unidad 3 expresiones algebraicas

UNIDAD 3: EXPRESIONES ALGÉBRAICAS
Se denomina variable real a un símbolo (generalmente una letra) que se usa para representar un número real
arbitrario. Se denomina constante real a un símbolo que se usa para representar un número real fijo.
Se denomina expresión algebraica a toda combinación de constantes y variables relacionadas entre sí por los
signos de las operaciones suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación. Las expresiones
algebraicas permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
Ejemplo No. 29
Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:
a.
b.
5x 5 y 4
z3
ab
a b
c.
x 4 y 2  3 2 xy
d.
a 3  a 2 b 3  c 4
3.1 MONOMIOS
Se llama monomio a toda constante o bien, a toda expresión algebraica, en la cual las potencias de las variables son
de exponentes enteros positivos y están relacionados únicamente por la multiplicación y además no contiene letras
en el denominador.
En un monomio se puede distinguir el factor numérico (coeficiente) y el factor literal (variables y exponentes).
Por ejemplo en el monomio  6 x 7 y 2 z el coeficiente es  6 y el factor literal es x 7 y 2 z . Si dos o más monomios
tienen igual factor literal, entonces se dice que son semejantes entre sí.
Ejemplo No. 30
Los siguientes son ejemplos de monomios:
a.  6 x 7 y 2 z
b.
x
3 1
7
c.  3 abc
d.
25
Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas que no son monomios:
a. 6  x
b.
x4
y3
3 2
c. 9 x y
d.
3z
1
2
3.1.1 Operaciones con monomios
3.1.1.1 Suma o resta de monomios semejantes
La suma o resta de monomios semejantes entre sí, es igual a un monomio cuyo coeficiente y factor literal es igual a
la suma o resta de los coeficientes y factor literal respectivamente de los monomios que se suman o restan.
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Página 33
Ejemplo No. 31
Realice las siguientes operaciones:
a. 52 ax  2ax  ax
b. 4 x 2 y  5ay  x 2 y  4ay
Solución:
a. 52 ax  2ax  ax   52  2  1ax   53 ax
b. 4 x 2 y  5ay  x 2 y  4ay  4  1x 2 y  5  4ay  3x 2 y  ay
c.
3.1.1.2 Multiplicación de monomios
La multiplicación de dos o más monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente y factor literal es igual al
producto de los coeficientes y al producto de los factores literales respectivamente de los monomios que se
multiplican.
Ejemplo No. 32
Realice las siguientes operaciones:
15x y 
a.
2
3
5
6
x3 y3 z

b.

xy 4
7
2

3
2x 3 y

3
4 xy

Solución:
a. 15x 2 y 3 56 x 3 y 3 z  
b.

7
2
xy 4

3
2x 3 y

3
25
2

x5 y 6 z
4 xy 
73
2
8x 5 y 6  7 x 5 y 6
d.
3.1.1.3 División de monomios
La división de dos monomios es igual a un monomio cuyo coeficiente y factor literal es igual al cociente de los
coeficientes y al cociente de los factores literales respectivamente de los monomios que se dividen.
Ejemplo No. 33
Realice las siguientes operaciones:
a.
48m 5 n 4
72m 3 n 7
b.
36 x 2 y 7 z
2x 2 y 3 z 5
Solución:
c.
d.
e.
2 m2
48m 5 n 4 2 2 3
 m n 
3 n3
72m 3 n 7 3
36 x 2 y 7 z
2x 2 y 3 z 5
 18 y 4 z 4 
18
y4
z4
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3.2 POLINOMIOS
Se llama polinomio a toda expresión algebraica que es monomio o una suma de monomios.
Ejemplo No. 34
Los siguientes son ejemplos de polinomios:
a. 3m 2 n
c. 3ab  4ac  8bc  abc
4
2
1
b. 3xy  x  3 y
d. 10 x
Si un polinomio está formado por la suma de dos monomios no semejantes entre si recibe el nombre de binomio. Si
un polinomio está formado por la suma de tres monomios no semejantes entre si recibe el nombre de trinomio.
Un polinomio de variable x es una suma de la forma:
Px   an x n  an1 x n1    a1 x  a0
En donde n es un entero no negativo y cada coeficiente a k , es un número real. Si an  0 , se dice que el polinomio
tiene grado n .
3.2.1 Operaciones con polinomios
3.2.1.1 Suma o resta de polinomios
Para sumar o restar polinomios, primero se eliminan los paréntesis y luego se suman los términos semejantes.
Ejemplo No. 35
Realice las siguientes operaciones:
a.
x
3
 

