamente fría del mismo fluido. El movimiento de las partículas de
fluido se puede atribuir a cambios de presión, a flotamiento o a una combinación de ambos.
1.- Convección forzada en tubos circulares:
Para el análisis de transferencia de calor por convección forzada se debe considerar los efectos
hidrodinámicos de la velocidad que corresponde a los flujos internos y en ciertas características
únicas del desarrollo de la capa límite. Luego debe de considerarse los efectos de la capa límite
térmica y se aplica un balance global de energía para determinar las variaciones de temperaturas del
fluido en la dirección del flujo. Finalmente, se presentan correlaciones para estimar el coeficiente de
transferencia de calor por convección para una variedad de condiciones de flujo interno.
A.- Número de Reynolds:
Un primer paso en el tratamiento de cualquier problema de convección es determinar si el
flujo es laminar (flujo muy suave con todas las partículas moviéndose en trayectoria bien
organizada) o turbulento (flujo turbulento en donde las partículas se mueven en forma desordenada).
Para ello se utiliza el número de Reynolds, cuyo valor numérico determina la naturaleza del flujo y
se puede interpretar como la razón entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas. El número de
Reynolds para el flujo en un tubo circular se define como:
Re = ( Uprom D) /
ó
Re = (Uprom D) /
Siendo: = /
Donde:
Re = Número de Reynolds, Adimensional.
El flujo dentro de un tubo circular es:
Flujo Laminar:
Sí Re < 2.300
Flujo transicional o Número crítico de Reynolds:
Sí 2.300 < Re > 4.000
Flujo Turbulento:
Sí Re > 4.000
= Densidad del fluido, Kg / m3
= Viscosidad o coeficiente de viscosidad dinámica del fluido, Kg / s m
= Viscosidad cinemática del fluido, m2 / s
Uprom = Velocidad media del fluido, m / s:
Uprom = (Razón de flujo por volumen) / (Area del flujo)
Uprom = V· / Ac
ó
Uprom = m· / ( Ac)
Donde:
Ac = Area de sección transversal del tubo, m2;
Ac = D2 / 4
3
V· = Flujo volumétrico, m / s.
V· = m· /
m· = Flujo másico, Kg / s
B.- Longitud hidrodinámica de entrada:
Cuando un fluido entra a un tubo desde una cámara llena, tiene una distribución de velocidad
uniforme. Para un tubo circular, esto implica que la velocidad, U, en sentido de la corriente, es la
16
TRANSFERENCIA DE CALOR
misma para todos los valores de radio en la entrada del tubo (x = 0). Esto se muestra en la Fig. 4.1.
como el fluido fluye a lo largo del tubo, el perfil de velocidad que refleja la variación de U como
una función de r, viene a ser mas redondeada. A cierta distancia de la entrada del tubo, el perfil de
velocidad viene a ser establecido y no varía de ahí en adelante. Esta distancia se le denomina
Longitud hidrodinámica de entrada, Le.
Una expresión teórica para
la longitud de entrada
laminar es:
r
Flujo de entrada
Le = 0,058 Re
uniforme
x
Para posiciones después
de la longitud de entrada,
se dice que el flujo está
Cámara
enteramente desarrollado.
Le
Para
flujo
turbulento
Región de entrada Región completamente enteramente desarrollado
se supondrá:
hidrodinámica
desarrollada
Le > 10 D
Fig. 4.1: Desarrollo de un flujo laminar a través de un tubo circular.
C.- Ley de enfriamiento de Newton:
La ley de enfriamiento de Newton para tubos circulares viene dada por (Fig. 4.2):
Qconvs = h As (Ts –Tm)
Donde:
Qconvs = Transferencia de calor superficial del tubo al fluido, W
h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor, W / m2 ºK. Representa el valor local y
depende de una variedad de factores tales como: velocidad, densidad, viscosidad,
conductividad térmica, y calor específico del fluido; geometría de la superficie;
presencia de fuerzas de flotamiento; etc.
As = Area superficial del tubo, m2. Ax = D L
Donde: D = Diámetro del tubo, m
L = Longitud del tubo, m
Ts = Temperatura en la superficie del tubo, ºC
Tm = Temperatura media o global del fluido en una sección transversal dada y se define
como la energía térmica transportada por el fluido conforme pasa la sección
transversal. También se le llama Temperatura de mezcla en una taza o temperatura en
bulto. Hay una diferencia esencial entre Tm y T. Mientras T es una constante en
la dirección del flujo, Tm debe variar en esa dirección, ºC.
