Torsión mecánica Viga circular bajo torsión En ingeniería, torsión es

Torsión mecánica
Viga circular bajo torsión
En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje
longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general,
elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en
situaciones diversas.
La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de
estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva
paralela al eje se retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica).
El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección
transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:
1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por
un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección.
2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre
a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las
secciones transversales deformadas no sean planas.
El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento
torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la
llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden
usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general.
Contenido

1 Torsión general: Dominios de torsión

2 Torsión de Saint-Venant pura

o
2.1 Torsión recta: Teoría de Coulomb
o
2.2 Torsión no recta: Teoría de Saint-Venant
o
2.3 Analogía de la membrana de Prandtl
o
2.4 Secciones cerradas simples de pared delgada
o
2.5 Secciones multicelulares de pared delgada
3 Torsión alabeada pura
o
3.1 Secciones abiertas de pared delgada

4 Torsión mixta

5 Referencias
Torsión general: Dominios de torsión
En el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una sección no es constante y no
coincide tampoco con la función de alabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo la esbeltez
torsional como:
Donde G, E son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el módulo elasticidad
longitudinal, J, Iω son el módulo torsional y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra recta.
Podemos clasificar los diversos casos de torsión general dentro de límites donde resulten adecuadas
las teorías aproxiamdas expuestas a continuación.
De acuerdo con Kollbruner y Basler:1

