SUCESIONES, PROGRESIONES, INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

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1
JRC
El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
1. Completa las sucesiones, e indica la regla de formación que corresponda en cada caso.
a)
20; 24; 28; 32; ………
…………………………………………………
b)
300; 298; 296; 294; …….
…………………………………………………
c)
30; 50; 70; 90; ……..
………………………………………………….
d)
9; 10; 12; 15; 19; …...
………………………………………………….
e)
12; 12; 12; 12; 12; …………
………………………………………………….
f)
3; 5; 9; 15; 23; ……….
………………………………………………….
g)
3; 6; 12; 24; …………
………………………………………………….
h)
1; 3; 9; 27; 81; ………….
………………………………………………….
2. Encuentre el valor del décimo término de las sucesiones del ejercicio anterior.
a) ……………………..
e) ……………………..
b)
……………………..
f) ……………………..
c)
……………………..
g ……………………..
d)
……………………..
h) ……………………..
3. Resuelve, analiza y responde
 Halla la suma del primer y último término de las sucesiones del ejercicio 1
a) ……………………..
e) ……………………..
b)
……………………..
f) ……………………..
c)
……………………..
g ……………………..
d)
……………………..
h) ……………………..
4. Suma el segundo y el penúltimo término de las sucesiones del ejercicio 1
a)
……………………..
e) ……………………..
b)
……………………..
f) ……………………..
c)
……………………..
g ……………………..
d)
……………………..
h) ……………………..
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2
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
5. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones:
3
1
a.
c 
5
2
b.
n2  n

3n  1
c.
a2  b2  c2
para n = – 1
si b= 0,4cm a= 0,3cm
6. Resuelve respetando el orden de las operaciones:
40  ( 2)  5  3.( 2) 
a)
b)
a + (b – c ) + 2a – ( a + b) =
c)
5x + ( – x – y ) – [– y + 4x] =
d)
64  ( 4)( 2)  1
e)
log 2 32  5(3) 
f)
5  (3)2 3  10  (2) 
para c = 
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3
2
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3
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
Expresa la variable en términos de las otras dadas.
a)
b
en
b)
r
en
c)
π
en
a2  b2  c2
r 2  A
2r  L
7. Encuentre el valor del sexto término de cada sucesión.
a)
3; 5; 7; 9; …………………………………..
b)
26; 32; 38; ……………………………………
8. Halla el término que sigue:
a)
31; 74; 33; 73; 35; 72; ………….
b)
26; 24; 22; 20; ……………..
9. Halla la regla de formación en cada caso.
a)
3; 5; 7; 9; ….
1.
……………………………..
b)
15; 20; 25; 30; ….
……………………………..
c)
2; 5; 10; 17; 26; …….
……………………………..
SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales (N) y
su rango es un subconjunto de los números reales (R)
En general, podemos decir que una sucesión está definida por una expresión con una
variable que toma valores naturales de 1 en adelante y en forma sucesiva, obteniendo así
los términos de la sucesión.
f
"Para ser feliz no se
N
R
1
2
3
4
.
.
.
n
necesita oro ni dinero, sino
amor, amistad y luz
interior".
a1
a2
a3
a4
.
.
.
an
Elementos del
Dominio
Elementos del
Rango
EJEMPLO 1: La sucesión formada por los números pares tiene por término general
Sn=2n. De modo que si reemplazamos n por los valores naturales 1; 2; 3; 4; ….; se
generan los términos.
Para:
n=1
S n  2n
S1  ..........
S1  2
Para:
n=2
S n  2.n
S 2  ..........
S2  4
Para:
n=4
S n  2n
S 4  2(4)
S 4  .......
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4
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
El conjunto de los números pares: {2; 4; 6; 8; 10; ….}
EJEMPLO 2: El término general de la sucesión de números impares es: S n  2n  1
Luego:
Para:
n=1
S n  2n  1
S1  ......................
S1  1
Para:
n=2
S n  2.n  1
S1  ......................
S2  3
Para:
n=3
S n  2n  1
S 3  2(3)  1
S3  5
El conjunto de los números pares: {1; 3; 5; 7; 9; ….}
En la sucesión S n  a1 ; a 2 ; a3 ; a 4 : .........; los puntos suspensivos después de a 4 sirven para
indicar que la sucesión se prolonga indefinidamente, es decir, tiene infinitos términos.