Ts Región
de
Tm, i
m·
0
Entrada, i
Tm, x
Tm, o
To
Qconvm
Qconvs
r
D
x
Ts – Tm
Ts,x
L
Salida, o
Fig. 4.2: Flujo a través de un tubo circular
Qconvs = constante
Ts = constante
entrada
Ts – Tm
To
Ti
Tm,x
Fig. 4.3: Variación de temperatura axial en un tubo
17
TRANSFERENCIA DE CALOR
D.- Transferencia de calor de flujo de masa:
La transferencia de calor por convección de flujo de masa viene dada por el cambio de
entalpía del fluido (Fig. 4.2):
Qconvm = m· Cp (Tm,o –Tm,i)
Donde:
Qconvm = Transferencia de calor másico, W
m· = Flujo másico, Kg / s
Cp = Calor específico a presión constante, J / Kg ºK
Tm,o = Temperatura media en la salida del fluido, ºC
Tm,i = Temperatura media en la entrada del fluido, ºC.
E.- Flujo de calor superficial constante (Qconvs):
Se puede determinar el flujo de calor superficial en función del flujo de calor unitario:
Qconvs = qconvs As = qconvs D L
Esta expresión se puede utilizar con la ecuación que determina la transferencia de calor de
flujo de masa en cualquier punto x (Fig. 4.3), para un flujo de calor superficial constante para
determinar el cambio de temperatura del fluido, Tm.o – Tm,i:
Qconvs = Qconvm
qconvs D x = m· Cp (Tm,x –Tm,i)
Tm,x = Tm,i + [(qconvs D) / (m· Cp)] x
En consecuencia, la temperatura media varía de forma lineal con x a lo largo del tubo (Fig.
4.3) para Qconvs constante.
F.- Temperatura superficial constante (Ts):
Los resultados para la transferencia total de calor y la distribución axial de la temperatura
media son completamente diferentes para la temperatura superficial constante. Para tal caso se tiene
la siguiente ecuación:
(Ts – Tm,x) / (Ts – Tm,i) = e –[hprom As / m· Cp]
Donde:
hprom = Coeficiente convectivo de transferencia de calor promedio desde la entrada del
tubo hasta x, W / m2 ºK
Este resultado indica que la diferencia de temperatura (Ts – Tm) disminuye exponecialmente
con la distancia a lo largo del eje del tubo para Ts constante.
La determinación de una expresión para la transferencia de calor, Qconvs, se complica por la
naturaleza exponencial de la disminución de temperatura. Por tal, se puede utilizar la siguiente
ecuación, que es una forma de la ley de enfriamiento de Newton para todo el tubo:
Qconvs = hprom As Tml
Donde:
Tml = Diferencia de temperaturas media logarítmica (Fig. 4.3):
Tml = (To – Ti) / Ln(To – Ti)
También se puede expresar con una diferencia media aritmética de la forma:
Tml = (To – Ti) / 2
G.- Distribución de temperatura radial en tubos circulares:
Diferencia de temperatura
Línea central a pared
Línea central a Temperatura media
2
4
T(r) – To = qconvs rs [(r/ rs) - (1/4) (r/ rs) ]
Tm = To + 0,292 qconvs rs
K
K
18
TRANSFERENCIA DE CALOR
Donde:
rs = Radio interno de la pared del tubo, m
r = Radio donde se requiere conocer la temperatura, ºC
T(r) = Temperatura en el radio r, ºC
To = Temperatura del fluido en la línea central, ºC
Tm = Temperatura media del fluido, ºC
Qconvs = Flujo de calor superficial unitario, W / m2
K = Conductividad térmica del fluido, W / m ºK
H.- Coeficiente convectivo de transferencia de calor:
Para utilizar muchos de los resultados anteriores, se debe conocer los coeficientes de
convección. Para determinar los coeficientes convectivos de transferencia de calor se debe
determinar primero el Número de Nusselt, Nu, que es gradiente de temperatura de temperatura sin
dimensiones para el fluido, evaluado en la interface pared – fluido:
Nu = h D / K
Donde :
Nu = Número de Nusselt, Adimensional
h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor, W / m2 ºK
D = Diámetro interior de la pared del tubo, m
