ANALISIS DE REGRESION LINEAL

ANÁLISIS DE REGRESIÓN
ANALISIS DE REGRESION LINEAL
La Regresión lineal se refiere a la predicción del valor de una variable a partir de una o más
variables. En ocasiones se denomina a la variable dependiente (y) variable de respuesta y a la
variable independiente (x) variable de predicción.
En muchos problemas hay dos o más variables inherentemente relacionadas, y es necesario
explorar la naturaleza de esta relación. El análisis de regresión puede emplearse por ejemplo para
construir un modelo que exprese el rendimiento como una función de la temperatura. Este modelo
puede utilizarse luego para predecir el rendimiento en un nivel determinado de temperatura.
También puede emplearse con propósitos de optimización o control del proceso.
Comenzaremos con el caso más sencillo, la predicción de una variable (y) a partir de otra variable
(x).
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Para las situaciones siguientes establezca cual es la variable dependiente y cual es la
independiente.
a) Un actuario quiere predecir el monto del seguro de vida alcanzado por los maestros a partir de
sus salarios mensuales.
Solución: la variable dependiente o de respuesta, es el monto del seguro de vida alcanzado por
un maestro, y la variable independiente o variable de predicción es el salario anual del docente.
b) El gerente de un restaurante quiere estimar el número de clientes que puede esperar cierta
noche a partir del número de reservaciones para cenar recibidas hasta las 5:00 PM
Solución: El número de clientes es la variable de respuesta, el número de reservaciones es la
variable independiente.
Supuestos para el modelo de regresión lineal 1
1. Para cada valor de x, la variable aleatoria

se distribuye normalmente.
2. Para cada valor de x, la media o valor esperado de

es 0; esto es,
E     0 .
3. Para cada valor de x, la varianza de  es la constante  (llamada varianza del error).
4. Los valores del término de error  son independientes.
5. Para un valor fijo de x, la distribución muestral de y es normal, porque sus valores dependen
de los de  .
2
6. Para un valor fijo x, es posible predecir el valor de y.
7. Para un valor fijo x, es posible estimar el valor promedio de y
Página 1
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
1
Ejemplo 1:
La revista Motor Trend presenta con frecuencia datos de rendimiento para automóviles, que
compara el tamaño del motor en pulgadas cúbicas de desplazamiento (pcd) y las millas por galón
(mpg) estimadas para ocho modelos representativos de automóviles subcompactos modelo 1984.
tamaño del motor (pcd) x
121
120
97
98
122
97
85
122
coches compactos
Chevrolet Cavalier
Datsun Nissan Stanza
Dodge Omni
Ford Escort
Mazda 626
Plymouth Horizon
Renault Alliance/Encore
Toyota Corolla
millas/galón (mpg), y
30
31
34
27
29
34
38
32
Graficando los datos de la tabla en el “diagrama de dispersión” podemos observar la colección de
los ocho pares de datos (x,y) como muestra de una población de pares, donde las medidas
pulgadas cúbicas de desplazamiento (pcd) “x” pueden tomar cualquier valor en el rango de valores
que se extiende de 85 a 122. Para cada pcd posible hay muchos millajes asociados con ella. Por
ejemplo para un tamaño del motor de 97 hay un gran número de millajes asociados, uno por cada
coche cuyo tamaño sea 97 pcd. Asumamos que existe una relación lineal para la población de
pares de datos de pcd y mpg. (Se entiende por relación lineal cuando la variable y tiene una
tendencia a crecer o decrecer, cuando la variable x aumenta).
Diagrama de dispersión
39
37
35
m 33
p 31
g 29
27
25
80
90
100
110
pcd
ddci
d
1
Estadística, Richard C.Weimer, CECSA, Segunda edición, 2000
Página 2
120
130
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Usamos el modelo probabilístico siguiente para explicar el comportamiento de los millajes para
las ocho medidas de tamaño de motor, este se llama modelo de regresión lineal, y expresa la
relación lineal entre tamaño de motor (x) y millas por galón (y).
Modelo de regresión lineal
y   0  1 x  
Donde
y = variable dependiente
 0  ordenada al origen
1
= pendiente
x = variable independiente
 = Error aleatorio
La expresión
 0  1 x
se denomina componente determinística del modelo de regresión lineal.
La muestra de pares de datos se usará para estimar los parámetros
 0 y1
de la componente
determinística.
La diferencia principal entre un modelo pobabilístico y uno determinístico es la inclusión de un
término de error aleatorio en el modelo probabilístico. En el ejemplo los diferentes rendimientos
para un mismo tamaño de motor se atribuyen al término de error en el modelo de regresión.
Cálculo de la ecuación de regresión
También es llamada ecuación de predicción de mínimos cuadrados. La ecuación de regresión
estimada es: yˆ  b0  b1 x.
Donde:
ŷ 
Valor predicho de ŷ para un valor particular de x.
b0 =
Estimador puntual de
b1=
Estimador puntual de
 0 .(ordenada al origen)
1. (pendiente)
Para el cálculo de b0 y b1 se utilizamos las siguientes fórmulas:
 x