Torsión de Saint-Venant pura, cuando

Torsión de Saint-Venant dominante, cuando

Torsión alabeada mixta, cuando

Torsión alabeada dominante, cuando

Torsión alabeada pura, cuando
.
.
.
.
.
El cálculo exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a cabo mediante métodos
variacionales o usando un lagrangiano basado en la energía de deformación. El caso de la torsión
alabeada mixta sólo puede ser tratado la teoría general de torsión. En cambio la torsión de SaintVenant y la torsión alabeada puras admiten algunas simplifaciones útiles.
Torsión de Saint-Venant pura
La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con
cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es
nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant
da buenas aparoximaciones para valores λT > 10, esto suele cumplirse en:
1. Secciones macizas de gran inercia torsinal (circulares o de otra forma).
2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada.
3. Secciones multicelulares de pared delgada.
Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro
relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura
de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es
cero, y por tanto sólo existe giro.
Torsión recta: Teoría de Coulomb
La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la
simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo
con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la
fórmula:
Donde:
: Esfuerzo cortante a la distancia ρ.
T: Momento torsor total que actúa sobre la sección.
: distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está
calculando la tensión cortante.
J: Módulo de torsión.
Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza
prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección
circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico
permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira
alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos
desplazamientos del tipo:
El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando
adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:
A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke
llevan a que el tensor tensión viene dado por:
Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función α y el
momento torsor:
Donde
de área.
, es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos momentos
Torsión no recta: Teoría de Saint-Venant
Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo
que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede
tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de
desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de SaintVenant por:
Donde
es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante); siendo zC y yC las
coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo
ω(y, z) la función de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y
permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal. Conviene señalar, que la
teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de
gran inercia torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir de las
derivadas del desplazamiento se tiene que:
Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introduciéndolas en la ecuación
de equilibrio elástico se llega a:
Analogía de la membrana de Prandtl
Para secciones macizas de gran rigidez torsional la distribución de las tensiones asociadas a la
torsión guarda una analogía mecánica con la deformación de una membrana elástica cuasiplana.
Concretamente Prandtl probó en 1903 que la forma que adopta la membrana puede relacionarse con
una función de tensiones cuyas derivadas dan las tensiones tangenciales en cada dirección. 2 Dicho
de otra manera la pendiente de una membrana de Prandtl deformada coinciden con las tensiones
tangenciales de torsión de un prisma mecánico cuya sección transversal tenga precisamente la
misma forma que la membrana.
Secciones cerradas simples de pared delgada
En este caso las tensiones tangenciales pueden considerarse aproximadamente constantes sobre
una línea paralela al espesor de la pieza, es decir, perpendicular al contorno exterior de la pieza. La
tensión tangencial en este caso puede expresarse mediante:
Donde:
, es el área encerrada por la línea media de la sección tubular.
, es el espesor de la sección tubular en el punto s de la curva del contorno.
Mientras que el giro:
En caso de que el espesor sea e(s) = e0constante esta última ecuación se reduce a:
Secciones multicelulares de pared delgada
Torsión alabeada pura
Para piezas de muy escasa inercia torsional, como las piezas de pared delgada abierta, puede
construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi toda la resistencia a la torsión se
debe a las tensiones cortantes inducidas por el alabeo de la sección. En la teoría de torsión alabeada
pura se usa la aproximación de que el momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta
teoría se aplica especialmente a piezas de pared delgada abierta, donde no aparecen esfuerzos de
membrana.
Secciones abiertas de pared delgada
Para un rectángulo muy alargado (b << a) la tensión tangencial máxima y el giro pueden aproximarse
por:
Para una perfil I o perfil H que puede ser aproximado uniendo rectángulos de dimensiones (ai,bi) (dos
alas rectangualres alargadas y un alma rectangular alargada) las expresiones anteriores se pueden
generalizar a:
Donde τi,max es la tensión tangencial máxima sobre el rectángulo i-ésimo, bi es el espesor (ancho) de
dicho rectángulo y ai su largo.
Torsión mixta
En el dominio de torsión de Saint-Venant dominante y de torsión alabeada dominante, pueden
emplearse con cierto grado de aproximación la teoría de Sant-Venant y la teoría de torsión alabeada.
Sin embargo en el dominio central de torsión extrema, se cometen errores importantes y es necesario
usar la teoría general más complicada.
Donde las magnitudes geométricas
módulo de torsión y los "esfuerzos"
ellos definidos para prismas mecánicos.
son respectivamente el segundo momento de alabeo y el
se denominan bimomento y momento de alabeo, todos
Ensayo de torsión
INTRODUCCIÓN
Consideremos una barra sujeta rígidamente en un extremo y sometida en el otro a un par T (=Fd)
aplicado en un plano perpendicular al eje. Se dice que esa barra esta sometida a torsión. El ensayo
de torsión es un mecanismo en que se deforma una muestra aplicándole un par torsor.
La deformación plástica alcanzable con este tipo de ensayos es mucho mayor que en los de tracción
(estricción) o en los de compresión (abarrilamiento, aumento de sección).
Éste ensayo da información directamente del comportamientoa cortadura del material y la información
de su comportamiento a tracción se puede deducir fácilmente.
Los efectos de la aplicación de una carga de torsión a una barra son: (1) producir un desplazamiento
angular de la sección de un extremo respecto al otro y (2) originar tensiones cortantes en cualquier
sección de la barra perpendicular a su eje.
A veces, a lo largo de un eje actúan una serie de pares. En este caso, es conveniente introducir un
nuevo concepto, el momento torsor, que se define para cada sección de la barra, como la suma
algebraica de los momentos de los pares aplicados, situados a un lado de la sección considerada.
Naturalmente, la elección de lado es arbitraria en cada caso.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL

Obtener el módulo de rigidez del material ensayado en nuestro caso el cobre.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS





Conocer el funcionamiento y manejo de la máquina para ensayo de torsión.
Utilizar adecuadamente el extensómetro y el vernier.
Estudiar las características de la fractura por torsión en materiales dúctiles y frágiles.
Determinar la relación entre momento torsor y deformación angular para los materiales
ensayados.
Comparar los resultados obtenidos de los materiales ensayados.
MARCO TEÓRICO
La Torsión en sí, se refiere a la deformación helicoidal que sufre un cuerpo cuando se le aplica un par
de fuerzas (sistema de fuerzas paralelas de igual magnitud y sentido contrario). La torsión se puede
medir observando la deformación que produce en un objeto un par determinado. Por ejemplo, se fija
un objeto cilíndrico de longitud determinada por un extremo, y se aplica un par de fuerzas al otro
extremo; la cantidad de vueltas que dé un extremo con respecto al otro es una medida de torsión. Los
materiales empleados en ingeniería para elaborar elementos de máquinas rotatorias, como los
cigüeñales y árboles motores, deben resistir las tensiones de torsión que les aplican las cargas que
mueven.
El ensayo de torsión es un ensayo en que se deforma una muestra aplicándole un par torsor.
La deformación plástica alcanzable con este tipo de ensayos es mucho mayor que en los de
tracción (estricción) o en los de compresión
(Abarrilamiento, aumento de sección).
Da información directamente del comportamiento a cortadura del material y la información de su
comportamiento a tracción se puede deducir fácilmente.
La torsión en sí se refiere a un desplazamiento circular de una determinada sección transversal de
un elemento cuando se aplica sobre éste un momento torsor o una fuerza que produce un
momento torsor alrededor del eje (Ver figura 19). El ángulo de torsión varía longitudinalmente.

