Los problemas de la antigüedad clásica - itabamate1eso

Los problemas de la antigüedad clásica
La duplicación del cubo
Consiste en hallar el lado de un cubo que tenga volumen doble que
otro cubo de lado dado. Es decir, dado un cubo de arista a y volumen
V, hallar la arista de un cubo de volumen 2V.
La tradición cuenta que una epidemia de peste arrasó Atenas hacia el
428 a.C.. Para acabar con ella se envió un mensajero al oráculo de
Apolo en Delos. El oráculo indicó que para acabar con la epidemia
Los problemas de sería necesario duplicar el volumen del altar cúbico de Apolo. Los
la antigüedad
atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero evidentemente
clásica fueron:
no se duplicó el volumen. ¡Ni que decir tiene que la epidemia no
La duplicación del desapareció!
cubo. La
cuadratura del
Hipócrates de Chios demostró que el problema puede reducirse a
encontrar dos medias proporcionales entre la arista dada y el doble
círculo. La
de la misma.
trisección del
ángulo. cada uno
de ellos resueltos Con la notación actual resulta
solamente con
y a partir de ellas
regla sin marcas
(no graduada) y
x2 = a y ; y2 = 2a x
compás. Ninguno Si consideramos a = unidad podemos obtener el valor de la arista del
de ellos tiene
cubo buscado mediante la intersección de las parábolas x2 = y e y2 =
solución con
2 x tal como aparece en la gráfica
dichas
condiciones.
También Menecmo en el siglo IV a.C ya había hallado la solución
mediante la intersección (con el lenguaje actual) de una parábola y
una hipérbola (y = 2/x) al considerar los miembros primero y tercero
de la proporción a : x = y : 2a y primero y segundo a : x = x : y que
para a = unidad son la parábola e hipérbola de la gráfica
La cuadratura
El problema
construir un
tenga igual área
dado.
Lindeman
demostró que
construcción
marcas y
es un número
Veamos cómo
del círculo
consiste en
cuadrado que
que el círculo
Ferdinand
(1852-1939)
era imposible tal
con regla sin
compás pues 
trascendente.
podemos
"cuadrar" un triángulo ACB.
Dicha área es S T = 1/2 × AC× h
Sobre la prolongación de h llevamos la
mitad del lado AC y contruimos la
circunferencia cuyo diámetro es BB'.
Consideramos el triángulo rectágulo QB"B
y aplicando el teorema de la altura resulta
Por tanto x es el lado del cuadrado equivalente al triángulo ACB
Hipócrates logró cuadrar algunas lúnulas y este texto es el único fragmento de las
matemáticas griegas que ha llegado a nosotros en el original.
Sobre el triángulo rectágulo isósceles ABC probó que el área de la lúnula ALBL' es igual
que el área del triágulo T.
Para ello hace uso del hecho de que dos círculos son entre sí como los cuadrados
construidos sobre sus diámetros.
Veremos que no podemos cuadrar el círculo mediante una construcción geométrica
En la circunferencia de radio r consideramos una cuerda AB = r
Trazamos el radio que pase por el punto medio de dicha cuerda que determina en la
circunferencia el punto T y por él la recta tangente t. A partir de A' llevamos tres veces
sobre t el radio r y obtenemos el punto L. Finalmente unimos L con P.
Como el triágulo PTL es rectángulo resulta
PL 2 = PT 2 + TL 2
PT = 2 × r
PT 2 = 4 × r 2
Si hacemos
resulta TL = m × r por tanto
2
2
PL = 4 × r + m 2 × r 2 = r 2 × (4 + m 2) = 9,869231718 × r 2
PL = 3,141533339 × r = r × '
La diferencia entre  y ' es d =  - ' = 0,00005931. Si deseamos "cuadrar" el
círculo cometeremos, por ejemplo, un error menor que 0,00001. Para ello basta con
que llevemos a continuación de PL el radio del círculo y aplicar el teorema de la
altura a la altura relativa a la hipotenusa
De esta forma x es el lado del cuadrado que "cuadra" el círculo (con un error menor
que 0,0001 -por ejemplo-)
La trisección del ángulo
La triseción del ángulo fué el tercero de los problemas
clásicos de la antigüedad griega. Se pretendía, sólo con regla
(no graduada) y compás, trisecar un ángulo. Esto no es
posible y los matemáticos introdujeron curvas auxiliares que
le sirvieran de ayuda (por ejemplo la trisectriz de Hipias).
El matemático fracés Pierre Wantzel (1814-1848) probó que
un ángulo  es trisecable con regla y compás si el polinomio
4x3 - 3x - cos() es reductible.
He aquí un método para obtener la tercera parte de cualquier ángulo debido a Arquímedes.
Sea AOB = x el ángulo dado. Trazamos por el vértice O una circunferencia de radio r,
prolongamos el otro lado y por B una secante a la circunferencia tal que MP = r (es
necesario una regla graduada, para transportar dicha medida). Dicha secante determina un
punto M sobre la circunferencia. Entonces el ángulo NOM = z es la tercera parte del dado.
En efecto, el áng(OMB) = 2z (es el ángulo exterior del triángulo OPM que es isósceles).
Por otra parte áng(BOM) = 180 - 4z (el triángulo OMB también es isósceles) y resulta
x + áng(OMB) + z = 180 de donde
x + 180 - 4z + z = 180 es decir x = 3z
El sofista Hipia de Elis intentando trisecar el ángulo descubrió una nueva curva que,
desafortunadamente, no es construcitible con regla y compás. La denominó trisectriz
Se genera de la siguiente forma
Suponemos el segmento AB que gira en sentido de las
agujas del reloj (con velocidad constante) hasta ocupar
la posición AM. A la vez, se desplaza hacia abajo,
también con velocidad constante, el segmento BB' y
ocupa en el mismo tiempo la posición AM. Un punto
de la trisectriz viene dado por la intersección en cada
instante de dichos segmentos. T es un punto de la
trisectriz (que está dibujada en color azul en la figura)
Podemos dividir un ángulo agudo cualquiera
(ayudándonos con la trisectriz) de la siguiente forma
Consideremos el ángulo BOA = 
Dividimos en tres partes iguales AH = A'B' y tracemos
paralelas a OB' que corten a la trisectriz en P2 y P1. Por
último unamos O con dichos puntos y obtenemos los
tres ángulos /3
En efecto, teniendo en cuenta la construcción de la
trisectriz resulta
Como B"B' = AH/3
Por otra parte
y de ambas
Federico Villarreal 1850-1923
Julio A. Miranda Ubaldo (Perú)
Hace mucho tiempo leyendo un texto de historia del Perú de Gustavo
Pons Muzzo en el capitulo XIV: "Las Ciencias en la Epoca Republicana"
encontré un personaje llamado Federico Villarreal V. (1850-1923) y
según su biografía se trató de un reconocido matemático de finales del
siglo XIX y comienzos del siglo XX que descubrió en 1873 un novedoso
método para "elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera"
en ese instante me entró una curiosidad por saber en que consistía ese
método.
Pasaron los años y en el mes de enero de este año (2002) me enteré por
medio de una conversación informal con mi amigo el futuro ilustre
matemático huaralino Edward W. Morales que él había encontrado en al
biblioteca de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos el trabajo
original de Villarreal relativo a dicho método y fue él mismo quién me
proporcionó esa valiosa información que le he dado forma y lo plasmo en
este trabajo, ahora bien espero sinceramente, que el contenido de este
trabajo sea de tu completo agrado.
Julio A. Miranda Ubaldo
Biografía
Federico Villarreal nació el 3 de agosto de 1850 en
Túcume, departamento de Lambayeque (Perú) (El departamento de
Lambayeque tiene como capital departamental a la ciudad de
Lambayeque)
A los 14 años fue cajero en una empresa despepitadora de algodón, pero
no dejó de lado sus estudios que lo llevarían hacer profesor y así fue: a
los 20 años obtuvo el título de preceptor otorgado por la comisión
departamental de Instrucción pública de Trujillo el cual le permitió dirigir
la escuela oficial de Túcume de 1870 a 1874 y entre 1875 y 1876 dirigió
un colegio de instrucción media en la ciudad de Lambayeque, enseñó allí
matemáticas y ocupó en él el cargo de vicerrector. Entre 1876 y 1877
tuvo bajo su cargo una escuela primaria en Lambayeque.
La experiencia de Villarreal como maestro elemental señaló sólo una primera etapa. Su
vocación de matemático bullía desbordando su enseñanza humilde.
Ya en 1873 cuando contaba con tan sólo 23 años descubrió un método para elevar un
polinomio cualquiera a una potencia cualquiera.
Entre 1877 y 1880 estudió en la sección de ciencias matemáticas de la Facultad de Ciencias
de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) graduándose como bachiller
en 1879 con la tesis: "Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras" y
como licenciado con la tesis: "Efectos de la Refracción sobre el Disco de los Astros" (1880).
En 1881 se graduó de doctor en ciencias matemáticas mediante la tesis: "Clasificación de
Curvas de Tercer Grado" destacando por su originalidad y conclusiones lo cual le mereció a
Villarreal la medalla de oro, otorgada por la Facultad de Ciencias al primer doctor de su
época, quien a la vez, se constituye en el primer matemático profesional del siglo XX en el
Perú.
Su labor docente universitaria la inicia como profesor adjunto en la Facultad de Ciencias de
la
UNMSM en 1880, donde dictó su primer curso: Astronomía; luego en esa misma casa de
estudio se encarga de los cursos: Revisión de Matemáticas, Mecánica Racional, Geodesia y
Teoría General de Motores y Máquinas.
Por su gran prestigio y sus dotes profesionales e intelectuales, llegaría a ser decano de la
Facultad de Ciencias en dos oportunidades: de 1903 a 1917 y luego de 1919 a 1923.
Siguió estudios en la Escuela nacional de Ingenieros desde 1882 hasta graduarse de
ingeniero civil y de minas en 1886. En este centro docente enseñó los cursos de física,
cálculo infinitesimal, teoría de caminos, puentes y ferrocarriles, Topografía y luego los
cursos de Resistencia de Materiales e Hidráulica.
También fue profesor en la Escuela Militar de Chorrillos (1890) en donde enseñó los cursos
de: Cosmografía, Trigonometría Esférica, Construcción de Cartas Topográficas y Cálculo de
Probabilidades.
Fundó la Revista de Ciencias en 1897.
F. Villarreal participó activamente formando parte del contingente sanmarquino en la
Guerra con Chile específicamente en la Resistencia de Chorrillos y en la Batalla de
Miraflores (enero de 1881) donde fue distinguido con el grado de subteniente- En 1893 se
enrola en la Guardia Nacional y en 1884 fue nombrado primer jefe del batallón "Defensores
de la Patria".
También incursionó en la política. En1871 fue presidente de la Junta Directiva del Partido
Civil en el distrito de Muchumi (Lambayeque). Posteriormente, en el año 1892 fue elegido
senador suplente de su departamento. Más tarde, es elegido nuevamente senador por
Lambayeque, actuando en las legislaturas de 1913 y 1914 en donde alcanzan mucha
significación sus discursos sobre la "Ley de Enfiteusis" y sobre la "Ley Relativa a los
Bancos Hipotecarios". Fue uno de los iniciadores de la ley que estableció el examen de
ingreso a la universidad.
Villarreal también poseía una notable cultura filosófica de manifiesta preferencia por la
corrientes mecanicistas propias de aquella época y sostenidas entre otros por Wronski,
corrientes que parecían tener la posibilidad de lograr una síntesis entre la filosofía y la
Mecánica Celeste como sistema de descripción causalista del equilibrio universal
cualesquiera que fuera le estructura y consistencia del Universo.
Sobre el lado humano de Vilarreal, Basadre dice al respecto: "Villarreal no fue un
sabio pacífico e inofensivo. Muchas veces refutó a presuntos expertos e
inventores y polemizó con ellos implacablemente sin desdeñar su poca
jerarquía intelectual. Tuvo también veleidades lingüísticas.
A pesar de su genio, Villarreal no tuvo brillo como profesor. En sus
lecciones, su gran dificultad de expresión levantó un muro ante sus
alumnos, dando lugar, de un lado a monólogos acompañados por
complicados cálculos en la pizarra y, de otro a escenas cómicas o
grotescas. Hombre apasionado como decano en la Facultad de Ciencias
de la UNMSM ejerció una verdadera dictadura.
A pesar de humanas debilidades y de deficiencias ahondadas por la falta
de una educación adecuada o por las limitaciones del ambiente, Villarreal
es todo un personaje en la historia del Perú"
El Dr. Federico Villarreal fallece en Barranco (Lima) el 3 de enero de 1923.
Trabajos del Dr. Villarreal
Federico Villarreal dejó un aproximado de 538 trabajos en diversos campos de la ciencia y
tecnología fundamentalmente en matemáticas, ingeniería, física, pedagogía, geografía,
historia y lingüística.
En matemáticas sus principales trabajos fueron:
1. "Elevación de polinomios a una potencia cualquiera" (1879)
2. "Clasificación de las curvas de tercer grado" (tesis doctoral de 1881)
En este trabajo Villarreal logra obtener y clasificar matemáticamente 80 curvas de
tercer grado
3. "Aportes a la teoría de los números" (1897)
La teoría de los números atrajo siempre la atención de Villarreal tal es así que le
dedicó numerosos artículos. Entre ellos se destacan dos teoremas referentes a
criterios de divisibilidad que el descubrió:
La diferencia de dos números que son representados por las mismas cifras en dos
sistemas de numeración de bases diferentes es divisible por la diferencia de las bases
Un número es divisible por un cierto divisor si lo es la suma de sus cifras cuando
se le escribe en el sistema de numeración cuya base es el divisor aumentado en la
unidad; o bien si los es la suma de sus cifras de lugar par menos la suma de las de
lugar impar cuando se le escribe en el sistema de numeración cuya base es el divisor
disminuido en al unidad
4. "Geometría no Euclideana" (1898)
Este trabajo fue presentado por Villarreal en el Primer Congreso Científico
Latinoamericano realizado en Buenos Aires (Argentina) en 1898. Aquí describe los
fundamentos de las geometrías de Lobatschewsky y Riemann.
5. "Poliedros Regulares y semiregulares" (1906-1907)
Esta obra contiene una exposición histórica y el cálculo de volúmenes de los
poliedros regulares y semiregulares empleando los principios de la trigonometría
esférica.
6. "Integración por Traspasos" (1920)
Trabajo que apareció por primera vez como parte de su tesis de bachiller en 1879 en
que valiéndose del método de integración por partes obtiene una fórmula que
generaliza la llamada fórmula de integración de Bernouilli.
7. "Resolución general de las ecuaciones de quinto grado"
Estudio crítico de un método propuesto por Wronski en 1827 para la resolución de
las ecuaciones de quinto grado , traducido, analizado y corregido por Villarreal. Éste
llega a la conclusión que Wronski hace en este trabajo el empleo de una función que
llama "función Shin" que corresponde a los actuales determinantes, explica los
errores de Wronski y concluye con la imposibilidad de la solución algebraica de las
citadas ecuaciones
En Ingeniería:
1. "Tratado de resistencia de Materiales" (1911)
En este importante trabajo de Villarreal estan insertos dos trabajos originales:
"Cálculos de los momentos de flexión en una viga empotrada en sus dos extremos"
En este trabajo Villarreal analiza los problemas de las vigas empotradas ya sea en
ambos lados o empotradas en un extremo y libre en el otro descubriendo los
llamados "momentos de empotramiento" que hasta esa época no se había podido
calcular.
"Deformación de las vigas que trabajan a la flexión"
Aquí el problema de la flexión de una viga Villarreal lo reduce a una ecuación
diferencial de cuarto grado y sus integrales sucesivas dan: la primera, el esfuerzo
cortante; la segunda, los momentos de flexión; la tercera, la deflexión de una viga; y
la cuarta y última, la ecuación del eje deformado.
2. "Teoría de Máquinas y Motores" (No se conoce año de publicación)
En la que hace una exposición sistemática y rigurosa de todas las condiciones
referentes al equilibrio de las máquinas.
En Física:
1. "Principio de la Relatividad" (1909)
Raro trabajo de Villarreal en la que logra interpretar el principio de relatividad
restringida formulado por Einstein en 1905 y expone un desarrollo metódico de las
modificaciones que debido a este principio experimentan las leyes clásicas de la
mecánica. Es de advertir que en aquella época no fue tarea fácil la interpretación
inmediata del principio de la relatividad para muchos hombres de ciencia, debido en
gran parte a que la mentalidad clásica se mostró hermética ante la consideración de
las condiciones epistemológicas en le técnica de la observación de los fenómenos.
2. "Descarga Oscilante en un Condensador" (1916)
Interesante trabajo de electrodinámica en el que resuelve el problema teórico de la
descarga Disruptiva obteniendo la fórmula de Thompson para el periodo de las
oscilaciones.
3. "Dinámica Analítica" (1917)
En esta obra está incluida el importante trabajo sobre " Choques de un número
cualquiera de Cuerpos".
4. "Trabajo mecánico del Hombre" (No se conoce año de publicación)
En él se refiere a cuestiones realmente curiosas y algunas de ellas muy útiles , tales
como: el equilibrio del hombre, la marcha de un hombre con carga, la fatiga mínima
del cargador, la condición para que se haga el máximo camino antes del cansancio,
etc todo en base a datos experimentales y resultados matemáticos.
En Pedagogía:
1. "Memorias Pedagógicas" (No se conoce año de publicación)
2. "Recreaciones matemáticas" (No se conoce año de publicación)
En Geografía:
1. "Método para determinar la latitud y longitud de los lugares del Perú" (No se conoce
año de publicación)
Este trabajo lo inicia con una introducción sobre la metodología a seguir para la
medición De coordenadas geográficas de un lugar y expone a continuación una
técnica simple para la determinación de meridianos, la hora solar, las latitudes y
longitudes geográficas. Contiene una tabla de latitudes y longitudes de 700 lugares
del Perú.
2. "Trazo del meridiano por la Cruz del Sur" (No se conoce año de publicación)
3. "Coordenadas geográficas del Departamento de Lambayeque y Cuzco" (1905)
4. "Extensión Superficial del Perú" (No se conoce año de publicación)
En historia:
1. "Historia de las matemáticas en el Perú" (No se conoce año de publicación)
Este trabajo comprende una introducción y estudios sobre la numeración, la
geometría, la mecánica, la astronomía y la hidráulica en el Imperio de los Incas ;
sigue con un estudio sobre la enseñanza académica de las matemáticas en el
virreinato y finalmente se ocupa de las matemáticas en la República.
2. "Los cometas en los tiempos de Huayna Capac" (1894)
Utilizando como fuente principal al cronista Inca Garcilazo de la Vega, Villarreal
realiza una confrontación entre las observaciones realizadas por la ciencia occidental
desde la aparición de los primeros instrumentos de observación y los datos
proporcionados por Garcilazo, llegando a identificar los cometas descritos en las
crónicas de la conquista
3. "El Archivo de Raymondi" (No se conoce año de publicación)
4. "Orígenes del Sistema métrico"(No se conoce año de publicación)
En lingüística:
1. " Manual y Diccionario de Esperanto" (1900)
Idioma nuevo y universal, el esperanto al que Villarreal le prodigó lastimosamente
tiempo, dinero y energía, y a dirigir y redactar como colaborador único la revista
"¡Antuanen esperantistoj!" (Adelante Esperantistas) que fundara en 1903.
2. "La Lengua Yunga" (1921)
Villarreal publicó una gramática y un vocabulario de la lengua mochica o Yunga.
Esta lengua se hablaba en los departamentos de la costa norte del Perú En la
actualidad esta lengua esta completamente extinguida.
Problemas de Villarreal
Formulado por Villarreal en 1906 y denominado por él como: "El Problema del Niño" y
dice así: "Un móvil se desplaza en línea recta con una velocidad constante y otro móvil se
mueve también a velocidad constante, de modo que la tangente a su trayectoria pasa
constantemente por el primer móvil. Hallar la ecuación de la curva descrita por el segundo
móvil".
En una nota de 1908 Villarreal plantea y resuelve los dos problemas siguientes:
"Hallar dos números terminados en la misma cifra y tales que las dos últimas cifras de su
producto constituyan el cuadrado de la cifra en que terminan los dos números dados".
"Hallar tres números terminados en la misma cifra cuyo producto termina en tres cifras
que constituyan el cubo de la cifra en que terminan los números dados".
¿Puede Ud. resolverlos?.
Una anécdota en la vida del Dr. Villarreal
Esta es una de las muchas anécdotas de Villarreal que a continuación les relato:
"En la Maison de Santé (que es un hospital) falleció en diciembre de
1909, a la edad de 86 años, José Sebastian Barranca, antiguo
catedrático de Botánica en la Facultad de Ciencias de la UNMSM, filólogo
naturalista, Sebastian Barranca vivió para sus estudios e investigación.
Su sepelio fue modestísimo. El estado y la universidad estuvieron en él
ausentes. Los colegas que acudieron no pasaron de media docena. No
estuvo representada la juventud estudiantil. El mayor porcentaje de
oyentes que tuvo Villarreal cuando pronunció su discurso fúnebre fue el
de unos 40 negritos de humilde condición que ni conocían al muerto
pues ellos habían asistido a otro entierro. Según se dijo,la Beneficencia
negó un nicho perpetuo al sabio Barranca por no haber pagado el precio
respectivo"
Se imaginan al ilustre Dr. F Villarreal pronunciando un discurso fúnebre a personas que en
su mayoría eran negritos y donde casi ningún catedrático y alumno asistieron y para colmo
los negritos eran de otro entierro.¡¡¡¡¡!!!!!!!. Y surge una pregunta en mi mente: ¿porqué no
asistieron? acaso pocos fueron avisados de la muerte del sabio? o quizá fue un pésimo
profesor y nadie quiso asistir a su sepelio?........ahhhh cosas de la Vida.
Comentario acerca de la vida del Dr. Villarreal
Villarreal fue un personaje multifacético y dinámico le entró a casi todo desde modesto
profesor de primaria y secundaria, a profesor universitario, matemático, ingeniero, soldado,
político y hasta lingüista, ¡que tipo! muy pocas veces se encuentra en la historia de un país
latino un personaje como éste.
Es notable que encontrándose lejos de la influencia de los grandes matemáticos de la época,
Villarreal haya podido arribar a importantes estudios y descubrimientos como los que
efectuó, lo que resalta su talento.
Su dominio en el campo de la ciencia es bastante amplio pues enseñó varios cursos, algunos
sin relación directa como: astronomía, mecánica racional, hidráulica, teoría de
probabilidades, topografía, cálculo infinitesimal, física, etc..
Siendo un sencillo profesor de secundaria, con sólo 23 años y sin haber estudiado en una
universidad, Villarreal descubre el método para elevar un polinomio cualquiera a una
potencia cualquiera, asombroso verdad?.
Sin embargo lo mas interesante de su vida científica es el hecho de que efectuó
contribuciones originales al desarrollo de las matemáticas e ingeniería,algo pocas veces
visto en los matemáticos de habla española.
Es por todas estas razones que a Villarreal se le puede decir con toda justicia: "El Newton
del Perú"
En 1873, encontrándose en su pueblo natal
Túcume del departamento de Lambayeque
(Perú), Federico Villarreal V. (1850-1923)
descubre un método para elevar un polinomio
cualquiera a una potencia cualquiera. Este
Huaral,30 de junio de
hecho provocó que otro matemático peruano
2002
Cristóbal de Losada y Puga (1894-1961)
Julio A. Miranda Ubaldo estudiase a profundidad este descubrimiento y
Profesor de
bautizase el desarrollo de la potencia del
Matemáticas
polinomio como el "Polinomio de Villarreal". El
[email protected]
historiador peruano Jorge Basadre en su
"Historia de la República del Perú" (Tomo X,
pag.28) dice: "Es tan perfecto que aun para el
caso de un binomio resulta fácil y seguro y
rápido que el método del binomio de Newton".
En su tesis de 1879 para optar el grado de
bachiller en ciencias matemáticas
titulado:"Fórmulas y métodos que deben
completarse en matemáticas puras" Villarreal
inserta su método pasando desapercibido según él - "por el estado de las matemáticas en
el Perú". Este novedoso método Villareal lo
publica por primera vez el 31 de marzo de 1886
en la revista "La Gaceta Científica" (2º tomo)
pero como siempre sucede en nuestro medio
muy pocas personas le dieron la debida
importancia a su trabajo.
En 1919 Vilarreal nuevamente publica su
método esta vez en la "Revista de Ciencias"
bajo el título de: "Elevación de polinomios a una
potencia cualquiera" que es justamente el título
de este trabajo.
Veamos. . .
Típicos Problemas Sangakus
Los problemas sangakus normalmente implican problemas de círculos dentro de
círculos tangentes entre sí o bien círculos inscritos en otras figuras, como por ejemplo
elipses. También hay problemas que tratan de esferas dentro de otras esferas u otras
figuras también tangentes entre sí.
Este problema es de un sangaku que
data de 1788 y fue hallado en la prefectura
de Tokio.
Nos pide el radio del n-ésimo círculo azul
en función del radio r del círculo verde.
Obsérvese que los círculos rojo oscuro
son idénticos cada uno de radio r/2.
Este problema muestra el equivalente
japonés de la "fórmula de los círculos
tangentes de Descartes"
Conocido problema que ha sobrevivido
desde 1824 en una tablilla de la prefectura
de Gumma.
Los círculos anaranjado y azul se tocan en
un sólo punto y son tangentes a una
misma recta. El pequeño círculo rojo toca
a ambos círculos y es también tangente a
la misma recta.
Curioso problema que fue escrito en
una tablilla aproximadamente en 1913 en
la prefectura de Miyagi.
Tres cuadrados anaranjados se trazan
según se muestra en el triángulo
rectángulo grande de color verde. ¿Cómo
se relacionan los radios de los tres
círculos azules?
Este problema es de un sangaku
encontrado en la prefectura de Gumma y
que data de 1803.
La base de un triángulo isósceles descansa
sobre el diámetro del círculo grande de
color verde. Este diámetro también biseca
al círculo rojo el cual esta inscrito de
modo que toque exactamente el interior
del círculo verde y un vértice del triángulo
isósceles, como se muestra en la figura
anterior.
El círculo azul está inscrito de modo que
sea tangente al círculo rojo, al triángulo e
interiormente al círculo verde.
Un segmento une el centro del círculo
azul en el punto de intersección entre el
círculo rojo y el triángulo isósceles.
Demuestre que este segmento es
perpendicular al diámetro del círculo
verde.
Interesante problema que proviene de
una tablilla ubicada en la prefectura de
Gumma y esta fechada en 1874. Un
círculo grande de color azul esta dentro de
un cuadrado. Cuatro círculos anaranjados
más pequeños, cada uno de ellos de
diferente radio, son tangentes al círculo
azul asi como a las caras adyacentes del
cuadrado.
¿Cuál es la relación de los radios de los
cuatro círculos pequeños y la longitud del
lado del cuadrado?
Este problema que data de 1822 está
inscrito en una tablilla localizada en la
prefectura de Kanagawa.
Dos esferas rojas son tangentes
exteriormente y ambas son tangentes
interiormente a la esfera grande de color
verde. Un collar de esferas azules de
diferentes tamaños rodea el "cuello" entre
las esferas rojas. Cada esfera azul en el
"collar" es tangente a sus vecinos
próximos, a la vez que son tangentes a las
dos esferas rojas y a la esfera verde.
¿Cuántas esferas azules conforman el
collar?
¿Cómo los radios de las esferas azules se
relacionan entre sí?
¿Se anima alguien a resolver estos problemas? Tómese su tiempo y buena suerte
Para que no sufras mucho, la solución de estos seis problemas sangaku lo encontrarás
en: http://www.pourlascience.com/numeros/pls-249/rothman/rothmanbox1.htm de
donde extraje valiosísima información para la elaboración de este trabajo. Un detalle...
está en francés.
Apuntes y notas sobre problemas sangaku
Tres cuadrados anaranjados se trazan según se muestra en el triángulo rectángulo grande de
color verde. ¿Cómo se relacionan los radios de los tres círculos azules?
Todos los triángulos rectángulos formados son semejantes.
En el triágulo APQ se verifica
En PBS
de donde
que corresponde al lado del primer cuadrado que deseamos
inscribir, siendo c = AB el cateto sobre el que se apoya el vértice P (cateto contiguo del
ángulo ).
Radio del círculo inscrito en el triángulo QRC
En el triángulo QMO
Como L = QM + r y
resulta
Repitiendo este procedimiento se llega a solucionar el
problema.
Si r 1, r 2, y r 3 son los radios de los círculos, el radio del
segundo es media proporcional de los otros dos, es decir
r22 = r1 × r3
como a continuación vamos a comprobar para el
triángulo rectángulo (3, 4, 5)
Primer cuadrado y primer círculo
Segundo cuadrado y segundo círculo
Por lo tanto
... o bien
Segundo radio
Tercer cuadrado y tercer círculo
Por lo tanto
... o bien
Tercer radio
Resultando, efectivamente, que r 2 2 = r 1 × r 3
Fórmula de los círculos tangentes de Descartes
Julio A. Miranda Ubaldo (Perú)
En una carta fechada en noviembre de 1643
dirigida a la princesa Elizabet de Bohemia el
matemático francés René Descartes (1596-1650)
desarrolló una fórmula que relacionaba la
curvatura1 de cuatro círculos cada uno tangente a
los otros tres. Descartes definió la curvatura de
un círculo como el recíproco de su radio. Así por
ejemplo si el radio de un círculo es 1/5 de otro
círculo entonces su curvatura es 5 veces el del
círculo grande. Una línea se considera un círculo
de radio infinito y por tanto de CURVATURA
CERO.
¿Pero que dice la fórmula?
Dado cuatro círculos de curvaturas Ra, Rb, Rc, y Rd, cada uno tangente a los otros tres,
entonces se cumple que:
donde por definición de curvatura
Rc, y Rd, los radios de los círculos tangentes.
siendo Ra, Rb,
En 1842, Philip Beecroft, matemático aficionado inglés descubrió de manera independiente
la misma fórmula.
Nuevamente en 1936 esta misma fórmula es redescubierta esta vez por nada menos que
Frederick Soddy (1877-1956) quién en 1921 había ganado un premio Nóbel en física por su
descubrimiento de los isótopos.
Soddy expresó esta fórmula en forma de un poema llamado " el beso exacto",que fue
publicado en la revista científica NATURE el 20 de Junio de 1936 en la página 1021. A
continuación se incluyen un extracto del poema original en inglés y la traducción que
aparece en el artículo Esferas y semiesferas de Martín Gardner en su libro Circo Matemático
(Alianza Editorial). Veamos:
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance form the center.
Though their intrigue left
Euclid dumb
There's now no need for rule
of thumb.
Since zero's bend's a dead
straight line
And concave bends have
minus sign,
The sum of the squares of all
four bends
Is half the square of their
sum.
Cuatro círculos llegaron a besarse,
cuanto menores tanto más curvados,
y es su curvatura tan sólo la inversa
de la distancia desde el centro.
Aunque este enigma a Euclides
asombrara,
ninguna regla empírica es necesaria:
al ser las rectas de nula curvatura
y ser las curvas cóncavas tomadas
negativas,
la suma de los cuadrados de las
cuatro curvaturas
es igual a un medio del cuadrado de
su suma.
Nótese que los dos primeros versos hacen clara referencia a los cuatro círculos cada uno
tangentes a los otros tres.
El tercer y cuarto verso definen la curvatura del círculo.
Y el noveno y décimo verso es la expresión literal de la fórmula de Descartes.
Cabe resaltar el hecho de que los círculos tangentes mostrados en la figura 1 se les suele
denominar los "Círculos de Soddy".
Como dato adicional fué Apolonio de Perga (260-180 A.C) quién estudió las propiedades de
los círculos tangentes hace más de 2000 años.
Aplicación
Usando la fórmula de los círculos tangentes de Descartes demostrar el tercer teorema
japonés
Tomando en cuenta que la línea tangente le
corresponde curvatura cero entonces
tendremos:
donde R1, R2, y R3, son las curvaturas de los
tres círculos tangentes y por definición de
curvatura
Sustituyendo estas curvaturas
Efectuando operaciones resulta
y teniendo en cuenta que
Operando y simplificando resulta
y finalmente
l.q.q.d.
Primer Teorema Japonés (Primer Teorema de Mikami y Kobayashi)
Este teorema también es conocido con el nombre de "Antiguo Teorema Japonés" y dice así:
Sea un polígono convexo de n lados inscrito en una circulo de radio R.
Hagamos la triangulación del polígono trazando todas las diagonales a
partir de uno de sus vértices, ahora en cada triángulo así formado
inscribamos círculos, entonces demuéstrese que la suma de los inradios
(el inradio de un triángulo es el radio de la circunferencia inscrita en él)
de cada triángulo es independiente de la triangulación elegida.
Demostración:
Enfoquemos nuestra atención en el caso de un polígono de seis lados (n = 6), para esto
efectuemos dos triangulaciones diferentes (ver
figuras 1 y 2)
Siendo r 1, r 2, r 3, y r 4, los inradios2 de cada triángulo mostrado en la figura 1, demostremos
primeramente que:
4R + r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 + m 6
donde m 1, ... m 6 son las distancias del centro O del círculo (de radio R) a cada uno de los
lados del polígono.
Para nuestra demostración primero tracemos desde O perpendiculares de longitudes m a, m b,
y m c, a las diagonales AC, FC y CE del polígono respectivamente.
Usando el teorema de Carnot:
En el triángulo ABC:
m1 + m2 - ma = R + r1
En el triángulo ACF:
m6 + ma - mb = R + r2
En el triángulo FCE:
mb + mc + m5 = R + r3
En el triángulo ECD:
m3 + m4 - mc = R + r4
Sumando miembro a miembro
4R + r 1 + r 2 + r 3 + r 4 =
= m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6
Análogamente efectuando el mismo procedimiento usando la figura 2 se demuestra que:
4R + r' 1 + r' 2 + r' 3 + r' 4 = m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 + m 6
Obsérvese que los segundos miembros de (2) y (3) son iguales luego se deduce
r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = r' 1 + r' 2 + r' 3 + r' 4
es decir que la suma de los inradios es independiente de la triangulación elegida.
Segundo Teorema Japonés (Segundo
Teorema de Mikami y Kobayashi)
Demostrar que al unir los incentros
M, N, P y Q de los triángulos ABC,
BCD, CDA y ABD formados al trazar
las diagonales de un cuadrilátero
inscrito ABCD se forma un
rectángulo (véase figura).
Demostración:
Efectuemos algunos trazos auxiliares (de color
rosa) como se aprecia en la figura.
En el punto Q:
(#1)
Como M es el incentro del triángulo ABC entonces:
(#2)
(el ángulo C referido al triángulo ABC; nótese que BM es bisectriz del ángulo B).
Análogamente como Q es el incentro del triángulo ADB:
(#3)
(el ángulo D referido al triángulo ADB).
Pero como el cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo el &angulo C y el ángulo D son
iguales. Los ángulos C y D referidos a los triángulos ABC y ADC respectivamente, se
concluye que los ángulo AMB y AQB son iguales. Por tanto el cuadrilatero AQMB es
inscriptible por lo que
(#4)
Análogamente se demuestra que el cuadrilátero AQPD es también inscriptible por lo
que
(#5)
Remplazando (#4) y (#5) en (#1):
Sin embargo en el cuadrilátero inscriptible ABCD se cumple
Por tanto el ángulo MQP es recto. De modo igual se demuestra que:
Por tanto el cuadrilátero PQMN es un RECTÁGULO
l.q.q.d.
Tercer Teorema Japonés (Tercer Teorema
de Mikami y Kobayashi)
Considérese tres círculos tangentes
entre sí y tangentes a una misma
recta, donde: r 1 < r 2 < r 3
Entonces
Demostración
Unamos los centros de los tres círculos
tangentes, ahora desde estos mismos centros
levantemos tres perpendiculares O 2A, O 1B y O
3C
a la recta tangente.
Desde el centro O 1 del círculo más pequeño trazemos perpendiculares a los radios O 2A y O 3C
en D y E respectivamente.
Por construcción: DE = AC. Aplicando el Teorema de Pitagoras en los triángulos rectángulos
O 2DO 1 y O 1EO 3:
Sumando (#2) y (#3) obtenemos DE que sabemos es igual AC. Por tanto:
Dividiendo cada uno de los términos de la expresión anterior por
l.q.q.d.
Huaral, 16 de mayo 2002
Julio A. Miranda Ubaldo Email: [email protected]
Puedes ver una demostración del teorema de Carnot en Notas Matemáticas
Teorema de Carnot
Sea O el circuncentro del triángulo y X, Y y Z los
puntos medios de los lados a, b y c respectivamente,
R y r los radios de las circunferencias circunscrita e
inscrita respectivamente.
El teorema dice que
OX + OY + OZ = R + r
siendo OX, OY y OZ positivos si el circuncentro esta
en el mismo semiplano respecto al lado
correspondiente que el vértice opuesto, y negativo en
caso contrario.
Utilizamos S = (ABC), Sa = (OBC), Sb = (OCA) y Sc = (OAB) para las áreas de los
respectivos triángulos, y s = (a + b + c)/2 para el semiperímetro del ABC.
1) Triángulo es acutángulo (circuncentro interior)
Hagamos OX = x, OY = y, OZ = z.
Aplicando el Teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros cíclicos OYAZ, tenemos:
(c/2) y + (b/2) z = (a/2) R
cy + bz = aR (#1)
Igualmente para OZBX y OXCY,
az + cx = bR (#2)
bx + ay = cR (#3)
S = Sa + Sb + Sc ax + by + cz = 2S (#4)
Sumando (#1), (#2), (#3) y (#4), resulta
x (a + b + c) + y (a + b + c) + z (a + b + c) = R (a + b + c) + 2S
(x + y + z) 2s = R 2s + 2S
(x + y + z) s = Rs + rs
x+y+z=R+r
OX + OY + OZ = R + r
2) El triángulo es obtusángulo (circuncentro exterior)
Hagamos OX = x, OY = y, OZ = -z.
Aplicando el Teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros cíclicos OZYA, tenemos:
(a/2)R + (b/2)z = (c/2)y aR + bz = cy aR = cy - bz (#1)
Igualmente para OZXB y OXCY,
az + bR = cx
bR = cx - az (#2) bx + ay = cR cR = bx + ay (#3) S = Sa + Sb - Sc
ax + by - cz = 2S (#4)
Sumando #1, #2, #3 y #4,
x (a + b + c) + y (a + b + c) - z(a + b + c) = R (a + b + c) + 2S
(x + y - z) 2s = R 2s + 2S
(x + y - z) s = R s + r s
x+y-z=R+r
OX + OY + OZ = R + r
3) Triángulo rectángulo (circuncentro en la hipotenusa)
Basta hacer z = 0 en cualquiera de los casos anteriores.
Ignacio Larrosa
Nota El teorema de Ptolomeo dice: Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en una
circunferencia la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las
diagonales
AB × DC + BD × AC = AD × BC
Si el cuadrilátero es un rectángulo resulta el teorema de Pitágoras
El ángulo de Brocard Julio A. Miranda Ubaldo (Perú)
Sea un triángulo ABC cualquiera y
ubiquemos en el interior un punto P
de manera que
De acuerdo con este criterio
construimos la figura adjunta.
El ángulo
se denomina ángulo
de Brocard y el punto P punto de
Brocard
Existe una relación trigonométrica entre las medidas de los ángulos interiores del triángulo
ABC y el ángulo de Brocard. Si
entonces
Demostración
La figura adjunta
muestra los trazos adecuados
que indica el procedimiento
siguiente:
Por B se traza una recta
paralela al lado AC.
Se prolonga AP de modo que
corte a dicha paralela en el
punto F entonces
Luego unimos F con C y por F trazamos una perpendicular a la prolongación de AC en el
punto G. Análogamente desde el punto B trazamos una perpendicular a AC en el punto H.
Observemos BH = FG = h
Al ser
el cuadrilátero PBFC es inscriptible.
Ahora bien del triángulo APB
luego
Por tanto al ser el cuadrilátero PBFC inscriptible
además que
En el triángulo rectángulo AGF resulta
sustituyendo en (#1)
(#1) Como AG = AH + HC + CG
(#2)
Por otra parte:
En el triágulo AHB
En el triágulo BHC
En el triágulo CGF
Sustituyendo estas expresiones en (#2) resulta la expresión buscada.
Estimado lector, ¿qué te pareció la desmostración?. Fácil ¿verdad?
Aplicación
En la siguiente figura hallar
el ángulo de Brocard
Solución geométrica
De la figura dada se observa que
(recuérdese que el triángulo
rectángulo ABC es isósceles AB
= BC) y además que
y
Prolongamos BP y por el punto A
trazamos una perpendicular a
dicha prolongación en el punto Q.
Solución trigonométrica
Teniendo en cuenta que
y sustituyendo en
resulta
Entonces
Por tanto
el triángulo AQP es rectángulo
isósceles en y en consecuencia
AQ = PQ = a.
El triángulo BPC es congruente
con el triángulo BQA (criterio
ALA). En consecuencia: AQ =
BP = a
Finalmente el triángulo BQA es
rectángulo notable pues BQ = 2 ×
AQ, por tanto  = 26º 33' 54.184"
de donde
y por tanto  = 26º 33' 54.184"
Como pueden notar la solución geomitrica es más laboriosa mientras que la solución
trigonométrica es bastante práctica y sencilla. ¡Buen provecho! Julio A. Miranda Ubaldo
Números capicúas. Francisco Javier Asencor
Una carta de nuestro amigo Francisco Javier Asencor
Querido amigo:
Resulta simpática la introducción con análisis-felicitación con que introduces la actual (se
refiere a la anterior lógicamente) edición de la Gacetilla.
Se menciona el hecho de que el número del año iniciado es capicúa. Este tipo de
clasificación de los números, atendiendo a sus cifras genera una "paramatemática" con
interés lúdico pero que no me resisto a tocar.
Resulta que en los últimos mil años, sólo nosotros (los que el 1 de enero último vivíamos
con edad de 11 años o más) y algún longevo (?) hemos tenido la oportunidad de vivir dos
años capicúas, (1991 y 2002). Y esto no volverá a ocurrir hasta dentro de otros mil años
salvo para los pocos longevos que superen los 110 años. (Bueno, tal vez puedan ser muchos
si la esperanza de vida se sigue alargando...). Todo esto es válido sólo para las personas que
nos regimos por el calendario de la Era Cristiana. Incluir el resto es una labor que se me
escapa.
Volviendo a la clasificación de los números por consideraciones sobre sus cifras.
Establecer algoritmos que supongan operar con las cifras permite relaciones de
equivalencia y de orden entre ellas que suponen un entretenimiento. Permiten establecer
clasificaciones y ordenaciones muchas veces sorprendentes, así como propiedades de
algunos números. Si contemplamos algún valor didáctico, resulta un ejercicio formativo
tratar de describirlos con lenguaje simbólico matemático riguroso. Adjunto una posibilidad,
resulta simpático admitir que todos nos entendemos cuando decimos "son los números que
se leen igual de atrás para adelante".
Salvo el 1 (uno), que es un "pesao" trivial que sale por todos los sitios, el 81 es el único
número que es igual al cuadrado de la suma de sus cifras... con el cubo les ocurre a varios,
etc.
Definir "número capicúa"
Como convencisn admitimos el idioma español en las expresiones literales y los símbolos
arábigos, utilizados en base decimal, para las expresiones numéricas
Simbolizamos con N el conjunto de números naturales, N = {1, 2, ...} y N# = {2, 3, 4 ...} el
de los números naturales excluyendo el 1.
Sean los números n N y b N#.
Sea el conjunto D = {0, 1, 2, ... b - 1}
Para cada n y cada b existe un único conjunto ordenado e infinito de números, Sn, b:
que cumple
y lo denominamos cifras de n expresado en base b
Al valor
lo denominamos número de cifras de n.
Con lo que puede expresarse
Los valores de n para los que a i = am - i - 1 para todo i < m,se denominan capicúas en base b.
Por antonomasia, los capicúas en base 10, se denominan capicúas.
Por ejemplo:
Si tomamos n el número que adjudicamos al año en curso en la Era Cristiana.
Para b = 7
n = 0×70 + 6×71 + 5×72 + 5×73 + 0×74 + 0×75 + ...
Sn, 7 = {0, 6, 5, 5, 0, 0, ...} con lo que m = 4. Puesto que a 0 = 0 y a 3 = 5, se tiene que a 0 es
distinto de a 3 y en consecuencia n no es capicúa en base 7.
Para b = 10
n = 2×100 + 0×101 + 0×102 + 2×103 + 0×104 + 0×105 + ...
Sn, 10 = {2, 0, 0, 2, 0, 0, ...} con lo que m = 3. Puesto que a 0 = a 3 = 2, también a 1 = a 2 = 0,
en consecuencia n es capicúa en base 10 o simplemente capicúa.
Un cordial saludo. Javier
PALÍNDROMOS
Conjetura del Capicúa
Aquí te te dejamos un método para obtener números capicúas. Dicho método indica que
dado un número y sumándolo con el que resulta de invertir sus cifras, después de un número
finito de pasos, obtenemos un capicúa. Por ejemplo:
N = 42
42 + 24 = 66
N = 28
28 + 82 = 110
110 + 011 = 121
N = 87
87 + 78 = 165
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884
Pero cuidado, es sólo una conjetura. Si quieres medio comprobarlo prueba con el número 89
y si lo consigues para el número 196 ... ¡Enhorabuena!
Inversiones Geométricas. Francisco Javier Asencor
Dado un punto del espacio, O, que denominamos polo, decimos que un punto del espacio,
P, es inverso de otro, Q, de potencia m, si O, P y Q están alineados y cumplen que la
distancia OP multiplicada por la distancia OQ es igual a m > 0.
La transformación tiene la propiedad simétrica.
Se exponen aquí algunos resultados interesantes de esta transformación. Como espacio
tomamos el plano, y sin perder generalidad tomaremos el origen de coordenadas como polo,
y la unidad como potencia.
Cualquier conjunto de puntos exteriores a un circulo de radio unidad centrado en el origen
tendrá todos sus inversos en este circulo, y viceversa.
Utilizando las coordenadas cartesianas, un punto determinado por
el par (x, y) tiene su inverso en el punto (u, v) si:
Singularidades
El único punto que carece de inverso es propio polo. (Cuya inverso corresponde al infinito
al anularse el denominador)
Los puntos de la circunferencia centrada en el origen de radio unidad son inversos de sí
mismos. (al hacerse uno el denominador).
Figuras
Cualquier figura, mediante la inversión de los puntos que la componen, determina su figura
inversa.
Rectas La inversa de cualquier recta que pase por el origen es ella misma. Esto no
es cierto para todos los segmentos de dichas rectas. Sólo son inversos de sí mismos
los segmentos comprendidos entre un punto y su inverso.
Cualquier otra recta, no pasando por el origen, admite como expresión:
2 ax + 2 by = 1
y su inversa
que operando puede escribrirse
(u - a) 2 + (v - b) 2 = a 2 + b 2
que es la ecuación de los puntos (u, v) que componen una circunferencia centrada en
el punto (a, b) y que contiene el origen (
).
La inversa de la recta, azul, es una
circunferencia, roja, que pasa por el polo.
Recíprocamente, la inversa de una
circunferencia que pasa por el polo es
una recta.)
Circunferencias Los puntos (x, y) que forman una circunferencia centrada en el
origen y de radio R, cumplen que x 2 + y 2 = R 2. La inversa de esta figura la
componen los puntos (u, v) que cumplen
por tanto constituyen una circunferencia centrada en el origen de radio 1/R.
Es posible hallar la inversa de una
circunferencia en general. Los puntos (x,
y) que forman una circunferencia
centrada en (a, b) y de radio R, cumplen
que
(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2
La inversa de esta figura la componen los
puntos (u, v) que cumplen
Operando en esta expresión puede
obtenerse
una circunferencia centrada en
pue no es inverso de (a, b) y de radio
Un ejemplo de aplicación
Tomemos dos circunferencias de radio
unidad C g, tangentes entre sí en el
origen, y tangentes a una recta C 0.
Consideremos la sucesión de
circunferencias tal que la primera es
tangente a C 0 y a las C g. Las
siguientes, cada una tangente a la
anterior y a las Cg. Como ilustra la
figura.
La linea de centros de esta serie contiene el punto de tangencia de la primera con C 0 a una
distancia unidad del origen. Se puede comprobar que los restantes puntos de tangencia se
encuentran a distancias 1/2, 1/3, 1/4, ... formando la serie armónica. De manera más o
menos laboriosa puede comprobarse para los primeros resultados utilizando rudimentos de
geometría, pero se ofrece esta propuesta:
La figura de la izquierda representa las C g y la C 0 en azul mas una circunferencia de
inversión en negro. La figura de la derecha representa su inverso. C 0 como una
circunferencia interior, y las C g como rectas verticales.
Si encajamos entre las líneas verticales circunferencias sucesivamente tangentes a modo de
pila, los puntos de tangencia se encuentran necesariamente a distancias 1, 2, 3, .... Puesto
que al invertir esta figura reencontramos la sucesión propuesta, las inversas de estos valores
son las distancias buscadas.
Fórmula de Pick.
George Alexander Pick fué un matemático austriaco
nacido en Viena (1859) que murió en un campo de
concentración nazi durante la II Guerra Mundial (se cree que
en 1943).
G.A.Pick estableció la relación que existe entre los nudos de
una malla y la área de un polígono dibujado sobre ella.
Malla cuadrada de 10 × 10
Pueden construirse, evidentemente, mallas de muy diversas
pixels. La intersección de dos
rectas de las malla se denomina maneras. Aquí vamos a considerar una malla construída a
partir de rectas paralelas y verticales. Cada punto de
nudo (en rojo en la figura)
intersección de una recta horizontal y una vertical se
denomina nudo. Un cuadrado de dicha malla será la unidad
de superficie.
No existen nudos interiores en los polígonos dibujados
sobre la malla.
Entonces, si NP son los nudos sobre el perímetro
Para la Fig 1 es NP = 12 con lo que
A =(1/2) × 12 - 1 = 5
Para la Fig 2 es NP = 5 con lo que
No existen nudos interiores en
ninguno de los polígonos
A =(1/2) × 5 - 1 = 1,5
Para la Fig 3 es NP = 12 con lo que
A =(1/2) × 12 - 1 = 5
Generalización
Definimos un lado de la malla como el segmento
determinado por dos nodos consecutivos.
Entonces, el área de una región poligonal con los vértices
sobre los nodos de la malla viene dado por
donde NT es el número total de nodos de la malla y L los
lados de la malla.
Para la Fig 4 es NT = 15, L = 12 por lo que A = 8
Para la Fig 5 es NT = 11, L = 8 por lo que A = 6
Para la Fig 6 es NT = 18, L = 14 por lo que A = 10
Existen nudos interiores.
Composiciones de figuras.
Puede utilizarse también la
expresión
A = (NP/2) + NI - 1
donde NP es el número de
nodos de la frontera y NI el
número de nodos interiores.
Esta expresión es lógicamente
equivalente a la dada.
Para la Fig 6 resulta NP = 14, NI
=4y
A = 7 + 4 - 1 = 10
Para la Fig 7 resulta: NT = 25, L = 24, A = 12
Para la Fig 8 resulta: NT = 13, L = 12, A = 6
Para figuras más complicada
NT = 33; L = 19; A = 22,5
Figuras con "agujeros"
Es válida la expresión
en donde NT y L son los mismos parámetros anteriores y C
es el número de "agujeros" que tiene la figura.
NT = 42;
L = 12 + 14 (interiores);
C = 2;
A = 30
NT = 31;
L = 20 + 5 (interiores);
C = 1;
A = 18,5
La Conjetura de Goldbach.
Posible demostración a la conjetura Matemática de Goldbach
Prof. Mario Peral Manzo. U.P.N. México.
(...) todo número, sea cual fuere, no es sino el número nueve o su
múltiplo más un excedente, pues los signos de los números no tienen más
que nueve caracteres.
Avicena (1)
Clawson apunta: "Junto con Goldbach, Euler fue miembro de la Academia Rusa de
Ciencias. Ambos hombres sentían pasión por las series infinitas y los números primos.
Goldbach, en una carta que le envió a Euler el 7 de junio de 1742, especuló que todo
número par es la suma de dos primos [Conjetura binaria] y que todo número impar
mayor que 2 es la suma de tres primos [Conjetura ternaria]" (2) .
El presente trabajo intenta ser base para una posible demostración de la "Conjetura
Binaria de Goldbach" (CBG) que dice: cualquier número par mayor o igual a cuatro es
resultado de cuando menos una suma de dos números primos. El planteamiento,
aparentemente simple, no ha sido demostrado, desde su formulación, dada la infinidad
de números naturales; de suerte que no se ha llegado a una generalización plausible
que de una vez y por todas erija esta conjetura (presunción fundada) en teorema
(proposición que afirma una verdad demostrable).
La demostración de la CBG, significaría un portentoso avance en la comprensión de los
números primos (números solamente divisibles por sí mismos y por la unidad): de las
razones de por qué se presentan con una aparente irregularidad o azar, además de
cómo producirlos mediante algún algoritmo simple o complejo.
La utilidad de los números primos ya ha sido comprobada en la elaboración de cada vez
más sofisticados códigos (la caja fuerte de la información restringida). Esto lo saben
muy bien y de manera especial los países anglosajones (La Gran Bretaña y Los Estados
Unidos de Norteamérica) quienes han tenido que lidiar con el problema de cómo
esconder información "estratégica"; aún ahora cuando presumimos que ya no hay
"guerra fría".
Por otro lado, supondría la elaboración de algoritmos más eficientes para el manejo de
grandes volúmenes de información dado la inusitada evolución de los sistemas
informáticos, en cuya base, desde luego, se encuentran las computadoras más
poderosas, todavía muy lejos de ser accesibles para quienes contamos con las
interfases (las computadoras personales).
No resulta extraño, pues, que a raíz de la publicación del libro de Apóstolos Doxadis (3)
los editores de éste (Faber & Faber) hayan ofrecido un millón de dólares a quien dentro
de los próximos dos años demuestre la CBG. Pero lo que no es de extrañar no es tanto
la gran cantidad de dinero que se ofrece, sino el que se limite el jugoso reto a los
residentes legales de la Gran Bretaña y de los Estados Unidos de Norteamérica. (4) ¿Es
posible que una especie de fervor nacionalista semejante a la de Europa durante la
época en la que, como ilustre ejemplo, el propio Fermat enunciara su célebre (última)
conjetura, intente reservar el logro de esta hazaña únicamente a los países
anglosajones mencionados?. (5) No lo creemos, pero resulta un poco incómodo que la
mencionada editora evite la participación de los matemáticos de origen latino (europeo
o americano). En todo caso sería deseable, tal vez, que alguna casa editorial abra un
reto semejante para los matemáticos de todo el mundo.
Lo que sí es cierto, es que urge conocer mejor el "comportamiento" de los números
primos en un mundo en el que es necesario una competente producción, manejo y
circulación de un creciente volumen de información y ante la perspectiva de más
eficientes ordenadores.
Las propuestas que se ofrecen en este escrito, tienen como base la idea de la existencia
de una infinidad de sistemas en la naturaleza. Infinidad de sistemas que,
aparentemente en relación caótica entre sí, requieren de una eficiente inversión de
energía para obtener de ellos un razonable volumen de información (en forma de
conocimiento y de tecnología).
Establecemos una analogía entre estos sistemas naturales y el conjunto de los números
naturales (de hecho la operación con números han permitido describir coherentemente
los procesos naturales; al cuantificar o medir hacemos que la incertidumbre se
"colapse" en información útil para nuestros humanos fines).
Esta analogía se hace extensiva a la noción de entropía (la medida del caos);
suponemos que tratando el conjunto de los números naturales como una infinidad de
sistemas en interrelación, sus relaciones, particularmente las de los números primos,
nos permitirán idear un modelo recursivo que nos ayude en el "colapso" para obtener
información sobre lo enunciado en la CBG.
Para comenzar, suponemos que los números pares y los impares representan, cada
uno, el cincuenta por ciento en el contexto del conjunto de los números naturales.
Nuestro punto de partida es un conjunto de doce presunciones. (6)
1. El número de sistemas existentes en la naturaleza tiende al infinito.
2. Los sistemas presentes en la naturaleza, aunque en número tiendan al infinito,
de igual modo (dado que no están aislados unos de otros) tienden a igualar sus
diferencias relativas, es decir, a alcanzar el máximo grado de entropía o
equilibrio térmico dado que están inextricablemente interrelacionados mediante
la información que portan.
"La segunda ley de la termodinámica dice que la entropía de un sistema cerrado,
es decir aislado, siempre aumenta o se conserva pero nunca disminuye. Cuando
un sistema cerrado alcanza el equilibrio té>;rmico se encuentra en un estado de
máxima entropía." (7)
3. Todo numeral (representación gráfica de un número) constituido por una o más
cifras puede ser tratado como un sistema y, por consiguiente, como portador de
información. Al respecto, Hayles afirma: "Supongamos que envío un mensaje
que contiene la serie 2, 4, 6, 8... y le pido que continúe la secuencia. Como
usted capta el modelo subyacente, puede ampliar la serie indefinidamente, aun
cuando sólo se especifiquen unos pocos números. La información que tiene un
modelo puede ser comprimida en formas más compactas. Yo podría haber
enviado el mensaje en la forma: "cite los números enteros pares, empezando
con el 2". Supongamos por el contrario, que le envío a usted la salida de un
generador de números al azar. Cualquiera que sea la cantidad de números que
yo transmita, usted no podrá continuar la secuencia. Cada número es una
sorpresa; cada número transmite nueva información. Según este razonamiento,
mientras más aleatorio o caótico es un mensaje, más información contiene." (8)
4. Limitándonos al conjunto de los números naturales, sabemos que éste está
constituido por una infinidad de sistemas: los sistemas del subconjunto de los
números pares (2n) y los del subconjunto de los impares (2n + 1). Al igual que
estos dos subconjuntos, los números primarios por sí solos conforman una
infinidad de sistemas.
5. La sustracción es una operación que hace evidente la diferencia entre dos
sistemas (numerales) que comparamos entre sí.
6. Toda diferencia (producto de la sustracción) entre dos numerales puede ser
cuantificada en términos de las desigualdades entre los valores absolutos de los
dígitos que los constituyen.
Consideremos por ejemplo la resta 87 - 78; restemos las diferencias entre sus
valores absolutos... Para las decenas: 8 - 7 = 1 y para las unidades: 7 - 8= -1;
vemos que la diferencia entre los valores absolutos de estos resultados es cero
debido a la operación (1) + (-1) pues tanto el minuendo como el sustraendo de
la sustracción ejemplificada comparten los mismos dígitos pero ordenados de
distinto modo. Pero si consideramos los valores relativos de esas diferencias (1
decena menos una unidad) el resultado es de 9. En términos "absolutos" la
información contenida en estos sistemas es la misma y, por consiguiente, el
cambio es de cero para dichos sistemas considerados en conjunto; empero, en
términos "relativos" hay un cambio desde el punto de vista de un sistema en
relación con el otro.
Si consideramos la resta como un todo, es decir, como un sistema aislado
entonces, como afirma Abbot: "...esto debe dar a entender que el estado de
equilibrio de un sistema aislado es aquél en el cual la entropía alcanzó su valor
máximo con respecto a todas las variaciones posibles. La condición matemática
para este máximo es: dSSISTEMA = 0 (sistema aislado)". (9)
7. De acuerdo con la anterior presunción: las diferencias entre valores absolutos de
los dígitos de un numeral pueden ser expresadas en términos de la suma
algebraica de esos mismos valores: (da) (suma de las diferencias entre los
valores absolutos de los dígitos de los numerales involucrados en una
sustracción).
Para un mayor abundamiento, tomemos la resta: 231 - 123; vemos que para el
caso de las centenas 2 - 1 = 1; para las decenas 3 - 2 = 1 y para las unidades 1
- 3 = -2. De este modo y para esta sustraccisn en particular, da = 1 + 1 + (-2)
=0
8. Las diferencias entre valores absolutos de los dígitos de un numeral pueden ser
expresadas como una suma de los valores relativos de dichos dígitos (dr) y su
resultado, si es mayor a 9, puede ser expresado en términos de da.
Retomemos el ejemplo propuesto en la anterior presunción:
vimos que da = 1 + 1 + (-2) = 0 y al realizar la suma algebraica de los valores
relativos (dr) de estos sumandos, tenemos que dr = 100 + 10 + (-2) = 108;
como 108 es mayor a 9, tendríamos que interpretarlo en términos de da
nuevamente, o sea: da = 1 + 0 + 8 = 9. De esta suerte afirmamos que 9 es
complemento de 0 dentro de una topografía recursiva, lo que nos lleva a...
9. La dr de un numeral complementa a da y permite la determinación del
conjunto de dN (suma de los valores absolutos de los dígitos de cualquier
número natural) que asume (en calidad de información inicial) los valores
comprendidos entre el 1 y el 9 inclusive.
Como ejemplo: consideremos el numeral 24857; la suma de los valores
absolutos de sus dígitos sería expresado así: da = 2 + 4 + 8 + 5 + 7 = 26 y
como el resultado debe expresarse como un solo número dígito, entonces
continuamos la suma, 2 + 6 = 8, resultado que debe ser tratado como
información inicial pues, por razones expresadas en las siguientes presunciones,
el numeral 24857 (aunque asume el valor de 8 del conjunto dN) se colapsaría
en la "Resultante" -1 (R - 1) por ser número impar dentro de una "topografía
recursiva" constituida por los valores comprendidos entre -9 y 9 inclusive y por
ser 8 y -1 complementarios dentro de esta topografía.
El conjunto de "Resultantes" o parejas complementarias, se expresa como:
R={(0,-9), (1,-8), (2,-7), (3,-6), (4,-5), (5,-4), (6,-3), (7,-2), (8,-1), (9,0)}
por razones que se explican más abajo.
10. Las R señalan, dentro de una topografía recursiva, los estados más probables de
un número infinito de numerales y es deducida del conjunto de las dN; lo que,
enlazando con la noción de "máxima entropía", nos lleva a la expresión: en el
universo los sistemas tienden a equilibrarse, a eliminar sus diferencias relativas.
Pues, tal y como subraya Césarman: "La posibilidad de utilizar el lenguaje de la
termodinámica y el concepto de entropía como un común denominador en el
caleidoscopio del conocimiento humano se debe al carácter general y universal
de sus leyes, a que utiliza parámetros macroscópicos que no necesitan definirse
en función de las innumerables variables microscópicas que los determinan, a
que se manejan con pocas variables, a que es aplicable al estudio de los
sistemas y a que todo en la naturaleza son sistemas compuestos por las
continuas transformaciones de la materia y de la energía, a que todos los
sistemas desde los más simples hasta los más complejos, son el resultado del
arreglo de las partes más elementales de energía y de materia con que se ha
estructurado el Universo y a que, por último, se trata de un lenguaje dinámico y
no estático que corresponde al carácter continuamente cambiante de la
naturaleza." (10)
11. Si el estado final de los sistemas en general pueden ser deducidos a partir de la
igualación de sus diferencias relativas, entonces sus propiedades pueden ser
deducidas, a su vez, de esos estados finales. En otras palabras, se puede
determinar con probabilidad 1 la posición de cualquier número natural dentro de
la topografía recursiva constituida por las R, cuya construcción se explica líneas
más abajo. Esto es muy significativo para nuestro propósito de acercarnos a la
conjetura binaria de Goldbach.
La Conjetura de Goldbach.
Posible demostración a la conjetura Matemática de Goldbach
Prof. Mario Peral Manzo. U.P.N. México.
(...) todo número, sea cual fuere, no es sino el número nueve o su
múltiplo más un excedente, pues los signos de los números no tienen
más que nueve caracteres.
Avicena (1)
Los resultados de la aplicación de nuestras presunciones. Tras la aplicación de las
doce presunciones expuestas en la resolución de cien sustracciones en términos de da
y dr, se determinaron las R o resultantes.
Los resultados idénticos para da y dr se obviaron con el fin de encontrar las parejas
de "resultantes" que nos servirían para elaborar nuestra topografía.
Después de revisar los mencionados casos, pudimos determinar el conjunto:
R = {(0,-9), (1,-8), (2,-7), (3,-6), (4,-5), (5,-4), (6,-3), (7,-2), (8,-1), (9,0)}
Con estos datos se procedió a realizar la siguiente figura que es una topografía
recursiva que nos permite representar las R y operar con el presupuesto número once;
es decir, ubicar las parejas resultantes de la determinación de la dN de cualquier
número en una recta numérica cerrada (0,9; -9, 0).
Básicamente esta gráfica es
una recta numérica
"doblada" de tal manera
que permite que se
traslapen los puntos
extremos (como una
serpiente que se mordiera
la cola). Las resultantes, en
realidad serían las parejas
de puntos "antípodos"
evidenciados más que como
opositores, como
complementarios, producto
de este ejercicio mental de
representar en forma de
"rizo" rectas numéricas; y
sustentado por las
presunciones arriba
enunciadas.
La recta numérica, tal es esta topografía, nos permite realizar conteos a partir del
punto cero. De esta suerte, si se desea saber en cuál posicisn "caerá" el número impar
163, podríamos hacer tres cosas: contar mediante pequeños saltos sobre los puntos
numerados hasta completar 163 giros, o bien hacer una división (163/18) que indicaría
cuantas vueltas debe dársele al círculo junto con cuántos giros o, mejor aún,
determinar la dN de 163. Cualquiera de los procedimientos nos conduciría al punto
ocupado por la resultante 1.
Veamos: si dividimos 163 entre 18, el resultado sería 9 vueltas más un giro (posicisn
final: R1 (resultante uno) el residuo indica la posición final del conteo; por otro lado, si
realizamos la suma de los valores absolutos de 163, tendríamos da163 = 1 + 6 + 3
=10; como 10 > 9, entonces da10 = 1 + 0 = 1, es decir dN163 = 1 (que arroja
nuestra información inicial) y que decidimos que es la indicada para expresarse como
R1 dado que 163 es número impar; de este modo, como conclusión expresamos: R163
= 1 (obviamente el mismo resultado).
Este último procedimiento es muy práctico para determinar las R de números muy
grandes.
Por ejemplo: ¿Cuál es la R del número 4 597 863 282?
Resolveríamos así:
da4 597 863 282 = 4 + 5 + 9 + 7 + 8 + 6 + 3 + 2 + 8 + 2 = 54
da54 = 5 + 4 = 9, por lo tanto... dN4 597 863 282 = 9 (información inicial) y dado
que 4 597 863 282 es par, decidimos que la resultante para él es cero (R0), o bien R4
597 863 282 = 0
Observemos que si antes de contar se eliminan los dígitos 9 del numeral, la suma
resultará ser más rápida.
Veamos: si a 4 597 863 282 le cancelamos los dígitos 9 que contenga, queda el
numeral 457863282 si, además, observamos que los dígitos subrayados suman nueve y
los eliminamos, tendremos un nuevo numeral: 78282 si ahora observamos que los
dígitos subrayados suman 18 que es múltiplo de nueve y los eliminamos tendremos el
número 72 cuyo da = 7 + 2 = 9.
Con el fin de inferir algunas regularidades en la aplicación de nuestras doce
presunciones, recurrimos al simple conteo de los "saltos" y las "vueltas" que se
completarían con los primeros 36 números naturales (dado que 36 es múltiplo de 9).
Imaginemos una rana que realiza saltos a partir de cero de acuerdo con las
instrucciones que nosotros le demos; por ejemplo: "rana, salta dos veces"; entonces
nosotros procedemos a verificar el lugar dentro del círculo donde la rana ha llegado
después de cumplir con la instrucción dada. Registramos el resultado en nuestra tabla
de instrucciones en donde basicamente se da respuesta a las preguntas: si dentro de
nuestra topografía la rana da saltos en número impar, ¿hasta dónde llegará?, ¿cuántos
saltos (giros de 20º) tuvo que dar y cuántas vueltas (giros de 360º) completó para
llegar hasta el lugar al que llegó (o sea la "resultante")?; a iguales preguntas
tendríamos que dar respuesta cuando nuestras instrucciones involucren saltos en
número par.
Hemos tenido cuidado de que nuestra tabla nos permita visualizar tanto las
instrucciones en número par como las de número impar con el fin de visualizar las
preguntas básicas que nos hemos planteado, junto con sus respuestas ("colapsos")
para derivar algunas consecuencias que podamos expresar de manera formal acerca del
comportamiento de la rana de acuerdo con nuestras instrucciones precisas.
CONTEO DE "N" SOBRE LA RECTA NUMÉRICA CERRADA (0, -9; 9, 0)
Numeros
Naturales (N)
Giro de 360º
o "vueltas"
(V)
Giro de 20º
o "saltos"
(n)
Punto final de
conteo o
"Resultante"
(R)
pares impares pares impares pares impares pares impares
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
(...)
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
(...)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
(...)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(...)
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
(...)
1
3
5
7
9
11
13
15
17
1
3
5
7
9
11
13
15
17
(...)
2
4
6
8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8
-6
-4
-2
0
(...)
1
3
5
7
9, -9
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
9, -9
-7
-5
-3
-1
(...)
En la columna "N" de la tabla de conteos expuesta arriba se presentan los 2n y los 2n +
1 que se sometieron a giros, mediante conteos sencillos, dentro de nuestra topografía
de la curva cerrada. (Las instrucciones u órdenes dadas a la rana)
Los conteos se realizaron comenzando por el punto cero de esta figura, en el sentido de
las manecillas del reloj y se registraron: en la columna de "giros de 360º" las "vueltas"
completas (18/18) (realizadas por la rana), en tanto que en la de "giros de 20º", los
"saltos" (n/18) (dados por esa misma rana). En las dos últimas columnas se registraron
los "resultantes" (R), que indican el punto en el cual el número cae o, si se prefiere, "se
colapsa" después de haber realizado las da correspondientes (el lugar en el que
aparece nuestra rana después de cumplir con nuestras instrucciones).
De la anterior tabla, derivamos las proposiciones (expresiones formales acerca del
comportamiento de nuestra rana en un contexto preciso dadas una instrucciones
también precisas):



