Página 1 21−03−00 TEMA 1.− LA FUNCION FINANCIERA. 1.1. INTRODUCCION.

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TEMA 1.− LA FUNCION FINANCIERA.
1.1. INTRODUCCION.
• SUBSISTEMA ADMINISTRATIVO Se encarga de la fijacion de objetivos y de plantear las actividades
a desarrollar para alcanzarlo, por lo tanto, fija los objetivos y las actividades a desarrollar, es el motor
de todo el resto de la empresa y coordina el resto de subsistemas con 3 funciones.
• Planificación
• Organización
• Control
• SUBSISTEMA FISICO Transforma los factores de produccion en productos que seran vendidos en el
mercado.
• SUBSISTEMA ECONOMICO Nos encontramos con flujos de bienes ficticios de entradas y salidas .
Tiene tres funciones:
• Aprovisionamiento
• Producción
• Comercialización
• SUBSISTEMA FINANCIERO Actividad generada por el subsistema Economico, genera circuitos de
bienes, flujo monetarios y es el sustento del resto de las areas funcionales de la empresa.
FUNCION INVERSION Aplicación de fondos.
FUNCION FINANCIERA Adaptacion de fondos.
Hay 10 puntos fundamentales para el Objeto FINANCIERO:
• Captar fondos al menor coste posible
• Establecer la estructura financiera y optima.
• Concretar la politica de dividendos y autofinanciacion.
• Gestion de liquidez.
Aborda dos problemas relacionados entre si, primero que cantidad de dinero liquido, debemos mantener y en
segundo lugar en que instrumentos liquidos debemos mantenerlo.
• Coste explicito de un capital es el coste del capital en un momento dado.
• Coste Implicito del capital Es lo que se deja de percibir por el aprovrchamiento del recurso.
• Informar sobre la dimension de la empresa.
• Distribuir fondos entre los departamentos.
• Investigar alternativas de Inversion aplicando modelos de valoracion PR(plazo de recuperacion) −
VAN(valor actual neto) − TIR.(tasa interna del rendimiento).
• Jerarquizar u ordenar proyectos de Inversion. Establecer un orden sobre los proyectos de inversión.
• Analizar decisiones secuenciales de inversión .
1
10. Asignación de presupuesto: Racionamiento de capital.
DIVIDENDOS Parte de los beneficios que la empresa reparte entre sus socios.
ESTRUCTURA ECONOMICA.−
ACTIVO FIJO Conjunto de bienes y derechos vinculados a la empresa durante varios ejercicios económicos.
ACTIVO CIRCULANTE Conjunto de bienes y derechos que sufren modificaciones sustanciales dentro de un
ejercicio económico.
ESTRUCTURA FINANCIERA (Origen de recursos financieros de la empresa).
FONDOS PROPIOS Forman el patrimonio neto de la empresa y esta compuesto por diversas partidas,
aportaciones de capital de los propietarios, beneficios no distribuidos,etc.
DEUDAS A LARGO PLAZO Fondos que estan vinculados a la empresa por un largo periodo de tiempo
destinados normalmente a financiar el activo fijo.
DEUDAS A CORTO PLAZO Son fondos cuyo vencimiento tiene lugar normalmente dentro del ciclo de
explotacion y que financian parte del activo circulante.
1.2. FUNCION OBJETIVA DE LA GESTION FINANCIERA.
• LA FUNCION OBJETIVO DE LA FUNCION FINANCIERA.
Las limitaciones del proceso son el mercado de las PYME.
Existe una relación directa entre beneficios y el valor de la empresa.
Lo que nos interesa es cuantificar.
1.3 .− EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.
• ELEMENTOS PERSONALES En una operación financiera intervienen dos partes, por un lado un sujeto
activo (prestamista o financiante) y por otra el sujeto pasivo (prestatario).
• Sujeto Activo Proporciona dinero durante un cierto tiempo = sujeto ahorrador o un intermediario
financiero (bancos,etc).
• Sujeto Pasivo Necesita el dinero y recurre al sujeto activo para obtenerlo.
• Prestación Capital o conjunto de capitales que el sujeto activo pone a disposición del sujeto pasivo.
• Contraprestación Capital o conjunto de capitales que el sujeto pasivo devuelve al sujeto activo
después de un tiempo estipulado.
• Capital financiero (c,t),(c,n) donde c = cuantía y t , n son vencimientos.
ESQUEMA TEMPORAL DE UNA OPERACIÓN FINANCIERA.
Es una recta donde representamos los dos elementos definidos en el capital financiero, para estudiar la
2
operación financiera con mayor claridad.
C0 C1 C2 ....... Cn
.to t1 t2 ...... tn donde to es el origen de la operación
financiera
tn Final de la operación financiera.
• CONCEPTO DE INTERES El interés del precio del dinero consiste en la retribución a la capacidad
ahorradora del sujeto financiante.
En función de la ley financiera tenemos:
• INTERES SIMPLE El que se devenga a final de cada periodo y se separa del capital de forma que
siempre se calcula sobre el valor inicial.
I = C * t * i I= interés simple // C = capital // t = tiempo // i = interés.
Ejemplo: c=100000 // t= 2 años // i= 6% I = 100000*2*0.06
• INTERES COMPUESTO Aquel que se acumula al final de cada periodo para producir a su vez nuevos
intereses.
Cn = Co (1+i)n Co = Cn LEY DE CAPITALIZACION
(1+i)n COMPUESTA
Cn = Capital final // Co = Capital inicial
Recordar que el i siempre viene dado por tanto por uno y no en tanto por cien.
• CAPITALIZAR (desplazar capitales hacia la derecha) Capitalizar una determinada cantidad de dinero
al año (n) a partir del momento actual , es encontrar una cantidad monetaria equivalente en esa fecha
futura.
Co .............. Cn = Co (1+i)n
0 1 2 .......... n
Donde Co y Cn son capitales financieramente equivalentes.
• DESCONTAR O ACTUALIZAR (desplazar capitales hacia la izquierda) Es la operación inversa de la
capitalizacion y consiste en calcular el equivalente en el momento presente de una cantidad de dinero
disponible con certeza en el futuro.
Co = Cn / (1+i)n - ......... Cn
0 1 2 .................. n
para reducir la ecuación Co = Cn (1+i)−n = Cn (1+i)−n = Cn (1+i)−n
3
(1+i)n (1+i)−n = (1+i)n (1+i)−n
Ejercicio:
Sabemos que dentro de 20 años vamos a ser beneficiarios de una herencia de 20 millones, consultando un
analista financiero a establecido una estimación de una tasa de interés del 3% anual y constante para el
periodo considerado se desea saber la valoración de dicha herencia en el momento actual.
Co ................... Cn = 20000000 Co = 20000000 (1+0.03)−20 = 11.073.515
0 .................... 20
• CLASIFICACION DE LAS RENTAS FINANCIERAS
− ( Según el vencimiento de capitales )
• POSTPAGABLES Cuando los capitales vencen al final de cada intervalo , es decir en el extremo
superior.
C1 C2 ............. Cn
0 1 2 ................ n
extremo final del intervalo 1−2
• PREPAGABLES Cuando el capital vence al principio de cada intervalo, es decir en el extremo
inferior. Ejempo (alquileres).
C1 C2 .............. Cn
• 1 2 ................ n
extremo inicial de cada intervalo.
− (según la duración de la renta)
• TEMPORAL Numero finito de términos.
• PERPETUA Numero infinito de terminos.
Aspectos que estudiaremos, solamente POSTPAGABLES Y TEMPORALES:
El valor de una renta Postpagable y Temporal consiste en valorar una renta en el origen , es lo mismo que
descontar todos los capitales (términos) al momento actual.
C1 C2 C3............. Cn
• i1 i2 i3.............. n
• CASOS:
• Valor Actual
4
a) i1= i2 = i3 =....= in = i interés constante.
c1 " c2 " ....... " cn
Valor de una renta en un instante inicial to
Vo = C1 (1+i)−1 + C2 (1+i)−2 +......+ Cn (1+i)−n = mn=1 Cn (1+i)−n
Ejemplo:
Vo 10 15 20 25 i = 10% = 0.10
01234
Vo = 10(1+0.10)−1 + 15(1+0.10)−2 + 20(1+0.10)−3 + 25(1+0.10)−4 = 53.58 um
u.m. = unidades monetarias.
b) i1= i2 = i3 =....= in = i interés constante.
c1 = c2 = ....... = cn constancia de capitales.
Valor de una renta en un instante inicial to con C constante.
Vo = C (1+i)−1 + C (1+i)−2 +......+ C (1+i)−n = C 1− (1+i)−n = c " nø i
i
donde " nø i = 1 − (1+i)−n FACTOR UNITARIO
i DE ACTUALIZACION
Ejemplo:
Vo 200 200 .........200 i = 10% = 0.10
0 1 2 ............25
Vo = 200(1+0.10)−1 + 200(1+0.10)−2 + 200(1+0.10)−3 +...+ 200(1+0.10)−25 =
200 " 25ø 0.1 = 200 1−(1+0.1)−25 = 200 * 9.07704 = 1815.408
0.1
• Valor final
Consiste en valorar la renta en el momento n , es decir, valoramos todos los capitales en el momento final.
a) i1 = i2 = ...... = in = i constante
c1 " c2 " ..... " cn
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C1 C2 C3............. Cn
• i1 i2 i3.............. n
Valor final
Vn = C1 (1+i)n−1 + C2 (1+i)n−2 + ...... + Cn
Ejemplo :
10 15 20 25 i = 10% = 0.10
01234
Vn = 10(1+0.10)3 + 15(1+0.10)2 + 20(1+0.10)1 + 25 = 78.46
• Capitales con intereses constantes.
Vn = c (1+i)n−1 + c (1+i)n−2 +.......+ C Vn = C (1+i)n −1 = C S nø i
i
donde S nø i = (1+i)n −1 FACTOR UNITARIO
i DE CAPITALIZACION
Ejemplo:
200 200 ......200.... Vn i = 10% = 0.10
0 1 2 ............25
Vn = 200(1+0.10)1 + 200(1+0.10)2 + 200(1+0.10)3 +....+ 200(1+0.10)25 =
200 S 25ø 0.1 = 200 (1+0.10)25 −1 = 19669.411886
0.1
1.4. EL COSTE DE LAS DIFERENTES FUENTES DE FIANCIACION
• RECURSOS PROPIOS
• Capital (Coste explícito) Dividendos que tiene la empresa o capital aportado por el dueño de la
empresa.
• Reservas (coste implícito) Son reservas de los dividendos que se hacen para luego poder financiar
otras actividades.
• El coste explícito Es lo que nos cuesta mantener a los accionistas (por ejemplo para tener capital).
• Coste de oportunidad Es el valor del ingreso que se deja de obtener al realizar la inversión más
lucrativa que se podía haber efectuado alternativamente.
6
• RECURSOS AJENOS.
• Fuentes Negociadas (Coste explicito) Prestamos, cuentas de credito, descuento papel, etc).
• Fuentes espontaneas (Coste implicito o nulo) proveedores, trabajadores, impuestos, etc.
Para el estudio del coste de las diferentes fuentes de financiacion en una empresa se parte de las siguientes
hipotesis:
• EL RIESGO SE MANTIENE CONSTANTE:
Los nuevos proyectos de inversion tienen el mismo grado de riego que los proyectos realizados con
antigüedad.
• LA ESTRUCTURA FINANCIERA DE LA EMPRESA SE MANTIENE CONSTANTE.
La estructura de los recursos propios y ajenos dentro de la empresa no varían en el periodo de análisis.
• LA POLITICA DE DIVIDENDOS ES NEUTRAL RESPECTO A LA ESTRUCTURA FINANCIERA.
El reparto de dividendos no afecta a la composición del Pasivo.
1.5 EL COSTE MEDIO PONDERADO DEL CAPITAL.
La empresa solo abordara aquellas inversiones cuya tasa interna de rentabilidad sean superiores al coste de
capital, luego se puede decir que Ko (coste medio ponderado del capital) sera el umbral minimo de
rentabilidad a exigir a los proyectos de inversion.
COSTE MEDIO PONDERADO DEL CAPITAL Media aritmética ponderada del coste de los distintos
recursos financieros que la empresa utiliza para financiar su estructura económica.
.r > ko
rentabilidad CAPITAL
TIR C.M.P.C
FORMULA DEL COSTE MEDIO PONDERADO DEL CAPITAL
Ko = K1 C1 + K2 C2 + .........+ Kn Cn
c1 + c2 + .....+ cn c1 + c2 + .....+ cn c1 + c2 + .....+ cn
C.M.P.C P1 P2 Pn
K0 = K1 * P1 + K2 * P2 + ...... + Kn * Pn
EJEMPLO:
Calcular el C.M.P.C dados los siguientes datos
FUENTES
FINANCIERAS
PESETAS
PONDERACION Pi
ki COSTE
EFECTIVO
ki − Pi
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PROVEEDORES
SUELDOS A
PAGAR
IMPUESTOS
PRESTAMOS C/P
PRESTAMOS L/P
EMPRESTITOS
RECURSOS
PROPIOS
1000000
0,10
0,125
0.0250
800000
0,08
0,000
0,0000
400000
1000000
1000000
1800000
0,04
0,10
0,10
0,18
0,000
0,095
0,070
0,145
0,0000
0,0095
0,0070
0,0261
4000000
0,40
0,100
0,0400
SUMAS 10.000.000 0,0951
C.M.P.C 0,0951 x 100 = 9,51 %
BIBLIOGRAFIA:
• DIRECCION FINANCIERA DE LA EMPRESA (INVERSIONES)
MAXIMO FERRANDO (TEMAS 1,3)
• DIRECCON FINANCIERA DE LA EMPRESA
MATILDE FERNANDEZ (TEMAS 2 ,15−2 , 15−3)
• MATEMATICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS
LORENZO GIL (TEMA 1) U.N.E.D.
TEMA 2 . LA INVERSION DE LA EMPRESA
• 2.1. DECISIONES A LARGO PLAZO.
− CONCEPTO DE INVERSION.
• 2.2. CARACTERISTICAS FINANCIERAS QUE DEFINEN UNA INVERSION.
• 2.3. CLASIFICACION DE LAS INVERSIONES.
Bibliografía _ Máximo ferrando (tema 2) // Matilde Fernández (tema 16)
2.1. DECISIONES A LARGO PLAZO.
INVERSION Consiste en renunciar a una satisfacción inmediata y cierta a cambio de la creencia de obtener
unos beneficios futuros y distribuidos en el tiempo. Tiene varios elementos:
• Objeto Tipo de Inversión.
• Coste Coste de la adquisicion del bien , el desembolso.
• Esperanza Contrapartida futura superior al coste del bien adquirido.
• Sujeto Persona física.
Persona jurídica.
