Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická BOLETIN PROBLEMAS: ÓPTICA GEOMÉTRICA PROBLEMAS DIOPTRIOS Problema 1. En el fondo de un estanque lleno de agua (n=1,33) hay una estatua. Si esta se observa desde fuera del estanque tiene una altura aparente de 1,5m ¿Cuanto mide realmente la estatua? Sol: hreal 1,995 m A’ A Altura Aparente Altura B’ Real PROBLEMAS DE ESPEJOS B Problema 2. Un espejo esférico, cóncavo, ha de formar una imagen invertida de un objeto en forma de flecha, sobre una pantalla situada a una distancia de 420cm delante del espejo. El objeto mide 5mm y la imagen ha de tener una altura de 30cm. Determinar: a) A qué distancia del espejo debe colocarse el objeto. b) El radio de curvatura del espejo. c) Efectuar la construcción geométrica de la citada imagen. Sol : a) s1 7 cm b) r 13 , 76 cm ( f 6 ,88 cm ) Problema 3. Una persona de 1,80 m de altura se encuentra de pie frente a un espejo plano vertical. a) ¿Cuál debe ser el mínimo tamaño del espejo para que la persona se pueda ver el cuerpo completo? b) ¿Depende el tamaño del espejo de la distancia de la persona al espejo? c) ¿A qué altura debe situarse el espejo anterior? Considerar que los ojos están situados a 10 cm del extremo superior de la cabeza. Sol: a) 0,90 m; b) No; c) a 0,85 cm del suelo Problema 4. Un recipiente completamente lleno de agua (n= 4/3) tiene por fondo un espejo plano. Si lo miras perpendicularmente a la superficie del agua, a una distancia d=20 cm de ella, ves tu imagen reflejada en el espejo a una distancia D = 55 cm de tu cara. Calcula: a) ¿A qué distancia te parecerá que está el espejo? Sol: 27,5cm b) ¿Qué profundidad h tiene el depósito? Sol: 10 cm Problema 5. (P.A.U1. Madrid Junio 2002) Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo cóncavo. Calcular los parámetros de la imagen (tamaño y posición) que formará dicho espejo y efectuar la construcción geométrica de la imagen, indicando su naturaleza, en los siguientes casos: 1 P.A.U= Prueba de acceso a la universidad 1 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická a) El objeto está situado a una distancia igual, en valor absoluto, a la mitad de la distancia focal del espejo. b) El objeto está situado a una distancia igual, en valor absoluto, al triple de la distancia focal del espejo. Sol : Sea a el valor absoluto de la distancia focal, a) s 2 a y b) s 2 3 2 a y2 1 2 y 2 2 y1 y1 Problema 6. Un objeto de 0'8cm de altura está situado a 15cm del polo de un espejo esférico de radio 20cm. Determinar la posición, tamaño y naturaleza de la imagen tanto si es convexo como cóncavo. Sol : Convexo: s 2 6 cm , y 2 0 ,32 cm (imagen virtual, no invertida y menor) Cóncavo: s 2 30 cm , y 2 1, 6 cm (imagen real, invertida y mayor) Problema 7. Un espejo de cuarto de baño para afeitarse es cóncavo de radio de curvatura 20cm. Al mirarse en él a una distancia de 5 cm, ¿dónde se observa la imagen? ¿Cuál es el tamaño aparente de los rasgos faciales (aumento lateral)? Dibujar un esquema de los rayos que explique el fenómeno. Sol: 10 cm ; AL= 2 Problema 8. Mediante un espejo cóncavo de 2 m de radio se quiere proyectar en una pantalla una imagen de tamaño 5 veces superior al objeto. Determinar las posiciones del objeto y de la pantalla respecto del espejo. Sol: s = - 1,2 m; s' = -6 m Problema 9. 