 2 x 2  5 x  3  5 x 3  3x 2  1
b.
x
3
 

 2 x 2  5x  7  4 x 3  5x 2  3
Solución:
a. Se eliminan los paréntesis: x 3  2 x 2  5x  3  5x 3  3x 2  1
Se suman términos semejantes: 1  5x 3  2  3x 2  5x  3  1  6 x 3  x 2  5x  4
b. Se eliminan los paréntesis: x 3  2 x 2  5x  7  4 x 3  5x 2  3
Se suman términos semejantes: 1  4x 3  2  5x 2  5x  7  3   3x 3  7 x 2  5x  4
3.2.1.2 Multiplicación de polinomios
Para multiplicar dos polinomios, cada término del primer polinomio se debe multiplicar por cada término del
segundo polinomio.
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Ejemplo No. 36
Realice la siguiente operación:
2x
2


 3 x 3  5x  1
Solución:
Un método consiste usar la propiedad distributiva, tratando al polinomio x 3  5x  1 como si fuera un solo
termino. Veamos:
2x
2



 

 3 x 3  5x  1  2 x 2 x 3  5x  1  3 x 3  5x  1
A continuación se utiliza dos veces la propiedad distributiva y se suman términos semejantes:
2x
2


 3 x 3  5x  1  2 x 5  10 x 3  2 x 2  3x 3  15x  3  2 x 5  13x 3  2 x 2  15x  3
3.2.1.3 División de polinomios
Para multiplicar dos polinomios, cada término del primer polinomio se debe multiplicar por cada término del
segundo polinomio.
Procedimiento:
1. Se ordenan el dividendo y el divisor según las potencias descendentes de una misma literal.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado es el primer término
del cociente. Se multiplica todo el divisor por este término y se resta el producto obtenido del dividendo.
3. El residuo obtenido en el paso 2 se toma como nuevo dividendo y se repite el proceso del paso 2 para obtener el
segundo término del cociente.
4. Se repite este proceso hasta que se obtenga un residuo nulo o de grado inferior que el del divisor.
3.2.1.3.1 Algoritmo de la división para polinomios
Si f (x) y p(x) son polinomios y si p( x)  0, entonces existen polinomios únicos q(x) y r (x) tales que:
f ( x)
r ( x)
, o bien
 q( x) 
p ( x)
p( x)
f (x) = p(x)  q( x)  r ( x)
Donde r ( x)  0 o el grado de r (x) es menor que el grado de p(x) . El polinomio q(x) es el cociente y r (x)
es el residuo en la división de f (x) entre p(x)
Ejemplo No. 37
Realice la siguiente operación (obtenga el cociente y el residuo):
x 2  3x  3
x 1
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Solución:
Se realiza la división algebraica de polinomios:
x 2  3x  3
 x2  x
 4x  3
4x  4
7
x 1
x4
Cociente: x  4
Residuo: 7
Aplicando el algoritmo de la división, se obtiene:
x 2  3x  3
7
 x4
x 1
x 1
Actividad No. 9
1. Realice las siguientes operaciones:
a. 4a 5b  3a 5b
b.  2 xy  3xy
c. 24a 5b 3  3a 8b
d. 3mx 2 22m5 x 4 z 
e.
5x
f.
 7 x
3
 
g.  4 x 2  x  (3x 2  7 x 2 )  (5x 2  x 2 )  6 x 
h.    ( x  1)  x  1
i.  3x 8 5x 3  2 x 2  5x  4
j.  7 x 4  5x 3  2 x 2  3x  16 x 3  5x 2  8x  10