2
SSx   x
2
n
 y 

2
SS y   y
2
n
Página 3
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
SSxy   xy 
b1 
 x y 
n
SSxy
SSx
b0  y  b1 x
Donde:
SS = suma de cuadrados
b1 = pendiente
b0 = ordenada al origen
n = número de pares de datos
En la tabla incluimos las sumatorias que utilizaremos para el cálculo de las fórmulas.
coches compactos
tamaño del motor (pcd) x
Chevrolet Cavalier
121
Datsun Nissan Stanza
120
Dodge Omni
97
Ford Escort
98
Mazda 626
122
Plymouth Horizon
97
Renault Alliance/Encore
85
Toyota Corolla
122
SUMAS
862
Media
107.75
millas/galón (mpg), y
30
31
34
27
29
34
38
32
255
31.875
x^2
14641
14400
9409
9604
14884
9409
7225
14884
94456
y^2
900
961
1156
729
841
1156
1444
1024
8211
xy
3630
3720
3298
2646
3538
3298
3230
3904
27264
Calculando b0 y b1 tenemos:
SSx = 1575.50
SSy = 82.88
SSxy = -212.25
b1 = -0.13472
b0 = 46.39099
La ecuación de predicción de mínimos cuadrados es:
yˆ  b0  b1 x. => yˆ  46.39099 0.37472x
Gráfica de la ecuación de regresión
50
y =46.391 -0.1347x
Y
40
30
20
Y
10
Lineal (Y)
0
0
50
100
Variable X
Página 4
150
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Error
Los errores se denominan frecuentemente residuales. Podemos observar en la gráfica de
regresión los errores indicados por segmentos verticales.
¿Qué tan normales
son los residuales?
¿Residuales individuales tendencias; o separados?
Diagnóstico del Modelo de Residuales
Gráfica Normal de Residuales
Tabla de Residuales
20
Residual
Residual
10
0
-10
-20
-2
-1
0
1
2
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
Ignórese
para grupos
pequeños de
información
(<30)
-3.0SL=-43.26
5
10
Número de Observación
Histograma de Residuales
Residuales vs. Ajustes
20
3
10
2
Residual
Frecuencia
X=0.000
0
Marcador Normal
Histograma ¿curva de
campana?
3.0SL=43.26
1
0
-10
-20
0
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15
450
500
550
Ajuste
Buscar
Buscarlas
lasinconsistencias
inconsistencias
mayores
mayores
Página 5
¿Aleatorio
alrededor de
cero, sin
tendencias?
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Al usar el criterio de mínimos cuadrados para obtener la recta que mejor se ajuste a nuestros
datos, podemos obtener el valor mínimo para la suma de cuadrados del error (SSE)
SSE  SSy  b1 SSxy
A la varianza de los errores e se le llama varianza residual siendo denotada por
se2 , se encuentra
dividiendo SSE entre n-2
S e2 
SSE
n2
La raíz cuadrada positiva de la varianza residual se llama error estándar de estimación y se
denota por Se.
Aplicando las fórmulas en obtenemos la suma de cuadrados del error, la varianza residual y el
error estándar de la estimación:
SSE = 82.88-(-0.13472)(-212.25) =54.2849
S e2 
Se
54.2849
 9.0475
6
= 3.007
Ejemplo 2: Una firma de renta de coches recabó los datos adjuntos sobre los costos de
mantenimiento y, y las millas recorridas x para siete de sus automóviles.
Automóvil
Encuentre:
A
B
C
D
E
F
G
Millas recorridas x
en miles
55
27
36
42
65
48
29
a) Una estimación puntual para
b) Una estimación puntual para
Costos de mantenimiento y (dólares)
299
160
215
255
350
275
207
0 .
1.
c) Una estimación puntual para la varianza del error  .
d) Una estimación puntual para el costo promedio del mantenimiento de un coche con 36,000
millas recorridas.
e) Prediga el costo para un coche con 29,000 millas recorridas.
2
Automóvil
A
B
C
D
E
F
G
