En busca de la demostración de que Zp con p primo es un campo

En busca de la demostración de que Zp con p primo es un campo (finito).
RELACIONES.
Intuitivamente una pareja ordenada es una entidad consistente de dos objetos en un
orden específico.
DEFINICIÓN. Se define el par ordenado de elementos a y b como (a,b)={{a},{a,b}}.
Si a=b, (a,b) tiene dos elementos, un unitario {a} y un par no ordenado {a,b}. La
primera coordenada de (a,b) es el elemento que pertenece a ambos conjuntos, o sea a, y
la segunda coordenada es el elemento perteneciente a sólo uno de los conjuntos, a saber,
b. Si a=b, entonces (a,a)={{a},{a,a}} tiene un único elemento; en este caso ambas
coordenadas son iguales.
El siguiente teorema es muy fácil de probar usando la anterior definición por lo que se
omitirá la prueba.
TEOREMA. (a,b)=(c,d) si y sólo si a=c y b=d.
Definición. Sean A y B conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano de A y B es el
conjunto A×B consistente de todos aquellos pares ordenados (a,b) tales que aЄA y bЄB,
esto es, A×B={(a,b): aЄA y bЄB }
Ejemplo 1.
Sean A={1,2,3} y B={2,4,5}. Entonces
A×B={(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(3,5)}
Ejemplo 2.
Si A=B=R entonces A×B={(x,y): x,yЄR}=R2 es el plano usual de la geometría analítica.
Empleando parejas ordenadas, intuitivamente podemos pensar que una relación
(binaria) R es una proposición tal que, para cada par ordenado (a,b), uno puede
determinar cuándo a está en relación R con b o cuándo no lo está.
Las relaciones pueden ser representadas como el conjunto de todos los pares ordenados
de objetos mutuamente relacionados. Por ejemplo, el conjunto de todos los pares
ordenados consistente de un número real y su raíz puede ser llamada la relación raíz
cuadrada.
DEFINICIÓN. Un conjunto R es una relación (binaria) si todo elemento de R es un par
ordenado, es decir, si para todo zЄR, existen x,y tales que z=(x,y). Si R subconjunto de
A×B diremos que R es una relación de A en B, o entre A y B; y si R subconjunto de
A×A diremos simplemente que R es una relación en A.
Ejemplo. Definimos una relación entre los enteros positivos y los enteros, diciendo que
un entero positivo m está en relación R con un entero n, si m divide a n. La relación R
es simplemente el conjunto {z: existen m, n tales que z=(m,n), mЄZ+,nЄZ, m>0 y m
divide a n }. Los elementos de R son pares ordenados:
…,(1,-3),(1,-2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),…
…,(2,-6),(2,-4),(2,-2),(2,0),(2,2),(2,4),…
…,(3,-9),(3,-6),(3,-3),(3,0),(3,3),(3,6),…
Ejemplo. Sean A y B conjuntos. La relación de A en B de todos los pares ordenados
(a,b) con aЄA y bЄB es llamada relación producto cartesiano y es denotada por A×B.
Ejemplo. El conjunto vacío es una relación llamada relación vacía (para demostrar que
el conjunto vacío es un conjunto de parejas ordenadas, busque un elemento del vacío
que no sea una pareja ordenada).
Ejemplo. Para cualquier conjunto A, la diagonal IdA={(a,a): aЄA} es la relación de
igualdad o relación identidad.
A partir de ahora escribiremos xRy para denotar (x,y)ЄR.
EQUIVALENCIAS Y PARTICIONES.
DEFINICIÓN. Sea R una relación en A.
(a) R es llamada reflexiva en A si para todo aЄA, aRa.
(b) R es llamada simétrica en A si para todo a,bЄA, aRb implica bRa.
(c) R es llamada transitiva en A si para todo a,b,cЄA, aRb y bRc implica aRc.
DEFINICIÓN. Una relación R es de equivalencia en A, si es reflexiva, simétrica y
transitiva en A.
Generalmente una relación de equivalencia en A se denota por E,~,≈ ó ≡. Cuando dos
elementos a,bЄA satisfacen aEb se dice que a es E-equivalente a b o que a es
equivalente a b módulo E.
Ejemplo. La relación R1={(x,y)ЄR2:x≤y} en R no es simétrica.
Ejemplo. La relación vacía en un conjunto A es simétrica y transitiva, pero no reflexiva
salvo que A=ø.
Ejemplo. Sea P el conjunto de todas las personas que viven en la tierra. Decimos que
una persona p es equivalente a q (p≡q) si ambos p y q viven en el mismo país. Es claro
que ≡ es reflexiva, simétrica y transitiva en P.