K = Conductividad térmica del fluido, W / m ºK
A continuación se indica de que modo se pueden obtener tales coeficientes de forma teórica
para el flujo laminar y empíricas para el flujo turbulento en tubos circulares:
a.- Flujo Laminar:
Región completamente desarrollada:
Para un tubo circular caracterizado por un flujo de calor superficial uniforme (Qconvs =
Constante), y condiciones laminares completamente desarrolladas, el número de Nusselt
es una constante:
Nu = 4,36
Para un tubo circular con una temperatura superficial constante (Ts = Constante), y
condiciones laminares completamente desarrolladas, el número de Nusselt es una
constante:
Nu =3,66
Región de entrada:
En la tabla 4.1 se resumen los valores del número local de Nusselt para flujo laminar en
la región de entrada. Dichos valores se tabulan como función de la coordenada sin
dimensiones, x*, que se define según la siguiente expresión:
x* = (x/ rs) / (Re Pr)
Donde:
x = Distancia a la entrada del tubo, m
rs = Radio interior de la pared del tubo, m
Re = Número de Reynolds, Adimensional
Pr = Número de Prandtl, Adimensional
Pr = Cp / K
ó
Re = Cp / K
Siendo: =
19
TRANSFERENCIA DE CALOR
Tabla 4.1: Número de Nusselt para la región de Entrada
Número de Nusselt laminar local para tubo Número de Nusselt laminar local para tubo
circular con flujo de calor unitario en la circular con temperatura en la pared constante
pared constante (qconvs constante)
(Ts constante)
x*
Nu
x*
Nu
Nu prom
0.002
12.00
0.001
12.86
22.96
0.004
9.93
0.004
7.91
12.59
0.010
7.49
0.010
5.99
8.99
0.020
6.14
0.040
4.18
5.87
0.040
5.19
0.080
3.79
4.89
0.0100
4.51
0.100
3.71
4.66
4.36
0.200
3.66
4.16
3.66
3.66
b.- Flujo turbulento:
Una correlación que se usa ampliamente para flujo turbulento completamente
desarrollado con flujo de calor unitario en la superficie de la pared constante es.
Nu =
(f / 8)
Re
Pr
.
(1/2)
2/3
1,07 + 12,7 (f / 8) (Pr – 1)
[0,5 < Pr < 200]
Donde:
f = Factor de fricción, Adimensional
f = [1,82 log10 (Re) – 1,64]-2
2.- Convección natural de una pared vertical:
Considérese ahora situaciones en las que no hay velocidad forzada y en la que, no obstante, aún
hay corrientes de convección dentro del fluido. Tales situaciones se denominan de convección libre
o natural, y se originan cuando una fuerza de cuerpo actúa sobre un fluido en el que hay gradientes
de densidad. El efecto neto es una fuerza de empuje, que induce corrientes de convección libre. En
el caso mas común el gradiente de densidad se debe a un gradiente de temperatura, y la fuerza de
cuerpo se debe al campo gravitacional.
Ts > T Los efectos de convección libre dependen del
coeficiente volumétrico de expansión térmica,
u (y)
(K-1)
Fluido
= - (1/) (/T)p = (1/) (p/RT2) = 1 / T
Estático
= p/RT (Para un gas ideal)
T,
Donde: T = Temperatura absoluta, ºK
L
Para líquidos y gases no ideales, se debe obtener
de las Tablas del Apéndice A (De Witt –
g
Incropera).
x, u
Considérese ahora los parámetros adimensionales
que gobiernan el flujo de convección libre y la
y,
transferencia de calor. Para ello se introduce el
Número de Grashof, que juega el mismo papel
Fig. 4.4: Desarrollo de una capa límite en la convección libre que el Número de Reynolds
en la convección forzada:
sobre una placa vertical caliente
20
TRANSFERENCIA DE CALOR
GrL = g (Ts – T) L
2
El número de Reynolds proporciona una medida de la razón de las fuerzas inerciales a las
viscosas que actúan sobre un elemento del fluido. En contraste, el número de Grashof indica la razón
de las fuerzas de empuje a las fuerzas viscosas que actúan sobre el fluido.
