TEMA 6 : ESTIMACIÓN
TEMA 6
ESTIMACIÓN
1.ESTIMACIÓN PUNTUAL
1.1 INTRODUCCIÓN
1.2 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES
1.3 MÉTODO DE CÁLCULO DE LOS ESTIMADORES
2. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
2.1 CASOS PARTICULARES
2.1.1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
2.1.2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN
2.1.3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS
2.1.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE
PROPORCIONES
2.1.5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA
2.1.6 INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE
VARIANZAS
3. PRECISIÓN Y TAMAÑO DE LA MUESTRA
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2
TEMA 6 : ESTIMACIÓN
TEMA 6
ESTIMACIÓN
1. ESTIMACIÓN PUNTUAL
1.1. INTRODUCCIÓN
En todo este tema vamos a suponer que estamos estudiando una población
cuya distribución es conocida excepto en un parámetro ( ,  ,  , . . . ) al que
llamaremos . A la distribución de la población la denotaremos por f(x).
Diremos que nos encontramos ante un problema de estimación cuando,
dada una población con una distribución f(x) donde  es un parámetro
desconocido, aventuremos o infiramos en base a los datos muestrales
X , X , . . . , X el valor de  . Si al inferir el parámetro damos un único valor
estaremos ante un problema de estimación puntual.
Estimador puntual $ X1 , X2 ,..., Xn  : será una función de la muestra aleatoria
(un estadístico) que utilizaremos para estimar el valor del parámetro .
Estimación $ : valor obtenido del estimador al sustituir por los valores de
una muestra completa.
Cuando no haya lugar para la confusión designaremos al estimador
simplemente por $ .
Un estimador es, por tanto, un estadístico y, por ello, es una v.a. con una
determinada distribución de probabilidad llamada distribución muestral.
Dado un parámetro, podríamos utilizar distintos estimadores puntuales para
estimarlo. Por ejemplo, para estimar la varianza de la población podemos
utilizar la varianza muestral o la cuasi-varianza muestral. ¿Cuál es mejor?
Veamos a continuación como comprobar si un estadístico es un buen
estimador de un parámetro. Para ello le exigiremos una serie de propiedades.
Como el estadístico es una variable aleatoria, las propiedades se las tenemos
que exigir a su distribución de probabilidad.
1.2. PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES.
Un estadístico se considera un buen estimador de un parámetro si cumple:
ser insesgado, ser consistente y ser eficiente.
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TEMA 6 : ESTIMACIÓN
A. INSESGADEZ
€   . Es decir, su distribución está
€ es insesgado si E 
Un estimador 

centrada en el parámetro a estimar.
Ejemplos:
Var X
Sea
una
m.a.s.
tal
X , X ,..., X
que
 
E X
 
y
a) Consideremos como estimador de la media poblacional a la media
€  X . Por el tema anterior, sabemos que E X   .
muestral. Es decir 
Por tanto, la media muestral es estimador insesgado de la media poblacional.
b) Supongamos como estimador de la varianza poblacional a la varianza
n 1
€  s . Del tema anterior , sabemos que E s 
muestral, 
 . Por
n
tanto, la varianza muestral no es un estimador insesgado de la varianza
poblacional .
c) Consideremos ahora como estimador de la varianza poblacional a la
€  s . Del tema anterior sabemos que
cuasi-varianza muestral, 

E s   . Por tanto, la cuasi-varianza muestral es un estimador insesgado
de la varianza poblacional.
B. CONSISTENCIA
€ es un estimador consistente de  si cumple:
Diremos que 
lim
 
€   y
E 

€  0
lim Var 



 lim P €   1

Esto significa que si tomáramos la mayor muestra posible, el estimador
coincidiría con el valor del parámetro.
Ejemplo: Veamos que los estimadores de los cuales hemos hablado en el
apartado anterior son consistentes.
€  X . Se cumple que E X
a) Si consideramos 
  y Var X 


 0 . Por tanto, X es estimador consistente.
n
€  s . Se cumple que:
b) Si consideramos 
n 1
2 n 1
y
E s 

Var s 

n
n
Pero tomando límites, lim

Tomando límites,
lim

n 1
n
  
y
lim
2 n 1 

Por tanto, s es un estimador consistente de  .
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n
  0
n
.
TEMA 6 : ESTIMACIÓN
€  s . Se cumple que
c) Si consideremos 
E s

