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UNIDAD 5
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta unidad resolverás ejercicios en los que apliques los
resultados de los productos y cocientes notables.
Objetivo 1.
Recordarás a qué se llama productos y cocientes notables.
Ejercicios resueltos:
Calcula los productos notables que se indican:
1.)
 ax
2
 by 2 
 ax
2
2
2
2
 by 2    ax 2   2  ax 2  by 2    by 2 
2
 a 2 x 4  2abx 2 y 2  b 2 y 4
2.)
1 5 3 3
 t  w 
4 
2
2
2
2
1 5 3 3 1 5
 1 5  3 3   3 3 
 t  w    t   2 t  w    w 
4  2 
2
 2  4   4 
1
3
9
 t 10  t 5 w3  w 6
4
4
16
3.)
 4a
5
 a 
 b

2
2
2
2
 4a
 4a 
 4a  5
5
5 2
  a      2  a   a 
 b
  b 
 b 
16a 2 8a 6

 a10
2
b
b

4.)
5 4
3
 w z 
2 
5
2
2
2
5 4 3 
3
 3  5 4   5 4 
 w  z    w  2  w  z    z 
2  5 
5
 5  2   2 
9 2
25
w  3wz 4  z 8
25
4

5.)

2x  3 y


2
2
2x  3 y
 
2


2

 
2x  2 2x 3 y  3 y

2
 2 x  6 2 xy  9 y
6.)
2
3x  2 x
2

2
3x  2 x
2
   2 3x 
2


 
 2 2 3x 2 x  2 x

2
 12 x  8 3x  4 x  16 x  8 3 x
7.)
 sen x  cos x 
2
 sen x  cos x 
2
2
  sen x   2  sen x  cos x    cos x 
 sen 2 x  2sen x cos x  cos2 x
 1  2sen x cos x
8.)
a  b  c  d 
2
a  b  c  d 
2
  a  b    c  d  
2
2
2
  a  b   2  a  b  c  d    c  d 
2
  a 2  2ab  b 2   2  ac  ad  bc  bd    c 2  2cd  d 2 
 a 2  2ab  b 2  2ac  2ad  2bc  2bd  c 2  2cd  d 2
Objetivo 3.
Memorizarás y aplicarás la regla para obtener el producto de la
suma por la diferencia de dos cantidades.
Ejercicios resueltos:
Calcula los productos notables que se indican:
1.)
a
3
 7b 2  7b 2  a 3 
a
3
2
 7b2  7b 2  a3    a3    7b 2 
2
 a 6  49b 4
2.)
1 
1

 x   x  
x 
x

1 
1
2

1
 x   x     x    
x 
x

x
 x2 
3.)
3
1
x2

7x  2 y 3 7x  2 y
3
2


 
7 x  2 y 3 7 x  2 y  3 7x
2
  2 y 
 63x  4 y
4.)
 a  b  1 a  b  1
 a  b  1 a  b  1   a  b   1  a  b   1
2
  a  b   12  a 2  2ab  b 2  1
2
 2 x  y  z  2 x  y  z 
5.)
 2 x  y  z  2 x  y  z    2 x   y  z  2 x   y  z 
2
2
  2x    y  z   4 x 2   y 2  2 xy  z 2 
 4 x 2  y 2  2 xy  z 2
Objetivo 4.
Memorizarás y aplicarás la regla para obtener el cubo de un
binomio.
Ejercicios resueltos:
Calcula los productos notables indicados:
1.)
 ht
2
 2t  3   ht 2  3 3  ht 2  2 2t   3  ht 2   2t  2   2t  3
 h 3t 6  6h 2t 5  12ht 4  8t 3
2.)
a
x
 b y  3   a x  3 3  a x  2 b y   3  a x  b y  2  b y  3
 a 3 x  3a 2 x b y  3a x b 2 y  b 3 y
3.)
x
2a
3
3
2
2
 5 y a    x 2 a   3  x 2 a   5 y a   3  x 2 a  5 y a    5 y a 
3
 x 6 a  15 x 4 a y  75 x 2 a y 2 a  125 y 3 a
4.)
2 3
 2x  y    2 x 
3
 3 2x
2
2 2
2 3
 y   3 2x  y    y 
2
 8 x3  12 x 2 y 2  6 xy 4  y 6
3
5.)
3
3
 5 x 2  6 y   5x 3 y   5x 
 5x 

         3 
x   2 
 2
 2x   2

2
2
 3 y   5 x  3 y   3 y 
   3     
 x   2  x   x 
125 x 3 225 x 2 y 135 xy 2 27 y 3


 3
8
2x
2x
x
3
125 x 3 225 xy 135 y 2 27 y 3


 3
8
2
2
x

6.)

x  2 xy
   x   3  x   2 xy   3  x   2 xy 
3
3
3
2
2
2
  2 xy  3
5
2
2
 x  6 x y  12 x y 2  8 x 3 y 3
 x 3  6 x 2 y  12 x 5 y 2  8 x 3 y 3
7.)
a  2 b 
3



 
  a  3 3  a  2 2 b  3  a  2 b 2  2 b

3
 a 3  6a 2 b  12ab  8 b 3
3
8.)
1 
3
 a  b 
2 

 a   3 a 
3
a
9.)
3
 x 1 y 
3
3
2
1 
 b  3
2 
2
1  1 
a  b   b
2  2 
33 2
3
1
a b  3 ab 2  b 3
2
4
8
3
3
  x  1  y    x  1  3  x  1