A. El conteo de números naturales (N):
V(18) + n = N
N/18 = V + n/18
Significado: podemos enterarnos de las instrucciones dadas a la rana a partir de
saber cuántas vueltas y giros completó y viceversa.
B. Los "R" del conteo de Pares:
n <= 8 > 0 -> n + 0 = R
n > 8 < 18 -> n + (-18) = -R
n = 0 -> R= 0
Significado: cuando nuestras instrucciones a la rana están expresadas en
números pares, la rana no tendrá otra opción que "colapsarse" en una posición
par (negativa o positiva) o cero dentro de nuestra topografía, sin importar que el
dN del número par se exprese como impar.
C. Los "R" del conteo de Impares:
n <= 8 > 0 -> n + 0 = R
n = 9 -> R, -R = 9, -9
n > 8 < 18 -> n + (-18) = -R
n = 1 -> R= 1
Significado: cuando nuestras instrucciones a la rana están expresadas en
números impares, la rana no tendrá otra opción que "colapsarse" en una
posición impar (negativa o positiva) dentro de nuestra topografía, sin importar
que el dN del número impar se exprese como par.
Podemos obtener las siguientes "consecuencias" de las proposiciones
enunciadas:
1.
2.
3.
4.
Las "R" para los 2n, siempre serán pares (positivos o negativos) o cero.
Las "R" para los 2n + 1, siempre serán impares (positivos o negativos).
Las 2n + 1 no expresarán R = 0 al ser reducidos por sus da sucesivas.
(R, -R) = (9, -9), expresa la recursividad del conjunto N y por tanto de sus
propiedades.
5. Para el caso de la "Conjetura Binaria de Goldbach", las proposiciones enunciadas
permiten operar de manera más eficiente, mediante las dN.
Recordemos que la mencionada conjetura expresa: "¿Puede escribirse a todo
número par igual o mayor a 4 como la suma de dos primos?" (11)
Si suponemos como válida la presunción once enunciada en este trabajo, entonces
podemos suponer que los "R" representan a todos los 2n (incluido el 2; único primo
par) y los 2n + 1 (incluidos los números primos mayores a 2) de los N.
Así, por ejemplo: 2860 (par) puede descomponerse (entre otras opciones) en la suma
de los primos: 2819 + 41.
Ahora bien, si aplicamos nuestro procedimiento tenemos:
Para 2n = 2860;
da (2 + 8 + 6 + 0 = 16); da (1 + 6 = 7) dado dN (7,-2) R= -2
(pues 2860 es un número par)
Para 2n + 1 = 2819;
da (2 + 8 + 1 + 9 = 20); da (2 + 0 = 2) dado dN (2, -7) R= -7
(pues 2819 es un número impar).
Para 2n + 1 = 41;
da (4 + 1 = 5) dado dN (5,-4) R= 5
(pues 41 es un número impar)
De este modo: (-7) + 5 = -2
Por lo tanto R = 2n > 2 (positivos o negativos) puede expresarse mediante las sumas
de dos "R primos" presentes en nuestro modelo
(2, 3, 5, 7 y -7, -5, -3, -2)
y siempre y cuando la suma algebraica sea únicamente entre dos "R" del mismo signo.
Veamos:
(R = 4) se deduce de (R = 2) + (R = 2) como (-R = -4) se deduce de (-R = -2)
+ (-R= -2)
(R = 6) se deduce de (R = 3) + (R = 3) como (-R = -6) se deduce de (-R = -3)
+ (-R = -3)
(R = 8) se deduce de (R = 5) + (R = 3) como (-R = -8) se deduce de (-R = -5)
+ (-R =-3)
Como vimos, "R primos" expresa los valores que asumen los N cuando se "colapsan"
según la fórmula dN en la recta numérica cerrada (curva numérica cerrada si se
prefiere, pues toda recta es en realidad una curva).
De este modo las "consecuencias 4 y 5" enunciadas en este trabajo son verdaderas y
por lo tanto, creemos, también la conjetura binaria de Goldbach.
Actualmente estamos ocupados en agrupar números primos dentro de la topografía
propuesta en este trabajo, así como en evidenciar sus "distancias" relativas verticales y
horizontales para intentar descubrir alguna regularidad en su aparición dentro de la
topografía mencionada. Adelantamos que hasta ahora los resultados nos hacen
sospechar de la presencia de una simetría subyacente en la aparente disimetría con la
que ocurre la aparición de los números primos.
1. ABBOT, Michael M. y Hendrick C. Vanness. TERMODINÁMICA.
Ed. Mc. Graw Hill. México 1991.
2. CÉSARMAN, Eduardo. ORDEN Y CAOS. El complejo Orden de la Naturaleza.
2ª Ed. Ediciones Gernika. México 1986.
3. CLAWSON, Calvin C.. MISTERIOS MATEMÁTICOS.zbrZ Ed. Diana. México
1999.
4. DÍAZ, José Luis. EL ÁBACO, LA LIRA Y LA ROSA. Las Regiones del
Conocimiento.
Ed. Fondo de Cultura Económica. México 1997.
5. DOXADIS, Apóstolos. UNCLE PETROS AND GOLDBACH´S CONJETURE.
Ed. Faber & Faber. United Kingdom, Canada, Australia, New Zealand, South
Africa. 2000.
6. GÓMEZ, Marín Edgar. ESTO ES EL CAOS.
Ed. Consejo Nacional para la Cultura y las Artes. México 1995.
7. HAYLES, N. Katherine. LA EVOLUCIóN DEL CAOS. El Orden dentro del
Desorden en las Ciencias Contemporáneas.
Ed. GEDISA, Barcelona 1998.
8. INTERNET http://www.edicionesb.es "EL TÍO PETROS Y LA CONJETURA DE
GOLDBACH".
9. INTERNET. http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/node23.html Fermat,
Pierre de - History of Fermat´s Last Theorem
10. INTERNET. www.faber.co.uk RULES OF THE GOLDBACH´S CONJECTURE
CHALLENGE (15.3.00).
11. RANC, Enríquez Clairette (editora de la revista Ciencia y Desarrollo). "Copia
ciega" del dictamen del 26 de febrero del 2001 para este artículo.
La maldición de Sísifo.
Una propuesta didáctica para Comprender la Segunda Ley de la Termodinámica
Prof. Mario Peral Manzo. U.P.N. México.
Sísifo, hijo de Eolo, de la estirpe de Deucalión, era el más astuto de los mortales y el menos
escrupuloso.
Cuando Zeus hubo raptado a Egina, la hija del Asopo, al llevarla de Fliunte a Enone, pasó por
Corinto y fue visto por Sísifo. Cuando el Asopo se le presentó, en busca de la doncella, Sísifo le
prometió revelarle el nombre del raptor a condición de que el dios-río hiciese brotar una fuente en la
ciudadela de Corinto. Tras consentirlo el Asopo, Sísifo reveló a Zeus como culpable, lo cual le valió
la ira del señor de los dioses.
Zeus lo fulminó y lo precipitó en los Infiernos, condenándolo a empujar una roca enorme hasta lo
alto de una pendiente. Tan pronto como la roca llegaba a la cumbre volvía a caer, impedida por su
propio peso y Sísifo tenía que empezar de nuevo.
Este castigo aparece ya contado en la Odisea, si bien existen episodios que justifican su castigo de
modo distinto.
____________________________________
La maldición de Sísifo.
En su delicioso ensayo (Los Motivos de Sísifo) Césarman y Estañol apuntan:
"Para Albert Camus, el mito de Sísifo es símbolo de lo absurdo y trágico de la condición humana.
Condenado a un trabajo perenne, cuesta arriba, el hombre al final se da cuenta de la futilidad de su
esfuerzo. A todo ascenso corresponde una caída. Toda la naturaleza parece estar irremisiblemente
condenada a la obsolescencia (...). No otra cosa dice la segunda ley de la termodinámica: para
realizar un trabajo se requiere invertir energía y parte de esta energía se desperdicia o disipa en
calor que ya no puede usarse para realizar más trabajo" 1
La analogía que los mencionados autores establecen entre el trabajo/maldición de Sísifo 2 y
la segunda ley de la termodinámica 3, además de interesante, nos hizo preguntarnos si dicha
analogía sería pertinente para elaborar un modelo que pudiera servir a los alumnos del nivel
de secundaria (tal vez también para niños de sexto de primaria) para comprender de manera
más práctica la mencionada ley.
Nuestra postura al respecto es que sí la es, razón por la cual hemos señalado como objetivo
de este escrito el de demostrar la pertinencia de esta analogía. Replanteamos en boca de
Sísifo el problema de su maldición y lo hacemos negociar con los "jueces infernales" para
que (cuando menos) éstos modifiquen las estipulaciones con el fin de que nuestro personaje
pueda ensayar diversas situaciones que posiblemente le permitan terminar con su trabajo.
Adelantamos que sí hay una salida para Sísifo pero...
I. Lana Sube, Lana Baja...
Sísifo, cansado de tanto subir y bajar con su piedra y haciendo gala de su fama de astuto,
logra que los "jueces infernales" le concedan una audiencia para revisar su caso. El diálogo
entre aquél y éstos, se desarrolla de la siguiente manera:
Sísifo: Estoy consciente de mi error y no pido concesiones; pero me gustaría tener
la oportunidad de poder tomar decisiones en lo referente a mi castigo.
Juez "A": No podemos modificar tu castigo, tendrás que cumplirlo. ¿Qué tipo de
decisiones, pues, has de tomar en relación con una sentencia inapelable?
Sísifo: No me refiero al castigo en sí, tan solo pido que, para cumplirlo de mejor
manera y más justa, se me permita (por así decirlo) modificar las "condiciones ambientales"
que me han impuesto y más libertad para buscar formas de cumplir con mi castigo.
Ante las muestras de impaciencia de los jueces, Sísifo recurre al pizarrón de la sala de
audiencias para explicar de mejor manera su petición. Dibuja los siguientes gráficos:
Sísifo (al terminar de dibujar): Como ustedes saben, mi castigo consiste en subir
cuesta arriba una piedra y, justo cuando voy a alcanzar la cima, las fuerzas me abandonan,
ésta se me sale de control y rueda hacia abajo haciendo inútil todo mi esfuerzo (como
pueden ustedes ver en las dos primeras viñetas). Si represento esto en la dimensión temporal
(vean la última viñeta) resulta que mi trabajo es equivalente a subir un número infinito de
alturas; situación que me parece injusta, puesto que se me condenó a intentar llegar a la cima
de una sola cuesta. Esto, a mi parecer, se debe a que el ambiente al que ustedes me
condenaron está "abierto". Yo lo que pido es que se me permita cumplir mi castigo en un
ambiente "cerrado" y con un máximo de libertad permitido que no contradiga, claro, este
castigo que me tengo merecido
A pesar de las falacias subyacentes en el discurso de nuestro personaje, los
jueces se dejaron convencer por la elocuencia de éste.
Para sorpresa de Sísifo, los jueces le pidieron que se retirara a seguir cumpliendo con su
castigo en tanto deliberaban acerca de su petición. Le dijeron que se presentara al siguiente
día para que supiera del dictamen.
Se cumplió el plazo y Sísifo acudió puntual a la cita.
Juez "B": Después de deliberar en relación con la petición que formulaste ayer,
hemos decidido lo siguiente... Juez "C", haga el favor de leer nuestro dictamen.
Juez "C": Garcias Juez "B". Pues bien, hemos decidido acceder a tu petición bajo
las siguientes bases:
PRIMERA: DE LAS LIBERTADES QUE TENDRÁ EL REO SÍSIFO.
1. Podrá elegir la trayectoria que más le convenga; ya sea que ésta represente un polígono
regular o irregular de "N" lados.
2. Podrá determinar los "conteos" que desee a partir de "N + 2" desde que "N = 0".
3. Podrá combinar, si así lo desea, los conteos que más le convengan, por ejemplo: (N + 2) +
(N + 6)...
SEGUNDA: DE LAS RESTRICCIONES PARA EL REO SÍSIFO.
1. Los vértices de los polígonos serán nombrados de manera sucesiva y en el sentido de las
manecillas del reloj comenzando con las letras el alfabeto latino (de la "A" a la "Z") y si por
el número de los vértices del polígono elegido éstas no bastaran, se recurrirá a los diversos
alfabetos pasados, presentes o futuros; por ejemplo el griego, el cirílico, el hebreo, etc., a
discreción del reo.
2. El "punto de partida" (el punto cero) siempre será el vértice "A" y el "punto destino"
siempre será el vértice "B" para no contravenir la sentencia para el castigo original.
3. Siempre habrá avance en un solo sentido: el de las manecillas del reloj.
4. Al final de cada conteo han de quedar expresadas todas y cada una de las letras
correspondientes a los vértices del polígono elegido y sin que alguna de ellas aparezca más
de una vez.
5. Al ser cumplidas las anteriores restricciones, cuando quede expresada la serie cuya letra
final sea la "B" (el punto del vértice destino) se considerará terminada la condena.
Como ves -agregó dirigiéndose a Sísifo- ya no tendrás que subir cuesta alguna. Estas bases
entran en vigor el día de hoy y terminará su vigencia el día en que sea cumplido tu trabajo
tal como lo indica la quinta restricción de este documento-.
Concluyó su intervención el juez "C" después de dar el mazazo de rigor.
Sísifo se retiró contento de cumplir una condena que se le antojaba muy corta. Se había
salido con la suya (o al menos eso creía).
II. Manos a la Obra o "A la Piedra las manos"
Armado de papel y lápiz para registrar su avance y la serie de letras que lo conducirían hacia
la libertad, Sísifo se dispuso a realizar su tarea. Le pareció que sería una buena idea elaborar
un cuadro de registro cuyas columnas permitieran registrar: el número de conteos, el
polígono que representara la "trayectoria cerrada" los puntos de destino final de cada serie y,
por último, el número de traslaciones. Así mismo decidió hacer uso de polígonos regulares a
partir del triángulo y de conteos sencillos (sin combinar). Presentamos los resultados
parciales de su avance.
Sísifo ha realizado, además, sus conteos para
los polígonos regulares de seis, siete, ocho y nueve
lados.. Sus cálculos están en el fichero comprimido
Cuaderno de notas.zip. Si deseas comprobar sus
resultados con los tuyos puedes bajarte el fichero.
Como puede observarse, en todos los casos el
destino final de la serie es siempre "A", el "punto de
partida" (o punto cero) con el que se inicia el conteo
y, en estos casos, se reinicia de manera indefinida.
De hecho, a lo largo de los conteos progresivos se
van definiendo "periodos" que se reproducen
también, a su vez, de manera "indefinida"; sólo que,
para llegar a la reproducción de estos periodos,
Sísifo tiene que realizar un mayor número de conteos
y de traslaciones. Sospechamos que (aún realizando
combinaciones de conteos) nuestro amigo obtendrá
los mismos resultados hasta ahora observados en la
tabla de arriba. Pero como "la esperanza muere al
último"...
III. La Trampa de los Jueces o "Más Sabe el Diablo por Viejo..."
Se nos antoja cuatro maneras que podrían servir a Sísifo para terminar con su inútil
actividad:



1. Pedir a Zeus que interceda a favor del condenado para que lo perdonen. Pero...
esto es muy peligroso; sabemos cuán vengativos son los dioses griegos. No sea que
los "jueces infernales" tengan reservadas por ahí algunas piedras para nosotros.
2. Dar permiso a Sísifo para que realice "pasos dobles". Pero... viéndolo bien es
imposible pedirle a éste que dé el segundo paso sin antes haber dado el primero.
3. Permitirle "movimientos reversibles". Sin embargo, siendo congruentes con la
Segunda Ley de la Termodinámica (que es equivalente a ser congruente con los
procesos de la naturaleza que esta ley describe) aún en nuestro modelo no hay
posibilidad para la reversibilidad de los procesos. En otras palabras: Sísifo podría
terminar su trabajo si se le permitiera partir del punto "B", pero éste es el "punto
destino" y, como sabemos, no se puede terminar lo que no se ha comenzado; desde
esta perspectiva, nuestro personaje está condenado a realizar su pesado trabajo por
toda la eternidad.
Semat afirma:
"[...] podemos imaginar tres objetos A, B, y C, tales que A está en equilibrio térmico con B y
A también está en equilibrio térmico con C. Esta idea de que dos objetos separadamente en
equilibrio térmico con un tercer objeto estarán en equilibrio térmico entre sí, se llama ley
cero de la termodinámica."
(y más adelante)
"[...]En la operación de una máquina de Carnot hay tres sistemas que tenemos que
considerar: (la substancia activa, el depósito caliente y el depósito frío)"
"[...] La entropía de la substancia activa no cambia en un ciclo: Sws = 0
"[...] El depósito caliente transfiere calor Q 1 reversiblemente a la temperatura T I, por lo que
el cambio de entropía del depósito caliente S H se da por S H = Q 1/ T I
"[...] El depósito frío absorbe el calor Q 2 a la temperatura T 2 por lo que el cambio de
entropía del depósito frío S c se da por S c = Q 2/ T 2
"[...] El cambio de entropía del universo se da por la suma de
S = S ws + S H + S c = Q 2/T 2 - Q 1/ T I
"[...] De la ecuación (e = 1- T 2/ T I) tenemos
Q 1/ Q 2 = T I / T 2
o bien
Q 1/ T I = Q 2/ T 2
e introduciendo esto en la ecuación del cambio de entropía en el universo tenemos S = 0
"[...] En la operación de la máquina de Carnot el cambio total de entropía del universo es
igual a cero." 4
Lo que nos lleva a la única manera mediante la que Sísifo podrá liberarse de la
maldición, como se ve líneas abajo...

4. Todo sistema que deseemos que se mantenga sin cambios, y en un estado de
máxima eficiencia, ha de recibir de manera constante un suministro de energía; pero
resulta que la mayor parte de la energía que se gasta en un trabajo, se desperdicia en
forma de calor, sin posibilidad de ser reaprovechado por el sistema que lo generó.
¿De dónde obtienen los "jueces infernales" la energía para mantener la maldición de Sísifo?:
lo ignoramos. Lo que sí sabemos es que Sísifo tiene una y solo una posibilidad de liberarse
de esta absurda tarea. Ha de alcanzar el grado máximo de equilibrio térmico de que es capaz
todo ser vivo: la muerte. Si a la luz de las leyes de la Física la vida es una broma, la muerte
entonces es la madre de todas las bromas.
"La vida es orden, organización, información, replicación. La noción de orden
domina en medio de un universo de desorden".5
También del mismo autor Sphirolandia: un lugar muy formal
NOTAS
1 CÉSARMAN, Eduardo y Bruno Estañol. LOS MOTIVOS DE SÍSIFO. Ed., Miguel Ángel Porrúa,
México 1995, pp 5 y 6.
2 "Como se dio cuenta (Sísifo) del robo que hizo Zeus de la ninfa Egina y contó a su padre el hecho,
el dios lo mandó al Tártaro para que fuera castigado con duros tormentos... (Astutamente Sísifo
ordenó a Merope, su esposa), que no quemara su cadáver, como era usual. Y cuando llegó al
Hades se fue a ver a Persefone (para que le permitiera regresar al mundo a cumplir con el rito
funerario con la promesa de que regresaría al tercer día. Como no cumpliera con su palabra lo hizo
volver Hermes). Por tal incumplimiento los jueces infernales resolvieron que estuviera dando vueltas
constantemente a fuerza de empujones a una enorme roca, haciéndole rodar hacia la altura y que
ella volvía a caer y su obra interminable era la mayor fatiga." En GARIBAY, K. Ángel María.
MITOLOGÍA GRIEGA (Dioses y Héroes) Ed. Porrúa, México 1996 pp 219 y220.
3 "(...) la segunda ley de la termodinámica establece la existencia de una propiedad común a los
cambios de estado de los procesos, conocida con el nombre de entropía, la cual puede ser
considerada como la tendencia a la desaparición de las diferencias de temperatura que es el estado
más probable entre todos los posibles. La entropía se incrementa con los cambios de estado que
son irreversibles, y permanece constante en aquellos cambios que son reversibles. El incremento
de la entropía no afecta la constancia cuantitativa de la energía, pero sí influye en su capacidad
para ejecutar trabajo". En DE GORTARI, Eli. DIALÉCTICA DE LA FÍSICA. Ed. Océano, México
1986 pp 108 y 109.
4 SEMAT, Henry y Phillip Baumel. FUNDAMENTOS DE FÍSICA. Ed. Interamericana. México pp 208,
209 y 250.
5 SCHATZMAN, Evry. LOS NIÑOS DE URANIA. Ed. Salvat. Barcelona 1987 p 69.
Triángulos rectángulos. cuyos catetos, enteros, se diferencian en la unidad y tienen la
hipotenusa entera.
Francisco Javier Asencor
Resulta un tópico, ilustrar el teorema de Pitágoras
mediante el triángulo de tres y cuatro unidades en los catetos
y cinco en la hipotenusa. Sin duda es la terna de números
más simples que cumplen la relación de Pitágoras, salvo la
trivial (0,1;1) que, en definitiva, no permite ver un triángulo.
¿Existen otras ternas que cumplan esta relación? Desde
luego que sí, pero ¿cuántas? y ¿qué relaciones mantienen
entre ellas?
No es un gran problema pero se presta al entretenimiento si
se está abierto a dejarse sorprender por algunos aspectos que
aparecen. Todo puede hacerse con un nivel de algebra
simple (el cuadrado del binomio es lo más complicado. Si
puede uno pasar el rato haciendo un crucigrama, también
con esto ...)
En principio puede armarse de una calculadora y ensayar (o con un sencillisimo programa
hacer que ensaye el ordenador). Se puede encontrar que las ternas (0,1;1) (3,4;5) (5,12;13)
(8,15;17) (20,21;29) (12,35;37) (9,40;41) (28,45;53) ... y muchas más, cumplen la
condición. Por supuesto las obtenidas como producto de estos valores por cualquier factor
entero también cumplen, pero carecen de interés. Consideramos sólo aquellas cuyo máximo
común divisor sea la unidad.
Desde luego resulta más interesante buscar una forma general que nos proporcione todas las
ternas. (En rigor no se demuestra que todas las ternas válidas queden recogidas con este
método ...)
Consideremos dos enteros nones
cualesquiera, primos entre sí
Las expresiones
Demostración
Si n 1 y n 2 son primos entre sí, C 1 y C 2 son
primos entre sí y en consecuencia lo son con H.
Ya que si C 1 y C 2 admiten como factor común
el primo p, este ha de ser factor de n 1 o n 2;
admitamos que lo es de n 1, de esta forma
C1 = p × m1 × n2
y
proporcionan números enteros, que
que sólo es entero si n 2 es múltiplo de p es
cumplen la relación que nos interesa y
decir, n 2 no es primo con n 1
cuyo m.c.d. es uno, como es fácil de
demostrar.
Los valores n 1 = 1 y n 2 = 3 proporcionan
la terna (3,4;5).
Tenemos un conjunto doblemente infinito de ternas fácilmente clasificable por su origen por
ejemplo con n 1 = 1 cada uno de los impares mayores distintos de uno nos proporciona un
conjunto en el que la hipotenusa es mayor que el cateto mayor en una unidad (|H - C 2| = 1)...
Pueden buscarse multitud de subconjuntos, con sólo imponer alguna condición sobre los
números generadores (n 1, n 2) o entre los valores de las ternas.
Analizamos el caso en que la diferencia entre ambos catetos sea la unidad: |C 1 - C 2| = 1
Los casos de signo negativo de la raíz carecen de interés pues sólo resulta compatible el
valor n 1 = 1 con la opción negativa en el interior de la raíz, y supone la anulación de esta.
Así requerimos encontrar los valores n 1, que aplicados a esta expresión
nos proporciones un n 2 entero, primo con n 1
Hagamos algunas transformaciones. Sea n 1, un valor que cumple la condición
El valor obtenido para n 2, cumple las mismas condiciones y proporciona otro número
entero. Esto constituye una ley de recurrencia. Así en la sucesión
cuyos primeros términos son: 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 8119,... tomando
dos de ellos consecutivos cualesquiera, generaremos una terna que nos indique el valor de
los catetos enteros diferenciados en una unidad que determinan hipotenusa entera.
*
Es posible establecer una forma general no recursiva para los términos de esta sucesión,
pero requiere un cálculo algo superior y no es relevante para lo que presentamos.
Valores de las n
Llamando
La obtención de estos enteros a partir de irracionales, no presenta ninguna particularidad. En
el desarrollo binomial (aquí aparece el triangulo de Tartaglia) de las potencias de a se
alternan términos racionales (potencias pares de la raiz), con irracionales. Estos se anulan
dos a dos en la suma de los dos desarrollos.
*
Los catetos obtenibles y las hipotenusas constituyen de por sm otras sucesiones de enteros.
Fijémonos, por ejemplo en las hipotenusas
Ambas relaciones "cuelgan" la sucesión de hipotenusas de la sucesión de números
generadores, y resulta "desagradable" la presencia de elementos no lineales. Con un poco de
algebra muy sencilla podemos tratar de obtener una ley de recurrencia "autoconsistente"
para las hipotenusas.
Si tenemos en cuenta la primera relación entre las n
que podemos elevar al cuadrado y anular el segundo miembro
y sumarlas
agregando este cero a la expresión de la hipotenusa
que puede reescribirse como
que es lo que nos proponíamos una ley de recurrencia para las hipotenusas:
con los términos H 0 = 1 y H 1 = 5, queda determinada la sucesión cuyos primeros elementos
son: 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461,...
*
Tambien es posible establecer una forma general no recursiva para los términos de esta
sucesión, pero requiere un cálculo algo superior y no es relevante para lo que presentamos
Valores de las H
Manteniendo el valor de a
que está relacionado con el anterior.... Los exponentes son nones.
*
Para terminar una observación para consideraciones posteriores, que ahora no haremos. Si
con la ley de recurrencia obtenida cambiamos el segundo término,
obtenemos otra sucesión simpática, (1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391,...).
*
Que también tiene su forma general
Valores de las G
en que los exponentes son pares.
*
Los cuadrados de sus elementos son a la vez números triangulares.
*
Números triangulares
Si denominamos nzmeros cuadrados [z 2] al número de objetos que permiten ser colocados
en z filas de z objetos cada una, formando un cuadro, podemos llamar triangulares
[z(z+1)/2] al número de objetos que permiten ser colocados en z filas de modo que la
primera tenga z objetos y las demás, sucesivamente, uno menos que la anterior cada una,
formando un triángulo. Estos números aparecen en el triángulo de Tartaglia en la segunda
línea paralela a cualquiera de las filas de 1...
1
1
1
1
1
1
...
1
2
3
4
5
...
1
3
6
10
...
1
4
10
...
1
5
...
1
...
..
El primero (el 1) es un cuadrado, hay otros en la lmnea y vienen recogidos en la sucesisn
que hemos llamado G
*
Como no creemos en las casualidades cuando se trata de relaciones numéricas, dejamos la
relación abierta... pero cuidado las sucesiones enganchan.
Plimpton 322.
El teorema de Pitágoras es, sin duda, el teorema más popular de
toda la matemática. Ya se conocía desde tiempo de los babilonios y
aparece por primera vez impreso en la tablilla (aprox. 1900-1600 a.C.)
denominada Plimpton 322 (por tener ese número de la colección del
mismo nombre) que se encuentra en la Columbia University Library
(N.Y.). En ella, aparecen cuatro columnas de números entre las que se
desprende un aceptable dominio de las ternas pitagóricas.
La tabla fué descifrada por Neugebauer y Sachs (Mathematical
Cuneiform Texts -1945-) y ahí están las 6 primeras filas
Los números de la columna primera, tercera y cuarta (con fondo amarillo) son ternas
pitagóricas. Parece que los babilonios llegaron a calcular estos valores según un elaborado
procedimiento algebraico, hecho que no es en absoluto descartable. Pastor y Babini, refiriéndose a
los pitagóricos, dicen: ´´[...aunque en el estudio de los tripletes no lograron la generalidad de los
babilonios]´´
A partir de la expresión
a2 + b2 = c2
2
dividiendo ambos miembros por b resulta:
tenemos u 2 + 1 = v 2 expresión equivalente a
(v - u)(v + u) = 1
y haciendo el cambio de variable
Haciendo el cambio de variable
obtenemos
De esta forma podemos obtener ternas pitagóricas sin más que dar valores a x e y
Además de las tres columnas
con las ternas pitagóricas, aparece una
120 119 169 1,9834028 45º 14´ 23.038´´ 12 5 cuarta columna que es la relación, al
3456 3367 4825 1,9491586 45º 44´ 50.389´´ 64 27 cuadrado, que existe entre la
4800 4601 6649 1,9188021 46º 12´ 45.553´´ 75 32 hipotenusa y uno de los catetos.
b
a
c
(c/b) 2
δ
x
y
13500 12709 18541 1,8862479 46º 43´ 43.28´´ 125 54
72
65
97
1,8150077 47º 55´ 29.921´´ 9
4
360
319
481
1,7851929 47º 39´ 53.962´´ 20 9
2700 2291 3541 1,7199837 ---
--- ---
960
799
1249 1,6927094 ---
--- ---
600
481
769
1,6426694 ---
6480 4961 8161 1,5861226
60
45
75
1,562500
2400 1679 2929 1,4894168
240
161
289
1,4500174
2700 1771 3229 1,4302388
90
56
106
1,3871605
--- --- De esta forma podían conocer los
----- --- ángulos de los triángulos rectágulos
considerados. Podemos observar que la
----- --- tabla parte de un ángulo δ de
----- --- aproximadamente 45º y va aumentando
hasta aproximadamente 60º. Sobre
----- --fondo gris están los valores de δ y los
56º 44´ 17.133´´ 50 27 de x e y para calcular los lados del
58º 6´ 33.15´´ 9 5 triángulo (En la tabla sólo aparecen los
valores sobre fondo amarillo)
No es probable que los babilonios conocieran estas relaciones trigonométricas, pero
pudieron llegar a dicho resultado a partir de los valores de x e y teniendo en cuenta que
Nota Los valores que aparecen en la tabla marcados por --- quedan a cargo del lector interesado
Sellos y Matemáticas. El teorema de Pitágoras.
El Año 2000 fué pródigo en acontecimientos dedicados a las
matemáticas. El correo postal nicaragüense puso en circulación una serie
de 10 valores dedicado a Las 10 fórmulas que cambiaron la faz de la
Tierra. Este valor de 30 centavos está dedicado a la ´´LEY DE
PITÁGORAS´´
El segundo valor, de gran belleza matemática, fué publicado por el
servicio postal de la República Checa. Dedicado a Fermat y a Andrew
Wiles. Sobre el símbolo de la igualdad aparece la desigualdad en la que
figura la inscripción ´Andrew Wiles 1995´. Dicha igualdad sólo tiene
soluciones enteras cuando n = 2 es decir, el teorema de Pitágora.
Sello de San Marino de 1000 Liras. En la parte superior puede apreciarse
la interpretación geométrica de dicho teorema.
El segundo valor pertence al estado de Israel. Conmemora el Día de la
Educación y en él figuran varias expresiones matemáticas, entre ellas el
teorema de Pitágoras.
En 1955 Grecia puso en circulación este serie de cuatro valores.
Dos estatuas de valores 2 y 5 dracmas representando a Pitágoras,
la isla de Samos y la interpretación intuitiva del teorema
25 cuadrados = 16 cuadrados + 9 cuadrados
es decir 5 2 = 3 2 + 4 2
Si desea conocer más cosas sobre este apasionante teorema visita El teorema
de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras.
Manuscrito árabe del s.XIII
Euclides I, 47
Euclides, en el Libro I de los Elementos
proposición 47 demuestra el teorema de
Pitágoras: En los triángulos rectángulos el
cuadrado sobre el ángulo opuesto al
ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los
lados que forman el ángulo recto.
Prueba que el área del cuadrado NMBC es igual a la
suma de las áreas de los cuadrados ABPQ y CAED.
Para ello, trazamos por A una perpendicular a CB hasta
que corte a NM en A´ y que divide al cuadrado NMBC
en dos rectángulos A´MBA´´ y NA´A´´C. A
continuación unimos A con M y C con P.
Los triángulos MBA y CBP son iguales pues tienen el
mismo ángulo B = 90 + t e iguales los lados que lo
determina (BP = AB y BM = BC)
Se verifica:
[Área triángulo MBA] = 1/2 MB.MA´ = 1/2 (MB.MA´)
=
= 1/2 [Área rectángulo A´MBA´´]
Por otra parte:
[Área triángulo CBP] = 1/2 BP.QP = 1/2 (BP.QP) =
= 1/2 [Área cuadrado BPQA]
Por tanto:
[Área triángulo MBA] = [Área triángulo BPC] =
= 1/2 [Área cuadrado BPQA] = 1/2 [Área rectángulo
A´MBA´´]
Es decir el cuadrado BPQA y el rectángulo A´MBA´´
son equivalentes. Análogamente demuestra que el
rectángulo NA´A´´C es equivalente al cuadrado CAED.
En la proposición 48 del Libro I de los Elementos,
Euclides demuestra que Si el cuadrado construido
sobre uno de los lados de un triángulo es equivalente a
los cuadrados, juntos, de los otros dos lados, el ángulo
formado por esos dos lados es recto es decir el
recíproco de la Proposición 47.
(Esta es la demostración que hace Euclides en los
Elementos, aunque se han adoptado algunas notaciones
actualizadas).
Sea el triángulo ABC y supongamos a 2 = b 2 + c 2
Tracemos por A una perpendicular a AC y sobre ella
tomamos AD igual a AB. Unamos D con C.
Como DA = AB = c también lo serán sus cuadrados, es
decir
DA 2 = AB 2 = c 2
Si sumamos b 2, tendremos
DA 2 + b 2 = c 2 + b 2
Pero
m 2 = DA 2 + b 2
(pues DAC es recto; p47) y
a2 = b2 + c2
(por hipótesis), luego el cuadrado sobre el lado DC (es
decir m 2) es equivalente al cuadrado sobre BC (es
decir a 2), por lo que el lado DC será igual al lado BC.
Puesto que DA es igual a AB y AC es común DA y y
AC serán iguales a BA y AC y la base DC igual a BC
por lo que el ángulo DAC será igual a BAC, y como
DAC es recto, el BAC también es recto.
OTRAS DEMOSTRACIONES,
COMPROBACIONES,
COMENTARIOS, etc.
RELACIONADOS CON EL
TEOREMA DE PITÁGORAS.
del griego
:
fijar, sujetar fuertemente una cosa
a otra.
(cateto) perpendicular, línea
que cae a plomo.
Apunte (#1). Facilitada por José Carrión.
Demostración atribuida a Leonardo da Vinci.
Siguiendo la construcción resulta que el triágulo
A´´B´´C´´ es simétrico del triángulo ABC respecto al
punto O centro del cuadrado mayor.
Por otra parte, los cuadriláteros ABC´´A´´ y A´´B´´CA
son congruentes (tienen el mismo aspecto y área)
La figura formada por los dos cuadrados menores, el
triángulo ABC y su simétrico AB´C´ tiene un eje de
simetría DE y se compone de dos cuadriláteros iguales
DBCE y DEC´B´
Si se gira DBCE un ángulo de 90° a la derecha con
centro en B y se hace coincidir con ABC´´A´´, los
hexágonos BCEC´B´D y A´´B´´CABC´´ son
equivalentes. Si restamos de ambos los dos triángulos
que forman parte de ellos, obtenemos el teorema de
Pitágoras.
Apunte (#2).
Una de las demostraciones más antiguas e intuitivas sobre el teorema de Pitágoras es la
siguiente, que puede seguirse fácilmente a partir de la construcción gráfica que se muestra
Partimos del triángulo rectángulo R cuya área es 1/2 a b. A continuación construimos un
cuadrado cuyo proceso se describe en el gráfico anterior
El lado del cuadrado así obtenido es a + b y su área (a + b) 2. Dicho cuadrado consta de
cuatro triángulos rectángulos cuya área es
4 ( 1/2 a b) = 2 a b
y un cuadrado interior de lado c y área c 2.
Igualando ambas áreas tendremos: (a + b) 2 = c 2 + 2 a b de donde a 2 + b 2 = c 2.
Apunte (#3). Generalización del teorema de Pitágoras.
Para los semicírculos de la figura, a partir de la expresión
c 2 = a 2 + b 2 multiplicando ambos miembros por
resulta
Si las superficies S, S´ y S´´ son
semejantes, entonces
Área (S) = Área (S´) + Área (S´´)
de donde
Área (Semicírculo S) = Área (SemicírculoS´) + Área
(SemicírculoS´´)
Apunte (#4). Relaciones métricas en el triángulo rectángulo.
El triángulo ABC es rectángulo en C.
Teorema del cateto.
En el triángulo ADC
En el triángulo BCA
Multiplicando miembro a miembro ambas
expresiones
Teorema de la altura.
En los triángulos rectángulos ADC y DBC
resulta:
h = m.tag(A) h = n.tag(B)
Multiplicando miembro a miembro ambas
expresiones
h 2 = m.n.tag(A).tag(B) = m.n
(pues
tag(A).tag(B) = tag(A).tag(90 - A) = 1).
Es decir:
"En todo triángulo rectángulo la altura
relativa a la hipotenusa es media
proporcional entre los dos segmentos que
determina sobre ella"
Es decir:
"En todo triángulo rectángulo un cateto es
media proporcional entre la hipotenusa y su
proyección sobre ella"
Teorema de Pitágoras.
Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los catetos del triángulo ABC y sumando
resulta:
a 2 = c.n
b 2 = c.m
a 2 + b 2 = c.n + c.m = c (n + m) = >c 2
Apunte (#5).
En T1 resulta sen (x) = b/c y en T4 sen (x) = PN /a de
donde PN = ab/c y por construcción TV = PN = ab/c
Por otra parte, en T4 cos (x) = MN/a y en T1 cos (x) =
a/c de donde MN = a 2/c.
Además en T3 sen (x) = VM/b = b/c de donde VM = b
2
/c
A partir del triángulo rectángulo MPT
trazamos por M una paralela a la
hipotenusa (PT) y por P y T
perependicualres a dicha paralela de forma
que se determinan los triángulos
rectángulos MNP y VMT. También
construimos sobre la hipotenusa el
triángulo rectángulo PST.
(A partir de estos datos podemos comprobar que
A T2 = A T3 + A T4
pues los triángulos T2, T3 y T4 son semejantes; ver
Apunte (#3)).
La figura así construida podemos mirarla de dos formas:
formada por el rectángulo VNPT y el triángulo
rectángulo T2 o bien por el rectángulo MPST y los
triángulos T3 y T4.
Evidentemente:
Área (VNPT) + Área (T2) = Área (MPST) + Área (T3) +
Área (T4)
Calculando el área de cada una de estas composiciones,
identificando y simplificando las expresión obtenida
obtendremos el Teorema de Pitágoras.
Apunte (#6). Disección de Perigal
En Wennington (Essex) está la
abandonada tumba del matemático inglés
Henry Perigal (1801/1898). En ella puede
adivinarse la inscripción: "[...] estudioso e
ingenioso geometrista. Investigó y
enunció las leyes del movimiento circular
compuesto. Querido y admirado por un
gran número de parientes y amigos"
Se le atribuye una ingeniosa comprobación del teorema
de Pitágoras. Sobre el mayor de los cuadrados
construidos sobre los catetos se determina el centro (no
necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos
rectas paralela y perpendicular a la hipotenusa del
triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el
cuadrado construido sobre el otro cateto podemos cubrir
el cuadrado contruido sobre la hipotenusa.
Apunte (#7). Una demostración del teorema de
Pitágoras atribuida a J. A. Garfield (vigésimo Presidente
de los EEUU)
Uniendo los puntos M y N obtenemos un trapecio cuya
área es:
(a + b)/2 . (a + b) = a 2/2 + b 2/2 + a.b
Por otra parte, dicha área es la suma de los tres
triángulos rectágulos que lo determinan. Sumado dichas
áreas:
(a.b)/2 + (a.b)/2 + c 2/2 = a.b + c 2/2
Igualando ambas expresiones y simplificando obtenemos
que
a 2/2 + b 2/2 = c 2/2
y simplificando resulta el teorema de Pitágoras.
Apunte (#8).
Con centro en O trazamos una semicircunferencia de
radio c; consideramos un punto P y a partir de él
construimos el triángulo rectángulo de lados a, b y c.
(Primera figura)
A continuación construimos el triángulo MNP. Dicho
triángulo es rectángulo y en él la altura relativa a la
hipotenusa es a.
Dicha altura determina sobre la hipotenusa los
segmentos c + b y c - b. Aplicando el teorema de la
altura (Apunte #4) resulta:
a 2 = (c + b).(c - b) = c 2 - b 2
2
es decir c = a 2 + b 2
Apunte (#9). El Teorema de Pitágoras en el espacio. Facilitada por José Carrión
D2 = c2 + d2
d2 = a2 + b2
D2 = a2 + b2 + c2
Apunte (#10). Expresión vectorial del teorema de Pitágoras
(En lo que sigue designaremos en negrita las magnitudes vectoriales y las operaciones
efectuadas respecto a un sistema de referencia ortonormal)
Dados dos vectores x e y la condición necesaria y suficiente para que dichos vectores sean
ortogonales es que
|| x + y || 2 = || x || 2 + || y || 2
siendo
la norma del vector x.
De dicha definición de la norma resulta que || x || 2 = x.x (es decir, la norma al cuadrado de
un vector es el producto escalar del vector por él mismo).
Demostración
|| x + y || 2 = (x + y) (x + y) = x . x + y . y + 2 x . y = || x || 2 + || y || 2 + 2 x .y
Luego
Apunte (#11).
Comparando cuadrados
A partir del triángulo rectángulo
inicial de hipotenusa c y catetos a
y b, construimos los cuadrados de
lados a + b tal como aparecen en
la figura primera.
El primer cuadrado está formado
por cuatro triángulos iguales (T1,
T2, T3, T4) y por un cuadrado de
lado c, por lo que su área es
c 2 + 4 A(T)
siendo A(T) el área de uno
cualquiera de los triángulos.
El segundo cuadrado está
formado por dos cuadrados de
lados a y b y los triángulos T1,
T2, T3 y T4 y su área es
Esta es una de las más intuitivas demostraciones del teorema de
Pitágoras y, posiblemente, una de las que utilizaran los pitagóricos.
a 2 + b 2 + 4 A(T)
Igualando ambas expresiones y
simplificando obtenemos que
c2 = a2 + b2
Apunte (#12) Rompecabezas.
Si trazamos en cada uno de los cuadrados construidos
sobre los catetos una diagonal y una paralela a la
hipotenusa c del triángulo rectángulo obtenemos ocho
triángulos con los que podemos recubrir el cuadrado
construido sobre la hipotenusa.
Expresemos las áreas de cada uno de estos triángulos en
función de los lados a, b y c del triángulo rectángulo.
Por definición
sen (δ) = b/c; cos (δ) = a/c
Por otra parte, debido a la igualdad de los triángulos
obtenidos bastará calcular las áreas de, por ejemplo, los
triángulos 1, 2, 5 y 6.
Aplicando el teorema del seno al
triángulo 1 resulta
de donde
Desarrollando sen (135 - δ) obtenemos
sen (135 - δ) = sen (135) cos (δ) - sen (δ) cos (135) = sen
(45) cos (δ) + sen (δ) cos (45)
es decir
Sustituyendo en el valor de x obtenido anteriormente
y el área del triángulo 1 es
El área del triángulo 2 es
Anáalogamente resulta:
Puede comprobarse que
a=b
Apunte (#13) Kou ku.
Uno de los primeros libros chinos dedicados a la
matemática y la astronomía es el Chou Pei (aprox. 300
a.C.). En él se hece referencia al teorema de Pitágoras
(kou ku) mediante una comprobación.
A partir de la figura, un cuadrado de lado 7, si retiramos
los cuatro triángulos de las esquinas (dos rectángulos de
área total 2 ×(3 × 4) = 24 unidades cuadradas) queda un
cuadrado de lado 25 unidades cuadradas. Por lo tanto su
lado es 5.
Entonces
(3 + 4) 2 - 2 ×(3 × 4) = 3 2 + 4 2 = 5 2
Durante el siglo III esta comprobación fué fundamentada
por varios matemáticos chinos. Una de ellas es la
siguiente.
Si el lado más corto (kou) es a, el más largo (ku) es b y la
diagonal (shian) es c resulta:
c 2 = área(GHEF) = área(LIJK) + 2 ×(a × b) =
= área(LIJK) + área(GLFD) + área(KECF) =
= área(APLG) + área(PBEK) = a 2 + b 2
Apunte (#14) Triángulos rectángulos en la proporción áurea
Supongamos un triángulo rectángulo ABC y a partir de él
construimos otro triángulo rectángulo tomando como hipotenusa el
cateto mayor del dado y como cateto mayor el cateto menor del
triángulo rectángulo considerado. Impongamos la condición de que
ambos tengan los mismos ángulos.
Entonces ambos triángulos rectángulos serán semejantes y se
verificará
Determinando R
Puesto que el triángulo 2 ha de ser rectángulo
a2 = c2 + p2
y de (#1)
Mediante el cambio de variable R 2 = t resulta t 2 - t - 1 = 0 cuyas
soluciones son
Entonces
siendo
el número áureo.
Por la naturaleza del problema consideramos
Supongamos b = k 0 > 0.
De (#1) tendremos
de donde
Los triángulos de la forma
son triángulos rectángulos.
Valor del águlo δ
En el triángulo 1
independientemente del valor de b = k 0
Nuevamente de (#1) resulta
por lo que
También los triágulos de la forma
son rectángulos, tienen los mismos ángulos que los anteriores y están
con ellos en la proporción 1/R.
Si k 0 =
los triángulos rectángulos
y
son semejantes y están en la proporción 1/R.
Una apostilla de Fco. Javier Asencor
En el Apunte #14 se hace un estudio interesante sobre el triángulo rectángulo cuyos lados
toman los valores
donde representa el número áureo.
Donde aparece el número áureo siempre hay sorpresas en forma de relaciones con cierta
belleza. Es un número que por sí solo puede sostener una publicación. Un ejemplo es este
triángulo.
Puede agregarse alguna consideración que aumenta la fascinación de este triángulo (o sus
semejantes).
Si multiplicamos los lados por
, podemos escribir la terna como
Una forma en que los exponentes nos recuerdan
definitivamente a la más famosa terna de los triángulos
rectángulos, (3, 4, 5)
Esto admite la siguiente consideración:
Si nos proponemos encontrar el triángulo rectángulo cuyo
cateto mayor sea la media aritmética entre la hipotenusa y el
otro cateto encontramos el familiar (3, 4, 5) o semejantes.
Si el propósito es idéntico, pero con la media geométrica,
encontramos éste.
Una aparición geométrica:
Sobre el primer cuadrante de unas coordenadas cartesianas
trazamos el semicírculo de radio unidad y centro en eje Y
distante la unidad del centro. Por supuesto resulta tangente al
eje X. Este semicirculo admite infinitas tangentes, de las cuales las que se tracen "por
arriba" es decir con pendiente negativa se cortan con ambos ejes. La longitud del segmento
determinado por estos cortes dependen del punto de tangencia. Pueden tener cualquier
longitud por encima de cierto valor, es decir existe una que es mínima.
El triángulo formado por el origen de coordenadas y los cortes en los ejes, forman un
triángulo rectángulo que se corresponde exactamente con la terna propuesta arriba. El
número aparece también en las coordenadas del punto de tangencia....
El triangulo superior, por encima de la ordenada se corresponde con la primera terna aquí
mencionada:
... y si seguimos mirando: más cosas
El matemático indio Bhaskara Apunte (#15) Bhaskara (1114-1185)
hizo una reconstrucción del
teorema de Pitágoras a la que
sólo le añadió la palabra
¡MIRA! de forma que a partir
de la observación de la figura
se pudiera reconstruir el
teorema. Esta reconstrucción
aparece en su obra
VijaGanita (en la que por
primera vez aparece la
división de un número
(distinto de 0) por cero.
Su obra Lilavati contiene
varios problemas
relacionados con el teorema
de Pitágoras como los
siguientes:
El bambú roto
Si un bambú de 32 codos de altura ha sido roto por el viento de tal
manera que su extremo superior queda apoyado en el suelo a una
distancia de 16 codos de su base, ¿a qué altura del suelo se rompió?
El pavo real y la culebra
Un paco real se encuentra posado en el extremo de un poste vertical en
cuya base hay un agujero de culebra; observando la culebra a una
distancia del pie del poste igual a tres veces su altura, el pavo real se
lanza sobre ella en linea recta mientras la culebra intenta ganar su
agujero. Si el paco real captura a la culebra cuando ambos han recorrido
exactamente la misma distancia, ¿a cuántos codos de distancia del
agujero se produjo la captura?
Las abejas y las
matemáticas.
José Carrión Beltran.
Analicemos, brevemente, el comportamiento de
algunos polígonos. Con triángulos equiláteros,
cuadrados y hexágonos regulares pondemos
enlosar una superficie.
 Triángulo
Lado = 4 u
Perímetro = 12 u
Área = 6,928 u 2
 Cuadrado
Lado = 3 u
Perímetro = 12 u
Área = 9 u 2
 Hexágono
Lado = 2 u
Perímetro = 12 u
Área = 10,392 u 2
Las abejas ..., en virtud de una cierta intuición
geométrica ..., saben que el hexágono es mayor que
el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener
más miel con el mismo gasto de material.
Pappus de Alejandría
Las abejas construyen sus panales como
prismas hexagonales regulares apuntados en el
fondo por tres rombos inclinados respecto a la
horizontal un ángulo determinado para que,
almacenando la misma cantidad de miel, tengan la
 Con el mismo
mínima cantidad de materia (cera); es decir, el
perímetro, la mayor
superficie se recubre con área sea mínima.
un hexágono
Este problema de las abejas ya admiró a los
clásicos y fue estudiado por importantes
matemáticos, entre otros Colin McLaurin (16981746) y Gabriel Cramer (1704-1752) obteniendo
para dicha inclinación valores de 70º 32´ y 70º 31´
respectivamente.
Observando la figura vemos que la abeja construye el
rombo GBHF de modo que el volumen que quita del
prisma, el GABF, equivale al que añade, el HBJF. Pero
aunque el volumen del panal equivale al del prisma
hexagonal, sin embargo el área total del panal es la menor
posible para tal propósito; si la abeja hubiese dado al
panal la forma de prisma, éste no habría perdido
capacidad, pero habría sido necesaria más cera para su
construcción. En la naturaleza rige la ley del
mínimo/máximo.
Vamos a calcular el ángulo x de inclinación del rombo
que hace mínima dicha área.
Identidades
 AB = a arista básica del prisma, que por tratarse de un
problema afín se puede sustituir por la unidad de
longitud; luego lo haremos)
 x = HKJ ángulo de inclinación que deseamos
determinar
 KJ = a/2 apotema del triángulo equilátero BFD
 HJ = KJ.tang(x) = (a/2).tang(x) = AG por simetría
 HG = 2.HK =a.sec(x)
 HJ = KJ.tang(x) = (a/2).tang(x) = AG por simetría

