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TEMA 3: SUCESOS Y PROBABILIDAD
TEMA 3 :
SUCESOS Y PROBABILIDAD
1. ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS
1.1 ESPACIO MUESTRAL. ÁLGEBRA DE SUCESOS
1.2 FRECUENCIAS
2. PROBABILIDAD
2.1 CONCEPTO DE PROBABILIDAD
2.2 AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD
2.3 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
2.4 CONTEO DE ELEMENTOS
2.5 PROBABILIDAD CONDICIONADA
2.6 PROBABILIDAD COMPUESTA (TEOREMA DEL PRODUCTO)
2.7 PROBABILIDAD TOTAL
2.8 TEOREMA DE BAYES
2.9 INDEPENDENCIA DE SUCESOS
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TEMA 3: SUCESOS Y PROBABILIDAD
TEMA 3:
SUCESOS Y PROBABILIDAD
1. ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS
1.1 ESPACIO MUESTRAL. ÁLGEBRA DE SUCESOS
Fenómenos aleatorios
Sus características más notables son:
a) Es posible repetir el experimento indefinidamente, sin cambiar las
condiciones iniciales.
b) Una pequeña modificación en las condiciones iniciales altera el
resultado final.
c) No se puede predecir un resultado particular, pero se puede dar el
conjunto de todos los resultados posibles.
d) Si el experimento se repite un gran número de veces aparece un
modelo de regularidad.
Definición
Se dice que un experimento es aleatorio, estocástico o estadístico,
si, pudiéndose repetir indefinidamente en análogas condiciones, es
imposible predecir el resultado, aún conociendo las condiciones iniciales.
En un experimento aleatorio no conocemos el resultado hasta que se
ha realizado la prueba.
-
Ejemplos
Sacar una carta de la baraja
Lanzar un dado
Lanzar una moneda
Sacar una bola de un bombo de la lotería
NO SON EXPERIMENTOS ALEATORIOS :
- El resultado de una reacción química
- La velocidad de llegada de un cuerpo a tierra al dejarlo caer desde
una torre
Nota
Llamaremos prueba a cada realización de un experimento.
Definición
El conjunto de todos los resultados posibles a que puede dar lugar
un experimento aleatorio se llama espacio muestral. Suele representarse
por E ó  ; y diremos que es finito si el número de resultados posibles
es finito.
Definición
Dado un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E, se llama
suceso a cada uno de los subconjuntos de E.
Distinguimos los siguientes tipos de sucesos:
- Suceso simple o elemental: sólo consta de un elemento
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- Suceso compuesto: consta de dos o más elementos
- Suceso imposible : es el que nunca puede realizarse ( viene
determinado por el conjunto vacío,  )
- Suceso seguro: es el que siempre se cumple (viene determinado por
el conjunto total, E )
- Sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes : aquellos sucesos A
y B que no pueden realizarse a la vez, A  B = 
-
Ejemplo
Clarifiquemos estos conceptos con unos ejemplos:
Realizamos el experimento aleatorio “Lanzar un dado”
Espacio muestral: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Suceso simple: Sacar un 2 = { 2 }
Suceso compuesto: Sacar un número impar = { 1, 3, 5 }
Suceso imposible: Sacar un 7 = {  }
Suceso seguro: Sacar un nº menor que 7 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = E
Sucesos disjuntos: A = Sacar un nº par = { 2, 4, 6 }
B = Sacar un nº impar = { 1, 3, 5 }
Definición
Llamaremos Álgebra de sucesos al conjunto de las partes del
espacio muestral, (), o sea, al conjunto de todos los sucesos.
Nota
card () = 2 card()
Así, el número de subconjuntos que tenemos al lanzar un dado es
; y el número de subconjuntos que tenemos al tirar una moneda es 22,
veamos este último:
26
{  }  1 subconjunto
{ C } , { X }  2 subconjuntos
{ C , X } =   1 subconjunto
Total, 4 subconjuntos
4 = 22
Nota
Teniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos de E (de ),
podemos aplicarles la teoría general de conjuntos. Nos interesarán las
uniones, intersecciones, diferencias y complementarios entre conjuntos.