k.
 2 x 2  5 x  4  2 x 3  4 x 2  3x  1
4
 
 5x 3  2 x 2  3x  1  6 x 3  5x 2  8x  10

l.
2. Exprese la división de x 3  203 x 2  16 x  10 entre 3x  2 como
4
3
x 4  5x 2  1
x  12
3x 3  2 x  4
2x 2  x
f ( x)
r ( x)
 q( x) 
p ( x)
p( x)
3. En una división el divisor es x 2  1 , el cociente es x 2  2 x  2 y el residuo es  4 x  1 . Halle el dividendo.
3.3 PRODUCTOS NOTABLES
Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo
resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Cada producto notable
corresponde a una fórmula de factorización.
En la siguiente tabla aparecen algunas de las fórmulas más conocidas de productos notables que son útiles en
diversos problemas de multiplicación.
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Nombre
Diferencia de cuadrados
Cuadrado de una suma
Fórmula
a  ba  b  a 2  b 2
a  b2  a 2  2ab  b 2
a  b2  a 2  2ab  b 2
a  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
a  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3
Cuadrado de una diferencia
Cubo de una suma
Cubo de una diferencia
Ejemplo No. 38
Desarrolle los siguientes productos notables:
a.
3x
b.


c.
2
y  2 xy
3x
2
2a 2  3a 4
2
3

2
y  2 xy
2

 a2 b 
  2 
 b a 
d.
2

e.
m 2 n 3  94 m 4 n 5
3

4
2
x3  2
3

3
2
Solución:
a.
3x
b.

c.

2

2a 2  6a 4
2
3
 
 

2
y  2 xy 3 3x 2 y  2 xy 3  3x 2 y  2 xy 3 2  9 x 4 y 2  4 x 2 y 6
 
2
m 2 n 3  94 m 4 n 5
3
2a 2
 
2
2
3
  2
2
2a 2


 
6a 4 

2
m 2 n 3  2 23 m 2 n 3
3

9
4
6a 4

2
 2a 4  4 3a 6  6a 8
 
m4 n5 
2
9
4

2
m4 n5 
4
9
81
m 4 n 6  3m 6 n 8  16
m8 n10
 a2 b   a2 
 a 2   b   a 2  b   b 
a6
a2
b b3
d.   2      3   2   3  2    2   3  3  3 2  6
b
b
a
a
 b a   b 
 b   a   b  a   a 
e.

3
4
2
 
3
x3  2 
3
4
2
 
3
x3  3
3
4
2
x3
2
 2  3
2
3
4
2

3
x 3 2  2 
2
3
1
2
x 9  33 2 x 6  63 4 x 3  8
Actividad No. 10
Desarrolle los siguientes productos notables:
a.
x
b.
2 

 z

z

c.
2

 3 x  3
3 y  2 z 
2 3
2

g.
2
h.
i.
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 32
3
x  3

x2





2
2 z  3z 
3 y  2 z 
2
3 2
2 3
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

2
e. x  y  3
k.
2 x  5x 
p  q 
f.
l.
x  y  32
d.
3
x
x 1
m
j.
3
 xn

2
3 3
4
n
n 3
3.4 FACTORIZACIÓN
Factorización es una técnica que consiste en escribir una expresión matemática en forma de un producto. El
objetivo es escribir una expresión matemática en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre
de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. A
continuación se presentaran algunas técnicas que se utilizan en la factorización de polinomios.
3.4.1 Factorización por factor común
La factorización de polinomios por factor común consiste en la aplicación de la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma.
Ejemplo No. 39
Factorice:
a.
b.
25x 2 y 4  15x 4 y 2  10 x 3 y 3
18ab  8a 2  2ab 2
Solución:
a. 25x 2 y 4  15x 4 y 2  10 x 3 y 3  5x 2 y 2 5 y 2  3x 2  2 xy 
b.
18ab  8a 2  2ab 2 

2a 3b  2a  b 2

3.4.2 Factorización por agrupación de términos
Consiste en agrupar los términos del polinomio de manera adecuada y luego encontrar una factorización mediante
las propiedades distributivas.
Ejemplo No. 40
Factorice:
4ac  2bc  2ad  bd
Solución:
Se agrupan los dos primeros términos y los dos últimos, y luego se procede de la siguiente manera:
4ac  2bc  2ad  bd  (4ac  2b)  (2ad  bd )  2c(2a  b)  d (2a  b)
 (2c  d )(2a  b)
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3.4.3 Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio de la
forma a  b o a  b . Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma:
Trinomio cuadrado perfecto
a  2ab  b
2
Factorización
a  b2
a  b2
=
=
2
a 2  2ab  b 2
Ejemplo No. 41
Factorice:
a. 4 x 2  12 x  9
4
2
2
b. 169 m  43 m n  64
81 n
Solución:
2
a. 4 x 2  12 x  9  2 x2  22 x3  32  2 x  3
b.
9
16
2
m 4  43 m 2 n  64
81 n 