DESCRIPCIÓN DEL ENSAYO DE TORSIÓN
El ensayo de torsión consiste en aplicar un par torsor a una probeta por medio de un dispositivo
de carga y medir el ángulo de torsión resultante en el extremo de la probeta. Este ensayo se realiza
en el rango de comportamiento linealmente elástico del material.
Los resultados del ensayo de torsión resultan útiles para el cálculo de elementos de máquina
sometidos a torsión tales como ejes de transmisión, tornillos, resortes de torsión y cigüeñales.
Las probetas utilizadas en el ensayo son de sección circular. El esfuerzo cortante producido en la
sección transversal de la probeta (t ) y el ángulo de torsión (q ) están dados por las siguientes
relaciones:
Figura 19. Angulo de torsión
;
Donde T: Momento torsor (N.m)
C: Distancia desde el eje de la probeta hasta el borde de la sección transversal (m) c = D/2
: Momento polar de inercia de la sección transversal (m4)
G: Módulo de rigidez (N/m2)
L: Longitud de la probeta (m)

MÁQUINA PARA EL ENSAYO DE TORSIÓN

DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA MÁQUINA:
La máquina de torsión, está destinada a ser usada en los Laboratorios de Ensayo de Materiales, en
las Escuelas de Ingeniería Industrial, Civil, Eléctrica, Mecánica, etc.
Especificaciones:
Nombre: máquina manual para pruebas de torsión
Capacidad: hasta 1,500 kg. - cm.
Registro de la carga: electrónico con indicación digital del valor del par
Voltaje: 115 V
Longitud Máxima de Probeta: 225 mm
Diámetro Máximo de Probeta: 9.525 mm (ACERO).
Área ocupada en Mesa
De Trabajo: 29 cm. * 85 cm.
Altura Máxima: 40 cm.
Relación del Reductor: 1:60
Capacidad del fusible: 0.75 A
Aceite para el Reductor: SAE-90
La máquina consta de una barra (1), que soporta todas las partes de la misma. Las patas
ajustables (2), permiten la nivelación de la máquina.
Los mandriles (3, 4) son para fijar las probetas. Del lado derecho de la máquina, se tiene un
reductor de velocidad, de tornillo sinfín y rueda helicoidal, en cuya flecha de salida está montado
un mandril (3). La base del reductor, está fija en la barra (1) y fijarlo, si se desea, en cualquier
punto con la palanca (6) y la cuña (7).
El transportador (8) mide aproximadamente los ángulos totales de torsión de la probeta.
El volante (9) montado en la flecha de entrada del reductor, permite aplicar el par de torsión.
Del lado izquierdo de la máquina, se tiene el cabezal con el otro mandril (4) y el sistema
electrónico de registro. Este sistema de registro, emplea como transductor una celda de carga (10)
unida al mandril (4) mediante un eje (11), montado sobre baleros (12) para reducir al mínimo la
fricción.
La cubierta (13) contiene también las partes electrónicas del sistema de registro de la carga. En el
display (14) se puede leer el valor del par aplicado a la probeta en kg. - cm.
En el lateral derecho, se tiene un interruptor para encender/apagar la máquina (15). En la parte
trasera, el fusible de protección (16) y la clavija para conectar la máquina en 115 V. (17).
Finalmente, en el lateral derecho del cabezal, se encuentra el ajustador a cero del sistema (18).
INSTALACIÓN.
La máquina puede quedar convenientemente instalada sobre una mesa firme. No requiere
anclaje, pero si conviene tener cerca un contacto de 115 V./60 HZ.
El equipo se suministra sin aceite en el reductor, por lo que es conveniente ponerle el necesario de
(SAE-90).
ACCESORIOS.
La máquina se complementa con un "TORSIOMETRO" que permite medir ángulos directamente
sobre la probeta.
OPERACIÓN DE LA MÁQUINA.
La probeta se coloca entre las mordazas. Se ajusta primero el mandril del lado del cabezal de
medición (4) y luego girando el volante (9) se alinean el mandril opuesto (3) y se aprieta.
Se hace girar el transportador (8) para ponerlo en la posición de cero.
