ProgLineal

PROGRAMACIÓN LINEAL
Puede definirse como una técnica del modelado matemático, diseñada con el fin de optimizar el empleo de los recursos
limitados, al emprender una actividad.
En todo problema de programación lineal, el planteo consiste en definir perfectamente los siguientes 3 elementos, los
dos posteriores pertenecen a la solución:
1. Identificar y escribir claramente las variables de decisión del problema. Ellas son las que dan respuesta a las
preguntas del mismo. Por lo regular se representan como
2.
3.
4.
Escribir la función objetivo como Z MAX ó Z MIN . Esta función objetivo es una ecuación de primer grado o lineal,
que se escribe en términos de las variables de decisión definidas en el paso numero 1. Generalmente se desean
maximizar funciones como utilidades, ingresos, ventas, beneficios, etc.; la minimización por lo regular se aplica
a costos, gastos, tiempo, desperdicios, pérdidas, etc.
Escribir las restricciones del problema, mismas que son impuestas por los recursos escasos con los que se
cuenta para acometer la empresa. Estos recursos escasos pueden ser dinero, tiempo, espacio, mano de obra,
materia prima, herramienta y equipo, etc.; dichas restricciones se escriben en función de las variables de
decisión definidas en el punto número 1, y pueden ser desigualdades y/o igualdades lineales.
Resolver el problema por cualquiera de los siguientes métodos:
Método
Tipo de solución
Numero de variables
Grafico
Construir graficas, identificar el área de soluciones, e
inspeccionar los vértices.
Se recomienda para
problemas con dos.
Algebraico
Convertir las desigualdades lineales en igualdades
lineales y resolver sistemas de ecuaciones lineales por
métodos algebraicos.
Se recomienda para
problemas con más de dos.
Simplex
Convertir las desigualdades lineales en igualdades
lineales y resolver sistemas de ecuaciones lineales por
métodos matriciales.
Se recomienda para
problemas con
más de dos.
Existe una gran cantidad de software disponible en el
mercado que resuelve problemas de investigación de
operaciones y generan más información de la que
podemos obtener manualmente.
Se recomienda para
problemas con muchas.
Software
5.
X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ,...
Interpretación y redacción del resultado obtenido.
1
CASOS DE DOS VARIABLES PARA METODO GRAFICO
1
Una fabrica de raquetas de obtiene una ganancia de $15.00 en cada raqueta Set Point y de $8.00 en cada raqueta
Double Fault. Para satisfacer la demanda de sus distribuidores, la producción diaria de las Double Fault debe ser
de entre 30 y 80, así como de entre 10 y 30 de las Set Point, pero para mantener una buena calidad, no debe
producir en total más de 80 por día. ¿Cuántas raquetas de cada tipo debe producir para maximizar su ganancia?
2
Un fabricante de radios de banda civil CB obtiene una ganancia de $25.00 en el modelo de lujo y de $30.00 en el
estándar. La compañía desea producir un mínimo de 80 modelos de lujo y cuando menos 100 de tipo estándar
por día. Para mantener una alta calidad, la producción total no debe exceder de 200 radios. ¿Cuántos debe
producir diariamente de cada tipo para maximizar la ganancia?
3
Dos sustancias S y T contienen cada una dos tipos de ingredientes: I y G. Una libra de S contiene 2 onzas de I y
4 onzas de G, y una libra de T contiene 2 onzas de I y 6 onzas de G. Se desea combinar las dos sustancias para
obtener una mezcla cuyo contenido sea de al menos 9 onzas de I y 20 onzas de G. Si los costos respectivos de
las sustancias S y T son de $3.00 y $4.00 por libra, ¿Qué cantidad se debe usar de cada sustancia para
minimizar el costo?
4
Una compañía papelera hace dos tipos de cuadernos. El tipo M se vende a $1.25 y el tipo N a $0.90. Los costos
de producción unitarios del tipo M y N son de $1.00 y $0.75, respectivamente. La compañía tiene la capacidad
de producir entre 2 000 y 3 000 del tipo M y entre 3 000 y 6 000 del tipo N, pero no más de 7000 unidades en
conjunto. ¿Cuántos cuadernos de cada tipo debe producir para maximizar la diferencia entre el precio de venta y
el costo de producción?