Propiedades de la teoría de conjuntos
- Conmutativa:
AB=BA
AB=BA
- Asociativa:
A(BC)=(AB)C
A(BC)=(AB)C
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- Leyes de Morgan:
AB = A B
A  B = A B
- Distributivas:
A(BC)=(AB)(AC)
A(BC)=(AB)(AC)
Además:
A A = 
A A = 
A – B = A B
Ejemplo
Sea el experimento aleatorio “Lanzar un dado”, y sean:
Suceso A = “sacar un número par” = { 2, 4, 6 }
Suceso B = “sacar un número mayor o igual a 4” = { 4, 5, 6 }
Se tiene :
A = { 1, 3, 5 
A  B = { 2, 4, 5, 6 
A–B={2
B = { 1, 2, 3 
A  B = { 4, 6 
B–A={5
1.2 FRECUENCIAS
Se llama frecuencia de un suceso aleatorio al número de veces que
ocurre dicho suceso al realizar un experimento. Se denota F .
Se llama frecuencia relativa de un suceso aleatorio al cociente entre
la frecuencia y el número de veces que se ha realizado el experimento.
Se denota f .
Acotaciones de las frecuencias :
Consideremos un resultado elemental del experimento aleatorio y
observemos en n realizaciones la frecuencia con que se ha presentado
este suceso, que llamaremos r.
Evidentemente : 0  Fn ( x = r )  n
Si dividimos entre n:
Por lo tanto ,
0  [ Fn ( x = r ) / n ]  1
0  fn ( x = r )  1
2. PROBABILIDAD
2.1 CONCEPTO DE PROBABILIDAD
El concepto de probabilidad se aplica a los elementos de una
población homogénea.
Supongamos una población finita con N elementos, k de los cuales
tienen la característica A. Llamaremos “probabilidad de la característica
A en la población” a la frecuencia relativa k / N. Se escribe:
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P(A)=k/N
2.2 AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMA 1 : La probabilidad del suceso seguro vale 1. P ( ) = 1.
AXIOMA 2 : La probabilidad de cualquier otro suceso S es no
negativa . P ( S )  0 .
AXIOMA 3 : La probabilidad de la unión de dos sucesos, A y B,
Mutuamente excluyentes, es la suma de sus probabilidades. Si A  B = , entonces P(AB) = P(A) + P(B)
Generalizando este último axioma:
La probabilidad de la unión de un conjunto infinito numerable de
sucesos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilidades.
P ( Ai ) =  P ( Ai ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ...........
2.3 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
De estos axiomas podemos deducir una serie de propiedades:
Propiedad 1
Si A1, A2, ......., An son sucesos disjuntos dos a dos con n  2 ( o sea,
Ai  Aj =  con i  j ) , entonces :
P ( A1  A2  .......  An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ....... + P ( An )
Demostración
Es inmediata por el Axioma 3, ya que el número de sucesos que
hemos tomado es n (un nº finito ), y ya teníamos que se cumple para dos
sucesos y para una cantidad infinita numerable  se cumple para
una cantidad finita.
Propiedad 2
P (A ) = 1 – P ( A ) , siendo A un suceso cualquiera.
(Nota : A es el complementario de A ).
Demostración
A A =   P ( A A ) = P (  ) = 1
Y como A A =  AXIOMA 3 P ( A A ) = P ( A ) + P (A )
De ambas consecuencias, P(A) + P(A ) = 1  P(A ) = 1 – P ( A )
Propiedad 3
P()=0
Demostración
 =  P () = P ( )
Por la Propiedad 2, P ( ) = 1 – P (  ) = 1 – 1 = 0
Por lo tanto, P (  ) = 0 .
Propiedad 4
P ( S )  1 , siendo S un suceso cualquiera.
