unidad 2 potenciaciÓn radicaciÓn y logaritmaciÓn

UNIDAD 2: POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN
2.1 POTENCIACIÓN
La potenciación se utiliza para expresar un producto de factores iguales. Es una operación matemática entre dos
términos denominados base y exponente.
2.1.1 Elementos de la potenciación
Si b, p, n  R , entonces en la expresión b n  p
b se denomina base.
n se denomina exponente.
p se denomina potencia.
La expresión b n se lee usualmente como « b elevado a la n ». La forma como se calcula b n varía según el
conjunto numérico al cual pertenezca el exponente:
 Cuando el exponente es un número natural ( n  N ), entonces b n equivale a multiplicar b por sí mismo n
veces. Es decir
b n  b  b   b
n veces
 Cuando el exponente es un número real negativo, es decir si n  R  , entonces b  n equivale a su inverso
multiplicativo. Es decir:
b n 
1
bn
 Cuando el exponente es una fracción irreducible de la forma
decir:
m
m
n
 Q , entonces b n equivale a un radical. Es
m
n
b  n bm
2.1.2 Signos de la potenciación
En la expresión b n  p :
 Si n es impar y b es positivo, entonces p es positivo.
 Si n es impar y b es negativo, entonces p es negativo.
 Si n es par, entonces p es positivo independientemente del signo que tenga b .
Ejemplo No. 14
Desarrolle las siguientes potencias:
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO - P otenciación, Rad. y Log.
Página 16
Resuelva las siguientes potencias:
5
a.  12 
b. 5 3

c. 2
3
4
Solución:
a.
 12 5   12   12   12   12   12  
 321
1
1
1


3
5  5  5 125
5
1
1
1
1
 3 
4
 4
2 2 2
8
2 4 4 23
b. 5 3 
c. 2
 34
2.1.3 Propiedades de la potenciación
La propiedades de la potenciación son reglas generales que permiten simplificar expresiones algebraicas:
 Producto de potencias de igual base:
Si b, m, n  R , entonces:
n
b m  b n  b m n
 Cociente de potencias de igual base:
Si b, m, n  R y b  0 entonces:
bm
 b mn
n
b
b 
b
a  b
 Potencias con exponente cero:
Si b  R y b  0 , entonces:
 a b
n
 Potencia con exponente uno:
Si b  R , entonces:
b1  b
mn
 Potencia de un producto:
Si a, b, n  R , entonces:
n
an
a

 
bn
b
b0  1
 Potencia de una potencia:
Si b, m, n  R , entonces:
m n
 Potencia de un cociente:
Si a, b, n  R y b  0 , entonces:
n
 Potencia de un cociente con exponente negativo:
Si a, b  R , n  R  y a, b  0 entonces:
a
 
b
n
b
 
a
n
Ejemplo No. 15
Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las siguientes expresiones:
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO - P otenciación, Rad. y Log.
Página 17


 2  103 2  2  105 

a. 
5
2
7

2

10

10


 2 1 ab 2 

b. 
2
 3a b 
c.
b  b
b 
k 3 k
3
 a 2b 0
 1 4
 3a b



2
2
k 5
k 2 4
 x 1  y 1 

d. 
 x y 
2
Solución:


 
 2  103 2  2 105   2 2  103 2  25  105   2 7 10 6  105  2  2 2 1011  2
 
 
 

a. 
5
2
7
5
9
 
  25 109   109 
2

10

10
2

10

 

2

2

 2 2 10 2  2 4 10 4  2  2  2  210 10 10 10
 1610000  160000
 2 1 ab 2 

b. 
2
 3a b 
3
 a 2b 0 
 1 4 
 3a b 
2
 aa 2 

 
2 
 2  3bb 

c.
b  b
b 
k 3 k
k 5
k 2 4
 x 1  y 1 

d. 
x

y


2
a9
 
63 b 3
3

3
 aa 2 
 4 
 3b 
a 6
 
32 b 4
2
2
 a3 
  3 
 6b 
3
 a3 
 4 
 3b 
2
a   a 

6b  3b 
3 3
3 3
3 2
4 2
a9
32 a 6
9a 3
a3




216b 24b
216b 9
b 8
2
2
b k  k  3 b k  5 b k  3 k b k  5 b k  3 k  k  5 b k  4 k  5