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Toda INVERSION se puede estudiar desde tres perspectivas:
• FINANCIERA Si el bien adquirido es un producto del mercado financiero , sera una inversion
financiera.
• JURIDICA La inversión se produce cuando la persona adquiere la propiedad de un determinado bien.
• ECONOMICA Aquella que constituye el soporte físico de la inversión y queda vinculada a una
determinada actividad empresarial.
Hay dos puntos de vista del concepto de Inversion:
• ESTRICTO El bien material de la Inversión debe pertenecer al Activo Fijo y tener una aplicación
directa al proceso productivo.
• AMPLIO Cualquier aplicación de fondos efectuada por la empresa para la adquisición de elementos
de activo fijo o de activo circulante.
Proyecto de Inversión = Inversión principal + Inversión complementaria.
2.2. CARACTERISTICAS FINANCIERAS QUE DEFINEN UNA INVERSION.
• Coste de adquisición o desembolso inicial (−D).
Representara el pago efectuado por la adquisición de los elementos del activo fijo mas el pago realizado por
todos aquellos elementos del activo circulante necesarios para el proyecto.
−D desembolso en el origen.
• Duración Temporal (n).
Periodo de tiempo durante el cual la inversión va a generar flujos financieros. Hay tres tipos:
• VIDA FISICA Periodo de tiempo durante el cual el elemento fundamental del proyecto de inversión
funciona sin perdidas significativas de calidad de producción o de rendimiento.
• VIDA COMERCIAL Periodo de tiempo durante el cual se espera que sean demandados los productos
o servicios que se obtienen en el proyecto de inversión y que la empresa ofrece al mercado.
• VIDA TECNOLOGICA Periodo de tiempo durante el cual los activos son tecnológicamente
competitivos.
En base a las tres definiciones se define La Vida Económica u Horizonte Temporal de un proyecto a la
menor de las tres estimaciones descritas.
• LOS COBROS O ENTRADAS DE DINERO (Cj).
C1 C2 C3 Cn
0123n
Los cobros son las entradas de fondos y van asociadas a cada uno de los periodos .Y son estimaciones.
• PAGOS O SALIDAS DE DINERO (Pj).
−P1 −P2 −P3 −Pn
9
0123n
Son las salidas de dinero y van asociadas a cada uno de los periodos. Y son estimaciones.
Fj = Flujos netos de caja (FNC).
−D C1−P1 C2−P2 C3−P3 Cn−Pn
0123n
Por lo tanto se puede sustituir los cobros − los pagos que son las variaciones de caja en un periodo de tiempo.
−D F1 F2 F3 Fn
0123n
• El flujo neto de caja será positivo cuando los cobros sean mayores que los pagos.
• El flujo neto de caja será negativo cuando los cobros sean menores que los pagos.
• El Fj será nulo cuando los pagos y los cobros sean iguales.
Esto de considera que ocurre al final de cada periodo.
Cobros − Pagos = Flujo neto de caja.
Ingresos − Gastos = Resultado.
INGRESO Derecho a cobrar algo dentro de un tiempo determinado.
GASTO Obligación constituida por la empresa.
Nota : Solo hay un caso donde se da que los cobros y pagos sean iguales que Ingresos y gastos , esto es en los
pagos y cobros al CONTADO.
En todo proyecto de Inversión se deben cumplir dos condiciones previas:
• ECONOMICIDAD : Solo abordaremos aquellos proyectos de Inversión en los que a priori se
cumplirá que:
Cj = Pj
• RENTABILIDAD FINANCIERA: La rentabilidad del proyecto de inversión debe superar al coste de
inversión r > k. (tanto por uno).
2.3. CLASIFICACION DE LAS INVERSIONES.
• Según el soporte físico de la inversión:
a.1.− Inversiones Físicas El soporte es un activo material. (una maquina , elemento de transporte, etc.).
a.2.− Inversiones Inmateriales El soporte no es un bien físico sino un activo inmaterial. (Patentes, marcas,
derechos de traspaso, etc.).
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a.3.− Inversiones Financieras El soporte de la inversión lo constituyen activos procedentes del mercado
financiero (Acciones, Obligaciones, Bonos, etc.).
• Según la finalidad en el seno de la empresa:
b.1.− Inversión de renovación consiste en sustituir un equipo productivo viejo por otro nuevo consiguiendo la
misma producción que antes.
b.2.− Inversión de Expansión Con la finalidad de mejorar la capacidad productiva de la empresa para obtener
mayor demanda.
b.3.− Inversión en línea de productos Mejorar las características de los productos actuales o bien introducir
nuevos productos.
b.4.− Inversiones estratégicas (Inversiones en I+D) de investigación , esto ocurre en los sectores donde la
competencia es muy fuerte , las empresas intentan destacar y reducir el riesgo ante el progreso tecnológico y
la competencia.
• Según las relaciones:
c.1.− Inversiones complementarias Esto sucede cuando la realización de una inversión facilita la realización
de otra u otras.
• Inversiones Acopladas : Son aquellas en que la relación existente es tan fuerte que al llevar a cabo una
de ellas exige necesariamente la realización de otra.
c.2.− Inversiones sustitutivas serán aquellas en las que la realización de una inversión dificulta la realización
de otra.
• Inversiones excluyentes : son aquellas inversiones que impiden la ejecución de otra.
c.3.− Inversiones Independientes La realización de una inversión no condiciona , ni positiva ni negativamente,
la realización de otras.
• Según el periodo de permanencia de la inversión en la empresa.
d.1.− Inversiones a corto plazo Periodo inferior a un año.
d.2.− Inversiones a largo plazo Periodo superior al año.
• Según los signos de los flujos netos de caja.
e.1.− Inversiones simples Los flujos netos de caja presentan todos los signos positivos excepto el desembolso
inicial que es siempre negativo.
−D F1 F2 F3 Fn
0123n
Solo hay un cambio de signo.
e.2.− Inversiones no simples Son aquellas en las que no todos los flujos netos de caja son positivos, se dice
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que hay mas de un cambio de signo.
−D F1 −F2 F3 Fn
0123n
EJERCICIOS RELACIONADOS CON EL TEMA:
14.− Sean los siguientes proyectos de inversión:
PROYECTOS
A
B
DESEMBOLSO
INICIAL
1
4000
400
4000
800
FNC
2
3600
2000
3
200
1200
4
200
24000
¿ Cuál es preferible según el criterio del plazo de recuperación ?
caso A
4000 = 400 + 3600 Corresponde a 2 años
caso B
4000 = 800 + 2000 + 1200 Corresponde a 3 años
Optamos por elegir la opción A ya que el plazo de recuperación es de 2 años mientras que en el caso B es de 3
años−
En el caso A tardamos menos tiempo en recuperarnos de la inversión.
15.− Sean los siguientes proyectos:
PROYECTOS
A
B
DESEMBOLSO
INICIAL
2000
2000
1
2000
200
FNC
2
0
1800
3
0
20000
¿ Cuál es preferible según el criterio del plazo de recuperación ?
caso A
2000 = 2000 corresponde a un año
caso B
2000 = 200 + 1800 corresponde a 2 años.
Elegimos el caso A ya que el PR (periodo de recuperación) es menor.
16. Valorar los proyectos de Inversión A,B,C,D y E indicando el orden de preferencia según el criterio del
plazo de recuperación.
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PROYECTOS DESEMBOLSO
INICIAL
1
A
2000
1000
B
10000
2000
C
4000
3000
D
6000
1000
E
3000
2000
2
1000
2000
1000
500
2000
FNC
3
1000
2000
2000
500
1000
4
5
6
2000
2000
2000
3000
500
3000
caso A
2000 = 1000 + 1000 Corresponde a 2 años .
caso B
10000 = 2000 + 2000 + 2000 + 2000 + 2000 Corresponde a 5 años.
caso C
4000 = 3000 + 1000 Corresponde a 2 años.
caso D
6000 = 1000 + 500 + 500 + 3000 + 1000 corresponde a 4 años y 4 meses
el desembolso del año 5 es de 3000 ptas. Haciéndonos falta para recuperarnos de la inversión 1000 ptas. Por
lo que si 3000 ptas. son 12 meses 1000 ptas. son 4 meses.
caso E
3000 = 2000 + 1000 Corresponde a 1 año y 6 meses.
El desembolso del 2º año es de 2000 ptas. Haciéndonos falta 1000. Por lo que si 2000 son 12 meses entonces
1000 ptas. son 6 meses.
Orden de selección de proyectos de Inversión:
1º Caso E // 2º Caso A y C // 3º Caso D // 4º Caso B.
17. Un proyecto de Inversión tiene un desembolso inicial de 6000 u.m. u genera anualmente un flujo neto de
caja constante e igual a 500 u.m.
¿Cuánto vale su pay−back?.
Pay−back = Periodo de recuperación
6000 = 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 periodo de recuperación
igual a 12 años.
Otra forma:
6000/500 = 12 flujos de caja completos. (12 años).
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TEMA 3. VALORACION Y SELECCIÓN DE PROYECTOS DE INVERSION SIMPLE.
• INTRODUCCION.
Para valorar cualquier proyecto de inversion se necesita conocer el desembolso inicial (−D). Por otra parte se
necesita conocer los flujos netos de caja de cada periodo de inversion, numero de periodos, coste de capital.
En función de esto la rentabilidad ( r ) nos puede llevar a dos casos:
• Puede aumentar si aumenta tendremos beneficios por lo que aumentara el valor de la empresa.
• Puede disminuir Los beneficios caen y nos disminuye el valor de la empresa.
• CRITERIOS DE VALORACION DE INVERSIONES.
• Modelos estáticos (métodos aproximados):
• Función total por unidad monetaria comprometida.
• Función media anual por unidad monetaria comprometida.
• Plazo de recuperación (PR) Pay− back.
• Modelos Dinámicos.
• Plazo de recuperación dinámico
• Valor Actual Neto (VAN).
• Tasa Interna de Rendimiento (TIR).
Modelos Estáticos
No tienen en cuenta los distintos momentos del tiempo en los que se producen los flujos netos de caja y
operan con ellos como si se trataran de cantidades de dinero percibidas en el mismo momento del tiempo, se
llaman aproximados porque no proporcionan una medida exacta de la rentabilidad del proyecto sino tan solo
aproximada.
Modelos Dinámicos
Tienen en cuenta los distintos momentos del tiempo en que se generan los flujos netos de caja (Fj) utilizan el
procedimiento de actualización o descuento para homogeneizar los flujos netos de caja.
Suponen que el sujeto decisor manifestara preferencia por el dinero obtenido en el momento presente respecto
al que pueda obtener en el momento futuro.
Esto es así por tres razones:
• El (Fj) del periodo presente constituye una cantidad de dinero que es disponible inmediatamente y por lo
tanto puede ser invertido de nuevo y obtener rentabilidades adicionales.
• El (Fj) inmediato es cierto, seguro y sin riesgo.
• Debido a la inflación una cantidad de dinero disponible en el presente tiene mayor poder adquisitivo que la
misma cantidad de dinero disponible en un momento futuro.
Hay siete hipótesis que vamos a aplicar y que supondremos ciertas en todo momento:
H1.− Se suponen conocidas las corrientes de cobros y pagos que suponen una inversion.
H2.− El mercado de capitales es perfecto, ofrece un tipo de interés único a las empresas las cuales pueden
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invertir o financiarse sin limitación alguna.
H3.− Los proyectos de inversion son totalmente independientes entre si.
H4.− Los proyectos de Inversion son divisibles pudiéndose realizar toda la inversion o sola una parte.
H5.− Solo consideramos las posibilidades de Inversion existentes en el momento presente.
H6.− Inexistencia de Inflación e Impuestos.
H7.− Los periodos de tiempo considerados son anuales y los flujos netos de caja se producirán al final de cada
periodo.
• METODOS APROXIMADOS DE EVALUACION DE INVERSONES. (Plazo de recuperación).
PLAZO DE RECUPERACION Es el tiempo que tarda en recuperarse el desembolso inicial (−D). Proporciona
una medida de liquidez de los proyectos de inversion pero no de rentabilidad.
Además las mejores inversiones serán aquellas que tienen un plazo de recuperación mas corto.
Pueden ocurrir 2 casos:
• Fj Los flujos de caja sean todos iguales a lo largo de su vida.
F1 = F2 = F3 = Fn F
Vendrá dado por la expresión: p = D
F
Antes de aplicar la expresión hay que tener en cuenta: " Fj " D
2. Fj Los flujos de caja sean distintos.
F1 " F2 " F3 " Fn
D = F1 + F2 ........ Hasta que se iguale el desembolso y el flujo neto de caja.
Ejemplo: D = F1 + F2 + F3 + F4 el plazo de recuperación es de 4 años. Si hay algún flujo negativo se resta.
CRITERIO DE DECISION.
Preferimos proyectos de bajos valores de plazo de recuperación o lo que es lo mismo proyectos de alta
liquidez.
Tienen dos inconvenientes:
• No considera los flujos netos de caja obtenidos después del plazo neto de recuperación solo tiene en cuenta
los flujos generados hasta la recuperación del desembolso inicial. No utiliza toda la información disponible.
• No tiene en cuenta el momento del vencimiento de los flujos netos de caja es un modelo estático.
Ejemplo: Sean los tres proyectos de Inversion:
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PROYECTO
A
B
C
DESEMBOLSO
200
170
120
1
70
60
50
2
70
50
50
3
60
45
50
4
60
55
0
CASO A
200 = 70+70+60 El plazo de recuperación es de tres años.
CASO B
170 = 60+50+45+15 El plazo de recuperación de 3 años 3 meses y nueve días , 13 horas y cinco minutos.
Del cuarto flujo de caja correspondiente al año 4 tomamos 15 u.m. para cubrir el desembolso. Por lo tanto si
55 u.m. es un año entonces con una regla de tres obtenemos que 15 u.m. son :
365 días −−−−−−− 55 u.m.
x −−−−−−−−−−−−−−− 15 u.m.
x = 365 * 15 = 99.545454 días 3 años 99.545454/30 = 3 meses
55 9.545454 /9 = 9 días
0.545454 * 24 = 13 horas
0.090896 * 60 = 5 minutos.
CASO C
Aquí como todos los flujos de caja son constantes podemos aplicar la formula:
p=D
F
P = 120 / 50 = 2.40 2 años 0.40 * 12 = 4.8 4 meses 0.8 * 30 = 24 días.
Nuestro mejor proyecto de inversion es el caso C seguido del A y por ultimo el caso B.
• CRITERIO DEL VALOR ACTUAL NETO (V.A.N).
Modelo dinámico de elección de proyectos de inversion, tiene en cuenta la variable tiempo.
El V.A.N o valor capital de una inversión viene definido por el valor actualizado de todos los flujos netos de
caja esperados, es la diferencia entre el valor actual de la corriente de cobros (C " nø k) y el valor actual de la
corriente de pagos ( P " nø k ).