lado del triángulo BDF
 HK = KJ.sec(x) = (a/2).sec(x)
El área que estudiamos será mínima cuando sea máxima la diferencia
y = (ABF) + (BFJ) + (ABG) + (AFG) - (GBHF)
Tendremos:



Haciendo a = 1 se tiene:
derivando
Igualando a 0 y aplicando el criterio de la derivada segunda se obtiene finalmente
El doble de dicho ángulo es 70º 31´ 43.606"
Veamos otro camino para la resolución del problema
Imaginemos las colmenas compuestas por tres listones romboidales como indica la figura de la
izquierda y consideremos uno de estos listones, con el que vamos a trabajar, y que se presenta en la
Fig.2. Supongamos, para simplificar, que el lado del hexágono es 1. Es evidente que al mover el
rombo sobre la diagonal AB (fig.2) el volumen del liston romboidal no varía, pues el volumen que se
aumenta al desplazarse v´ hacia arriba (extremo superior diagonal azul) queda compensado al
desplazarse m´ (extremo inferior diagonal azul) en sentido contrario. Por tanto, el volumen
permanece invariable al realizar esta operación. Supongamos, por tanto la diagona AB fija. Como el
lado del hexágono hemos admitido que vale 1, el valor de dicha diagonal es 3 1/2. Deseamos calcular
el ángulo alfa de forma que la superficie sea mínima.
Fig.1
Fig.2
Fig.3
Nota En las Fig.2 y Fig.3 la planta está dibujada completa, pero para
mayor claridad en el alzado sólo se ha dibujado el listón romboidal
considerado
Sea L la longitud de la diagonal (diagonal azul) y x la proyección de
la misma (Fig.3).
Podemos establecer la siguientes igualdad
L 2 = (2x) 2 + 1 (Fig.4)
La superficie lateral de la célula está formada por seis trapecios. El
área de uno de ellos es (Fig.5)
(Fig.4)
y por tres rombos, siendo el área de uno de ellos
por lo
que la superficie de la célula es A T = 6.A 1 + 6.A 2. Efectuando
operaciones y sustituyendo los valores obtenidos anteriormente
resulta
Derivando e igualando a 0 tendremos
y de ahí obtenemos x 2 = 0.125. LLevando este valor a L,
(fig.5)
tendremos
de donde
31´ 43.606´´
Relacionando, por último, ambas diagonales.
por lo que el valor de alfa resulta 70º
Sphirolandia: un lugar muy formal
Prof. Mario Peral Manzo.
En una región muy próxima a la imaginación que hace frontera con la realidad, se encuentra
un hermoso lugar matemático en donde viven eternamente un infinito número de individuos llamados
"sphiros", seres esféricos de idénticas dimensiones y con una vocación indomable por agruparse.
Este lugar es un medio que está muy reglamentado con el fin de mantener un constante equilibrio
entre los individuos que lo habitan y asegurar su existencia "por siempre y para siempre jamás".
Sphirolandia, pues, se basa en las siguientes REGLAS
1. Los "sphiros" pueden permanecer aislados si así los desean.
(Por supuesto no lo desean; pues simplemente no pueden evitar querer agruparse)
2. Cuando estánn aislados y buscan reunirse, solamente pueden agruparse en cadenas; jamás
podrán formar conglomerados o amontonamientos que contravengan la tercera regla (ver
siguiente regla).
3. Toda vez que los "sphiros" formen cadenas (filas)
a. No les es permitido agruparse con un idéntico número de elementos a cualquier cadena
ya existente. Es decir, no debe haber más de una cadena con idéntico número de
elementos. Cuando por accidente (o por el caso advertido en la quinta regla; expresada
líneas más abajo) esto suceda, las cadenas con idéntico número de elementos se unirán
de acuerdo con lo previsto en esta última regla mencionada.
b. Pueden unirse a otra cadena, alineando todos y cada uno de sus elementos para formar
hileras y siempre comenzando este alineamiento por uno de los extremos de la cadena.
(Convengamos en llamar filas a los elementos ordenados de manera horizontal e hileras
a los ordenados de manera vertical).
c. Si lo desean pueden permanecer así unidos de manera indefinida pero, como ya lo
sabemos, no lo desean; pues sencillamente no pueden evitar querer seguir agrupándose.
4. Toda vez que los inquietos y gregarios "sphiros" hayan alineado sus filas en hileras, podrán
unirse a otros conjuntos de "sphiros" ordenados del mismo modo que se menciona en la
tercera regla.
5. Toda vez que se junten cuatro filas de "sphiros", y muy a su pesar, se separarán en hileras, y
cada una de las hileras cuyo número de "sphiros" sea idéntico, se unirán de acuerdo con la
tercer regla.
6. Los "sphiros" que formen hileras de un solo elemento (suena extraño esto de "hileras de un
único elemento" pero abusemos un poco del lenguaje para una mayor claridad) necesariamente
se separarán unos de otros durante el proceso descrito en la quinta regla aunque,
posteriormente al restablecimiento de la legalidad y, dada su terquedad, no se les prohibe que
decidan volver a unirse como lo estaban poco antes de la desintegracisn o como se les di su
muy regalada gana sin violar la segunda regla.
7. Las filas producidas durante la desintegracisn de las hileras (descrita en la quinta regla)
reiniciarán el proceso indefinidamente.
Problemas Como en el ambiente que hemos creado hay un infinito número de "sphiros"
en interacción, suponemos que hay un infinito número de procesos en los que interactúan "sphiros"
solos o en cadena y esto garantiza la eternidad de éstos y sus interacciones. Pero si nos limitamos a
un conjunto finito como el ejemplificado en la quinta regla, ¿habrá un retorno al límite que es el
origen para estas interacciones o continuarán indefinidamente?. Y si continúan indefinidamente
¿será porque el proceso se convierte en un ciclo periódico o un proceso cíclico con infinidad de
posibles historias? ¿Qué otras variantes serán posibles sin violar las reglar enunciadas?
Para quienes no les da la gana quebrarse la cabeza con los anteriores planteamientos sugerimos que
aborden el siguiente problema que sólo se detiene en el lmmite que reinicia el proceso.
Caso I
 Si ... 5§3 = 3(2) + 2(1)
 Y ... 7§4 = 4(2) + 3(1)
 Entonces [5§3]§[7§4] = 3(4) + 1(3) + 1(2) + 2(1)
5§3 = 3(2) + 2(1)
7§4 = 4(2) + 3(1)
[5§3]§[7§4] = 3(4) + 1(3) + 1(2) + 2(1)
Las línes se usan para indicar con mayor claridad las soluciones, pero se entiende que las filas
están alineadas formadas por "sphiros" que están unidos en hileras.
Por 5§3 indicamos dos filas de "sphiros" una de longitud 5 y otra de longitud 3, que es igual a 3(2) +
2(1) es decir 3 hileras de 2 spiros más 2 hileras de uno.
Caso II
 Si ... 11§6 = 6(2) + 5(1)
 Y ... 13§2 = 2(2) + 11(1)
 Entonces [11§6]§[13§2] =
Caso III
 Si ... 4§12 = 4(2) + 8(1)
 Y ... 10§5 = 5(2) + 5(1)
 Entonces [4§12]§[10§5] =
Caso IV
 Si ... 5§7 = 5(2) + 2(1)
 Y ... 2§3 = 2(2) + 1(1)
 Entonces [5§7]§[2§3] =
Generalización (A quien no le interesen estos asuntos tan serios, continúe con las
conclusiones, pero no saben lo que se pierden).
En el siguiente cuadro aparecen una serie de formalizaciones que nos permiten comprender de mejor
manera la dinámica de nuestros “sphiros”. Primeramente entendemos que las literales “a, b, c, d”
representan a números naturales desiguales ordenados “de menor a mayor”. Observamos que las
interacciones que realizan los “sphiros” pueden ser expresados según las propiedades conmutativa y
asociativa de la suma y que además, en el contexto de las reglas que hemos formulado, es posible
enunciar una proposición que se refiere al límite permitido para el agrupamiento de estos entes y el
comienzo de un nuevo ciclo. (Sería interesante diseñar algún programa de ordenador que permitiera
experimentar con otras variables para llegar a generalizaciones más complejas y, por tanto, más
interesantes).
 {a, b, c, d} números Naturales
 a<b<c<d
 a§b = b§a Propiedad conmutativa
 a§b = a(2) + (b - a)(1) = a + b
 [a§b]§ [c§d] = [c§d]§ [a§b] Propiedades conmutativa y asociativa
 [a§b]§ [c§d] = a(4) + (b-a)(3) + (c-b)(2) + (c-c)(1) = (a+b) + (c+d)
Conclusión; Antes de concluir: es nuestro deseo que estos ejercicios sirvan (sobre todo
para los más jóvenes) como un aliciente para abordar de manera divertida los temas de la teoría de
conjuntos.
Ahora sí, concluyamos que:

en los casos observados las cantidades se conservan; pero las combinaciones entre los
"sphiros", según las reglas enunciadas, permiten o garantizan un movimiento perpetuo
(interacciones entre los elementos, de manera indefinida) y la existencia del sistema como
tal.
sphiros.zip (172 bytes)
 Si lo deseas puedes comprobar tus soluciones de los Casos II, III y IV
Trigonometría Hiperbólica.
Unas combinaciones particulares de la función exponencial da lugar a un interesante tipo
de funciones denominadas funciones hiperbólicas presentes en muchas ramas de la ciencia.
Se definen las funciones hiperbólicas, que denominaremos coseno hiperbólico y seno
hiperbólico como
El punto P(x,y), siendo
describe la rama derecha de la
hipébola.
Para t = 0 resulta P(x,y) = (0,0);
para valores de t positivos dicho
a punto recorre la rama superior
(rama derecha azul);
para valores de t negativos la
inferior (en rojo).
El punto Q(-x,y) recorrerá la
rama izquierda de la hipérbola.
La gráfica de la función y =
Ambas, están relacionadas de forma parecida a como
se relacionan las funciones trigonométricas usuales. Lo
mismo que aquellas se identifican con un punto sobre la
circunferencia goniométrica (de radio unidad) x 2 + y 2 =
1) estas se identifican con un punto P(x, y) de la
hipérbola unidad: x 2 - y 2 = 1)
En efecto, basta comprobar, con un poco de cálculo,
que el punto dado por P(cosh(x), senh(x)) verifica dicha
expresión. De ahí resulta que
cosh(x) 2 - senh(x) 2 = 1
en lugar de la popular expresión fundamental de la
trigonometría sobre la circunferencia.
Las gráficas de dichas funciones se deducen
fácilmente a partir de las funciones exponenciales y son
En dichas gráficas puede observarse que la función y =
cosh(x) es una función par (simétrica respecto del eje
tagh(x)
de ordenadas), y que y = senh(x) es impar (simétrica
respeco del origen). Es importante observar que estas
funciones no son, como ocurre con las funciones
trigonométricas, periódicas.
Comparación entre las
gráficas de las funciones
exponenciales e x y e - x con
las gráficas de las funciones
hiperbólicas y = cosh(x) e y =
senh(x)
A partir de la definición, y con algo de cálculo, podemos obtener
senh(x + y) = senh(x)cosh(x) + cosh(x)senh(y)
cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y)
Haciendo y = x tendremos
senh(2x) = 2senh(x)cosh(y)
cosh(2x) = cosh 2(x) + senh 2(x)
De las expresiones
(1) 1 = cosh 2(x) - sen 2(x)
(2) cosh(2x) = cosh 2(x) + senh 2(x)
obtenemos, sumando
1 + cosh(x) = 2cosh 2(x)
y despejando cosh(x) resulta
a
igualdad lógicamente equivalente
Restando las expresiones (1) y (2) y despejando, resultará
Diofanto, la Aritmética y algunas Ecuaciones Diofánticas
Poco se conoce sobre la vida de Diofanto.
Las investigaciones más creibles lo situan hacia la
segunda mitad del siglo III, siendo contemporáneo
de Pappo.
Es clásico el epitafio en la Antología de Metrodoro.
El mismo, con las debidas reservas, nos lleva a
calcular una edad de 84 años.
De él ha llegado hasta nosotros Sobre los números
poligonales (o Numeris Multangulis), Porismas
(que se cree formaba parte de la Arithmetica), Sobre
los números fraccionarios y naturalmente la
Arithmetica
"Como sé, muy honorable Dionisio, que
quieres aprender a resolver problemas
numéricos, he emprendido la tarea de
exponer la naturaleza y el poder de los
números, empezando por las bases que
sustentan estas cuestiones.
Es posible que parezcan más difíciles de
lo que son por ser desconocidas aún y
que los principiantes duden de conseguir
alcanzarlas, pero las comprenderás
fácilmente gracias a tu actividad y a mis
demostraciones, pues que el deseo
unido a la enseñanza conduce
rápidamente al conocimiento [...]"
Diofanto continúa en el prefacio
presentando las normas
indispensables para leer la obra.
"Esta es la tumba que guarda las
cenizas de Diofanto.
Es verdaderamente maravillosa porque,
gracias a un artificio geométrico,
descubre toda su existencia. Dios le
permitió ser niño durante 1/6 de su vida;
luego de 1/2 sus mejillas se cubrieron de
barba; después de 1/7 se encendió la
llama del matrimonio, del que, a los
cinco años, tuvo un hijo; pero este niño,
desgraciado aunque amado
apasionadamente, murió apenas llegó a
la mitad de la vida alcanzada por su
padre, el cuál vivió cuatro años más
mitigando su dolor con investigaciones
sobre la ciencia de los números"
La Arithmetica fué un tratado de 13
libros del que sólo se conocen los seis primeros. Fué
encontrada en Venecia por Johann Müller
(Regiomontanus, matemático y astrónomo alemán)
hacia 1464 y la primera traducción latina pertenece
a Wilhelm Holzmann (1532-1576) Diophanti
Alexandrini Rerum libri sex, Basilea, 1575.
En 1621 aparece la edición de Bachet de Méziriac
con el siguiente título: Diophanti Alexandrini
Arithmeticorum libri sex; et de Numeris
multangulis liber unus. Nunc primun graece et
latini editi atque absolutissimis commentariis
illustrati, Paris 1621 (que contine además del texto
griego y la traducción latina aclaraciones y notas).
En el gráfico puede verse una edición realizada por
Fermat hijo (sobre la traducción de Bachet) que
incluye impresas las anotaciones de su padre.
La Arithmetica no es propiamente un texto de
álgebra sino una colección de problemas (150). No
se sabe cuantos de ellos son originales o tomados de
otros tratados de la época; Diofanto presenta en
todos ellos una solución única y no establece
distinción entre problemas determinados e
indeterminados. Tampoco existe ningún orden en
cuanto a la naturaleza de los problemas o los
métodos de resolución
Arithmetica Libro I Contiene 25 problemas de
primer grado y 14 de segundo.
Arithmetica Libro II Consta de 35 problemas. El
problema 8, sin duda el más famoso, dió lugar al
llamado "teorema de Fermat"
II. 8 Descomponer un cuadrado en dos
cuadrados
"Si queremos descomponer 16 en dos cuadrados y
Diofanto, Fermat y la Arithmetica
suponemos que el primero es 1 aritmo, el otro
han estado estrechamente
tendrá 16 unidades menos un cuadrado de aritmo, y,
relacionados a lo largo de la historia por tanto, 16 unidades menos un cuadrado de aritmo
de las matemáticas. Todo empezó
son un cuadrado.
cuando Fermat, en su ejemplar de la Formenos un cuadrado de un conjunto cualquiera de
Arithmetica, escribió al lado del
aritmos disminuido en tantas unidades como tiene la
problema 8 del Libro II:
raiz de 16 unidades, y sea el cuadrado de 2 aritmos
Cubum autem in duos cubos, aut
menos 4 unidades. Este ciadrado tendrá cuatro
quadratoquadratum in duos
cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16
quadratoquadratos, et generaliter
aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos un
nullam in infinitum ultra quadratum
potestatem in duos eiusdem nominis
cuadrado de aritmo y sumando a uno y otro lado los
fas est dividere cuius demostrationem téminos negativos y restando los semejantes, resulta
mirabilem sane detexi. Hanc marginis
que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos y,
exiguitas non caperet
por tanto, 1 airtmo vale 16/5; luego uno de los
números es 256/25 y otro 144/25, cuya suma es
Es decir, que la ecuación
400/25, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es
xn + yn = zn
no tiene soluciones enteras para n > un cuadrado"
2.
Diofanto resuelve la ecuación
En el caso n = 2 una solución es
(x, y, z) = (3, 4, 5) y ya se conocía
x 2 + x 2 = 16
desde la Grecia clásica.
haciendo y 2 = 16 - a 2 que identifica con una
En general pueden obtenerse estas
2
ternas, denominadas pitagóricas, a expresión de la forma (ka - 4) y haciendo k = 2
obtiene
partir de la expresión
y 2 = 16 - a 2 = (2a - 4) 2
x = 2n + 1
e identificando llega a a = 16/5 de donde x = 16/5 e
y = 2n 2 + 2n
2
y = 12/5
z = 2n + 2n + 1
para n = 1, 2, 3, ...
Arithmetica Libro III Consta de 21 problemas. El
En Euclides. Elementos X 28 Lema
más
famoso es el 19 en el que por primera vez
I aparece la expresión general de
acude a la geometría para solucionarlo.
estas ternas:
2
2
III. 19 Encontrar cuatro números tales que el
x=a -b
cuadrado de la suma de los cuatro, aumentado o
y = 2ab
2
2
disminuido en cada uno de ellos, forma un
z=a +b
cuadrado.
Sin embargo, la demostración de
Arithmetica Libro IV Casi todos los problemas de
esta proposición ha sido, hasta hace
este
libro (40) se refieren a números cúbicos. Como
poco, el problema más famoso, al
lo
griegos
no conocían las fórmula de la ecuación
menos más popular, de las
cúbica, la sagaz elección de los datos por parte de
matemáticas y a su resolución se
Diofanto hace que se llegue a una solución
haya unido el nombre de grandes
matemáticos.
Al mismo Fermat se le atribuye una
demostración para el caso n = 4 y a
Euler una para n = 3. Dirichlet
(1805-1859) y Legendre (17521833) también intevinieron y
probaron la proposición para n = 5
Y muchos otros como Sophie
Germain, Lamé, Kummer, Gerd
Faltings (que por sus aportaciones
recibió en 1986 una medalla Fields)
pero esta columna es demasiado
estrecha para contenerlos a todos.
Por fin, en 1995 el inglés Andrew
Wiles lo logró (después de algunos
sustos).
"No hay otro problema que pueda
justificar lo mismo para mí. Fue la
ilusión de mi infancia. Nada puede
reemplazar eso. Lo he resuelto.
Intentaré resolver otros problemas,
estoy seguro. Algunos serán muy
difíciles y tendré una sensación de
realización otra vez, pero no hay
ningún problema matemático que me
pueda cautivar como lo hizo Fermat
[...]"
aceptable. Y como muestra un botón
IV. 1 Descomponer un número dado en dos
cubos cuya suma de raíces sea dada
"Si el número es 370 y la suma de las raíces 10,
supongamos que la raíz del primer cubo es 1 aritmo
y 5 unidades, o sea: la mitad de la suma de las
raíces. Por tanto, la raíz del otro cubo será 5
unidades menos 1 aritmo; luego la suma de los
cubos valdrá 30 cuadrados de aritmo más 250
unidades que igualaremos a las 370 unidades del
número dado, de donde se deduce que 1 aritmo
tiene 2 unidades; la raíz del primer cubo tendrá
entonces 7 y la del segundo 3, y, por consiguientes,
los cubos serán 343 y 27"
Con la notación actual, Diofanto resuelve el sistema
formado por las ecuaciones
x 3 + y 3 = 370
x + y = 10
Para lo que supone que x = aritmo + 5 y que y = 5 aritmo . (en lo que sigue designaremos el aritmo por
a).
Sustituyendo estas expresiones en la primera
ecuación y desarrollando tendremos:
(a + 5) 3 + (5 - a) 3 = 30 a 2 + 250 = 370
y para a = 2 obtiene x = 7, y = 3.
Arithmetica Libro V La mayoría de los
problemas propuestos (28 de los 30 que tiene el
libro) son problemas de segundo y tercer grado. En
el último, el 30, Diofanto se aparta de su costumbre
y propone un problema de los que hoy
denominaríamos de "mezclas"
V. 30 Una persona se embarcó con sus sirvientes,
quienes le encargaron que les fuera útil. Mezcló
Puedes leer la historia sobre
garrafas de vino, unas de 8 dracmas y otras de 5,
este apasionante teorema en El
enigma de Fermat de Simon Singh y pagó por todo un número cuadrado que,
aumentado en el número de unidades que se te
(Planeta)
indicará, 60, hará que tengas otro cuadrado cuya
El 17 de julio de 2000, la
raíz es el número total de garrafas. Averigua
Vanguardia Digital publicó una
cuántas había de 8 y cuántas de 5 dracmas"
entrevista con Wiles a la que
puedes ir desde aquí
Arithmetica Libro VI . Dedicado a resolver
triángulos rectángulos de lados racionales; consta de
24 problemas.
En honor de Diofanto las ecuaciones con coeficientes enteros cuyas
soluciones son también enteras se denominan ecuaciones diofánticas. Las
más sencillas son las ecuaciones lineales con dos incógnitas de la forma Ax
± Bx = C
Ejemplo Hemos comprado libros de una oferta por 86 € el volumen y en
otra oferta libros a 76 € volumen pagando en total 1176 €. Deseamos saber
cuátos libros se han comprado de cada oferta
Si x es el número de libros del primer lote e y del segundo podemos
plantear la ecuación
68 x + 76 y = 1176
La condición necesaria para que este tipo de ecuaciones admita solución es
que C sea divisible por el m.c.d(A,B), en nuestro caso
m.c.d(68, 76) = m.c.d(68, 76) = 4
con lo que la ecuación inicial quedará de la forma 17 x + 19 y = 294 y los
coeficientes de x e y, 17 y 19, son primos entre sí.
Veremos a continuación que este tipo de ecuaciones de la forma ax ± by = c
admite siempre soluciones enteras. Por ejemplo, despejando ax y dando a y
los valores 0, 1, 2, ..., a - 1, resultan los a números
y
ax = c + by
0
c
1
c+b
2
c + 2b
...
... ...
k
c + kb
...
... ...
h
c + hb
...
... ...
a-1
c + b (a - 1)
En donde nos hemos ajustado al caso ax - by
= c.
Al dividir cada uno de los a números de la segunda columna por a, para
obtener x, obtendremos siempre restos distintos.
En efecto. Supongamos que para los valores k y h diesen el mismo resto.
Entonces los números c + kb y c + hb serín congruentes módulo a, es decir
Teniendo en cuenta el Teorema Fundamental de las Congruencias (La
condición necesaria y suficiente para que dos números sean congruentes
módulo m es que su diferencia sea un mútiplo de m) resultará que la
diferencia de los números c + kb y c + hb debe ser un múltiplo de a, es decir
y como a y b son primos entre sí debería ser la diferencia k - h
un múltiplo de a, pero eso no es posible pues h y k son distintos y menores
que a.
Apliquemos dicho razonamiento al problema y tendremos
y
17 x = 294 - 19y
x = (294 - 19y)/17
0
17x = 294
x = 294/17
1
17x = 294 - 19 = 275
x = 275/17
2
17x = 294 - 38 = 292
x = 291/17
3
17x = 294 - 57 = 237
x = 237/17
4
17x = 294 - 76 = 218
x = 218/17
...
... ...
... ...
Puede comprobarse que para los valores5, 6, 7, 8, 9 y 10 no
se obtiene solución entera, pero ...
11
17x = 294 - 209 = 85
x = 85/17 = 5
Luego se han comprado x = 5 libros de 68 € e y = 11 libros de 76.
Ya vemos la laboriosidad de este método, pero el gran Euler propuso el
práctico y elegante que ahora se expone.
Consideramos el coeficiente más pequeño de x e y, en nuestro caso 17, el
coeficiente de x. Despejamos x, efectuamos el cociente y asociando
tendremos:
y como x debe ser entera, para y = 11 resulta
- 11 - 1 = 5
y se obtiene x = 17
Medidas indirectas.
"...pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los
caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática"
Los triángulos MNP y ABP son semejantes:
sus lados homólogos son proporcionales y
sus ángulos iguales.
Corolario Dos triángulos rectángulos que
tengan un ángulo agudo igual son
semejantes.
Cálculo de la altura de una pirámide
Se cuenta que Thales de Mileto
(aprox. 611-545 a.C), uno de los
"siete sabios de Grecia", utilizando la
semejanza resolvió dos problemas:
 calculó la altura de una pirámide
en Egipto
 determinó la distancia de una
embarcación a la costa
Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la
Tierra, los triángulos rectángulos determinados por la altura
de la pirámide y su sombra y el determinado por la altura del
bastón y la suya son semejantes. Podemos, por tanto,
establecer la proporción
H/S = h/s
También se le atribuyen las primeras de donde
demostraciones geométricas
H = (h.S)/s
utilizando un lenguaje lógico. (Por
ejemplo, que todo ángulo inscrito en
Cálculo de la distancia de una embarcación a la costa
una circunferencia es recto,
que los ángulos opuestos por el
vétices son iguales,
Colocado un observador en P (frente a la embarcación) y
lanzando desde M una visual a B pueden determinarse los
triángulos rectángulos OPB y MOP'. Como los ángulos
etc.)
MOP' y POB son opuestos por el vétice son iguales y por
tanto los dos triángulos rectángulos son semejantes y
" ... fué primero a Egipto y desde allí podemos establecer la proporción siguiente:
introdujo este estudio en Grecia".
distancia (PB) es a la distancia (P'B) como
Proclo
distancia (OP) es a la distancia (OP')
"Es el primer hombre en la historia al y todas esas distancias, excepto la buscada, pueden medirse
que se le atribuyen descubrimientos directamente.
matemáticos concretos" Boyer
Con el lenguaje actual de las proporciones podemos escribir:
es decir:
Sello de la República Griega dedicado a "Thales
el Milesio"
ERATÓSTENES de Cirene (aprox. 276-194 a.C.). Director de la Biblioteca de
Alejandría y contemporáneo de Arquímedes y Apolonio. Fué el primer matemático de
la historia del que se tiene noticia que midió el radio de la Tierra.
Se basó en dos hipótesis muy atrevidas para su época:
 Los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra
 La Tierra es redonda. (Una observación peligrosa si tenemos en cuenta que siglos
después la verdad popular ponía en duda este hecho).
Estableció también la oblicuidad de la Eclíptica (en 23º 51' 20") y de casi todos es conocida su
famosa criba para calcular números primos.
Con la notación actual tendremos:
tag (x) = s/h
de donde: x = arc tag (s/h)
Un bastón de 2 metros arrojaría en
Alejandría a las 12 una sombra de s
= 2 . tag (7º 12') = 0,25 m
aproximadamente (es decir, unos 25
cm) y en Siena el Sol incidiría
ortogonalmente sobre el bastón y no
arrojaría sombra.
Determinando el radio de la Tierra
Cuenta la historia que Eratóstenes observó que cuando un
poste en Siena (actualmente Assuan) no proyectaba sombra,
en Alejandría el mismo poste proyectaba una sombra de
aproximadamente 7 grados y 12 segundos.
Eratóstenes midió la distancia entre Siena y Alejandría
(medidicón nada fácil para la época) y obtuvo que
aproximadamente era de unos 5000 estadios (una medida de
longitud griega). Pudo entonces establecer que si para un
ángulo de 7º12' (ver figura) la distancia era de 5000 estadios
para 360º, aproximadamente 50 veces más, debería ser de
5000 x 50 = 250000 estadios.
No conocemos, con las medidas actuales, cuál es la longitud
de un estadio. A través del historiador Plinio se ha podido
establecer que es de, aproximadamente, unos 157,5 metros,
por lo que
250000 (estadios) x 157,5 (m) =
= 39375000 (m) = 39375 (km)
Teniendo en cuenta que la circunferencia total de la Tierra
se estima actualmente en unos 40000 km, es de admirar el
resultado obtenido por Eratóstenes. Ese error se debe,
presumiblemente, a las técnicas primitivas de medición de la
época (Siena y Alejandría no están a 5000 estadios
exactamente) y la segunda a que ambas ciudades no se
encuentran sobre el mismo meridiano, pero a pesar de todo
...
ARISTARCO DE SAMOS (310-230 a.C.). Sólo se sabe, a ciencia cierta, que nació en Samos,
que fué el primer científico griego que planteó y resolvió problemas astronómicos con sentido
matemático, lo que hizo que tuviese la audacia de apartar los prejuicios de considerar a los astros
como dioses (o al menos con rango divino) y que fué director del Liceo (284-269). Podemos
situarlo cronológicamente entre Euclides y Arquímedes.
Comparando distancias
Relación entre las distancias de la Tierra, Sol y la Luna.
Aristarco observó que cuando la mitad de la Luna está
iluminada el triángulo SLT es recto. Estimó que el
ángulo LTS = x era de unos 87º (aunque obtuvo valores
comprendidos entre 86º 49' y 87º 8').
Teniendo esto en cuenta y con la notación actual de la
trigonometría resulta que
Una pequeña variación en la medida del
ángulo LTS lleva a grandes variaciones
Ángulo x
tang (x)
87º
19,08
87º 30'
22,90
88º
28,64
88º 30'
38,19
89º
57,29
89º 30'
114,59
89º 40'
171,89
89º 50'
343,77
siendo d(TL) y d(TS) las distancias de la Tierra a la
Luna y al Sol respectivamente. Como 1/cos (87º) es
aproximadamente igual a 19, resulta que
distancia (TS) = 19 distancia (TL)
Hoy sabemos que ese resultado no es cierto, pues dicha
relación es de aproximadamente unas 400 veces, d(SL) =
400 d(TL).
A pesar de lo ingenioso del método, los instrumentos de
medidas de la época jugaron a Aristarco esta mala
pasada.
Aristarco observó que desde la Tierra, la
Luna y el Sol se ven bajo un ángulo de
0,5°.
Como d(TS) = 19 d(TL) los diámetros DS
y DL, del sol y la Luna se encontrarán en
la misma porporción, es decir DS = 19 DL
Sus obervaciones astronómicas le hicieron elaborar el siguiente modelo al observar que el
diámetro de la Luna recorría dos veces la sombra terrestre durante un eclipse. En las figuras DT, DL
y DS son los diámetros del Sol, la Tierra y la Luna respectivamente y d(TS), d(TL) las distancias
entre el Sol y la Tierra y la Tierra y la Luna.
d es una variable auxiliar que desaparecerá en cálculos posteriores.
Como los triángulos VCC' y VAA' son semejantes
(1)
Análogamente, al ser VCC' y VBB' semejantes
(2)
Despejando d en (1) y teniendo en cuenta que DS = 19 DL resulta
Sustituyendo en (2) llegaremos a que
.
de donde DS = 6,67 DT
De esta forma obtuvo Aristarco, y pudo calcular, la relación de los diámetros del Sol y la Luna en
función del diámetro de la Tierra.
Veamos, por último, cómo obtuvo la distancia entre la Tierra, la Luna y el Sol.
Como podemos colocar 360 * 2 = 720 veces el diámetro de la Luna sobre la órbita que ésta describe
alrededor de la Tierra resulta:
2 pi d(TL) = 720 DL
de donde d(TL) = 40 DT y como d(TS) = 19 d(TL) resulta d(TS) = 760 DT
Hoy sabemos que estas medidas no son ciertas, pero el método elaborado por Aristarco ha sido, y
es, un ejemplo de cómo el hombre mediante la observación y el ingenio pudo llegar a obtener un
método de trabajo riguro, esto es un método científico. Aristarco puede ser considerado como uno
de los precursores de la teoría heliocétrica, pero sus modelos cayeron, frente a los de Aristóteles,
en el olvido y no serían reedescubiertos hasta mucho tiempo después.
Los trigonometría es una poderosa herramienta matemática que nos permite hacer infinidad de
medidas indirectas. Para ello sólo necesitaremos un metro y un aparato que nos permita medir
ángulos.
Desde aquí puedes ver una sencilla aplicación de cómo el príncipe Redondity salvó a la princesa
Floripondia.
Algunas medidas indirectas
Deseamos medir la distancia entre A y B siendo B
inaccesible.
 Fijamos una posición cualquiera N y medimos su
distancia a A. Sea d.
 Medimos los ángulos x e y (por lo tanto podemos
conocer z).
 Aplicamos el teorema del seno al triángulo obtenido
Deseamos medir la distancia entre A y B siendo
ambos inaccesibles.
 Fijamos los puntos M y N y medimos la distancia
entre ellos; sea d
 Desde M podemos medir el ángulo x y desde N el
ángulo y; de esta forma podemos conocer al ángulo A
 aplicando el teorema del seno al triángulo NMA
podemos conocer MA
 Desde N realizamos la misma operación, ahora para el
triángulo MNB, y medimos x' e y' (con lo que
conocemos el B) y aplicamos a dicho triángulo el
teorema del seno y calcular MB
 Para calcular la distancia entre A y B basta aplicar el
teorema del coseno al triángulo MAB
La sucesión de Fibonacci y la Bolsa.
Prof. Francisco Gallego Puche (un apasionado de la Bolsa).
En el mundo de la Inversión la faceta más atrayente es la toma de decisiones sobre
cuándo,
cómo
y
en
qué
invertir.
Una y otra vez se ha intentado encontrar un método que permita tomar la decisión de
invertir siempre correcta, pero hasta ahora nadie la ha encontrado. Hasta la fecha sólo se
conoce un método que se pueda acercar a este ideal. Esto es que, aunque no hace
predicciones exactas, si que ha incrementado significativamente el número de decisiones
correctas y ha disminuido el de erróneas, tanto en la elección de Mercados y Productos,
como en la selección del momento de realizar la inversión. Este método es el Análisis
Técnico.
El Análisis Técnico puede considerarse como la unión entre: Análisis Gráfico y
Análisis
Cuantitativo.
El Análisis Gráfico es el estudio de los gráficos de precios y la interpretación de las figuras
que en ellos se forman. Respecto al Análisis Cuantitativo engloba, el desarrollo,
interpretación y aplicacisn de modelos matemáticos y estadísticos (indicadores y
osciladores técnicos).
Uno de los indicadores más usados, y que generan mejores resultados en el Análisis
Técnico, son los medias móviles. Las medias móviles "suavizan" la curva de precios de los
valores mobiliarios amortiguando las bruscas variaciones que se producen por efecto de la
volatilidad, y ofrecen un perfil más adecuarlo para el seguimiento de la tendencia y para la
generacisn
de
señales
de
compra
y
venta.
Existen distintos tipos de medias móviles, según su utilización en la generación de señales,
y hay varios métodos de optimización que pueden aplicarse para adecuar las medias a los
distintos horizontes temporales.
En su concepción más simple la media de un conjunto de datos es el resultado de sumar
el conjunto de datos y dividir el resultado por el número de unidades que constituyen el
conjunto de datos. Si este cálculo se repitiera sucesivamente, descartando el primero de los
datos del conjunto y añadiendo un nuevo dato, se obtendría una sucesión de valores
medios que representados gráficamente constituirían una línea que se denominaría media
móvil. El término "móvil" deriva obviamente del hecho de que en cada cálculo se elimina el
primero de los datos del conjunto y se incorpora un nuevo dato.
Según la naturaleza del mercado que se analice, la finalidad que persiga el analista
técnico, y la proyección temporal que se contemple, puede que unas veces sea más
ventajoso utilizar medias largas (100-200 sesiones), en tanto que en otras pueda ser más
aconsejable la aplicación de medias cortas (5-25 sesiones) más sensibles a la variación de
los precios.
La experiencia ha demostrado con rotundidad que en la práctica las medias funcionan
mejor cuando los periodos de tiempo elegidos para el cálculo de las medias son números
de la Serie de Fibonacci, una serie numérica en la que cada término es la suma de los dos
anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...). Estos números de Fibonacci se ajustan bastante bien
a periodos y ciclos bursátiles.
Gráficos Matemáticos.
Mariposas Matemáticas
e s. paramétricas:
x = sen (5t) cos (t); y = sen (5t) sen (4t)
e s. paramétricas:
x = sen (5t) cos (t); y = sen (5t) cos (4t)
e s. paramétricas: x = sen (5t) cos (t); y = sen (5t) sen (6t)
e s. paramétricas: x = sen (5t) cos (t); y = sen (5t) sen (8t)
Pétalos
r = sen (3x)
r = 2sen (2x)
r = 2sen (5x/3)
r = k sen (tx); t > 0
Si t es impar hay t pétalos
Si t es par hay 2t pétalos
Si t = a/b es racional y a y b son
impares hay a pétalos; en caso
contrario 2a
Si t es irracional existe un
número infinito de pétalos que se
van recubriendo
r = 2sen (4x/3)
r = 2sen (sqrt(20)x)
Sobre la longitud de la circunferencia y el área del cículo.
Una de las formas más difundidas de la Naturaleza es
la circular. Casi todas las formas tienden a hacerse
más o menos "redondeadas". Cuando en matemáticas
un conjunto de puntos tiene una propiedad común
dicho conjunto se denomina lugar geométrico.
El lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de otro, que se denomina centro, es una
circunferencia.
El segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia es el radio
de la circunferencia.
La porción de plano limitada por una circunferencia (incluída la misma) se denomina
círculo y el centro de la circunferencia es el centro del círculo.
Si dividimos la longitud entre el diámetro de
la rueda obtenemos un valor que es
independiente del tamaño de la rueda. Es
decir, cualquier rueda, del tamaño que sea, al
dar una vuelta completa recorre un camino
de una determinada longitud. Si dividimos
Una rueda, al dar una vuelta completa,
describe una trayectoria cuya longitud es el dicha longitud entre el diámetro de la rueda
perímetro de la circunferencia de la rueda. siempre obtenemos el mismo valor.
Este hecho era conocido por los babilonios y
ya se encuentran noticias sobre el mismo en
los papiros egipcios que se conservan en el
Museo Británico. Esta relación entre la
longitud de la circunferencia y su diámetro
es, posiblemente, la más popular de todas las
constantes matemáticas: el número .
Dicho número, irracional, ha ocupado a
generaciones de matemáticos y su atractivo
perdura en nuestros dias.
Uno de los primeros trabajos fiables que se
realizaron fué debido a Arquímedes
Comenzó inscribiendo y circunscribiendo en una circunferencia un hexágono, a
continuación un dodecágono y así, doblando sucesivamente el número de lados, cuentan las
crónicas que llegó hasta un poliígono de 96 lados.
Si designamos por I6, I12, ... I96, los perímetros de los polígonos regulares inscritos y por C6,
C12,... C96 los de los polígonos regulares circunscrtos, Arquímedes llegó a la conclusión de
que
es decir, los perÍmetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos de doble número
de lados vienen dados por las medias armónica y geométrica.
Veamos cómo llegó
Arquímedes a este
resultado.
Consideró el hexágono
inscrito y circunscrito a la
circunferencia. Resulta:
I6 = 6 AB = 12 AH
C6 = 6 CD = 12 CG
En el triángulo COG, al ser
OE la bisectriz de dicho
ángulo, resulta
(pues la biscetriz interior de
cualquier ángulo de un
triángulo determina sobre el
lado opuesto segmentos
proporcionales a los lados
de dicho águlo; la última
igualdad resulta de OG =
OA = r)
Como los triángulos COG y AOH son semejantes
y multiplicando y dividiendo por 12
Por tanto, resulta:
Sumando 1 a ambos miembros de dicha proporción y operando
(pues EC + EG =CG)
A continuación Arquímedes determina el lado del
hexágono circunscrito para así obtener el perímetro C6
En OA'B' aplicando el teorema de Pitágoras resulta:
Como los triángulos OAB y OA'B' son semejantes
de donde
A partir de dichas expresiones, tomando
como valor de r = 0,5 (tomaremos
aproximación hasta las milésimas)
tendremos:
I6 = 6 r = 3 C6 = 12 x = 3,464
Aquí, en la Gacetilla, mediante un
programa, hemos obtenido las siguientes
aproximaciones para
Lados In
Cn
192
3, 141 4
3, 141 8
I12 = 3, 105 C12 = 3, 215
384
3, 141 55
3, 141 66
I24 = 3, 132 C24 = 3, 159
768
3, 141 58
3, 141 61
I48 = 3, 139 C48 = 3, 146
1536
3, 14159 0
3, 14159 7
I96 = 3, 141 C96 = 3, 142
3072
3, 14159 2
3, 14159 3
6144
3, 141592 5
3, 141592 9
12288 3, 141592 6
3, 141592 7
24576 3, 1415926 4
3, 1415926 7
49152 3, 14159265 1 3, 14159265 7
98304 3, 14159265 3 3, 14159265 4
196608 3, 141592653 4 3, 141592653 8
393216 3, 141592653 5 3, 141592653 6
Sobre el área del círculo.
Podemos considerar el círculo como un polígono regular de infinitos lados en el que la
apotema se va convirtiendo en el radio. Esta consideración hace que podamos justificar
fácilmente el área de un círculo de radio R a partir de la expresión que nos proporciona el
área de un polígono regular, sin más que sustituir el perímetro por la longitud de la
circunferencia.
Como el área de un polígono regular viene expresado por el producto del semiperímetro por
la apotema y el semiperímetro de la circunferencia (la mitad de su longitud) es R
Área del Cículo = R . R = R 2
El cálculo integral es una poderosa herramienta matemática que permite formalizar
estos resultados.
El área de la superficie
limitada por la función
continua y = f(x) , las rectas
x = a, x = b y el eje de
abscisas viene dada por la La expresión analítica de la circunferencia de centro (0,0) y
radio R es
integral
x2 + y2 = R2
Vamos a calcular el área que limita dicha circunferencia y los
ejes coordenados positivos.
La misma viene dada por
Efectuando el cambio de variable x = R sen (t) resulta
La longitud de un arco de
curva dado por la función
continua y = f(x) (y con
Por lo tanto, el áre del círculo limitado por una circunferencia
derivada continua) entre las
rectas x = a y x = b viene
dado por la integral
de radio R es
Área = 4 A 1 =
R2
La longitud del arco que la circunferencia dada intercepta
en el primer cuadrante viene dada por
Por lo tanto, la longitud de la circunferencia de radio R es
4.L= 2 R
Y eso es todo, por ahora.
Quedan varias cosas en el tintero, pero para comenzar no está mal, ¡eh! :-)
Copo de Nieve.
En 1904 el matemático sueco Niels F. Helge von
Koch (1870-1924) construye la curva que lleva su
nombre.
Parte de un segmento unidad [0,1], poligonal P0, que
divide en tres partes sustituyendo la parte central por
los dos segmentos que, junto con dicha parte
(anulada), formaría un triángulo equilátero. Se
obtiene así la poligonal P1.
A continuación se repite el proceso con cada una de
las partes resultantes y se obtiene la poligonal P2.
Este proceso se repite indefinidamente obteniéndose
en cada etapa k una poligonal de longitud (4/3)k.
La curva de Koch se define como la curva límite de
la poligonal Pk cuando k tiende a infinito.
Si el iniciador del proceso es un triángulo equilátero
y se utiliza como generador la curva de Koch, se
obtiene la Isla de Koch o Copo de Nieve cuando n
crece indefinidamente.
Cuando n tiende a infinito, el perímetro de dicha curva es infinito y sin embargo el área limitado
por dicho perímetro son las 8/5 partes del área inicial.
Como un lado de copo de nieve está constituido por cuatro trozos y cada uno de ellos tiene la
tercera parte de la longitud total, su dimensión fractal es
log(4) / log(3) = 1,261 ...
Copo de Nieve n.2

No Copo de Nieve n.2
Puedes ver más sobre Copo de Nieve en el problema (#082)
COPO DE NIEVE
Esto es un fractal y se le conoce como "copo de nieve"
generarlo es fácil (lo difícil es dibujarlo).
1 Se inicia con un triángulo equilátero original de lado L
2 Cada lado se segmenta en tres partes iguales.
3 Tomando como base el segmento medio de cada lado; se
traza sobre el triángulo equilátero. En este caso, la nueva
longitud de lado será 1/3 del lado original. Esta operación se
repite para los otros dos lados del triángulo original.
4 Se borran los segmentos de enmedio y se tiene una nueva
figura con puntas triangulares. (6 puntas)
5 A cada una de la puntas triángulares generadas se les
aplican los pasos 2, 3 y 4. El fractal se genera repitiendo
estos pasos sucesiva e indefinidamente a las puntas
generadas.
Se pide determinar el área de dicho fractal.
Solución
Si partimos de un triángulo equilátero de área A, en la primera iteración obtenemos 3 triangulos de
area A/9 cada uno; en la segunda iteración obtenemos 12 triángulos de área A/92 cada uno; en la
tercera iteración obtenemos 48 triángulos de área A/93; en la cuarta iteración obtenemos 192
triángulos de área A/94, etc.
Asi pues si sumamos todas las áreas parciales (número de triángulos por área de cada uno),
tendremos la siguiente progresión:
3.A/9, 3.4.A/92, 3.42.A/93,... 3.4(N-1).A/9N
cuyo primer termino es a1= 3A/9 y cuya razón es r = 4/9.
Si tenemos en cuenta la suma de los términos de una progresiónn geométrica ilimitada y decreciente
es
entonces dicha suma es (3A/9) : (5/9) = 3A/5.
Si a esto le añadimos el área del tiángulo inicial obtenemos
3A/5 + A = 8A/5
que es el área del "copo de nieve" que perseguíamos, en función del área del triángulo de partida A.
Dado que el área de un triángulo equilátero en función del lado es
"copo de nieve" en función del lado es

entonces el área del
Ir a página de Copo de Nieve
Problema 1: Una palabra mágica de oscuro y antiguo
origen es
ABRACADABRA
la cuál escrita en amuletos permitía al portador, según
los creyentes, prevenir enfermedades. La forma en que
ella se escribía en estos casos era la indicada en la
figura.
¿De cuántas maneras se puede leer la palabra completa
empezando desde la A de arriba y continuando hacia
abajo, pasando siempre de una letra hacia otra?.
Solución de JPinto
Me he sentido atraido por el proyecto MECE y he copiado sus problemas.
Creo que el primero tiene una respuesta muy sencilla:
Puesto que desde cada letra hay dos caminos a elegir y hay 10 pisos bajo la primera A,
habrá 2 10 posibles lecturas de ABRACADABRA.
¿Es correcto?
Respuesta de MECE97
Es correcta, la cantidad de posibles caminos coincide y se relacionan con el triangulo de
Pascal:
Si se suman los coeficientes que corresponden a la undécima fila se obtiene la solución del
problema. 1024 caminos distintos, o sea dos elevado a 10.
En votación de grupo, hemos considerado que si bien la respuesta es correcta, la
consideramos inconclusa, por carecer de los fundamentos que antes esbozamos. Saludos
desde Chiloé.
Problema 2 Demostrar que todas las soluciones Z+ (enteras positivas) de
x2 - y2 = a3
son de la forma:
x = n (2n + 1)
y = n (2n - 1)
Solución de JPinto
La ecuación puede escribirse:
(x + y)(x - y) = a * a 2
y si x e y son naturales,
x+y>x-y
y por tanto se pueden escribir las ecuaciones:
x + y = a2
x-y=a
que nos dan como solución x = (a + 1) (a/2) e y = (a - 1) a/2. Finalmente, llamando n a a/2
salen las formas dadas.
Información adicional de Ignacio Larrosa Casñtro
Pero a 3 se puede escribir de dos formas como producto de enteros positivos:


a 3 = a 7 a 2, que da lugar a la solución del enunciado y correctamente desarrollada
por JPinto.
a 3 = 1 7 a 3, admito que pueda parecer sorprendente, pero debe considerarse.
Entonces: (x + y)(x - y) = 17a 3, puede ser x - y = 1, x + y = a 3.
Reemplazando en la segunda y = x - 1, tenemos
2x - 1 = a 3 ==> x = (a 3 + 1)/2, y = (a 3 - 1)/2.
Aquí a debe ser impar, a diferencia de la otra forma en que debía ser par, y mayor
que 1 si queremos descartar la solución trivial 1 2 - 0 3 = 1 3.. Entonces la solución
mínima es para a = 3
x = (3 3+1)/2 = 14
y = (3 3-1)/2 = 13
14 2 - 13 2 = 3 3
(... y más precisiones)
Respecto al problema, se me olvidó otra precisión: Las soluciones expuestas por
JPinto y en mi anterior mensaje son _todas_ únicamente si a es primo. Si no lo es,
caben más factorizaciones y crece el número de soluciones.
Por ejemplo, si a = 6, tenemos todas estas posibilidades:
o
o
o
o
o
o
o
o
1 7 216
2 7 108
3 7 72
4 7 54
6 7 36 ===> (la propuesta en el enunciado)
8 7 27
9 7 24
127 18
Como uno de los factores es (x - y) y otro (x + y) ambos deben tener la misma
paridad. De las descomposiciones anteriores deben descartarse aquellas en que los
factores tengan distinta paridad, pero aún quedan tres además de la única
considerada implícitamente en el enunciado del problema.
Saludos.
Bueno, pues ahí queda eso.
Problema 4 La hormiga escaladora
¿ Cuánta distancia recorre una hormiga
que sube por un cilindro vertial de radio 5
cm. y altura 12 cm. sabiendo que su
recorrido forma una hélice y que en cada
vuelta completa asciende 4 cm. de altura ?
Solución
Dividamos el cilindro en 3 cilindros de igual base
pero de altura 4 cm cada uno.
Cada uno de estos cilindros lo desrrollamos de forma
que obtenemos una superficie rectangular con altura
4 cm y base el perímetro del cilindro inicial.
El perímetro del cilindro inicial es 2 x pi x radio.
Como el radio es 5 cm, el perímetro es 31'415927
cm, que es a su vez la longitud de la base del
rectángulo .
El recorrido en forma de hélice, al realizar este
proceso de partición, es la distancia entre ángulos
opuestos de cada uno de los rectángulos obtenidos.
Es decir que el camino de la base hasta la cima del
cilindro inicial es tres veces esta diagonal (ya que
hemos dividido el cilindro inicial en tres).
La diagonal es, según el teorema de Pitágoras, la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de la base y de
la altura del rectangulo.
Es decir, Diagonal = 31'669551 cm .
Como tenemos tres rectángulos iguales, la distancia
total es 3 x 31'669551 cm = 95'008653 cm
Problema 5 La circunferencia arqueada
Una circunferencia de radio 1 cm. se divide en cuatro arcos iguales para formar la figura que
se indica. ¿Cuánto vale el área de la figura?. Justificación
Solución [...] el problema es el de la circunferencia arqueada. Ahí va:
Está claro de que el área que queremos calcular es la del cuadrado inscrito en la
circunferencia de radio 1 cm, por lo tanto, sabemos que el diámetro de la circunferencia es 2
cm. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos el valor del lado que es sqrt(2).
Sea D la diagonal del cuadrado (que es el diámetro de la circunferencia) y L el lado.
Como D 2 = 2 L 2, resulta que el área es
A = L2 = D2 / 2
Como el diámetro es 2 cm, el área es 2 cm cuadrados.
Otra forma
Calculamos el área del segmento circular AQBA,
que es el área del sector circular CAQBC menos el
área del triángulo ACBA
Área triángulo: A T = 1/2 CA. CB. sen (90) = 1/2 u 2
Área sector:
A S = 1/4 (área del cículo de radio 1) = (pi) /4
De donde el área del segmento circular buscado es
A SC = A S - A T = (pi)/4 - 1/2
El área buscada es, por tanto,
A círculo - 4 A SC = 2 u 2
Problema 6
Divisibilidad Demostrar que n 7 - n es divisible por 42.
Solución Veamos si es divisible por 2