5. Los dentistas usan para inspeccionar las piezas dentales una varilla metálica terminada en un espejito cóncavo de radio de curvatura 5,0 cm. Si se coloca a 2,0 cm de una posible caries de 1,0 mm, a)¿de qué tamaño se verá ésta? Sol: 5,0 mm b)¿Y si usase una lente convergente delgada de 5,0 cm de focal? Sol: 1,7mm Problema 10. Un espejo esférico convexo que sirve como retrovisor de un coche parado, proporciona una imagen virtual de un vehículo que se aproxima con velocidad constante. El tamaño de la imagen es la décima parte del tamaño real del vehículo cuando éste se encuentra a 6 m del espejo. a) Determinar el radio de curvatura del espejo. b) Calcular la distancia a que se encuentra el vehículo, un segundo después, si la imagen observada en el espejo se ha duplicado. c) Calcular la velocidad del vehículo. Sol: a) 4/3 m; b) -8/3 m; c) 10/3 m/s 2 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická PROBLEMAS DE LENTES (sistemas de una sola lente) Problema 11. Suponga que los valores absolutos de los radios de curvatura de las superficies de la lente (biconvexa) de la figura son ambos iguales a 10 cm y que el índice de refracción es n = 1,52. ¿Cuál es la longitud focal f de la lente? Sol: f 2 9 , 6 cm (lente convergente) Problema 12. Suponga que la lente de la figura también tiene n = 1,52, y que el valor absoluto de los radios de curvatura de sus superficies también son iguales a 10 cm. ¿Cuál es la longitud focal de esta lente? Sol: f 2 9 , 6 cm (lente divergente) Problema 13. Utilizando una lente plano-convexa de radio 12'5cm se observa que la imagen producida por un objeto situado a 50cm del centro óptico es igual al objeto. Determinar la potencia de la lente y su índice de refracción. Solución: P 1 f2 2 4 dioptrías n 4 ·0 ,125 1 1,5 0 ,5 m Problema 14. (P.A.U2. Madrid Septiembre 2000) Una lente convergente con radios de curvatura de sus caras iguales, y que suponemos delgada, tiene una distancia focal de 50 cm. Con la lente proyectamos sobre una pantalla la imagen de un objeto de tamaño 5 cm. a) Calcular la distancia de la pantalla a la lente para que la imagen tenga un tamaño de 40 cm. b) Si el índice de refracción de la lente es 1'5, ¿qué valor tienen los radios de la lente y cuál es su potencia ? 2 P.A.U= Prueba de acceso a la universidad 3 Boletín problemas Óptica Geométrica Solución: a) s 2 8 s1 450 cm 4 ,5 m b) P Gymnázium Budějovická 1 f2 1 2 dioptrías r 50 cm 0 ,5 Problema 15. Se dispone de una lente divergente; si esta lente se ilumina con un haz de rayos paralelos, este haz se “abre” (los rayos divergen) después de pasar por la lente, como si todos los rayos vinieran de un punto situado a 20cm del centro de la lente. Desea utilizar esta lente para formar una imagen virtual derecha que tenga 1/3 de la altura del objeto. a) ¿Dónde se debe colocar el objeto? b) Dibuja el diagrama de rayos notables. Solución: s1 2 ·( 20 ) 40 cm PROBLEMAS DE PROYECTORES (sistemas de una sola lente convergente) Problema 16. Se necesita proyectar una diapositiva de 2cm de altura sobre una pantalla situada a 3m de la diapositiva, de modo que la imagen sea de 0'5m. Calcular la posición de la lente y su potencia. Solución: s1 0 ,115 m s 2 3 0 ,115 m 2 ,885 m Problema 17. Error! Reference source not found. Un objeto luminoso esta colocado delante de una pantalla a 2m de distancia. Una lente delgada, forma sobre la pantalla una imagen real del objeto, de un tamaño cuatro veces mayor que él. a. La lente es convergente o divergente, ¿Por qué? b. ¿En qué posición esta situada la lente? c. ¿Cuál es la distancia focal? d. ¿Cuál es la potencia de la lente? Solución: s 2 4 s1 1, 6 m La lente tiene que estar entre el objeto y la pantalla, a 0'4 m del objeto y a 1'6 m de la pantalla. f2= (-0,4·1,6)/(-0,4-1,6)=0,64/2=0,32 metros la distancia focal imagen es positiva, luego la lente es convergente. P=f-1=3,125dioptrías s1 s2 4 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická Problema 18. (P.A.U3. Madrid Junio 2000) Un objeto luminoso está situado a 6m de una pantalla. Una lente, cuya distancia focal es desconocida, forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y cuatro veces mayor que el objeto. a) ¿Cuál es la naturaleza y la posición de la lente? ¿Cuál es el valor de la distancia focal de la lente? b) Se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una imagen nítida, pero de tamaño diferente al obtenido anteriormente. ¿Cuál es la nueva posición de la lente y el