 
Var s
y


2
n 1

Tomando límites,
lim   

Por tanto, s

y
lim

2
n 1
  0
es un estimador consistente de la varianza poblacional.
C. EFICIENCIA
€ y 
€ , decimos que 
€ es más eficiente que
Dados dos estimadores de , 
€ , si Var €  Var € . Nos interesa el que tenga menos dispersión. Para
 
 
 . Si es mayor que 1,
Var 
€ 
€
Var 
comparar la eficiencia se construye el cociente
€ es más eficiente; si es igual a 1, entonces ambos estimadores son
entonces 
€ es más eficiente.
igual de eficientes; si es menor que 1, entonces 

Ejemplo: Consideremos como estimadores de  a s y s . Calculamos el
cociente de las varianzas:
Var s


Var s 

2 ( n 1 )
n
2
( n 1 )



( n 1)
n
1 Por tanto, s es más eficiente.
1.3. MÉTODOS DE CÁLCULO DE LOS ESTIMADORES.
De los diferentes métodos de cálculo de los estimadores, nosotros veremos:
a) Estimación por el método de los momentos.
b) Estimación máximo-verosímil.
A. ESTIMCIÓN POR EL MÉTODO DE LOS MOMENTOS
Consiste en tomar como estimadores de los momentos poblacionales a los
momentos muestrales. Se obtiene una ecuación de donde podemos despejar el
parámetro a estimar.
B. ESTIMACIÓN MÁXIMO-VEROSÍMIL
Sea X una variable aleatoria con distribución f ( x ; ) donde  es el
parámetro desconocido. Sean
n variables aleatorias
X , X ,... X
independientes con la misma distribución que X; es decir, sea ( X , X , . . . X )
una m.a.s. Bajo estas condiciones la distribución conjunta de las variables
aleatorias X , X , . . . X será igual al producto de las marginales.
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TEMA 6 : ESTIMACIÓN
f ( x , x , . . . , x ; )  f ( x ; )  f ( x ; ) . . . f ( x ; )
Si consideramos x , x , . . . x fijos y estudiamos esta función como función
de  recibe el nombre de función de verosimilitud y se denota por V( ).
€  u ( X , X , . . . X ) , 
€  u ( X , X , . . . X ) , etc. diversos
Sean 
estimadores de  . De todos ellos pretendemos elegir el que haga máxima la
€ será estimador máximofunción de verosimilitud. Es decir, un estimador 
verosímil (EMV) de  si maximiza V( ).
Debido a que la función de verosimilitud es no negativa, continua y
creciente, alcanzará su máximo en los mismos puntos que su logaritmo y por
ello, y por razones de cálculo se suele maximizar ln V ( ) cuando esta
depende de exponenciales.Así pues, deberemos resolver la siguiente ecuación:
d ( ln V ( ) )
d 
 0
En el caso de dos o más parámetros desconocidos, el procedimiento es el
mismo. Por ejemplo, si tuviéramos V (  ,  ,  ) los tres estimadores máximo
verosímiles serán los que maximizan la función V (  ,  ,  ) o su logaritmo.
Se obtendrían al resolver las ecuaciones siguientes:
d ( ln V (  ,  ,  ) )
 0 ^
d 
d ( ln V (  ,  ,  ) )
d 
d ( ln V (  ,  ,  ) )
d 
 0
 0
Propiedades de los EMV
a) Son consistentes.
b) Son asintoticamente eficientes. Es decir, tienen la varianza mínima
cuando el tamaño muestral tiende a infinito.
€ es estimador suficiente de , el EMV de  es función de 
€.
c) Si 
d) Son asintoticamente normales. Es decir, su distribución tiende a la
distribución normal cuando tiende a infinito el tamaño de la muestra.
€ es EMV de , entonces g( 
€ ) es EMV de g( ), siendo g una
e) Si 
aplicación biyectiva.
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TEMA 6 : ESTIMACIÓN
Ejemplo: Obtener el EMV del parámetro de una v.a. X que sigue una
distribución de Bernouilli, X  Be ( p ) . Su función de cuantía es

f ( x ; p )  p (1  p )
Si elegimos una muestra de tamaño n, la función de verosimilitud
correspondiente será:
V ( p )  f ( x ; p )  f ( x ; p ) . . . f ( x ; p )  p (1  p )