Fj = cj − pj
V.A.N. = F " nø k.
16
El termino Valor Capital fue determinado por Erich Schneider en 1844.
El V.A.N de un proyecto de inversion nos proporciona una medida de la rentabilidad esperada en valor
absoluto y en términos netos de aquí que se identifique también como RAN (Rentabilidad Absoluta Neta).
Es absoluta porque esta expresada en unidades monetarias, dará una cantidad de unidades monetarias, y es
neta porque se han tenido en cuenta los cobros menos los pagos.
Para el calculo del VAN hay cuatro casos:
1.− Los flujos netos de caja son distintos para cada periodo y los tipos de interés son distintos para cada
periodo.
1. F1 " F2 " F3 "..... " Fn
k1 " k2 " k3 "..... " kn
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn
0 1 2 3 n−1 n
k1
k1,k2
k1,k2,k3
k1,k2,k3,...kn−1
k1,k2,k3,...kn−1,kn
VAN = −D + F1 + F2 + ........... + Fn−1 +
(1+k1) (1+k1) (1+k2) (1+k1) (1+k2) ...(1+kn−1)
+ Fn
(1+k1) (1+k2) ... (1+k1) (1+kn)
formula del VAN para el caso 1 donde : F1 " F2 " F3 "..... " Fn
los flujos de caja y las tasas de actualización k1 " k2 " k3 "..... " kn
son distintas.
−D Desembolso inicial del proyecto.
Fj Flujos netos de caja ( el subindice j hace referencia al año)
N Duracion en años del proyecto de Inversion.
Kj Tasa de actualizacion o descuento .
17
2.− Los flujos netos de caja son distintos pero las tasas de actualizacion son constantes.
2. F1 " F2 " F3 "..... " Fn
k1 = k2 = k3 =..... = kn
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn
0 1 2 3 n−1 n
k
2*k
3*k
(n−1)*k
n*k
k es constante.
VAN = −D + F1 + F2 + ........... + Fn−1 + Fn
(1+k)1 (1+k)2 (1+k)n−1 (1+k)n
VAN = −D + "j=1n Fj
(1+k)j
formula del VAN para el caso 2 donde : F1 " F2 " F3 "..... " Fn
los flujos de caja son distintos mientras k1 = k2 = k3 =....= kn
que las tasas de actualización son ctes.
3.− Consideramos los flujos netos de caja constantes y además las tasas de actualización son constantes.
3. F1 = F2 = F3 =..... = Fn
k1 = k2 = k3 =..... = kn
−D F1 F1 F1 F1 F1
0 1 2 3 n−1 n
k
2*k
3*k
18
(n−1)*k
n*k
k es constante.
F es constante.
VAN = −D + F + F + ........... + F + F
(1+k)1 (1+k)2 (1+k)n−1 (1+k)n
VAN = −D + F 1 − (1+k)−n = −D + F " nø k.
k
formula del VAN para el caso 3 donde : F1 = F2 = F3 =..... = Fn
los flujos de caja son constantes al igual k1 = k2 = k3 =....= kn
que las tasas de actualización.
4.− Consideramos los flujos netos de caja constantes e infinitos y las tasas de actualización son constantes.
4. F1 = F2 = F3 =..... = Fn = n "
k1 = k2 = k3 =..... = kn = k
1
VAN = −D + F lim 1 − (1+k)−n = − D + F lim 1 − (1+k)n aplicando.limites
kk
1o
− D + F 1 − (") = D + F 1 = −D + F
kkk
formula del VAN para el caso 4 donde :
los flujos de caja son constantes y tienden
a infinito y las tasas de actualización
son también constantes.
CRITERIOS DE DECISION.−
• Solo se realizaran aquellas inversiones cuyo VAN sea positivo ya que son las únicas que contribuyen
a que se cumpla el objetivo general de la empresa , cuando se deba elegir entre distintos proyectos con
19
VAN positivo se elegirá aquel que presente un VAN superior.
Hay 3 posibilidades:
VAN > 0 Existen beneficios Se acepta el proyecto de inversión
VAN = 0 No existe beneficios Se rechaza el proyecto de inversión
Ni perdidas
VAN < 0 Existen perdidas Se rechaza el proyecto de Inversión
• Si el VAN es positivo indica que la realización del proyecto de inversión permitirá recuperar el capital
invertido , satisfacer todos los pagos y obtener un beneficio neto en términos absolutos igual a la
cuantia expresada por el VAN.
• Si el VAN es negativo , el proyecto de inversión no deberá llevarse a cabo porque de hacerse la
empresa vería reducida su riqueza al incurrir en unas perdidas iguales a la cuantía que indica el VAN.
Ejemplo:
Cual de los siguientes proyectos de inversión es preferible según el criterio del VAN. Sabiendo que el tanto de
actualización es del 10%.
Proyecto
A
B
Desembolso
−5000
−5000
1
2000
2500
2
2000
2500
3
2000
4000
4
2000
3000
CASO A VAN = −5000 + 2000 1 − (1 + 0,1)4 = 1339,73 u.m.
0,1
CASOB
VAN = −3000 + 2500/(1+0,1)1 + 2500/(1+0,1)2 + 4000/(1+0,1)3 +
+ 3000/(1+0.1)4 = 4393,14 u.m.
Como Caso B (4393,14) > Caso A (1339,73) podemos decir que el caso B es mas rentable para la empresa
aunque ambos casos son rentables al ser positivos el caso B es mas rentable que el caso A.
• VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL V.A.N.
VENTAJAS:
V1.− Sencillez de calculo.
V2.− Tiene en cuenta los diferentes vencimientos de los flujos netos de caja ya que al tratarse de un criterio
dinámico homogeneiza los flujos netos de caja a un mismo momento del tiempo.
INCONVENIENTES:
20
I1.− Dificultad de encontrar una adecuada tasa de descuento para actualizar los flujos netos de caja .
(fotocopia tema 3).
I2.− Falta de realismo respecto a la tasa de re inversion de los flujos netos de caja de un proyecto de inversión.
Los flujos netos de caja positivos son cantidades de dinero que quedan a disposición de la empresa en un
momento dado y que serán reinvertidos dentro del contexto empresarial. Por otra parte los flujos netos de caja
negativos representan saldos que la empresa debe financiar en un momento dado de la vida del proyecto de
inversión y por los que soporta un coste.
( + ) Reinvertidos (Beneficios)
Fj
( − ) Financiados (Coste)
Por tanto al valorar un determinado proyecto de Inversión , los modelos dinámicos presuponen la re inversion
de los flujos netos de caja.
F1 (1 + t r)n−1
F2 (1 + t r)n−2
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn t r Tasa
de
0 1 2 3 n−1 n re inversión
• Desde un punto de vista practico esto supone capitalizar a una tasa de re inversión t r los flujos netos
de caja de cada proyecto de inversión desde el momento en que se originan hasta el final del horizonte
temporal.
F1 (1 + t r)n−1
F2 (1 + t r)n−2
Fn−1(1 + t r)n−(n−1)=1
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn t r Tasa
de
0 1 2 3 n−1 n re inversión
"
(1 + k)n
Y posteriormente actualizamos al momento presente a una tasa de descuento k.
Tomando la segunda expresión del VAN:
21
VAN = −D + F1 + F2 + ........... + Fn−1 + Fn
(1+k)1 (1+k)2 (1+k)n−1 (1+k)n
Introduciendo la tasa de re inversión tr
VAN = −D + F1 (1 + t r)n−1 + F2 (1 + t r)n−2 + ........ + Fn−1 (1 + t r)1 + Fn
(1+k)n
En el caso particular en que la tasa de re inversión de los flujos netos de caja intermedios sea igual a la tasa de
descuento, la expresión quedaría: t r = k
VAN = −D + F1 (1 + k)n−1 + F2 (1 + k)n−2 + ..........+ Fn−1 (1 + k)1 + Fn
(1+k)n
VAN = −D + F1 (1 + k)n−1 + F2 (1 + k)n−2 + ..........+ Fn−1 (1 + k)1 + Fn
(1+k)n (1+k)n (1+k)n (1+k)n
VAN = −D + F1 + F2 + ..........+ Fn−1 + Fn
(1+k)n−n+1 (1+k)n−n+2 (1+k)n−1 (1+k)n
Con esto queda demostrado que la tasa de re inversión de los flujos netos de caja es igual a la tasa de
descuento utilizada en el proyecto.
Salvo que se explicite en una tasa de re inversión se presupone que los flujos netos de caja intermedios se
reinvierten en activos que proporcionan a la empresa una rentabilidad igual a k. Mientras que los flujos netos
de caja intermedios negativos se financian con recursos que suponen un coste de financiación igual a k.
Esta hipótesis de la reinversion de los flujos netos de caja constituye otro gran inconveniente de VAN por dos
razones:
1. La consideración de que : t r = k es poco realista puesto que supone reinvertir cantidades disponibles a una
rentabilidad igual al coste medio ponderado del capital cuando lo lógico seria obtener mayor rentabilidad que
el propio coste de financiar el proyecto.
2. Puede producir situaciones de iliquides, el cumplimiento estricto de que los flujos netos de caja se
reinvierten en el mismo momento de su obtención y permanecen inmovilizados hasta el momento final podría
generar situaciones de falta de liquidez.
Ejemplo:
PROYECTO
A
B
DESEMBOLSO tr = 0,12
1
−5000
2000
−5000
2500
k = 0,10
2
2000
2500
3
2000
4000
4
2000
3000
Calcular el VAN con tasa de re inversión explícita y distinta al CMP del capital.
22
CASO A
VAN = −D + F1 (1 + t r)n−1 + F2 (1 + t r)n−2 + ........ + Fn−1 (1 + t r)1 + Fn
(1+k)n
VAN = −5000 + 2000 (1 + 0,12)3 + 2000 (1 + 0,12)2 + 2000 (1 + 0,12)2 + 2000 =
(1+0,10)4
= −5000 + 2000 S 4ø 0,12 = −5000 + 2000 * (1 + 0,12)4 −1 =
0,12
(1 + 0,10)4
= −5000 + 2000 * 1 4,7793 = 1528,69 u.m.
CASO B
VAN = −5000 + 2500 (1 + 0,12)3 + 2500 (1 + 0,12)2 + 4000 (1 + 0,12)2 + 3000 =
(1+0,10)4
= 4649,83 u.m.
VAN B > VAN A Por lo que optamos por el caso B.
18. La empresa XYZ decide realizar una inversión con un coste inicial de 5.000.000 de pesetas de la que
espera obtener unos flujos netos de caja anuales y constantes de 800.000 durante 10 años.
Se supone que el coste de capital para la empresa es del 6%.
A .− ¿Se debe aceptar esa inversión según los criterios del VAN ?
B .− Si suponemos una re inversión de los FNC del 12% ¿Cuáles son ahora los resultados?.
tr =
k=0.06%
12%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−5000000 800000 800000 800000 800000 800000 800000 800000 800000 800000 800000
proyecto Desemb.
XYZ
A. VAN = −5.000.000 + 800.000 " 10ø 0,06 = 888,072 u.m. > 0 se acepta
El proyecto
7,36039
B. VAN = −5.000.000 + 800.000 S 10ø 0,12 = 2.839.281,93 u.m.
(1 + 0,06)10
23
19 ejercicio . Según el proyecto descrito en la tabla .
• Calcular el VAN
• Suponiendo una tasa de re inversión del 5% calcular de nuevo el VAN.
Proyecto
FERRARI
Desembolso
−80
K = 0,3
1
70
Tr = 0,05
2
30
3
30
A. VAN = −80 + 70 + 30 + 30 = 5,25 u.m. > 0
(1+0,3)1 (1+0,3)2 (1+0,3)3
Aceptamos el proyecto de inversión.
B. VAN = −80 + 70 (1+0,05)2 + 30 (1+0,05)1 + 30 = −16,979 < 0
(1+0,3)3
No es viable el proyecto con la tasa de re inversión del 0,05 .
21. ejercicio.
Una imprenta desea comprar una nueva maquina . Tiene dos opciones: Comprar la maquina nueva con los
últimos adelantos tecnológicos cuyo precio es de 12 millones de pesetas o bien comprar una de segunda mano
cuyo precio es de 4 millones.
Los flujos de fondos anuales son los siguientes: (cifras en miles)
Maquina
Nueva
Usada
Desembolso
−12000
−4000
1
7600
1600
2
4200
1400
3
2400
1200
4
2400
1200
5
2000
600
• Determinar según el criterio del plazo de recuperación que maquina debería comprar.
• Según el criterio del VAN ¿Cuál debería comprar (k=10%)?
A.− nueva 12000 = 7600 + 4200 + 1/12 (2400) = 12000
son 2 años + 1/12 de año que es un mes.
Vieja 4000 = 1600 + 1400 + 1000 = 4000
Son 2 años + (si 1200 es un año ¿cuánto será 1000 que es la cantidad que necesitamos para cubrir el
desembolso?
1200 12 2 años y
1000 x x = 10 meses.
24
B. VAN = −12000 + 7600 + 4200 + 2400 + 2400 + 2000 =
nueva (1+0,1)1 (1+0,1)2 (1+0,1)3 (1+0,1)4 (1+0,1)5
= 3064.395 > 0 Aceptamos el proyecto de inversión.
VAN = −4000 + 1600 + 1400 + 1200 + 1200 + 600 =
usada (1+0,1)1 (1+0,1)2 (1+0,1)3 (1+0,1)4 (1+0,1)5
= 705.317 > 0 Aceptamos el proyecto de inversión aunque es mucho mas rentable el caso de la maquina
nueva ya que:
VAN (nueva) = 3064.395 > VAN (usada) = 705.317
Ejercicio 22.
Un grupo de socios constituyen GASOLINERAS S.A. con el objeto de montar una estación de servicio en
Teruel. Para ello se dirigen a CAMPSA y esta les ofrece las siguientes condiciones:
• El coste de los terrenos, obra e instalación de los surtidores es de 10.000.000 de pesetas.
• Los ingresos medios anuales para una estación de este tipo se cifran en 90 millones y los costes
medios totales anuales en 88 millones.
• Para financiar el proyecto GASOLINERAS S.A. ha solicitado un préstamo por el importe del
desembolso inicial a un interés del 10% .
• La concesión de la gasolinera es por 15 años.
Se pide:
• Calcular el plazo de recuperación.
• Señale si es aconsejable la inversión según el criterio del VAN.
• Debido a la entrada en el mercado común se prevé que el margen comercial se reduzca y entonces la
empresa desea saber cual debe ser el flujo neto de caja anual mínimo para que la gasolinera siga siendo
rentable.
DES.
1
2
3
−10000000 2000000
2000000
2000000
8
9
10
11
2000000
2000000
2000000
2000000
Los flujos netos de caja anuales son constantes.