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Demostración
Por reducción al absurdo, supongamos que P ( S ) > 1 .
Como por la Propiedad 2 se tiene que P ( S ) + P (S ) = 1, deberá ser P ( S ) < 0 , pero esto no puede ser, ya que por el AXIOMA 2 ,
la probabilidad de cualquier suceso siempre es  0 .
Nota
Del AXIOMA 2 y de la Propiedad 4 deducimos :
0  P ( S )  1 , siendo S un suceso cualquiera.
Propiedad 5
Dados dos sucesos A y B tales que A  B  P ( A )  P ( B )
Demostración
Luego B = A  ( B A )
Además, A  ( B A ) =   A y ( B A ) son disjuntos
Por lo tanto, por el AXIOMA 3 : P ( B ) = P ( A ) + P ( B A )
Como, por el AXIOMA 1 , P ( B A )  0  P ( B )  P ( A )
Propiedad 6
 A, B   , P ( A  B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A  B )
Demostración
Intuitivamente :
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Al hacer A + B , tomamos dos veces A  B, luego para calcular lo
que queremos hemos de restar una vez A  B .
Definición
Llamaremos espacios muestrales finitos a los espacios muestrales
que provengan de experimentos para los cuales sólo existe un número
finito de resultados posibles, así  = { w1, w2, ... , wn }
En un experimento aleatorio con un espacio muestral finito, una
distribución de probabilidad se especifica asignando una probabilidad p i
a cada resultado wi  , pi = P ( { wi } ) . Debe cumplirse:
a ) pi  0
b ) P (  ) = 1   pi = 1
En estas condiciones, si A = { wi1, wi2, ... , wir }, se tiene P(A) =  pij
Definición
Llamaremos espacios muestrales simples a los espacios muestrales
finitos en los que todos los resultados son equiprobables ( tienen la misma probabilidad ) . Si  = { w1, w2, ... , wn } , entonces P({wi}) = 1 / n ,
 i = 1, ... , n
En estos espacios muestrales simples, dado un suceso A = {w1, w2,
.... , wk } con k < n se tiene:
P ( A ) = casos favorables
casos posibles
=
k
n
Esto está estrechamente relacionado con la Fórmula de Laplace:
P ( S ) = nº de elementos de S = casos favorables
nº de elementos de  casos posibles
(siendo S un suceso cualquiera )
Ejemplo
Si lanzamos una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de
obtener al menos una cara?
El espacio muestral correspondiente es  = { (C,C), (C,), (,C),
(,) } , siendo C = cara y  = cruz
Sea el suceso A = “al menos una cara” = { (C,C), (C,), (,C) }
Así, la probabilidad pedida es:
P ( A ) = casos favorables = 3
casos posibles
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2.4 CONTEO DE ELEMENTOS
A veces, contar el número de elementos puede ser difícil. Para ello
utilizaremos lo que se conoce con el nombre de combinatoria.
Llamaremos “n factorial” (o “factorial de n”), designándolo por n! , al
producto de los n primeros números naturales. Es decir, n! = 1·2·3·4· ...
....·(n-1)·n
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Nota: Se define 0! = 1
Se deducen las siguientes relaciones:
n! · (n+1) = (n+1)!
n! = (r+1)·(r+2)·(r+3)·....·(n-1)·n
r!
Suponiendo todos los elementos distintos, tenemos:
a ) Variaciones: Dados n elementos, llamaremos variaciones de orden k
a todos los conjuntos distintos que podamos formar con esos n elementos, tomados de k en k teniendo en cuenta el orden. El número de tales variaciones es Vn,k = _n!___
(n-k)!
b ) Permutaciones: Dados k elementos, llamaremos permutaciones de
orden k a todos los conjuntos distintos que podamos formar con
esos k elementos, tomados de k en k. El número de tales permutaciones es Pk = k!