Una sucesión es infinita cuando no tiene último término, es decir, dado cualquier
término de la sucesión, existen términos siguientes a él, ejemplo: los términos de la
sucesión:
 n 
sn  
 ; son
n  2
1
1
2
2
3
3
s1 

s2 

s3 
 ; ………..
1 2 3
22 4
3 2 5
Una sucesión es finita, cuando tiene un término que es el último
Ejemplo: 3; 7; 11; 15; 19; 23; 27.
Como se observará esta sucesión tiene un último término que es 27, por lo tanto, la
sucesión es finita.
DETERMINACIÓN DE UNA SUCESIÓN:
Una sucesión puede estar determinada por el término general o por una ley de
recurrencia.
A. Por el término general.
Ejemplo:
3n  1
Escribir la sucesión cuyo término general es: f (n) 
2n  5
Resolución:
si n = 1; 2; 3; 4; ……. Y se tendrá
31  1
2

Para: n = 1; el término de la sucesión es: f (1) 
2(1)  5 7

2.
Luego: los términos de la sucesión son:
2 8 26
; ; ;..........
7 9 11
B. Por una ley de recurrencia:
Que permite obtener un término a partir de otros anteriores
Ejemplo.
Escribir la sucesión cuyo primer término es 2; sabiendo que cada término siguiente es
el cuadrado del anterior.
f1 = 2;
f2 = 2 2 = 4;
f2 = 4 2  16 ;
Luego, los términos de la sucesión son:
f2 = 16 2  256 ; ……..
2; 4; 16; 256; ……….
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada término es igual
al anterior más un número constante.
El número constante que se suma a cada término se llama razón o diferencia de la
progresión por ser igual a la diferencia entre un término cualquiera y su anterior.
En la progresión aritmética: 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17;...
a1  5



El primer término es
La Razón es:
El número de términos:
d=2
n

Término enésimo:
an
La fórmula del término general
an
Simbólicamente:
an  a1  (n  1)d
1.
Hallar el término vigésimo de una 2. Halla el primer término de una
progresión aritmética cuyo primer
progresión aritmética sabiendo que el
término es 120 y la diferencia es – 3.
20
décimotercer término es 
y la
a) 78
3
b) 45
1
diferencia es 
c) 63
2
d) 53
2
a) 
e) 89
3
1
b)
3
c) 4
d) 3
3.
Halla la diferencia de una progresión de
quince términos si el primer término es
1
5
 y el último es .
8
2
¿Cuántos términos tiene una progresión
aritmética si se sabe que su diferencia es
– 25, el primer término es 246 y el
último es – 54?
a) 14
b) 28
c) 13
d)11
e) 10
Se sabe que en una P.A. el término que
ocupa el lugar 12 es 24 y que la razón
es 2. Hallar el primer término de la
progresión.
6.
a) 4
b) 7
3
c)
16
4
d)
18
5.
4.
Calcula el término que ocupa el lugar 10
de una progresión aritmética cuyo
primer término es igual a 4 y la
diferencia es 5.
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
a) 3
b) 6
c) 2
d) 7
7.
a) 48
b) 59
c) 19
d)49
En una P.A. de 25 términos, se sabe
1.
El primer término de una P.A. es 12, la
razón 4, hallar el trigésimo término.
a3  a23  56 . Hallar la suma de todos
a) 120
sus términos.
b) 132
d) 640
c) 128
e) 720
d) 48
f) 100
e) 124
g) 700
h) 540
Interpolar n términos entre dos números dados, a1 y an , consiste en la obtención de n
términos situados entre a1 y an, tales que formen una progresión aritmética de extremos a1 y
a n.
Entonces, para interpolar, tenemos que calcular la razón de la progresión aritmética. Como la
progresión aritmética resultante tiene n+2 términos y sus extremos son a1 y an, la razón se:
d
an  a1
n 1
Interpolar cinco medios diferenciales entre 4 y 22
 Como hay que interpolar 5 términos entre 4 y 22, la serie tiene 5 + 2 = 7 términos
Entonces: 4; ….; ….; ….; ….; ….; 22

