Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA 1. En cada caso escribe un polinomio que cumpla las condiciones que se indican: a. Con grado 5 y coeficientes enteros. b. Trinomio de grado 3 sin término independiente. c. Completo de grado 4. d. Incompleto y ordenado de grado 3. 2. Considera los polinomios: P(x)= -x2+5x-4, Q(x)=x4-3x3-x-1 y R(x)=x+2, y calcula: a. P(x)·Q(x) – Q(x)·R(x) b. (P(x))2 – R(x)·Q(x) 3. Dados Q(x)=2x2–6x+7 y R(x)=3x2+7x, calcula el polinomio P(x) para que se verifique que 2 Sol: P(x) = x + 13x -7 P(x)+Q(x)=R(x). 4. Dados los polinomios P(x)=16x3–23x2+x–19, Q(x)=23x4+7x2–x+6 y R(x)=-6x4+3x3+x–8, calcula: 4 a. R(x) – (Q(x) + P(x)) b. (R(x) – Q(x)) +P(x) 3 2 Sol: -29x – 13x + 16x + x + 5 4 3 2 Sol: -29x + 19x – 30x + 3x –33 5. Especifica cual será el grado del polinomio resultante de las siguiente operaciones: a. b. (x (x ) + 2 x + 1) − ( x + 2x + 1 10 107 3 (x (x c. 106 + x 3 + 4) d. ) ) + x13 + x 7 + 1 : ( x10 + x 3 + x1 + 4) 25 + x 15 + x 5 + 1 ( x + x 3 + 4) 18 6. Realiza las siguientes operaciones: a. (8 x (5x 4 ) ( − 9 x 3 + 1 − 2 x + 3x 3 − 5 x 4 )( ) + 3x − 5 7 x − 6 x + 3 b. 3 2 2 1 x − x − x − 5 x − 14 4 8 c. 3 d. 2 x − 3x + 2 : (2 x − 1) 2 ( 3 ( ) ) − 3m 4 n 4 + 4m 2 n 2 ÷ 5m 2 n 2 8x y + 4 x y − x y x2 y3 h. 5 x 2 y 3 + 5 x 3 y 3 − 12 x 3 y 2 − 5 xy ÷ 5 xy i. 1 1 3 j. 2 x 3 − x 2 + 3 − x 2 + 5 x − 2 3 4 2 ) 3 3 2 4 4 ( ) e. (5x4 – 14 + 5x + x3) : (3 – x2) f. 5m 3n 4 − 8m3 n3 + 24m 4 n3 − 16m 2 n 2 ÷ 4m 2 n 2 ( (2m n 5 5 g. ) ) 7. Efectúa las siguientes divisiones: a. (x6–3x5+5x4+6x3+2x2–4x+2):(x3–2x +3) f. b. (6x6 – x5 – 12x4 + 8x3 – x2) : (x4 –2x2 +x) 5 2 3 (5 x 5 − 3 x 3 + x + 8) : ( x + 3) g. (3x3-6x2+5x-4) : (2x2+4) 2 c. (x -3x +4) : (x +x -1) h. (5x2- 3x+6) : (5x+1) d. (3x4+x3+5x-7) : (x2+3) i. (x6 – 3x5 + 9x3 – x2 + 1) : (x – 1) j. (2x4 – 3x3 + x2 – 8x + 1) : (x – 3) e. (4 x 4 ) 1 + 4x3 − x 2 − x : x − 2 k. (2x4 – 3x3 + 6x + 2) : ( x + 3) 1 Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo (3x6+x3+12x-1) : (x+4) l. 4 2 2 q. (4x − 2x − 6x +1) : (3x − 2x +1) m. (x4-2x2+15x+12) : (x+3) (2x -4x -5x+3) : (x-3) r. o. (x5+3x4-5x2+5x-2) : (x+4) s. n. p. 4 (x 7 3 )( ) (x 4 )( − 5 x 3 + 11x 2 − 12 x + 6 : x 2 − x + 2 ) − x5 − x3 − x : x4 − x2 + 1 ( 8. Haz la división x 4 + 3x 3 + 2 x 2 + cx + d resto sea cero: 9. ( x 4 − 3x 2 + 1) : ( x 2 − 1) ): ( x 2 ) + x + 2 y calcula el valor de c y d para que el Identifica los siguientes productos notables: a. b. c. d. e. f. x 2 − 4x + 4 9 x 2 − 16 x 2 + 8 x + 16 4 x 6 − 20 x 3 + 25 4x 4 + 4x 2 + 1 4 x 2 − 25 x 4 g. h. i. j. k. 4 x 4 − 12 x 3 + 9 x 2 x 2 − 6x + 9 x 2 + 10 x + 25 4x 2 − 4x + 1 ( x + 4) 2 l. ( x − 5) 2 m. ( x 3 − 3) 2 n. (2 x − 3) 2 o. (3 x 2 + x 3 ) 2 10. Completa los espacios en blanco en las siguientes expresiones de manera que aparezca una identidad notable y di a cuál se refiere escribiendo su equivalencia: a. 9a 2 − .......... + b 2 b. (4ab − ……)(4ab + ……) = …… − 9c 2 11. Agrupa convenientemente y factoriza cada una de las siguientes expresiones a. x2 +xy +xz +yz= j. s. 20abc-30abd-60b2c+90b2d= x2-xb+ax-ab= b. 8x3-8x2-16x= k. abc+2ab +2c +c2= t. c. 7m-7 +pm-p= l. u. 12x-20y+5a2y-3a2x= d. 2r2+2r-3rs-3s= m. 14mp+14mq-9np-9nq= v. bx3+by3-cx3-cy3= e. ax3-ay3-bx3+by3= n. 21ax+35ay +20y+12x= w. 3a2-3ac +3a-2ab+2bc-2b= o. 5cu-8cv+5du -8dv= x. 5a3bc-10a4b-15a3cd+30a4d= g. x4+x3y2+xy3+y5= p. py+qy-ry-pz-qz+rz= y. 2mn +2m-2n-2+mnp+mp-np-p= h. 2y4-6y2-5y2z+15z= q. mx+nx+px-m-n-p= z. 3a2bz+3xy2+2ay-2xb= f. i. a2-ab-ac-a+b+c= 2a+ab-2b-b2= r. 2a2x2+34a2x-120a2= ap2+bp2-aq2-bq2= amp-amq-anq+anp= 12. Calcula, agrupando los términos. a. (2x2 + x)2 e. (2x - 3)2 - (x - 2)2 - (x - 1)(x + 1) b. (2x2 - x)2 f. c. (3a2 + 2a)2 - (2a)3 g. (a2 + b)2 - (ab - a)2 - (a2 - b)(b + a2) d. (a3 + 2a2)2 - (a2-2a3)2 h. (a - 2b)3 - (a2 + 2b)2 - (2 - a2 + b)2 2 (a - 2b)2 - (b - 2a)2 - (2a - b) (b + 2a) Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo i. (2x +3y)2 - (x2 - 2y)2 - (x2 + 3y)(x2 - 3y) j. a x a x x a a x − − + 2 + 2 − − − + x 2a x a a x x a 2 2 k. (x - 3)2 - (x + 2)2 - (-x + 2)(- x - 2) + 3x2 – 9 2 13. Factoriza los siguientes polinomios: 4 3 2 a. P(x) = x3 + 5x2 +8x bb. P(x) = x +x -16x -4x+48 b. P (x ) = 8 x 4 − 6 x 3 − 5 x 2 + 3 x cc. P(x) = x4+3x3+x2-7x-30 c. 3 x 2 y + 6 xy 2 + 9 xy dd. P(x) = x – 9x + 24x – 20x ee. P(x) = x – 3x – 3x – 5x + 2x + 8x ff. P(x) = x + 6x + 9x – x – 6x – 9 gg. P(x) = x5+3x4-9x3-23x2-12x 2 6 5 