 4 k 8  b k  4 k 54 k 8  b k 3
4k  2 
4 k 8
4 k 8
b
b
b
b
2
2
1 1
  
x y

 x y 




2
 x y 


xy 


 x y 




2
2
2
 x y 

 
 x  y xy 
2
 1 
  
 xy 
2
 xy   x 2 y 2
2
2.2 RADICACIÓN
La raíz n -enésima de un número a es un número b , si y solamente si la n -ésima potencia de b es a . Es
decir:
n
a  b  bn  a
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO - P otenciación, Rad. y Log.
Página 18
2.2.1 Elementos de la radicación
Si a, b  R y n  Z  entonces en la expresión n a  b
a se denomina radicando.
n se denomina índice.
b se denomina raíz.
se denomina radical.
La expresión
n
a se lee usualmente como «raíz n -ésima de a ».
2.2.2 Signos de la radicación
Radicando: a
Índice: n
Raíz: b
Par
Impar
Par
Impar
Positiva o negativa
Positiva
No existe en R
Negativa
Positivo
Negativo
2.2.3 Potencias de base real con exponente fraccionario
Cuando el exponente de una potencia es un número racional, la potencia se convierte en un radical. Es decir, si
b  R y mn  Q , entonces:
m
n
b  n bm
Ejemplo No. 16
En cada caso exprese en forma de radical y simplifique el número, si es posible:
a.
 83
1

b. 81
c.
1
2
 252
1
Solución:
a.
 8
1
3

b. 81
1
2

1
81
c.
 25
3
3
  8   2  2   2
3
3
1
2
1
2

1
81
3

1
2
3
4

1
3
4
2

1
1

2
3
9
  25 (no existe en R )
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO - P otenciación, Rad. y Log.
Página 19
Ejemplo No. 17
En cada caso exprese el radical con exponente fraccionario y simplifique, si es posible:
a.
16y 2
b.
5
m 5 n10
c.
3
27x 6
d.
6
m12n18
Solución:
a.

b.
5
c.
3
d.
6

1
2
1
2
   2  y  2 y  4 y
m n  m n   m  n   mn
27 x  27 x   27 x   3  x  3x
m n  m n   m  n   m n
16 y  16 y
2
1
2 2
 16 y
1
5 10 5
5 10
1
6 3
6
12 18
1
2
1
12 18 6
2
1
5 5
1
3
4
1
10 5
1
6 3
1
12 6
2
2
1
3 3
1
18 6
2
2
2
3
2.2.4 Propiedades de la radicación
Las propiedades de la radicación son reglas generales que permiten simplificar radicales. Simplificar un radical es
expresarlo en su forma más simple. Un radical está simplificado si:
 El radicando no tiene ningún factor cuyo exponente sea mayor o igual que el índice.
 El exponente del radicando y el índice del radical no tienen entre sí ningún factor común distinto de 1.
 Raíz n -ésima de un número elevado a la n :
Si a  R y n  Z  , entonces:
n
an  a
 Raíz n - ésima de un producto:
Si a, b  R y n  Z  , entonces:
n
ab  n a  n b
 Raíz n - ésima de un cociente:
Si a, b  R ; n  Z  y b  0 , entonces:
n
a

b
n
a
n
b
 Raíz de una raíz:
Si a  R y m, n  Z  , entonces:
m n
a n
m
a  mn a
 Raíz n - ésima de una potencia:
Si a, m  R y n  Z  , entonces:
n
a
m
  a
n
m
a
m
n
En particular:
n
a a
1
n
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO - P otenciación, Rad. y Log.
Página 20
Ejemplo No. 18
Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las siguientes expresiones:
a.
3
64
3
4
b.
3
c.
4
 64 x 8 y 4
 2 z 12
d.
3
16 x 8 y 3 z 10
e.
3
27 x10 y 15
16 x 3 y 9
f.
  2x 
m12n18
3
2
4
Solución:
a.
b.
3
64 3 64 3

 16  3 8  2  3 8  3 2  3 2 3  3 2  23 2
3
4
4
3
12 18
m n
 m n
12 18
6
 m  n
12
6
18
6
12
6
 m n
18
6
 m2 n3
8
c.
4
8 4
4
32  4 x 8  4 y 4 4 16  2  x 4  y
 64 x 8 y 4 4 32 x 8 y 4 4 32 x y