Número de términos a interpolar : p = 5

Primer y último término: a1 = 4 y an = a7 = 22
 Para completar la progresión necesitamos hallar d. Observamos que desde el 4 al 22 hay
18 puntos de diferencia y 6 números para continuar. Entonces la diferencia entre los
mismos es:
d
an  a1
n 1
d
22  4 18

3
7 1
6
 La diferencia d entre los términos es 3. Por lo tanto, la progresión resultante es:
4; 7; 10; 13; 16; 19; 22.
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
RESOLVIENDO PROBLEMAS
2) Interpolar 4 medios diferenciales (o 3) Interpolar 3 medios aritméticos entre
aritméticos) entre los números 3 y 28.
los números – 10 y 10
4) Interpolar cuatro medios aritméticos 5)Interpolar 6 números entre: 14 y 63
entre 1 y 36
6) Encuentre los 8 primeros términos de 7) Encuentre los 8 primeros términos de la
la proporción aritméticas. a1=12 d = –
proporción aritméticas. a1= 26 d = 4
2
8) Encuentre los 8 primeros términos de 9) Encuentre los 8 primeros términos de la
la proporción aritméticas. a8 = 10 d = 6
proporción aritméticas. a20 =300 d=– 4
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8
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a8 = 26
Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a32 = 25
Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a1 = 200
Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a1 = – 160
Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a1 = – 160
Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a1 = – 51
Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a25 = – 300
Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a1 = √250
d = 10
d = 10
d=–6
d = 15
d = 20
d=3
d = – 10
d = √40
SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Suma de los términos equidistantes de los extremos:
En una progresión aritmética la suma de los términos equidistantes de los extremos es
igual a la suma de los extremos.
Observa las siguientes progresiones aritméticas limitadas:
an
:1; 3; 5; 7; 9; 11.
a1
1
;
a2
3
;
a3
5
;
12
12
12
a4
7
;
a5
9
a6
11
;
Notamos en la progresión an, que la suma de los términos extremos a1 + a6 = 12 y que los
términos equidistantes a2 y a5, a3 y a4 suman también 12. Por lo tanto.
a2 + a5 = a3 + a4 = a1 + a6 = 12

Suma de los n términos de una progresión aritmética.
¿Cuál es la suma de los términos de la progresión 5; 10; 15; 20; 25 y 30?
Una forma de hallar la suma de los 6 términos de esta progresión es escribir la suma dos
veces invirtiendo el orden de los términos en una de ellas:
S6 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30
S6 = 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5
2S6= 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35
Se observa que: 2S6= 6 veces . (5 +30)
Entonces la suma de los seis términos es: S 6 
(5  30).6
 105
2
La suma de los seis términos de la progresión es 105
EN SU FORMA GENERAL:

(a  a n ).n
Sn  1
2
n
S n   a1  (k  1).d 
k 1
Del término central (tc): También se le conoce como MEDIA ARITMÉTICA
“En una progresión aritmética de número impar de términos, el término central (t c) es
igual a la semisuma de los extremos”.
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tc 
a1  an
2
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
PROBLEMAS POR RESOLVER
1)
El último término de una progresión aritmética que consta de 19 términos es 246.
Sabiendo que su razón es 8; hallar la suma de todos ellos.
a) 3306
b) 3456
c) 89702
d) 8976
e) 897
2)
¿Cuántos términos debe tener la progresión aritmética 120, 117, 114, …. para que la
suma de todos sus términos sea 2295?
a) 45
b) 12
c) 30
d) 15
e) 10
3)
Hallar la suma de los 9 términos de la siguiente P.A.: 22, 16, 10, ……..
a) –18
b) 23
c) 12
d) –56
e) n.a.
4)
Encontrar la suma de los primeros 30 términos de una P.A. si el primer término es – 40
y el 12º término es 777.
a) 4512
b) 15478
c) 11055
d) 4562
e) n.a.
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada término es igual al
anterior multiplicador por una constante llamada razón.
Consideremos la sucesión: 1; 3; 9; 27; 81.
los términos son:
a1 = 1; a5 =81;
n = 5;
r=3
Observamos que cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 3. Esta es
la característica de un tipo de sucesiones llamadas progresiones geométricas.
a 2  a 1 .r
a 3  a 2 .r  a 1 .r .r  a 1 .r
2
a 4  a 3 .r  a 1 .r 2 .r  a 1 .r
3
a n  a 1 .r n 1
Para interpolar términos proporcionales basta hallar la razón r de la progresión geométrica
que tiene por extremos a1 y an y cuyo número de términos es p + 2
Ejemplo:
5)
Interpolar 4 medios proporcionales entre 5 y 160.
DATOS:
a1 = 5
an = 160
n=p+2=4+2=6
r=
a n  a 1 .r
n 1
160  5.r 6 1
160
 r5
5
32  r 5
25  r 5
2=r
(multiplicar)
Aplicamos la razón 2 y resulta la progresión: 5; 10; 20; 40; 80; 160.
Los términos interpolados son: 10; 20; 4O y 80.
PROBLEMAS Y EJERCICIOS POR RESOLVER
1) ¿Cuál es el sexto término en la progresión 2, 6, 18, …?
a) 908
b) 456
c) 123
d) 486
e) 129
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
2)
Se sabe que el 5to. término de una progresión geométrica es 11,25 y que la razón es
Hallar el 1er. Término de la progresión.
a) 124
b) 154
c) 180
d) 190
e) 156
3)
4)
Hallar la razón de una progresión geométrica sabiendo que su primer término es
que su quinto término es 261.
a) 4
b) 6
c) 7
d) 1
e) 3
Obtener el término central de la siguiente P.G. a1 = 12; a5 = 3
=
.
;
.
>0
5)
Interpolar cinco medios geométricos entre
1
y 3.
9
6)
Interpolar 6 medios geométricos entre 8 y
1
.
16
1
.
2
29
y
9
SUMA DE LOS TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA LIMITADA:
“La suma de los términos de una P.G. limitada es igual al último término multiplicado por la
razón menos el primer término; dividido todo esto entre la diferencia de la razón y la unidad.
a n .r  a1
Sn 
r 1
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
EJEMPLO:
Calcular la suma de los cinco primeros términos de la P.G.: 6, -12, 24, …….
SOLUCIÓN:
Datos:
Hallamos el último término:
n 1
a1  6
a n  a 1 .r
n=5
 12
r
 2
6
an  ?
a n  ( 6 ).(  2 ) 5  1
a n  ( 6 ).(  2 ) 4  ( 6 )( 16 )  96
La suma pedida será:
a .r  a1
Sn  n
r 1
( 96 ).(  2 )  ( 6 )  192  6  198
S5 


3
(2)  1
3
S5 = 66
(Resultado)
SUMA DE LOS TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE ( S  )
La suma de un número infinito de término de una progresión geométrica decreciente razón
positiva menor que la unidad, se da por:
S 
a1
1 r
EJEMPLO:
Sumar la progresión geométrica siguiente: 0,45; 0,015; 0,0005; …………
SOLUCIÓN:
45
9
a1  0, 45 