5
Una compañía cafetalera compra lotes de una mezcla de distintos tipos de grados de café y luego los clasifica en
supremo, regular e inservible. La compañía necesita cuando menos 280 toneladas del grado de suprema calidad
y no menos de 200 toneladas del regular, y puede comprar cualquier cantidad de café no clasificado a dos
proveedores A y B. En la siguiente tabla se indican los porcentajes de las clases suprema, regular e inservible
que contienen las muestras que proporcionaron cada uno de los proveedores. ¿Qué cantidad debe comprar a
cada uno para satisfacer sus necesidades a un costo mínimo, si A vende a $125 la tonelada y B a $200?
Proveedor
A
B
Supremo
20%
40%
Regular
50%
20%
Inservible
30%
40%
6
Un granjero dispone de 100 acres para sembrar dos cultivos A y B. La semilla para el cultivo A cuesta $4.00 por
acre y para el B, $6.00 por acre, y los costos totales de mano de obra respectivos son $20.00 y $10.00 por acre. El
ingreso esperado es de $110.00 por acre de la cosecha A y de $150.00 por acre de la B. ¿Cuántos acres debe
sembrar de cada cultivo para maximizar la ganancia, si no desea invertir más de $480.00 en semilla, ni más de
$1400.00 en mano de obra?
7
Una empresa emplea 2 máquinas X y Y para fabricar 2 productos A y B. La fabricación de A requiere usar la
máquina X media hora, y la de Y, 1 hora; mientras que para el producto B se usa cada máquina 2 horas. Las
ganancias por unidad de los productos A y B son de $20 y $50, respectivamente. Determine cuántas unidades
debe fabricar diariamente de cada producto para maximizar la ganancia, si la maquina X puede operar 8
horas al día, y la Y, 12 horas al día.
8
Un ganadero utiliza semanalmente por lo menos 900 Kg. de un alimento especial para ganado. El alimento
especial es una mezcla de maíz y semilla de soya. Un Kg. de maíz contiene 0.08 Kg. de proteína y 0.03 Kg. de
fibra, y cuesta $7.00.Un Kg. de semilla de soya contiene 0.5 Kg. de proteína y 0.07 Kg. de fibra, y cuesta $17.00.
Los requerimientos dietéticos semanales del alimento especial estipulan que el contenido de proteína debe ser
de por lo menos el 20% del peso total de la mezcla, y el contenido de fibra no debe de exceder el 6% del peso
total de la mezcla. Se desea hallar la mezcla de costo mínimo y el costo mínimo.
2
9
Un estudiante planea poner un puesto en una feria que dura un día y en el que venderá bolsas de cacahuates y de
dulces. Dispone de $100.00 para comprar su mercancía, cuyo costo es de $0.10 por cada bolsa de cacahuates y
de $0.20 por cada bolsa de dulces. El precio de venta será de $0.15 por la bolsa de cacahuates y de $0.26 por la
de dulces. En el puesto se pueden acomodar 500 bolsas de cacahuates y 100 bolsas de dulces. Por sus
experiencias en el pasado, sabe que no venderá más de 700 bolsas en total. Calcule el número de bolsas que
debe tener de cada producto para maximizar su ganancia. y su ganancia máxima.
10
Una pequeña ciudad desea adquirir minibuses y autobuses medianos para su sistema de transporte publico. La
ciudad no puede gastar más de $100,000 (dólares) en los vehículos ni más de $500 mensuales en mantenimiento.
El precio de los minibuses es de $10,000 cada uno y su mantenimiento cuesta en promedio $100 mensuales. Las
estimaciones correspondientes a los costos de cada autobús son de $20,000 y $75 mensuales respectivamente.
Si cada minibús puede transportar 10 pasajeros y cada autobús 15, calcule el número de minibuses y de
autobuses que se deben comprar para maximizar la capacidad de transporte de pasajeros del sistema.
11
Refiriéndose al problema anterior, el costo mensual de combustible (tomando como base 5000 millas de
servicios) para cada minibús es de $550, mientras que cada autobús consume $850 en combustible. Determine el
número de minibuses y de autobuses que se deberían comprar para minimizar los costos mensuales de
combustible si la capacidad de transporte de pasajeros del sistema debe ser cuando menos de 75.
12
Un piscicultor comprara no más de 5000 truchas y lobinas jóvenes de un vivero y las alimentara durante un año
con una dieta especial. Cada trucha consume $0.50 (de dólar) en alimento, mientras que cada lobina consume
$0.75. La cantidad total que puede gastarse en la dieta especial no debe exceder de $3000. Al terminar el año una
trucha típica pesara 2 libras y una lobina 3 libras. ¿Cuántos peces de cada clase deben mantenerse en el
estanque para que el número total de libras de pescado sea máximo al terminar el año?