Suma
Media
x
55
27
36
42
65
48
29
302
43.14
y
299
160
215
255
350
275
207
1761
251.57
Página 7
x^2
3025
729
1296
1764
4225
2304
841
14184
y^2
89401
25600
46225
65025
122500
75625
42849
467225
xy
16445
4320
7740
10710
22750
13200
6003
81168
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
SSx = 1154.86
SSy = 24207.71
SSxy = 5193.43
b1 = 4.4970
b0 =57.5567
SSE = 852.70
S e2 = 170.54
y = 57.5567 + 4.497x
a) b0 =57.5567
b) b1 = 4.4970
c)
S e2 = 170.54
d) 57.5567 + 4.497(36) = 219.44 usd
e) 57.5567 + 4.497(29) = 187.96 usd
Inferencias sobre el modelo de regresión lineal.
yˆ   0  1 x , con propósitos de predicción, queremos estar
razonablemente seguros de que la pendiente 1 de la ecuación de regresión E y x   0  1 x
no es cero. Ya que si 1  0 , entonces para cualquier valor de x, E  y x  sería idéntica a  0 ,
Para usar la ecuación de regresión
como se muestra en la figura. Siendo este el caso el modelo no sería apropiado.
Con el propósito de determinar si la pendiente de la regresión poblacional es diferente de cero,
separemos SSy en dos componentes, SSE y SSR.
Tenemos la siguiente relación:
SSy = SSE + SSR
Donde:
SSE = Suma de cuadrados del error
SSR = Suma de cuadrados de la regresión
SSE = SSy-b1SSxy
SSR = b1SSy
Página 8
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Prueba de hipótesis utilizando la distribución F
Si fuera cierta H 0 : 1  0 , el estadístico F serviría como estadístico de prueba: F está definido
como:
F
SSR
S e2
Con gl = (1,n-2), se puede usar el estadístico F para determinar si 1 es diferente de cero. Si la
pendiente de la ecuación de regresión poblacional es diferente de cero, entonces la ecuación se
puede usar con propósitos de predicción.
Ejemplo 3: Para los datos del ejemplo 1 haga una prueba para determinar si
  0.05
H 0 : 1  0
H 1 : 1  0
1  0 , usando
En el ejemplo 1 y 2 obtuvimos los siguientes valores:
SSxy = -212.25
b1 = -0.13472
S e2  9.0475
La suma de cuadrados para la regresión SSR se calcula mediante:
SSR = b1SSxy = (-212.25)(-0.1347) =28.5901
Hallamos el estadístico de prueba F:
F
SSR 28 .5901
 3.16
=
9.0475
S e2
F (1, n  2)  F0.05(1,6) = 5.99. Como F = 3.16<5.99, no rechazamos
H 0 : 1  0 . Concluimos que la ecuación yˆ  46.3889 0.1347x no debe usarse con
Se encuentra el valor crítico
propósitos de predicción, y no tenemos evidencia que apoye que el modelo lineal es correcto para
nuestros datos.
Prueba de hipótesis utilizando la distribución t
Otra manera de realizar la prueba de hipótesis
H 0 : 1  0 es usando la distribución t.
El estadístico de prueba es:
t
b1
, donde gl = n-2
Se SSx
Ejemplo 4: Usando los datos del ejemplo 1, haga una prueba para determinar si
prueba de t y
  0.05 .
Página 9
1  0
usando la
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
H 0 : 1  0
H 1 : 1  0
t
b1
 0.1347
=
 1.7775
9.0475 1575.5
Se SSx
Los valores críticos
 t.025 para gl = 6 son  2.447 . Como –t.025 < t no rechazamos H 0 : 1  0 .
Por tanto no tenemos evidencia que sugiera que el modelo lineal es apropiado para nuestros
datos.
Análisis de correlación
Establece si existe una relación entre las variables y responde a la pregunta,”¿Qué tan evidente es
esta relación?".
La correlación es una prueba fácil y rápida para eliminar factores que no influyen en la predicción,
para una respuesta dada.
Coeficiente de Correlación de Pearson