3
4
m2

2

 2 34 m 2
 n   n
8
9
8
9
2


3
4
m 2  89 n

2
3.4.4 Trinomio de la forma x 2  bx  c
Un trinomio de la forma x 2  bx  c se identifica por tener tres términos, un término literal elevado al cuadrado
con coeficiente uno, un término literal lineal con coeficiente diferente de uno (o uno) y un término independiente. Se
factoriza de la siguiente manera:
Factorización
Trinomio de la forma x 2  bx  c
x  bx  c
donde m  n  b y m  n  c
2
=
x  mx  n
Ejemplo No. 42
Factorice:
a. x 2  7 x  12
b. m 4  4m 2  12
Solución:
a. x 2  7 x  12  x  4x  3
b. m 4  4m 2  12  m 2   4m 2   12  m 2  6m 2  2
2
3.4.5 Trinomio de la forma ax 2  bx  c
Un trinomio de la forma ax 2  bx  c se identifica por tener tres términos, un término literal elevado al cuadrado
con coeficiente distinto de uno, un término literal lineal con coeficiente diferente de uno (o uno) y un término
independiente. Se factoriza por medio de un procedimiento para expresarlo de la forma x 2  bx  c .
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Ejemplo No. 43
Factorice:
4 x 2 8x  12
Solución:
Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del término elevado al cuadrado:
4 x 2 8x  12 
4
4
4x 8x  12  4x 84x  48  4x  124x  4  x  34x  4
2
2
1
4
1
4
3.4.6 Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados tiene la forma a 2  b 2 y se factoriza de la siguiente manera:
Diferencia de cuadrados
a b
2
Factorización
a  ba  b
=
2
Ejemplo No. 44
Factorice:
a. 9a 2  16
4
8
b. 16 x  81y
Solución:
a. 9a 2  16  3a 2  42  3a  43a  4
b. 16 x 4  81y 8  4 x 2   9 y 4   4 x 2  9 y 4 4 x 2  9 y 4   4 x 2  9 y 4 2 x  3 y 2 2 x  3 y 2 
2
2
3.4.7 Suma de cubos
Una suma de cubos tiene la forma a 3  b 3 y se factoriza de la siguiente manera:
Suma de cubos
a b
3
Factorización
=
3
a  ba 2  ab  b 2 
Ejemplo No. 45
Factorice:
125a 3  1  5a   1
3
Solución:
3




2
3
3
2
2
125a 3  1  5a   1  5a  15a   5a 1  1  5a  1 25a  5a  1
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3.4.8 Diferencia de cubos
Una diferencia de cubos tiene la forma a 3  b 3 y se factoriza de la siguiente manera:
Diferencia de cubos
a b
3
Factorización
a  ba 2  ab  b 2 
=
3
Ejemplo No. 46
Factorice:
8a 3  27
Solución:



2
3
3
2
2
8a 3  27  2a   3  2a  32a   2a 3  3  2a  3 4a  6a  9

Ejemplo No. 47
Factorice:
a. 4 x 2  4 x  24
b. x 5 y  25x 3 y 3
c.
d.
4x 2  y 2  4 y  4
16 x 4  y 4
Solución:
a. 4 x 2  4 x  24  4x 2  x  6  4x  3x  2
b. x 5 y  25x 3 y 3  x 3 yx 2  25 y 2   x 3 yx  5 y x  5 y 
c. 4 x 2  y 2  4 y  4  2 x2  y 2  4 y  4  2 x 2   y  22  2x   y  22 x   y  2
 2 x  y  22 x  y  2
d. 16 x 4  y 4  4 x 2   y 2   4 x 2  y 2 4 x 2  y 2   2 x 2  y 2 4 x 2  y 2 
2