13
El dietista de un hospital preparará un platillo de maíz y calabazas que proporcione al menos 3 gr. de proteínas y
no cueste más de US $0.36 por ración. Una onza de maíz proporciona 0.5 gr. de proteína y cuesta US $0.04. Una
onza de calabazas proporciona 0.25 gr. de proteínas y cuesta US $0.03. Para un buen sabor se necesitan al
menos 2 onzas de maíz y la misma cantidad de calabaza que de maíz. El numero de onzas por ración debe ser lo
más pequeño posible. Halle la combinación de maíz y calabaza que hace mínimo el tamaño de la ración.
14
15
Un contratista desea convertir un edificio en una serie de espacios para almacenar objetos personales. Para ello
construirá unidades básicas (8x10 pies), y unidades de lujo (12x10 pies), que contendrán anaqueles adicionales y
un ropero. El mercado indica que habrá al menos el doble de unidades pequeñas que grandes, y que las unidades
pequeñas se pueden rentar en US $40 mensuales, y las de lujo en US $75. Hay un máximo de 7200 pies
cuadrados para los compartimientos y no se pueden gastar más de US $30,000 en la construcción. Si el costo de
construcción de cada unidad pequeña sería de US $300, mientras que cada unidad de lujo costaría US $600,
¿Cuántas unidades de cada tipo se deben construir para maximizar los ingresos mensuales?
Un zapatero hace botas, zapatos de hombre y de mujer, y puede hacer 600 pares por unidad de tiempo. El
zapatero hizo 150 pares para hombre y 240 pares para mujer, y puede vender a lo más 100 pares para hombre y
300 pares para mujer. ¿Cuántos pares de cada tipo debe hacer para obtener la máxima ganancia, si la ganancia
en botas es de $3.00 por par; en zapatos para hombre $2.50 por par; y en zapatos para mujer $1.75 por par?
Un productor de maquinaria desea maximizar las utilidades que recibe de la fabricación de dos productos A y B.
Los tres insumos fundamentales de cada producto son acero, electricidad y horas de trabajo. En la siguiente
tabla se resumen los insumos por unidad, las fuentes disponibles y el margen de utilidad por unidad. Determina
cuál debe ser la producción mensual para maximizar la utilidad, y la utilidad máxima.
16
Producto
A
B
Total mensual
disponible
Energía (Kwh.)
200
400
20,000
Insumos
Acero (Kg.)
Mano de obra (horas)
50
5
60
8
5,000
400
Utilidad por
unidad
$ 1000
$ 2500
3
17
Una fábrica de aparatos electrónicos puede tener una producción diaria de televisores de pantalla plana mínima
de 300 y máximo de 600 unidades; en lo que se refiere a televisiones con pantalla de cristal liquido, la producción
diaria fluctúa entre 200 y 500 unidades. Para mantener una calidad optima en su producto, debe de fabricar un
máximo de 900 unidades entre ambos tipos de televisor. Cada televisor de pantalla plana le deja una utilidad de
$5000.00, y cada televisor de pantalla de cristal liquido le deja una utilidad de $7,000.00 Determine cuantos
televisores debe de fabricar diariamente de cada tipo para maximizar su utilidad, así como la correspondiente
utilidad máxima.
18
La fabrica “ACME” produce y vende (entre otras cosas) escaleras y andamios al precio de $420.00 y $680.00 la
unidad respectivamente. Cada escalera requiere de 5 unidades de aluminio, 3 horas de mano de obra y 1 unidad
de espacio; y cada andamio requiere de 4 unidades de aluminio, 3 horas de mano de obra y 2 unidades de
espacio. Para el siguiente periodo, la fábrica tendrá disponibles para emplear entre estos dos productos un
máximo de 800 unidades de aluminio, exactamente 600 horas de mano de obra, y un mínimo de 1000 unidades de
espacio. Escriba un planteamiento para resolver por programación lineal.
19
Un laboratorio de materiales para construcción cobra a $120 cada prueba de compresión a un cilindro de
concreto, y $150 por cada prueba de tensión a una varilla de acero. Dicha empresa puede diariamente ensayar a
la compresión un mínimo de 300 y máximo de 600 cilindros de concreto; en lo que se refiere a las pruebas de
tensión para varillas de acero, la cantidad diaria de pruebas fluctúa entre 200 y 500. Dicho laboratorio tiene
costos de ejecución y reporte de resultados para las pruebas de compresión en cilindros de concreto y de
tensión en varillas de acero de $50 y $40 respectivamente. Para mantener una confiabilidad optima en la calidad
de sus ensayes, debe de hacer diariamente un máximo de 900 pruebas entre ambos tipos de ensayes; pero para
mantener la rentabilidad del negocio no deberá de hacer menos de 600. En base a dicha información:
a) Escriba las variables de decisión del problema.
b) Escriba la función objetivo del problema.
c) Escriba las restricciones del problema.
d) Trace la grafica señalando el área de soluciones factibles.
e) Calcule el valor de z en cada vértice del área factible.
f) Redacte el resultado del problema.