Note que el conjunto P del ejemplo anterior puede ser “partido” en clases de elementos
mutuamente equivalentes; toda la gente que vive en México forman una de estas clases,
todas las personas que viven en Francia forman otra clase,etc. Todos los miembros de
una misma clase son equivalentes. Las clases de equivalencia corresponden
exactamente a los diferentes países.
Ejemplo. Defina la relación ≡ en el conjunto de los enteros Z como sigue: x≡y si y sólo
si x-y es divisible (m es divisible por n si existe kЄZ tal que m=k·n) por 2. Se puede
verificar fácilmente que ≡ cumple (a),(b) y (c) de la definición de relación de
equivalencia, es decir, ≡ es de equivalencia.
Nuevamente el conjunto Z, puede ser dividido en clases de equivalencia bajo ≡. En este
caso, hay dos clases de equivalencia: el conjunto de los enteros pares y el conjunto de
los enteros impares. Cualesquiera dos pares o cualesquiera dos impares están
relacionados, pero nunca un par está relacionado con un impar.
Los dos ejemplos anteriores reflejan una regla general; una relación de equivalencia en
un conjunto A genera una partición del conjunto A en clases de equivalencia;
recíprocamente, dada una partición en A hay una equivalencia en A determinada por la
partición de A.
DEFINICIÓN. Sea E una equivalencia en A y sea aЄA. La clase de equivalencia de a
módulo E es el conjunto
[a]={xЄA: xEa}
Es conveniente notar que para todo aЄA, [a]≠Ø pues al menos aЄ[a].
Ejemplo. En Z se define la congruencia módulo n como a≡b (mód n) si y sólo si a-b es
divisible por n. ≡ es una relación de equivalencia y la clase de equivalencia de aЄZ es el
conjunto [a]={a+kn: xЄZ}. Cualquier elemento de [a] es llamado un representante de la
clase.
Demostración.
(i)
a≡a (mód n) como a-a=0=n·0 entonces n|a-a
(ii)
Tenemos que a-b=n·k para algún entero k así que b-a=n·(-k) por lo tanto b≡a
(mód n)
(iii)
Escribamos a-b=n·k y b-c=n·l con k,lЄZ; entonces a-c=n·(k+l) por lo tanto
a≡c (mód n)
Por lo tanto ≡ es de equivalencia.
Para ver lo de las clases de equivalencia notemos que si n es un número natural y a,bЄZ.
Supongamos a=nq1+r1 y que b=nq2+r2 con q1,q2,r1,r2 enteros que satisfagan 0≤r1,r2<n.
Entonces a≡b (mód n) si y sólo si r1=r2.
Demostración.
→)Por casos:
i)
Supongamos a≡b (mód n) y r2≤r1, restemos las dos ecuaciones del enunciado
para obtener a-b=n·(q1-q2)+(r1-r2). Entonces como n es divisor de a-b y de
n(q1-q2) también lo es de r1-r2; pero 0≤r1-r2≤r1<n, por lo que la única
posibilidad es que r1-r2=0.
ii)
Si r1≤r2 restamos las ecuaciones en sentido opuesto, observando que como
n|a-b, entonces n divide a –(a-b)=(b-a).
←)Directa:
Ahora supongamos que r1=r2. En este caso, al restar las ecuaciones nos queda a-b=n·(q1q2); por tanto n|a-b y así, a≡b (mód n), como queríamos.
Luego a≡b (mód n) si y sólo si a y b tienen el mismo residuo al dividirlos por n.
Ahora, por el algoritmo de la división dados dos enteros a y b, donde b≠0, existen dos
enteros q y r, únicos, tales que
a=bq+r, con 0≤r<|b|.
Por lo que hay un conjunto de representantes “obvio” dado n un número natural.
DEFINICIÓN. Dado un número natural n se define Zn={0,1,2,…,n-1}
Dentro de este conjunto definimos dos operaciones como sigue: para a y b elementos de
Zn,
a±b=a+b y
aºb=a·b
La operación ± se llama suma en Zn y º se llama producto en Zn.
Surge una pregunta ¿las operaciones están bien definidas?, es decir, ¿los resultados de
las operaciones dependen de los representantes que se elijan? Para responder las
preguntas necesitamos el siguiente:
LEMA.
P1. Si a≡b (mód n) y c≡d (mód n) entonces a+c≡b+d (mód n)
P2, Si a≡b (mód n) y c≡d (mód n) entonces ac≡bd (mód n)
Demostración.
P1. Directa. Queremos probar que (a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d) que es múltiplo de n pues ab y c-d lo son por hipótesis.
P2. Directa. Queremos probar que ac-bd es múltiplo de n. Para ver esto sumemos y
restemos bc, entonces ac-bd=ac-bc+bc-bd=(a-b)c+b(c-d); este último es múltiplo de n
pues, por hipótesis a-b y c-d lo son.