Para determinar los coeficientes convectivos de transferencia de calor se debe determinar el
Número de Nusselt, Nu:
Nuprom = hprom L / K = 0,677 Pr1/2 (0,952 + Pr)- ¼ GrL¼
Donde :
Nuprom = Número de Nusselt, Adimensional
hprom = Coeficiente convectivo de transferencia de calor, W / m2 ºK
L = Longitud de la capa límite, m
K = Conductividad térmica del fluido, W / m ºK
Pr = Número de Prandtl, Adimensional
GrL = Número de Grashof, Adimensional
El espesor de la capa límite, , esta dado por:
= [3,93 Pr-1/2 (0,952 + Pr)1/4 GrL- 1/4] L
Todas las propiedades se evalúan a temperatura de película, Tf:
Tf = (Ts + T) / 2
3
21
TRANSFERENCIA DE CALOR
UNIDAD NRO. V: Transferencia de calor con cambio de fases
La ebullición y la condensación se clasifican como formas del modo de transferencia de calor
por convección debido a que implican movimiento de fluido. Sin embargo se caracterizan por
propiedades únicas. Debido a que hay un cambio de fase, la transferencia de calor hacia o desde el
fluido puede sin influir en la temperatura del mismo. De hecho, a través de la ebullición o
condensación, se pueden alcanzar transferencia de calor grandes con pequeñas diferencias de
temperaturas. Además del calor latente, hfg, son importantes otros dos parámetros para caracterizar
el proceso, a saber, la tensión superficial, , entre la interfaz líquido – vapor y la diferencia de
densidad entre las dos fases. Esta diferencia induce una fuerza de empuje, que es proporcional a g(l
– ). A causa de los efectos combinados del calor latente y del flujo impulsado por empuje, los
coeficientes y transferencias de calor por ebullición y condensación son por lo general mucho
mayores que los característicos de la transferencia de calor por convección sin cambio de fase.
1.- Transferencia de calor en la condensación:
En el calentamiento o en sistemas de generación de energía que utilizan vapor, el vapor
condensado se debe condensar para usarlo nuevamente. La eficiencia de la unidad condensadora se
determina según el modo de condensación que prevalece: Por goteo, en cuyo caso el vapor se
condensa en pequeñas gotitas de líquido de diferentes tamaños; y por película, en cuyo caso el
vapor se condensa en película continua que cubre completamente la superficie. En la práctica, se
puede encontrar cualquiera de ellos en un condensador. Sin embargo, es preferible mantener la
condensación por goteo, debido a que su coeficiente de transferencia de calor es 5 ó 10 veces el
coeficiente de la condensación por película.
2.- Transferencia de calor por ebullición:
La ebullición es de gran importancia en la generación de energía. En una planta cualquiera de
energía eléctrica se transforma agua en vapor dentro de una caldera de manera tal que se le pueda
utilizar para mover una turbina.
Si se suministra el calor de evaporación a un líquido saturado en su superficie libre, tal como
energía radiante incidente en una pila de agua, se puede producir vapor y a dicho proceso se le llama
evaporación. Por otra parte, si se le agrega calor a un líquido a través de una superficie sólida
sumergida, se puede producir vapor que puede formar burbujas, que pueden crecer, finalmente
separarse de la superficie, y elevarse a la superficie libre debido a efectos de flotación. Dicho
proceso se llama ebullición de alberca.
La ebullición de alberca puede ocurrir cuando una superficie se sumerge debajo de la superficie
libre de un líquido. Una condición necesaria para que ocurra la ebullición es que la temperatura de la
superficie que se calienta exceda a la temperatura de saturación del líquido. La temperatura del
líquido determina el tipo de ebullición. Si la temperatura del líquido está por debajo de su
temperatura de saturación, el proceso se llama subenfriamiento o ebullición local. Si embargo, si la
temperatura del líquido es igual a la temperatura de saturación, el proceso se llama saturado o
ebullición en bulto.
22
TRANSFERENCIA DE CALOR
UNIDAD NRO. VI: Intercambiadores de calor
El proceso de intercambio de calor entre dos fluidos que están a diferentes temperaturas y
separados por una pared sólida, ocurre en muchas aplicaciones de Ingeniería. El dispositivo que se
utiliza para llevar a cabo este intercambio se denomina Intercambiador de calor, y las aplicaciones
específicas se pueden encontrar en la calefacción y acondicionamiento de aire, producción de
potencia, recuperación de calor de desecho y algunos procesamientos químicos.