2 6 5 4 6 5 4 3 3 d. P(x) = 3x + 14x – 5 e. P(x) =x2 – 6x + 9 f. 64 y 2 − 49 hh. P(x) = 4x4 + 10x2 g. P(x) =x2 – 9 ii. P(x)=x4+6x3+15x2+18x h. P(x) =x2 – 64 jj. P(x)=2x4+7x3+4x2-7x-6 kk. P(x) = 10x3 – 250x ll. P ( x ) = x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 2 2 i. P(x) =2x – 2x j. P(x) =x2 – 4x + 4 k. x 2 − 121 l. x − 2x + x − 2 m. P(x) = 4x5 + 2x4 – 2x3 n. P(x) = – 5x2 – x o. P (x ) = x + x + 3 x + 5 x − 10 p. 4 x 2 − 4 xy + y 2 rr. q. P(x) = x3-3x2-9x-5 ss. r. P(x) = 4x4 + 10x2 tt. s. P(x) = 10x3 – 250x uu. t. a4b6z8 – 169w2 vv. u. x2+2xy+y2-196z2 ww. P ( x ) = x 3 + 5x 2 − 29x − 105 v. x2+6x+9 –y2-4y-4 xx. w. p4x- q2y yy. x. 25y6-9 zz. y. -100+x4y6 z. (a-b)2-169 aa. 4x5 + 2x4 – 2x3 3 mm. 9a 2 + 24ab + 16b 2 2 4 3 2 nn. oo. pp. 2 qq. P ( x ) = x 4 − 4x 3 − 20x 2 + 48x P ( x ) = 8x 3 + 17x 2 + 18x + 2 P ( x ) = x 3 + 5x 2 − 138x − 792 P ( x ) = x 3 − 4x 2 − 103x − 182 P ( x ) = x 3 − 7x 2 − 16x + 112 P ( x ) = x 3 + 4x 2 − 20x − 48 P ( x ) = 7x 3 − 15x 2 + 58x − 8 P ( x ) = x 3 − 6x 2 − 61x + 210 P ( x ) = 2x 3 + 5x 2 − 28x − 15 P ( x ) = x 4 − 3x 3 + x 2 + 4 P ( x ) = 3x 3 − 22x 2 − 47x + 18 P ( x ) = x 3 − 7x 2 − 7x + 8 5 4 3 2 aaa. P ( x ) = x + 3 x + 4 x + 4 x + 3 x + 1 bbb. 3 P ( x ) = x6 + 6x5 +14x4 +18x3 +17x2 +12x + 4 Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo 14. Sabiendo que − 1 1 y son raíces de P(x) = 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 − 1 , factoriza P(x). 2 3 Sol: ( 2 x + 1)( 3x − 1) ( x 2 + x + 1) 15. Resuelve las siguientes ecuaciones: a. x3 – 7x2 – x + 7 = 0 f. 2x4 + 7 x3 – 2x2 + 5x – 12 = 0 b. (x–2)2(x2–2x + 1) = 0 g. 2x + x – 11x + 11x –3=0 c. (2x + 1)(x2 – 4) = 0 h. x +4x + 6x – 4x + 1 = 0 4 4 d. 4x3 – 7x2 – 34x – 8 = 0 3 2 3 2 x2 – 4x + 3 = 0 i. e. x3 + 2x2 – 3x = 0 16. Calcula el resto de las siguientes divisiones: a. (x150 – x + 7) : (x –1) 17 b. (x c. d. Sol: 7 – x – 3) : (x + 1) Sol: -3 ( x + 6 x − 1) : ( x − 1) ( 3x − 2 x + 3x + 3) : ( x + 1) 52 3 Sol: 6 2 Sol: -5 17. ¿Son exactas las siguientes divisiones? 4 a. ( x − 1) : ( x − 1) b. (x 5 ) − a 5 : (x − a ) 2 18. Averigua si x + 3 es divisor de 12 x 4 − 26 x 3 + 2 x 2 + 15 x . ( ) 2 3 2 19. Halla los valores de m, n y p sabiendo que (x − 2) mx + nx + p = 2 x − 9 x + 14 x − 8 . 