4
2000000
12
2000000
5
2000000
13
2000000
6
2000000
14
2000000
7
2000000
15
2000000
• 10000000 = 2000000 + 2000000 + 2000000 + 2000000 + 2000000
el plazo de recuperación es exactamente 5 años.
b. VAN = −10000000 + 2000000 1 − (1+0,1)−15 = 5212159.012 > 0
0,1
según el criterio del VAN el proyecto es mas que rentable.
25
c . Al ser constantes los flujos de caja podemos averiguar cual puede ser este valor mínimo de los flujos de
caja para que el proyecto siga siendo rentable.
− D + Fj " nø k > 0 Esta es la ecuación que debe satisfacer los Fj para
que siga siendo rentable el proyecto.
−10000000 + x 1 − (1+0,1)−15 −10000000 + x ( 7.60608)
0,1
−10000000 + x (7.60608) = 0 7.60608 x = 10000000
x = 1.314.737.6 u.m. es la menor cantidad a asignar a los flujos de caja para obtener beneficios.
Ejercicio 23.
Un grupo de empresas dedicadas a la construcción y explotación de autopistas, estudia el siguiente proyecto
sacado a concurso por el estado, con dos alternativas:
• Autopista de peaje Madrid−Granada de 430 Km. La cual supondrá la inversión de 200 millones por
kilometro y unos ingresos medios por la explotación de 20 millones de pesetas por kilometro al año.
• Construcción de la mitad de la autopista, es decir 215 kilómetros que hay desde Despeñaperros a
Granada suponiendo este tramo una inversión de 230 millones de pesetas por kilometro ya que existen
zonas de terreno mas abruptas para la construcción. Los ingresos medios por kilometro serán de 40
millones de pesetas anuales.
La empresa trata de conocer si le interesa construir la autopista entera , o bien la realización de la mitad,
sabiendo que:
• El valor del terreno por kilometro es de 50 millones de pesetas y la empresa pagara al estado , en
razón de las expropiaciones que este debe realizar, un 10% de aquel valor por kilometro y año.
• Los pagos derivados de la explotación ascenderán a una media de 2 millones por kilometro y año.
• El plazo de explotación será de 30 años, transcurrido los cuales la autopista revertirá al patrimonio del
estado sin indemnización de ningún tipo.
• El tipo de interés vigente en el mercado del dinero para el grupo de empresas es del 12%.
¿ Que alternativa es mas interesante para el grupo de empresas según el criterio del VAN ?.
caso A
• 430 millones.
• 200 millones * km 430 x 200 = 86000 millones.
• Ingresos medios de explotación 20 millones * km = 20X430 = 8600 millones.
• Terreno 10% de 50 millones = 5 millones * km = 5 * 430 = 2150 millones.
• Gastos 2 millones * kilometro = 860 millones.
• N = 30 años.
• K = 12%
−D = 86000 millones
Fj = Cj − Pj 8600 millones − 2150 − 860 = 5590 millones.
26
desembolso
−86000
1
5590
2
5590
3
5590
4
5590
.............
30
5590
VAN = −86000 m + 5590 * " 30ø 0,12 = −86000 + 5590 * 8.05519 =
= −40971.4879 < 0 proyecto no rentable.
Caso B
• 215 millones.
• 230 millones * km 230 x 215 = 49450 millones.
• Ingresos medios de explotación 20 millones * km = 20x215 = 8600 millones.
• Terreno 10% de 50 millones = 5 millones * km = 5 * 215 = 1075 millones.
• Gastos 2 millones * kilometro = 2 x 215 = 430 millones.
• N = 30 años.
• K = 12%
−D = 49450 millones
Fj = Cj − Pj 8600 millones − 1075 − 430 = 7095 millones.
desembolso
−7095
1
7095
2
7095
3
7095
4
7095
.............
30
7095
VAN = −49450 m + 7095 * " 30ø 0,12 = −49450 + 7095 * 8.05519 =
= 7701.57305 > 0 proyecto rentable.
• TASA INTERNA DE RENDIMIENTO (T.I.R.).
La TIR se defino como aquella tasa de actualización o descuento ( r ) que hace igual a cero el VAN.
Es decir aquella tasa de descuento que iguala el valor actual de la corriente de cobros con el valor actual de la
corriente de pagos.
0 = −D + F1 + F2 + .............. + Fn
(1+r)1 (1+r)2 (1+r)n
En el método del VAN el método de actualización o descuento (k) era un dato, en el método de la TIR el tipo
de descuento que anula el VAN ( r ) es precisamente la incógnita del problema.
Para calcular la TIR podemos diferenciar 4 casos:
• F1 = F2 = F3 =.......= Fn Constantes.
0 = − D + F " nø r
donde " nø r = D/F y en las tablas financieras:
%
27
n
Esto es lo que se sabe
Ejemplo:
Sea el siguiente proyecto de inversión:
Desembolso
−23945
1
12000
2
12000
3
12000
...............
...............
15
12000
0 = − D + F " nø r = −23945 + 12000 * " 15ø r " 15ø r = 23945/12000 = 1.995416 r = 50% después de mirarlo
en las tablas.
• F1 = F2 = F3 =.......= Fn Constantes.
N"
0 = − D + F lim n" " nø r = − D + F lim n" 1 − (1+r)−n =
0r
= − D + F lim n" 1 − 1 0 = − D + F/r D = F/r
r (1+r)n
r=F/D
donde " nø r = D/F .
Ejemplo:
Sea el siguiente proyecto de inversión:
DESEMBOLSO
−10000
Fj
5000
0 = − D + F/r = −10000 + 5000/r r = 5000 / 10000 = 0.5 % .
• F1 " F2
N=2
0 = − D + F1 + F2 Esto nos dará una ecuación de
de segundo grado con una raíz
(1+r)1 (1+r)2 positiva que será el resultado
correcto y otra raíz negativa
28
que despreciaremos.
Ejemplo .
D= 100
F1 = 1200 0 = − D + F1 + F2 = − 100 + 1200 + 1300 =
(1+r)1 (1+r)2 (1+r)1 (1+r)2
F2 = 1300
0 = − 100 (1+r)2 + 1200 (1+r) + 1300 =
= − 100 (1+r2 + 2r) + 1200 +1200 r + 1300 =
= −100 − 100 r2 − 200r +1200 + 1200r + 1300 =
/100 = −1 − r2 −2r + 12 + 12r + 13 = − r2 +10 r +24
resolviendo la ecuación tenemos :
r1 = 12 = 1200%
r2 = −2 que despreciamos al ser negativo.
• F1 " F2 "......" Fn
N >2
0 = − D + F1 + F2 +....+ Fn Existen dos métodos
para resolver esta
(1+r)1 (1+r)2 (1+r)n ecuación y ambos son
de aproximación
Met. Scheneider
Met. Valores medios
• METODO DE APROXIMACION DE SCHNEIDER.
Es un método de aproximación que da el resultado de la TIR por defecto, o sea por debajo de su valor real.
* r = −D + Fj
• t j Fj
Ejemplo.
29
Sea el siguiente proyecto de Inversión:
desembolso
−1000
1
500
2
1000
3
600
4
400
5
2000
0 = − 1000 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5
(1+r)1 (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5
r = −1000 + 500 + 1000 + 600 + 400 + 2000 =
(500 * 1) + (1000 * 2) + (600 * 3) + (400 * 4) + (2000 * 5)
= 0.220126 = 22.012 % El valor obtenido no es la rentabilidad verdadera de este proyecto, este es un valor a
partir del cual tenemos que tantear para obtener el valor real.
• METODO DE LOS VALORES MEDIOS.
Consiste en acotar la TIR por defecto y por exceso para posteriormente calcular su valor exacto por tanteo.
Fj
Vdef = Fj Fj * j
−1 x 100 Dará el valor de la TIR por
D defecto
(Fj/j)
Vexc = Fj Fj
−1 x 100 Dará el valor de la TIR por
D exceso
Ejemplo.
Dada la Inversión de las siguientes características.
desembolso
−1000
1
500
2
1000
3
600
4
400
5
2000
4500
Vdef = 4500 15900
−1 = 0.53064 = 53.0634 %
1000 por defecto
1700
30
Vexc = 4500 4500
−1 = 0.765199 = 76.5199 %
1000 por exceso
Para lo que nos interesa LOS EXAMENES r es igual a la media del valor por defecto y el valor por exceso.
* r = Vdef + Vexc En el caso del ejemplo r = 64.79 %
2
SIGNIFICADO DE LA TIR.
El criterio de la TIR proporciona una medida de la rentabilidad relativa bruta anual por unidad monetaria
comprometida. Relativa porque se define en tanto por ciento o en tanto por uno y bruta porque no tiene en
cuenta el coste de financiación (k) de los capitales invertidos en el proyecto.
La rentabilidad relativa neta anual de un proyecto de inversión vendrá dada por esta expresión:
Rb = r Rentabilidad relativa bruta.
Rn = r − k Rentabilidad relativa neta.
CRITERIOS DE DECISION.
• Puede ocurrir que r > k Rn = r − k > 0 por lo tanto se aceptara el proyecto.
• Puede ocurrir que r = k Rn = r − k = 0 por lo tanto se rechaza el proyecto de inversión.
• Puede ocurrir que r < k Rn = r − k < 0 por lo tanto se rechaza el proyecto.
Solo interesara realizar aquellos proyectos de inversión cuya tasa de retorno ( r ) sea superior al coste de
capital.
Si existen varias alternativas de inversión que verifiquen esta condición se dará prioridad a aquellas
inversiones cuya rentabilidad relativa neta sea positiva.
Si varios proyectos de inversión cumplen esta condición elegiremos el mayor.
Ejercicio.
Cual de los siguientes proyectos de inversión es preferible según el criterio de la TIR con un coste de capital
del 10%.
Proyecto
A
B
Desembolso
−5000
−5000
1
2000
2500
2
2000
4000
3
2000
0
4
2000
3000
CASO A.
F1 = F2 = F3 =.......= Fn = 2000 Constantes.
0 = − D + F " nø r
31
donde " nø r = D/F y en las tablas financieras:
0 = − 5000 + 2000 " 4ø r
" 4ø r = 5000/2000 = 2.5 en las tablas r = 21.5 %
Rn = r − k = 21.5 − 10 = 11.5 % . Se aceptara el proyecto de inversión.
CASO B.
9500
Vdef = 9500 22500
−1 x 100 = 31.13 %
5000 por defecto
5250
Vexc = 9500 9500
−1 x 100 = 42.58 %
5000 por exceso
r = Vdef + Vexc En el caso del ejercicio r = 36.85 %
2
Rn = r − k = 36.85 − 10 = 26.85 % . Se aceptara el proyecto de inversión
De los dos casos el mas rentable es el caso B ya que la rentabilidad neta es mayor 26.85 % > 11.5 %.
VENTAJAS E INCONVENIENTES SOBRE LA TIR.
VENTAJAS
V1. Al ser un criterio dinámico refiere a un mismo momento del tiempo todas las cantidades de dinero que
producirá el proyecto de inversión.
(como el VAN).
V2. Proporciona una medida de la rentabilidad del proyecto de inversión al expresarla en términos relativos
por unidad monetaria invertida. (en lugar de hacerlo en términos absolutos como el VAN).
INCONVENIENTES
I1. Dificultad de calculo. Matemáticamente la TIR es una ecuación de grado n el la que la incógnita a despejar
es precisamente la propia TIR, por ello se suele utilizar el procedimiento de la prueba y error.
Esto consiste en probar diferentes valores de ( r ) observar el error obtenido hasta alcanzar el valor de ( r ) que
32
satisfaga la ecuación:
0 = − D + F1 + F2 +....+ Fn
(1+r)1 (1+r)2 (1+r)n
I2. Posibles inconsistencias del resultado , al tratarse de una ecuación de grado n existen n posibles soluciones,
la tasa de retorno de una inversión es una medida de su rentabilidad que al igual que un precio de un
determinado bien es una medida de su valor y por lo tanto debiera venir expresada por un valor real único.
En este caso lo que se hace es tomar la raíz positiva (cuando existen) y descartar las restantes soluciones
negativas, nulas o imaginarias por carecer de sentido económico.
El problema se plantea cuando existen varias tasas de retorno positivas o no existe ninguna tasa real.
La regla de descartes dice que habrá tantas raíces reales y positivas como cambios de signo se den en la
ecuación.
Los proyectos de inversión de distinguirán entonces por:
• SIMPLES En este caso solo existe una única y significativa tasa de retorno positiva.
• NO SIMPLES (MAS DE UN CAMBIO DE SIGNO).
• Existirán tantas soluciones reales y positivas como cambios de signo tenga el esquema temporal.
• Hay algunas inversiones no simples que no tienen ninguna tasa de retorno real. (soluciones imaginarias).
I3. Falta de realismo en las hipótesis de re inversión de los flujos netos de caja del proyecto de inversión.
Fj > 0 Reinvertidos tr = r.
Fj < 0 Financiados tr = r.
F1 (1 + t r)n−1
F2 (1 + t r)n−2
Fn−1(1 + t r)n−(n−1)=1
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn t r Tasa
de
0 1 2 3 n−1 n re inversión
"
(1 + r)n
0 = −D + F1 (1 + t r)n−1 + F2 (1 + t r)n−2 + ........ + Fn−1 (1 + t r)1 + Fn
(1+k)n
33
En el caso particular en que la tasa de re inversión de los flujos netos de caja intermedios sea igual a r , la
expresión quedaría: t r = r
0 = −D + F1 (1 + r)n−1 + F2 (1 + r)n−2 + ..........+ Fn−1 (1 + r)1 + Fn
(1+r)n
0 = −D + F1 (1 + r)n−1 + F2 (1 + r)n−2 + ..........+ Fn−1 (1 + r)1 + Fn
(1+r)n (1+r)n (1+r)n (1+r)n
0 = −D + F1 + F2 + ..........+ Fn−1 + Fn
(1+r)1 (1+r)2 (1+r)n−1 (1+r)n
La hipótesis de re inversión es mas irreal que en el criterio del VAN y eso es por tres cuestiones:
• Las Fj no tienen porque proporcionar la misma rentabilidad que el proyecto de inversión analizado.
• Es una hipótesis pesimista porque los flujos netos de caja negativos se deben financiar a un coste r que
lógicamente será superior al coste medio ponderado del capital de la empresa.
• Al igual que en el VAN no es lógico pensar que los flujos netos de caja van a permanecer reinvertidos e
inmovilizados en esos activos desde el momento en que se reciben hasta el final de la vida del proyecto de
inversión.
BIBLIOGRAFIA.
• MAXIMO FERRANDO ( CAP. 6)
• MATILDE FERNANDEZ ( CAP.17)
EJERCICIO 18.
Desembolso
5.000.000
Fj
800.000
n
10 años.
K
6%
F1 = F2 = F3 =.......= Fn = 800.000 Constantes.