Tenemos:
100 20
0,015 15
1
r


0,45 450 30
9
9
Aplicando la ecuación o fórmula: S   20  20  9 (30 )
1
29 29 ( 29 )
1
30
30
S 
27
58
Resultado
RESOLVER LOS SIGUIENTE EJERCICIOS Y PROBLEMAS.
1) Hallar la suma de los 8 primeros términos de la siguiente progresión geométrica: 8; 16;
32; …..
a) 2060
b) 2040
c) 3409
d) 9034
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
2)
En la progresión geométrica: 9; –3; 1; ….
Hallar
a) El término séptimo de la progresión.
b) La suma de los 7 primeros términos.
3
.
2
¿Cuántos términos debe tener la progresión para que la suma de sus términos sea 3165?
a) 9
b) 6
c) 10
d) 5
e) 7
3)
Se sabe que en una progresión geométrica el 1er. Término es 240 y que la razón es
4)
Hallar la suma de las 5 medios geométricas entre 9 y 576; sabiendo que la razón es
positiva.
a) 556
b) 879
c) 665
d) 558
e) 192
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS EQUIDISTANTES
 En toda progresión geométrica, el producto de dos términos equidistantes a los extremos
es igual al producto de los extremos de la progresión.
EJEMPLOS
Observemos las siguientes progresiones geométricas:
7; 14; 28; 56; 112; 224; 448; 896; 1792;.
7 y 1792 son los extremos. Su Producto es 7 x 1792 = 12 544
 Los términos equidistantes a los extremos son:
14 y 896.
El producto de los dos es
14 x 896 = 12 544
28 y 448.
El producto de los dos es
28 x 448 = 12 544
56 y 224.
El producto de los dos es
56 x 224 = 12 544
En términos generales si a1, a2, a3, …an-a, an-1, an es una progresión geométrica entonces se
cumple las siguientes igualdades:
(a 2 ).(a n1 )  (a1 ).(a n ) ; (a3 ).(a n 2 )  (a1 ).(a n ) , etc.
PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.
El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es igual a la raíz
cuadrada del producto de los extremos elevado a la potencia n.
= ( . )
EJEMPLO:
Hallar el producto de los 8 primeros términos de la progresión
2; 4; 8; …
Solución:
a1 = 2
a) hallando el octavo término:
a8  a1 .r n 1
r=2
a8  2.(2) 81  2.(2) 7  2 8
n=8
b) Hallando el producto de los 8 términos:
Pn  (a1 .a n ) n
P8  ( 2.28 )8  (29 )8  272
Pn  236
5)
Respuesta
Sea la siguiente progresión geométrica 2; 6; 18; 54; 162. Si P5 es el producto de los 5
términos, calcula P5
a) 1 987 987
b) 2 678 943
c) 1 889 568
d) 987 876
e) 908 234
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
RESOLVIENDO EN GRUPO LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
1)
El quinto término de una P.G. es 2500 y la razón es igual a 5. ¿Cuál es el primer término?
a)
b)
c)
d)
e)
2)
4
6
8
9
1
Si el primer término de una P.G. es igual a
razón.
a) 3
y el sexto término vale
; determinar la
b) 5
c)
2
5
d)
1
2
e) 7
3)
Calcular el número de términos de la siguiente P.G. cuya razón es igual a − :
P.G.: – 2; ………………..;
a) 7
b) 9
c) 10
d) 6
e) 14
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4)
Calcular la suma de los cinco primeros términos de la P.G.: 6; – 12; 24; ……….
a) 89
b) 66
c) 88
d) 99
e) 12
5)
El primer término de una P.A. es 5. Si la diferencia es – 4; encontrar el 4º término.
a) – 4
b) 5
c) – 7
d) 4
e) 9
6)
Calcular la diferencia de una P.A. cuyo primer término es ; su último término es 12 y el
número de términos es 10.
a)
5
4
b) 5
c) 4
d) 5
e) 9
7)
Interpolar 3 medios aritméticos entre 4 y 40..
8)
Calcular la suma de los primeros 10 múltiplos de 4, diferentes de cero.
a) 220
b) 440
c) 888
d) 120
e) 150
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9)
Encontrar el 6º términos de: 6; 10; 4; ….
a) 26
b) 45
c) 89
d) 45
e) 8
10) Encontrar el 11º términos de: ;
a)
19
6
b)
18
8
;………
c) 9
d) 78
e) 3
11) La suma de los 5 medios aritméticos entre 8 y 26 es:
a) 85
b) 84
c) 95
d) 12
e) 16
12) ¿Cuál es la diferencia entre el 6º y el 9º término de una P.A. de 11 términos, si el primero
es – 2 y el último es – 52?
a) 15
b) 25