20
Lea atentamente el siguiente enunciado: “Un taller de carpintería fabrica mesas para computadora en los
modelos Omega y Dalton, mismas que vende a los precios de $960 y $820 respectivamente. Cada unidad modelo
Omega requiere de $340 en materiales y de $160 en mano de obra; mientras que cada unidad Dalton de $310 y
$120 respectivamente. La demanda del mercado indica que se deben poner a la venta por lo menos 20 unidades
del modelo Omega y 35 de modelo Dalton; pero no mas de 60 tipo Omega ni 75 tipo Dalton. Para mantener la
rentabilidad del taller, no deben fabricarse menos de 60 unidades entre los dos modelos; pero para mantener la
calidad del producto no deben fabricarse más de 120 unidades entre los dos modelos. Se dispone de $32,000
para material y de $15,000 para mano de obra. El propietario del taller necesita saber cuantas unidades de cada
tipo debe fabricar para maximizar sus utilidades.” En base a ello, escriba un planteamiento para resolver por
programación lineal.
21
Una compañía ensambla y vende PCs, en los modelos Ultra y Mega. Cada unidad de Ultra le cuesta fabricarla
$5,500, pero la vende en $9,800; mientras que cada unidad de Mega se vende a $10,100 y le cuesta hacerla
$5,900. De sus experiencias sabe que la demanda del modelo Ultra esta entre 100 y 400 unidades, mientras que
de Mega esta entre 200 y 800 unidades; y entre ambas no debe hacer menos de 500 ni mas de 800 unidades.
1. ¿Cuántas unidades de cada modelo debe fabricar para maximizar las utilidades?
2. ¿Cuál es la utilidad máxima?
22
Lea con atención el siguiente enunciado:
“Una fábrica de aparatos electrónicos puede tener una producción diaria de televisores de pantalla plana mínima
de 300 y máximo de 600 unidades; en lo que se refiere a televisiones con pantalla de cristal liquido, la producción
diaria fluctúa entre 200 y 500 unidades. Para mantener una calidad optima en su producto, debe de fabricar un
máximo de 900 unidades entre ambos tipos de televisor. El costo de producción de un televisor de pantalla plana
es de $3,400 y el de uno de pantalla de cristal liquido es de $5,600 Cada televisor de pantalla plana se vende a
$6000 y cada televisor de pantalla de cristal liquido se vende a $10,800. La fabrica desea maximizar sus
utilidades.”
En base a dicha información escriba un planteamiento para resolver por programación lineal.
4
X1  2
23
Hallar:
X2  4
Z MIN  12X 1  7X 2 , sujeta a:
X 1  2X 2  18
3X 1  X 2  19
100X 1  60X 2  21,000
4,000X 1  800X 2  680,000
24
Hallar:
Z MAX  600X 1  1000X 2
sujeta a:
X 1  X 2  290
12X 1  30X 2  6,000
X 1, X 2  0
3X 1  6X 2  18
5 X 1  4 X 2  20
25
Hallar:
Z MIN  5X 1  2X 2
sujeta a:
8X 1  2X 2  16
7X 1  6X 2  42
X1, X 2  0
X 1  10
X2  7
26
Hallar:
Z MAX  32X 1  24X 2 , sujeta a:
4 X 1  3X 2  25
X 1  3X 2  13
X1, X 2  0
Una empresa, tiene la siguiente información de dos de sus principales departamentos:
27
Departamento de Contabilidad
Producto A Producto B
Precio venta
$ 2600
$ 3500
Costo total
$ 1700
$ 2800
Área
Corte
Ensamble
Acabado
Departamento de Producción
Producto A Producto B
Disp.
60 min
40 min
5000 min
50 min
50 min
4200 min
40 min
60 min
4500 min
Mtto.
200 min
50 min
100 min
¿Cuántas unidades de cada uno deben fabricarse para maximizar las utilidades, sí deben de fabricarse por lo
menos 20 unidades de cada uno, y no menos de 50 entre ambos?
