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Definición.
Sean (E, ) un espacio topológico y B  .
Se dice que B es base de la topología , si todo A   se expresa como unión de
elementos de B, es decir;  A    A i   B tal que A =
iI
 Ai .
iI
Los subconjuntos de E que pertenecen a B se denominan abiertos básicos.
Ejemplos.
i)
ii)
iii)
iv)
En todo espacio topológico (E, ) la topología  es su propia base.
B = { B( x, ) / x  IRn y  > 0 } es una base para la topología métrica de IRn,
otra base de esta topología se consigue fijando r > 0:
Br = { B( x, ) / x  IRn y 0 <  < r } y una tercera base sería
Bℚ = { B( x, ) / x  ℚn y 0 <  }
B = { (x,   ) / x  ℚ } es base de la topología  = { (a,   ) / a  IR }.
B = { IR, ∅, (1, 3), (2, 4) } no es base de topología alguna de IR, pues de serlo
(2, 3) = (1, 3)  (2, 4) sería abierto y, por lo tanto, sería unión de conjuntos en
B, lo cual es evidentemente falso.
Con el último ejemplo se muestra que no todo subconjunto de P(E) es base de alguna
topología. La siguiente proposición muestra condiciones que deben ser satisfechas por los
subconjuntos de P(E) para ser bases.
Proposición.
Sean E un conjunto y B  P(E). Entonces:
B es base de una topología de E  B satisface las siguientes condiciones:
i)
E=
 Ai, para cierta colección AiIi   B
iI
ii)
 A, B  B existe una colección A i   B tal que A  B =
iI
 Ai.
iI
Demostración:
(): Si B es base de una topología  de E, entonces todo abierto se debe expresar
como unión de abiertos básicos, en particular E. Con esto se prueba i).
Si A, B  B, entonces A  B es abierto y debe poder ser expresado como unión de
abiertos básicos, con lo cual se ha probado ii).
(): Si B  P(E) satisface las condiciones i) y ii), entonces veremos que , el conjunto
de uniones arbitrarias de conjuntos en B unido a { ∅ } es una topología, de la cual B es
evidentemente base.
i)
ii)
∅ pertenece a  por definición y E por la condición i).
La unión de conjuntos en  es en el peor de los caso unión arbitraria de
conjuntos en .
iii)
Sean A =
 Ai
y B=
B j
iI
j J
iI




dado que A  B =  A i    B j  =




 iI 
 jJ 

 
en donde A i  y B j son subconjuntos de B,

jJ
 (A i  B j )
y puesto que la
iI
jJ
intersección de dos conjuntos en B se expresa como unión de conjuntos en
B, entonces, por la condición ii) satisfecha por B, para cada i  I y j  J la
intersección Ai  Bj es unión de conjuntos en B y A  B pertenece a .
Otro hecho es que la topología , de la cual B es base, es la menos fina entre todas las
topologías de E que contienen a B, pero la prueba de esto es un ejercicio del
problemario que se resolvió en la sesión de prácticas.
Otro subconjunto de P(E) que se debe considerar son las subbases de una topología.
Las introducimos con el siguiente resultado.
Teorema.
Sean E un conjunto y B un subconjunto de P(E).
Entonces existe una topología menos fina entre todas las que contienen a B.
Demostración:
Simplemente intersecte todas las topologías que contienen a B.
Definición.
B se dice subbase de la topología menos fina entre todas las que contienen a B.
Mientras que los subconjuntos de P(E) deben satisface ciertas condiciones para ser
bases de una topología, cualquier subconjunto de P(E) es subbase de una topología.
La topología  de la cual un subconjunto B de P(E) es subbase es
=
  en donde
F = {  /  es una topología de E y B   }, pues esta intersección de
F
topologías es precisamente la menos fina entre todas las que contienen a B. Esto
también se discutió en la sesión de prácticas.
Así mismo, si B es base de una topología, también vale:
i)
ii)
B es base de la topología menos fina entre todas las que contienen a B.
B es base de la topología  =   en donde F = {  /  es una topología de
F
E y B   }.
Ejemplos de subbases:
i)
ii)
iii)
Si (E, ) es un espacio topológico, entonces  no sólo es base, sino también
subbase de sí misma.
Toda base de una topología es también subbase de la misma topología.
Dado un conjunto E, a diferencia de las bases, todo subconjunto B de P(E)
es subbase de alguna topología. Por ejemplo, el conjunto
B = { IR, ∅, (1, 3), (2, 4) }, que ya analizamos y vimos que no es base de
topología alguna de IR es subbase de la topología de IR:
 = { IR, ∅, (1, 3), (2, 4), (2, 3), (1, 4) }.
A continuación una proposición que muestra cómo son los abiertos de la topología
generada por una subbase.
Proposición.
Sean E un conjunto y B un subconjunto de P(E).
Entonces la topología cuya subbase B es , es la formada por las uniones arbitrarias de
intersecciones finitas de subconjuntos de E que pertenecen a B.
Demostración.
Primero veremos que   P(E), cuyos elementos son las uniones arbitrarias de
intersecciones finitas de subconjuntos en B, es una topología para E.
i)
ii)
La unión vacía y la intersección vacía son iguales a ∅ y E respectivamente.
 n(i, d)


A i, j, d , en donde  iI, jJ y dD
Si para cada d  D Ad =


iI(d)  i  1

 

 n(i, d)



A i, j, d   , pues es unión arbitraria


dD
dD

iI(d)  i  1
de intersecciones finitas de subconjuntos de E que pertenecen a B.
Ai, j, d B, entonces
iii)
Si A =

Ad =
 n(i)

 A  y B=
i,
j


iI  i  1


  
 n(l )

 B  pertenecen a , entonces
k,
l


k K  l  1

 
 n(i )
  n(i)
 n(l )

  n(l )

 
 B  =
 A    B  , pues

A  B =   A i, j   
k,
l
i,
j
k,
l



 

 
 iI  i  1
 iI kK  i  1
 l 1

 kK  l  1
es unión arbitraria de intersecciones finitas de subconjuntos de E que
pertenecen a B.

 
 

Evidentemente B  , de donde B  , en donde B es la topología generada por su
subbase B. Por otro lado B  B implica que toda unión arbitraria de intersecciones
finitas de subconjuntos de E que pertenecen a B pertenece a B, es decir   B y, por
lo tanto, B = .