12
4 12
 2 z 12
z 12
z3
z
z4
16  2  x 2  y 4 16  4 2 x 2 y 4 2 4  4 2 x 2 y 24 2 x 2 y




z3
z3
z3
z3
4
d.
3
16 x 8 y 3 z 10  3 16  3 x 8  3 y 3  3 z 10  3 8  2  3 x 6 x 2  3 y 3  3 z 9 z
6
3
9
3
 8 2  x  x  y  z  z  2  2  x  x  y z 3 z
3
6
 23 2 x 2 yz 3
x
3
3
3
2
2

3
3
3
9
3
3
3
e.
f.
  2x  
2
4
3
 2x 
2 4
 
 3  2 x 2
4
3
3
2
 3 z  23 2 x 2 yz 3 3 x 2 z
10 15
3 3 9
3 x xy 15
27 x10 y 15 3 27 x y
3x 3 y 5 3 x 3 x 2 y 2




33
3 9
3
3 9
3
3
16 x 3 y 9
2
2
xy
2
16 x y
2  2x y
3
3
3
4
3
 3 16 x 8  3 2 3  2 x 6 x 2  2 x
x
2
23
2x 2
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO - P otenciación, Rad. y Log.
Página 21
Actividad No. 3
Aplique las propiedades de la potenciación para simplificar las siguientes expresiones:
a.
b.
6 x 6 y 4 x 2 y 5
3x 4 y 3 xy 1
 3x 4 y 2 

c. 
3 1 
6
xy
z


d.
2 p q 
p q 
e.
 6 x 4 y 6 z 4 


6  2 
2
xy
z


f.
 15 x 4 y 3 z 2 


4 4 3 

3
x
y
z


3
31  4 1
31  4 1
3
5
4 2
4 3
2
4
Actividad No. 4
Aplique las propiedades de la radicación para simplificar las siguientes expresiones:
a.
3
b.
m14n 24 w17
3
c.
d.
w14 z 10n 8
5
64a 3
m10 y 8
4
2a 6 b 5
64a 2 b13
e.
3
128a10b11c12
f.
6
64 x12 y 23 z 50
g.
h.
81a 8 b 9
 30 x14 y 3 z 2 


4  4 10 
  6x y z 
8
2.2.5 Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando y el mismo índice.
Ejemplo No. 19
Determine si 45 , 27 , 20 y 75 son radicales semejantes.
Solución:
La simplificación de cada radical es la siguiente:

45  9  5  32  5  32  5  3 5

27  9  3  32  3  32  3  3 3
20  4  5  2  5  2  5  2 5

75  25  3  52  3  52  3  5 3

De esta manera son semejantes los radicales 3 5 , 2 5 y 3 3 , 5 3

2
2
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO - P otenciación, Rad. y Log.
Página 22
2.2.6 Operaciones con radicales
 Adición y sustracción de radicales: Para sumar o restar radicales, primero se simplifican y luego se reducen
los radicales semejantes:
Ejemplo No. 20
Sume los siguientes radicales:
a.
3
16  3 54  3 250
b. 5 252  44 36  48
c.
d.
1
 3 112
6
64ax 2  81a 2 x  144ax 2  25a 2 x
3
48  26 4  33 6  36 256
Solución:
a.
3
16  3 54  3 250  3 23  2  3 33  2  3 53  2  23 2  33 2  53 2  43 2
2
1
6
6
b. 5 252  4 36  48  3 112  5 6 2  7  44 6 2  48 2  3 4 2  7  5  6 7  4  6 4  48
 3 4 7
6
6
62
4
1
2
 30 7  4  6 
c.
48
6  12 7  30 7  4 6  8 6  12 7  18 7  4 6
6
64ax 2  81a 2 x  144ax 2  25a 2 x  82 ax 2  9 2 a 2 x  12 2 ax 2  52 a 2 x
 8x a  9a x  12 x a  5a
2
x
 14a x  4 x a
d.
3
48  26 4  33 6  36 256  3 23  6  26 4  33 6  36 2 6  4
 23 6  26 4  33 6  3  26 4
 23 6  26 4  33 6  66 4  86 4  3 6
 Multiplicación de radicales: Para multiplicar dos radicales, éstos deben tener el mismo índice.
Ejemplo No. 21
Multiplique los siguientes radicales:
a.
3
3a  3 18a 2
WI LS ON VE LÁS QUE Z y LÉ IDE R S ALCE DO - P otenciación, Rad. y Log.
Página 23
b.
3
9 x 2  3 27 x 5 y 9
c.
6
2 x 4 y16  6 32w6 x 4 y 2
d.
5
350m 6 n13  5 125m 4 n12
Solución:


a.
3
3a  3 18a 2  3 3a   18a 2  3 54a 3  3 33  2a 3  3a3 2
b.
3
9 x 2  3 27 x 5 y 9  3 9 x 2  27 x 5 y 9   3 243x 7 y 9  3 33  32 x 6 xy 9  3x 2 y 3 3 9 x
c.
6
2 x 4 y16  6 32 z 6 x 4 y 2  6 2 x 4 y16 32 z 6 x 4 y 2  6 64 x 8 y18 z 6  6 2 6 x 6 x 2 y18 z 6



2
6
1
3
 2 xy z x  2 xy zx  2 xy zx  2 xy 3 z 3 x
3 6
d.
2
3
3
350m 6 n13  5 125m 4 n12  5 350m 6 n13  125m 4 n12   5 43750m10n 25
5
 m 2 n 5 5 3125  14  m 2 n 5 5 55  14  5m 2 n 5 5 14
 División de radicales: Para dividir dos radicales, éstos deben tener el mismo índice.
Ejemplo No. 22
Divida los siguientes radicales:
a.
b.
3
3
2x 4 y 7
2
9
3m 3 n
4
3
3mn 1
3
c.
16 x 7 y 4
16m 5
4 3 8m 4
Solución:
a.
b.
c.
3
3
16 x 7 y 4
2x 4 y 7
2
9
3m 3 n
4
3
3mn 1
16 x 7 y 4 3 3 3
23 x 3
3
3

8
x
y

 23
2x 4 y 7
y3

3
x
2x
  
y
 y
6 3m 3 n 1
1

m 2 n 2  mn
1
36 3mn
6
6
1 3 16m 5 1 3 2 3  2m 1 3
2m



4
3
4
3
4
4
4
8
m
2
4 8m
3
16m 5
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Página 24
Actividad No. 5
Realice las operaciones indicadas:
a. 123 8x 2  33 x 2  73 27 x 2
f.
b. 33  24  43  81  3 375
g.

mn
 32mn
2
a x 2 a x

x3 2
c.
3x
2
 45 x 
75 x
4
7
h.
d.
125  2 180  245
i.
e.
8  12  18  27
j.


1
2
9
2

x3 2


 50
16 2m 4 n 3
4 3m 5 n 10
2.3 RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una expresión fraccionaria en la que el denominador contiene uno o varios radicales, consiste en
expresarla como una fracción equivalente sin radicales en el denominador. En la racionalización de una fracción se
distinguen dos casos:
2.3.1 Racionalización de monomios
Para racionalizar el denominador, se busca que en él quede una raíz exacta. Para tal efecto si el denominador
contiene un factor de la forma n a k , con k  n , entonces al multiplicar numerador y denominador por n a nk
desaparece el radical del denominador. Este proceso se llama racionalización del denominador.
Ejemplo No. 23
Racionalice las siguientes expresiones:
a.
3
5x
b.
2
4
c.
2x3 y 2
9x 2 y
5
3x 3
Solución:
3
a.
b.
5x

2
4
2x3 y 2
3
5x

5x
5x
2

4
2x3 y 2
3 5x


5x   5x 
4
2 3 xy 2
4
2 3 xy 2

3 5x
52 x 2

3 5x
5x
24 8 xy 2

4
2 x y  2
3
2
3
xy 2

24 8 xy 2
24 8 xy 2



4
2 xy
24 x 4 y 4
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4
8 xy 2
xy
Página 25
c.
9x 2 y
5
3x 3
9x 2 y

3x 3
5

5
34 x 2
5
34 x 2
9 x 2 y 5 34 x 2


3x  3 x 
3
5
4
2
9 x 2 y 5 34 x 2
35 x 5
5

9 x 2 y 5 34 x 2
 3xy 5 81x 2
3x
2.3.2 Racionalización de binomios
Para racionalizar una expresión fraccionaria en la cual el denominador es un binomio con raíces cuadradas, se
multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador. Dos expresiones con dos
términos cada una, se dice que son conjugadas, si y solo si, difieren en el signo del segundo término.
Ejemplo No. 24
Racionalice las siguientes expresiones:
a.
b.
c.
x
2y  x
12  2
6 2
3x  y 
x y
Solución:
a.
b.
x
2y  x
12  2
6 2



c.