1.- Clasificación:
Los intercabiadores de calor se clasifican de acuerdo con el arreglo del flujo y el tipo de
construcción. El Intercambiador de calor mas simple es aquel en que los fluidos caliente y frío se
mueven en la misma dirección o en dirección opuestas en una construcción de tubos concéntricos o
doble tubo. En el arreglo de flujo paralelo, los fluidos caliente y frío entra por el mismo extremo,
fluyen en la misma dirección y salen por el mismo extremos. En el arreglo contraflujo, los fluidos
entran extremos opuestos, fluyen en la misma direcciones opuestas y salen por extremos opuestos.
De manera alternativa, los fluidos se pueden mover en flujo cruzado (perpendiculares entre sí)
como lo son los intercabiadores de calor tubulares con aletas y sin aletas; y éstos difieren según el
fluido que se mueve sobre los tubos esté mezclado o no-mezclado. Otra configuración común es el
intercambiador de calor de tubo y coraza. Las formas específicas difieren de acuerdo con el número
de pasos de tubos y coraza, y la forma mas simple es el de un solo paso por tubo y coraza.
Una clase especial de intercabiadores de calor son los de calor compactos; estos dispositivos
tienen complejos arreglos de tubos con aletas o placas y se usan normalmente cuando uno de los
fluidos es un gas, y en consecuencia se caracteriza por un coeficiente de convección pequeño. Los
tubos pueden ser planos o circulares, y las aletas pueden ser de placa o circular. Los intercabiadores
de calor de placas paralelas pueden ser con aletas o corrugadas y se pueden usar en modos de
operación de un solo paso o multipaso.
2.- Coeficiente global de transferencia de calor:
Una parte esencial, y a menudo la mas incierta, de cualquier análisis de intercambiador de calor
es la determinación del Coeficiente global de transferencia de calor. Este, se puede determinar a
partir del conocimiento de los coeficientes de convección de los fluidos caliente y frío, de los
factores de impureza y de los parámetros geométricos apropiados.
3.- Análisis del intercambiador de calor:
Para diseñar el rendimiento de un intercambiador de calor, es esencial relacionar la transferencia
total de calor con cantidades tales como las temperaturas de entrada y salida del fluido, el
coeficiente global de transferencia de calor, y el área superficial total para transferencia de calor.
4.- Eficiencia:
Para cualquier problema de intercambiador de calor se utilizan dos procedimientos: El método
de la diferencia de temperaturas media logarítmica (DTML) y el método de número de unidades de
transferencia (NUT). Ambos métodos se pueden usar para obtener resultados equivalentes. Sin
embargo, dependiendo de la naturaleza del problema, el método NUT puede ser mas fácil de aplicar.
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TRANSFERENCIA DE CALOR
UNIDAD NRO. VII: Radiación Térmica
En la radiación térmica no se requiere un intermediario para que una superficie transmita calor a
otra superficie por radiación. Esto e así debido a que la radiación electromágnetica se emite por el
simple hecho de contar con una temperatura determinada en una superficie.
1.- Cálculos en transferencia de calor por radiación idealizada:
Existen ciertos fundamentos que se deben conocer antes de comenzar por hacer un análisis:
a.- La ley de Stefan – Boltzmann y el cuerpo negro: Permite calcular la energía radiante de un
cuerpo negro.
b.- Propiedades de radiación básica de superficies.
c.- Factores de forma de radiación y sus relaciones: Conjuntamente b y c, permite calcular la
transformación de calor por radiación neta de las superficies bajo condiciones ideales.
2.- La ley de Stefan – Boltzmann:
Los sólidos, líquidos y algunos gases (especialmente el vapor de agua y los hidrocarburos)
emiten radiación térmica como resultado de su temperatura. Un emisor ideal, al que se le llama
cuerpo negro, emite radiación térmica (también se le conoce como absorbente perfecto, ya que
absorbe toda la radiación térmica que incide sobre él):
eb = T4
Donde:
= Constante de Stefan – Boltzmann, 5,66 * 10 –8 W / m2 ºK
T = Temperatura en grados absolutos, ºK = ºC + 273
eb = Potencia emisiva del cuerpo negro, J / s m2 = W / m2
Para un cuerpo o superficie no negra, la Potencia emisiva, e, viene dada por:
e = eb = T4
Donde:
= Emisividad de la superficie (depende de la temperatura y la naturaleza de la superficie),
0<<1
3.- Propiedades de radiación básica:
La Fig. 7.1 muestra la energía radiante o irradiación, G, que incide sobre una superficie. Partes
de esta irradiación se pueden reflejar, absorber y transmitir. A partir de un balance de energía se
puede deducir una relación entre las propiedades de la radiación básica:
Energía
Reflexión
Energía que entra = energía que sale + energía absorbida
Radiante, G
G
G = (G + G) + G ó
1 = ( + ) +
Donde:
2
2
Absorción G = Energía radiante (incidente), J / s m = W / m
= Reflexividad: Fracción de la irradiación que refleja
G
el material.