c) 10
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Interés simple y compuesto
Es imprescindible para comprender el mundo de los préstamos, entender el concepto de
interés simple e interés compuesto. Pongamos un ejemplo de cada tipo para intentar
comprender en qué consiste cada interés:
INTERÉS SIMPLE: Lourdes tiene 100 soles y desea depositarlos en un banco, el cual le
ofrece un interés anual del 6%, es decir, al cabo de un año el banco le devuelve 100 soles más
el 6% de 100 (6 soles de interés), luego le devuelve 106 soles.
A Lourdes le ha gustado esta operación y vuelve a realizar la misma operación con los
100 soles, ya que los 6 soles deciden gastárselos. Entonces al cabo del segundo año se
encontraría de nuevo con 106 soles. En dos años ha pasado de 100 soles a 112, ya que le ha
añadido 6 cada año a los 100 primeros. Si esto lo hiciéramos durante varios años, podríamos
resumirlo
en
la
siguiente
tabla:
Año
0
1
2
3
4
Capital total 100 106 112 118 124
INTERÉS COMPUESTO : Supongamos ahora que María realiza la misma operación que
Lourdes el primer año, transcurrido el cual tendrá 106 soles. María decide al igual que su
novio en volver a depositar en el banco el dinero, pero ella no deposita sólo los 100 soles, sino
que añade el interés conseguido. La situación sería que el 6% en el segundo año se debe
= 6,36
calcular sobre 106 soles, y este interés sería de
106.
Al final del segundo año, María tendría 112,36 soles, y si continuásemos el proceso,
calculando siempre el 6% sobre el capital obtenido el año anterior, los primeros años
quedarían reflejados en la siguiente tabla:
Año
0
1
2
3
4
Capital total 100 106 112,36 119,1016 126,247696
La diferencia entre los dos tipos de interés es evidente, en el primer caso, los intereses no
se acumulan al capital, pero en el segundo sí lo hacen, siendo este segundo caso más
beneficioso para la parte que aporta el dinero.
El proceso que consiste en sumar al capital inicial el interés correspondiente al tiempo
que dura la inversión o el préstamo se le llama capitalización. En nuestros dos ejemplos, tras
cuatro años el proceso de capitalización ha dado dos cantidades distintas, que se han obtenido
mediante las llamadas leyes financieras de capitalización simple y compuesta,
respectivamente.
Habitualmente, el interés compuesto o la llamada ley financiera de capitalización
compuesta es la que se utiliza en los préstamos. La razón es evidente, porque si el banco nos
prestase 5 000 soles es más beneficioso para ellos que el interés que tengamos pactado sea un
interés compuesto, se acumularían más intereses a lo largo del tiempo.
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Ley financiera de capitalización compuesta
En este apartado pretendemos describir el cálculo de la fórmula que nos determina el
capital final (C') tras aplicarle un determinado interés compuesto (i) a un capital inicial (C). El
cálculo de dicha fórmula es prescindible en el desarrollo de este tema, y sólo aparece a modo
informativo para aquellos iniciados en el cálculo simbólico.
Qué mejor que pedirle ayuda a nuestros novios para entender el desarrollo.
Borja y María han decidido ingresar en un banco 4 000 soles y han pactado que lo cederán
durante 5 años a un interés del 5% (por supuesto, compuesto). Inmediatamente podríamos
hacer una tabla en la que apareciesen el desarrollo de los 5 años.
Año
0
1
2
3
4
5
Capital total 4 000 4 200 4 410 4 630,5 4 862,025 5105,12625
Como ya hemos comentado, hay un método para averiguar cuánto tendremos al final de
los 5 años, sin tener que utilizar una tabla en nuestros cálculos. En definitiva, queremos que
saber qué capital final C' tendríamos a partir de un capital C a un interés compuesto anual i
durante n años.
Cálculo de la fórmula
Aplicando la fórmula:
!
= .
+
donde