0 = − D + F " nø r
donde " nø r = D/F y en las tablas financieras:
0 = − 5.000.000 + 800.000 " 10ø r
" 10ø r = 5.000.000/800.000 = 6.25 en las tablas r = 9.5 %
Rn = r − k = 9.5 − 6 = 3.5 % . Se aceptara el proyecto de inversión
EJERCICIO 19.
DESEMBOLSO
80
1
70
2
30
3
30
130
34
Vdef = 130 220
−1 x 100 = 33.2337 %
80 por defecto
95
Vexc = 130 130
−1 x 100 = 42.5846 %
• por exceso
r = Vdef + Vexc En el caso del ejercicio r = 37.90915 %
2
Rn = r − k = 37.90915 − 30 = 7.90915. Se aceptara el proyecto de inversión
EJERCICIO 18 . INTERPOLACION CON TABLAS.
10
9.5%
10%
6.2788
6.14457
Si deseamos el valor 6.25 que esta entre los dos anteriores, debemos hallarlo de la siguiente manera.
Calculamos las diferencias :
10% − 9.5% = 0.5 %
6.2788 − 6.14457 = 0.13423.
hacemos una sencilla regla de 3 :
0.13423 0.5 x = 0.107278 = 0.11 %
0.0288 x
Este valor del extremo superior y el valor requerido.
6.2788 − 6.25 = 0.0288
Se obtiene por lo tanto que el valor pedido es:
R = 9.5 + 0.11 = 9.61 %.
TEMA 4 .− ORDENACION DE PROYECTOS DE INVERSION . SIMPLES.
• INTRODUCCION.
VAN Rentabilidad Absoluta neta.
35
TIR Rentabilidad relativa bruta. Se valoran los proyectos
Las decisiones de aceptabilidad o rechazo no son las únicas que toma la empresa al analizar un proyecto de
inversión sino que muchas veces es necesario comparar dos o más proyectos de inversión y establecer un
orden de preferencia entre ellos.
Consideramos que los criterios VAN y TIR se complementan para valorar los proyectos de inversión ya que
ambos evalúan la rentabilidad cada uno de ellos la expresa de forma diferente.
Nos surgen dos cuestiones:
• ¿ VAN y TIR deben conducir necesariamente a la misma decisión en cuanto a la aceptación o rechazo
de un proyecto de inversión ?.
• Si, siempre en cualquier caso.
• ¿VAN y TIR deben conducir a la misma ordenación jerárquica de un conjunto de proyectos de
inversión simples y rentables ?.
• No , no tiene porque.
• ANALISIS COMPARATIVO DE LOS CRITERIOS VAN Y TIR.
4.2.1 Equivalencia de ambos criterios en las decisiones de aceptación o rechazo, de una inversión simple.
VAN k = −D + F1 + F2 + ..........+ Fn−1 + Fn
(1+k)n−n+1 (1+k)n−n+2 (1+k)n−1 (1+k)n
−D Fj1 Fj2 Fj3 Fjn
0123n
Dados unos determinados flujos netos de caja a mayor coste de financiación menor rentabilidad absoluta neta
y viceversa.
Tomando esta ecuación y su evolución obtenemos una serie de características:
I . Si k = 0 VAN(0) = −D + nj=1 Fj
II. Si k " VAN(") = −D
III. Si d VAN(k) < 0 Función DECRECIENTE.
d(k)
IV. Si d VAN(k) > 0 Función Convexa respecto al origen.
d(k)
VAN(k)
36
−D + nj=1
zona positiva aceptable
VAN = f(x)
r (TIR)
−D
r>kr<k
Zona negativa no aceptable por debajo del eje
De abscisas.
El VAN es una función decreciente y convexa respecto al origen que alcanza su mayor valor cuando el coste
del capital es nulo (supuesto que implicaría utilización gratuita de los recursos financieros por parte de la
empresa) y es igual a cero cuando corta el eje de abscisas; tiende a alcanzar un valor próximo −D para coste
de capital suficientemente altos siguiendo la figura se aceptara el proyecto de inversión cuando este por
encima del eje de abscisas y se rechazara cuando corte al eje de abscisas o este por debajo de dicho eje.
0 = −D + F1 + F2 + .............. + Fn
(1+r)1 (1+r)2 (1+r)n
si r > k Se acepta
si r " k Se rechaza
La función VAN es positiva para costes de capital k inferiores a un valor r tasa para la cual el beneficio neto
de la inversión es cero y que por definición es la TIR.
La función VAN se hace negativa para los costes de capital superiores a r.
Conclusiones:
• Valoración en las decisiones de aceptación o rechazo de proyectos de inversión simples tanto en
criterio del Van como el de la TIR nos llevan al mismo resultado.
• Ordenación Ambos criterios pueden no coincidir en la jerarquizaron de dos o mas proyectos de
inversión.
Ejemplo:
Jerarquizando dos proyectos de inversión con k = 7%
Proyecto
A
B
Desembolso
−100
−100
1
50
50
2
50
100
3
50
100
VAN A = −100+ 50 (1+0.07)3
37
= 31.2158 u.m.
0.07
VAN B = −100 + 50 + 100 + 100
= 115.7026 u.m.
(1+0.7)1 (1+0.7)2 (1+0.7)3
El VAN (B) > VAN (A) Elegimos el proyecto B.
Hallamos la TIR para los dos proyectos.
PA 0 = − 100 + 50 1− (1+r)−3 = −100 + 50 " 3ø r rA = 23.375 %
r
PB 0 = − 100 + 50 + 100 + 100 rB = 55.585 %
(1+r)1 (1+r)2 (1+r)3
Elegimos el proyecto B.
PA k = 0 VANA = −D + nj=1 Fj = −100 + 50 + 50 + 50 = 50
k " VANA = −D = −100
PB k = 0 VANB = −D + nj=1 Fj = −100 + 50 + 100 + 100 = 150
k " VANB = −D = −100
VAN B 150
VAN A 50
23.375 55.585
−100
VAN A = −100
El proyecto que se aleja mas del origen es el que se acepta.
4.2.2. El concepto de las tasas de retorno sobre el coste de FISHER y la condición para que los dos criterios
conduzcan a la misma jerarquizaron de las inversiones simples.
Discrepancias en la jerarquizaron.
Los criterios del VAN y la TIR pueden establecer ordenaciones jerárquicas diferentes produciéndose aun una
clara contradicción en las conclusiones financieras.
38
El motivo por el cual se presentan estas discrepancias es porque el VAN reinvierte los Fj a una tasa de
reinversion igual a k y la TIR reinvierte esos mismos Fj igual a r.
Esta prioridad en la ordenación jerárquica da lugar a que las funciones del VAN se crucen al menos una vez
en el primer cuadrante cartesiano.
VAN ( R )
VANA(0)
Intersección sobre
VANB(0) COSTE DE FISHER
VANA(rf) = VANB(rf)
0 rf rA rB R
TASA DE FISHER
El punto en el que se cortan las funciones de las VAN de los dos proyectos de inversión se denomina
Intersección sobre el coste de FISHER
• LA TASA DE FISHER (rf). TASA DE ACTUALIZACION O DESCUENTO QUE LO ORIGINA.
VANA (rf) = VANB (rf)
−D + F1 + F2 + ......... + Fn
(1+rf)1 (1+rf)2 (1+rf)n
−D' + F1 + F2 + ......... + Fn
(1+rf)1 (1+rf)2 (1+rf)n
nj=1 Fj − F'j = 0
(1+rf)j
PARA QUE SIRVE LA TASA DE FISHER.
El conocimiento de la Tasa de Fisher proporciona a la empresa una información referente a tasa de descuento
o coste de capital a partir del cual los criterios VAN y TIR llevaran a la misma ordenación jerárquica.
VAN (k)
VANA(0)
VAN A
VANB(0) A
39
VAN B
VANA(rf) = VANB(rf)
VAN B B
VAN A
k
0 k1 rf k2 rA rB
1. Elegiremos el proyecto A
VAN A > VAN B
−k1 2. Elegiremos el proyecto B
1. Elegiremos el proyecto A
rB > rA
2. Elegiremos el proyecto B
Ambos criterios no coinciden porque nos dan una distinta ordenación.
1. Elegiremos el proyecto B
VAN B > VAN A
−k2 2. Elegiremos el proyecto A
1. Elegiremos el proyecto B
rB > rA
2, Elegiremos el proyecto A
Si que coinciden los criterios.
• Siempre que k este comprendido entre 0 y la tasa de Fisher diremos que VAN A > VAN B y que rB >
rA será uno distinta ordenación jerárquica.
• Cuando k sea igual a rf el VANA será igual al VANB y la rA < rB entonces será una distinta
ordenación jerárquica.
• Si k esta comprendida entre la tasa de Fisher y la TIR mínimo de A y B entonces el VANB > VANA
y la ordenación jerárquica coincide.
CONCLUSIONES:
Siempre que el coste de capital de la empresa sea inferior o igual a la tasa de Fisher el VAN y la TIR
40
proporcionan diferentes ordenaciones jerárquicas mientras que cuando sea inferior a la tasa de Fisher las
decisiones de ordenación son coincidentes.
El conocimiento de la tasa de Fisher sirve para obtener una información que permita comprobar la veracidad o
no de la diferente ordenación jerárquica a la que se ha llegado por los criterios utilizados pero no sirve para
romper la inconsistencia y llegar a la misma ordenación puesto que no elimina la causa que la origina.
La causa de la disparidad en la ordenación de proyectos de inversión hay que buscarla en las diferencias que
las sustentan el VAN y la TIR respecto a la reinversion de los fj de los proyectos de inversión.
VAN Fj (tr = k)
TIR Fj (tr = r)
Si se acepta una tasa común de reinversion optamos por una tasa de reinversion explícita los proyectos de
inversión ordenados tendrán la misma jerarquizaron con independencia del criterio empleado VAN o TIR.
Ejemplo.
Sean dos proyectos de inversión.
Proyecto
A
B
Desembolso
−50000
−100000
Fj
65000
120000
K=7%
VANA = −50000 + (65000/1+0.7) = 10747.66
VANB = −100000 + (120000/1+0.7) = 12149.53
VAN B > VAN A
TIRA 0 = −50000 + (65000/1+r1) r1 = 0.3 = 30%
TIRB 0 = −100000 + (120000/1+r2) r2 = 0.2 = 20%
TIRA > TIRB
Para ordenar estos proyectos de inversión hay que hallar la tasa de Fisher.
VANA = VANB
−50000 + (65000/1+rf) = −100000 + (120000/1+rf)
50 + 50 rf = 55
rf = 5/50 = 0.10 = 10%
VANA(0) = −50000 + 65000 = 15000
VANB(0) = −100000 + 120000 = 20000
VAN(k)
41
VANB
20000
Intersección sobre el coste de Fisher
VANA
15000
0 rf rB =20% rA= 30% k
• 0 " k " 0.10 VAN y TIR llevan a distinta ordenación.
• 0.10 > k > 0.20 VAN y TIR llevan a la misma ordenación.
ORDENACION DE PROYECTOS SIMPLES Y HOMOGENEOS.
A la hora de comparar dos o mas proyectos de inversión podemos encontrarnos con la siguiente casuística:
• D1 = D2 Proyectos HOMOGENEOS solo pueden
n1 = n2 variar los flujos netos de caja.
D = desembolso
n = duración temporal.
• D1 = D2 Proyectos NO HOMOGENEOS
n1 " n2
• D1 " D2 Proyectos NO HOMOGENEOS
n1 = n2
• D1 " D2 Proyectos NO HOMOGENEOS
n1 " n2
Caso I.
En caso de tener unos proyectos de inversión que previamente han sido aceptados, los ordenaremos de mayor
a menor RAN (rentabilidad absoluta neta) , y de mayor a menor RRB (rentabilidad relativa bruta). Realizando
primero los que presenten rentabilidades superiores.
Esto no quita de que el VAN y la TIR puedan llevarnos a distinta ordenación jerárquica.
Para que el VAN y la TIR nos lleven a la misma ordenación utilizaremos una tr (tasa de reinversion) explícita
y distinta de k y de r.
tr " k , r
42
Ejercicio:
Sean dos proyectos de inversión:
Proyecto
1
2
Desembolso
50000
50000
FNC
65000
60000
K=7%
Primero tendríamos que tener el VAN y la TIR de los dos proyectos.
VAN1 = −50000 − (65000/1+0.07) = 10747.66
VAN2 = −50000 − (60000/1+0.07) = 6074.77
TIR1 0 = −50000 + (65000/1+r1) 1 + r1 = 65000/50000 r1 = 30%
TIR2 0 = −50000 + (60000/1+r2) 1 + r2 = 60000/50000 r1 = 20%
Para ordenarlos, ambos proyectos deben primero aceptarse,o sea : TIR y VAN mayores que 0.
Proyecto VAN TIR
1 p1 10747.66 p1 30%
2 p2 6074.77 p2 20%
Conviene mas el proyecto 1.
Ejemplo donde no se da la consistencia de resultados.
K = 5%
Proyecto
1
2
Desembolso
3000
3000
1
1500
0
2
1500
0
3
1500
5000
VAN1 = −3000 − 1500 1 − (1+0.05)−3 = 1054.87
0.05
VAN2 = −3000 + 0 + 0 + 5000 = 1319.19
(1+0.05) (1+0.05)2 (1+0.05)3
TIR1 0 = −3000 + 1500 " 3ø r1 r1 = 23.5 %
TIR2 0 = −3000 + 0 + 0 + 5000 r2 = 18.56 %
(1+r1) (1+r2)2 (1+r3)3
Proyecto VAN TIR
43
1 p2 p1
2 p1 p2
En este caso debemos calcular la Tasa de FISHER ya que para un cierto valor (FISHER) la VAN y la TIR
cambian de ordenación.
Ejemplo.
tr = 6%
Proyecto
1
2
Desembolso
3000
3000
1
1500
0
2
1500
0
3
1500
5000
(1+0.06)3 −1
VAN1 = −3000 + 1500 S3ø 0.06 = −3000 + 1500 0.06 = 1125.17
(1+0.05 )3
VAN2 = −3000 + 5000 = 1319.19
(1 + 0.05)3
TIR1 0 = −3000 + 1500 S3ø 0.06 (1+r1)3 = 4475.40/3000 r1 = 16.76 %
(1 + r1)3
TIR2 0 = −3000 + 5000 (1+r2)3 = 5000 / 3000 r2 = 18.56 %
(1+r2)3
Los dos criterios después de aplicar la tasa de reinversion siguen una misma ordenación.
4., ORDENACION DE PROYECTOS DE INVERSION SIMPLES .
NO HOMOGENEOS.
Cuando nos encontramos ante proyectos de inversión con tasa de inversión explícita y distinta de la tasa de
descuento al ordenar proyectos de inversión nos podemos encontrar con los siguientes casos:
III. D1 " D2 Proyectos NO HOMOGENEOS
n1 = n2
Casos en los que por discrepancias en las cuantías deberemos homogeneizar el desembolso inicial ya que son
diferentes.