20. Añade el término independiente a P ( x ) = x5 − 5x3 + 2 x para que sea divisible por (x+2). 5 4 3 2 21. ¿Cuánto deben valer p y q para que el polinomio x − px + 5 x + qx − 12 x + 15 sea divisible por (x+5) y por (x-1). 22. Halla el valor de k en los siguientes casos para que: a. x2 + kx + 6 sea divisible por x - 2 4 3 b. 5 x + kx + 2 x − 3 tenga como factor x + 1 ( ) c. x – k sea factor del polinomio 2 x 3 − 13 x 2 + 6 x . d. (x e. (x+1) sea un factor de P ( x) = x 5 − kx 2 − 3 f. 5 ) − x 4 + x + 3k : (x − 2 ) tenga como resto 5 3 La división del polinomio P ( x) = x + 4 x + 3k por x − 3 sea exacta. 4 Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo g. P ( x ) = x 4 + 4 x 3 + kx 2 + 10 x + 3 es divisible por x+3 ( ) h. El resto de la división del polinomio 4 x 3 + 9 x 2 − kx + 7 entre ( x + 3) sea 10. i. Q( x ) = x 3 + 2 x 2 + kx + 3 que tiene por factor a x-1 j. R ( x ) = 2 x 2 + kx − 15 es divisible por x+5 23. Halla el valor de b en el polinomio P ( x) = x 3 + bx 2 − 12 x sabiendo que x=−2 es una de sus raíces. Factorízalo. [sol] b=−4; P(x)= x( x + 2)( x − 6) 24. Hallar a y b para que al dividir el polinomio P(x) = 2 x 5 − 3 x 4 − 31x3 + ax 2 + bx + 30 sea divisible por x+1 y por x–1. Calcula las raíces del polinomio para estos valores. Sol: a=-27 y b=29 ; Raíces: -2, -1, 1, 5 y − 3 25. Hallar a y b para que: a. Al dividir P(x)= 2 x 4 − 5 x3 + ax 2 + bx − 6 ( ) entre x+1 dé resto 15 y al dividirlo entre x – 3 dé resto 3. b. x 2 − 4 sea factor de P(x)= x3 − 3 x 2 + ax + b ( ) ( ) c. P(x) = x 4 + ax 3 − 19 x 2 + bx + 90 sea divisible por x + 3 y por x – 2. ( ) 26. Probar que x – 2 es factor del polinomio 2 x 3 − 9 x 2 + 14 x − 8 . 27. Halla el valor de k para que el polinomio 3x2 – 5kx +2, tenga: a. Dos raíces reales y distintas. b. Dos raíces reales e iguales (raíz doble) c. No tenga raíces reales. 