5
CASOS CON MAS DE DOS VARIABLES PARA METODO SIMPLEX
Resuelva por el método simplex cada uno de los siguientes casos:
28
29
Z max  4x 1  3x 2  6x 3 sujeta a:
3x 1  x 2  3x 3  30
2x 1  2x 2  3x 3  40
Z max  x 1  2x 2  4x 3 sujeta a:
3x 1  x 2  5x 3  10
x 1  4x 2  x 3  8
35
Z min  2x 1  3x 2  x 3 sujeta a:
x 1  4 x 2  2x 3  8
36
Z min  3x 1  8x 2  5x 3
3x 2  4x 3  70
2x 1  2x 3  7
30
Z max  x 1  2x 2  2x 3 sujeta a:
5x 1  2x 2  3x 3  15
x 1  4x 2  2x 3  12
32
37
Z max  5x 1  3x 2  4x 3 sujeta a:
2x 1  x 2  x 3  20
3x 1  x 2  2x 3  30
Z max  2x 1  4x 2  3x 3 sujeta a:
x 1  3x 2  2x 3  30
x 1  x 2  x 3  24
Z max  2x 1  4x 2  3x 3 sujeta a:
3x 1  4 x 2  2x 3  60
2x 1  x 2  2x 3  40
38
34
x3  x4  2
x 1  300
x 2  250
Z min  18x 1  22x 2  14x 3 sujeta a:
4x 1  2x 2  2x 3  100
5x 1  3x 2  6x 3  153
39
Z min  3x 1  4x 2  8x 3
2x 1  x 2  6
40
Zmin  2x1  3x 2  2x 3 sujeta a:
x 1  4x 2  2x 3  8
41
Zmin  6x1  8x 2  16x 3
2x 1  x 2  5
x 1  3x 2  2x 3  80
Z max  x 1  x 2  x 3  x 4
x1  x 2  3
3x 1  5x 2  2x 3  70
x 3  1000
3x 1  5x 2  3x 3  60
33
sujeta a:
Z min  10x 1  8.5x 2  5x 3 sujeta a:
2x 1  1.5x 2  x 3  2000
2x 1  x 3  8
31
3 x 1  2x 2  6
sujeta a:
sujeta a:
2x 2  4 x 3  8
3x 1  2x 2  2x 3  6
sujeta a:
x 2  2x 3  4
6
Complete el primer tablero simplex que se muestra, correspondiente a un problema de maximización, y
haga el segundo, indicando las variables entrante y saliente, y el pivote:
42
8
X1
2
3
4
2
X2
4
0
1
7
X3
0
5
8
3
X4
4
6
0
0
X5
1
0
0
0
X6
0
1
0
0
X7
0
0
1
90
60
100
Un dietista planea el menú de la cena de un comedor universitario. Se servirán tres alimentos principales, todos
ellos con distinto contenido nutricional. El dietista quiere suministrar por lo menos la ración mínima diaria de tres
vitaminas en la cena. En la siguiente tabla se da el contenido vitamínico por gramo de cada tipo de alimento, el
costo de un gramo de cada alimento y la ración diaria mínima de las tres vitaminas.
43
Contenido de vitaminas en miligramos
A
B
C
2.0
0.8
0.4
1.2
0.4
2.0
0.8
1.2
0.8
290
200
210
Alimento
1
2
3
Ración diaria mínima en miligramos
Costo por
gramo
$ 0.10
$ 0.15
$ 0.12
Puede seleccionarse cualquier combinación de los tres comestibles a condición de que el tamaño de la porción
total sea de cuando menos 225 gramos.
a) Halla como estará integrado el menú del menor costo
b) Halla el costo mínimo
Tres sustancias X, Y y Z contienen cuatro ingredientes A, B, C y D. En la siguiente tabla están dados los
porcentajes de cada ingrediente y el costo por onza (en centavos de dólar) de las tres sustancias:
44
Sustancia
X
Y
Z
A
20%
20%
10%
B
10%
40%
20%
C
25%
15%
25%
D
45%
25%
45%
Costo/Onza
25
35
50
¿Cuántas onzas se deben combinar de cada sustancia para obtener, con un costo mínimo, 20 onzas con un
contenido de al menos 14% de A, 16% de B y 20% de C? ¿Cuál es el costo mínimo?
