CUESTIONES PRÁCTICAS CORRESPONDIENTES AL TEMA 3:
1) Estimar el radio crítico de los núcleos estables de plata pura cuando tiene lugar una
solidificación homogénea. Calcular el número de átomos de plata que contienen
dichos núcleos.
rc = 2ΔGsTf/ΔHfΔT
donde rc = Radio crítico; ΔGs = Energía libre superficial (Energía que se opone a la
formación de embriones y núcleos); Tf = Temperatura de fusión; ΔHf = Calor latente de
fusión; ΔT = Cantidad de subenfriamiento a la que se ha formado el núcleo.
ΔT = 227K
ΔGs = 126*10-7 J/cm3
ΔHf = 1097 J/cm3
Tf = 1253 K
rc = 1.2498*10-7 cm
V del núcleo de rc = 4/3 Πrc3 = 8.1773*10-21 cm3
V de una celda unidad de Ag cuya estructura es FCC:
a = 0.40856 nm; nº átomos por celdilla unidad = 4
V/nº átomos = a3/4 = 1.7049*10-23 cm3/átomos
V núcleo/(V/átomos) = 479.6352 ~ 480 átomos
(comisión C del GRUPO 8)
2) Discutir el grado relativo (*) de solubilidad sólida en aluminio que los siguientes
elementos pueden presentar (para ello empléese las reglas de Hume-Rothery): cobre,
manganeso, magnesio, cinc y silicio (se necesitan los datos de la tabla de la página 139
Smith). (*) muy alto 70-100%, alto 30-70%, moderado 10-30%, bajo 1-10% y muy
bajo <1%.
De entre las cuatro reglas de Hume-Rothery que determinan la posible solubilidad
de dos o más elementos químicos (diferencia de tamaño relativo, de electronegatividad, de
valencia o de estructura cristalina), podríamos decir que la más importante y decisiva es la
concerniente al grado de parecido entre sus radios atómicos.1 Por ello, las predicciones se
hacen principalmente a partir de las diferencias de radios atómicos.
Haciendo uso de los datos de la tabla que se facilita en la página 139 Smith y de acuerdo a
la expresión siguiente:
Diferencia de radios atómicos (%)=100·(radio final-radio inicial)/radio inicial
1
Asumiendo que no existiera una diferencia enorme en alguna de las otras tres reglas.
Se puede calcular la diferencia relativa de los tamaños de los elementos Cu, Mn, Mg, Zn y
Si (radio final) respecto al Al (radio inicial). Así, por ejemplo para el sistema Al-Cu
tenemos que:
Diferencia radio atómico (%)=100·(RCu-RAl)/RAl=-10.5%
Cuanto menor sea la diferencia de radio atómico, mayor grado relativo de solubilidad
sólida. Representamos los resultados en la siguiente tabla:
Sistema
Diferencia
de Grado relativo de
radio atómico (%)
solubilidad sólida
Al – Cu
-10,5
Alto
Al – Mn
21,7
Muy bajo
Al – Mg
11,9
Moderado
Al – Zn
-7
Muy alto2
Al – Si
-18,2
Bajo
(comisión C del GRUPO 4)
3) Calcular la concentración de vacantes por metro cúbico en el equilibrio en aluminio
puro a 550ºC. Suponga que la energía de formación de una vacante en aluminio puro
es de 0.76 eV. ¿Cuál es la fracción o porcentaje de vacantes a 600ºC?
Datos adicionales: peso atómico del aluminio, Pa=26.98g/mol; densidad del aluminio,
=2.7·106 g/m3; k=8.62·10-5 eV/K, Ev=0.76eV
El número de vacantes existentes en un metal a una temperatura T determinada
viene dado por la siguiente expresión:
nv=N·C·exp(-Ev/kT) donde C=1, N es el número de posiciones reticulares del material, Ev
la energía de creación de una vacante y k la constante de Boltzmann.
Para el caso del aluminio, calculamos primero el valor de N del siguiente modo.
N A 2.7  106 g / m3  6.023 1023 atomos/ mol
N