II D1 = D2 Proyectos NO HOMOGENEOS
n1 " n2
44
Casos con discrepancias en la duración del proyecto, debemos homogeneizar la n.
IV. D1 " D2 Proyectos NO HOMOGENEOS
n1 " n2
Casos en los que tenemos que homogeneizar ambas variables.
II. HOMOGENEIZACIONDE LOS DESEMBOLSOS INICIALES.
Sean los dos proyectos de inversión:
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn
0 1 2 3 n−1 n
−D' F'1 F'2 F'3 F'n−1 F'n
0 1 2 3 n−1 n
D1 " D2
n1 = n2
Como D>D' debemos aumentar D' hasta igualarlo a D (homogeneizar).
En caso de realizar el proyecto B , la empresa gastaría D' unidades monetarias de un total de D unidades
monetarias que serian precisas para efectuar el proyecto A.
En el primer caso hay una diferencia h = D − D' u.m. .
La rentabilidad que la empresa puede obtener de estas h unidades monetarias son una consecuencia de realizar
el proyecto B en lugar del proyecto A, por lo tanto deberemos comparar el proyecto A con un proyecto
equivalente formado por el B mas una inversión diferencia (h) durante n años.
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn
0 1 2 3 n−1 n
−D' F'1 F'2 F'3 F'n−1 F'n
0 1 2 3 n−1 n
−h h (1+tr)n
0n
ficticio
VAN A = −D + F1 (1 + t r)n−1 + F2 (1 + t r)n−2 + ........ + Fn−1 (1 + t r)1 + Fn
(1+k)n
45
VAN B* = −(D'+h) + F'1 (1 + t r)n−1 + F'2 (1 + t r)n−2 + ........ + F'n + h(1+tr)n
VAN B + VAN h (1+k)n
Ahora estaríamos en condiciones de comparar el VAN de los dos proyectos de inversión aunque VAN B*
siempre será FICTICIO, tan solo lo calculamos para poder compararlo y el VAN con el que nos quedaríamos
en el caso de que VAN B* > VAN A será el Proyecto B y no el Proyecto B* (que es ficticio).
TIR A −D + F1 (1 + t r)n−1 + F2 (1 + t r)n−2 + ........ + Fn−1 (1 + t r)1 + Fn
=0
(1+rA)n
TIR B = −(D'+h) + F'1 (1 + t r)n−1 + F'2 (1 + t r)n−2 + ........ + F'n + h(1+tr)n
=0
(1+ rB* )n
Ejemplo:
Sean los proyectos de inversión:
Supuesto un coste de capital k = 9% y supuesta una tr = 16%.
Determinar mediante el criterio del VAN y de la TIR que proyecto es preferible.
Proyecto
A
B
C
Desembolso
−800
−700
−1000
1
1000
1000
500
2
1100
1000
700
3
1000
1000
800
4
1200
1000
1200
Habrá que comparar el proyecto A y B con el C al ser este el mayor en Desembolso.
Proyecto A frente a proyecto C
DA = 800
DC = 1000 hA = DC − DA
VAN A* = VAN A + VAN h
VAN A* = −(D+h) + F'1 (1 + t r)n−1 + F'2 (1 + t r)n−2 + ........ + F'n + h(1+tr)n
VAN A + VAN h (1+k)n
VAN A* = −(800+300) +1000(1 +0.16)3 +1100 (1 +0.16)2 +1000(1+0.16)+1200 + 200(1+0.016)4
= 3082.78u.m.
VAN A + VAN h (1+0.09)4
46
VAN B* = VAN B + VAN h'
DB = 700
DC = 1000 hB = DC − DB = 1000 − 700 = 300
VAN B* = −(700+300) + 1000 S4ø0.16 + 300 (1 + 0.16 )4
= 2974.04
VAN B + VAN h' (1+0.09)4
VAN C = −1000 +500(1 +0.16)3 +700 (1 +0.16)2 +800(1+0.16)+1200
= 1727.69 u.m.
(1+0.09)4
VAN A* > VAN B* > VAN C Proyecto A > Proyecto B > proyecto C
Por lo que nos decantamos por el proyecto A.
Ahora haríamos lo mismo con la TIR.
TIR A* = −(D +h) + F'1 (1 + t r)n−1 + F'2 (1 + t r)n−2 + ........ + F'n + h(1+tr)n
=0
(1+ rA* )n
TIR A* −(800+200) + 1000(1 +0.16)3 +1100 (1 +0.16)2 +1000(1+0.16)+1200 + 200(1+0.016)4
=0
(1+rA*)4
rA* = 54.9 %
TIR B* = −(700+300) + 1000 S4ø0.16 + 500 (1 + 0.16 )4
= 0 rB = 53.89%
(1+rB)4
TIR C −(800+200) + 500(1 +0.16)3 + 700 (1 +0.16)2 +800(1+0.16)+1200
= 0 rC =40.07 %
(1+rC)4
TIR A* > TIR B* > TIR C
47
Proyecto A > proyecto B > proyecto C Tanto el VAN como la TIR nos llevan al mismo resultado.
II. HOMOGENEIZACIONDE LOS DESEMBOLSOS INICIALES.
Sean los dos proyectos de inversión:
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn
0 1 2 3 n−1 n
−D F'1 F'2 F'3 F'n−1 F'n
0 1 2 3 n−1 n'
DA = DB
n1 " n2
En este caso se homogeneiza transformando el proyecto de menor duración en un proyecto hipotético que
tiene la misma duración que el mayor.
Los VAN de estos proyectos dados vendrán expresados de la siguiente forma:
VAN A* = −D + F1 (1 + t r)n'−1 + F2 (1 + t r)n'−2 + ........ + Fn (1+tr)n'−n
(1+k)n'
VAN B = −D + F'1 (1 + t r)n'−1 + F'2 (1 + t r)n'−2 + ........ + F'n
(1+k)n'
TIR A* −D + F1 (1 + t r)n'−1 + F2 (1 + t r)n'−2 + ........ + Fn (1+tr)n'− n
=0
(1+ rA* )n'
TIR B −D + F1 (1 + t r)n'−1 + F2 (1 + t r)n'−2 + ........ + Fn
=0
(1+ rB* )n'
Ejercicio.
La empresa NaMimobel Ltd. Desea reemplazar su actual equipo presentándose los dos siguientes proyectos:
Proyecto
A
B
Desem.
100
100
1
30
40
2
30
40
3
20
40
4
20
−
5
20
−
Se desea saber cual es la decisión optima según el criterio del VAN. Sabiendo que k = 10 % y tr = 15%.
48
VAN A = −100 + 30 (1 + 0.15)4 + 30 (1 +0.15)3 + 20(1+0.15)2 + 20(1+0.15) + 20
(1+0.10)5
VAN A = 4.03537 u.m.
VAN B* = −100 + 40 (1 + 0.15)4+ 40 (1 +0.15)3+ 40(1 +0.15)2
=
(1+0.10)5
= −100 + 40 S3ø0.15 (1+0.15)2 = 14.062 u.m.
(1+0.10)5
Por lo tanto tenemos que VAN B* > VAN A
Y con esto sabemos que el proyecto B es preferible al proyecto A.
EJERCICIO.
Sean los proyectos de inversión:
PA
PB
PC
DES
−1000
−1000
−1000
1
2000
2500
1000
2
3000
2500
2500
3
4
5
6
7
2500
500
2500
600
2500
3000
3500
4000
Con k = 10% y tr =15 % Calcular VAN y TIR.
El caso a estudiar es de desembolsos constantes.
VAN A* = −1000 + 2000 (1 + 0,15)6 + 3000 (1 + 0,15)5 = 4470. 36 u.m.
(1+0,10)7
VAN B* = −1000 + 2000 S5ø 0.5 + (1 + 0,15)2 = 10439.31 u.m.
(1+0,07)7
VAN C = −1000 + 1000 (1 + 0.15)6 + 2500 (1 +0.15)5 + 500(1+0.15)4 + 600(1+0.15)3 + 3000 (1 +0.15)2 +
3500(1+0.15) + 4500
(1+0.10)7
= 9838.40 u.m.
PROYECTO B > PROYECTO C> PROYECTO A
Para hallar la TIR debemos despejar el rc en el binomio del denominador
49
¿COMO SACAR EL rc en el binomio?
TIR C 0 = −1000 + 21120.98
(1+ rc)7
(1+rc)7 1000 = 21120.98 (1+rc)7 = 21.12098 aplicando raíces a
7
los dos miembros (1+rc)7 = 21.12098 rc = 0.5461 = 54.61%
III HOMOGENEIZACION DE DESEMBOLSOS Y DURACIONES.
Sean dos proyectos de inversión:
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn
0 1 2 3 n−1 n
−D' F'1 F'2 F'3 F'n−1 F'n
0 1 2 3 n−1 n'
DA " DB
n1 " n2
En este caso es necesario homogeneizar la duración n del proyecto A (mas corto) respecto del proyecto B y
por otro lado el desembolso inicial D' (el menor) respecto al proyecto A.
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn
0 1 2 3 n−1 n
−D' F'1 F'2 F'3 F'n−1 F'n
0 1 2 3 n−1 n'
−h h(1+tr)n'
0 n'
VAN A* = −D + F1 (1 + t r)n'−1 + F2 (1 + t r)n'−2 + ........ + Fn (1+tr)n'−n
(1+k)n'
VAN B* = −(D+h) + F'1 (1 + t r)n'−1 + F'2 (1 + t r)n'−2 + .... + F'n + h(1 + t r)n'
VAN A + VAN h
(1+k)n'
50
TIR A* −D + F1 (1 + t r)n'−1 + F2 (1 + t r)n'−2 + ........ + Fn (1+tr)n'− n
=0
(1+ rA* )n'
TIR B* −(D+h) + F'1 (1 + t r)n'−1 + F'2 (1 + t r)n'−2 + ..... + F'n h(1+tr)n'
=0
(1+ rB* )n'
Ejercicio 24.
Sea el siguiente proyecto de inversión:
Proy A
Proy B
Proy C
Desemb.
−200
−350
−250
1
60
100
150
2
60
100
160
3
60
100
4
60
100
5
60
100
K= 8% No Existe tasa de reinversion por tanto NO HOMOGENEIZAR
Calcular VAN y TIR.
VAN A = −200 + 60 "5ø 0.08 = 39.5626 > 0
VAN B = −350 + 100 "5ø 0.08 = 49.271 > 0
VAN C = −250 + 150 + 160 = −20.23 < 0 Si nos sale un van < 0
1+ 0.08 (1+0.08)2 no lo consideraremos.
Por lo tanto VAN B > VAN A PROYECTO B > PROYECTO A
Vamos a calcular la TIR.
TIR A 0 = −200 + 60 "5ø rA "5ø rA rA = 200/60 = 3.33 rA = 15.5% > k
TIR B 0 = −350 + 100 "5ø rB "5ø rB rB = 350/100 =3.5 rB = 13.25% > k
TIR C 0 = −250 + 150 + 160 −250 rC2 −400 rC −10 = 0
1+rC (1+ rC)2
rc nos va a dar dos valores solución de la ecuación anterior , de la que solo tendremos en cuenta el resultado
positivo.
rc = 2.42 < k se rechaza por ser menor que el coste medio ponderado del capital.
Proyecto A > Proyecto B
51
Calcular intersección sobre el coste de Fisher.
VAN (k)
VAN B = 150
VAN A = 100 intersección sobre
El coste de Fisher
VANrf A = VANrf B
k=8 rf=10.50 rB rA k
13.25% 15.5%
Máximo valor que puede tomar el VAN.
VAN A (k=0) = −200 + 60 + 60 + 60 + 60 +60 + 60 = 100
VAN B (k=0) = −350 +100 +100 +100 + 100 +100 = 150
Para sacar la tasa de Fisher igualamos VAN A = VAN B
−200 + 60 "5ø rf = −350 + 100 "5ø rf
150 = 40 "5ø rf "5ø rf = 150 / 40 = 3.75 rf = 10.5 %
Entre la rf y la menor de las tasas de la TIR , los dos proyectos siguen la misma ordenación.
Resumen:
Para un valor k=8% anterior a la tasa de Fisher se obtienen resultados distintos para el Van y la TIR.
VAN B > VAN A
Distinta ordenación jerárquica.
rA > rB
Si 8 < rf < rmin donde rmin = mínimo entre (13.25 , 15.5)
Si k = rf
VAN A = VAN B
Distinta ordenación Jerárquica.
rA > rB
EJERCICIO 25
52
Proyec.
X
Y
Z
Desemb.
−90
−120
−125
1
35
60
47
2
35
60
47
3
35
4
35
5
35
47
47
47
k=10% .
a) 90 = 35 + 35 + 30 = 2 años + 10 meses + 8 días + 13 horas + 42 min.
b)
VAN X = −90 + 35 "5ø 0.1 = 42.677537 > 0 se acepta
VAN Y = −120 + 60 "2ø 0.1 = −15.867769 < 0 se rechaza
VAN Z = −125 + 47 "5ø 0.1 = 53.166979 > 0 se acepta
TIR X 0 = −90 + 35 "5ø rX "5ø rX rX = 90/35 = 2.5714 rx = 27% > k
Se acepta
TIR Y 0 = −120 + 60 "2ø rY "2ø rY rY = 120/60 = 2 rB = 0.2% < k
Se rechaza
TIR Z 0 = −125 + 47 "5ø rZ "5ø rZ rZ = 125/47 = 2.6597 rZ = 25.5% > k
Se acepta
VAN Z > VAN X PROYECTO Z > PROYECTO X
TIR X > TIR Z PROYECTO X > PROYECTO Z
c) Calcular la tasa de Fisher.
VAN (k)
VAN Z = 110
VAN X = 85 intersección sobre
El coste de Fisher
VANrf Z = VANrf X
rf=21% rZ rX k
25.5% 27%
Máximo valor que puede tomar el VAN.
VAN X (k=0) = 85
53
VAN Z (k=0) = 110
Para sacar la tasa de Fisher igualamos VAN A = VAN B
−90 + 35 "5ø rf = −125 + 47 "5ø rf
35 = 12 "5ø rf "5ø rf = 35 / 12 = 2.9166 rf = 21 %
Entre la rf y la menor de las tasas de la TIR , los dos proyectos siguen la misma ordenación.
Resumen:
Para un valor k=21% r se obtienen resultados distintos para el Van y la TIR.
Si k = 21%
VAN Z = VAN XA
Distinta ordenación jerárquica.
rX > rz
Si 0<k<21
VAN Z > VAN X
Distinta ordenación jerárquica.
rX > rZ
Si 21<k<25.5
VAN X > VAN Z
Misma ordenación jerárquica en el Van y TIR
rX > rZ
Calcular la cuantía de los FNC. Rentabilidad relativa bruta del 13%
TIR 0 = −90 + FNC "5ø 0.13 90 = FNC 3.51723 FNC = 90/3.51723 = 25.588318 unidades monetarias.
d) La tasa de inversión hay que aplicarla al proyecto X,Y y Z aunque el proyecto Y sea negativo.