Una compañía está estudiando la adquisición de maquinaria adicional como parte de un programa de expansión
de capital. Se están examinando cuatro tipos de máquinas. La siguiente tabla especifica los atributos pertinentes
a cada una de ellas:
45
Atributo
Costo ( $ )
Metros cuadrados requeridos
Producción diaria (en unidades)
A
500,000
20
30,000
Maquina
B
C
300,000
600,000
15
25
20,000
40,000
D
800,000
28
50,000
El presupuesto total destinado al programa es de $6,000,000.00 y el espacio máximo disponible es de 290 metros
cuadrados. La empresa desea maximizar la producción que se conseguirá en la compra de las nuevas máquinas.
a) ¿Cuántas máquinas de cada clase debe comprar la compañía para alcanzar su objetivo?
b) ¿Cuál será la producción máxima?
7
46
Una compañía vende tres mezclas diferentes de cacahuates, nueces y pistaches. La mezcla A contiene
cacahuates, nueces y pistaches en la razón 4:3:3, la mezcla B los contiene en la razón 3:5:2 y la mezcla C en la
razón 5:3:2. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilogramos de cacahuates, 1200 kilogramos de nueces y 900
kilogramos de pistaches de sus fuentes de suministro. Si los costos por kilogramo de cacahuates, nueces y
pistaches son $8.00, $20.00 y $25.00, respectivamente, y el precio de venta por kilogramo de las mezclas A, B y C
son $28.00, $29.00 y $25.00, respectivamente; determina cuántos kilogramos de cada mezcla deben hacerse para
maximizar la utilidad. Halla la utilidad máxima.
47
Resuelve el problema 46, si deben mezclarse cuando menos 300 kilogramos de la mezcla B.
48
Resuelve el problema 46, si deben mezclarse cuando menos 300 kilogramos de la mezcla B y cuando más 1200
kilogramos de la C.
Una compañía posee tres minas que producen mineral de hierro de calidades alta, mediana y baja. En la siguiente
tabla se da la producción diaria por mina de las diferentes calidades de mineral y el costo diario de operación.
Mina
49
50
Calidad Alta
5
8
4
1
2
3
Producción diaria (En toneladas)
Calidad Media
Calidad Baja
4
10
4
2
8
8
Costo diario de
operación
$ 100,000.00
$ 150,000.00
$ 90,000.00
Los requerimientos de la compañía para cierto periodo de tiempo son de 150 toneladas de mineral de alta calidad,
de cuando, menos 180 toneladas de mineral de calidad mediana y de cuando menos 230 toneladas de mineral de
baja calidad.
a) Determina el programa que minimiza los costos totales de operación.
b) ¿Cuál es el costo mínimo de operación?
Resuelve el problema 49, si la mina 1 debe trabajar cuando menos 14 días.
Una compañía fabrica tres tipos de muebles para jardín: sillas, mecedoras y sofás. Cada uno de éstos artículos
requiere madera, plástico y aluminio, según se señala en la tabla adjunta:
51
Silla
Mecedora
Sofá
Madera
1u
1u
1u
Plástico
1u
1u
2u
Aluminio
2u
3u
5u
La compañía dispone de 400 u de madera, 500 u de plástico y 1450 u de aluminio. Cada silla, mecedora y sofá se
vende en $7.00, $8.00 y $12.00 respectivamente. Suponiendo que pueden venderse todos los muebles, determine
un programa de producción que permita maximizar los ingresos totales. ¿Cuáles son los ingresos máximos?
8
CASOS CON MAS DE DOS VARIABLES PARA RESOLVER CON SOFTWARE
Una oficina federal cuenta con un presupuesto de mil millones de pesos para otorgarlo como subsidio destinado
a la investigación innovadora en el campo de la búsqueda de otras formas de producir energía. Un equipo
gerencial integrado por científicos y economistas efectuó una reseña preliminar de 200 solicitudes, reduciendo
los candidatos a seis finalistas. Los seis proyectos han sido evaluados y calificados en relación con los
beneficios que se espera conseguir de ellos en los próximos 10 años. Los beneficios estimados se dan en la
siguiente tabla:
Proyecto
52
1
2
3
4
5
6
Clasificación
del proyecto
Solar
Solar
Combustibles sintéticos
Carbón
Nuclear
Geotérmico
Utilidad por peso
invertido
4.4
3.8
4.1
3.5
5.1
3.2
Nivel solicitado de financiamiento
(en millones de pesos).