2
2
 2 x  y 2 x  y  4 x  y

3.4.9 Factorización por completación de cuadrados
Para completar cuadrado con una expresión de la forma:
 x 2  bx
 x 2  bx
 ax 2  bx
 ax 2  bx
Se procede de la siguiente manera:
 x 2  bx  x  b2 2  b4
2
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Página 42
 x 2  bx  x  b2 2  b4
2
 ax 2  bx  ax 2  ba x   ax  2ba 2  4ba
2
 ax 2  bx  ax 2  ba x   ax  2ba 2  4ba
2
Ejemplo No. 48
Factorice completando cuadrados:
a. x 2  x  1
b. 2  3x  4 x 2
Solución:
a.
2
2
1
1
1
5


x  x 1   x    1   x   
2
4
2
4


2

1
5  
1
5   x  1  5  x  5  1 
  x   
  x   

2 
2 
2  2  
2  2  

2
2
7
7
49
7
121
b. 6 x  7 x  3  6 x 2  x   3  6 x     3  6 x   
6 
12 
24
12 
24



2


7  121 
7  11  
7  11 
 6 x   
  6 x      x    
12  144 
12  12  
12  12 


1 
3

 6 x   x    3x  12 x  3
3 
2

2
3.4.10 División sintética
Un polinomio Px  tiene como factor a x  c , si y solamente sí Pc   0 . Para la división sintética del polinomio
Px   an x n  an1 x n1  ....  a1 x  a0 entre x  c se procede de la siguiente manera:
1. Se comienza con el siguiente esquema (se colocan ceros para cualquier coeficiente faltante del polinomio dado)
c
a n an1 an2  a1 a0
an
2. Se multiplica a n por c y el producto ca n , se coloca debajo de a n 1 . A continuación se suma an1 con ca n
y se coloca el resultado b1  an1  ca n en la columna de a n 1 , debajo de la línea.
an
an1
an2  a1
a0
c
ca n
an
b1
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Página 43
3. Se multiplica b1 por c y el producto cb1 , se anota debajo de an 2 . A continuación se suma an 2 con cb1 y
se coloca el resultado b2  an2  cb1 en la columna de an 2 , debajo de la línea.
an
an1
an2  a1
ca n
cb1
b1
b2
an
a0
c
4. Se continúa este proceso hasta obtener la suma final r  a0  cbn1 . Los números:
an , b1 , b2 , ... , bn-2 , bn-1
Son los coeficientes del cociente Q(x) . Es decir:
Q(x)  an x n1  b1 x n2  ...  bn-2 x  bn-1
r es el residuo.
Ejemplo No. 49
Utilice la división sintética para hallar el cociente Q(x) y el residuo r si el polinomio 2 x 4  5x 3  2 x  8 se
divide entre x  3
Solución:
Debido a que el divisor es x  3  x  (3) , entonces el valor de c en la expresión x  c es c  3 . Por lo
tanto, la división sintética adopta la siguiente forma:
2
5
0
2
8
6
1
3
3
9
 11
33
25
3
2
Según se ha indicado, las cuatro primeras cifras del tercer renglón son los coeficientes del cociente Q(x) y el
último número es el residuo r . En consecuencia:
Q( x)  2 x 3  x 2  3x  11 y r  25
Además, utilizando el algoritmo de la división, tenemos que:


2 x 4  5x 3  2 x  8  x  3 2 x 3  x 2  3x  11  25
Si el polinomio: Px   an x n  an1 x n1  ....  a1 x  a0
Tiene coeficientes enteros y además qp es un cero (raíz) racional de Px  tal que p y q no poseen un factor
primo común, entonces:
 El numerador p del cero es un divisor del término constante a 0
 El denominador q del cero es un divisor del término constante a n
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Página 44
Ejemplo No. 50
Aplique división sintética y el algoritmo de la división para factorizar el polinomio x 3  x 2  2
Solución:
Según el resultado anterior, los posibles ceros (o raíces) racionales del polinomio x 3  x 2  2 son los
divisores de a0  2 , ya que an  1 , de manera que para el polinomio x 3  x 2  2 tenemos que los
divisores de  2 son  1 y  2 , luego aplicando la división sintética para c  1 se tiene:
1
1
0
2
1
2
2
2
2
0
1
1
Por tanto x  1 es un factor de x3  x 2  2 , luego aplicando el algoritmo de la división, la factorización del
polinomio es:
x3  x 2  2  ( x  1)( x 2  2 x  2) , donde x 2  2 x  2 es irreducible en los reales.
Actividad No. 11
1. Factorice:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
6 xa  12 xy
mx  y   2 y  x 
4 x 2  6 xy  6 y  4 x
9m 2  6m  1
25 y 2  30 y  9
9a 2 b 2  12ab  4
g.
h.
i.
j.
k.
l.
3  2m2  n  42
d.
e.
f.
4 p2  8p  5
4x 2  y 4
27  x 3
z3  8
x6  y6
x3  1
2. Factorice empleando completación de cuadrados:
a. m 2  5m  4
b. x 2  3x  18
c t 2  4t  1
3x 2  7 x  2
2 x 2  3x  3
3. Factorice empleando división sintética:
a. m3  4m 2  m  6
b. 2 x 4  4 x 2  6 x  4
c.
d.
p 4  2 p3  4 p2  8 p
x 3  4x 2  4x  3
4. Factorice las siguientes expresiones:
a. 3x 3  2 x 2  12 x  8
d. x 3  x 2  x  1
b. x 2  16 y 2  10 x  25
e. a 2  a 2 b  ab 2  b 3
c. 2 x 2  xy  6 y 2
f. 3x 2  7 xy  2 y 2  19 x  13 y  20
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3.5 FRACCIONES ALGEBRAICAS
El cociente de dos expresiones algebraicas se llama fracción algebraica. Para el proceso de simplificación de una
fracción algebraica se puede usar las propiedades de los cocientes, puesto que las variables representan números
reales, en particular la propiedad:
ad a d a
   , donde bd  0
bd b d b
Usualmente se desarrolla este proceso de simplificación afirmando que se puede cancelar un factor común distinto
de cero en el numerador y denominador de un cociente. En la práctica, se cancela el factor común, suponiendo que
todos los denominadores son diferentes de cero. Fracción algebraica está simplificada o reducida a su mínima
expresión, si tanto el numerador como el denominador no tienen factores polinomiales comunes de grado positivo
ni factores enteros comunes mayores que 1 .
Para simplificar una fracción algebraica, se factorizan tanto el numerador como el denominador y posteriormente,
suponiendo que los factores del denominador no son cero, se cancelan los factores comunes.
Ejemplo No. 51
Simplifique las siguientes fracciones algebraicas:
a.
5 x 2  17 x  12
x 2  16
b.
( x 2  6 x  9)( x  2)
( x 2  2 x)( x 2  9)
Solución:
a.
5x  3
5 x 2  17 x  12 (5 x  3)( x  4)
, para x  4


x4
( x  4)( x  4)
x 2  16
b.
x3
( x 2  6 x  9)( x  2)
( x  3) 2 ( x  2)
, para x  0 y x  3


x( x  3)
x( x  2)( x  3)( x  3)
( x 2  2 x)( x 2  9)
3.5.1 Producto y cociente de fracciones algebraicas
Recuerde que:

a c ac
 
b d bd

a c a d ad
   
b d b c bc
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Página 46
Ejemplo No. 52
Realice las siguientes operaciones:
a.
x 2  6x  9 2x  2

x3
x2 1
b.
x 4  8x x 3  2 x 2  4 x

x2  4
x3  8
Solución:


a.
x 2  6x  9 2x  2
x 2  6 x  9 2 x  2 2x  3x  3x  1 2x  3




, para x  1
x  1x  1x  3
x 1
x3
x2 1
x 2  1 x  3
b.
x 4  8x x 3  8
x 4  8x x 3  2 x 2  4 x x 4  8x
x3  8




x 2  4 x3  2x 2  4x
x2  4
x3  8
x 2  4 x 3  2x 2  4x



xx






 8x  2x  2 x  4
xx  2x  2x  2 x  4
xx  2x  2 x  4x  2x  2 x  4

xx  2x  2x  2 x  4
3
2
2
2
2
2
 x 2  2 x  4 , para todo x  R
Para sumar o restar dos fracciones algebraicas, por lo general se halla un común denominador y se usan las
siguientes propiedades de los cocientes:

a c ac
 
d d
d

a c ac
 
d d
d
Para sumar o restar fracciones algebraicas, si los denominadores de las expresiones no son los mismos, es
recomendable determinar el mínimo común denominador (MCD) de los cocientes y realizar la operación usual
entre fracciones. Para determinar el MCD, se descompone cada denominador en factores primos y luego se forma
el producto de los diversos factores primos, utilizando el mayor exponente que aparezca en cada factor primo.
Ejemplo No. 53
Determine el MCD de las siguientes fracciones:
3x
5x 2
2
;
;
2
2
2
x  4 x  4 3x  12 2 x  x  6
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Solución:
Al descomponer cada denominador en factores primos, se obtiene:
x 2  4 x  4   x  2
2