Hay que homogeneizar los desembolsos con el proyecto Z y el proyecto Y ha de homogeneizarse con la
duración a 5 años.
VAN* X = −(90+35) + 35 S5ø 0.14 + 45(1+0.14)5 = 60495995.6 u.m.>0
(1+0.1)5 se acepta
VAN* Y = −(120+5) + 60 S5ø 0.14 (1+0.14)3 + 5(1+0.14)5 = −904.527 < 0
54
(1+0.1)5 se rechaza
VAN Z = − 125 + 47 S5ø 0.14 = 67904667 >
(1+0.1)5 se acepta
VAN Z > VAN* X PROYECTO Z > PROYECTO X
EJERCICIO 27
PROYECTO
CAMION A
CAMION B
DESEMBOLSO
−1000
−1200
1
165
180
DA " DB Proyecto de Inversión simple no Homogéneo
n1 = n2
DA = 1000
DA > DB hA = DB − DA = 200
DB = 1200
VAN*A = VAN A + VAN h
(1+0.10)10 −1
VAN*A = −(1000+200) + 165 + 200(1+0.10)10
0.10 = 258329.28
(1+0.08)10
(1+0.10)10 −1
VANB = −1200 + 180
0.10 = 128700 >0 se acepta
(1+0.08)10
VAN*A > VAN*B CAMION A > CAMION B
La TIR nos llevaría a la misma decisión.
EJERCICIO 28
Proyecto
PAIS Afro
PAIS Sudaka
Desembolso
−20
−25
1
10
10
2
20
10
3
40
55
K= 10% tr = 15%
VAN A* = −(20+25) + 10(1+0.15)2 + 20(1+0.15) + 5(1+0.15)3 = 7929559.2
(1+0.10)3
VAN B = −25 + 10(1+0.15)2 + 10(1+0.15) + 40 = 23628850
(1+0.10)3
VAN B > VAN A* PROYECTO B > PROYECTO A
Calculamos la TIR.
TIR A* 0 == −25 + 10(1+0.15)2 + 20(1+0.15) + 5(1+0.15)3
(1+rA* )3
rA* = 20.57 %
TIR B 0 == −20 + 10(1+0.15)2 + 10(1+0.15) + 40
(1+rB )3
rB = 37.31%
rB > rA* PROYECTO B > PROYECTO A
EJERCICIO 29
Proyec.
Equipo x
Equipo y
Desemb.
−10
−10
1
2.9
3
2
3.2
3.2
3
2.8
3.5
4
2.3
5.6
5
3.1
K= 0.08% tr = 15%
VAN Y* = −10 + 3(1+0.15)4 + 3.2(1+0.15)3 + 3.5(1+0.15)2 + 5.6(1+0.15) = 4416500.3>0
(1+0.08)5
VAN X =−10 + 2.9(1+0.15)4+3.2(1+0.15)3+2.8(1+0.15)2+2.3(1+0.15)+3.1 = 3194410.7 >0
(1+0.08)5
VAN X < VAN Y* PROYECTO Y > PROYECTO X
TEMA 5
ABANDONO DE LOS SUPUESTOS RESTRICTIVOS DE LOS CRITERIOS CLASICOS.
1.− INTRODUCCION.
56
Hasta aquí hemos estudiado proyectos donde:
No existía inflación
No existían impuestos
Se tenia una certeza futura
No existían limitaciones financieras.
A partir de ahora estudiaremos.
I .− INTRODUCCION DE LA VARIABLE INFLACION.
I .1) FNC independientes del grado de inflación
I .2) La cuantía de los FNC va a ser afectada por el grado de inflación.
I .3) La inflación va a afectar a la corriente de cobros con diferente intensidad que a la corriente de pagos.
II .− ABORDAREMOS LA VARIABLE IMPUESTOS.
III. EFECTO COMBINADO DE LA INFLACION Y LOS IMPUESTOS.
2.− I) LA SELECCIÓN DE INVERSIONES EN PRESENCIA DE INFLACION.
Suponemos variable macroeconomica el IPC.
Pudiera pensarse que la inflación no incide en la rentabilidad del proyecto puesto que los flujos netos de caja
(FNC) no sufren variación en términos monetarios, pero este planteamiento es erróneo porque la empresa
recibe unos flujos netos de caja con un valor real cada vez menor por la erosión de la inflación y la
consiguiente perdida de poder adquisitivo de las monedas.
Dado el siguiente proyecto de inversión:
−D F1 F2 F3 Fn−1 Fn
0 1 2 3 n−1 n
k = CMPC
g = tasa acumulada de la inflación = IPC = Indice general de precios
Vamos a ver como afecta la inflación del sistema a nuestros proyectos:
VAN A = −D + F1 + F2 + ........ + Fn
(1+k) (1+g) (1+k)2(1+g)2 (1+k)n(1+g)n
En este caso de dice que los flujos netos de caja están DEFLACTADOS.
Ejemplo:
57
Fi = 1000
•1
k= 6% 1000/ (1+0.06) = 943.40
g= 2.5% 1000/ (1+0.06)(1+0.025) = 920.39
nos afecta a la rentabilidad positivamente no teniendo en cuenta la deflación o sea la g < 0.
TIR 0 = −D + F1 + F2 + ........ + Fn
(1+r) (1+g) (1+r)2(1+g)2 (1+r)n(1+g)n
Ejemplo 1:
Sea un proyecto de inversión definido por:
Di = −8000
FNC1 = 5000 1) Calcular VAN y TIR
FNC2 = 7000 2) Calcular VAN y TIR suponiendo inflación del 20%
K = 10%
VAN = −8000 + 5000 + 5000 = 2330.6 >0 se acepta
(1+0.10) (1+0.10)2
TIR 0 = −8000 + 5000 + 5000
(1+r) (1+r)2
r1 = −1.67 <0
8000 (1+r)2 + 5000(1+r) + 7000 = 0 8r2 + 11r − 4 = 0
r2 = 0.2987 >k
r = 29.87 % Se acepta.
Ahora calculamos el VAN y la TIR con una inflación del 20%
VAN = −8000 + 5000 + 5000 = −194.67 <0 se rechaza
(1+0.10) (1+0.2) (1+0.10)2 (1+0.2)2
TIR 0 =−8000 + 5000 + 5000
(1+r) (1+0.2) (1+r)2 (1+0.2)2
58
8000 (1+r)2(1+0.2)2 + 5000(1+r)(1+0.2) + 7000 = 0
−11500 r2 − 17000 r + 1500 = 0 r1 = −1.56178 < 0 se rechaza
r2 = 0.0835 < 0.2 = k se rechaza
3.− LOS COBROS Y LOS PAGOS DE LA INVERSION SON SENSIBLES A LA INVERSION.
3.1.− LA CUANTIA DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA ES AFECTADA POR EL GRADO DE
INFLACION CON LA MISMA INTENSIDAD PARA LOS COBROS Y PARA LOS PAGOS.
A partir de ahora nos vamos a encontrar aparte de con un g=IGP con incrementos del valor nominal de los
flujos netos de caja , si llamamos g al tanto por uno de inflación y f al tanto por uno de cada año incrementa el
valor nominal de los flujos netos de caja a consecuencia de la inflación.
VAN = −D + F1 (1+f) + F2(1+f)2 + ........ + Fn(1+f)n
(1+k) (1+g) (1+k)2(1+g)2 (1+k)n(1+g)n
TIR 0 = −D + F1 (1+f) + F2(1+f)2 + ........ + Fn(1+f)n
(1+r) (1+g) (1+r)2(1+g)2 (1+r)n(1+g)n
g y f al igual que el desembolso y los flujos netos de caja son datos del problema.
Si g = f El valor nominal de los flujos netos de caja aumentan al mismo ritmo que la tasa de inflación, por lo
que la inflación no nos afecta y volveríamos a las formulas anteriores de la VAN y la TIR.
ELASTICIDAD
La elasticidad nos puede dar 3 casos:
E f > 1 La inflación influye favorablemente sobre la inversión ya que
eleva el valor del VAN.
E f < 1 La inflación influye negativamente sobre el proyecto de
inversión reduciendo el valor del VAN.
E f = 1 La inflación no afecta a las decisiones de Inversión en que se
de esta condición.
Ejemplo:
Sea un proyecto de Inversión:
Desembolso
−8000
F1
5000
F2
7000
E f = 0.9 k = 0.10
59
Calcular el VAN:
VAN = −8000 + 5000 (0.9) + 7000(0.9)2 = 776.25
(1+0.1) (1+0.1)2
• LA INFLACION AFECTA A LA CORRIENTE DE COBROS CON FIFERENTE INTENSIDAD QUE A
LA CORRIENTE DE PAGOS.
Fj = cj − pj Lo normal es que la corriente de cobros y la corriente de
pagos se vea afectada con distinta intensidad y afectando
por separado a los cobros y los pagos, esto es debido a que los FNC de un proyecto de inversión lo integran un
conjunto de flujos sometidos a precios relativos muy diferentes, pudiendo incluso existir algunas partidas de
cobros o de pagos independientes de la inflación.
Por este motivo al valorar un proyecto de inversión distinguiremos dos tipos de inflación:
INFLACION DE COBROS
INTERNA DEL PROYECTO
Es la que afecta a sus cobros y
A sus pagos de manera particular.
INFLACION DE PAGOS
INFLACION
EXTERNA (g)
Es la Tasa de inflación general de
La economía o IGP y que afecta al
Poder adquisitivo del dinero en el
Tiempo.
Descomponemos el FNC de un proyecto de inversión de la siguiente forma:
Cj = cvj + cfj
Fj = cj − pj FNC = cvj + cfj − (pvj + pfj)
Pj = pvj + pfj
cvj Son los cobros del periodo j sensibles a la inflación.
cfj Son los cobros del periodo j independientes a la inflación.
60
pvj Son los pagos del periodo j sensibles a la inflacion.
pfj Son los pagos del periodo j independientes a la inflacion.
Ic Inflación de Cobros = Es el tanto por uno que aumentan los cobros de
un proyecto de inversión como consecuencia de la inflación.
Ip Inflacion de Pagos = Es el tanto por uno que aumentan los pagos de
un proyecto de inversión como consecuencia de la Inflacion.
g Tasa acumulativa anual de Inflacion que consideramos constante a lo
largo de la vida del proyecto de inversión.
VAN = −D + nj=1 [ cvj (1 + Ic) j + cfj ] − [ pvj (1 + Ip) j + pfj ]
(1+k) j (1+g) j
TIR 0 = −D + nj=1 [ cvj (1 + Ic) j + cfj ] − [ pvj (1 + Ip) j + pfj ]
(1+r) j (1+g) j
CONCEPTO DE ELASTICIDAD SOBRE ESTE MODELO.
Ec = 1+ Ic
Elasticidad de los cobros respecto de la Inflacion
1+ g
Ep = 1+ Ip
Elasticidad de los pagos respecto de la Inflacion
1+ g
El VAN y la TIR teniendo en cuenta el concepto de elasticidad queda :
VAN = −D + nj=1 [ cvj (Ec) j + cfj ] − [ pvj (Ep) j + pfj ]
(1+g) j (1+g) j
(1+k)j
TIR 0 = −D + nj=1 [ cvj (Ec) j + cfj ] − [ pvj (Ep) j + pfj ]
(1+g) j (1+g) j
(1+r)j
61
Para analizar si la Inflacion afecta al proyecto de inversión positiva o negativamente vamos a comparar las
elasticidades de los pagos y los cobros.
Si Ec > Ep El proceso inflacionista incidirá favorablemente sobre la
inversión incrementando su rentabilidad.
Si Ec = Ep El proceso inflacionista repercutira positiva o
negativamente dependiendo de estas dos variables (cfj ) o
(pfj) (que son los pagos y cobros independientes
respectivamente.
Si Ec > Ep Disminuye la rentabilidad del proyecto de inversion.
QUE SUCEDE SI INTRODUCIMOS LA TASA DE REINVERSION EXPLICITA ( tr ).
VAN = −D + nj=1 cvj (Ec) j + cfj − pvj (Ep) j + pfj (1+tr) n−j
(1+g) j (1+g) j (1+g) n−j
(1+k)n
TIR 0 = −D + nj=1 cvj (Ec) j + cfj − pvj (Ep) j + pfj (1+tr) n−j
(1+g) j (1+g) j (1+g) n−j
(1+r)n
CONCLUSIONES:
INCIDENCIA DE LA INFLACION SOBRE LAS RENTABILIDADES ABSOLUTA NETA Y RELATIVA
DE UN PROYECTO DE INVERSION:
1.− Considerada individualmente la Inflacion interna ( Ic , Ip ) afecta de forma positiva al proyecto
incrementando el valor monetario de sus FNC siempre y cuando las tasas de crecimiento de los cobros da
mayor que la tasa de crecimiento de los pagos y afectara de forma negativa en caso contrario.
Afecta + Si Ic > Ip Ec > Ep
Afecta − Si Ic < Ip Ec < Ep
2.− Tal y como se desprende del cociente 1+ tr = tr'
1+g
La Inflacion externa hace que la tasa de rendimiento real que obtiene la empresa por la reinversion de los FNC
sea menor que la reinversion nominal tr .
Ejemplo: Suponemos tr = 15% 1+0.15 = 9.52%
62
G = 5% 1 + 0.05
3.− Considerando individualmente g , minora la rentabilidad real de los proyectos de inversión al producir una
reducción del poder adquisitivo del dinero en el tiempo (g hace que caiga el Fj por lo tanto nos cae la
rentabilidad en el RAN y en el RRB).
4.− Considerando el efecto conjunto de la elasticidad de los cobros Ec de la elasticidad de los pagos Ep y la g
diremos:
Si Ec > Ep Aumenta la rentabilidad
Si Ec = Ep Depende de (cfj y pfj) (cobros y pagos independientes).
Si Ec < Ep Disminuye la rentabilidad
4.− EL EFECTO DE LOS IMPUESTOS SOBRE LA RENTABILIDAD DE LAS INVERSIONES.
Tanto el impuesto de sociedades como el IRPF gravan los beneficios generados dentro de cada periodo
impositivo (1 año) hecho que ara disminuir los flujos netos de caja.
Faj = cj − pj Flujos netos de caja antes de impuestos generados por la
inversión en el periodo j.
Fj = cj − pj Flujos netos de caja despues de impuestos.
Introduciomos t tasa impositiva de IMPUESTOS (%).
t Faj Cuota impositiva del periodo j ANTES DE
IMPUESTOS.