C=4000
i=5%
n=5 años
Tenemos que
!
=
+
=
( + ,
) =
( ,
) =
,
FORMULA - INTERES SIMPLE: Fórmula para calcular el interés cuando la tasa está
expresada en años y el tiempo se da en meses o en días.
En meses
En días
I
1)
C .R.T
1200
Años
I
C.R.T
36000
3)
4)
C .R.T
100
Una persona recibe el 10% de comisión por la venta de una bicicleta cuyo valor es S/.
720. ¿A cuánto asciende la comisión?
2)
I
S/. 72
Si 150 obreros hacen un trabajo en 120 días, ¿cuánto tiempo demorarán 450 obreros en
hacer el mismo trabajo?.
40 días
9 obreros trabajando 8 horas diarias, pintan una casa en 12 días. ¿Cuántos días
demorarán en pintar la misma casa trabajando 6 horas diarias?
8 días
Un saco me cuesta 125 soles, pero en el almacén hay un descuento del 25%. ¿Cuánto
pagaré por el caso y cuánto asciende el descuento?
S/. 93,75 S/. 31,25
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
5)
6)
7)
¿Cuánto sería el interés producido por un capital de S/. 5 000, colocado durante 3 años
al 9% anual?
¿Cuál es el capital que colocado al 13,25% anual ha producido S/. 346 en 10 meses?
Un capital de S/. 3 560 ha producido en ocho meses un interés de S/. 302,6. ¿A qué tanto
por ciento fue colocado?.
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
1) ¿Cuánto producen 500 soles al 6% 2)
anual en 18 días?
a) 15 soles
b) 1,80 soles
c) 1,50 soles
d) 18 soles
¿En qué tiempo 720 soles al 1%
bimestral producen 72 soles?
a) 1 año 2 meses
b) 1 año 8 meses
c) 1 año 6 meses
d) 2 años
3)
¿En qué tiempo 10 000 soles al 10% de
interés compuesto anual producen una
ganancia de 4641 soles?
a) 3 años
b) 4 años
c) 6 años
d) 2 años
Carlos hizo un préstamo de 750 soles al
24% de interés anual. Si al final pagó
150 soles de interés. ¿Cuánto tiempo
antes canceló la deuda?
a) 25 días
b) 2 meses
c) 1 mes
d) 40 días
Una deuda de 30 000 soles al 1% de
interés compuesto anual. ¿En cuanto se
incrementa en 5 años?
a) 1500,25 soles
b) 1530,30 soles
c) 1500,30 soles
d) 1530,20 soles
5)
7)
¿en qué tiempo un capital al 5% 4)
semestral produce la mitad de su
monto?
a) 5 años
b) 4 años
c) 6 años
d) 3 años
¿Qué día se depositó 1000 soles al 1,5% 6)
trimestral si el 13 de mayo se cobró 25
soles de interés?
a) 10 de enero
b) 25 enero
c) 25 de febrero
d) 13 de diciembre
Un comerciante se presta dinero al 6% 8)
trimestral el 17 de junio. ¿A cuánto
asciende la deuda que contrajo si al
cancelarla el 5 de julio pagó un interés
de 288 soles?
a) 24 000 soles
b) 28 500 soles
c) 28 900 soles
d) 96 000 soles
9) ¿A qué tasa de interés anual se 10)
depositaron 900 soles para que en 8
meses hayan producido 45 soles?
a) 6%
b) 6,5%
c) 7%
d) 7,5%
11) ¿A qué tasa de interés semestral están 12)
depositados 45 000 soles si producen
una renta mensual de 150 soles?
a) 4%
b) 5%
¿Cuál es el capital depositado al 5%
anual que produce una renta mensual de
250 soles?
a) 50 000 soles
b) 40 000 soles
c) 60 000 soles
d) 25 000 soles
El capital A de 800 soles está al 6% en 4
años y el capital B de 1600 soles está al
3% en 2 años. ¿Cuál de los dos produce
más interés y en que proporción?
a) B, el doble
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
c) 2,5%
d) 2%
13)
15)
17)
19)
21)
23)
25)
b) A, el triple
c) B, el triple
d) A, el doble
¿Qué tasa de interés anual se cobra si 14) ¿Cuál es la diferencia entre los intereses
1600 soles en 25 días producen 6 soles
que producen 600 soles colocados: al
de interés?
8% en 5 años y al 5% en 8 años?
a) 4%
a) 100 soles
b) 4,5%
b) 50 soles
c) 5%
c) 0 soles
d) 5,4%
d) 10 soles
¿Cuál es la tasa de interés compuesto a 16) ¿Cuánto producen 500 soles al 6% anual
la que se han depositado 18 000 soles
en 18 días?
durante 2 años para que produzcan un
a) 15 soles
interés de 1845 soles?
b) 1,50
a) 6%
c) 1,80
b) 5%
d) 18
c) 7%
d) 8%
2. ¿En qué tiempo 720 soles al 1% 18) 3. ¿en qué tiempo un capital al 5%