3x  y 
x y

x
2y  x
12  2
6 2


2y  x
6

2y  x

 2y    x 
2  12  2 6  2 


2
 6   2
2y  x
6
x

2
2
2
2
2 xy  x
2y  x
72  24  2 6  2 2
62
72  24  2 6  2 2
62  2  22  6  2 6  2 2

4
4
6 2 2 6 2 6 2 2 4 2


4
4
3x  y 
x y

x y
x y

2

3x  y  x  y
 x   y
2
2
  3x  y 


x y
 3
x y
x y

Actividad No. 6
1. Racionalice cada una de las siguientes expresiones:
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a.
b.
c.
d.
x
9 y2
5
e.
5ab
3 3ab
5m 2
m n
8 2
f.
g.
3
3
 4m
mn
3x  y 
x y
h.
2 3
3 2 5
2 3 2
15abc
2ab 3 c 2
5
2. Simplifique cada expresión y racionalice si es necesario:
a.
b.
3 2
5 5x y
8 x7
23 6 x
3
3x
2
c.
3
4
5 8x 5 4x
y4
y2
d.
3
3x
2 y3
Actividad No. 7
1. Simplifique las siguientes expresiones:
a.
b.
  
2 a 7
3b3

4
2 x3
3. z 2 y k
3b5
2 a4
3

xk
zk
  
z k 2
x k 1 y k
c.
d.
2. Realice las siguientes operaciones:
a. 23 a 4 b 2  3a3 ab 2
b. 3 y 4 48x 5  x4 3x 5 y 4
c.
d.


6
2 b 1 a 3 a 2
3 a  2 b b 3
1 a 1
1
a 2 a

3
3

1
2
1
a 2 a
4x  3 2 y
3ab 2
1 a 1


3
4
1
2
4 x  3 10
3
 4a b

3

 3 8a 5b 4

2.4 LOGARITMACIÓN
El logaritmo en base b de un número N es n si y solamente si la n -ésima potencia de b es N . Es decir:
Logb N  n  b n  N
En otras palabras, el logaritmo del número N en base b , es el exponente al cual debe elevarse la base b para
obtener el número N .
2.4.1 Elementos de la logaritmación
Si N, b  R  y n  R entonces en la expresión Logb N  n
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Página 27
N se denomina argumento.
b se denomina base.
n se denomina logaritmo.
La expresión Logb N  n se lee usualmente como « logaritmo en base b de N »
Ejemplo No. 25
Forma exponencial
Forma logarítmica
10  1000
Log101000  3  Log 1000  3
4 2  16
Log 4 16  2
3
5
1
1
  
32
2
1
5 2 
25
Log 1
2
Log 5
1
5
32
1
 2
32
2.4.2 Propiedades logarítmicas
 Logaritmo de un producto:
Logb xy   Logb x  Logb y
 Logaritmo de un cociente:
x
Log b    Logb x  Logb y
 y
 Logaritmo de una potencia:
Logb x n  nLogb x
2.4.3 Ecuaciones de cancelación
 
Log b b n  n
b Logb n   n
Ejemplo No. 26
Aplique las propiedades anteriores para calcular los siguientes logaritmos:
a. Log 2 80  Log 2 5
b. Log 4 32  Log 4 2
c. 4Log 3 4 243
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Página 28
Solución:
a. Log 2 80  Log 2 5  Log 2 
80 
  Log 2 16  4
5
b. Log 4 32  Log 4 2  Log 4 32  4  Log 4 64  Log 4 64  3
c. 4Log 3 4 243  Log 3 4 243   Log 3 243  5
4
2.4.4 Logaritmos comunes
Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos comunes. Cuando se trabaja con logaritmos comunes no es
necesario indicar la base, por lo tanto LogN significa Log10 N . El logaritmo común de un número real positivo N
es el exponente al que se debe elevar la base 10 para obtener N . Es decir:
LogN  n  10 n  N
2.4.5 Logaritmos naturales
Los logaritmos de base e , donde e  2.7183 se denominan logaritmos naturales. Cuando se trabajan con
logaritmos naturales no es necesario indicar la base y la palabra Log se cambia por Ln , por lo tanto LnN
significa Log e N . El logaritmo natural de un número real positivo N es el exponente al que se debe elevar la base
e para obtener N . Es decir:
LnN  n  e n  N
2.4.6 Cambio de base
Para cualesquiera bases de logaritmos b y B , y cualquier número positivo N , se tiene que:
Log b N 
Log B N
Log B b
En particular:
z
LogN
Logb
LnN
Log b N 
Lnb
Log b N 
Ejemplo No. 27
Aplique cambio de base para calcular el siguiente logaritmo:
Log1000100
Solución:
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Log1000100 
Log100
2