3x 2  12  3 x 2  4  3x  2x  2
2 x 2  x  6  2 x  3x  2
3x
5x 2
2
;
;
Luego el MCD de 2
es 3x  2x  22 2 x  3
2
2
x  4 x  4 3x  12 2 x  x  6
3.5.2 Suma y resta de fracciones algebraicas
Ejemplo No. 54
Realice las operaciones indicadas (reduzca a una fracción más sencilla)
2x
3x  2 x
2

1
3
 2
3x  2 x
Solución:
El mínimo común denominador (MCD) de los denominadores es x 2 (3x  2) . Por lo tanto:
(2 x) x  x 2  3(3x  2) 2 x 2  x 2  9 x  6
2x
1
3
2x
1
3







3x 2  2 x 3x  2 x 2 x(3x  2) 3x  2 x 2
x 2 (3x  2)
x 2 (3x  2)

3x 2  9 x  6 3( x 2  3x  2)

x 2 (3x  2)
x 2 (3x  2)
Actividad No. 12
1. Simplifique:
a.
b.
c.
x 3  4 x 2  21x
x3  9x
cx 2  dy 2  cy 2  dx 2
dx  cy  dy  cx
x 3  2x 2  x  2
x2 1
d.
e.
f.
x 4  8x x 3  2 x 2  4 x

x2  4
x3  8
9x 2  4
9x 4  6x3  4x 2

3x 2  5 x  2
27 x 4  8 x
m3  8
m2  4
2. Realice las operaciones indicadas (reduzca a una fracción sencilla en términos mínimos). Recuerde que debe
hallar el mínimo común denominador (MCD):
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5 2x  1 x  5

 3
x
x2
x
t
4t
18

 2
t 3 t 3 t 9
3
4x
3x  2
 2
 2
2
x 1 2x  x  3 x  2x  1
a.
b.
c.
d.
e.
2x  1
6x
3
 2

x  4x  4 x  4 x  2
Senx
Cosx

Cosx 1  Senx
2
3.5.3 Fracciones compuestas
Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su
denominador, o en ambos.
Ejemplo No. 55
Simplifique (reduzca a la forma más sencilla)
3
3
x 1  a 1
a.
xa
b.
 ba
a
b
b  a 2
a
b
Solución:
a.
b.
 a31

xa
3
x 1
a
b
3( a 1) 3( x 1)
( x 1)( a 1)

3 a  3 3 x  3
( x 1)( a 1)

3( x  a )
( x 1)( a 1)
 
3
( x  1)(a  1)
xa
xa
xa
2
2
a b
a
b

a b
(a  b)(a  b)
b
a
 2 ab


2
2
b
ab
 a  2 a  2ab  b
( a  b)
ab
Actividad No. 13
1. Simplifique las siguiente fracciones complejas (reduzca a la forma más simple)
b a

a
b
a.
1 1

a b
1
1

b. x  2 x  3
6
1 2
x  5x  6
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Rta/ b  a
Rta/

1
x  5x
2
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2
c.
1

1
 x   1
x 2
x
x  
1
1
1
x   2 1   x  1  
x
x 
x

d.
4b 2
a b a b a b

 2

  
2
 2b   a  b a  b b  a
a2  b2
ab

2
2
ab
a  ab  2b



 1
a2  b2  a  b 

1  

1  b2
1  b

e.
2
1 a  a


 1
1  b 1  a 
a
3
x

1
3 3
f.
g.
h.
1
 1  12 



  2 x   x 2  13 a 3  x 3




a

3
x


2
3

 (3x 2 )

Rta/
1
x
Rta/
2(a  2b)
ab
Rta/
a
1 b
a3  x3
Rta/


2 xa 
2
3 3



3
1
1


1 2
1
1
1
x  1 2  2 x  
 x 2  1 2  2 x  
2
x
1 x2 1 2
2
Rta/ x  1
1 1
2x  1
1
1
2