Es una medida de la fuerza de la relación lineal entre dos variables x y y.
Es un número entre -1 y 1
Un valor positivo indica que cuando una variable aumenta, la otra variable aumenta
Un valor negativo indica que cuando una variable aumenta, la otra disminuye
Si las dos variables no están relacionadas, el coeficiente de correlación se aproxima a 0.
El coeficiente de correlación r se calcula mediante la siguiente fórmula:
r
SSxy
SSxSSy
Tabla de Correlación
Por su importancia, ¿cuál es el coeficiente mínimo de correlación?
n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
95%
de confianza
1.00
0.95
0.88
0.81
0.75
0.71
0.67
0.63
0.60
0.58
0.53
0.53
99%
de confianza
1.00
0.99
0.96
0.92
0.87
0.83
0.80
0.76
0.73
0.71
0.68
0.66
n
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
95%
de confianza
0.51
0.50
0.48
0.47
0.46
0.44
0.42
0.40
0.39
0.37
0.36
99%
de confianza
0.64
0.61
0.61
0.59
0.58
0.56
0.54
0.52
0.50
0.48
0.46
Para un 95% de confianza, con una muestra de 10,
el coeficiente (r) debe ser al menos .63
Página 10
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Correlación Negativa
Evidente
25
20
20
15
15
10
Y
Y
Correlación Positiva
Evidente
25
5
0
5
10
15
20
5
Sin Correlación
0
25
10
0
0
5
10
25
X
15
20
25
X
20
15
25
Y
Correlación
Positiva
10
0
0
20
5
10
15
20
25
25
X
20
15
15
10
Y
Y
Correlación
Negativa
5
5
10
5
0
0
5
10
15
20
0
25
0
X
5
10
15
20
25
X
Ejemplo 5: En un esfuerzo por determinar la relación entre el pago anual de los empleados y el
número de faltas al trabajo por causa de enfermedad, una corporación grande estudió los registros
personales de una muestra de doce empleados. Los datos pareados aparecen en la siguiente
tabla.
Empleado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Pago anual
(miles de dólares)
15.7
17.2
13.8
24.2
15
12.7
13.8
18.7
10.8
11.8
25.4
17.2
Inasistencias
4
3
6
5
3
12
5
1
12
11
2
4
Página 11
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Determine el coeficiente de correlación e interprete el resultado.
Empleado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
SUMATORIA
SSxy =
SSx =
SSy =
r
x
15.7
17.2
13.8
24.2
15
12.7
13.8
18.7
10.8
11.8
25.4
17.2
196.3
y
4
3
6
5
3
12
5
1
12
11
2
4
68
x^2
246.49
295.84
190.44
585.64
225.00
161.29
190.44
349.69
116.64
139.24
645.16
295.84
3441.71
y^2
16
9
36
25
9
144
25
1
144
121
4
16
550
xy
62.8
51.6
82.8
121.0
45.0
152.4
69.0
18.7
129.6
129.8
50.8
68.8
982.3
-130.06667
230.569167
164.666667
SSxy
= -0.6675
SSxSSy
Inasistencias
Diagrama de dispersión
14
12
10
8
Serie1
6
4
2
0
Lineal (Serie1)
0
5
10
15
20
25
30
Pago anual (miles usd)
En el diagrama de dispersión observamos que al aumentar x, y disminuye, por lo cual la
correlación es negativa. Comparando el coeficiente de correlación calculado, con la tabla de
correlaciones observamos que .66 > .58, por lo cual la correlación entre las variables es fuerte.
Página 12
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Regresión lineal en Excel
Mediante el uso de análisis de datos resolveremos el Ejemplo 1.
Seleccione: herramientas > análisis de datos > regresión
En la ventana seleccione el rango de entrada para X y Y, el rango de salida y seleccione la opción:
gráfico de residuales y curva de regresión ajustada.
Página 13
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Página 15
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Análisis de resultados de la tabla de Excel:
Analizando los resultados de Excel, tenemos los siguiente:

En la sección Estadísticas de la regresión vemos que el coeficiente de correlación = .5873
comparando este valor con la tabla de correlaciones observamos que el valor .5873 < .71
lo cual indica una relación débil entre las variables. En la gráfica “de regresión ajustada”
observamos que la correlación es negativa ya que al aumentar X, Y disminuye; Cabe
mencionar que el coeficiente de correlación calculado por el sistema siempre es positivo,
por lo cual debemos basarnos la gráfica de regresión para determinar el signo.

Ecuación de la regresión: Para obtener la ecuación de regresión usamos los coeficientes
de los renglones
Intercepción y
variable X1, estos son 46.3909 y – 0.1347
respectivamente, siendo la ecuación de regresión: y = 46.3909- 0.1347X1.

Análisis de Varianza: La tabla muestra la suma de cuadrados de la regresión SSR =
28.5901, la suma de cuadrados de los residuos o error SSE = 54.2806, El promedio de
los cuadrados de la regresión que es la varianza residual
2
el valor de F dividiendo SSR/ S e
S e2 = 9.0468 . El sistema calcula
como ya se trato anteriormente. El valor crítico F es
menor que el valor F (0.125< 3.16), por lo que no tenemos evidencia para rechazar la H 0:
1  0 , en consecuencia el modelo de regresión no es apropiado.