Ahora supongamos a=a’ y b=b’ entonces a+b=a’+b’ pues por P1 a+b≡a’+b’ (mód n) y
también a·b=a’·b’ pues por P2 a·b≡a’·b’ (mód n).
Observemos también que todas las propiedades de las operaciones que tenemos en Z se
traducen en las propiedades correspondientes en Zn, porque las operaciones se traducen
a operaciones de enteros; por ejemplo, se pueden convencer fácilmente que la suma ± es
conmutativa, es decir, para cualesquiera a y b elementos de Zn se tiene que a±b=b±a.
Sigamos con más propiedades de esta notable relación.
TEOREMA. Sea n un número natural.
(i)
Si a es un entero primo relativo con n (es decir, m.c.d.(a,n)=1) entonces
existe un entero b tal que ab≡1 (mód n). En este caso decimos que a es
invertible y que b es un inverso de a módulo n.
(ii)
Recíprocamente, si a y b son enteros tales que ab≡1 (mód n) entonces a y n
no tienen factores en común.
Demostración.
i) Directa.
Sabemos que el m.c.d. de dos números se puede expresar como combinación lineal de
los mismos, así que en este cso escribamos 1=ar+ns.
Tenemos entonces 1≡ar+ns (mód n)
1≡ar+0s (mód n)
1≡ar (mód n)
Cualquier entero b congruente con r módulo n nos servirá por P2.
ii)Directa.
Si ab≡1 (mód n) entonces n|ab-1, por lo tanto existe t entero tal que nt=ab-1.
Despejando obtenemos una combinación lineal de a y n que nos da 1, así qu
m.c.d.(a,n)=1.
Después de haber probado varias propiedades de la relación ≡ el siguiente ejercicio
resultará fácil.
EJERCICIO. Probar que si a y n son primos entre sí, entonces ab≡ac (mód n) si y sólo si
b≡c (mód n).
Del ejercicio anterior concluimos que todas las soluciones de la congruencia ax≡1 (mód
n) son congruentes entre sí y podemos hablar de “el inverso” multiplicativo de a módulo
n (realmente estaremos hablando de la clase módulo n). Por esta razón, si ab≡1 (mód n) ,
decimos que el inverso de a en Zn es b.
EJERCICIO. Probar que si m.c.d.(a,n)=d≠1, entonces es posible encontrar k≡0 (mód n)
de tal manera que ak≡0 (mód n). Por ejemplo, si n=12 y a=4, para k=4 se cumple lo
pedido.
Por lo que podemos concluir que en Zn, la multiplicación de números distintos de cero
puede ser cero.
En Zn hemos definido dos operaciones que tienen propiedades similares a la suma y
multiplicación de enteros. Además, con lo anterior, podemos concluir que los elementos
de Zn que tienen inverso multiplicativo (dentro del mismo Zn) son aquellas clases cuyos
representantes son primos relativos con n. En particular, cuando n es un primo, todos los
elementos en Zn distintos de cero son invertibles.
Existen diversas estructuras algebraicas, en Álgebra Lineal nos interesan los campos
pero para llegar a ellos es necesario recordar
DEFINICIÓN. Un anillo conmutativo se llama dominio entero o dominio de integridad
si el producto de dos elementos distintos de cero es diferente de cero.
TEOREMA. Zp es un dominio de integridad.
Demostración. R.A.A.
Sean x,yЄ{1,2,…,p-1}. Si xy≡0 (mód p) en Zp entonces en Z tendríamos xy=kp. Como
p es primo entonces p divide a x ó p divide a y pero esto no puede ser pues ambos son
menores que p.
Luego xy ≡0 (mód p).
El resultado anterior no es suficiente para probar que Zp es un campo pues hay dominios
de integridad que no son campos (por ejemplo Z).
Falta entonces el siguiente:
TEOREMA. Todo dominio de integridad finito es un campo.
Demostración. Directa.
Sea A un dominio de integridad finito. Para ver que A es campo sólo hay que demostrar
que todo elemento no nulo tiene inverso. Sea a un elemento arbitrario no nulo de A.
Considere la siguiente función:
fa:A→A
x→ax
Veamos que es inyectiva: supongamos que ax=ay
entonces a(x-y)=0
entonces x-y=0
entonces x=y
Por un resultado anterior como fa es una función inyectiva de un conjunto finito en sí
mismo es también sobreyectiva.
Luego debe existir b tal que fa(b)=ab=1. Lo que demuestra la existencia del inverso de a.
CONCLUSIÓN.
Como Zp es un dominio de integridad finito, del último teorema se desprende que Zp
con p primo es un campo.