bimestral producen 72 soles?
semestral produce la mitad de su
a) 1 año 2 meses
monto?
b) 1 año 8 meses
a) 5 años
c) 1 año 6 meses
b) 4 años
d) 2 años
c) 6 años
c) 3 años
4. ¿En que tiempo 10000 soles al 10% 20) 5. ¿Qué día se depositó 1000 soles al
de interés compuesto anual producen
1.5% trimestral si el 13 de mayo se
una ganancia de 4641 soles?
cobró 25 soles de interés?
a) 3 años
a) 10 de enero
b) 4 años
b) 25 de enero
c) 6 años
c) 25 de febrero
d) 2 años
d) 13 de diciembre
6. Carlos hizo un préstamo de 750 soles 22) 7. Un comerciante se presta dinero al
al 24% de interés anual. Si al final pagó
6% trimestral el 17 de junio. ¿A cuánto
150 soles de interés. ¿Cuánto tiempo
asciende la deuda que contrajo si al
antes canceló la deuda?
cancelarla el 5 de julio pagó un interés
a) 25 días
de 288 soles?
b) 2 meses
a) 24 000 soles
c) 1 ½ mes
b) 28 500 soles
d) 40 día
c) 28 900 soles
d) 96 000 soles
8. Una deuda de 30000 soles al 1% de 24) 9. ¿A qué tasa de interés anual se
interés compuesto anual. ¿En cuanto se
depositaron 900 soles para que en 8
incrementa en 5 años?
meses hayan producido 45 soles?
a) 1500,25 soles
a) 6%
b) 1530,30 soles
b) 6,5%
c) 1500,30 soles
c) 7%
d) 1530,20 s
d) 7.5%
10. ¿Cuál es el capital depositado al 5% 26) 11. ¿A que tasa de interés semestral
anual que produce una renta mensual
están depositados 45000 soles si
de 250 soles?
producen una renta mensual de 150
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El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.
a) 50 000 soles
b) 40 000 soles
c) 60 000 soles
d) 25 000 soles
soles?
a) 4%
b) 5%
c) 2,5%
d) 2%
27) 12. El capital A de 800 soles está al 6% 28) 13. ¿Qué tasa de interés anual se cobra si
en 4 años y el capital B de 1600 soles
1600 soles en 25 días producen 6 soles
está al 3% en 2 años. ¿Cuál de los dos
de interés?
produce más interés y en que
a) 4%
proporción?
b) 4,5%
a) B, el doble
c) 5%
b) A, el triple
d) 5,4%
c) B, el triple
d) A, el doble
29) 14. ¿Cuál es la diferencia entre los 30) 15. ¿Cuál es la tasa de interés compuesto
intereses que producen 600 soles
a la que se han depositado 18000 soles
colocados: al 8% en 5 años y al 5% en 8
durante 2 años para que produzcan un
años?
interés de 1845 soles?
a) 100 soles
a) 6%
b) 50 soles
b) 5%
c) 0 soles
c) 7%
d) 10 soles
d) 8%
31) Halle el monto a los 4 años si S/. 5 000 se invierten al 7% anual computado
continuamente.
32) Laura necesita tener S/. 12 000 dentro de 3 años para saldar una deuda que tiene con su
tía. ¿Cuánto tendrá que depositar hoy en un fondo que acumula un 4,5% de interés
computado trimestralmente para lograr su meta?
33) Elsa abrió una cuenta con S/. 500 el 4 de marzo. La cuenta acumula un 4% de interés
anual computado diariamente. Si no hizo ningún retiro e hizo un depósito de S/. 1 500 el
28 del mismo mes, halle el monto el 15 de abril.
34) Pedro le prestó a Juan una cantidad de dinero cobrándole un 5% de interés por
adelantado. Si el mismo fue saldado a los 2 años con un cheque por S/. 4 980, ¿Qué
cantidad le prestó Pedro a Juan?
35) ¿En qué tiempo S/. 4 000, invertidos al 3% anual simple, producen S/. 1000 en
intereses?
36) Si Mario pagó S/. 2300,75 en la fecha de vencimiento de un préstamo por 15 meses al
7,5% de interés simple, ¿de cuánto fue el préstamo?
37) Mariela abrió una cuenta con S/. 4000. Si la misma acumula un 5,5% de interés anual
computado mensualmente, ¿qué tiempo debe dejar el dinero en el banco para tener un
balance de S/. 8 500?
38) Si se necesita tomar un préstamo por 2 años de S/. 3 000, ¿cuál de las siguientes tasas de
interés conviene?
a) 9% computado mensualmente
b) 8,5% computado semanalmente
39) Halle el tiempo que tomaría S/. 4 000 en duplicarse al 6% computado anualmente.
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