 (1  p ) 
 p
p ( 1  p )

. . . p (1  p )
Tomando logaritmos tenemos
ln V ( p ) 
x ln p  ( n  x ) ln (1  p )
d ( ln V ( p ) )
Para obtener el EMV de p debemos resolver la ecuación
dp
En este caso
d ( ln V ( p ) )
dp

x
1
p
( n 
 0
( 1)
x ) (1  p )  0
Haciendo operaciones e igualando denominadores obtenemos:
(1  p )
x
 p ( n 
x )  x
 p
x
Despejando el valor de p obtenemos el estimador
Por tanto EMV(p)=
x
x  x
x
p€ 
 np  p
np  0
n
. Es decir, la proporción de éxitos de la muestra.
n
2.ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
En la estimación puntual atribuimos al parámetro el valor correspondiente
del estimador obtenido en la muestra aleatoria de tamaño n. Es claro, que
dicho valor dificilmente coincidirá con el verdadero valor del parámetro aunque
el tamaño de la muestra sea muy grande.
La estimación por intervalos consiste en atribuir al parámetro desconocido
un rango de posibles valores (en base a los datos muestrales) que tengan una
alta probabilidad de incluir entre ellos al valor del parámetro desconocido. Para
ello será imprescindible conocer la distribución muestral del estadístico
utilizado.
El intervalo estimado que debe contener al parámetro se llama intervalo
confidencial o de confianza. Denominamos límites confidenciales a los
extremos de dicho intervalo. Llamaremos nivel de confianza a la probabilidad
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

TEMA 6 : ESTIMACIÓN
de que un intervalo contenga al parámetro desconocido y se suele denotar por
1 . Se llama nivel de riesgo o de significación al valor de .
Es decir, P  a , b 1 . Esto indica que el (1 )% de intervalos
construidos contendrán al parámetro desconocido.
Denominaremos error muestral máximo a la diferencia entre el valor de la
€    b  a .
estimación muestral y el valor del parámetro; es decir, E  
2
€ el estimador que
Ejemplo: Sea  el parámetro desconocido y 
consideramos el cual sigue una distribución N ( ,  ) . Supongamos un error
€    2  .
muestral máximo E  
Si calculamos la probabilidad de tener ese error o uno menor, obtendremos:

 
€


€ 2  P 2  2   ( 2 ) ( 
  2  P 2 
2 ) 



P € 

= 2  ( 2 ) 1  0 , 9544 ya que el estimador seguía una distribución normal.
Esta probabilidad podemos escribirla también de la siguiente forma:

 
 P 
 
€ 2  , €  2  

 

€   2   P 2  
€  2   P 2   
€    2  
€ 
P 2   

€ 2  , 
€  2 
Por tanto, el intervalo de confianza 
tiene un
nivel de
confianza 1 =0'9544 o un nivel de significación de =0'0456. Esto equivale
a decir que tenemos la confianza 0'9544 de que, extraida una muestra y
€, éste no se aleja del parámetro más de dos
calculado el valor de 
desviaciones típicas o un riesgo de 0'0456 de que se aleja más de esa
cantidad.
€ está en la zona rayada el
Dicho de otro modo, si sale una muestra en que 
intervalo no contendrá a .
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TEMA 6 : ESTIMACIÓN
Normalmente lo que se hace es fijar de antemano el nível de confianza y se
busca el intervalo correspondiente a ese nível de confianza utilizando la
distribución muestral del estadístico.
2.1 CASOS PATICULARES
2.1.1 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
Si desconocemos la distribución de la población, podemos hallar un intervalo
de confianza para la media, basándonos en un resultado que conocemos como
Desigualdad de TChebychev.
Sea X una v.a. cualquiera con media
P
 y varianza  . Se cumple que:
k 
1
 k