c ) Combinaciones: Dados n elementos, llamaremos combinaciones de
orden k a todos los conjuntos distintos que podamos formar con
esos n elementos, tomados de k en k sin tener en cuenta el orden. Su número es igual a Cn,k = n!___ = n
k! (n-k)!
k
Se cumple la siguiente propiedad : Vn,k = Cn,k · Pk
Suponiendo que los elementos se pueden repetir, tenemos:
d ) Variaciones con repetición: A partir de n elementos distintos formamos variaciones de orden k tales que 2, 3, ...., los k elementos
pueden ser uno mismo. El número de tales variaciones, que designaremos por VRn,k , es VRn,k= nk
e ) Permutaciones con repetición: Sean k elementos, de los que k1 son
iguales entre sí, k2 son iguales entre sí, ......, kr son iguales entre sí,
con k1 + k2 + ....... + kr = k . El número de tales permutaciones es
igual a PRk ,k , .....,k =
k!____
k1!·k2!·.....·kr!
f ) Combinaciones con repetición: A partir de n elementos distintos,
formamos combinaciones de orden k tales que 2 de sus elementos, 3,...., k elementos pueden ser uno mismo. El número de tales
combinaciones es CRn,k = n + k – 1 = (n + k – 1)!
k
k! (n – 1)!
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Ejemplo:
(Problema 2.5 del libro “Problemas de Probabilidad y Estadística”,
de Floreal Gracia, Jorge Mateu y Pura Vindel , editorial Tilde)
Calcular el número de elementos del espacio muestral en cada uno
de los siguientes experimentos:
a) Una moneda se lanza cinco veces consecutivas
b) Cinco monedas se lanzan una vez
c) Se seleccionan cinco cartas, de una en una, de una baraja de 40
d) Se sacan a la vez cinco cartas de una baraja de 40
e) De una habitación en la que hay 7 personas, salen al azar, de una
en una, todas las personas
f) De una caja con 10 bombillas, con 3 defectuosas, se extraen de
una en una todas las bombillas
g) Se rellena al azar una quiniela de 14 resultados
h) Se rellena al azar una lotería primitiva
Solución:
a) Si se lanza la moneda cinco veces consecutivas se puede determinar cuál es el orden de aparición de las caras y las cruces. Por
tanto, el número de elementos vendrá dado por:
VR2,5 = 25 = 32
b) El número de elementos del espacio muestral se obtiene considerando una combinatoria con repetición: (dos posibilidades: cara o
cruz y cinco experimentos):
CR2,5 = 2 + 5 – 1 = 6 = ___6!____ = 6
5
5
5!·(6 – 5)!
c) Al importar el orden y no poder repetirse, se trata de una variación:
(40 posibilidades y 5 experimentos):
V40,5 = __40!__ = 40! = 78.960.960
(40 – 5)! 35!
d) No se repiten y no importa el orden, luego es una combinación:
C40,5 = 40 = ___40!___ = __40!__ = 658.008
5
5! ·(40 – 5)!
5! · 35!
e) Importa el orden, no se repiten y k = n:
P7 = 7! = 5.040
f) Importa el orden, existe repetición (ya que hay 3 bombillas defectuosas y 7 no defectuosas  hay más de una de cada tipo),
y k = n:
PR3,7 = _10!_ = 120
3! · 7!
g) Importa el orden y hay repetición ( 3 posibilidades y 14 experimentos ):
VR3,14 = 314 = 4.782.969
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h) No importa el orden y no se repiten:
C49,6 = 49 = __49!____ = __49!__
6
6! · (49-6)!
6! · 43!
=
13.983.816
Nota:
A la vista de los resultados obtenidos, ¿qué es más probable, acertar
una quiniela con 14 resultados o una lotería primitiva con 6 números?
2.5 PROBABILIDAD CONDICIONADA
Dados dos sucesos A y B  (), se llama probabilidad de A
condicionada a B y se escribe P ( A / B ) a la probabilidad que existe
de que ocurra el suceso A considerando que antes ha ocurrido el suceso B.