220
180
250
150
400
120
Así el valor 4.4 asociado al proyecto 1, indica que por cada peso que se invierta en ese proyecto, se obtendrá una
utilidad de $ 4.40 durante los próximos diez años. La tabla muestra, además, el nivel requerido de financiamiento
(en millones de pesos). Esas cifras representan la cantidad máxima de que se dispone para cada proyecto. La
oficina federal puede conceder a cada proyecto una suma que no rebase esa cifra. Observando estas
disposiciones, el presidente ha ordenado financiar el proyecto nuclear por lo menos en el 50% de la suma
solicitada. El administrador de la dependencia gubernamental tiene mucho interés en el proyecto solar y ha
pedido que la cantidad combinada que se conceda a esos proyectos sea como mínimo de 300 millones de pesos.
El problema consiste en determinar las sumas de dinero que se otorgarán a cada proyecto con objeto de
maximizar los beneficios.
53
En el ejercicio 52, modifica el planteo si se deben cumplir, además, que cada proyecto debe recibir cuando
menos el 10% del nivel de financiamiento solicitado.
54
En el ejercicio 52, modifica el planteo si se debe cumplir, además, que la suma asignada al proyecto de
combustible de carbón tendrá que ser por lo menos igual al que se dedica a combustibles sintéticos y el
financiamiento combinado del proyecto de combustibles geotérmicos y el del proyecto de combustibles
sintéticos será cuando menos 40 millones de pesos.
Una compañía fabrica y vende cinco productos. En la tabla se dan los costos y precio de venta:
Producto
55
Costo por unidad ($)
Precio de venta ($)
A
50
70
B
80
90
C
300
350
D
25
50
E
10
12
Se tiene que producir un mínimo de 15 unidades del producto A y 10 del producto B. No se dispone de suficiente
materia prima para una producción total mayor de 75 unidades y el número de unidades de los productos C y E
debe ser igual.
a) Halla el programa de producción que da la utilidad máxima.
b) Halla la utilidad máxima.
56
En el ejercicio 55, modifica el planteo, si se dispone de materia prima suficiente para producir en total 125
unidades.
57
En el ejercicio 55, modifica el planteo, si se dispone de materia prima suficiente para producir en total 125
unidades y se deben producir cuando menos 6 unidades del producto D.
9
Una persona desea invertir $300,000.00 en una mezcla de inversiones. La siguiente tabla indica las opciones de
inversión y las tasas estimadas de rendimientos:
58
Inversión
Fondo mutualista “A”
Fondo mutualista “B”
Fondo del mercado de dinero
Bonos gubernamentales
Acciones “A”
Acciones “B”
Tasas estimadas de rendimiento (%) .
12.0
14.0
15.0
12.5
16.0
18.0
El accionista desea que por lo menos 30% de su inversión esté en bonos del gobierno. En virtud del mayor riesgo
que entrañan las dos acciones, ha estimado que la inversión combinada no rebase los $50,000.00. También tiene
la corazonada de que las tasas de interés van a seguir siendo altas y ha especificado que al menos 25% de la
inversión se haga en el fondo del mercado de dinero. Su condición final establece que la cantidad invertida en el
fondo mutualista A. no deberá ser mayor que la invertida en el fondo mutualista B. Halla como deben
programarse las inversiones para obtener el máximo rendimiento, y el máximo rendimiento.
59
En el ejercicio 58, modifica el planteo, si el inversionista desea como condición final que en cada uno de los
fondos mutualistas se debe invertir cuando menos el 5% de la inversión.
Una compañía tiene dos fábricas A y B y tres bodegas de distribución 1, 2 y 3. Una vez manufacturados los
artículos que produce la compañía los envía a las bodegas para su posterior distribución. La capacidad de
producción de las fábricas, la capacidad de las bodegas y el costo de transportar una unidad de cada fábrica a
cada bodega se dan en la tabla. Halla el costo mínimo de transporte
60
Desde la
Fabrica
A
B
Capacidad de la bodega
1
8
7
200
A la bodega
2
10
8
350
Capacidad de
la fabrica.
400
300
3
6
5
150
Una compañía tiene tres fábricas A, B y C; y cinco bodegas de distribución 1, 2, 3, 4 y 5. Una vez manufacturados
los artículos que produce la compañía los envía a las bodegas para su posterior distribución. La capacidad de
producción de las fábricas, la capacidad de las bodegas y el costo de transportar una unidad de cada fábrica a
cada bodega se dan en la siguiente tabla. Halla el costo mínimo de transporte.
61
De la
fabrica
A
B
C
Capacidad de la bodega
1
8
7
6
400
A la bodega
2
3
4
7
6
10
9
5
8
6
7
8
600 500
350
5
6
5
6
150
Capacidad de
la fabrica
800
700
500
62
Resuelve el problema 61, si la ruta de la fábrica B a la bodega 3 queda interrumpida y no puede transitarse.