2
2
3 x 1 6 x  x 1
3   2x  1   3
1  
 
  3  
Rta/



4
3 3
x
x
1
x 1
3
2. Despeje x en las siguientes igualdades:
a.
ax 2  bx  c  a x  t
b.
ax 2  bx  c  tx  c
c.
ax  r x  s   x  r  t
Autoevaluación No. 2
Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de
cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.
1. El resultado de la operación    x  1  x  1 es:
A.
B.
0
2x
C.
D.
2
 2x  2
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2. El resultado de la operación x 2  1  1  x 2  es:
A. 0
C.  2x 2
B. 2x 2
D. 2 x 2  2
3. El valor numérico de la expresión xy 2  1 cuando x  3 y y  2 es:
A.  11
C. 13
B.  9
D. 15
4. La expresión que representa el doble de un número más tres veces el mismo número es:
A. 5 x
C. 2 x  3x
B. 2 x  5
D. 4 x  2
2
2
5. La expresión a  b a  b es igual a:
A. a 3  b 3
C. a 3  a 2b  ab 2  b 3
B. a 3  2a 2b 2  b 3
D. a 2  a 2b  ab 2  b 2
6. La expresión x  12  1 es igual a:
A. x 2
C. x 2  2 x
B. x 2  x
D. x 2  2
7. La expresión a 4  b 4 a 4  b 4  es igual a:
A. a 8  b 8
C. a 8  2a 4b 4  b8
B. a 8  2a 4b 4  b8
D. a 8  b 8
8. Si a  3a  k   a 2  4a  3 , el valor de k es:
A.  1
C. 2
B. 1
D. 3
9. La expresión x  y   1x  y   1 es igual a:
A.
B.
x 2  2 xy  y 2  1
x2  y 2 1
C.
D.
x 2  2 xy  y 2  1
x 2  2 xy  y 2  1
10. El polinomio x 2  y 2  z 2  2 yz  2 xy  2 xz es igual a:
2
x  y  z 2
C.  x  y  z 
2
x  y  z 2
D. x  y  z 
11. La expresión x  y 2  x  y 2 es igual a:
A.
B.
A.
B.
4 xy
x2  y2
C.
D.
x2  y2
2 x 2  4 xy  2 y 2
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Página 51
12. La expresión a 2  b 2   a  b es igual a:
A. a  b
C. ab
B. a  b
D. a 2  a  b  b 2
13. El polinomio x 2  x  1 es el resultado de:
x3 1
x 1
x3  1
x 1
x3 1
A.
C.
x 1
x3 1
B.
D.
x 1
14. El residuo de la división 3x 2  2 x  1  x  1 es:


A.  1
C. 1
B. 0
D. 4
15. El factor común en el polinomio x n1  x 2 es:
A. x 2
C. x n
B. x
D. x n1
16. La expresión xm  1  m  1 es igual a:
A. xm  1
C. mx  1
B. mx  1
D. m  1x  1
17. La expresión x 2  2 x  1 es igual a:
A.
B.
x  12
x  12
C.
D.
x x  2 
xx  1
2
18. El trinomio x 2  5x  6 se factoriza como:
A. x  6x  1
C. x  6x  1
B. x  6x  1
D. x  6x  1
19. El trinomio 5x 2  4 x  1 se factoriza como:
A. 5x  1x  1
C. 5x  1x  1
B. 5x  1x  1
D. 4 x  1x  1
20. La expresión x 3  3x 2  3x  1 es igual a:
3
3
A. x  1
C. x  1
B. xx 3  1
D. xx 3  1
21. El binomio x 4  1 es igual a:
A. x  1x  1x 2  1 C. x  1x  1x 2  1
B. x  1x  1x 2  1 D. x  1x  1x 2  1
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22. La expresión
A.
B.
1
1
a b
es igual a:
ba
C.
D.
b
a
x
1

es igual a:
m 1 m 1
x 1
x 1
A.
C.
m 1
m 1
x
x 1
B.
D.
m
2m  2
1 1
24. La expresión  2 es igual a:
x x
1
A. 0
C.
x
1
x 1
B. 
D.
x
x2
1
25. 1  es igual a:
x
1
A. 0
C.
x
1
1
B. 
D. x 
x
x
m
x 1

26. La expresión
es igual a:
x 1 m 1
A. 1
C. m
x
m
B.
D.
m 1
xm
2
27. La expresión m es igual a:
m 1
2m
2m  2
A.
C.
m 1
m
m
m2
B.
D.
2m  2
m
23. La expresión
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