Log1000 3
Ejemplo No. 28
Si en un inicio hay 1000 bacterias en un cultivo, y este número se duplica cada hora, entonces el número de
bacterias al cabo de t horas puede calcularse mediante la fórmula:
N  10002
t
a) ¿Cuánto tiempo tardará el cultivo en tener 30000 bacterias?
b) Obtenga el modelo logarítmico correspondiente.
Solución:
a) Se debe reemplazar a N por 30000 y despejar t . Veamos:
 
30000
 2 t  30  2 t  Log 2 30  Log 2 2t
1000
Ln30
3.4011
 Log 2 30  t  t 
 t
 t  4.9070
Ln2
0.6931
30000  10002 
t
Es decir, el cultivo tardará en tener 30000 bacterias aproximadamente en 5 horas.
b) Se debe despejar t de la ecuación N  10002t . Veamos:
N  10002 
t
 
N
 N 
t
 2 t  30  2 t  Ln
  Ln 2
1000
 1000 
 N 
 Ln
  tLn2
 1000 
 N 
Ln

 N 
 1000   t

 Log 2 
t
Ln2
 1000 
 N 

 1000 
Es decir, el modelo logarítmico correspondiente es t  Log 2 
Actividad No. 8
1. Calcule los siguientes logaritmos:
a. Log 416
c.
b. Log 21024
d.
Log10000
16
Log 2
81
3
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2. Aplique las propiedades logarítmicas para calcular los siguientes logaritmos:
a. Log 2 96  Log 2 3
b. Log 4 8  Log 4 2
c. 4Log 3 4 27
d. Log 4 4.096
3. Aplique cambio de base para calcular los siguiente logaritmos:
a. Log10010
b. Log 8 32
c.
d.
Log 3 9
Log 25125
Autoevaluación No. 1
Preguntas de selección múltiple con única respuesta: Las preguntas de este tipo constan de un enunciado y de
cuatro posibilidades de respuesta, entre las cuales se debe escoger la correcta.
2
1.
 25 x 3 y 3 
La simplificación de  2 2  es:
 5x y 
x 10
y2
A.
C.
25y 10
25x 2
B.
y 10
25x10
x10 y 10
25
D.
2. 3  2 es una solución de la ecuación:
A. x  2  0
C. x 2  6 x  5  0
B. x 2  6 x  7  0
D.  3x  2  0
3. La simplificación de 5 128x 3  y16 es:
7
A.
B.
2x 2 y 3 5 2 y
2 xy 11 5 4 xy
C.
D.
2 x16 y11 4 xy
2 x 4 y 3 5 4 xy
4. El resultado de la operación con radicales 24  12  2 3 es:
A.
B.
62 3
4 3
5. Al resolver
A.
B.
5 2mn
2
9 2mn
2
C.
D.
2 6
4 6 4 3
mn
 32mn se obtiene:
2
C.
D.
17 2mn
2
mn
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6. La simplificación de la expresión
A.
B.


7. El resultado de la operación

3
 es:
4
3 2
5
5
C.  1
D. 1
4
5

4 
3 2
x 3 y

3

x 2  3 xy  3 y 2 es:
A.
x y
C.
x  23 xy  y
B.
x  43 xy 2  y
D.
x  23 xy 2  23 x 2 y  y
8. La racionalización de la expresión
A.
B.
2
11
3 24
11
9. La expresión
A.
B.
C.

D.
2
3 2
es:
3 2 2
7
2
7
x  y-2 xy
es la racionalización de:
x y
xy  y
x y
C.
x y
D.
x y
x y
x y
x y
xy
10. La expresión 3Logb x  2Logb y en un solo logaritmo es:

A.
Logb x  y
B.
 3x 
Log b  
 2y 
3
2

C.
D.
 x3 
Log b  2 
y 
x
3
Log b  
2
 y
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