Análisis de residuos: muestra los pronósticos y residuos para cada observación, así como
el gráfico de residuales, en el cual observamos inconsistencias ya que la mayoría de los
puntos se encuentran en la región positiva.
Página 17
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
ANÁLISIS DE REGRESIÓN MULTIPLE
En ocasiones la información de una variable independiente no es suficiente, por ejemplo en el caso
de los autos compactos además de tener la variable del tamaño del motor, podríamos tener otras
variables, que nos permitan tener mayor información como por ejemplo el peso del coche, el tipo
de recorrido, el tamaño de las llantas, estos factores también influyen sobre la razón del consumo
de gasolina.
Cuando se usa más de una variable independiente para predecir los valores de una variable
dependiente, el proceso se llama análisis de regresión múltiple, incluye el uso de ecuaciones
lineales y no lineales, en este estudio nos ocuparemos de las ecuaciones de regresión lineales.
Ejemplo 6 Muchos programas de estudios premédicos usan los promedios de las calificaciones del
MCAT de los estudiantes egresados como un indicador de la calidad de sus programas. Las
variables que se sabe influencian esos promedios del MCAT(y) son: la combinación de las
calificaciones del SAT en matemáticas y en oratoria (x1) y el GPA (x2) de los prospectos a médicos.
La tabla muestra las medidas de x1, x2 y y de seis estudiantes que han cursado un programa de
premedicina y que han presentado el MCAT
Estudiante
1
2
3
4
5
6
Calificación
SAT (X1)
1200
1350
1000
1250
1425
1340
GPA (X2)
3.8
3.4
2.9
3.3
3.9
3.1
Calificación promedio del MCAT (Y)
12.4
13.3
9.2
10.6
13.2
11.2
Con esta información podemos encontrar una ecuación lineal que nos permita predecir el promedio
de calificaciones del MCAT para un estudiante si se conocen su GPA y su calificación combinada
del SAT.
La ecuación lineal para los datos del ejemplo tiene la forma yˆ  b0  b1 x1  b2 x2 . Es posible
encontrar los valores de b0, b1, y b2 usando el método de mínimos cuadrados, al igual que en el
método de regresión lineal simple. El método en este caso requiere resolver tres ecuaciones
lineales con tres incógnitas, estas ecuaciones, conocidas como ecuaciones normales, son:
 b1  x1   b2  x2 
 y  nb
0
 x y  b  x   b  x   b  x 
1
0
1
1
2
1
2
2
2
 x y  b  x   b  x x   b  x 
2
0
2
1
1 2
2
2
2
Página 18
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
La siguiente tabla organiza los cálculos para obtener las ecuaciones:
X1
1200
1350
1000
1250
1425
1340
7565
X2
3.8
3.4
2.9
3.3
3.9
3.1
20.4
Y
12.4
13.3
9.2
10.6
13.2
11.2
69.9
X1^2
1440000
1822500
1000000
1562500
2030625
1795600
9651225
X2^2
14.44
11.56
8.41
10.89
15.21
9.61
70.12
X1X2
4560
4590
2900
4125
5557.5
4154
25886.5
X1Y
14880
17955
9200
13250
18810
15008
89103
X2Y
47.12
45.22
26.68
34.98
51.48
34.72
240.2
Las ecuaciones normales para este ejemplo son:
69.9  6b0  7,565b1  20.4b2
89,103  7565b0  9,651,225b1  25,886.5b2
240.2  20.4b0  25,886.5b1  70.12b2
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales obtenemos:
b0 = -2.537, b1=0.005425, b2 = 2.161.
La ecuación de regresión es:
yˆ  2.537  0.005425x1  2.161x2
Suma de cuadrados
La suma total de cuadrados SST, se descompone en dos componentes: suma de cuadrados para
la regresión, y suma de cuadrados del error.
SST = SSR + SSE
La suma de cuadrados para la regresión es aquella parte de la suma total de cuadrados que se
atribuye a las variables independientes. Mientras que la suma de cuadrados del error es aquella
porción de la suma de cuadrados total y que no se debe a las variables independientes, por ello se
llama suma de cuadrados del error.
SST    y  y   12.9950
2
SSE    y  yˆ   2.2403
SSR  SST  SSE  10.7547
2
Grados de libertad para la regresión:
glT  glR  glE
glT  n  1
glR  k
glE  n  (k  1)
donde:
k = número de variables independientes
Página 19
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Cálculo de cuadrados medios:
SSR 10.7547

 5.3773
glR
2
SSE 2.2403
MSE 

 0.7468
glE
3
MSR 
Donde:
MSR= Cuadrado medio de la regresión
MSE= Cuadrado medio del error.
Prueba de hipótesis
Para determinar si el modelo lineal describe adecuadamente los datos, se usa la prueba F.
Para los datos del ejemplo las hipótesis son:
H 0 : 1   2   0
H 1 : 1  0 o  2  0
El valor del estadístico F se encuentra dividiendo MSR entre MSE.
F
MSR 5.3773