28. Obtén un polinomio cuyas raíces sean: a. 1 (raíz doble), -1 (raíz triple) y P(0)=1 b. -3 (raíz simple), 0 (raíz triple), 1 (raíz doble) y P(-1)=2 c. 0 (raíz doble), -1 (raíz doble), grado(P)=6 y P(1)=1 d. 0 (raíz simple), 1 (raíz triple), 2 (raíz simple) y término principal 3 29. Obtén un polinomio que verifique: a. Es de grado 4 y tiene como únicas raíces x= ±2 b. Es de grado 4 y no tiene raíces. c. Es de grado 2, completo, primo y su coeficiente principal 2. d. Tiene dos raíces no enteras dobles y P(1) = -1 30. Halla el m.c.m y m.c.d de los siguientes polinomios: a. P ( x) = x 2 − 4 , Q( x) = x 4 + 9 x3 + 30 x 2 y R( x) = x 2 + 4 x + 4 b. P ( x ) = 2 x 2 + 2 x y L( x ) = x 3 − x 2 − x + 1 c. A(x)=x2-x-12 y B(x)=x2-8x+16 5 2 Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo 31. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a. b. c. d. e. f. g. h. 21x 2 7 x − 14 x 2 4− x 3 x − 12 3x 2 − 4 x x3 4x − 8 2x 3 x 2 − 12 x+2 ( x − 1) 2 x2 −1 x 2 + 6x − 7 2x − 2 4 x 2 − 40 x + 100 4 x 2 − 100 i. x x l. 2 2 12 x 2 − 12 xy u. −1 12 xy − 12 y 2 − 4x + 4 a 2 − ab v. 2x − 4 2 x − 5x 2 x − 25 x +1 2 x +x 2 2x − 7 x + 3 2 2x − 5x − 3 a 4 − a 2b 2 3 m. n. o. 2x2 − x − 3 4x2 − 9 x2 y − x3 ax 2 y − a 2 x 2 ax + a + 2 x + 2 2ax + a + 4 x + 2 x2 + x − 2 2x2 − 2 r. s. 2 4 t. x3 − 3 x 2 − 6 x + 8 2 x 4 + 2 x3 + 2 x 2 + 2 x x. x 2 (x + 2 )3 (x − 3)(x − 1) q. x3 − 2 x 2 − 8 x w. x (x + 2 )2 (x − 3)2 (x − 1) p. 3x − 6 x 3x + 24 x 3 − 60 x 2 3 (x − 1)2 (x + 1) k. 4 x2 + 8x + 4 x4 − 1 x4 − x3 − x2 − x − 2 x 4 + 2 x 3 − 3x 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + 10 x − 15 y. z. x +1 j. x [sol] a. j. 2 + 2x + 1 3x 1 − 2x 1 x +1 b. − 1 c. 3 x − 4 2 3 k. x − 1 d. 2( x − 2) x x l. x−2 2 m. x x−5 1 e. 3( x − 2) f. x − 1 g. x + 7 h. i. x+5 x +1 2 x + 10 2 x+5 n. 1 x o. 2x − 1 2x + 1 32. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: 2 x +1 5 3x 3 + 2 − b. 2 x x + x x +1 2 x −1 c. +1 x +1 f. 2x − 1 2x 2 − 6x + 4 − 3x − 3 3x 2 − 6 x + 3 h. a. d. x −1+ e. g. i. 6 3x 2 − 12 x + 12 6 x 3 − 54 x : x 2 − 5x + 6 x 3 − 6 x 2 + 9 x 3x x+2 1 − 2 + 7x + 3 x+3 + 5x + 6 x 2x − 1 3 + − 2 x +1 x −1 x −1 x x2 −1 x +1 : x x+2 x + 3 x 2 − 4x + 4 ⋅ x−2 x2 − 9 Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo j. k. l. m. n. o. p. 5 x −5 + = x −1 x +1 3 x − = x+2 x−2 4 x + x −1 x +1 5x 4 − 2 x + 3 3x − 1 6x + 2 1 − 2 x x −1 2x 3 4 + + 2 x −4 x−2 x+2 3x + 6 2x − = 2 x + 4x + 4 x + 2 q. 1 2x − 2 x − : x − 1 x + 1 x3 − 1 r. 2x x + 1 x2 − 1 1 ⋅ − + 4x − 4 x − 1 2x2 − 2 2 s. 1 x x2 + − 2 x x +1 x −1 t. x x 1 x +1 : − ⋅ x −1 x +1 x x −1 dd. ee. ff. gg. hh. ii. jj. kk. ll. 2 u. 2 x 2x + 2 x . : x + 1 1 + x x − 1 = v. x x x − − x − 2 x − 1 x2 − 3x + 2 w. a 2 − 2a a 2 + a ÷ = a+3 a −1 x. mm. 1 2 x −x + nn. oo. pp. 2x − 1 3x − 1 − x −1 x qq. x+2 1− x − 3 x + x +1 x −1 2 3 5x − 6 + − 3 x x +1 x + x2 x − 2 9 + x2 · x + 3 4 − 2x 2 x 2 − x − 15 5 − 6 x ÷ 2 x 2 − 3x x −1 x 1− x2 2 x 2 − 3x + 2 2 − 2 + ÷ 2 x − 9 x − 3x x x + x − 6 2 y. z. aa. bb. cc. 2 7 rr. ss. tt. x+2 1 x2 x2 − 9 2 ⋅ + 2 − x + 3 x + 4 x + 6 x − 4 x +1 x−3 x−3 ÷ = x−2 x+2 ( x − y)2 2 x2 · 2 x2 x − y2 x xy + y y x 2x3 − 5x2 + 3x 2x2 + x − 6 1 1 1 1 1 1 − : 2 − + − x 2x x 2 x 3x x 1 1 x + x : x − x ⋅ ( x − 1) x + 1 x2 −1 x +1 (x − 1)2 ⋅ x : ( x − 1)2 1 1 + x 1 − x +1 x x2 − 9x + 8 x − 8 ÷ = x −1 2x x3 − 8 x 2 − 4 ÷ = x+2 x−2 1+ 1 2x − 2x − 1 4x2 − 1 2 x 2 − 18 x 2 − 6 x + 9 2 ÷ = 2 x − 8 x + 15 3 x − 75 4 x 6 x + 1 = + 3 x − 2 x − 1 x 1 x 2 3 x x 4 + = − 1 2 x +1 + x = 3 x +1 x− 1 1− 1 1− 1 1− x = Matemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo 3x 2 x − 2 2 = x − 4 2x uu. 2 [sol] a. x + 1 x +1 2 c. 2 x + 2 ( x + 1) 2 b. 5 x2 2 h. x + x − 2 i. x d. 1 x −1 e. x−2 2( x + 3) f. 2 10x + 26x + 5 2 x + 5x + 6 g. 2x 2 − 5x − 2 2 x −1 x−2 x−3 33. Realiza las siguientes operaciones simplificando el resultado: a. 9 + 6 x + x 2 3x 2 − x3 · 9 − x 2 3x 2 + x3 2 x − 4 2 x2 − 8x + 8 : 3 2 x−2 + 4 8 b. x2 + 2 x + 1 4 x2 − 4 x · x2 − 1 x +1 2 x 2 + 14 x + 20 x −5 : 3 3 2 x − 50 + 2 x − 25 x 2 x − 20 x 2 + 50 x c. x − 1 2 x − 8 x − 10 · x + 2x +1 x −1 2x + 2 x +1 : 3 2 x + x − 2 x − 4 x 2 − 7 x + 10 2 2 e. 3 2 x − 2 + x +1 x −1 x −1 x 2 − 25 x2 − 4 x − 5 f. x2 − 2x +1 x2 −1 − x −1 x +1 1 x + x2 − 1 x − 1 g. 3 2 x − 2 + x +1 x −1 x −1 x2 − 6 x + 5 x2 −1 2 x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 x 2 + 2 x − 3 x 2 + x − 2 · 2 : x2 − 9 x − 3x + 2 x2 + 4 x + 4 d. 2 x2 − 2 x 3 x 2 + 12 x + 12 − 3x 2 + 3x − 6 2x Sol: los apartados: a,b,c,d,e dan todos 1 f) 0 g) x + 5 x−5 34. Racionaliza las siguientes expresiones: a. x +1 x +1 c. x 1− x x b. x d. x( x + 1) ; x b) x; 2 x x − x −1 x +1 2 x [sol] a) e. c) ( x + 1) x ; d) − x − 1 + 2 x ; x −1 x 8 e) x + x( x − 1)