nuevo valor del aumento? Solución: a) f2= 24/25=0'96metros, la distancia focal imagen es positiva, luego la lente y s 1, 2 1 es convergente. B) s2= 1'2 m y el nuevo aumento será : A L 2 2 la y1 s1 4 ,8 4 imagen es cuatro veces menor, real e invertida. PROBLEMAS DE CÁMARAS FOTOGRÁFICAS Problema 19. El objetivo de una cámara fotográfica barata es una lente delgada de 25 dioptrías de potencia. Con esta cámara queremos fotografiar a una persona de 1.8m de estatura, situada a 1.5 m de la lente a. Construye gráficamente la imagen (a escala). b. Calcula la distancia que debe haber entre la lente y la película fotográfica. c. Si la película tiene una altura de 24mm, saldrá una foto de "cuerpo entero"? Solución: b) s 2 4 ,11 cm c) A L y2 y1 s2 s1 y2 s2 s1 y1 2 , 46 cm 1, 2 cm Objetivo altura=1,8m Estudiante que va a sacar un 1 en el examen de óptica, porque a estudiado muchísimo este finde. y1=0,9m La imagen no cabe Pelicula F2 s1=-1,5m F1 Problema 20. El objetivo de una cámara fotográfica es una lente biconvexa de radios de curvatura iguales a 20 cm y de índice de refracción igual a 1,5. Se pretende realizar una fotografía de un objeto que pasa perpendicular al eje óptico de la lente a una velocidad de 90 km/h y 200 m de distancia. Determinar: a)La potencia del objetivo. Sol: 5 dioptrías b)El tiempo máximo de exposición para obtener una 3 P.A.U= Prueba de acceso a la universidad 5 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická fotografía nítida si para ello el desplazamiento de la imagen debe ser inferior a 0,1 mm. Sol: 4.10-3s c)La mínima distancia de un objeto a la que podemos realizar una foto correcta si la distancia máxima entre el objetivo y la película es de 22 cm. Sol: -2,20 m PROBLEMAS DE SISTEMAS DE LENTES Problema 21. Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes delgadas convergentes de distancias focales, 10cm y 5cm respectivamente separadas 36cm. Un objeto lineal de altura 1cm se coloca delante de la primera lente a una distancia de 15 cm. Determinar: a) La posición, tamaño y naturaleza de la imagen formada por la primera lente b) La posición de la imagen final del sistema, efectuando su construcción geométrica. Lente 2 (L2) Lente 1 (L2) Imagen intermedia Punto Objeto A y1=1cm F’1 F1 F2 F’2 s1=-15cm Imagen Final Problema 22. (P.A.U4. Madrid Junio 2002) Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes delgadas convergentes de igual distancia focal, 10 cm, separadas 40 cm. Un objeto lineal de altura 1 cm se coloca delante de la primera lente a una distancia de 15 cm. Determinar: 4 P.A.U= Prueba de acceso a la universidad 6 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická a) La posición, tamaño y naturaleza de la imagen formada por la primera lente b) La posición de la imagen final del sistema, efectuando su construcción geométrica. Solución: a) s 2 30 cm AL y2 y1 s2 s1 2 y2 s2 s1 y1 30 15 1 2 cm La imagen resulta ser el doble, invertida, real y situada a 30 cm detrás de la primera lente. Al formarse esta imagen a 30 cm, estando las lentes separadas 40 cm y ser la segunda lente delgada también convergente y de distancia focal 10 cm, resulta que esta imagen inicial está situada en el foco objeto de la segunda lente por lo que no se formará ninguna imagen final al salir los rayos paralelos, se dice entonces que la imagen se forma en el infinito y con un tamaño infinito: 1 1 1 1 1 1 f2 s2 s1 10 s2 10 1 s2 0 s2 PROBLEMAS DE SISTEMAS ÓPTICOS (EL OJO) Problema 23. El punto próximo de un ojo vale 10 cm y el punto remoto está a 6 m. Determinar la lente que necesita para ver el infinito sin acomodación y el nuevo punto próximo con la lente. Solución: a) flente=-1/6=-0'17 dioptrías, lente divergente, flente = - 6 m b) x = - 0'102 m nuevo punto próximo PROBLEMAS “RAROS” Problema 24. La distancia focal de una lente de vidrio (nvidrio= 1'52) mide 0'40 m en el aire. Calcular la distancia focal en el agua (nagua= 1'33). Solución: f = 0'4. 