Veamos cómo calcular P ( A / B ) :
Si suponemos que ha ocurrido B, tendremos un nuevo espacio
muestral, B =   B = B , y así:
P ( A / B ) = nº de casos favorables en AB
nº de casos posibles en B
nº de casos favorables en AB
nº de casos posibles en 
= __________________________
nº de casos posibles en B
nº de casos posibles en 
Por lo tanto:
P(A/B) = P(AB)
P(B)
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=
=
P(AB)
P(B)
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Ejemplo :
En un juego de dados, hemos apostado por el 2. Se tira el dado, y
antes de ver el resultado, nos dicen que ha salido par. Hallar la probabilidad de ganar.
Sea A = {obtener un 2 al lanzar un dado}
Sea B = {obtener un nº par al lanzar un dado}
P(A)=1
6
y
P(B)= 3
6
Por la expresión de la probabilidad condicionada, P(A/B) = P(AB)
P(B)
Notar que A  B = {obtener un 2}  {obtener un nº par} =
= {obtener un 2} , por lo que P ( A  B ) = 1
6
Así, P ( A / B ) = P ( A  B ) = 1 / 6 = 1
P(B)
3/6 3
2.6 PROBABILIDAD COMPUESTA ( TEOREMA DEL PRODUCTO )
Sea un espacio muestral , dados dos sucesos A y B  () tal
que P ( A ) > 0 y P ( B ) > 0 , se cumple:
P(AB)= P(A/B)·P(B)
P(BA)= P(B/A)·P(A)
Esto es así porque por la definición de la probabilidad condicional,
P ( A / B ) = P ( B  A )  P ( B  A ) = P ( A / B ) · P ( B )
P(B)
Análogamente, P(B/A) = P(BA)  P(BA) = P(B/A) · P(A)
P(A)
Si en vez de 2 sucesos tenemos n sucesos :
Sean A1, A2, A3, A4, ..... , An   (  ) :
P[  Ai ] = P(A1)·P(A2/A1)·P(A3/A1A2)·P(A4/A1A2A3)·...·P(An/ 
A i)
Ejemplo
Supongamos que se extraen 4 bolas sin reemplazamiento de una
urna que contiene 8 rojas y 10 azules. Calcular la probabilidad de
obtener “azul, rojo, rojo, azul “
=
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P(A1R2R3A4) = P(A1)·P(R2/A1)·P(R3/A1R2)·P(A4/A1R2R3) =
10 . _8_ . _7_ . _9_ = 0,0686
18
17
16
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2.7 PROBABILIDAD TOTAL
Dado un espacio muestral  , y siendo {Ai} () /  Ai =  y
Ai Aj =   i  j , y siendo B un suceso del que se conoce P(B/Ai),
 i, se tiene que:
P(B) =  P(B/Ai) · P(Ai)
Demostración
B = (BA1)(BA2)(BA3)....(BAi)....(BAn)
Como son todos disjuntos:
P(B) = P(BA1) + P(BA2) + P(BA3) + ..... + P(BAn)
Y aplicando el Teorema del Producto:
P(B) = P(B/A1) · P(A1) + P(B/A2) · P(A2) + .... + P(B/An) · P(An) =
=  P(B/Ai) · P(Ai)
 P(B) =  P(B/Ai) · P(Ai)
Ejemplo
Dos cajas contienen cerrojos grandes y pequeños. Supongamos
que una caja contiene 30 grandes y 10 pequeños, y que la otra contiene 30 grandes y 20 pequeños. Seleccionamos una caja al azar y
extraemos un cerrojo. ¿Cuál es la probabilidad de que el cerrojo sea
pequeño?
Sean A1 = “seleccionar caja 1”
A2 = “seleccionar caja 2”
B = “seleccionar cerrojo pequeño”
P(B) = P(A1) · P(B/A1) + P(A2) · P(B/A2) = 1/2 · 10/40 + 1/2 · 20/50 =
= 0,125 + 0,2 = 0,325
2.8 TEOREMA DE BAYES
Sea  un espacio muestral.