Se enciende la maquina unos 15 minutos antes de empezar a usarla, para permitir que el
registrador electrónico entre en régimen.
Al encender la máquina, se verá iluminada la pantalla (14). La máquina está lista para aplicar
carga a la probeta, lo cual se hace girando el volante (9). Hay que tener en cuenta que una vuelta
del volante, corresponde a 6º de torsión de la probeta.
Es conveniente aplicar la carga de incrementos de torsión de la probeta de 0.2 a 1.0 grados, por
cada incremento, según el material de que se trate.
Sugerencia para incremento de deformación para distintos materiales:
MATERIAL
INCREMENTO GRADOS
Acero al C. 0.15 %
0.5
Acero al C. 0.15 % Normalizado 0.2
Acero al C. 0.4 %
0.5
Acero al C. 0.4 % Normalizado
0.4
Hierro Vaciado
0.5
Latón
0.5
Aluminio
1.0
El par de torsión se transmite a la probeta y de ésta al sistema electrónico de medición que
muestra en la pantalla (14) el valor del par de torsión en kg. - cm.
El ángulo de torsión aproximado para toda la longitud de la probeta, se puede ver en el
transportador (8).
OPERACIÓN DEL TORSIÓMETRO
El torsiometro es una figura de precisión para medir directamente en la probeta, el ángulo de
torsión de la misma.
En la figura 2 se muestra un dibujo esquemático del torsiometro. Este se monta sobre la sección
cilíndrica de la probeta (1) y primero se fija la pieza (6) mediante su tornillo (2)
Las piezas (3), (4) y (5), forman un conjunto que se coloca después de haber situado el separador
(7). Este separador permite tener entre puntas de los tornillos (2) una distancia de exactamente
50 mm.
La tuerca (3), permite fijar el brazo (4) contra la pieza (5). El apriete contra el separador. Debe
permitir el deslizamiento de las partes.
La pieza (6) tiene un brazo donde se monta al comparador (8), cuyo palpador hace contacto con la
pieza (4), para medir el desplazamiento relativo entre las dos secciones de apoyo entre puntos.
Cuando se tiene fijo el torsiometro en la probeta y esta se sujeta a esfuerzo, se presenta un giro
entre las secciones coincidentes con los ejes de los tornillos (2) y este giro se transmite por la
pieza (4) hasta el vástago del comparador que registrara en su carátula una cierta magnitud en
centésimos de milímetros.
(Maquina para el ensayo de torsión automática)
Bastidor de máquina resistente a la torsión
Modelo 205
Las maquinas realizan la medida y la valoración de losa siguientes parámetros:
Fuerza de apriete inicial de la unión atornillada
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Par de apriete total
Par de aflojado total
Par de rozamiento bajo la cabeza del tornillo
Par de rozamiento de la rosca
Ángulo
Dilatación
En las máquinas de ensayo de tornillería, TesT utiliza detectores especiales patentados de
componentes múltiples, modelo 201, que operan como cabezales de medida.
Para realizar la medida simultánea y ONLINE de todos estos parámetros y para su
procesamiento, se necesitan tarjetasde PC especiales, modelo 840 (WIN 95, 98, ME, NT, 2000),
y el software SoftWinner 940 (WIN 95, 98, ME, NT, 2000).
En principio, las tarjetas y el software son iguales que en las máquinas universales de ensayo, con
las ampliaciones específicas para las funciones y valoraciones que requieren los ensayos en
tortillería
Las balanzas de torsión, están construidas para calcular las fuerzas eléctricas, magnéticas o
gravitatorias muy pequeñas a partir del ángulo que forma un brazo al girar, antes de que la
resistencia ejercida por la fuerza de torsión detenga su movimiento. Fue diseñada originalmente
por el geólogo británico John Michelle, y mejorada por el químico y físico de la misma
nacionalidadHenry Cavendish. El instrumento fue inventado de forma independiente por el físico
francés Charles de Coulomb, que lo empleó para medir la atracción eléctrica y magnética.
Una balanza de torsión está formada por dos esferas pequeñas, que suelen tener una masa del