X 

1 
 

k
Usando el anterior resultado, aplicándolo a la variable aleatoria X y tomando

1
k
, obtendríamos que el intervalo para un nivel 1  sería:
X  , X  

n 
n 
Para analizar los resultados que presentamos a continuación, supongamos
una población que se distribuye normal de media  y varianza poblacional
 . También servirán cuando la población no es normal pero el tamaño
muestral es grande.
2
a) Si  es conocida.
Ya sabemos que
X  

n
normal; es decir,  ( z ) 1 
 N ( 0 , 1 ) . Sea z



el percentil de la distribución
.
2


X


P z  
 z   1  

 
 

n

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TEMA 6 : ESTIMACIÓN


Haciendo operaciones P X  z  
   X  z  
 1 


n
n 

Por tanto, el intervalo de confianza para  será:



, X  z  
X z  

n
n 


2
b) Si  es desconocida.
En este caso tenemos que
X  
s
n 1  t

Por el mismo razonamiento anterior, si llamamos t
distribución t de Student tal que P t

 x 1 




al percentil de la
, el intervalo de confianza
2
al nivel de significación  (o equivalentemente, al nivel de confianza 1- )
será:

X t


s



n 1
, X t

n 1 

s



Ejemplo: Extraemos una m.a.s. de 61 estudiantes universitarios. Responden
a una prueba de inteligencia espacial, en la que alcanzan una media de 80 y
una varianza de 100. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia
espacial media de los estudiantes, a un nivel de confianza del 99%?
1   0 ' 99    0 ' 01 1 

2
 0 ' 995
La varianza poblacional es desconocida y la población no es normal, pero el
tamaño muestral es mayor que 30, por tanto, el intervalo correspondiente será:

X t


s



n 1
, X t

n 1 

s



Buscamos en las tablas la distribución t de Student t
 2' 66 .
Sabemos que X  80 y s 10 . Sustituyendo en el intervalo de confianza
tenemos:

10
10 
80  2' 66
, 80 2 ' 66



60
60 
por tanto,  76 ' 57 , 83 ' 43 con un nivel de confianza del 99%.
2.1.2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN
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TEMA 6 : ESTIMACIÓN
Si en una población Bernouilli de parámetro p definimos la v.a. X= nº éxitos
en la muestra, X sigue una distribución binomial de parámetros (n,p). Si la
muestra es grande, tenemos que la proporción muestral P=X/n se distribuye
 pq 
 y podremos usar el teorema
aproximadamente como una normal N p ,
 n 
central del límite.
En una población Bernoulli,   p ,   p (1  p ) y si denotamos por P a
la proporción en la muestra X  P . Así pues podemos aplicar el intervalo de
confianza para la media con varianza conocida visto anteriormente,
sustituyendo lo anterior y aproximando p(1-p) por P(1-P). un intervalo de
confianza aproximado para p a nivel 1  sería:

P  z  

P (1  P )
n
, P  z
P (1  P ) 


n


Ejemplo: Uno de los líderes de un colectivo laboral desea plantear una
cuestión a todos los miembros del grupo. Si más de la mitad respondieran NO
entonces preferiría no plantearla para no minar su prestigio. Para salir de
dudas, elige aleatoriamente a 100 trabajadores a los que hace la pregunta y
sólo 30 responden NO. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera proporción al
nivel del 95%?
Como el tamaño muestral es grande, podemos aplicar el teorema central del
límite. Tenemos 1   0 ' 95 1 

2
 0 ' 975  z


1' 96
Sustituyendo los valores en el intervalo correspondiente:

0 ' 3 1' 96

0 ' 3 0' 7
100
, 0 ' 3 1' 96
0 ' 3 0 ' 7 
100
 0 ' 2102 , 0 ' 3898 

Por tanto, la verdadera proporción está en el intervalo 0' 2102 , 0 ' 3898
con un nivel de confianza del 95%.
2.1.3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS.
Suponemos dos poblaaciones independientes
X  N (  ,  ) ,
Y  N (  ,  )
Tomamos muestras de tamaño n y n , respectivamente.
a) Si  y  son conocidas, como X
el intervalo de confianza será:
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 Y