7 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická BOLETIN PROBLEMAS: ÓPTICA GEOMÉTRICA (PROBLEMAS RESUELTOS) PROBLEMAS DIOPTRIOS Problema 1 En el fondo de un estanque lleno de agua (n=1,33) hay una estatua. Si esta se observa desde fuera del estanque tiene una altura aparente de 1,5m ¿Cuanto mide realmente la estatua? Solución: La posición de las imágenes de los puntos extremos de la estatua (puntos A y B de la figura) vendrán dados por la ecuación del dioptrio esférico: sA , n2 sB , n2 A’ A Altura Aparente La altura aparente será la diferencia entre Altura B’ las posiciones de las imágenes de estos Real puntos: B sA; n1 h real ( s A s B ) , , n1 n2 n1 sB ; ( s B s A ) 1,33 ·1,5 1,995 m PROBLEMAS DE ESPEJOS Problema 2: Un espejo esférico, cóncavo, ha de formar una imagen invertida de un objeto en forma de flecha, sobre una pantalla situada a una distancia de 420cm delante del espejo. El objeto mide 5mm y la imagen ha de tener una altura de 30cm. Determinar: a) A qué distancia del espejo debe colocarse el objeto. b) El radio de curvatura del espejo. c) Efectuar la construcción geométrica de la citada imagen. Solución: Las ecuaciones de los espejos son: 1 1 1 (Ec. Fundamental) y f s2 s1 AL y2 y1 s2 s1 (Aumento angular) a) La imagen es mayor y tiene que ser real (para poder proyectarse en una pantalla) esto solo ocurre si el objeto se sitúa entre el foco y el centro de curvatura, en este caso la imagen es real (a la derecha del espejo) en invertida. Luego: s2=-420cm y1=0,5cm y2=-30cm AL y2 y1 s2 s1 30 cm 0 ,5 cm ( 420 cm ) s1 s1 ( 420 )·0 ,5 7 cm 30 8 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická b) Para calcular r calculamos primero la distancia focal: 1 f 1 s2 1 f s1 s 2 ·s1 s1 s 2 ( 420 )( 7 ) 420 7 6 ,88 cm r 2 · f 2 ·( 6 ,88 ) 13 , 76 cm Problema 5: (P.A.U5. Madrid Junio 2002) Un objeto luminoso se encuentra delante de un espejo cóncavo. Calcular los parámetros de la imagen (tamaño y posición) que formará dicho espejo y efectuar la construcción geométrica de la imagen, indicando su naturaleza, en los siguientes casos: a) El objeto está situado a una distancia igual, en valor absoluto, a la mitad de la distancia focal del espejo. b) El objeto está situado a una distancia igual, en valor absoluto, al triple de la distancia focal del espejo. Solución: Para obtener la imagen de forma geométrica sólo hay que dibujar al menos dos de los siguientes tres rayos: 1º Rayo paralelo: Todo rayo que sale del punto objeto paralelo al eje se refleja pasando por el foco 2º Rayo central o radial: Todo rayo que pase por el centro de curvatura, se refleja en la misma dirección. 3º Rayo focal: todo rayo que sale del punto objeto en dirección al foco se refleja en el espejo en dirección paralela al eje óptico. Por otro lado, las ecuaciones de los espejos son: y s 1 1 1 (Ec. Fundamental) y AL 2 2 y1 s1 f s2 s1 (Aumento angular) a) Si el objeto está a la mitad de la distancia focal, la imagen resulta ser: mayor, derecha y virtual Analíticamente: Sea a el valor absoluto de la distancia focal, f=-a s1=-a/2 1 a 1 s2 1 ( a / 2) 1 a 2 a 1 s2 1 a 1 s2 s2 a AL 5 y2 y1 s2 s1 y2 s2 s1 y1 ( a ) (a / 2) 2 y1 P.A.U= Prueba de acceso a la universidad 9 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická la imagen es virtual de tamaño el doble que el objeto y está situada detrás del espejo a una distancia igual al valor absoluto de la distancia focal. b) Si el objeto está al triple de la distancia focal La imagen resulta ser: menor, invertida y real Analíticamente: Sea a el valor absoluto de la distancia focal, f=-a s1=-3a 1 a 1 s2 AL y2 1 ( 3a ) y1 s2 1 a s1 1 1 3a y2 s2 s1 2 s2 3a y1 ( 3a / 2) 3a 1 s2 1 2 s2 3 a 2 y1 La imagen es la mitad que el objeto y está situada delante del espejo a una distancia igual a una vez y media el valor absoluto de la distancia