orden de 1 g y van unidas a los extremos de una varilla horizontal suspendida por su centro de un
alambre fino o, en los experimentos más recientes, de una fibra de cuarzo. Si, por ejemplo, se
colocan dos esferas grandes de plomo junto a las esferas de la balanza, pero en lados opuestos, las
esferas de la balanza se verán atraídas por las esferas grandes y el alambre o la fibra
experimentarán una torsión. El grado de torsión se mide a través del movimiento de un rayo de
luz reflejado por la varilla sobre una escala. Esto permite hallar la fuerza gravitacional entre las
dos masas.
El vernier, conocido también como pie de rey, consiste usualmente en una regla fija de 12 cm. con
precisión de un milímetro, sobre la cual se desplaza otra regla móvil o reglilla. La reglilla
graduada del vernier divide 9mm en 20 partes iguales de manera que pueden efectuarse lecturas
con una precisión de un vigésimo de milímetro.
La precisión de estos instrumentos depende mucho de la calidad y estado del instrumento en sí;
por ejemplo, hay verniers que son precisos hasta los milésimos de una pulgada (.001"), cuando
otros son aun más precisos (.0005").
La medida se lee en decimales de pulgada o de unidades métricas; algunos presentan ambas
unidades.
A parte de los vernieres quizás más conocidos, están los que se pueden considerar como
"digitales", si es que muestran la medida en una pantalla.
Existen los que son de una longitud y alcance de 4". Quizá más comunes son los de 6", pero
también los hay de 12".
Este instrumento es versátil por su diseño, pues permite medir en distintas formas.
MATERIALES Y EQUIPOS
1. Máquina para ensayo de torsión
2. Extensómetro
3. Vernier
4. Probetas
PROCEDIMIENTO
1. Medir el diámetro de la probeta.
2. Fijar la probeta a las mordazas fijas y móviles de la máquina de torsión, ajustándola con los
tornillos de fijación.
3. Montar el extensómetro y calibrarlo en cero.
4. Aplicar una carga.
5. Leer el ángulo de torsión correspondiente y registrar el valor en la tabla 22.
6. Repetir el procedimiento con distintos valores de carga.
TABLA DATOS
Material
Cobre
D (mm)
9,00
LAB (mm)
500
LBC (mm)
200
F ( N ) ( ° )
0,00
0,00
2,50
0,82
7,50
1,51
12,50
2,10
17,50
3,30
22,50
4,01
27,50
4,68
32,50
5,55
37,50
6,40
42,50
7,08
GRAFICO
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Podemos ver que el modulo de rigidez hallado comprende los resultados esperados, además
pudimos Estudiar las características de la fractura por torsión en materiales dúctiles y frágiles. Y
determinar la relación entre momento torsor y deformación angular para los materiales
ensayados. También que La deformación plástica alcanzable con este tipo de ensayos es mucho
mayor que en los de tracción (estricción) o en los de compresión.
CONCLUSIONES
Pudimos reconocer y aplicar un nuevo ensayo muy útil para nuestra vida como futuros
ingenieros, también hemos reconocido el funcionamiento y manejo de la máquina para ensayo de
torsión.
Como conclusión principal podemos decir que La Torsión en sí, se refiere a la deformación
helicoidal que sufre un cuerpo cuando se le aplica un par de fuerzas (sistema de fuerzas paralelas
de igual magnitud y sentido contrario).
Los resultados del ensayo de torsión resultan útiles para el cálculo de elementos de máquina
sometidos a torsión tales como ejes de transmisión, tornillos, resortes de torsión y cigüeñales.
BIBLIOGRAFÍA



DAVIS, Harmer E. Y TROXELL, George E. Ensaye de los materiales en ingeniería: 7 ED.
México: C.E.C.S.A. 1979. 477 p.
NORMA TÉCNICA COLOMBIANA NTC 4525. Terminología de ensayos mecánicos.
Instituto Colombiano de Normas Técnicas y Certificación. ICONTEC. 1998-10-28.
BEER, Ferdinand P. y JOHNSTON, E. Russell. Mecánica de materiales. 2 ed. México:
McGraw Hill, 1999. 742 p. ISBN 958-600-127-X