Sean {Ai} () /  Ai =  , Ai  Aj =   i  j , conociéndose
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P(Ai)  i , P(Ai) > 0
Sea B un suceso tal que P(B) > 0 y del que se conocen P(B/Ai) i
Entonces :
P(Ai/B) = ________
P(B/Ai) · P(Ai)____________________
P(B/A1) ·P(A1) + P(B/A2) ·P(A2) + .......+ P(B/An)·P(An)
Es decir :
P(Ai/B) = __P(B/Ai) · P(Ai)__
 P(B/Ak) · P(Ak)
Demostración :
P(Ai/B) = P(Ai  B)
por la probabilidad condicionada.
P(B)
Si en el numerador aplicamos el Teorema del Producto , y en el
denominador la Probabilidad Total , queda :
P(Ai/B) = P(AiB)
P(B)
=
P(B/Ai) · P(Ai)___
 P(B/Ak) · P(Ak)
Ejemplo
Para la fabricación de un gran lote de artículos similares se utilizan
3 máquinas : M1, M2 y M3 . La máquina 1 fabrica el 20%, la máquina 2
el 30%, y la máquina 3 el 50% restante. La máquina 1 produce un 1% de
defectuosos, la máquina 2 un 2% de defectuosos y la máquina 3 un 3%.
Se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. Calcular la
probabilidad de que haya sido producido por la máquina 3.
Sean : D = “ser defectuoso”
Mi = “ser fabricado por Mi”
Así : P(M1) = 0,2
P(M2) = 0,3
P(M3) = 0,5
P(D/M1) = 0,01
P(D/M2) = 0,02
P(D/M3) = 0,03
Nos piden la probabilidad del suceso M3/D . Se cumple que M1, M2
y M3 forman una partición, por lo que:
P(M3/D) = __P(D/M3) · P(M3)_
 P(D/Mi) · P(Mi)
=
=
______ 0,03 · 0,5__________
0,01·0,2 + 0,02·0,3 + 0,0330,5
=
0,015_ = 0,6522
0,023
2.9 INDEPENDENCIA DE SUCESOS
Dos sucesos A y B son estocásticamente independientes cuando
P(A/B) = P(A) , o sea, que el hecho de que ocurra el suceso B no influye para nada en la probabilidad del suceso A .
Teorema de Caracterización :
Dos sucesos A y B son independientes sii P(AB) = P(A) · P(B)
Veámoslo :
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()
P(AB) = P(A/B) · P(B)
Si son independientes , se tiene que P(A/B) = P(B)
Uniendo ambas cosas, P(AB) = P(A) · P(B)
()
Ahora se tiene que P(AB) = P(A) · P(B)
Como P(AB) = P(A/B) · P(B) , sustituyendo :
P(A) · P(B) = P(A/B) · P(B)
Por lo tanto, P(A) = P(A/B) , y así los sucesos A y B son independientes.
Consecuencia :
P(A/B) = P(A) 
P(B/A) = P(B) .
Propiedades de la independencia estocástica :
1.- Si A y B son independientes  A y B también lo son
2.- Si A y B son independientes  A y B también lo son
3.- Si A y B son independientes  A y B también lo son
4.- Si existe implicación entre A y B  No existe independencia
(salvo que A =  ó B = )
5.- Si dos sucesos son incompatibles  No existe independencia
(salvo que P(A) = 0 ó P(B) =0)
Nota :
Diremos que tres sucesos A1, A2 y A3 son independientes si, y
sólo si, verifican las relaciones:
P(A1A2) = P(A1) · P(A2)
P(A1A3) = P(A1) · P(A3)
P(A2A3) = P(A2) · P(A3)
y
P(A1A2A3) = P(A1) · P(A2) · P(A3)
Esta definición se puede generalizar a n sucesos.
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