focal. Problema 6: Un objeto de 0'8cm de altura está situado a 15cm del polo de un espejo esférico de radio 20cm. Determinar la posición, tamaño y naturaleza de la imagen tanto si es convexo como cóncavo. Solución: Tanto en un espejo cóncavo como convexo, las ecuaciones son:: 1 1 f s2 AL y2 1 s1 y1 (Ec. Fundamental) s2 s1 (Aumento angular) En ambos casos la distancia focal (ojo!! absoluto) es: f = R / 2 = 20 / 2 = 10cm Convexo: f=+10cm s1=-15cm 1 1 1 10 s2 ( 15 ) 1 s2 1 10 1 15 5 30 en valor 1 6 s 2 6 cm y2 s2 s1 y1 6 15 0 ,8 0 ,32 cm la imagen es virtual, derecha y menor Cóncavo: f=-10cm 10 Boletín problemas Óptica Geométrica s1=-15cm 1 1 1 10 s2 ( 15 ) y2 s2 s1 y1 1 s2 30 15 1 10 1 15 0 ,8 1, 6 cm Gymnázium Budějovická 1 30 s 2 30 cm la imagen es real, invertida y mayor PROBLEMAS DE LENTES (sistemas de una sola lente) Problema 11: Suponga que los valores absolutos de los radios de curvatura de las superficies de la lente (biconvexa) de la figura son ambos iguales a 10 cm y que el índice de refracción es n = 1,52. ¿Cuál es la longitud focal f de la lente? Solución: El centro de curvatura de la primera superficie está a la derecha de su centro óptico (lado por el que se aleja la luz) por lo que r1 es positiva: r1 = +10 cm. EL centro de curvatura de la segunda superficie está a la izquierda de dicho centro óptico (no está en el lado por donde se aleja la luz), así que: r2 = -10 cm. Por la ecuación del constructor de lentes: 1 f2 1 f2 1 1 n 1 r1 r2 1 1 1,52 1 10 cm 10 cm f 2 9 , 6 cm Puesto que f es positiva, se trata de una lente convergente (como deberíamos esperar, ya que la lente es más grueso en el centro que en sus bordes, es biconvexa). Problema 12:Suponga que la lente de la figura también tiene n = 1,52, y que el valor absoluto de los radios de curvatura de sus superficies también son iguales a 10 cm. ¿Cuál es la longitud focal de esta lente? Solución: La primera superficie tiene su centro de curvatura a la izquierda de la lente (en el lado de incidencia de los rayos), así que r1 es negativa; para la segunda superficie, el centro de 11 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická curvatura está a la derecha (en el lado por donde se alejan los rayos) y por lo tanto r2 es positiva. En consecuencia, r1=-10cm y r2=+10cm. De nuevo, utilizando la ecuación del constructor de lentes, 1 f2 1 1 1,52 1 10 cm 10 cm f 2 9 , 6 cm Como f es negativa, se trata de una lente divergente (como cabría esperar puesto que la lente es más gruesa en los bordes que en el centro). Problema 13 Utilizando una lente plano-convexa de radio 12'5cm se observa que la imagen producida por un objeto situado a 50cm del centro óptico es igual al objeto. Determinar la potencia de la lente y su índice de refracción. Solución: R1= R2=-12,5cm s1=-50cm y1=y2 La distancia focal será: 1 f2 1 f2 1 1 n 1 r1 r2 1 ( n 1) 1 ( n 1) (e1) 12 ,50 cm 12 ,50 cm Las ecuaciones de la lente serán: 1 1 (e2) (ec. constructor de lentes ) Y f2 s2 s1 1 Si la imagen es igual al objeto : A L Por lo tanto la ecuación (e2) queda: La potencia6 queda: P 1 f2 2 50 cm 1 y2 y1 f2 1 s2 2 s2 AL 1 y2 y1 1 s1 1 50 s2 s1 (e3) (aumento lateral) s 2 s1 ( 50 ) 50 cm s1 1 ( 50 ) 2 50 cm 4 dioptrías 0 ,5 m (recuerda que para obtener el valor de potencia de la lente en dioptrías la distancia focal tiene que estar dada en metros) Para el valor del índice de refracción sustituimos en la primera ecuación: ( n 1) ( n 1) n 4 ·0 ,125 1 1,5 4 diop 12 ,50 cm 0 ,125 m 6 Supongo que es innecesario insistir en que esta magnitud denominada potencia de la lente no tiene ninguna relación con la tradicional magnitud relacionada con la energía que habéis estudiado en otros temas. 