 7.20
MSE 0.7468
Buscando el valor crítico para
F (1, n  2)  F0.05 1,4 =7.71.
Como 7.71 > 7.20 no podemos rechazar H0, lo cual nos indica que podría ser arriesgado utilizar la
ecuación de regresión con propósitos predictivos.
Coeficiente de determinación múltiple
R2 
SSR
SST
Utilizando los datos del ejemplo:
R2 
10.7547
 0.8276  82.8%
12.995
Esto significa que aproximadamente el 83% de la variación en el promedio de las calificaciones se
atribuye a la variación de las variables independientes y solamente el 17% de la variación de la
variable dependiente no se atribuye a eso.
Página 20
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Regresión múltiple en Minitab
Ejemplo 7 La tabla enlista el consumo de combustible en millas por galón bajo condiciones
normales de manejo, los pesos de los coches en libras y la capacidad del motor en cc para seis
coches deportivos modelo 1990.
Coche deportivo Capacidad
Peso
Chevrolet
5735
Kagiar XJ-S
5344
Mercedes-Benz 500 SL
2174
Porsche 911
3600
Maserrati 228
2790
BMW 325i
2494
Consumo
3330
4015
2865
3320
3020
3100
a) Determine una ecuación de regresión para predecir el promedio de consumo de
combustible usando la capacidad del motor y el peso, y calcule el coeficiente de
determinación R2.
Una vez capturados los datos de las variables en Minitab seleccionamos
STAT>REGRESIÓN>REGRESIÓN y se presenta la siguiente pantalla
Página 21
17,9
18,7
16,5
17
15,5
22
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Seleccionamos la variable de respuesta (response) que corresponde a la Columna 3 C3, y las
variables de predicción (predictors): C1 y C2.
Damos Clic en el Icono Graphs, y en la opción gráficos de residuos “residual plots” dejamos la
opción que el sistema da por de fault: “Regular”. y seleccionamos la opción residual vs. fits y
normal plot of residuals. También existen otras opciones de gráficos que podemos usar en caso de
ser necesario.
Página 22
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
En la opción Resultados “Results” seleccionamos el circulo: Regresión equation....
Damos clic en ok.
Regression Analysis
The regression equation is
C3 = 10,9 - 0,00050 C1 + 0,00270 C2
Predictor
Coef
StDev
Constant
10,91
12,90
C1
-0,000496 0,001329
C2
0,002702 0,004982
S = 2,805
R-Sq = 9,1%
T
P
0,85 0,460
-0,37 0,734
0,54 0,625
R-Sq(adj) = 0,0%
Analysis of Variance
Source
DF
SS
Regression
2
2,368
Residual Error 3
23,605
Total
5
25,973
MS
1,184
7,868
F
P
0,15 0,866
Analizando los resultados tenemos:
De la tabla resultante podemos determinar que la ecuación de Regresión es Y = 10.9 –
0.00050X1+.00270X2
Donde X1 representa el tamaño del motor (capacidad) y X2 el peso del coche, Y representa el
rendimiento predicho para el consumo del combustible.
El coeficiente de determinación R-Sq o R2 es 9.1% y esto indica que el 9.1% de la variación en el
consumo de combustible se atribuye a la capacidad y al peso. El 90.9% no se atribuye a estas
variables.
Página 23
ANÁLISIS DE REGRESIÓN
Examinando el valor del estadístico F(F=0.15), que es significativo al nivel P = 0.866 concluimos
que el modelo no es adecuado para fines de predicciòn en un nivel   0.05
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is C3)
Normal Score
1
0
-1
-2
-1
0
1
2
3
4
Residual
Residuals Versus the Fitted Values
(response is C3)
4
3
Residual
2
1
0
-1
-2
17
18
19
Fitted Value
Analizando los gráficos anteriores, podemos observar en el grafico de probabilidad que las
observaciones aparentan ser normales. Sin embargo en el gráfico de residuales observamos una
tendencia ya que la mayoría de los puntos se encuentran a bajo del cero.
Página 24