 
 N    ,

,
n
n 


TEMA 6 : ESTIMACIÓN

  X Y

b)
X
y 

Y     
 z
Si
n s n s  1


n  n  2  n

X Y


t


1 
 t



son


n


n
,X
Y
desconocidas
 z



pero

n
 

n 
iguales,
como
, el intervalo de confianza será:

n 


n s n s  1
1 



, X Y
n  n 2 
 n n 
t



n s  n s  1
1  
  
 
n n 2 
 n n  


Ejemplo: Dos universidades públicas tienen dos métodos distintos para
inscribir a sus alumnos. Los dos desean comprobar el tiempo promedio que
toma la inscripción de los alumnos. En cada universidad se tomaron los
tiempos de inscripción de 31 alumnos tomados al azar. Las medias y
desviaciones típicas muestrales fueron: x 20 ' 3, s 2' 5, y 23 , s  3. Si se
supone que el muestreo se llevó a cabo en dos poblaciones normales e
independientes, obtener los intervalos de confianza al nivel de riesgo 0'05 para
la diferencia entre las medias del tiempo de inscripción para las dos
universidades,
a) suponiendo que las varianzas poblacionales son   9 ,  10 .
b) suponiendo que las varianzas poblacionales son desconocidas pero
iguales.
Para el apartado a   0 05  1    0 ' 95  1 

2
 0 ' 975  z


1' 96
Sustituyendo los valores en el intervalo obtenemos:

9


31
   20 ' 3 23 1' 96

10
31
, 20' 3  23 1' 96
9
31
 2' 7 1' 53, 2 ' 7 1' 53 4 ' 23 , 1' 17 
Para el apartado b, buscamos en la tabla de la t de Student t


10 
 
31 


2 .
Sustituyendo los valores en el intervalo obtenemos:

20 ' 3 23 2


31 2 ' 3
31 3  1 1 
31 31 , 20 ' 3 23 2
31 31 2
31 3 1 1 

31 31 
31 31 2

31 2 ' 3
2 ' 7 1' 4 , 2' 7 1' 4 
 4' 1, 1' 3 
Curso 02-03
12
TEMA 6 : ESTIMACIÓN
2.1.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE
PROPORCIONES.
Sean X  Be ( p ) e Y  Be ( p ) dos poblaciones independientes con p y
p desconocidos. Extraemos muestras de tamaño n y n , respectivamente.

p q
p q 
Como P  P  N  p  p ,

y desconocemos los valores de
n
n 

p y p , aproximaremos las proporciones poblacionales por las proporciones
muestrales correspondientes. Por tanto, el intervalo de confianza será:

p  p P  P  z

P Q


n
Caso particular: Si tenemos
 1

P Q
n
, P  P  z
P Q


n

E P  P
p  p  p , entonces
P Q 
n


 0
y
1 
n P  n P
. Lo que haremos es sustituir p por
n  n
n 
 n
Ejemplo: En dos grandes empresas se lleva a cabo un estudio sobre la
proporción de mujeres entre sus empleados diplomados y licenciados. De cada
empresa se toma una m.a.s. de 40 empleados entre los diplomados y
licenciados, obteniéndose que en la empresa A había 16 mujeres y en la
empresa B, 22 mujeres. Obtener el intervalo de confianza para la diferencia de
proporciones poblacionales al nivel de confianza 0'96 ¿Podemos pensar que la
proporción es la misma?
Var P  P
 pq 

1   0 ' 96  1 
P 
16
40

2
 0' 4
 0' 98  z
P 
22
40


 2' 05
 0' 55
Sustituyendo en el intervalo:

0 ' 4 0 ' 55 2 ' 05


0' 4 0 ' 6
40
=0 ' 15
0' 55 0 ' 45

, 0' 4
40
0' 55 2' 05
0 ' 4 0' 6
40
0' 55 0' 45

0' 2265 , 0 ' 15 0 ' 2265 
 0' 3765 , 0' 0765 
40

=


El intervalo contiene al cero, pero el extremo inferior se aleja bastante de cero.
2.1.5 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA.
Si tenemos una población X  N ( ,  ) con  2 desconocida, entonces
 n  1 sn21

Curso 02-03
13
2
  2n 1
TEMA 6 : ESTIMACIÓN
El intervalo de confianza para la varianza poblacional al nivel de confianza
1   lo podemos obtener como sigue:


(n  1)sn21
P  2n1 
  2n1    1  
2
1 


2
2
Despejando  2 tenemos:


2 
 (n  1) s 2
(n  1) sn1
2
n1
 1
P



 n21 
  n21 

1


2
2
Es decir,


(n  1)sn21 (n  1)sn21 

  2
,
 n 1 
 2n 1 


1
2
2
2
Ejemplo: De acuerdo con las tablas de altura, los varones tienen una altura
superior a las mujeres en la población española. Según las últimas tablas en el
servicio militar, los varones entre 18 y 20 años presentan una varianza de
0'0529. de las mujeres no tenemos información, por ello tomamos una muestra
de 101 mujeres entre 18 y 20 años y obtenemos
sn1  0'18 ¿Entre qué
valores se encontrará la verdadera varianza a un nivel de 0'95 de confianza?
1    0'95  1 

2
2
 0'975  100
 74'22
0 ' 025
Sustituyendo en el intervalo tendremos:
100  0'18 2 100  0'18 2 
,

  0'025 ,0'0436 
129
'
56
74
'
22


2.1.6 INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS.
La distribución muestral del cociente de varianzas muestrales, cuando
teníamos dos poblaciones normales e independientes era:
Curso 02-03
14
TEMA 6 : ESTIMACIÓN
s n21
s m2 1
 12
 Fn 1,m 1
 22
A partir de aquí deducimos el intervalo de confianza para el cociente de
varianzas poblacionales al nivel de 1   y obtenemos
 12
 22

 s n21
s n21
1
1
 2
, 2
 s m1 Fn1,m1  s m1 Fn1,m1 
1

2
2





Ejemplo: Con los datos del ejemplo de la pag. 11 , calcular el intervalo de
confianza para el cociente de varianzas al nivel de confianza 0'95. ¿Podríamos
aceptar la suposición de que las varianzas poblacionales son iguales?
1    0'95  1 

2
sn21 

2
 0'975  F30,300'975  2'07
 0'025  F30,300'025 
n 2 31 2
sn  2'3  5'47
n 1
30
1
F30,300'975
sm2 1 

y
1
2'07
m 2 31 2
sm  3  9'3
m 1
30
Sustituyendo en el intervalo obtenemos
 5'47 1 5'47
1 
 9'3  2'07 , 9'3  1 2'07   0'284 ,1'218 


El intervalo contiene al 1 y los extremos están bastante próximos al 1. Hay
mayor diferencia por el extremo inferior, lo que indica que la varianza de la
población X es menor que la de la población Y.
3. PRECISIÓN Y TAMAÑO DE LA MUESTRA
En general, cuanto más estrecho es un intervalo de confianza mayor
precisión tendrá nuestra estimación (será menor el error muestral máximo).
Ahora bien, la amplitud de un intervalo depende de dos factores: el nivel de
confianza que decidimos utilizar y el tamaño del error típico (es la desviación
típica) del estadístico utilizado como estimador.
Si disminuimos el nivel de confianza, diminuye la amplitud del intervalo, pero
aumenta el riesgo. Debemos intentar reducir la amplitud del intervalo
Curso 02-03
15
TEMA 6 : ESTIMACIÓN
manteniendo constante el nivel de confianza; para ello hay que reducir el error
típico del estimador.
En el caso de la media, el error típico es
x 

n
. Por lo tanto, variando el
tamaño muestral variaremos el error típico. Al aumentar n, disminuye  x . Por
tanto, manipulando el tamaño de la muestra podemos obtener los intervalos de
la precisión que deseemos.
Para la media:
2
Ez
1
E  t n1
1



 n  z   ó
 1 E 
n
 2 

2

s 
 n   t n1  n1 
 1 E 
n


2
2
s n1

2
Para la proporción:
Ez

1
2
PQ
n
n
PQz 2 
1
E
2
2
Ejemplo: Queremos estimar la media de una población normal con varianza
poblacional igual a 4. ¿qué tamaño muestral debemos tomar para que E=0'02
al nivel de confianza 0'95?
1    0'95    0'05  1 

2
 0'975  z0'975  1'96
Como conocemos la varianza poblacional, el tamaño muestral será:


n z  
 1 E 
 2 
2
2
2 

2
= 1'96
  (196 )  38416
0'02 

¿y si queremos un error E=1 al mismo nivel de confianza? En este caso


n z  
 1 E 
 2 
Curso 02-03
16
2
2
2

2
= 1'96   (3'92 )  15'37 . Redondeamos n=16.
1

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