12 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická Problema 14: (P.A.U7. Madrid Septiembre 2000) Una lente convergente con radios de curvatura de sus caras iguales, y que suponemos delgada, tiene una distancia focal de 50 cm. Con la lente proyectamos sobre una pantalla la imagen de un objeto de tamaño 5 cm. a) Calcular la distancia de la pantalla a la lente para que la imagen tenga un tamaño de 40 cm. b) Si el índice de refracción de la lente es 1'5, ¿qué valor tienen los radios de la lente y cuál es su potencia ? Solución: Datos: f1=50cm y1=5cm y2=-40cm (recuerda el signo negativo se debe a que las lentes convergentes forman imágenes reales invertidas) Las ecuaciones de una lente delgada son: 1 1 1 (I) (ec. constructor de lentes ) Y f2 s2 s1 AL y2 y1 s2 s1 (II) (aumento lateral) Sustituyendo los datos conocidos en (I) y (II): 1 1 1 40 s y AL 2 5 s1 50 s2 s1 Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior para s1 y s2:: 1 1 1 (I ) 50 s2 s1 ( II ) s 8 s 2 1 1 50 1 8 s1 1 s1 1 50 9 8 s1 s1 9 50 56 , 25 cm 8 s 2 8 s1 450 cm 4 , 5 m La potencia de una lente es la inversa de su distancia focal medida en metros: 1 1 P 2 dioptrías f2 0 ,5 Para determinar los radios de la lente, que son iguales según el enunciado, usamos la ecuación del "fabricante de lentes": Nota: Ojo! los radios de la cada cara (r 1 y r2) tienen signos contrarios r1=-r2=r 1 f2 1 1 n 1 r1 r2 1 1 1 2 1,5 1 0 ,5 50 50 r r ( r ) 1 r 50 cm 7 P.A.U= Prueba de acceso a la universidad 13 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická Problema 15: Se dispone de una lente divergente; si esta lente se ilumina con un haz de rayos paralelos, este haz se “abre” (los rayos divergen) después de pasar por la lente, como si todos los rayos vinieran de un punto situado a 20cm del centro de la lente. Desea utilizar esta lente para formar una imagen virtual derecha que tenga 1/3 de la altura del objeto. a) ¿Dónde se debe colocar el objeto? b) Dibuja el diagrama de rayos notables. Solución: a) El comentario de los rayos paralelos incidentes nos dice que la distancia focal (imagen) es f2=-20 cm. Queremos que el aumento lateral sea m = +1/3 (positiva porque la imagen debe estar derecha). El aumento lateral en una lente viene viene dado por la siguiente ec: y s AL 2 2 y1 s1 En este caso 1 s s s2 1 2 3 s1 3 Sustituyendo en la ecuación del constructor de lentes: 1 f2 1 s2 ( s2 1 s1 s1 3 1 20 1 s1 / 3 1 s1 3 s1 1 s1 2 s1 s1 2 ·( 20 ) 40 cm 13 ,3 cm ) La distancia imagen es negativa, de modo que el objeto y la imagen están en el mismo lado de la lente (la imagen es virtual como siempre ocurre con las lentes divergentes). En la figurase presenta el diagrama de rayos para este problema. PROBLEMAS DE PROYECTORES (sistemas de una sola lente convergente) Problema 16: Se necesita proyectar una diapositiva de 2cm de altura sobre una pantalla situada a 3m de la diapositiva, de modo que la imagen sea de 0'5m. Calcular la posición de la lente y su potencia. Solución: Las ecuaciones para este caso son: 1 1 1 (I) (ec. constructor de lentes ) f2 s2 s1 14 Boletín problemas Óptica Geométrica AL y2 y1 s2 Gymnázium Budějovická (II) (aumento lateral) s1 (III) s1 s 2 3 en este caso: y=0,02cm , y'=- 0,5cm De (III): s 2 3 s1 sustituyendo en (II): y2 y1 s2 0 ,5 s1 ( 3 s1 ) 0 , 02 s1 5 s1 0 , 2 ·3 0 , 2 s1 s1 0 ,115 m s 2 3 0 ,115 m 2 ,885 m Finalmente sustituyendo en [1]: f = 0'11 m y P = 1 / f' = 9 dioptrías Problema 17: Un objeto luminoso esta colocado delante de una pantalla a 2m de distancia. Una lente delgada, forma sobre la pantalla una imagen real del objeto, de un tamaño cuatro veces mayor que él. a. La lente es convergente o divergente, ¿Por qué? b. ¿En qué posición esta situada la lente? c. ¿Cuál es la distancia focal? d. ¿Cuál es la potencia de la lente? Solución: La lente tiene que ser convergente y el objeto debe estar más lejos de lente que la distancia focal, pues en todos los demás casos, incluida lente divergente, las imágenes son virtuales. Hay que tener en cuenta el criterio de signos, s1 e y' son negativos (las imágenes formadas por lentes