63
Resuelve el problema 61, si las rutas de la fábrica B a las bodegas 3 y 5 quedan interrumpidas.
64
Una dulcería compra caramelos, chiclosos y chocolates por paquete y los mezcla para venderlos en bolsas de un
kilogramo. El paquete de caramelos de 60 Kg. le cuesta $900.00, el paquete de chiclosos de 50 Kg. le cuesta
$1,000.00 y el paquete de chocolates de 40 Kg. cuesta $2,000.00. Con el fin de incrementar la demanda de estas
bolsas, se hizo una encuesta entre los clientes de la dulcería, obteniéndose la siguiente información:

Cuando menos cada bolsa debe contener de cada clase de dulce el 10% del peso total de la bolsa.

El peso combinado de los caramelos y chiclosos no debe ser mayor que el 40% del peso total de la bolsa.

El peso combinado de los chiclosos y chocolates debe ser al menos el 30% del peso total de la bolsa.
Determina la mezcla de dulces que minimiza el costo de cada bolsa.
10
65
Resuelve el problema 64, si el costo del paquete de chicloso se reduce en 30%.
66
Resuelve el problema 64, si el costo del paquete de caramelo se incrementa en 50%.
Una compañía tiene tres fabricas A, B y C que producen semanalmente 1000, 800 y 1200 llantas, respectivamente.
Las llantas producidas se envían a los centros de distribución 1,2 y 3, para su venta a los consumidores. El
precio de venta de las llantas en los centros de distribución 1, 2 y 3 es de $540.00, $555.00 y $545.00,
respectivamente; en tanto que los costos de producción en las fábricas A, B y C son de $240.00, $248.00 y
$216.00, respectivamente. El costo de transportar una llanta de cada fábrica a cada centro de distribución, la
capacidad de producción de cada fábrica y la capacidad de almacenaje de cada centro de distribución son:
67
De la
Fabrica
A
B
C
Capacidad del centro de distribución
A los centros de distribución
1
2
3
$ 8.00
$ 10.00
$ 12.00
$ 9.00
$ 8.00
$ 7.00
$ 11.00
$ 9.00
$ 10.00
900
800
1300
Capacidad de la
fabrica.
1000
800
1200
Halla: El programa de producción y de transporte de las llantas de las fábricas a los centros de distribución de
manera que la utilidad semanal sea máxima; y la correspondiente utilidad semanal máxima.
68
Resuelve el problema 67, si la ruta de la fábrica C al centro de distribución 2 queda interrumpida por deslaves en
la carretera.
69
Resuelve el problema 67, si el centro de distribución 3, por reparaciones, sólo puede almacenar 1000 llantas.
70
Una tienda de aparatos para cómputo, vende teclados, Mouse, diademas y reguladores a los precios de $300,
$100, $150 y $200 respectivamente. Por experiencia, sabe que mensualmente debe poner a la venta por lo menos
25 teclados, por lo menos 150 mouses, un máximo de 80 diademas y un máximo de 20 reguladores. La tienda
tiene espacio para un máximo de 300 artículos. Las tendencias de los últimos meses indican que entre mouses y
diademas, no deberá haber más de 230 unidades; y que el número de reguladores deberá ser la mitad del número
de teclados. La empresa dispone mensualmente de $50,000 para la compra de: teclados, que le cuestan $240;
mouses, que son vendidos al doble del costo; diademas, que las paga a $120; y reguladores, que los compra a
$175.00. Escriba un planteamiento para resolver por programación lineal.
Una compañía tiene tres fábricas A, B y C; y cinco bodegas de distribución 1, 2, 3, 4 y 5. Una vez manufacturados
los artículos que produce la compañía los envía a las bodegas para su posterior distribución. La capacidad de
producción de las fábricas, la capacidad de las bodegas y el costo de transportar una unidad de cada fábrica a
cada bodega se dan en la siguiente tabla:
71
De la
fabrica
A
B
C
Capacidad de
la bodega
1
8
7
6
2
5
9
6
400
600
A la bodega
3
6
5
7
500
4
7
6
6
5
6
5
6
350
150
Capacidad de
la fabrica
800
700
500
Halla el programa de transporte del producto de las fábricas a las bodegas que minimicen los gastos de
transporte, si la ruta de la fábrica B a la bodega 3 está interrumpida; y calcula el costo mínimo de transporte.
72
Resuelve el problema 71, si la fábrica C, por reparaciones, sólo puede producir 1000 llantas a la semana.
11