Supongamos que n es par. Un número par elevado a cualquier número, es un número
par. Si a un número par le restamos otro número par, obtenemos un número par.
Supongamos que n es impar. Un número impar elevado a cualquier número, es un
número impar. Si a un número impar le restamos otro número impar, obtenemos un
número par. Por lo tanto, n 7 - n es par y por tanto divisible por 2.
Veamos si es divisible por 3
n 7 - n = n (n 6 - 1) = n (n 3 - 1) (n 3 + 1)
Se debe cumplir que o bien n 3 - 1 ó bien n 3 + 1 ó bien n 3 sean divisibles por 3.
Si n 3 - 1 ó n 3 + 1 es divisible por 3, queda demostrado que n 7 - n es divisible por 3.
Supongamos que la condición anterior no es cierta; entonces n 3 es divisible por 3.
Por lo tanto n 3 Mod 3 = 0. Esto implica que n Mod 3 = 0 , y concluimos que en este
caso n es divisible por 3.
Cometario de la Gacetilla: si n es divisible por 3 estaría demostrado la divisibilidad;
si no lo es, entonces n 3 tampoco lo será, pero lo sería n 3 + 1 ó n 3 - 1, ya que los
múltiplos de 3 "van de tres en tres")
Divisibilidad por 7
Según el teorema de Fermat:"Sean s y a dos números enteros cuyo máximo común
divisor es 1; entonces si s es un número primo, se cumple que a s - 1 Mod s = 1 para
todo entero a".
Supongamos que m.c.d (n,7) = 1, entonces, como 7 es primo, se cumple n 6 Mod 7 =
1. Por lo que (n 6 - 1) Mod 7 = 0.
Como n 7 - n = n (n 6 - 1), entonces n 7 - n es divisible por 7 al serlo n 6 - 1.
Supongamos por el contrario que m.c.d(n,7)<>1, entonces quiere decir que n es
divisible por 7, y como n 7 - n = n (n 6 - 1), entonces n 7 - n es divisible por 7.
Como hemos demostrado que n 7 - n es divisible por 2, 3 y 7, entonces lo es por su
producto.
Y concluimos que n 7 - n es divisible por 2 x 3 x 7 = 42.
Espero haber dado con la solucisn correcta. Un saludo. Jacinto Ruiz.
Otra demostración de la divisibilidad por 7
Por inducción:
Es divibible para n = 1, n = 2, etc.
Lo suponemos cierto para n (Hipótesis de inducción)
Lo demostramos para n + 1; hemos de probar que (n + 1) 7 - (n + 1) es múltiplo de 7.
En efecto, desarrollando dicha expresión y asociando debidamente resulta:
(n + 1) 7 - (n + 1) =
= n 7 + 7 n 6 + 21 n 5 + 35 n 4 + 35 n 3 + 21 n 2 + 7 n + 1 - n - 1 =
= (n 7 - n) + 7 (n 6 + 3 n 5 + 5 n 4 + 5 n 3 + 3 n 2 + 7 n)
que es múltiplo de 7 por serlo ambos sumandos (El primero por la hipótesis de inducción).
Problema 7 El príncipe Redondity
El príncipe Redondity, debía salvar a la pricesa Floripondia, encerrada por el ogro
Patiperro en una alta Torre construida sobre un cerro inaccesible. Para realizar esta
empresa debía construir un puente y una escalera. ¡Enorme empresa! ... pero el amor todo lo
puede. Había un bosque cerca y, además, en las alforjas de su caballo Tranquilidad traía
herramientas de carpintero e instrumentos de medir. Su problema era cómo calcular la altura
de la torre y el ancho del acantilado para construir el puente y la escalera necesaria para
salvar a su princesa.
Solución
Sabemos que el prícipe dispone de
herramientas y aparatos de medida.
Por lo tanto, debe disponer de algo
para medir distancias y algo para
medir ángulos (por ejemplo un
teodolito).
Nos ponemos a X metros del acantilado. Con el teodolito medimos el ángulo que forma la
cima de la torre con la base y con nosotros mismos, llamémosle b. Luego nos situamos en el
filo del acantilado y medimos otra vez el ángulo, llamémosle a.
Por lo tanto, conocemos a, b y la distancia X.
Llamemos L a la altura de la torre y llamemos P a la anchura del
Planteamos las siguientes ecuaciones:
tangente (b) = L / ( P + X )
tangente (a) = L / P
de ahí obtenemos los valores de
P = (X x tangente (b)) / (tangente (a) - tangente (b))
y después el de
L = (X x tangente (b) x tangente (a)) / (tangente (a) - tangente (b))
Y ya hemos encontrado la solución. Bueno, espero que sea correcta. Un saludo. Jacinto
Ruiz.
Añadido de la G.M.
La solución es correctísima, pero... ya sabemos que en un descuido del príncipe, su caballo
Tranquilidad había roto el teodolito. A pesar de ello, el joven príncipe no se arredró y como
era un lector de los clásicos (Euclides, Arquímedes,...), desempolvó un antiguo libro en el
que leyó: "[...]la distancia entre la primera y la segunda posición del agua dividida por la
diferencia entre las distancias del hombre al agua, cuando se multiplica por la altura de los
ojos es la altura, y cuando se multiplica por la distancia entre el agua y el hombre, es la
distancia entre el agua y la casa."
En el cercano bosque Redondity llenó un recipiente de agua del cristalino arroyo.
Colocó el recipiente al borde del foso y se desplazó hacia atrás hasta que vió reflejada en la
superficie del agua la parte superior del castillo. Resultaba entonces que los triángulos PBA
y PMR eran semejantes. Midió la distancia PM = d1 y su altura r y estableció la proporción
Seguidamente desplazó el recipiente una distancia D, procedió de la misma forma que lo
había hecho anteriormente hasta que vió reflejado el extremo de la fortaleza en el recipiente.
Midió la distancia QM' = d2, dedujo que los triángulos QBA y QM'R' eran semejantes y
estableció la proporción:
A partir, de ahora, Redondity, experto astrólogo y matemático, comenzó a hacer sus
cálculos. Y obtuvo:
y de ahí:
De esta forma pudo conocer la distancia del foso y la altura del castillo, cosntruir una
pasarela y una escalera y rescatar a su amada Floripondia.
Redondity y Floripondia se casaron, fueron felices y comieron perdices. Y colorín colorado,
este cuento se ha acabado.
Moraleja: el amor y la lectura de los clásicos todo lo pueden.
Problema 8 Matemáticos Selenitas
Los habitantes de la Luna utilizan una medida de longitud llamada lunario (Los Primeros
Exploradores de la Luna. H.G.Wells), la cuál fue adoptada pues el área de la superficie lunar,
medida en lunarios cuadrados, coindice con el volumen de la Luna, medido en lunarios
cúbicos. El diámetro de la luna es de 3475 km. ¿Cuánto mide un lunario en kilómetros?.
Solución
Área de la superficie esférica (Luna) = 4.pi.R 2
Volumen de la esfera (Luna) = ( 4.pi.R 3 ) / 3
Igualando ambos tenemos: R 3 - 3 R 2 = 0
Resolviendo obtenemos R = 0 (absurdo) y R = 3 lunarios.
Por otra parte sabemos que el diámetro de la Luna es 3475 km, por lo que 2 R = 3475 km.
Por lo que si R = 3 lunarios y R = 1735,5 km. entonces
1 lunario = 1735,5 km / 3 = 579,1666... km.
Problema 9 El viaje de Bilbo Bolson
Se necesitan nueve días para cruzar el Bosque Negro. El Hobbit Bilbo Bolson tiene que
llevar un mensaje hasta la Desolación de Smaug, el dragón, en el otro extremo del Bosque
Negro, donde no puede encontrar comida, y regresar.
El enano Thorin, escudo de Roble, decide acompañarlo. Cada uno sólo puede llevar
comida para doce días. La comida se puede enterrar y recoger en el camino de regreso.
¿ Cómo se puede entregar el mensaje y regresar, de modo que el Hobbit y el Enano no dejen
de comer cada día?.
Solución
Posible solución al problema del Sr. Bilbo Bolson.
Tienen que hacer un viaje de 18 días, 9 de ida y 9 de vuelta. Como sólo pueden llevar
encima comida para 12 días la solución será la siguiente.
Cada uno sale con las 12 raciones de comida. Durante los tres primeros dís cada uno
consume una ración de comida. Al final del tercer dís Thorin da tres de sus raciones a Bilbo
(con lo que tiene de nuevo 12 raciones), otras tres raciones las esconde para la vuelta de
Bilbo, y las tres reciones restantes se las lleva él mismo para su casa.
Cuarto día:
Thorin regresa hacia la casa con tres raciones de comida y tres jornadas de viaje.
Bilbo continúa la marcha con 12 raciones de comida. Cada dís va consumiendo una ración
de comida. Una vez que ha llegado al final da el mensaje al dragón y ... comienza el regreso.
Continúa consumiendo las raciones que porta y cuando se le acaban (quedan tres días de
viaje) dispone de las tres raciones que permanecían escondidas, por lo cual ha podido
realizar el viaje.
Día 1 Día 2 Día 3 Día 4 Día 5 Día 6 Día 7 Día 8 Día 9
B
B
B
T
T
T
B
B
B
Ida Bilbo
T
T
T
B
B
B
B
B
B Vuelta Bolson
T
T
T
T
T
T
T ración perteneciente a Thorín
B ración perteneciente a Bilbo
Ida
Thorín
Vuelta
Problema 10 Hexaedro Celestial
Un cubo de 4 cm de arista está pintado de toda su superficie exterior de color azul.
Realizando tres cortes horizontales y verticales se obtienen 64 cubitos de 1 cm. de lado.
Determinar el número de cubitos que tienen respectivamente 3, 2, 1 y ninguna cara azul.
Posible solución al Hexaedro Celestial:
3 Caras: 8 Cubos, (los que se encuentran en los vértices de los cubos).
2 Caras: 2 por cada arista ( Hay 12 aristas ) son 24 Cubos
1 Cara: 4 por cada lado del cubo, los cuatro centrales (Hay 6 lados) son 24 Cubos
0 Caras: Los cubos del centro 64 - ( 24 + 24 + 8) son 8 Cubos
Problema 11 Problema y medio
Se considera el siguiente conjunto ordenado de números:
1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, ... 1/1992
Determinar el número de veces, y en qué posiciones se genera el número 1/2 (un medio).
solución
Mi definición de serie para este problema es:
Conjunto de números tal que ... [ n/1, .... , 1/n ]
La fracción (sin simplificar) 1/2 sólo aparece una vez; en la segunda serie y en la tercera
posicisn absoluta.
El número 1/2 = 0,5 aparece en 664 ocasiones.
Aparece la primera vez en la serie 2 y de ahí en adelante, aparece cada 3 series más, es
decir: 5,8,11,... (como se puede ver en la tabla adjunta).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
1/1
2/1, 1/2 (segunda serie, 2* posición)
3/1, 2/2, 1/3
4/1, 3/2, 2/3, 1/4
5/1, 4/2, 3/3, 2/4, 1/5 (quinta serie, 4* posición)
6/1, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/5
. . . . . . . . . . . . . . .
El número de elementos que forman el conjunto es
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 1991 + 1992 = 1.985.028
Las posiciones donde aparecen las ocurrencias son:
X0 = 3
Xi = 2 + 9 * i + Xi - 1
para i = 1, 2, ..., 663 por considerar la primera ocurrencia como X0
Problema 12 Parejas perfectamente cuadradas
Magaly invitó a nueve niños y nueve niñas para su fiesta de cumpleaños. Su mamá preparó
poleras con los números de los invitados del 1 al 18 y se los repartió a todos los
participantes de la fiesta. Durante un baile, la mamá observó que la suma de los números de
cada pareja eran un cuadrado perfecto. ¿Cómo estaban conformadas las nueve parejas?
Solución
La verdad no sé si he entendido muy bien el enunciado, pero ahí os envío una posible
solución si el enunciado lo he interpretado bien.
En la fiesta había 9 chicos y 9 chicas. Un total de 18 personas con "poleras".
El cuadrado perfecto de los primeros números son los siguientes 1, 4, 9, 16, 25, 36,...
Como la suma de los números de cada "polera" tiene que ser un cuadrado perfecto, el
número mayor que se puede obtener de la suma de dos de estos números es: 17 + 18 = 35.
Por lo cual de los posibles cuadrados perfectos que se pueden formar eliminamos el 36 y
mayores a éste por no poderse dar. E igualmente eliminamos el 1 por no ser posible en este
caso.
Con lo cual nos queda los posibles cuadrados perfectos que son válidos para nuestro
problema: 4, 9, 16 y 25.
Comenzamos a formar las parejas:
Las primeras personas tendrán que ser las que tienen números superiores o iguales a 16 ya
que a estas la única posibilidad que hay es que sumen con otra persona el número 25. Por lo
cual las primeras parejas serán
(7,18), (8,17), (9,16)
Las siguientes parejas tendrán que ser (aplicando la misma lógica anterior) en las que esté
una persona que tenga un número mayor o igual 9 ya que a estas la única posibilidad que
hay es que sumen con otra persona el número 16. Estas parejas serán:
(15,1), (14,2), (13,3), (12,4), (11,5) y (10,6)
Con lo que tenemos todas las parejas formadas y sumando todas ellas cuadrados perfectos.
Resumiendo, las parejas son:
(18,7), (17,8), (16,9), (15,1), (14,2), (13,3), (12,4), (11,5), (10,6)
Un saludo y espero haber entendido bien el enunciado del problema. Zubi.
Problema 13 La cuenta ilegible
En una cuenta ya algo borrosa por los años transcurridos se puede leer lo siguiente:
«Por la compra de 72 vacunos se pagó ...670... pesos». Si los puntos indican que la
primera y última cifra del valor pagado son ilegibles, y si cada vacuno tenía el mismo valor
en pesos, ¿cuánto se pagó por cada vacuno y cuánto se pagó en total?
Solución
Suponemos: a670b
Descomponemos 72: 72 = 9 * 8
Para que un número sea divisible por 8, la suma de la última cifra, el doble de las decenas y
el cuádruple de las centenas tienen que ser igual a un múltiplo de ocho; luego:
b + 28 = 8 n con b < 10; es más, tiene que ser 0, 2, 4, 6, 8.
n tiene que ser 4, puesto que es el único número que hace que b cumpla las condiciones.
Resolvemos la ecuación: b + 28 = 32 con lo que b = 4
Para que el número sea divisible por 9, la suma de sus cifras ha de resultar un múltiplo de 9.
La ecuación será:
a + 6 + 7 + 0 + 4 = 9 n ; a = 9 n - 17 a < 10
Para que a sea menor que diez, n tiene que ser igual a 2, luego:
a = 18 - 17 ; a = 1
Solución:
El precio total es 16704 pesos.
Cada vacuno costó 16704 : 72 = 232 pesos.
Al publicar el problema cometimos el error de escribir "...670..." en lugar de "...679..."
que aparece en el original, sin embargo se obtiene una solucióexacta. ¿Por qué?
La solución con la expresión original, "..679.." es que el número buscado es 36792 y por
cada vacuno se pagaron 511 pesos.
Problema 14 El plano y las circunferencias
Una circunferencia divide al plano en dos regiones. Dos circunferencias pueden dividir al
plano en cuatro regiones. Tres circunferencias pueden dividir al plano en ocho regiones
como máximo. ¿Y seis circunferencias?, ¿y diez circunferencias?, ¿y n circunferencias?.
Solución
El problema tiene truco, puesto que con 2 n se cumplen los tres primeros casos, pero a partir
de ahí hay que buscar otra fórmula que se refiere al espacio de n dimensiones. Dibujando
me encuentro:
n = 1 => Regiones = 2 = 1 * 0 + 2
n = 2 => Regiones = 4 = 2 * 1 + 2
n = 3 => Regiones = 8 = 3 * 2 + 2
n = 4 => Regiones = 14 = 4 * 3 + 2
n = 5 => Regiones = 22 = 5 * 4 + 2
..................
n = 7 => Regiones = 44 = 7 * 6 + 2
Parece que la ley es Circunferencias = n => R = n * (n - 1) + 2 y no 2 n. Es curioso que los
tres primeros términos coincida. Gracias a la inestimable ayuda de Francisco J. Sánchez.
Comentario adicional de la G.M.
Consideremos la sucesión 2, 4, 8, 14, ...y establezcamos las diferencias sucesivas:
ai
Di1
Di2
Di3
2
2
2
0
4
4
2
0
8
6
2
14
8
En donde a i son los términos de la sucesión, D i 1 las diferencias de primer orden, es decir
D 11 = a 2 - a 1 = 4 - 2 = 2
D 21 = a 3 - a 2 = 8 - 4 = 4
...................
D i2 son las diferencias de segundo orden, construídas a partir de las de primer orden de
forma análoga a la anterior
D 12 = D 21 - D 11 = 4 - 2 = 2
D 22 = D 31 - D 21 = 6 - 4 = 2
...................
Análogamente llegamos a que todas las diferencias de tercer orden D i3 son nulas y todas las
siguientes.
Puede demostrarse, aunque no lo haremos, que cualquier elemento de la primera columna,
es decir de los términos de la sucesión, pueden expresarse en función de los de la primera
fila, es decir, del primer témino de la sucesión y de las diferencias de primero, segundo,...
orden.
Dicha expresión es, para nuestro caso:
para a1 = D 11 = D 12 = 2, resulta:
a n = 2 + 2 (n - 1) + (n - 1)(n - 2) = n 2 - n + 2.
El área de un triángulo.
Los tres triángulos MNA, MNA´ y
MNA´´ tienen la misma área
Desde siempre sabemos que el área de un
triángulo es igual a la mitad del producto de un
lado cualquiera por la altura relativa a dicho
lado.
Vamos a justificar, en lo que es posible en una
página web, otras expresiones para obtener el
área de un triángulo; para lo cual sólo
tendremos que tener algunos conocimientos
básicos de geometría y trigonometría.
Dados dos lados y el ángulo comprendido
Lados: c y b
Ángulo: A
Si consideramos el triángulo rectángulo AMC resulta h c = b . sen (A) y sustituyendo en la
expresión (1) resulta:
Teorema del seno
En todo triángulo se verifica la relación
Dicha relación puede probarse que es
igual al diámetro de la circunferencia
circunscrita
(es decir, igual a 2R).
Dados un lado y dos ángulos
Lado: c
Ángulos: A, B
Conocidos los ángulos A y B es inmediato
calcular C
C = 180 - (A + B)
Como ya sabemos
h c = b . sen (A)
Además, según el teorema del seno
Sustituyendo estos valores en (1) tendremos:
Conocidos los tres lados y el radio de la cincunferencia circunscrita (¡Que ya es conocer!)
A partir del teorema del seno resulta:
y sustituyendo en la expresión (2)
Conocidos los tres lados y el radio de la
Las bisectrices del triángulo,
(en azul) se cortan en el incentro cincunferencia inscrita
Las bisectrices dividen al triángulo en tres triágulos
que es el centro de la
AIB, BIC, CIA de altura r.
circunferencia inscrita.
El área de cada uno de ellos es
(a.r)/2, (b.r)/2 y (c.r)/2
por lo que el área del triángulo es
siendo p la mitad del perímetro del triángulo.
Conocidos los tres lados. Fórmula de Herón
En el triángulo AMC
h 2c = b 2 - AM 2
Teniendo en cuenta el teorema del cuadrado opuesto
a un ángulo agudo resulta:
por lo que
Cuadrado del lado opuesto a un
ángulo agudo
a 2 = b 2 + c 2 - 2.c.AM
El cuadrado del lado opuesto a un
ángulo agudo es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos
lados menos el doble producto de
uno de ellos por la proyección del
otro sobre él
Es decir
Siendo p la mitad del perímetro del triángulo.
Puede probarse también que si p es el
Si a + b + c = 2p, siendo p la
mitad del perímetro, resulta:
b + c - a = 2p - 2c = 2(p - a)
a + c - b = 2p - 2b = 2(p - b)
a + b - c = 2p - 2c = 2(p - c)
semiperímetro de un triángulo y A, B y C son los
ángulos del mismo el área es
Puedes ver una desmostración de esta expresión en
el problema (#057) El área de un triángulo
La fórmula de Herón también es
válida si el triángulo es obtuso.
Basta entonces aplicar el teorema
del cuadrado del lado opuesto a un
ángulo obtuso
a 2 = b 2 + c 2 + 2.c.AM
El cuadrado del lado opuesto a un
ángulo agudo es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos
lados mas el doble producto de uno
de ellos por la proyección del otro
sobre él
Expresión vectorial del área de un
triángulo (En lo que sigue indicaremos las
magnitudes vectoriales en negrita).
Consideremos el vector AB´ perpendicular
al vector AB y con el mismo módulo [AB] =
[AB´]
Como
h = [AC] sen (x) =
= [AC] cos (90 - x) = [AC] cos (y)
el área del triángulo es:
Ejemplo.
A = 1/2 [AB ] h =
Sean A(3,2), B(1,4), C(2,5) los vértices del
= 1/2 [AB] [AC] cos (y) =
triángulo ABC.
= 1/2 [AB´] [AC] cos (y) =
El vector AB = (1-3, 4-2) = (-2,2) y el
= 1/2 AB´. AC
vector AC = (2-3, 5-2) = (-1,3)
siendo AB´. AC el producto escalar de los
Un vector perpendicular a AB y con el
vectores AB´ y AC
mismo módulo es AB´= (-2,-2) (pues el
En general al área de un triágulo es
producto escalar de ambos es 0.
A = 1/2 | AB´. AC |
El producto escalar de AB´ y AC (referidos
es decir, el valor absoluto de dicho producto
los vectores a una base ortonormal) es
escalar.
AB´. AC = (-2,-2).(-1,3) = 2 - 6 = - 4
por lo que el área del triángulo resulta:
A = 1/2 |(-2,-2).(-1,3)| = 1/2 | - 4 | = 2
unidades 2
Resolviendo Ecuaciones.
Cómo resolver la ecuación x 4 - 8 x 3 - 36 x 2 + 288 x - 576 = 0
The Bernard
Bolzano Pages
Bernard Bolzano filósofo,
matemático y sacerdote
católico checo (1781-1848).
Sus ideas liberales y
racionalistas lo llevaron a la
expulsión de la universidad
de Praga (1819) en la que
impartía clases de filosofía y
religión. Fué de los primeros
en presentar definiciones
rigurosas sobre funciones
continuas y derivables. Su
obra póstuma Paradojas del
Infinito presenta, entre otras,
las definiciones de cantidad,
número, conjunto finito e
infinito.
En 1817 presenta un trabajo
titulado ´´Una prueba
puramente analítica del
teorema que establece que
entre dos valores donde se
garantice un resultado
opuesto, hay una raíz real de
la ecuación´´. Dicha prueba
analítica se conoce hoy como
teorema de Bolzano
El Teorema de Bolzano enunciado con la
terminología actual dice:
Si f es una función continua en el intervalo [a,b]
y f(a) y f(b) toman valores de signo opuesto (es
decir, f(a) . f(b) < 0), entonces existe una raíz de f
en (a,b). (Es decir, existe un punto c del intervalo
(a,b) en el que f(c) = 0).
En dicho teorema nos vamos a basar para
encontrar una raíz de una ecuación. Conviene
observar que el teorema de Bolzano es un
teorema de existencia, por lo que nos garantiza la
existencia de la raíz, pero no nos dice cuál es.
También es importante señalar que el teorema
indica que existe una raíz en el intervalo, aunque
pueden existir más de una. Por último diremos
que todas las hipótesis del teorema son esenciales
para la existencia de la raíz, incluida la
continuidad de f en los extremos del intervalo.
Vamos a diseñar una estrategia para resolver, mediante el teorema de Bolzano, la ecuación
f(x) = x 2 - 2 = 0 (con lo que tendremos, además un método para hallar la raíz cuadrada de
2).
 Como f(1) = - 1 < 0 y f(2) = 2 > 0 y f es continua en [1,2], existirá una raíz de dicha
ecuación en (1,2).
Dicha estrategia es muy sencilla; consiste en dividir el intervalo [1,2] incial en dos
subintervalos iguales; en uno de los subintervalos la función cambiará de signo en sus
extremos. Dicho subintervalo volvemos a dividirlo en dos y en uno de ellos, la función
volverá a cambiar de signo y así sucesivamente. Tenemos de esta forma una sucesión de
subintervalos encajados cuya longitud tiende a 0. Puede probarse, que las sucesiones
formadas por los extremos de los subintervalos convergen a la raíz de f.
 Este procedimiento puede trasladarse facilmente a un programa de ordenador o
calculadora. Para tener una bandera de salida basta establecer el cálculo de la raíz con una
cota de error dada. (Por ejemplo que la longitud del intervalo sea menor que un cierto valor).
f(x) = x 2 - 2 = 0
[a, b]
[1, 2]
Signo Signo
f(a) f(b)
-
+
Punto medio
xm
Signo
f(x m)
Longitud
intervalo
3/2 = 1,5
+
1

[1, 3/2]
-
+
5/4 = 1,25
-
1/2 (0,5)
[5/4, 3/2]
-
+
11/8 = 1,375
-
1/2 2 (0,25)
[11/8, 3/2]
-
+
23/16 = 1,43750
-
1/2 3 (0,125)
[11/8, 23/16]
-
+
45/32 = 1,40625
-
1/2 4 (0,0625)
[45/32, 23/16]
-
+
91/64 = 1,42188
+
1/2 5 (0,03125)
[45/32, 91/64]
-
+
181/128 = 1,41406
-
1/2 6 (0,01563)
[181/128, 91/64]
-
+
363/256 = 1,41797
+
1/2 4 (0,00781)
Conviene resaltar lo lenta que es la convergencia hacia la solución buscada.
Método de Newton
Un algoritmo sencillo y de, en ciertas
condiciones, rápida convergencia para
obtener la raíz de una ecuación, es el método
de Newton-Raphson, o simplemente método
de Newton.
La idea intuitiva es muy fácil. Si hacemos
una estimación inicial, por ejemplo x 0, de la
raíz c, y trazamos en T (x 0, f(x 0)) la tangente
a f, ésta cortará al eje de abscisas en x 1 que
es una mejor estimación de c que la inicial.
Repitiendo el proceso tendremos una
sucesión x0, x1, x2..., xn que puede probarse
que, si converge, lo hace a c.
f (x) = x 2 - 2
Cálculo de los x k
La ecuación de la tangente a f en T viene
dada por
f(x) - f(x 0) = f´(x 0)(x - x 0)
y la intersección de ella con el eje de
abscisas, si designamos dicha intersección
por (x 1,0) resulta
- f(x 0) = f´(x 0)(x 1 - x 0), de donde
Reiterando el proceso para x1, x2,...
obtenemos la expresión general:
f '(x) = 2x
xn
f (x n)
f '(x n)
x n+1
3/2
0,25
3
1,416667
1,416667 0,006944 2,833333 1,414216
1,414216 0,000006 2,828431 1,414214
Observaciones:


Es preciso realizar una buena
estimación inicial, es decir elegir un x0
´´próximo´´ a la raíz de f. Claro que si
no sabemos la raíz ... (pero el teorema
de Bolzano puede ayudar para
localizarla).
Como aparece f´(x n) en el
denominador, el método fallará si
algún valor lo anula; el problema

 No siempre converge la sucesión x 0, x 1, x
2, ... x n, como puede comprobarse con la
función f (x) = x 1/3
Entonces tenemos que x n + 1 = - 2 x n
puede soslayarse con la elección de
otra estimación inicial.
Es preciso tener en cuenta unas
mínimas condiciones de continuidad y
derivabilidad de f y f ' como las
funciones polinómicas las cumplen,
no insistiremos sobre el tema.
Una convergencia realmente rápida,
¡Sí señor!, por algo, dicho algoritmo
es utilizado por varias calculadoras
para el cálculo de la raíz cuadrada.
Resolviendo la ecuación
f(x) = x 4 - 8 x 3 - 36 x 2 + 288
x - 576 = 0
Como f cumple las
condiciones de continuidad y
derivabilidad, mediante el
teorema de Bolzano,
obtenemos f(9)= -171 < 0 y
f(10)= 704 > 0, luego en el
intervalo (9,10) existe (al
menos) una raíz real. En
lugar de realizar los cálculos
vamos a utilizar una
calculadora Texas
Instruments TI-82 para
efectuarlos. Los pasos que
seguimos están indicados en
la columna de la derecha
1: Introducimos en el editor de ecuaciones la expresión de
f y de su derivada
Y1= x 4 - 8 x 3 - 36 x 2 + 288 x - 576
Y2= 4x 3 - 24x 2 - 72 + 288
2: Asignamos a la variable alfanumérica A el valor inicial
19/2
19/2
A
3: Escribimos la expresión de x n + 1 particularizada para la
función dada y la almacenamos en A
(A - (Y1(A)/Y2(A))
A
9.272839
4: Cada vez que pulsamos Enter obtenemos
9.254112
9.253989
9.253989

La ecuación propuesta tiene otra raíz real. ¿Cuál?
La otra solución, facilitada por Paloma Pascual, es
-6,490345.
Polígonos Estrellados.
Si al dividir una circunferencia en partes iguales unimos los puntos de división de dos en
dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la poligonal hemos recorrido la circunferencia un
número entero de veces, obtenemos un polígono regular estrellado.
Puede probarse que para obtener un polígono regular estrellado de n lados (la circunferencia
estará dividida en n partes iguales) uniendo las divisiones de a en a, es necesario (y
suficiente) que a y n sean primos.
Como unir divisiones de a en a es igual que dividirlas de n - a en n - a (es decir de a en a en
sentido contrario), se podrán construir polígonos estrellados considerando los números
menores que n/2, que sean primos con n.
Pentágono regular estrellado
El número primo con 5 menor que 5/2 es 2; podemos construir
el pentágono estrellado uniendo las divisiones de dos en dos.
Obtenemos de esta forma el más popular de los polígonos
estrellados y, posiblemente, el emblema de la escuela
pitagórica. En él el número áureo aparece por doquier.
No existen polígonos estrellados de 6 lados, ya que no existe
ningún número primo con 6 menor que 6/2.
Heptágonos regulares
estrellados
Existen dos números primos
con 7 menores que 7/2, el 2 y
el 3. Podemos, por tanto,
construir dos heptágonos
regulares estrellados uniendo
las divisiones de 2 en 2 y
otro de 3 en 3.
Octógono regular estrellado
3 es el único número primo con 8 menor que 8/2. Uniendo
las divisiones de 3 en 3 obtenemos el octógono regular
estrellado.
Eneágonos regulares
estrellados
2 y 4 son primos con 9
menores que 9/2. Podemos
construir dos polígonos
regulares estrellados de 9
lados uniendo las divisiones
de 2 en 2 y de 4 en 4.
Decágono regular estrellado
Por último, uniendo de 3 en 3 obtenemos el decágono
regular estrellado. En él también "aparece" el número áureo.
El Pentagrama y el Número Áureo
El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es número y su emblema el pentagrama o
pentágono regular estrellado. En el pentágono estrellado figura el número áureo infinidad de
veces.
Veamos qué relación existe entre el pentágono regular
y el pentágono regular estrellado.
Si consideramos el lado del pentágono la unidad, basta
aplicar el teorema del coseno al triángulo ABC y
resulta que AC es igual al número áureo.
El teorema del coseno afirma que en todo triágulo un
lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos lados menos el doble producto de ellos
por el coseno del águlo comprendido.
En nuestro caso, aplicando dicho teorema al triángulo
ABC, tendremos:
AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB. AC. cos (108)
y como AB = BC = 1, efectuando operaciones resulta:
AC 2 = 2 - 2 cos (108)
Extrayendo la raiz cuadrada:
AC = 1,6180340...
Considerando el lado del pentágono
regular la unidad, (AG = 1), pueden
obtenerse de forma inmediata las
siguientes expresiones:
¿ Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran
tanta admiración por el número áureo ?.
Casi con toda seguridad, para la escuela
pitagórica la consideración del irracional 5 1/2,
de cuya existencia tuvieron conciencia antes
que de 2 1/2, tuvo que causar una profunda
reflexión en las teorías de la secta.
Si tienes alguna duda de las relaciones del
número áureo con el pentágono estrellado ...
¡mira!, y así hasta el infinito. Siempre que
encuentres un pentágono regular podrás hacer
lo mismo.
Dado un segmento AB, se dice que está dividido en media y extrema razón, cuando: "[...]
si hay de la parte pequeña a la parte grande la misma relación que de la grande al todo"
(Vitrubio). A partir del Renacimiento recibió el nombre de Divina Proporción.
La Proporción Áurea
fascinó como ideal de
belleza a los griegos, a los
renacentistas y perdura en
nuestros días. Los
pintores y escultores del
Renacimiento la tuvieron
muy en cuenta ... y
también los impresores.
En el gráfico de la
izquierda se puede
apreciar el diseño de la
caja y los márgenes de un
libro según la normas de
la Divina Proporción. En
el de la derecha aparece
la reproducción de un
incunable impreso en
Venecia (1495), según
dichas normas. Se trata
del libro de Pietro Bembo
De Aetna (Sobre el Etna).
Exquisita tipografía
romana, calidad de papel
y tinta, proporciones
divinas. Una joya.
Potencias del Número Áureo
Más sobre polígonos estrellados
Relación entre los lados del decágono regular convexo y el
estrellado
Sean AB y AD los lados de los polígonos regular convexo y
el estrellado respectivamente. Los ángulos ABG y AMB son
iguales pues el primero es un ´ngulo inscrito en la
circunferencia que vale (la mitad del arco que abarca) 72º y
el segundo es un a´ngulo interior cuyo valor es
Igualmente los ángulos FAD y AOB son iguales y valen 36º;
por otra parte los triángulos DAO y AOM son semejantes
por lo que
Como AM = AB y DO = AO = r resulta
De la primera igualdad tenemos
r 2 = AB × AD
es decir, el radio de la circunferencia circunscrita es medio
proporcional entre ambos lados.
Conocido el radio podemos hallar ambos lados, para lo cual
dividimos el radio en media y extrema razón, es decir en la
proporción áurea.
NOTA Podemos construir gráficamente, muy facilmente, dado el radio de la cincunferencia
circunscrita, ambos lados. Trazamos una circunferencia que tenga NM = radio como
diámetro. Por el extremo M levantamos una perpendicular MT = NM y unimos T con el
centro de la circunferencia determiando sobre ella los puntos P y Q. Entonces TP y TQ son
los lados de cada uno de los polígonos.
En efecto, pues NM 2 = TM 2 = TP × TQ
Cónicas.
La filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante los ojos; quiero
decir, el universo; pero no se puede entender si antes no se aprende a
entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está
escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras
figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin
ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto.
Galileo Galilei
De las dos obras de
Apolonio de Pérgamo (262190 a. d.C), Secciones en
una razón dada y Cónicas, la
zltima es, junto con los
Elementos de Euclides, la
obra más importante de la
geometría griega.
Apolonio, Euclides y
Arquímedes elevaron la
geometría a niveles tales que
su vigencia permanece en
nuestros días.
Las Cónicas constaban de
ocho libros. Los cuatro
primeros se han conservado,
los tres siguientes se
conservan mediante la
traducción al árabe y se ha
perdido el octavo.
Esta obra es el resultado de
estudiar todas las
particularidades de unas
secciones a las que denominó
cónicas. Apolonio descubrió
que se obtenían al cortar
mediante una superficie plana
un cono circular en diversas
posiciones. Depende de cómo
se corten, las secciones
resultantes serán círculos,
elipses, hipérbolas o
parábolas. Aunque estos
conceptos no tuvieron
posibilidad de ser aplicados a
la ciencia de su época, su
importancia ha quedado
plenamente justificada con el
paso del tiempo.
Galileo Galilei (1564-1642), estudiando el movimiento de un proyectil,
con una componente horizontal uniforme y una vertical uniformemente
acelerada, llegó a la conclusión que dicha trayectoria, despreciando la
resistencia del aire, es una parábola.
Galileo cambió el concepto que durante la Edad Media, se tenía sobre la
trayectoria de un proyectil.
siendo g la gravedad, v la velocidad inicial de la bala y alfa la inclinación
del tiro. Galileo estableció a partir de la expresión anterior la inclinación
para alcanzar la máxima distancia (x).
En 1609 Johannes Kepler (15711620) publica, utilizando las
observaciones de su maestro
Tycho Brahe, su obra Astronomía
Nova en donde enuncia las dos
primeras leyes referente a las óbitas
de los planetas.
Posteriormente, en 1619, en el libro
Harmonices, Mundi, Libri Kepler
publicaría la tercera.
Aproximadamente 80 años más
tarde, Isaac Newton (1642-1727)
probaba que las órbitas elípticas de
los planetas implicaban la ley de
gravitación universal.
El concepto de cónica aparece no
sólo en las trayectorias de planetas
y proyectiles, sino también en
trayectorias de partículas atómicas
elementales.
La ley de los gases perfectos
enunciada por el físico irlandés
Robert Boile (1627-1691) dice: "A
temperatura constante el producto
P V = k". Una hipérbola equilátera.
Primera Ley Los planetas describen órbitas
elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.
Segunda Ley Las áreas barridas por la recta
que une el sol con el planeta son directamente
proporcionales a los tiempos empleados en
barrerlas.
(Si las áreas dibujadas son iguales, entonces la
velocidad del planeta es mayor en el perihelio
que en el afelio)
Tercera Ley Los cuadrados de los períodos de
revolución son proporcionales a los cubos de los
semiejes mayores de las órbitas.