= Transmisividad: Fracción de la irradiación que se
Transmisión
transmite a través del material.
G
= Absortividad: Fracción de la irradiación absorbida
por el material.
Fig. 7.1: Irradiación sobre una superficie
Para materiales opacos, = 0, y + = 1, o sea no hay transmisión a través de la superficie;
mientras que para la mayoría de los gases a excepción del vapor, dióxido de sulfuro, amoniaco e
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TRANSFERENCIA DE CALOR
hidrocarburos, = 0, = 1, y = 0, todo la irradiación se transmite a través de la superficie. Para
un cuerpo negro: = 0, = 0, y = 1, toda la radiación incidente es absorbida por la superficie. En
general, las propiedades básicas de la radiación, (, , ), de un cuerpo dependen de las
temperaturas de la fuente de la radiación y de la naturaleza de la superficie.
4.- Factores de forma para la radiación y sus relaciones:
El factor de forma para la radiación (factor de ángulo o factor de configuración) se designa como
Fm-n y se interpreta como la fracción de energía que parte de la superficie m y se dirige a la
superficie n. Los factores de forma para diferentes geometrías se pueden obtener: Para rectángulos
paralelos alineados: Figura 13.4 – Pag. 724 del texto (Fundamento de transferencia de calor de
Incropera – De Witt), para discos coaxiales paralelos: Figura 13.5 – Pag. 724 del texto
(Fundamento de transferencia de calor de Incropera – De Witt), y para rectángulos paralelos
con una orilla común: Figura 13.6 – Pag. 725 del texto (Fundamento de transferencia de calor de
Incropera – De Witt). A continuación se tiene las relaciones para factor de forma:
a.- Relación de reciprocidad:
Ai Fij = Aj Fji
b.- Regla de la suma:
n
Fij = 1
j=1
c.- Para superficies planas o convexa:
Fii = 0
5.- Intercambio de radiación de cuerpo negro:
La radiación puede salir de una superficie debido a la reflexión y emisión y al alcanzar una
segunda superficie experimenta reflexión y absorción; sin embargo para una superficie que se
aproxima a un cuerpo negro se simplifica pues no hay reflexión.
ebj
ni
nj
ebi
Aj, Tj
Ai, Ti
Q i – j = Ai Fij ebi
Q j – i = Aj Fji ebj
Qi - j = Transferencia de calor por radiación que sale de una superficie (i o j) y es interceptada
por la superficie (j o i), respectivamente.
Intercambio neto:
Q i – j = Ai Fij ebi - Aj Fji ebj
Relación de reciprocidad:
Ai Fij = Aj Fji
Potencia emisiva:
eb = T4
Implica:
Q i – j = Ai Fij (Ti4 - Tj4)
Qi - j = Transferencia de calor neta por radiación que sale de la superficie i como resultado de su
interación con j, que es igual a la transferencia neta que j gana por radiación debido a su
interación con i.
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TRANSFERENCIA DE CALOR
Para un encierro o recinto:
n
Qi =
Ai Fij (Ti4 - Tj4)
j=1
6.- Intercambio de radiación entre cuerpos grises:
Se dice que una superficie es gris si = y es constante sobre el rango de temperatura del
problema. Se afirma el análisis sobre la suposición de que:
a.- Todas las superficies son grises.
b.- Todas las reflexiones son difusas.
c.- La temperatura es uniforme en cada superficie.
d.- Todas las superficies son opacas.
e.- El encierro está lleno de con un gas transparente.
f.- Todas las emisiones son difusas.
n
Qi =
Ai Fij (Ji - Jj)
j=1
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TRANSFERENCIA DE CALOR
BIBLIOGRAFIA
1.- Holman J. P.: Transferencia de calor
2.- Incropera – De Witt: Fundamentos de transferencia de calor.
3.- Karlekar – desmond: Transferencia de calor.
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