convergentes son reales e invertidas). a) En el primer caso, las ecuaciones a resolver son: 1 1 1 (1) f2 s2 s1 AL y2 y1 s2 s1 s1 s 2 2 4 (2) (3) s1 s2 Despejando s2 de [2] y sustituyendo en [3]: s 2 4 s1 s1 4 s1 2 2 s 2 4 s1 1, 6 m 0,4 m 5 La lente tiene que estar entre el objeto y la pantalla, a 0'4 m del objeto y a 1'6 m de la pantalla. s1 Sustituyendo estos valores en [1]: f2= (-0,4·1,6)/(-0,4-1,6)=0,64/2=0,32 metros la distancia focal imagen es positiva, luego la lente es convergente (como ya dijimos). P=f-1=3,125dioptrías 15 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická Problema 18: (P.A.U8. Madrid Junio 2000) Un objeto luminoso está situado a 6m de una pantalla. Una lente, cuya distancia focal es desconocida, forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y cuatro veces mayor que el objeto. a) ¿Cuál es la naturaleza y la posición de la lente? ¿Cuál es el valor de la distancia focal de la lente? b) Se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una imagen nítida, pero de tamaño diferente al obtenido anteriormente. ¿Cuál es la nueva posición de la lente y el nuevo valor del aumento? Solución: Hay que tener en cuenta el criterio de signos, s1 e y' son negativos. La lente tiene que ser convergente y el objeto debe estar más lejos de lente que la distancia focal, pues en todos los demás casos, incluida lente divergente, las imágenes s2 son virtuales. a) En el primer caso, las ecuaciones a resolver s1 son: 1 1 1 (1) f2 s2 s1 AL y2 y1 s2 4 s1 s1 s 2 6 (2) s2 (3) s1 Despejando s2 [2] y sustituyendo en [3]: s 2 4 s1 s1 4 s1 6 s1 6 5 1, 2 m s 2 4 s1 4 , 8 m La lente tiene que estar entre el objeto y la pantalla, a 1'2 m del objeto y a 4'8 m de la pantalla. Sustituyendo estos valores en [1]: f2= 24/25=0'96metros la distancia focal imagen es positiva, luego la lente es convergente. En el segundo caso, la lente es la misma, luego f' = 0'96 m, y las ecuaciones [1] y [3] siguen siendo válidas, no así la [2]. Despejando x' de [3] y sustituyendo en [1]: 25 1 1 s 2 6 s1 1 / (6 + x) - 1 s1 ( s1 6 ) ·24 ( s1 6 )· s1 ·25 24 s1 6 s1 25 ·s1 150 s1 144 0 2 Ecuación con dos soluciones: s1A = - 12 /10 , que es la del primer apartado s1B = - 48 /10 = - 4'8 s2= 1'2 m y el nuevo aumento será : AL y2 y1 s2 s1 1, 2 4 ,8 1 4 la imagen es cuatro veces menor, real e invertida. 8 P.A.U= Prueba de acceso a la universidad 16 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická PROBLEMAS DE CÁMARAS FOTOGRÁFICAS Problema 19: El objetivo de una cámara fotográfica barata es una lente delgada de 25 dioptrías de potencia. Con esta cámara queremos fotografiar a una persona de 1.8m de estatura, situada a 1.5 m de la lente a. Construye gráficamente la imagen (a escala). b. Calcula la distancia que debe haber entre la lente y la película fotográfica. c. Si la película tiene una altura de 24mm, saldrá una foto de "cuerpo entero"? Solución Datos P=50cm P 1 25 dioptrías f2 f2 1 0 , 04 m 4 cm 25 y1=175cm s1=-150cm Objetivo altura=1,8m Estudiante que va a sacar un 1 en el examen de óptica, porque a estudiado muchísimo este finde. y1=0,9m F2 F1 s1=-1,5m Las ecuaciones de una lente delgada son: 1 1 (I) (ec. constructor de lentes ) Y f2 s2 s1 1 Sustituyendo los datos conocidos en (I): 1 1 1 1 1 146 4 s 2 150 s2 4 150 600 1 Pelicula AL y2 s2 y1 s1 (II) (aumento lateral) s 2 4 ,11 cm Y para saber el tamaño de la imagen sustituimos en (II): (Nota: Si suponemos que el hombre esta centrado en el eje óptico la altura de la imagen será ½ de su altura es decir 0,9m=90cm, el tamaño de la película es 24mm por lo que a cada lado del eje óptico (arriba y abajo se éste) tendremos un espacio de 12mm para la imagen) s 4 ,10 y s A L 2 2 y 2 2 y1 90 2 , 46 cm 1, 2 cm La imagen no cabe y1 s1 s1 150 PROBLEMAS DE SISTEMAS DE LENTES Problema 21: Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes delgadas convergentes de distancias focales, 