S2-FMCT10

Teoría de Conjuntos Difusos una Aproximación a la Optimización Multi-Respuesta.
Jorge Domínguez Domínguez 1 J. Axel Domínguez López 2
RESUMEN
La calidad en el desarrollo de productos está en función de varias características que determinan su
utilidad. Es necesario encontrar un valor óptimo que integre todas las respuestas para que el producto tenga
la mejor calidad posible, entonces el problema se puede plantear como un problema de optimización multiobjetivo. Así la programación matemática se usa para la toma de decisiones en varios niveles: gerencia,
producción, entre otros, en estos casos se emplean las funciones objetivo y restricciones. En problemas
reales hay términos en los que las funciones expresan cuestiones tales como ganancias y pérdidas y las
restricciones formulan temas relacionados con la inversión. Una mejor representación de tales
consideraciones es necesaria para manejar tales imprecisiones. Varias formas de la programación
matemática de la teoría de conjuntos difusos se han propuesto para atender estas situaciones.
En este trabajo se desarrolla modelo de optimización multi-objetivo que incorpora los conceptos de la
teoría difusa. Se ilustra la eficiencia del procedimiento mediante un ejemplo real.
INTRODUCCIÓN
El proceso de optimización multi-respuesta tiene aplicación en muchas áreas del conocimiento y con
mayor frecuencia en problemas de diseño en ingeniería, y en los que se incluyen más de una característica de
interés. La optimización multi-respuesta requiere encontrar características de la variable de control que
generen un óptimo, o cerca del óptimo, tal que produzcan valores para cada una de las respuestas que se
están considerando. Aquí la palabra óptimo se usa como referencia para considerar las condiciones más
aceptables o más deseables, que las otras respuestas con respecto a ciertas condiciones. Las técnicas de
optimización multi-respuesta se pueden estudiar mediante métodos gráficos y analíticos.
La utilidad de la graficación multi-respuesta se discute en [4], ahí se presentan y comparan las ventajas y
desventajas de la técnica gráfica con algunos métodos analíticos. Una de las ventajas del método gráfico es
que permite generar varios escenarios de posibles soluciones óptimas [7], una línea abierta en esta dirección
es incorporar la graficación dinámica.
Otros caminos que han ido ocupando la atención de los investigadores en la optimización multi-respuesta
tiene que ver con las técnicas multi-objetivo, las de lógica difusa y algoritmos genéticos, las que citaremos a
continuación.
El desarrollo de nuevos procesos y productos o la mejora de estos dependen de un conjunto de factores de
control; mediante estrategias experimentales estos generan varias respuestas para describir las características
de los productos. Entonces en el proceso de optimización multi-respuesta, el objetivo es determinar la mejor
combinación de los valores en los factores de control que den lugar a un óptimo global sobre las respuestas.
Para tomar una decisión multi-objetivo, en cada respuesta se define por separado la función objetivo en en
términos de los factores de control. Las técnicas multi-objetivo se utilizan para resolver una amplia variedad
de problemas en la ingeniería de desarrollo de productos y mejora de estos [8].
En problemas optimización multi-objetivo, es raro encontrar que las soluciones factibles den lugar a que
todas las respuestas cumplan con su valor óptimo. Una alternativa al estudio de respuestas con ciertas metas
establecidas se puede enfocar mediante la naturaleza de la lógica difusa [9]. Esta teoría proporciona un
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camino natural para tratar problemas en la cual la fuente de imprecisión es la ausencia de criterios bien
definidos. La lógica difusa proporciona una herramienta matemática para tratar problemas multi-respuesta.
Cuando el número de factores crece aun de manera moderada en sus factores de control y de respuestas,
los algoritmos de optimización convencional pueden fallar para encontrar un óptimo global. Una
aproximación alternativa es un procedimiento de búsqueda heurística tal como los algoritmos genéticos
mediante la lógica difusa [12].
Este trabajo tiene por objetivo desarrollar el modelo de optimización multi-objetivo utilizando los
conceptos de la lógica difusa. Se aplica el método a un ejemplo ampliamente usando en la literatura para
ilustrar los resultados. Mediante el método gráfico se resaltaran las soluciones alternativas que se pueden
generar con el método.
OPTIMIZACIÓN MULTI-OBJETIVO
Descripción del problema
El diseño de experimentos se ha aplicado de manera importante para mejorar la calidad de procesos y