La relación existente entre la distancia al
origen del foco y el semieje mayor se
denomina excentricidad de la cónica.
En la elipse la excentricidad está
comprendida entre 0 y 1
Si es 0, entonces la elipse es una
circunferencia.
Estas son las excentricidades de las órbitas de los planetas del Sistema Solar
Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
0,206
0,007 0,017 0,093 0,043
0,051
0,046
0,004
0,250
La excentricidad de órbita de la Luna, con respecto de la Tierra es de 0,055. El
famoso cometa Halley, que nos visitará próximamente en el año 2061, tiene
una órbita elíptica, con foco en el Sol, cuya excentricidad es de 0,967
(aproximadamente).
La superficie engendrada al girar una parábola alrededor
de su eje es una superficie parabólica. Dichas superficies
tienen la propiedad de ser reflectoras. Situado un punto
luminoso en el foco, los rayos se proyectan paralelos al eje, y
recíprocamente, los rayos que inciden paralelos al eje, se
concentran en el foco. Estas superficies son las únicas que
gozan de esta propiedad.
El primer reflector parabólico de un faro de mar fue construido
por William Hutchinson en 1752.
La idea de un reflector parabólico se difundió rápidamente y
en la actualidad lo encontramos en faros de bicicletas,
coches, proyectores de teatros, radares, antenas parabólicas,
etc.
Recomendaciones en la Red





Kepler"s Laws
Edmond Halley & Johannes Kepler: Pioneers in Astronomy
Galileo and the Inquisition
The Galileo Project
Biography of Galileo Galilei (Muy buena. Con versión en italiano
historia actual de la enseñanza de las matemáticas en España hubiese
sido muy distinta sin la aportación de las Sociedades de Profesores de
Matemáticas surgidas en los últimos años.
En 1975 en la revista Escuela 75, editada por el Colegio Oficial de
Doctores y Licenciados de Valencia, en un artículo titulado ¿Para qué
las Matemáticas? un grupo de profesores ponía en cuestión "[...] los
planteamientos habituales en la enseñanza de las Matemáticas". El
artículo estaba firmado por los profesores que posteriormente formarían
el Grupo Cero. De la colaboración de los anteriores y un grupo de
profesores catalanes surge el Grupo Zero en Cataluña.
(F.E.S.P.M.)
Federación Española S.A.E.M. THALES
de Sociedades de
Profesores de
Matemáticas
La influencia de estos dos grupos en el resto de España, mediante
grupos de trabajos, conferencias, publicaciones, etc. fue bastante
importante y puede considerarse que son el origen de las asociaciones
posteriores.
Estos grupos iniciales "[...] denunciaron el raquitismo de la enseñanza
tradicional de unos ejercicios estériles aportando problemas con
significado y útiles [...] (y) valorando la iniciativa del alumno [...] dando
un sentido más integral e interdisciplinar a la enseñanza de nuestra
asignatura" (A. Pérez Actas IV Jornadas Andaluzas)
Fué necesario, para rentabilizar esfuerzos, formar asociaciones que
agruparan el mayor número de profesores, de forma que estas ideas -no
todas nuevas desde luego- no se dispersaran y pudieran ser conocidas
por el mayor número de profesionales.
Con esta intención surgen las Asociaciones de Profesores de
Matemáticas
Sociedad Asturiana de Educación
Matemática
Sociedad Matemática de
Profesores de Cantabria
En 1978 se crea la Sociedad Canaria de Profesores de
Matemáticas "Isaac Newton"; en 1981 la Sociedad Andaluza de
Profesores de Matemáticas "Thales" y la Sociedad Aragonesa "Pedro
Ciruelo". En 1984 nace la Asociación Andaluza de Profesores de
Matemáticas que se fusionaría con "Thales" constituyendo la Asociación
Andaluza de Profesores de Matemáticas "Thales" que posteriormente
sería la Sociedad Andaluza de Educación Matemática "Thales".
En 1987 se inicia el proceso de federar estas
asociaciones culminando en 1989 con la
creación de la Federación Española de
Sociedades de Profesores de Matemáticas.
A partir de entonces surgen la Sociedad
Castellana, la navarra Tornamira, la
Asociación Puig Adam, la extremeña Ventura
Reyes Prósper, la madrileña Emma
Castelnuovo, la gallega Enciga, etc.
La labor de todas ellas ha sido importantísima
en los últimos años procurando mediante
publicaciones, cursos, revistas, centros de
documentación, etc. promover la mejora y
aprendizaje de las matemáticas, además de
promocionar las olimpiadas matemáticas.
Como reconocimiento internacional de esta
labor un botón. El 7 de abril de 1991 la
Comisión Ejecutiva de la Comisión Internacional
de Educación Matemática (ICMI) acepta la
candidatura de Sevilla para el 8º I.C.M.E. (8º
Congreso de Educación Matemática). Por
primera vez, durante el mes de agosto de 1996,
organizado por Thales, se celebró en un pais de
habla española este congreso.
Societat d´Educació
Matemàtica AlSociedad CastellanoKhawarizmi
Manchega de Profesores
(Comunitat
de Matemáticas
Valenciana)
Sociedad de
Educación
Matemática de la
Región de Murcia
APRIMA. Sociedad
Riojana
de Profesores de
Matemáticas
Organización
Española para la
Coeducación
Matemática Ada
Byron
Asociación Galega de
Profesores de
Educación
Matemática
Federació d'Entitats Associació de Professors
per l'Enseyament de de Matemàtiques de les
Sociedad Castellano
les Matemàtiques a Comarques Meridionals.
Leonesa de
(APMCM)
Catalunya.
Profesores de
Matemáticas
Sociedad Extremeña de
Educación Matemática
"Ventura Reyes Prósper"

Sociedad Puig Adam de Profesores de Matemáticas
Otras asociaciones



Sociedad de Ensinantes de ciencia de Galicia (ENCIGA)
Sociedad de Profesores de Matemáticas "Tornamira"
Sociedad Aragonesa de Profesores de Matemáticas "Pedro
Sánchez Ciruelo"
Proporción cordobesa
En diversos trabajos de investigación (de arquitectura, sobre pintura, etc.)
aparece un rectángulo que no está en la proporción áurea, sino que la
relación entre sus lados es de 1,3... (Sin ir más lejos, si la resolución de tu
ordenador es de 800x600, se encuandra en la misma proporción)
Si el número áureo puede establecerse como la relación existente entre el
lado del decágono regular y el radio de la circunferencia circunscrita al
mismo, pareció lógico buscar una relación de la misma naturaleza con la que
dicha proporción quedara geométricamente fundamentada.
La misma quedó establecida al obtener la proporción buscada como la
relación entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y
el lado de éste.
Cualquier matemático, o buen aficionado, sabe que esta relación es:
Dicho cociente es c = 1,306562964 ... que se conoce como número
cordobés
Al ser más fácil construir un octógono regular que un pentágono, dicha
proporción se extendió rápidamente quedando de manifiesto en múltiples
obras pictóricas y arquitectónicas.
Como ejemplos podríamos citar la bóveda cordobesa, y nada digamos de
las bellas arcadas de la mezquita de Córdoba.
Según los trabajos del alemán Fechner esta proporción se establece en
multitud de obras pictóricas.
Para el arquitecto Rafael de la Hoz Arderius (uno de los máximos
investigadotres del tema) considerando las últimas técnicas de medición
obtenidas del Papiro Rhind (museo Británico) entre las diagonales de un
rectángulo con dicha proporción queda perfectamente encajada la Gran
Pirámide
Y como los anteriores podríamos citar más ejemplos.
Los estudios efectuados sobre el tema indican que la proporción dicha está
más extendida de lo que hasta ahora se creía.
Consideremos la circunferencia de radio R.
Si trazamos la bisectriz del primer cuadrante, el
segmento NP = X es el lado del octógono regular inscrito
en dicha circunferencia.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo NOM
resulta que
(MN)2 = R2 + R2
por lo que
Por simetría OP' = MN/2 (ya que NP'= MN/2 y OP' =
P'N)
Como QNP es recto, aplicando el teorema del cateto
resulta:
X /QP = P'P/ X
de donde
X2 = QP. P'P = 2R (OP - OP')
Fundamentos geométricos sobre
el octógono regular
es decir:
De esta expresión deducimos (considerando la
circunferencia de radio unidad, radio R = 1) que:
Teniendo en cuenta el apartado anterior es muy fácil
construir un rectángulo en la proporción cordobesa.
Co
nstru Basta con trazar una circunferencia y la bisectriz del
cció primer cuadrante. RT es un lado del rectángulo y el radio
n del de la circunferencia el otro.
rectá
ngul
o
cord
obés.
Consideramos el segmento unidad y trazamos una
circunferencia de radio (2)1/2
Determinación sobre la recta La bisectriz del ángulo MOM' corta a dicha circunferencia
real del número cordobés C
en C'. Proyectando sobre la recta real obtenemos C.
En efecto
En el triángulo OCC'
Observa que
es la expresión trigonométrica del número cordobés.
Dado un segmento MN pretendemos encontrar un x,
interior a MN que verifique (MP)/(MN) = C
Si MP = x y PN = 1 - x resulta:
Dividir un segmento dado en la
proporción cordobesa
Basta pues dividir el segmento dado
proporcionalmente a c y a (1 + c)
Por último proponemos algunas cuestiones para el lector interesado:


(1) Hallar las soluciones de la ecuación 2x4 - 4x2 + 1 = 0
(2) ¿Cómo podríamos relacionar el rectángulo cordobés y el áureo?
Medallas Fields
Mittag-Leffer
(1846-1927)
Parece ser que cuando D. Alfredo Nobel preguntó a
sus asesores quien podría ser premio Nobel de
Matemáticas y le contestaron que posiblemente el
matemático sueco Gösta Mittang-Leffer, Nobel
respondió: "No habrá premio Nobel de Matemáticas".
Las malas lenguas de la época aseguraban que las
relaciones entre Don Alfredo y Don Gösta no eran
demasiado buenas.
En el Congreso Internacional de Matemáticas de
1924, presidido por John Charles Fields, se presentó
la propuesta de unas "medallas internacionales para
destacados descubrimientos matemáticos".
Cada cuatro años se otorga este premio a dos
matemáticos menores de 40 años y, a partir de 1966,
debido a la gran y buena producción matemática, a un
máximo de seis.
Dichas Medallas constituyen el Premio Nobel de las
Matemáticas.
Charles Fields
(1863-1932)




Las medallas están acuñadas en oro. En el anverso,
aparece la inscripción latina "TRANSIRE SVVM PECTUS
MVNDOQUE POTIRE" (sobrepasar su propio
entendimiento y apoderarse del mundo) junto al busto
de Arquímedes y su nombre en griego. En el reverso,
figura la inscripción "CONGREGATI EX TOTO ORBE
MATHEMATICI OB SCRIPTA TRIBVERE" (reunidos los
matemáticos de todo el mundo para premiar las obras
maestras), junto con el dibujo de la famosa
inscripción del cilindro y la esfera inscrita del gran
Arquímedes.
Las medallas fueron diseñadas por el escultor
canadiense Dr. Robert Tait McKenzie y las
inscripciones redactadas por el profesor G. Norwood
de la Universidad de Toronto.
Las medallas Fields se
conceden, desde 1932
cada 4 años
Hasta el momento se han
concedido 42 (1998)
Desde 1936 hasta 1950
no se concedieron debido
a la II Guerra Mundial
La edad media de los
premiados es de 34 años
(34,61)
GANADORES MEDALLAS FIELDS
1936
Lars Ahlfors - (29; Finlandia)
Jesse Douglas - (39; USA)
1950
Laurent Schwartz - (35;
Francia)
Atle Selber - (33; Noruega)
1954
Kunihiko Kodaira - (39; Japón)
Jean-Pierre Serre - (27;
Francia)
1958
Klaus Roth - (32; Alemania)
Rene Thom - (35; Francia)
1962
Lars Hormander - (31; Suecia)
John Milnor - (31; USA)
1966
Michael Atiyah - (37; UK)
Paul Cohen - (32; USA)
Alexander Grothendieck - (38;
Alemania)
Stephen Smale - (36; USA)
1970
Alan Baker - (31; UK)
Heisuke Hironaka - (39; Japón)
Serge Novikov - (32; Rusia)
John Thompson - (36; USA)
1974
1978
Enrico Bombieri - (33; Italia)
David Mumford - (37; UK)
Pierre Deligne - (33; Bélgica)
Charles Fefferman - (29; USA)
Gregori Margulis - (32; USSR)
Daniel Quillen - (38; USA)
1982
Alain Connes - (35; Francia)
William Thurston - (35; USA)
Shing-Tung Yau - (33; Hong
Kong)
1986
1990
1994
Simon Donaldson - (27; UK)
Gerd Faltings - (32; Alemania)
Michael Freedman - (35; USA)
Vladimir Drinfeld - (36; USRR)
Vaughan Jones - (38; Nueva
Zelanda)
Shigefumi Mori - (39; Japón)
Edward Witten - (38; USA)
Pierre Louis Lions - (38;
Francia)
Jean Christophe Yoccoz - (36;
Francia)
Jean Bourgain - (40; Bélgica)
Efim Zelmanov - (39; Rusia)
1998
Maxim Kontsevich - (34; Rusia)
Richard E. Borcherds - (39;
Sudáfrica)
William Timothy Gowers - (33;
UK)
Curtis T. McMullen - (38; USA)
MEDALLAS FIELDS 2002
El pasado 20 de agosto durante el 2002 I.C.M. (International Congress of
Mathematics) celebrado en Beijing (China) se concedieron las Medallas
Fields
La primera fue concedida a Laurent Lafforgue del Hautes Études
Scientifiques in Bures-sur-Yvette y la segunda a Vladimir Voevodsky
del Institute for Advanced Study (Princeton).
La Unión Matemática Internacional concedió en dicho acto el Nevalinna
Prize a Madhu Sudan del M.I.T.
Por nacionalidades se distribuyen de la siguiente manera
USA 11
Francia 6
UK 5
Alemania 3
Japón
3</SP
Rusia 3
Bélgica 2
USSR 2
Finlandia 1
Hong Kong 1
Italia
1</SPANS<
td>
Noruega 1
Nueva Z. 1
Suecia 1
Sudáfrica 1
Los Versos de Oro.
Los Versos de Oro resumen la doctrina filosófica del filósofo de Samos.
1. Honra a los dioses inmortales del modo establecido por la ley.
2. Venera el juramento y también a los nobles héroes.
3. Y lo mismo a los genios subterráneos, de acuerdo con los ritos tradicionales.
4. Honra a tu padre y a tu madre así como a tus parientes.
5. Haz tu mejor amigo a quien sobresalga por sus virtudes.
6. Sé amable con tus palabras y útil con tus obras.
7. No te enojes por las faltas leves que cometan tus amigos.
8. Actúa según tus facultades, teniendo en cuenta que el poder está muy cerca de la
necesidad.
9. Aprende que, por una parte, las cosas son así; y por otra, acostúmbrate a dominar lo
siguiente:
10. Primero el estómago y después el sueño, el impulso sexual y la ira.
11. No cometas ninguna acción vergonzosa
12. Con otro ni a solas, porque, ante todo, te debes respetar a tí mismo.
13. Sé justo en palabras y actos
14. Y razonable y sensato en todo lo que hagas.
15. No olvides que la muerte es el destino de todos.
16. Y que es condición de la fortuna aumentar y disminuir.
17. Los sufrimientos que la suerte proporciona a los hombres proceden de los dioses.
18. Soporta tu destino sin indignarte.
19. Aunque es conveniente que corrijas este destino según tus facultades.
20. Ten presente que el destino no da más sufrimiento a los buenos.
21. De las muchas palabras que pronuncian los hombres, unas son buenas y otras malas.
22. Que ellas no te turben ni ejerzan influencia sobre ti.
23. Soporta con paciencia y dulzura la mentira.
24. Procura cumplir siempre lo que te voy a decir ahora:
25. Que nadie, ni con palabras ni con actos,
26. Te convenza de que debes hacer o decir lo que no sea mejor.
27. Reflexiona antes de cometer una accisn estulta
28. Pues es propio de los hombres decir palabras necias y ejecutar actos malos.
29. Realiza ahora lo que no pueda perjudicarte despuis.
30. Abstente siempre de lo que no conozcas.
31. Aprende todo lo necesario para que tu vida sea más feliz.
32. No conviene que descuides la salud de tu cuerpo
33. Para lo cual procurarás descubrir la justa medida en comidas, bebidas y ejercicios
físicos.
34. Entiende por justa medida la que no te cause dolor.
35. Acostúmbrate a llevar una vida pura, limpia y viril.
36. Procura no hacer nada que pueda traer la envidia sobre ti.
37. No gastes insensatamente, como los que ignoran la honesta proporción de lo bello;
38. Pero tampoco seas avaro. Lo mejor en todo es la justa medida.
39. Haz lo que no te perjudique, pero reflexiona antes de obrar.
40. No permitas que el dulce sueño cierre tus ojos
41. Sin haber repasado contigo mismo lo que hayas hecho durante el día.
42. ?En qué he faltado? ?Qué he hecho? ?He omitido alguna obligación?.
43. Repasa también todas las acciones que hayas realizado,empezando por la primera y
sin olvidar ninguna.
44. Repréndete si has cometido algún acto malo y recocíjate con los buenos.
45. He aqí lo que debes hacer. He aquí la tarea que reclama tu cuidado.
46. He aquí lo que debes amar. He aquí lo que te encaminará por la senda divina.
47. Antes de empezar cualquier tarea
48. Pide a los dioses que santifiquen tu esfuerzo.
49. Si pones en prácticas estas normas, conocerás los lazos que une a los dioses
inmortales con los hombres mortales
50. Y aprenderás a aconocer los elementos que pasan y los que permanecen.
51. Y conocerás, como es justo que se conozca, que la Naturaleza es una y semejante en
todo.
52. Y así no esperarás lo que no puede esperarse, ni habrá secreto alguno para ti.
53. Y sabrás también que los hombres padecen los males que ellos escogen
54. Porque son tan desgraciados que no ven los bienes que están a su lado.
55. Ni los oyen, porque son muy pocos los que saben librarse del mal.
56. Tal es el destino que ciega su mente. Como cilindros que ruedan
57. Van de un sitio para otro padeciendo males infinitos,
58. Impotentes para reconocer la discordia funesta que les es innata,
59. A la que no voy a provocar, sino esquivarla huyendo de ella.
60. Padre Zeus; tú podrías liberar a los hombres de imnumeralbles males,
61. Mostrando a cada uno el genio que lo guía.
62. Y en cuanto a ti, hombre, ten confianza, porque la raza de los mortales es de origen
divino,
63. Y su naturaleza sagrada le revela todas las cosas.
64. Practicando lo que te ordeno, disfrutará de sus beneficios
65. Y en cuanto sea curada tu alma quedarás libre de todos los males.
66. Evita los alimentos indicados en los libros de las Purificaciones y de la Salvación del
alma.
67. Sin embargo, reflexiona sobre cada cosa
68. Tomando como guía del carro de tu alma la recta razón.
69. Y una vez que te hayas liberado de tu envoltura carnal, irás al éter impalpable
70. Y serás inmortal: un dios incorrupto en vez de mortal.
Números primos
Los primeros números
primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97, 101, 103, 107, 109,
113, 127, 131, 137, 139,
149, 151, 157, 163, 167,
173, 179, 181, 191, 193,
197, 199, 211, 223, 227,
229, 233, 239, 241, 251,
257, 263, 269, 271, 277,
281, 283, 293, ...
El mayor número primo
conocido hasta el momento
es:
2 3021377 - 1
(Abril de 1998)
Son números primos los que sólo son divisibles por si
mismos y, evidentemente, por la unidad.( Una definición
equivalente dice que un número a es primo sii sólo tiene
cuatro divisores (-1, 1, a, -a). El único número primo par es
el 2. Todo número primo (excepto el 2) es impar. Pero el
recíproco no es cierto
Ya Euclides, en los Elementos [IX.20], prueba que la
sucesión de números primos es infinita ("Hay más números
primos que cualquier cantidad propuesta de números
primos"). Razonó de la siguiente manera:
 Supongamos todos los números primos menores o igual a
uno dado P.
 Consideremos el número entero N = 2.3.5.7...P + 1
 Evidentemente N es mayor que P
 Al dividir N entre 2 el cociente será 3.5.7...P y de resto
sobrará 1. Igual pasará al dividir N entre 3, el cociente será
2.5.7....P y de resto sobrará 1. Y así sucesivamente siempre
que dividamos entre 2, 3, 5, ... P, de resto obtendremos 1
 Consideremos dos posibilidades: N es primo o no lo es
 Si es un número primo, será un primo mayor que P. Si no
es un número primo se puede descomponer en factores
primos [VII,31], pero ninguno de dichos factores podrá ser 2,
3, 5, ... P
 Por consiguiente ha de haber un número primo mayor que
P. Que es lo que había que hacer.
Hasta n = 40 puedes obtener Sería bueno tener una fómula para obtener números primos
... pero no existe (hasta el momento).
números primos. Para n =
Fermat (en 1640) creyó que había encontrado una con la
41, es evidente que no.
expresión 2k + 1, con k = 2n pero Euler, casi un siglo después
se lo estropeó, cuando probó que para n = 5, el número
n2 - 79 n + 1601
obtenido, 4.294.967.297, no es primo, sino el producto de
6.700.417 x 641
Hasta n = 79 se obtienen
números primos, pero falla
para n = 80
Algunas expresiones para
obtener números primos
son:
n2 - n + 41
Y en esas estamos.
En la red te recomendamos



La página personal de Carles Pina (En Castellano, Catalán e Inglés)
Prime Numbers
The Prime Pages prime numbers research, records, and resources
Humor biológico matemático. Las bacterias se multiplican dividiéndose
Me di cuenta de que iba a suspender matemáticas cuando un día el
profesor dijo en clase: "Sea un epsilon menor que 100", y todo el mundo
se echó a reir.
Un ingeniero, un físico y un matemático se presentan a un examen. La
única pregunta es
cuánto es 1 + 1
El ingeniero escribe unos momentos en su papel y entrega:
1+1=2
A los cinco minutos entrega el físico y escribe
2 (dos)
El matemático sigue escribiendo y solicita media hora más de tiempo
para terminar. Al cabo de la misma el tribunal le recrimina, ¡Pero
hombre, entregue ya!, y el matemático dirigiéndose al tribunal le dice:
Lo siento, sólo he podido demostrar que la solución existe y es
única
Evaluación en la E.S.O.
Acaba de llegar a mi poder este valioso documento, firmado
por Inocencio Docente, y tal como lo recibo, os lo muestro
Comentario de la
evaluación
1. La grafía del signo seis
es del todo correcta.
2. Se puede apreciar lo
mismo con el siete.
3. El signo más nos dice,
acertadamente, que se
trata de una suma.
4. En cuanto al resultado
vemos que el uno es
correcto. El segundo
número, efectivamente, no
es ocho. Bueno, si lo
cortamos por la mitad de
arriba abajo, observamos
que el alumno ha escrito
dos treses simétricos.
Elegimos el bueno porque
se ve que su intención era
buena.
Evaluación El conjuntode
estas observaciones
evidencia que:
(a) La actitud del alumno
es positiva (lo intentó)
(b) Los procedimientos son
correctos (los elementos
están ordenados
correctamente).
(c) En conceptos sólo se
equivocó parcialmente en
uno de los seis elementos
que forman el ejercicio.
Esto es casi de
sobresaliente.
En Consecuencia podemos
otorgarle un "Notable" y
decir que "Progresa
Adecuadamente"
Evolución de un mismo problema matemático a través de
los cambios a que ha estado sometido el Bachillerato en los
últimos años.



Enseñanza 1960 Un campesino vende un saco de
patatas por 1000 pesetas. Sus gastos de producción
se elevan a los 4/5 del precio de venta. ¿Cuál es su
beneficio?.
Enseñanza Tradicional 1970 Un campesino vende un
saco de patatas por 1000 pesetas. Sus gastos de
producción se elevan a los 4/5 del precio de venta,
esto es, a 800 pesetas. ¿Cuál es su beneficio?.
Enseñanza Moderna (LGE) Un campesino cambia un




conjunto "P" de patatas por un conjunto "M" de
monedas. El cardinal del conjunto "M" es igual a 1000
pesetas y cada elemento de "M" vale una peseta.
Dibuja 1000 puntos gordos que representen los
elementos del conjunto "M". El conjunto de los gastos
de producción, es decir 200 puntos gordos menos que
el conjunto "M", es el conjunto "F". Representa el
conjunto "F" como subconjunto del conjunto "M" y
responde a la siguiente pregunta: ¿cuál es el cardinal
del conjunto "B" de los beneficios?. Dibujar "B" en
color rojo.
Enseñanza renovada 1980 Un agricultor vende un saco
de patatas por 1000 pesetas. Los gastos de
producción se elevan a 800 pesetas y el beneficio es
de 200 pesetas. Subraya la palabra "patata" y discute
sobre ella con tu compañero.
Enseñanza renovada (LODE) Un lavriego vurgués,
capitalista insolidario, sanriquecio con 200 pesetas al
bender especulando un saco de patatas. Analiza el
texto y deseguio di lo que piensas de este avuso
antidemocrático.
Bachillerato de Adultos (Comienzo de los 90) Para la
próxima convivencia necesitamos patatas por valor de
1000 pesetas. Investiga. Conclusiones.
Realiza una puesta en común de los resultados
obtenidos dando respuestas razonadas, claras y
concisas sobre:
(A) las patatas;
(B) la tortilla;
(C) la convivencia.
Enseñanza comprensiva (LOGSE) Tras la entrada de
España en el Mercado Común, los agricultores no
pueden fijar libremente el precio de las patatas.
Suponiendo que quieran vender un saco de patatas
por 1000 pesetas haz una encuesta para poder
determinar el volumen de la demanda potencial de
patatas en nuestro país y la opinión sobre la calidad
de nuestras patatas en relación con las importadas de
otros países, y cómo se vería afectado todo el proceso
de venta si los sindicatos del campo convocan una
huelga general.
Completa esta actividad analizando los elementos del
problema, relacionando los elementos entre si y
buscando el principio de relación de dichos elementos.
Finalmente haz un cuadro de doble entrada, indicando
en horizontal arriba, los nombres de los grupos citados
y abajo, en vertical, diferentes formas de cocinar las
patatas
Cómo demostrarían algunas personas si es cierto o falso
si todos los números impares son primos.
Físico: 3 es primo, 5 es primo, 7 es primo, y por inducción
todos los números impares son primos.
Nota: al llegar al 9 se obtiene un error experimental.
Ingeniero: 3 es primo, 5 es primo, 7 es primo, y por
inducción todos los números impares son primos.
Físico teórico especializado en renormalizaciones: 3 es
primo, 5 es primo, 7 es primo, 9/3 es primo, 11 es primo,
13 es primo, 15/3 es primo ...
Programador: 1 es primo, 1 es primo, 1 es primo, 1 es
primo ,...
Físico Cuántico:Todos los números son iguales y primos y no
primos hasta que son observados.
Vendedor de Software: 1 es primo, 2 es primo, 3 es primo,
4 es primo, 5 es primo, 6 es primo, 7 es primo, ... Más
primos que nadie en el mercado.
Catedrático: 3 es primo, 5 es primo, 7 es primo, los demás
quedan de ejercicio para los estudiantes.
Programador profesional: 3 es primo, 5 es primo, 7 es
primo, 9 será primo en la próxima versión.
Programador de Basic: ¿Qué es un número primo?.
Programador de Cobol: ¿Qué es un número impar?.
Programador de Windows: 1 es primo. Ha ocurrido un error.
Apriete cualquier tecla para empezar.
Filósofo: Vayamos por partes, ¿Qué es un número?.
Economista: Acabo de leer que 3 es primo, 5 es primo, 7 es
primo, pero 9 no es primo. La producción está bajando.
Tenemos que contratar más números primos.
Cristiano Evangelista: Seguro que está en la Biblia.
Teólogo: Dios creó a todos los números iguales, por lo tanto
los impares y los primos son los mismos.
Psicólogo: 1 es primo, 3 es primo, 5 es primo, 7 es primo, 9
es primo reprimido.
Sociólogo: Hala, ya estamos clasificando números.
Profesor de Bellas Artes: 2 es primo, 4 es primo, 6 es primo
impar.
Abogado: 1 es primo, 3 es primo, 5 es primo, 7 es primo ...
después de descontar el 10% de impuestos y mi tasa legal.
Político: 3 es primo, 5 es primo, 7 es primo, 9 tiene todo el
derecho a tener su opinión, pero esto es una democracia y
tristemente ha perdido.
Político Liberal: 3 es primo, 5 es primo, 7 es primo, 9 ...
Hmmmm ... bueno, lo importante aqui es adoptar una
actitud constructiva.
María Gaetana Agnesi (1718-1799)
Nacida en Milán fue una excelente matemática, filósofa
y ling|ista. Con 30 años publica un libro, primer tomo,
dedicado a la geometría y que tuvo una amplia difusión
en Europa (traducido al inglés y francés): Intituzioni
Analitiche ad uso della giovenù italiana. En un
segundo tomo de las Instituciones, la parte dedicada al
cálculo diferencial fué considerada como una de las
mejores de la época. La Academia de París comentó en
el análisis de dicho tomo: "... consideramos este tratado
como la obra más completa y mejor escrita en el
género". En el mismo hace un estudio de las curvas que
pueden escribirse de la forma.
Veamos, brevemente, cómo se generan.
Sea una circunferencia C y QT un diámetro.
Desde Q trazamos una recta r que corta a C en A
y desde T una tangente t. Ambas rectas se cortan,
tal como indica la figura, en m. Por m trazamos
una paralela al diámetro QT y por A una
perpendicular a dicho diámetro. La intersección
de ambas es el punto P. Deseamos saber qué
gráfica describe el punto P al desplazarse A por la
circunferencia. (Puedes ver otra posición de P
considerando r´, determinado A´ y efectuando la
misma construcción).
Como los triángulos QmT y QAH son
semejantes podemos establecer la proporción
Tm/HA = QT/QH de donde x/HA = a/y es
decir
x y = a HA (1)
Aplicando el teorema de la altura al
triángulo rectángulo QAT resulta HA 2 = y (a
- y) (1). Despejando HA en (1) sustituyendo
en (2) y resolviendo en y la expresión
obtenida llegamos a
Para a = 1 en la expresión hallada tenemos
Una forma fácil (y eficaz) de obtener la gráfica de
esta función es analizar el comportamiento de la
expresión que aparece en el denominador: p(x) = x 2
+ 1. Una función cuya gráfica es una parábola con
las ramas hacia "arriba" y vértice en (0,1).
Como p(x) = x 2 + 1
1. es positiva
2. es par (es decir p(x) = p(-x),
simétrica respecto del eje OY)
3. es decreciente cuando x < 0
...entonces f(x) = 1 / p(x)
1.
2.
3.
4.
... es positiva
... es par
... es creciente cuando x < 0
... es decreciente cuando x > 0
4. es creciente cuando x > 0
5. tiene un mínimo en (0, 1)
6. tiende a +Infinito cuando x tiende a
+Infinito
7. tiende a +Infinito cuando x tiende a Infinito
5. ...tiene un máximo en (0, 1)
6. ... tiende a CERO (con valores
positivos) cuando x tiende a
+Infinito
7. ... tiende a CERO (con valores
positivos) cuando x tiende a -Infinito
De 6 y 7 podemos deducir que el eje
de abscisas (y = 0) es asíntota
horizontal de f.
Como p(x) no se anula en ningún punto de su dominio (real), podemos garantizar que f no
tiene asíntotas verticales. Suficientes propiedades de f como para esbozar su gráfica, que
figura en azul en el dibujo anterior.
Una interesante propiedad (para los amigos de pi, que somos todos) de f.
Como y = arc tag(x) es una primitiva de f resulta que al área limitada por f y su asíntota es
... PI. Mira, mira ...
Para comprobar la última igualdad sólo es necesario tener en cuenta la gráfica de la función
y = arc tag(x) y que pi/2 y -pi/2 son sus asíntotas. Cuando x "tiende" a +Infinito entonces la
función arc tag(x) se "aproxima" a pi/2 y cuando x "tiende" a -Infinito entonces la función
arc tag(x) se "aproxima" a -pi/2.
Hija de una familia acomodada, y muy numerosa, publicó a los 9 años
una traducció en latín en defensa de la educación y formación de las
mujeres. A edad muy temprana dominaba el latín y, bastante bien, el
griego y hebreo.
Su padre ejerció una gran influencia sobre ella. Cuando, parece ser que
afectada por la muerte de su madre, le solicitó hacerse monja éste se
negó. Ella, a cambio, le pidió tres condiciones: asitir a la iglesia siempre
que quisiera, vestir de una forma sencilla y no asistir a fiestas profanas.
Se dedicó a estudiar libros religiosos y de matemáticas.
En 1738 publica una colección de ensayos filosóficos: Propositiones
Philosoficae.
Su profesor, un tal Rampinelli, la animó a que escribiera los libros antes
mencionados. Su posición acomodada hizo que preparase la impresión
en su propia casa y entró en contacto con Riccati para comentar su
trabajo.
El Papa Benedicto XIV influyó para que se le concediera la cátedra de
matemáticas de Bolonia, pero no la aceptó. Murió a los 81 años, en
Milán y en la Biblioteca Ambrosiana de dicha ciudad se conserva, en 25
volúmenes, su obra.
... y como verás nunca hemos hablado de brujas
Al-Khwarizmi
El más conocido de los matemáticos árabes es Mohammed Ibn
Musa Al-Khwarizmi (780-850), conodido como padre del álgebra.
Se sabe poco de su vida salvo que vivió en la primera mitad del siglo
IX y que trabajó en la biblioteca del califa de Bagdad.
Escribió libros sobre geografía, astronomía y matemática. En su obra
Artimética ("Algoritmi de numero indorum") explica con detalle el
funcionamiento del sistema decimal y del cero que usaban en la
India. Obra de gran importancia pues contribuyó a la difusión del
sistema de numeración indio y al conocimiento del cero.
Debe destacerse la obra de contenido algebráico "Hisab al-yabr wa'l
muqqabala", considerada uno de los primeros libros de álgebra.
Obra eminentemente didáctica con abundantes problemas para
resolver y adiestrar al lector, principalmente, en la resolución de
ecuaciones de segundo grado.
Es el autor de uno de los métodos más antiguos que se conocen
para resolver ecuaciones de segundo grado. Dicho método,
geométrico, se conoce como de completar cuadrado
Resolución de la ecuación
x 2 + 6x = 7
Comenzamos por construir el cuadrado de
lado x, ABCD, cuya área es x 2.
A continuación prolongamos los lados AB y
AC en 3 unidades respectivamente (observa
que obtenemos dos rectángulos de área 6x,
segundo término de la ecuación).
Completamos el cuadrado construyendo un
nuevo cuadrado de superficie 9 u 2.
El área total del cuadrado es x 2 + 6x + 9.
Puesto que deseamos resolver la ecuación
x 2 + 6x = 7, tendremos, sumando 9 a ambos
miembros:
x 2 + 6x + 9 = 7 + 9 = 16 es decir
(x + 3) 2 = 4 2 por tanto
x=1
Arquímedes de Siracusa
Arquímedes de Siracusa matemático, físico e inventor griego, nace
en Siracusa (¿285-212 a.J.C). Su padre, Fidias, posiblemente
astrónomo, parece que influyó en su vocación y formación. Estudió
en la famosa escuela de Alejandría, posiblemente fuera alumno de
Euclides, y regresó a su ciudad natal donde dedicó su vida a la
investigación.
Las aportaciones de Arquímedes a las matemáticas fueron de gran
categoría científica. Su método fue fundamentalmente geométrico,
obteniendo conclusiones que no sólo representaron un gran avance
sobre la geometría, sino que también llevan al cálculo integral. Fue
el primer matemático conocido del que se tienen nocicias que
calculó el área limitada por un segmento parabólico en el intervalo
[0,1], determinando la suma de las áreas de los rectángulos incritos y
circunscritos.
En Geometría sus escritos más importantes fueron:



De la Esfera y el Cilindro, donde introduce el concepto de
concavidad, que Euclides no había utilizado, asi como ciertos
postulados referentes a la linea recta.
De los Conoides y Esferoides en donde define las figuras
engendradas por la rotación de distintas secciones planas de
un cono.
De las Espirales en donde analiza estas importantes curvas y
analiza sus elementos más representativos.
En Aritmética son, fundamentalmente dos los escritos más
interesantes:

El Arenario en el que expone un método para escribir

números muy largos dando a cada cifra un orden diferente
según su posición.
De la medida del Círculo una de sus obras fundamentales,
donde demuestra que la razón entre la circunferencia y el
diámetro está comprendida entra 3 10/7 y 3 1/7; dicha
relación es conocida en la actualidad por . Demuestra
además la equivalencia entre el área del círculo y un
triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y el perímetro
(longitud) de la circunferencia.
Arquímedes comunicó a Eratóstenes (bibliotecario de Alejandría)
los razonamientos seguidos en las custiones geométricas. Los
mismos se recogen en una obra fundamental: El Método. (Algo así,
según algunas investigaciones, como una comunicación entre
colegas al más alto nivel).
Las aportaciones más importantes de Arquímedes a la Física se
centran en la mecánica de sólidos y en la Hidrostática, en las que se
vale para sus demostraciones de figuras geométricas. En la mecánica
de sólidos es la Estática la parte que má mereció su atención. En sus
escritos trata sobre el equilibrio de los cuerpos geométricos, así
como la forma de determinar el centro de gravedad de cualquier
Sello del correo postal cuerpo (en estos escrito habla del centro de gravedad de las figuras
español dedicado a
planas)
Arquímedes (pintado por
También enuncia la ley fundamental de la palanca, la cual produjo
Rivera)
gran sensación en el mundo griego (Dadme un punto de apoyo y
moveré el mundo). La polea compuesta, basada en el principio de la
palanca, y que empleó para mover un gran barco, para sorpresa del
escéptico rey Hierón, fue otrode sus sorprendentes descubrimientos.
El historiador Plutarco nos cuenta "[...] que no podía ser deslizado
del muelle a no ser que se emplease un gran esfuerzo y muchos
hombres; y, tras cargarlo con numeroso pasaje y mercancías a tope,
se sentó a una cierta distancia y, sin gran esfuerzo, sino sólo
sosteniendo el cabezal de la polea en su mano y tirando de las
cuerdas gradualmente, arrastró el barco en línea recta, de forma
suave y por igual como si se estuviera moviendo en el mar"
Probablemente el descubrimiento más conocido de Arquímedes sea
la ley sobre la pérdida que sufren los cuerpos sumergidos en un
líquido. Arquímedes descubrió con dicho principio que el rey Hierón
había sido objeto de una estafa al encargar una corona de oro.
Cuenta la tradición que descubrió la solución mientras se estaba
bañando y salió corriendo desnudo de su casa gritando
(¡lo
he descubierto!).
Arquímedes aplicó parte de sus descubrimientos
en la defensa de su ciudad natal contra el asedio de
los romanos. Citando nuevamente a Plutarco, las
legiones romanas avanzaron hacia las murallas
creyéndose invencibles "[...] pero cuando
Arquímedes comenzó a maniobrar con sus máquinas,
inmediatamente lanzó contra las fuerzas terrestres
toda clase de armas arrojadizas y unas masas
inmensas de piedras que caían con un ruido y
violencia terribles; contra las cuales ninguno pudo
resistir, ya que abatían a cuantos les caían a
montones, rompiendo toda formación."
Cuenta la tradición, aunque no parece muy probable,
que mediante unos espejos incendió la flota romana
desde el interior de las murallas de Siracusa; parece
ser que el artilugio consistía en un conjunto de
espejos planos con los que concentraba los rayos del
sol sobre las velas de las embarcaciones.
Pero a pesar de todas sus invenciones y grandes armas, la verdadera pasión de Arquímedes
fueron las matemáticas puras "[...] sus palancas, poleas y catapultas fueron naderías en
comparación con los bellos teoremas que descubrió". Nuevamente citamos a Plutarco:
"Arquímedes poseía un espíritu tan elevado, un alma tan profunda y con tales tesoros de
conocimientos científicos que, aunque estos inventos le han traído hasta ahora el renombre
de una gran sagacidad sobrehumana, no se ha dignado dejarnos ningún comentario o escrito
sobre estas materias; sino que repudiando como sórdido e innoble el mundo de la ingeniería
y toda clase de técnica que sólo sirve para mero uso y provecho, situó sus afectos y
ambiciones en aquellas especulaciones más puras en las que no puede caber ninguna
referencia a las vulgares necesidades de la vida"
Su máximo legado fueron las matemáticas y, en ese terreno, permanece como el más
grande de la antigüedad. Sus resultados, que sobreviven en una docena de libros y
fragmentos, tienen una calidad y un refinamiento lógico verdaderamente sorprendentes.
Cuando Siracusa fue capturada por los soldados de Marcelo un destacamento entró en la
casa de Arquímedes que se encontraba absorto en sus trabajos y le dio muerte.
Plutarco nos relata, por último, el epitafio que pidió a sus amigos que figurara sobre su
tumba:
"[...] sus descubrimientos fueron numerosos y admirables; pero se cuenta que le pidió a sus
amigos y parientes que, cuando muriera, colocaran sobre su tumba una esfera dentro de un
cilindro, incribiéndola en la proporción del sólido continente respecto al contenido, esto es,
la razón 3:2"
Cuenta la tradición que Arquímedes indicó que sobre su tumba se esculpiera un cilindro y
en él una esfera inscrita. La relación entre los volúmenes de ambos cuerpos es
V Cilindro = 3/2 V Esfera
Pare llegar a dicho resultado, Arquímedes comparó una semiesfera con un cilindro y un
cono recto de bases un círculo máximo de la semiesfera. Obtuvo sobre dichos cuerpos tres
secciones al cortar por un plano paralelo a las bases y comparó las áreas obtenidas.
Superficie Sección Semiesfera
S 1 = pi × r 12 = pi ×(R 2 - x 2) = pi ×R 2 - pi ×x 2
Superficie Sección Cilindro
S 2 = pi × r 22 = pi ×R 2
Superficie Sección Cono
S 3 = pi × r 32 = pi ×x 2 (pues x = r 3)
Es decir, que para una sección dada se establece la proporción
S1 = S2 - S3
por lo que
V Semiesfera = V Clindro - V Cono = 2/3 × pi× R 3
Como el volumen del cilindro circunscrito a la esfera de radio R es 2 × pi× R 3 resulta
V Esfera = 2/3 VCilindro circunscrito
Anverso y reverso
de una moneda
siciliana acuñada en
honor de Arquímedes.
En el reverso puede
verse una esfera
sobre un soporte. AR
MD son las
abreviaturas del
nombre latinizado
("Archimedes")
Euclides de Alejandría
Sobre la vida de Euclides sólo sabemos dos cosas
ciertas: que fue contemporáneo de Tolomeo Sóter (367-283
a.d.C), mayor que Arquímedes (nacido hacia el 287 a.d.C)
y que enseñó en Alejandría.
De su obra, se sabe que escribió más de diez libros, sólo
han llegado dos a nuestros días: LOS ELEMENTOS y
LOS DATOS. No es exageración afirmar que los
Elementos ha sido el libro más utilizado de la historia.
Además fue uno de los primeros libros impresos. Una
primera impresisn aparece en Venecia.
Hacia el siglo IV a.d.C. Alejandro de Macedonia conquista
el mundo griego, muriendo en el 323 a.d.C. a lo 33 años.
Dos años antes fundó la ciudad de Alejandría en el delta del
Nilo. Esta ciudad fue punto de encuentro de griegos, judíos
En España, la primera versión y árabes. En ella se conservó lo mejor del pensamiento
se realiza en Sevilla en 1576, heleno. A su universidad, se dice que con más de 700.000
con el título
documentos, fue llamado Euclides por Ptolomeo I Sóter (el
"Los seis libros primeros de Grande), sucesor de Alejandro, y durante más de 20 años,
la Geometría de Euclides, ejerció la labor docente y científica. En dicha ciudad,
Traduzidos por Rodrigo Euclides escribió su obra cumbre Los Elementos. En trece
gamorano Astrologo y
libros recopila casi todo el saber matemático de su época;
Mathematico, y
realiza una tarea gigantesca axiomatizando dichos
Cathedratico de
conocimientos.
Cosmografia por su
Magestad en la casa de
Sin lugar a duda, Euclides puede ser considerado el creador
Contratacio de Seuilla,
del método axiomático y sus Elementos el libro que más
1576"
influencia ha ejercido en las matemáticas.
Los Postulados de Euclides
Al comienzo de cada uno de los libros que componen los Elementos, Euclides presenta una
definiciones y unas nociones comunes relativas a los temas desarrollados. En el Libro I
expone además los cinco postulados en los que basa la construcción axiomática.
1.
2.
3.
4.
5.
Postúlese el trazar una recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera
Y el prolongar continuamente una recta finita en linea recta.
Y el describir cualquier círculo con cualquier centro y distancia.
Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo
menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán
en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.
Algunas proposiciones equivalentes al postulado de las paralelas (postulado 5) son:
Playfair Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una.
Proclo Dos rectas parlelas están entre si a una distancia finita.
Legendre Existe un triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos vale dos rectos.
Saccheri y Laplace Existen dos triángulos no congruentes, con los ángulos de uno
respectivamente iguales a los del otro.
Legendre y Lorentz Por un punto cualquiera interior a un ángulo menor que dos
tercios de rectos pasa una recta que corta a ambos lados del ángulo.
Gauss Si k es un entero cualquiera, siempre existe un triángulo cuya área es mayor
que k.
Bolyai Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia.
etc...
Los Elementos reúnen y sistematizan casi todo el
conocimiento matemático de su época. A grandes
rasgos la estructura de Los Elementos es:













Libro I Teoremas relativos a congruencias,
rectas paralelas. 23 definiciones; 5
postulados; 9 nociones comunes; 48
proposiciones (las p.47 y 48 son el teorema
de Pitágoras)
Libro II Aritmética de la Escuela Pitagórica.
2 definiciones; 14 proposiciones.
Libro III Cículos, cuerdas, .... 11
definiciones; 37 proposiciones.
Opus elementorum euclidis ...
Libro IV Construcciones con regla y compás.
Venecia 1482.
7 definiciones; 16 proposiciones.
Página inicial de la primera edición de
Libro V Teoría de la proporción. 18
Los Elementos debida al impresor
definiciones; 25 proposiciones.
Erhard Ratdolt.
Libro VI Estudio de figuras semejantes. 4
Para leer:
definiciones; 33 proposiciones.
Euclides. Biblioteca Clásica
Libro VII Teoría de números; 22
Gredos.
definiciones; 39 proposiciones. (la p.I es el
algoritmo de Euclides).
 Tomo I Libros I-IV y una
Libro VIII Teoría de números; 27
introducción monumental de
proposiciones.
Luis Vega (180 páginas)
Libro IX Teoría de números; 36
 Tomo II Libros V-IX
proposiciones; (p.XX "el conjunto de
 Tomo III Libros X - XIII
números primos es infinito").
Libro X Magnitudes; 36 proposiciones; (Se
establece el método de exhaución).
Libro XI Geometría de sólidos y esfera; 39
proposiciones.
Libro XII Geometría de sólidos y esfera; 18
proposiciones.
Libro XIII Geometría de sólidos y esfera; 18
proposiciones.
En la red:
 http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/home.html La página de David E. Joyce (En inglés)
Leonardo de Pisa. Fibonacci
"En un patio cerrado, se coloca una
pareja de conejos para ver cuántos
descendientes produce en el curso de un
año, y se supone que cada mes a partir
del segundo mes de su vida, cada pareja
de conejos da origen a una nueva. Como
la primera pareja de conejos tiene
descendencia en el primer mes, dobla el
número y, en este mes, se tienen dos
parejas. De éstas, una pareja, la primera,
también tiene descendencia en el mes
siguiente, de manera que en el segundo
mes hay tres parejas. De ésas, dos
parejas tienen descendencia en el mes
siguiente, de modo que en el tercer mes
han nacido dos parejas adicionales de
conejos, y el número total de parejas de
conejos llega a cinco. En dicho mes tres
de estas cinco parejas tienen hijos y, en
el cuarto, el número de parejas llega a 8.
Cinco de estas parejas producen otras
cinco parejas, las cuales, junto con las 8
parejas ya existentes, hacen 13 parejas
en el quinto mes. Cinco de estas parejas
no tienen hijos en este mes en este mes,
mientras que las restantes ocho parejas
tienen descendencia, de modo que en el
sexto mes se tienen 21 parejas. Simando
a éstas las 13 parejas que nacen en el
séptimo mes, se obtiene un total de 34
parejas. Sumando a éstas las las 21
parejas que nacen en el octavo mes, el
total es de 55 parejas. Sumando a éstas
las 34 parejas que nacen en el noveno
mes, se obtienen 89 parejas. Agregando
a éstas las 55 parejas que nacen en el
décimo mes, se tiene un total de 144
parejas. Agregando a éstas las 89
parejas que nacen en el undécimo mes,
se llega a un total de
233 parejas.
Parejas:
primer mes
segundo mes
tercer mes
cuarto mes
quinto mes
sexto mes
séptimo mes
octavo mes
1
2
3
5
8
13
21
34
55
Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci,
contracción de filius Bonacci, es decir el hijo de
Bonacci) nace en Pisa, posiblemente hacia 1170
y muere sobre 1250. Al ser su padre
representante comercial de la ciudad de Pisa en
Argelia, estuvo en contacto con la cultura árabe,
interesándose especialmente por sus
matemáticas.
Su obra principal fue el Liber Abaci (o Libro
acerca del Ábaco), una extensa obra que contiene
casi todo el conocimiento algebraico y aritmético
de la época. En ella Fibonacci exponía entre otras
cosas, la importancia del sistema de numeración
indoarábigo. Escrito en 1202, sólo se conserva la
versión de 1228 (segunda versión). En él aparece
(pgs. 123 y 124) un problema sobre el nacimiento
de conejos y que nada tuvo de significativo hasta
que, a comienzos del siglo pasado, fue objeto de
numerosos estudios que permitieron descubrir
muchas de las propiedades que tiene. Aunque
anteriormente Kepler (De Nive Sexangula) ya
había relacionado la sucesión de Fibonacci con la
sección áurea y el crecimiento de plantas.
En honor de Fibonacci, la sucesión definida por
f1 = f2 = 1
fn = fn - 1 + fn - 2 para n >= 3
recibe el nombre de sucesión de Fibonacci y sus
término números de Fibonacci.
Los primeros téminos de la sucesión de
Fibonacci son:




f1 = 1
f2 = 1
f3 = f2 + f1 = 2
f4 = f3 + f2 = 3
Finalmente, sumando a
éstas 144 parejas que
décimo mes
nacen en el último mes,
undécimo mes
se obtienen un total de
377 parejas. Este es el
duodécimo mes
número de parejas
producidas por la
primera pareja en el lugar dado, al
término de un año. Al examinar la tabla
anterior, el lector puede ver cómo se
llega a este resultado; a saber: se suma
el primer número al segundo, o sea, 1 a
2; el segundo al tercero; el tercero al
cuarto, el cuarto al quinto; y así
sucesivamente, hasta que se suman el
décimo y el undécimo números 144 y
233; así se obtiene el número total de
parejas de los conejos en cuestión, es
decir, 377."
noveno mes
89
144
233
377
Otras sucesiones interesantes.
Números de Lucas.
En honor del matemático francés F.
Edouard A. Lucas (1842-1891)
La sucesión definida por:
L 1 = 1, L 2 = 3
L n+2 = L n+1 + L n n >= 1
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...
Sucesiones generalizadas de
Fibonacci.
se obtienen con el mismo método de
recurrencia pero los dos primeros
términos son dos números naturales
cualesquiera.
Si f 1 = 1 y f 2 = 5, obtenemos la sucesión
generalizada de Fibonacci siguiente:
1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118,...
Números de Tribonacci
Sucesión obtenida a partir de los
números
T 1 = 1; T 2 = 1; T 3 = 2
y sumando de tres en tres




f5 = f4 + f3 = 5
f6 = f5 + f4 = 8
f 7 = f 6 + f 5 = 13
...
Es decir:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,
610, 987, 1597, 2584, ...
En ella f 14 = 377 es el resultado buscado por
Fibonacci.
Otras obras de Fibonacci fueron:
 Practica Geometriae (1120)
 Liber quadratorum (1225)
 Flos (1225)
La sucesión de Fibonacci presenta
numerosas propiedades que la han hecho
particularmente atractiva. Existe una
publicación denominada The Fibonacci
Quarterly, publicada por la Fibonacci
Association en la que, a partir de los años
60, se recogen y estudian múltiples
propiedades de esta sucesión y las
derivadas de ella. En lo que sigue
veremos algunas de estas propiedades
T4 = T3 + T2 + T1 = 4
T5 = T4 + T3 + T2 = 7
T 6 = T 5 + T 4 + T 3 = 13
T 7 = T 6 + T 5 + T 4 = 24
T 8 = T 7 + T 6 + T 5 = 44
...
Suma de n términos
f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + ... + f n = f n + 2 - 1
Suma de términos impares
f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + ... + f 2n - 1 = f 2n
Suma de términos pares
f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + ... + f 2n = f 2n + 1 - 1
Suma de los cuadrados de n términos
f 12 + f 22 + f 32 + f 42 + ... + f n2 = f n f n + 1
Diferencia de cuadrados La diferencia de cuadrados de dos números de Fibonacci cuyos
índices difieren en dos unidades es otro número de Fibonacci
f n + 12 - f n - 12 = f 2n
Relación de la sucesión de Fibonacci con los coeficientes binomiales
Dispuesto el Triángulo de Pascal tal
como indica la figura y sumando las
diagonales en el orden indicado
(diagonales colororeadas) obtenemos
los números de Fibonacci.
Si
, los números de
Fibonacci tienen la siguiente
expresión:
f 1 = C0, 0
f 2 = C 1, 0
f 3 = C 2, 0 + C 1, 1
f 4 = C 3, 0 + C 2, 1
f 5 = C 4, 0 + C 3, 1 + C 2, 2
f 6 = C 5, 0 + C 4, 1 + C 3, 2
f 7 = C 6, 0 + C 5, 1 + C 4, 2 + C 3, 3
f 8 = C 7, 0 + C 6, 1 + C 5, 2 + C 4, 3
...
La divisibilidad y los números de Fibonacci.


Números de Fibonacci consecutivos son primos entre si
Si designamos por (a,b) el máximo común divisor de a y b, entonces
(f m , f n) = f (m, n)
Ejemplo:
Si f 8 = 21 y f 12 = 144, entonces m = 8, n = 12, por lo que (m, n) = (8, 12) = 4 y
(f 8 , f 12) = (21, 144) = 3 = f 4


Si n es divisible entre m, entonces f n es divisible entre f m
Ejemplo:
f 10 = 55; f 5 = 5 entonces f 10 / f 5 = 55 / 5 = 11
f n es par si y sólo si n es múltiplo de 3.
f 3 = 2; f 6 = 8; f 9 = 34; f 12 = 144...
La sucesión de Fibonacci y el número áureo.

La sucesión formada por los cocientes de números de Fibonacci consecutivos
converge, rápidamente, hacia el número áureo.
Diferencia en valor absoluto con phi
f2 / f1 = 1
0, 61 80 33 98 ...
f3 / f2 = 2 / 1 = 2
0, 38 19 66 01 ...
f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5
0, 11 80 33 98 ...
f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66 66 ...
0, 04 86 32 67 ...
f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6
0, 01 80 33 98 ...
f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5
0, 00 69 66 01 ...
f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ...
0, 00 26 49 37 ...
f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ...
0, 00 10 13 63 ...
f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ...
0, 00 03 86 92 ...
...
Es decir

Como f n = f n - 2 + f n - 1 resulta


Ahora bien
Análogamente

por lo que

Reiterando este procedimiento llegamos a obtener


Puesto que el número áureo tiene el mismo desarrollo en forma continua queda
justificada la convergencia indicada.
Otras convergencias de los números de Fibonacci

La sucesión f 1 / f 3, f 2 / f 4, f 3 / f 5, f 4 / f 6, ... f n / f n + 2 converge a


La sucesión f 1 / f 2, f 2 / f 3, f 3 / f 4, f 4 / f 5, ... f n / f n + 1 converge a
El número de Fibonacci f m es el entero más próximo al témino a m de la progresión
geométrica cuyo primer término es
Ejemplo
y razón
es decir f 14 = Parte Entera (a 14 ) = 377

Fórmula de Binet
Podemos obtener un número de Fibonacci mediante la expresión
expresión conocida por fórmula de Binet como recuerdo de Jacques Philippe Marie
Binet (1786-1856), matemático que la descubrió
Espiral de Fibonacci
En la red:

www-history.mcs.st-and.ac.uk./~history/Mathematicians/Fibonacci.html


www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
Además La Bolsa y la sucesión de Fibonacci.. Francisco Gallego Puche
Herón de Alejandría
Entre los muchos "Herón" que existen en la historia de las ciencias
técnico-matemáticas unos de los más importantes fue el de
Alejandría (que por cierto parece ser que tampoco nació allí sino en
Ascra). Si tiene más fundamento el que era de origen humilde y fué,
en su juventud, zapatero. Tampoco existen datos dignos de crédito
respecto a su nacimiento (?126 a.C.) ni a su muerte (?50 a.C.). Fué
el inventor de máquinas como la dioptra, el odómetro (sistema de
engranajes combinados para contar las vueltas de una rueda) o,
quizás el más importante, la eolipila, un precursor de la turbina de
vapor.
Su obra, si es la de un solo autor, fué bastante amplia.
(Marcaremos con (+) las que han llegado a nososotros)



Obras de carácter científico:
o (+) Métrica. Fragmentos dispersos en una veintena de
manuscritos y algunos de origen dudoso, tiene una
finalidad eminentemente práctica. Estuvo perdida
hasta que fué descubierto, en 1896, un manuscrito de
1100.
Libro I. Estudio de áreas, cuadrilátero, polígonos
regulares, figuras circulares, elipse,...)
Libro II. Dedicado al estudio de volúmenes
siguiendo una estructura parecida al Libro I.
Libro III. Dedicado a la división de figuras en partes
proporcionales.
o Escolios de Euclides (citados por Proclo)
o (+) Mecánica.
Libro I. Se ocupa de las proporciones de figuras.
Libro II. Trara de las máquinas simples (torno,
palanca, polispasto, cuña y tornillo).
Libro III. Tratado de aplicaciones de la mecánica.
Técnicas:
o (+) Neumáticas. Más conocidas por su nombre latino
'Pneumaticorum libri duo'. En el prefacio se trata el
concepto de vacío de forma científica por primera
vez.
o Catóptrica. que trata de los espejos planos, cóncavos
y convexos. (Esta obra fué atribuída durante bastante
tiempo a Ptolomeo).
o (+) Dioptra, donde trata el uso de este aparato que fué
utilizado durante bastante tiempo en observaciones
astronómicas.
Mecánica aplicada:
o Relojes hidráulicos (mencionados por Pappus). Sólo
o
o
o
o
o
se conserva un fragmento en el que habla de la
clepsidra
(+) Máquinas de guerra
(+) Quirobalista
(+) Autómatas
Los equilibrios
Sobre los vasos hidráulicos
El camino más corto
Euclides en su Óptica, enunció que la luz atraviesa el
espacio en linea recta y en la Catóptrica enuncia la ley
de la reflexión.
Cuatro siglos después, Herón observó que dicha ley es
consecuencia del hecho de que la luz debe tomar
siempre el camino más corto.
En Dioptra. prop. 4. demuestra el teorema.
Un ejemplo nos hará ver mejor qué quería decir Herón.
Supongamos un hombre que se encuentra en P y
desea ir hasta Q, pero antes desea llenar un cubo de
agua en r. ¿Cuál es el camino más corto?
Para averiguarlo determinamos P' el simétrico de P
respecto de r; sea M el punto de intersección con r de
la recta P'Q y M'cualquier otro punto de r. Los ángulos
x, y, z son iguales (luego P'M = MP y P'M'= M'P); como
la suma de dos lados de un triángulo es mayor que el
tercero resulta P'Q < P'M'+ M'Q y puesto que P'Q =
P'M + MQ resulta
PM + MQ < PM'+ M'Q
La trayectoria que debe recorrer una pelota de billar
(blanca) para dar en la roja, después de rebotar en una
banda es la indicada en amarillo. Si tira a cualquier
otro punto de dicha banda no hará carambola.
La trayectoria de la bola blanca, rebotando primero en
la banda B y posteriormente en la B' es la indicada en
color amarillo.
¿Cuál sería la trayectoria rebotando primero en B' y
luego en B?
¿Y a tres bandas?
En la Métrica, existen ejemplos sobre el
cálculo de raíces cuadradas, método que
posiblemente ya conocían los babilonios y
también Arquímedes; también calcula la raíz
cúbica de 100.
Para calcular las raíces cuadradas, utiliza la
Cálculo de la raíz cúbica de 100
1. Considera los cubos anterior y
posterior a 100, esto es 64 y 125,
luego la raíz cúbica buscada estará
entre las de estas cantidades.
siguiente regla: si deseamos calcular (N) 1/2 y
p es una aproximación, entonces
es una mejor aproximación.
No ocurre igual con el cálculo de la raíz
cúbica de 100 y deducir una regla es más
difícil (¿No?)
2. Determina las diferencias
125 - 100 = 25 (= 5 2)
100 - 64 = 36
3. Multiplica 36 x 5 = 180 y lo añade al
número propuesto, es decir 100 + 180
= 280
4. Divide 180 entre 280 y obtiene 9/14
5. Añade este valor a la raíz cúbica de
64, es decir a 4, y obtiene 65/14
De esta forma determina la raíz cúbica de 100
con una aproximación menor que 0,02.
Posiblemente la expresión matemática más conocida de Herón sea su fórmula para
determinar el área de un triágulo conocidos sus lados. Algo realmente útil en aquellos
tiempos. Si bien parece que era conocida por Arquímedes, la primera demostración que nos
ha llegado figura en la Métrica. El teorema nos garantiza, conociendo las lados de un
triángulo, conocer su área, mediante la expresión
donde a, b y c son los lados del triángulo y p la mitad del perímetro del mismo.
Aunque ya conocemos una demostración de este teorema en Calculando el área de un
triángulo, seguiremos ahora, con la notación actual, el camino que siguión Herón para llegar
a dicha expresión. ¡Verdadero encaje de bolillo.!
En primer lugar inscribió un círculo en el
triángulo y dedujo que el área del mismo era
A = r.p (siendo r el radio del círculo y p la
mitad del perímetro del triángulo). Como la
demostración es, esencialmente, la misma
que figura en Calculando el área de un
triángulo, la omitimos.
A continuación estudia los triángulos que se
forman y llega a la conclusión de que son
congruentes las siguientes parejas de
triángulos:
AOM y AOP, BON y CON, AOP y COP
por lo que resulta: AM = AP, BM = BN, CP
= CN y además
ángulo (AOM) = ángulo (AOP)
ángulo (BOM) = ángulo (BON)
ángulo (COP) = ángulo (CON)
Seguidamente prolongó la base AB hasta
C' de forma que AC'= PC (= CN) y
argumentó
BC' = BM + MA + AC'= BM + MA + CN =
= 1/2 ( 2 BM + 2 MA + 2 CN) =
= 1/2 ( (BM + AM) + (AM + AP) + (CN +
CP) ) =
Está clara la intención de Herón al intentar
= 1/2 ( (BM + AM) + (BN + NC) + (AP +
tener sobre la recta base del triángulo la
PC) ) =
longitud del semiperímetro. No sólo eso, sino
= 1/2 (a + b + c ) = p (semiperímetro)
que sobre la misma base determina p - a, p - b
y p - c, con lo cuál tiene sobre dicho segmento p - c = (C'A + AM + MB) - (AM + MB) =
todos los elementos que intervienen en la
C'A
fórmula. ¡Genial! ... pero aún falta mucho ...
p - b = (C'A + AM + MB) - (CP + PA) =
(C'A + AM + MB) - (C'A + AM) = MB
p - a = (C'A + AM + MB) - (CN + NB) =
(C'A + AM + MB) - (C'A + MB) = AM
En este momento de la demostración,
Herón traza una perpendicular a la base por
A y otra al segmento OB (por O). Ambas se
cortan en T y une dicho punto con B.
Obtiene de esta forma un cuadrilátero TAOB
tal que sus ángulos opuestos suman dos
rectos (Euclides III.22: " Los ángulos
opuestos de los cuadriláteros en los círculos
son iguales a dos rectos". El cuadrilátero
dado se puede inscribir en un círculo por ser
TO perpendicular a OL y AT perpendicular a
AB. ¿Cuál es el centro de dicho círculo?); es
decir ATB + AOB = 180°.
Como 2x + 2y + 2z = 360° resulta que x + y
(Reconozco que cuando llegué aquí la primera
+ z = 180°; puesto que y + z = AOB resulta
vez que seguí esta demostración estaba
que x + AOB = 180° = ATB + AOB y
perdido.)
concluye que ATB = x.
A continuación Herón comienza a comparar parejas de triángulos semejantes
Son semejantes los triángulos POC y ATB.
(¿ Por qué?)
AB/AT = PC/r y como PC = C'A resulta
AB/AC' = AT/r
También son semejantes los triángulos KAT
y KMO (¿ Por qué?)
AT/AK = OM/KM = r/KM, por lo que
AT/r = AK/KM
Teniendo en cuenta las dos proporciones anteriores resulta AB/AC' = AK/KM; sumando
1 a cada miembro de esta igualdad:
AB/AC'+ 1 = AK/KM + 1
(AB + AC')/AC' = (AK + KM)/KM
C'B/AC' = AM/KM, expresión equivalente a
(C'B.C'B)/(AC'.C'B) = (AM.MB)/(KM.MB) o bien
C'B 2.KM.MB = AC'.C'B.AM.MB
A continuación Herón considera el triángulo BOK, que es un triángulo rectángulo de
altura r, que es precisamente la altura relativa a la hipotenusa; aplicando el teorema de la
altura ("En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional
entre los dos segmentos que sobre la misma determina)", establece que r 2 = KM.MB.
Sustituyendo en la expresión anterior tenemos:
C'B 2.r 2 = AC'.C'B.AM.MB
que son cada uno de los segmentos determinados sobre la base del triángulo; sustituyendo y
manipulando las expresiones:
C'B 2.r 2 = p.(p - a).(p - b). (p - c)
(C'B.r) 2 = p.(p - a).(p - b). (p - c)
Pero C'B.r = p.r = Área, según se deduce al comienzo de la demostración (¡Parecía que no
serviría para nada!), por lo que:
Área 2 = p.(p - a).(p - b). (p - c)
Q.E.D.
Quod Erat Demonstrandum.
Padro Puig Adam.
Pedro Puig Adam (1900/1960) fue uno de los matemáticos españoles
que mas trabajaron en la didáctica de las matemáticas.
En cualquier pais europeo hubiese sido un lujo. En el nuestro, que
también es europeo, con escasa tradición científica y muy orgullosos de
aquello de "...que inventen ellos", fue, salvo entre los cículos
profesionales, un desconocido.
Catedrático del Instituto San Isidro de Madrid y de Metodología de las
Matemáticas en aquella universidad, compaginaba su contacto real con
la enseñanza, con sus inquietudes pedagógicas influyendo en los nuevos
profesores.
Su preocupación por los problemas de la enseñanza lo llevó a ser un
destacado miembro de la C.I.E.M. (Comisión Internacional para la
Enseñanza de las Matemeáticas), logrando que la XI C.I.E.M. se
celebrase en Madrid en 1958.
En 1958 redactó el Decálogo del Profesor de Matemáticas en el que
recogía sus opiniones sobre la enseñanza de las matemáticas en los
Institutos de Bachillerato. El Decálogo, siempre en vigor, nos muestra
cómo los actuales pontífices didácticos no nos descubren nada nuevo.
Sirva esta página, que se irá actualizando, como homenaje a la ingente
labor de un matemático español de primera línea.
Estructuras algebraicas en un juego de mosaico
Artículo de Puig Adam publicado en la revista belga Mathematica & Pedagogica, n. 10. 1956
Se encuentra también en el libro del autor La Matemática y su Enseñanza Actual. Publicaciones de la
Dirección General de Enseñanzas Medias. Ministerio de Educación Nacional 1959.
Material: Una o dos cajas de mosaicos de colores, con piezas de dos clases; triángulos
rectángulos isósceles iguales entre sí y rombos con ángulos agudos de 450 y lados iguales a
los catetos de los triángulos. Estos mosaicos de juguete se venden en los bazares con el
nombre de Rombo
La inconmesurabilidad de las áreas de estas piezas me sugirió una lección activa sobre
irracionales cuadráticos y su cálculo, que conduje del siguiente modo:
Empecé distribuyendo entre los alumnos (3° y 4° de Bachillerato) piezas de las dos clases, y
preguntándoles los valores de sus ángulos, el de la hipotenusa del triángulo (tomando el
cateto como unidad); y el del área de una y otra pieza. No es raro que la del rombo ofrezca
alguna pequeña dificultad. Se puede ayudar a resolverla componiendo la figura adjunta o
dejando simplemente que averigüen la altura del rombo por aplicación del teorema de
Pitágoras,
Resultados: área del triángulo, 1/2; área del rombo
/2.
Los escribo en el encerado y propongo la siguiente cuestión: «Con estas piezas del mosaico
se pueden construir multitud de figuras diversas. Si formamos, aparte, figuras sólo con
triángulos y figuras que solamente contengan rombos, ¿será alguna de las primeras
equivalente a alguna de las segundas?. De otro modo: ¿Se puede sustituir un número de
triángulos por un número de rombos de modo que las áreas sustituídas sean equivalentes?
Los alumnos con los que operé ya sabían por aritmética la inconmensurabilidad de
Tuve, sin embargo, que recordar su significado: Imposibilidad de que
.
= m / n o, de otro
modo, imposibilidad de que n
sea igual a m unidades (m, n enteros). Con este recuerdo,
conseguí ya que, algunos de los alumnos, vieran la impossibilidad análoga de que un cierto
número de veces
/2, área del rombo, equivalga a otro cierto número de veces el área del
triángulo 1/2.
Recalqué, diciendo: « Las áreas de los triángulos y las de los rombos son como dos mundos
aparte no intercambiables. toda figura compuesta de triángulos y de rombos tendrá un área
con una parte racional procedente solamente de los triángulos que contiene y una parte
irracional, procedente de los rombos.»
Después de llegar a esta consecuencia, abro ligeramente una de las cajas cuadradas del juego
con objeto de dejarles ver solamente un borde. En él ven la constitución de uno de los lados
del cuadrado, cuya longitud consta de cuatro lados de rombos (1) y dos hipotenusas de
triángulos
e inmediatamente les propongo averiguar cuántas piezas de cada clase
contiene la caja, es decir, hay en el cuadrado.
Tras breve reflexión calculan el cuadrado de 4 + 2
(4 + 2
) 2 = 24 + 16
de lo que resulta que la caja contiene 48 triángulos y 32 rombos.
Repito la cuestión para cajas de distinto tamaño y aun para rectángulos que los mismos
alumnos pueden idear. Por ejemplo, el rectángulo de dimensiones 3 + 2
y1+
exige
14 triángulos y 10 rombos como se obtiene fácilmente calculando el producto.
El cálculo previo del número de piezas necesarias de una y otra clase facilita mucho la
construcción efectiva, con lo que puede terminar en forma de juego instructivo la lección.
El autor continúa el artículo con la justificación y generalización del juego.
Si estás interesado en él puedes solicitarlo a la G.M. y te lo remitiremos por e-mail en el plazo más breve
posible
Aquí puedes conseguir el Decálogo Decalogo.Zip (1 K.)
Existe una Sociedad Puig Adam de Profesores de Matemáticas con página en la red a
la que puedes ir desde nuestra página dedicada a las Asociaciones de Profesores de
Matemáticas
Decálogo de la didáctica matemática media.
(Pedro Puig Adam)
1. No adoptar una didáctica rígida, sino amoldarla en cada caso al alumno, observándole
constantemente.
2. No olvidar el origen concreto de la Matemática, ni los procesos históricos de su
evolución.
3. Presentar la Matemática como una unidad en relación con la vida natural y social.
4. Graduar cuidadosamente los planos de abstracción.
5. Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno,
6. Estimular la actividad creadora, despertando el interés directo y funcional hacia el
objeto de conocimiento.
7. Promover en todo lo posible la autocorrección.
8. Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas.
9. Cuidar que la expresión del alumno sea traducción fiel de su pensamiento.
10. Procurar que todo alumno tenga éxito para evitar su desaliento.