10cm y 5cm respectivamente separadas 36cm. Un 17 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická objeto lineal de altura 1cm se coloca delante de la primera lente a una distancia de 15 cm. Determinar: d) La posición, tamaño y naturaleza de la imagen formada por la primera lente e) La posición de la imagen final del sistema, efectuando su construcción geométrica. Lente 2 (L2) Lente 1 (L2) Imagen intermedia Punto Objeto A y1=1cm F1 F’1 F2 F’2 s1=-15cm Imagen Final Problema 22: (P.A.U9. Madrid Junio 2002) Un sistema óptico centrado está formado por dos lentes delgadas convergentes de igual distancia focal, 10 cm, separadas 40 cm. Un objeto lineal de altura 1 cm se coloca delante de la primera lente a una distancia de 15 cm. Determinar: f) La posición, tamaño y naturaleza de la imagen formada por la primera lente g) La posición de la imagen final del sistema, efectuando su construcción geométrica. Solución: La construcción geométrica se hace teniendo en cuenta que la imagen producida por la primera lente es el objeto de la segunda lente: 9 P.A.U= Prueba de acceso a la universidad 18 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická Las ecuaciones de las lentes son: 1 1 1 (I) (ec. constructor de lentes ) f2 s2 s1 AL y2 y1 s2 s1 (II) (aumento lateral) Para la primera lente, todo en cm : 1 1 1 1 1 1 5 s2 10 15 150 10 s2 15 AL y2 y1 s2 s1 2 y2 s2 s1 y1 30 15 s 2 30 cm 1 2 cm La imagen resulta ser el doble, invertida, real y situada a 30 cm detrás de la primera lente. Al formarse esta imagen a 30 cm, estando las lentes separadas 40 cm y ser la segunda lente delgada también convergente y de distancia focal 10 cm, resulta que esta imagen inicial está situada en el foco objeto de la segunda lente por lo que no se formará ninguna imagen final al salir los rayos paralelos, se dice entonces que la imagen se forma en el infinito y con un tamaño infinito: 1 1 1 1 1 1 1 0 s2 s2 f2 s2 s1 10 s2 10 PROBLEMAS DE SISTEMAS ÓPTICOS (EL OJO) Problema 23: El punto próximo de un ojo vale 10 cm y el punto remoto está a 6 m. Determinar la lente que necesita para ver el infinito sin acomodación y el nuevo punto próximo con la lente. Sea d la distancia entre el cristalino y la retina. Si el punto remoto está a 6 m quiere decir que, sin acomodar el cristalino, se forma una imagen nítida en la retina: 1 / d - 1 / (-6) = 1 / fojo ® 1 / d + 1 / 6 = 1 / fojo Si la lente lleva el punto remoto al infinito: 1 / d - 1 /(-¥) = 1 / fojo + 1 / flente ® 1 / d = 1 / fojo +1 / flente restando ambas ecuaciones: 1 / flente = - 1/6 = - 0'17 dioptrías, lente divergente, flente = - 6 m Para determinar el nuevo punto próximo con la lente hay que tener en cuenta que para enfocar ese punto el cristalino se acomoda adquiriendo otra distancia focal, que denominaremos f* , para que la imagen se forme en la retina: Sin la lente: 1 / d - 1 /(-0'1) = 1 / fojo* ® 1 / d + 10 = 1 / fojo* Con la lente: 1 / d - 1 / x = 1 / fojo* + 1 /(- 6) ® 1 / d - 1 / x = 1 / fojo* - 1 / 6 restando ambas ecuaciones: 10 + 1 / x = 1/6 ® 1 / x = 1 / 6 -10 ® x = - 0'102 m nuevo punto próximo 19 Boletín problemas Óptica Geométrica Gymnázium Budějovická PROBLEMAS “RAROS” Problema 24: La distancia focal de una lente de vidrio (nvidrio= 1'52) mide 0'40 m en el aire. Calcular la distancia focal en el agua (nagua= 1'33). Solución: La distancia focal de una lente depende de las características propias de la lente y del medio en el que está: Sean el índice de refracción de la lente, R1 y R2 sus radios de curvatura, n* el índice de refracción del medio que la rodea. La distancia focal f viene dada por la expresión: n* / f = (n - n*).( 1 / R1 - 1 / R2 ) Si está en el aire: Si está en el agua 1 / 0'4 = (1'52 - 1).( 1 / R1 - 1 / R2 ) 1'33 / f = (1'52 - 1'33).( 1 / R1 - 1 / R2 ) Dividiendo las ecuaciones anteriores y despejando: f = 0'4. 1'33. (1'52 - 1) / (1'52 - 1'33) = 1'46 m 20