productos, adicionalmente para hacer que estos productos sean robustos ante condiciones extremas. Las
características de respuesta para evaluar la calidad tienen un enfoque multi-respuesta. Es frecuente encontrar
muchas aplicaciones industriales con varias respuestas. La finalidad es alcanzar la calidad global de un
producto, por lo que es necesario optimizar de manera simultanea las respuestas de interés. En esencia, el
problema de optimización de varias respuestas involucra la selección de un conjunto de condiciones o
variables independientes tales que den como resultado un producto o servicio conveniente. Es decir, se desea
seleccionar los niveles de las variables independientes que optimicen todas las respuestas a la vez.
Varios esquemas experimentales se pueden plantear para este proyecto, tales como, diseños factoriales,
diseños factoriales fraccionados, diseño Box - Benhken o diseño central compuesto [2]. Una matriz D(nxk)
representa alguno de estos esquemas, donde n es el número de combinaciones (tratamientos), de valores de
los k factores (variables de entrada al proceso). Se tienen r respuestas para cada respuesta en las n
combinaciones, con la información generada por el experimento se pueden modelar de manea individual
cada una de las r respuestas. Por lo general estos modelos son lineales y de forma cuadrática, estos están en
función de los k factores. Así para r respuestas se tienen r modelos, el i-ésimo modelo para esa respuesta Yi
se escribe como:
Yi  0  X t   X t BX  
donde
(1)
X t  ( X1,..., X k ) k factores, 0 la constante,   (1,..., k ) un vector de parámetros
B  (11 ,..., 1k , k1 ,..., kk ) matriz de parámetros de segundo orden, y  ~ N (0, 2 )
El problema consiste en determinar la mejor combinación de los factores tal que produzcan el óptimo
global. Es decir que todas las respuestas den su mejor valor. Generalmente, el problema de programación
multi-objetivo se plantea como sigue:
Optimizar
Y1
Sujeto a
Y2  O1
(2)
Yn  On 1
X R
R: Región experimental,
Oi (i  1,..., n 1) representan consideraciones importantes o restricciones para las respuestas. Entre
otros aspectos relevantes de las Oi tiene que ver con los costos asociados al producto o a especificaciones. La
donde los
idea básica inicial al procedimiento optimización es ajustar un modelo por mínimos cuadrados para cada
respuesta Y j (j=1,…,n) a los resultados de una estrategia experimental, [2] y [11]. Entonces cada modelo
Y j se estima por Yˆj , se sustituyen estos modelos ajustados a el planteamiento de optimización.
ˆ
Yˆi  ˆ0  X t ˆ  X t BX
(3)
Procedimientos de optimización
A continuación se indican las referencias de algunos procedimientos de optimización desarrollados por
diferentes autores. La expresión (2) describe el planteamiento típico de un problema de programación lineal,
la solución es un valor X 0 de X , que genera una respuesta óptima global bajo estas condiciones. Entre las
ventajas de este procedimiento es su planteamiento matemático y que puede ser resuelto mediante una hoja
de cálculo. Existen otros procedimientos analíticos eficientes, cómo el de la función de deseabilidad (DE)
propuesto por [5] analizado y aplicado [6]. El método citado permite crear varios escenarios para posibles
soluciones. El procedimiento denominado función distancia (DI) fue propuesto por [10], con éste también se
obtienen una solución óptima puntual. Varios investigadores han producido trabajos interesantes en esta
dirección, ver [3]. Un enfoque que considera a la función de pérdida (PE) es propuesto por [1].
No obstante que el método gráfico (MG) es un procedimiento descriptivo, éste contiene o ilustra a todos
los resultados que se obtienen con los métodos anteriormente citados [4]. Éste funciona relativamente fácil
ante situaciones cuando existen dos o tres factores, se complica un poco con cuatro. Se considera como una
buena práctica que en la estrategias de optimización primero realizar experimentos para eliminar factores
que aportan poca información a la respuesta de interés. Así que en la estrategia experimental para obtener un
óptimo se trabaja con un número reducido de factores.
Modelo de optimización multi-objetivo difuso.
ai , para un
conjunto dado de alternativas A  {a1 ,..., al } y un conjunto de r objetivos O  {o1 ,..., ol } , considerados
mediante las r funciones objetivo Y ( X ) . A continuación se define los miembros de la función o para
i
El problema típico del modelo multi-objetivo involucra la selección de una alternativa
cada una de las funciones objetivo, tal que para el peor valor ( Y
min
tiene un grado de membresía igual 0, y el mejor valor posible ( Y
1. La función número de miembros se puede expresar por:

0

 Yˆ ( X )  Y min
oi   max
min
 Y Y

1

) posible de la de una función objetivo
max
) tiene una grado de membresía igual a
Yˆ ( X )  Y min
si
si Y min  Yˆ ( X )  Y max
si
Yˆ ( X )  Y max
Entonces el grado de la función membresía de una alternativa
a
en
Oi denotada por oi (a) , es el grado
en el que la alternativa a satisface el criterio especificado para éste objetivo. Buscamos una función decisión
que satisface simultáneamente todas las decisiones objetivo, por lo tanto, la función decisión, D, está dada
por la intersección de los objetivos, así D  O1  ...  Or . Por lo tanto, el grado de la función membresía
que la función, D, tiene para cada alternativa
La decisión óptima,
a
está dada por:
D (a)  min{o (a),..., o (a)} .
i1
ir
a , será entonces la alternativa que satisface:
 D (a0 )  max{ D (a)} μ_{D}(a_{o})=max(μ_{D}(a)). Para alcanzar esta meta se define el modelo de
a A
optimización multi-objetivo que se puede re-escribir como:
 r  1 Yˆ ( X )  Y min  2 

 
minimizar F ( X )     max
min  

 i=1  r 
 Y Y 
  


1
2
(4)
Ejemplo de estudio
El procedimiento que se resume en la expresión (4) se ilustra con un problema de un compuesto para
bandas en llantas, éste fue expuesto y discutido en [5]. El propósito del problema es mejorar el desempeño
en la banda de las llantas medido por cuatro variables de respuesta controladas por tres ingredientes
químicos. Las respuestas son: índice de abrasión: Y1 , el modulo 200%: Y2 , la elongación: Y3 , y la dureza:
Y4 . Las variables de entrada son: sílice: X1 , seleno: X 2 el azufre: X 4 . Se realizó la estrategia
experimental bajo un diseño central compuesto, los modelos cuadráticos estimados que generan los
resultados experimentales son:
Los valores objetivos de cada una de las respuesta obedece las condiciones:
Objetivo
Condición
Y1  120
Maximizar
Y2  1000
Maximizar
400  Y 3  600
Valor objetivo 500
60  Y3  75
Valor Objetivo 67.5
Resultado y conclusiones
Se aplicaron los criterios para alcanzar las mejores condiciones enseguida se aplicó la expresión (4). Los
resultados se muestran a continuación:
Valor óptimo
Respuestas
óptimas
X 1  0.34
Y1  131
X 2  0.26
Y2  1160
X 3  0.41
Y3  414
Y4  69
Es conveniente resaltar que los todas las respuestas cumplen con los valores establecidos. Aplicar este
procedimiento es sencillo y tiene la ventaja de proponer varias alternativas. Para complementar este método
será interesante incorporar una estrategia grafica.
BIBLIOGRAFÍA
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