3
 
3
2
2
2
2
 y   3  x  1 y    y 
3

 x 3  3  x  1  3  x 1  13  3  x 2  2 x  1  y   3  x  1 y 2  y 3
 x 3  3x 2  3x  1  3 x 2 y  6 xy  3 y  3xy 2  3 y 2  y 3
10.)
Eleva a la tercera potencia la diferencia de b  1 menos c  1 .
 b  1   c  1  3   b  c  2  3   b  c   2 3
3
2
2
3
 b  c   3b  c  2   3b  c 2   2


 b 3  3b 2c  3bc 2  c 3  6 b 2  2bc  c 2  12b  12c  8
 b 3  3b 2c  3bc 2  c 3  6b 2  12bc  6c 2  12b  12c  8
Objetivo 5.
Memorizarás y aplicarás la regla para obtener el producto de dos
binomios con un término común.
Ejercicios resueltos:
Calcula los productos notables indicados:
1.)
1
 3

  y   y 
4
 4

3
2
1
 3

1 3
 1  3 
2
  y   y     y      y      y  y 
16
4 4
 4  4 
4
 4

2.)
2

 2 x  x  5 
x  x 5  4x


 
4x  2 x  x
 2 x

2

 5  2 x 

  x  5  2 x   x  5 
 4 x  2 x x  10 x  5 x
 9 x  2 x x  10 x
3.)
 ab  ac  ab  bc 
 ab  ac  ab  bc    ab 
2
  ac   bc    ab    ac  bc 
 a 2b 2  a 2bc  ab 2c  abc 2
4.)
 4 x  y  1 4 x  3 y  1
4 x  y  14 x  3 y  1   4 x  1  y  4 x  1  3 y 
  4 x  1  y   4 x  1  y   4 x  1  3 y 
2
  4 x  1   y   3 y    4 x  1   y  3 y 
 16 x 2  8 x  1  8 xy  2 y  3 y 2
5.)
x
2
 y 2  z 2  x 2  y 2 
x
2


 y 2  z 2 x 2  y 2   x 2  y 2   z 2   x 2  y 2   0 
2
  x 2  y 2    z 2  0  x 2  y 2    z 2   0 
x
Objetivo 6.
4
 2x2 y 2  y4  x2 z2  y 2 z2 
Memorizarás y aplicarás las reglas para obtener el cociente de la
diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las
cantidades.
Ejercicios resueltos:
Calcula los cocientes notables indicados:
1.)
4 x 2  121
2 x  11
2
2
4 x 2  121  2 x   11

 2 x  11
2 x  11
2 x  11
2.)
9a 4b 2  16a 2b 6
3a 2b  4ab3
2
2
2
3
9a 4 b 2  16a 2 b 6  3a b    4ab 

 3a 2b  4ab3
2
3
2
3
3
a
b

4
ab
3a b  4ab
3.)
a 2 x 2  4b 2 x
a x 1  2b x
2
2
x 1
x
a 2 x  2  4b 2 x  a    2b 

 a x 1  2b x
a x 1  2b x
a x 1  2b x
4.)
3a 4 x  9b 2 y
3b y  3a 2 x
3a 4 x  9b 2 y
3a 4 x  9b2 y

3b y  3a 2 x
3a 2 x  3b y


Objetivo 7.
3a 2 x
2
y 2
  3b 
2x
3a  3b
 3a 2 x  3b y
y
Memorizarás y aplicarás las reglas para obtener el cociente de la suma
o la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las
cantidades.
Ejercicios resueltos:
Determina el resultado de los siguientes cocientes notables:
1.)
a 3  27b 3
3a  9b
a 3  27b 3 a 3  27b 3

3a  9b
3a  3b 
3
3
1  a   3b  
 

3  a  3b 
2.)

1 2
2
a  a 3b   3b 
3

a2
 ab  3b 2
3


64m 3  125n 3
4m  5n
64m 3  125n 3 4m 3  5n 3

4m  5n
4m  5n
2
2
 4m   4m 5n   5n 
 16m 2  20mn  25n 2
3.)
x6
 343 y
27
x2
 73 y
3
3
 x2 
x6
3
 343 y
   7 y
3
27
  2
2
x
x
 73 y
 73 y
3
3


3
2
 x2   x2 
      73 y  73 y
 3  3


4.)
 

2
 x    x  y

3
x4 7 x2 3 y

 49 3 y 2
9
3
x 6  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3
x2  x  y
3
x 6  x 3  3 x 2 y  3xy 2  y 3 x 6   x  y 
 2
x  x  y 
x2  x  y
2
3
x2   x  y 
   
2
2
 x 2  x 2 x  y   x  y 
 x 4  x3  x 2 y  x 2  2 xy  y 2
5.)
xy  8 xy
26 xy  3 xy
xy  8 xy
26 xy  3 xy




3
xy
  2
3
6
xy

3
2 6 xy  3 xy
3
xy
 
2
3

 
xy 2 6 xy  2 6 xy
 3 x 2 y 2  2 xy  43 xy

2