VAN = −D + Fa1 − t Fa1 + Fa2 − t Fa2 + ...... + Fan − t Fan
(1+k)(1+k)2(1+k)n
TIR 0 = −D + Fa1 − t Fa1 + Fa2 − t Fa2 + ...... + Fan − t Fan
(1+r)(1+r)2(1+r)n
−D + Fa1 − t Fa1 + Fa2 − t Fa2 + ...... + Fan − t Fan
012n
La consideración del impuesto en el modelo produce una disminución de la RAN y RRB del proyecto de
inversión puesto que el pago del mismo nos hace disminuir el FNC.
Si existen Beneficios Fj < Faj
Si existen Perdidas Fj > Faj (ahorro fiscal)
Ejemplo:
63
Desembolso
−300
F1
400
F2
200
K = 10%
• Calcular VAN
• Calcular VAN (g=15% Inflacion y t = 36% Impuestos)
Amortización lineal Vr = 0 (valor residual)
1.− VAN = −300 + 400 + 200 = 228.93 um.
( 1 + 0.1 ) ( 1 + 0.1 ) 2
2.− Amortización = 300 / 2 = 150 u.m./año
Faj (antes de impuestos)
(−) Amortización lineal
Base imponible
(%) t (impuestos)
CUOTA IMPUESTOS
Fj (después de impuestos)
Año 1
400
−150
250
36%
90
400 − 90 = 310
Año2
200
−150
50
36%
18
200 − 18 = 182
Fj = Faj − t Faj
VAN = −300 + 300 + 200 = 58.79 um.
(1+0.1)(1+0.15) (1+0.1)2 (1+0.15)2
Ejemplo:
Sea el siguiente proyecto de inversión:
D = 100.000 u.m.
K= 10 %
N = 3 años
VENTAS 100 u.f/año al precio unitario de 1000 u.m.
VENTAS SUBPRODUCTOS 10.000 u.m/año
COSTE FIJO (año) 400 u.m./año
COSTE MANTENIMIENTO 600 u.m./año
Las ventas se efectúan al contado.
64
• Calcular VAN suponiendo que no existe la Inflacion.
• Calcular el VAN con Inflacion g = 20%
• Calcular VAN con Inflacion g = 8% Ic = 20% y Ip = 15% constantes durante los tres años.
• Todo lo dicho en el punto 3) y considerando un valor residual 0 para tr = 35%.
1)
Fj
Cobros
Cobros subproductos
TOTAL COBROS
Pagos
Coste fijo
Coste Mantenimiento
TOTAL PAGOS
100 u/f x 1000
100000
10000
110000
10000
400
600
11000
100 u.f x 100
Año 1
110000−11000 =
Año 2
110000−11000 =
99000
99000
Fj = C − P
Año3
110000−11000 = 99000
Calculamos el VAN con estos nuevos tres FNC.
VAN = −100 + 99 + 99 + 99 =
(1+0.1) (1+0.1)2 (1+0.1)3
= −100 + 99 "3ø0.1 = 146.1983 miles u.m. > 0 Se acepta.
2) VAN = −100 + 99 + 99 + 99 =
(k=10% g=20%)
(1+0.1) (1+0.2) (1+0.1)2(1+0.2)2 (1+0.1)3(1+0.2)3
= 74.966 miles u.m. > 0 Se acepta.
3)
Año1
Cobros de ventas
Sensibles a la Inflacion
Cobros subprod.
Indep.inflacion
TOTAL COBROS
Costes variables sens.
Inflacion
Costes fijos no
Año2
Año3
100 uf x 1000 x (1+0.2) = 100 uf x 1000 x (1+0.2)2
120000
= 144000
100 uf x 1000 x (1+0.2)3
= 172800
10000
10000
10000
130000
100x100x81+ (0.15) =
11500
400
154000
100x100x81+ (0.15)2 =
13225
400
182800
100x100x81+ (0.15)3 =
15208.75
400
65
Sensibles inflac.
Costes manten.
no sensibles
TOTAL PAGOS
600
600
600
12500
130000−12500 =
14225
154000−14225 =
16208.75
117500
139775
182800−16208.75=
166591.25
Fj = C − P
Ahora calculamos el Van con estos 3 FNC.
VAN = −100000 + 117500 + 139775 + 166591.25 =
(1+0.1) (1+0.8) (1+0.1)2(1+0.8)2 (1+0.1)3(1+0.8)3
= 197300.53 > 0 Se acepta.
• ) Vr = 0 Considerando el efecto de la amortización inicial.
Partimos de los flujos netos de caja del apartado 3).
Amortización A = 100000/3 = 33333 Valor residual Vr = 0
Faj
(−) Aj
Base Imponible
(x % ) t g
CUOTA
Fj = Faj − t Faj
1
117500
33333
84167
35%
29458.45
88041.55
2
139775
33333
106442
35%
37254.7
102520.30
3
166591.25
33333
133257.25
25%
46640.04
119951.21
Aplicar ahora el VAN con estos nuevos tres FNC.
*(30) ejercicio
a) COEFICIENTES: La empresa elige el máximo posible siempre.
Máx: 12,5% s/ 12.000.000 = 1.500.000
Elegimos el máximo fiscalmente posible para tener menos gastos.
Mín: 12.000.000 = 1.000.000
12
En miles pts. Año 1
F
2250
(−) Amort.
(1500)
700
Año2
2350
(1500)
850
Año 3
2500
(1500)
1000
Año 4
2400
(1500)
900
Año 5
2200
(1500)
700
Año 6
2100
(1500)+3000
(2400)
66
= Base
imponible
(x) t ! s/base
imponible
35%
35%
35%
35%
35%
35%
(840)
= cuota (T)
245
297,5
350
315
245
Ahorro fiscal
FNC después
2250−245 = 2350−297,5
de impuestos
1995
=2052,5
2500−350
=2150
2400−315
=2085
220−245
=1955
2100−(−840)
=2940
Año 6
VAdq = 12.000.000 Cuando no hay información sobre el valor
residual es = 0
AA = (9.000.000)
3.000.000
Valor Neto VRM = 0
Contable −VNC = 3.000.000 ! hay una pérdida porque el mercado da un VR
DP = 3.000.000 igual a 0, pero en nuestra contabilidad aún
valen
Disminución 3x106.
patrimonial
VAN = −12.000.000 + 1995.000 + 2052.500 +2150.000 + 2085.000 + 1955000 + 2940000
1,08 1,082 1,083 1,084 1,085 1,086
VAN = −2.007.610 n.m. < 0 ! NO ES ACEPTABLE BAJO ESTAS CONDICIONES
TIR ! 0 = −12000.000 + 1995.000 + 2052.500 + 2150.000 + 2085.00 + 1955000 + 2940.000
1+r (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5 (1+r)6
r" 2,52% Rentabilidad relativa bruta
b) RENTABILIDAD NETA
Rn = Rb − K = 2,52% − 8% = −5,48% < 0
• Plazo de recuperación = 5 años, 7 meses y 10 días
• VR = 1000.000
67
VA = 12.000.000 VRM = 1000.000
−VNC6 = 3000.000
−AA = (9.000.000) DP (2000.000)
VNC6 = 3000.000
En miles pts.
F
(−) Amort.
= Base
imponible
(x) t ! s/base
imponible
Año 1
2250
(1500)
Año2
2350
(1500)
Año 3
2500
(1500)
Año 4
2400
(1500)
Año 5
2200
(1500)
Año 6
2100
(1500)+2000
700
850
1000
900
700
(1400)
35%
35%
35%
35%
35%
35%
= cuota (T)
245
297,5
350
315
245
(490)
Ahorro fiscal
FNC después
2250−245 = 2350−297,5
de impuestos
1995
=2052,5
VRM
2500−350
=2150
(en el último
año)
2400−315
=2085
220−245
=1955
2100−(−490)
=2590
1000
3590
VAN = −12.000.000 + 1995.000 + 2052500 + 2150.000 + 2085.000 + 1955.000 + 3590.000
1,08 1,082 1,083 1,084 1,085 1,086
VAN = −1598.000 n.m. < 0 ! NO ES ACEPTABLE
TIR ! 0 = −12000.000 + 1995.000 + 2052.500 + 2150.000 + 2085.00 + 1955000 + 2940.000
1+r (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5 (1+r)6
r" 3,80% ! RRB
RRN = RRB−K = 3,8% − 8% = −4,2% ! NO ACEPTABLE
Pzo. De recuperación = 5 años, 6 meses y 7 días.
*(31) ejercicio
D= 25.000.000 K = 8%
T= 35%
N= 4 años
68
VRAdministración
A = 25.000.000. − 2.000.000 = 5750.000
4
VRM = 10.000.000
Producción Cantidades Precio vta. Unitario Costes Variables
1º año 18.000 x 325 100
2º año 24.000 x 325(1+0,2)= 390 100x(1+0,05)=105
3º año 30.000 x 325(1+0,2)2=468 100x(1+0,05)2=110,25
4º año 30.000 x 325(1+0,2)3=561,6 100x(1+0,05)3=115,76
Año 1
Cobros
Año 3
30000x468
Año 4
30000x561,6
=9360.000
1200.000
24.000x105
=14.040.000
1200.000
30.000x110,25
=16848.000
1200.000
30.000x115,76
=2520000
5640.000
(5750.000)
(110.000)
35%
(38500)
=3307.500
9532.500
(5750.000)
3782.500
35%
1323.875)
=3472800
14.425.200
(5750.000)+8000.000
14.425.200
35%
5048820
12.175.200
18000x325=5850.000
Pagos fijos
1200.000
Pagos variables
18000x100=1800.000
FNC +
(−) Aj
(=) BI
Xt
(=) T cuota +
Año 2
24.000x390
2850.000
(5750.000)
(2900.000)
35%
(1.015.000)
2850.000−(−1015000) 5640.000−(−38500) 9532.500−1323.875
Fd.
(5048.820) 17.126.380
=3865.00
=5678.500
= 8.208.625
10.000.000
Año 4
VA = 25.000.000 VRM = 10.000.000
(−) VNC= 2.000.000
−AA = 23.000.000 AP 8000.000
VNC 2.000.000
VAN = −25000.000 + 3865000 + 5678500 + 8208625 + 17126380 = 2551.774 > 0 han acertado
1+0,08 1,0082 1,0083 1,0084 porque es positivo
69
TIR ! 0 = −25000.000 + 3865000 + 5678500 + 8208625 + 17126380
*(32) EJERCICIO
n= 5 años
D= 2000.000 Aj= 2000.000 − 500.000= 300.000
Cf= 700.000 nm/año 5
Cv= 50 nm/nf
Pv= 80 nm/nf
Venta = 30.000 nf año 1
!
Anual acumulativo 20%
VRA= 500.000
K= 10%
T=30%
VRM= 500.000
Producción / Vta
1º año: 30.000
2º año: 30.000 (1+0,2) = 36.000
3º año: 30.000 (1+ 0,2)2 = 43200
4º año: 43200
5º año: 43200
Año 1
30.000x80
Año 2
36.000x80
Año 3
43200x80
Año 4
Año 5
43200x80 43200x80
=2400.000
700.000
30.000x50
=2880.000
700.000
36000x50
=3456000
700.000
43200x50
=3456000 =3456000
700.000
700.000
=1500.000
200.000
(30.000)
(100.000)
=1800.000
380.000
(30.000)
80.000
=2160.000
596.000
(30.000)
296.000
Cobros
Pagos fijos
Pagos variables
Fant. Imp.
(−) Aj
(=) BI
2160.000
2160.000
596.000
(30.000)
296.000
596.000
(30.000)
296.000
70
(30.000)
24.000
X t 30% = T
88,800
88800
88800
ahorro fiscal
(*)596000−88800
F
230.000
356.000
507200
507200
=1007.200
(*) VA 2.000.000 −VNC (500.000)
VMR 500.000
(−) A.Ac. (1500.000) 0 No hay beneficios
VNC 500.000 ni pérdidas fiscalmente ""P
VAN = −2.000.000 + 230.000 + 356000 + 507200 + 507200 + 1007200 = −143.811 < 0
1+0,1 1,12 1,13 1,14 1,15 SE RECHAZA
TIR ! 0 = −2.000.000 + 230.000 + 356000 + 507200 + 507200 + 1007200 ! r"7,68%
1+r (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5
RRn = RRb − K = r−K = 7,68% − 10% = −2,32%
b)
VR = 500.000 ICF = 10% inflación
" inflación VRM = 2.000.000 ICV = 25% interna
A = 2000.000 − 500.000 = 300.0000
5
g = 20% ! inflación externa
Producción / Vta.
1º año 30.000
2º año 30.000 (1+0,2) = 36.000
3º año 30.000 (1+0,2)2 = 43.200
4º año 43.200
5º año 43.200
Precio venta costes fijos costes variables
1 año 80 700.000 50
71
2 año 85 700.000 (1+0,1) = 770.000 50 (1+0,25) = 62,5
3 año 90 700.000 (1+0,1)2 = 847.000 50 (1+0,25)2 = 78,125
4 año 100 700.000 (1+0,1)3= 931.700 50 (1+0,25)3 = 97,65625
5 año 110 700.000 (1+0,1)4 = 1.024.870 50 (1+0,25)4 =22,0703125
Año 1
30.000x80
Año 2
36.000x85
Año 3
43200x90
Año 4
43200x100
Año 5
43200x110
=2400.000
700.000
30.000x50
=3060.000
770.000
36000x62,5
=3888.000
=4320000
847.000
931.700
43200x78,125 43.200x97,656
=4752000
1024.870
43200x122,07
(=) Fant. Imp.
=1500.000
200.000
=2250.000
40.000
=3375.000
(334000)
=4218740
(830.440)
=5273424
(1.546.294)
(*)(300.000)
(−) Aj
(300.000)
(300.000)
(300.000)
(300.000)
Cobros
Pagos fijos
Pagos variables
(=) BI
(X) t 30% = T
(100.000)
(30.000)
230.000
F. después
!
Impuestos
(260.000)
(78.000)
(634.000)
(1902.200)
(1130.440)
(339.132)
118.000
143.800
491.308
+1500.000
(*)(346.294)
(*)(103.890)
(1546.284)
103.890
200.000 −
2.000.000
(−430.000)
557.596
(*) VA 2.000.000 VRM 2.000.000
(−) AAc 1500.000 −VNC 500.000
VNC 500.000 AP 1500.000 Beneficio
VAN = −2.000.000 + 230.000 + 118.000 − 143.800 + 491.308 +
(1+0,1)(1+0,2) (1+0,1) 2(1+0,2) 2 (1+0,1)3 (1+0,2) 3 (1+0,1) 4(1+0,2) 4
+ 557.596 = − 1.396.399 < 0 SE RECHAZA EL P.I.
(1+0,1) 5(1+0,2) 5
La TIR, como el VAN tenemos mas de un cambio de signo, es inconsistente.
95
1
72