 6.026 1028 atomos/ m3
Pa
26.98g / mol
a) Substituyendo todos los datos en la fórmula anterior, el número de vacantes en el
aluminio a una temperatura de 550ºC (823K) será: nv=1.34·1024 vacantes/m3
b) Para calcular la fracción de vacantes a una temperatura de 600ºC (873K) basta volver a
utilizar la citada expresión con el nuevo valor de la temperatura n v/N=exp(-0.76eV/
8.62·10-5 eV/K·873K)
Finalmente, nv/N=4.11·10-5
2
Si la solubilidad no es completa se debe a la diferencia de estructura cristalina
(comisión C del GRUPO 7)
4) Se desea disminuir un 1% la densidad de una pieza de hierro mediante la
introducción de vacantes en dicha pieza. Calcúlese el número de vacantes necesario
por cm3 y la temperatura a la que habría que calentar la muestra. Supóngase que la
energía de formación de una vacante para el hierro fuera 20 Kcal/mol.
Datos adicionales: peso atómico del hierro, Pa=55.85 g/mol; densidad del hierro puro,
=7.87 g/cm3; Ev=20000 cal/mol; R=1.987 cal/Kmol
Al introducir vacantes en el hierro, este material pesará menos con el mismo volumen, esto
es, tendrá una densidad menor *. En nuestro caso, la disminución de densidad es del 1%,
luego *=7.7913 g/cm3. La diferencia entre ambas densidades (hierro puro y hierro con
vacantes) se debe a las vacantes introducidas y el número de ellas se puede calcular del
siguiente modo:
 ·N A 0.0787g / cm3  6.023 1023 atomos/ mol
nv 

 8.49  1020 vacantes/ cm3
PA
55.85g / mol
El número de posiciones reticulares de la red de hierro puro se puede calcular de forma
similar a lo explicado en el problema 3. Por tanto:
N A 7.87g / cm3  6.023 1023 atomos/ mol
N

 8.49  1022 atomos/ cm3
Pa
55.85g / mol
Para crear todas aquellas vacantes, es preciso elevar la temperatura del hierro hasta cierto
valor To y enfriarlo rápidamente. Este valor se puede obtener a partir de la expresión:
nv  N exp(Ev / RTo )
Substituyendo los datos y despejando el valor de la temperatura, llegamos al resultado
To=2182.41K
(comisión C del GRUPO 5)
5) La densidad del aluminio puro es 2.69955 g/cm3. Explique cómo fabricaría una
aleación de aluminio que tuviera una densidad de 2.6450 g/cm3. Idem. si la densidad
de la aleación tuviera que ser 2.7450 g/cm3.
a) Un método para reducir la densidad del metal es introducir vacantes (véase el
problema anterior). Para conocer el número de vacantes necesario para reducir la densidad
del aluminio desde 2.69955 hasta 2.6450 g/cm3, podemos aplicar la expresión mostrada en
el ejercicio anterior:
 ·N A (2.69955 2.6450) g / cm3  6.023 1023 atomos/ mol
nv 

 1.2  1021 vacantes/ cm3
PA
27g / mol
En principio bastaría con crear el número de vacantes calculado para provocar la
disminución de la densidad del Aluminio que se pide.
Cálculo accesorio: Para estimar la temperatura a la que habría que calentar el aluminio y
formar las vacantes calculadas se puede emplear la expresión nv  N exp(Ev / RTo ) . Con
ayuda de los datos del problema 3, se llega a que To=2240.71K
b) Un método para elevar la densidad del metal es introducir cierta cantidad de otro
elemento MÁS pesado y que, obviamente, sea soluble en el aluminio. Podemos revisar los
resultados del problema 2 (solubilidad del Mg, Mn, Si, Cu y Zn en Aluminio) y, así, buscar
el candidato ideal.
- Descartamos el Mg y el Si por tener densidades menores que el aluminio.
- El Mn tiene una solubilidad muy baja en Al.
- El Cu y el Zn serían muy buenos candidatos pues son más pesados que el aluminio
y con alta solubilidad en el Al.
Si, por ejemplo, eligiéramos el Zn (=7.14 g/cm3 y Pa=65.37g/mol), la cantidad necesaria
de átomos de Zn para aumentar la densidad del Aluminio sería:
 ·N A (2.7450 2.69955) g / cm3  6.023 1023 atomos/ mol
nv 

 4.18  1020 atomosdeZn/ cm3
PA
65.37g / mol
(comisión C del GRUPO 6)
6) La fracción de vacantes respecto a los puntos de la red para cierto material es 8·10 -5
a 600ºC. ¿Cuánto valdrá dicha fracción a 1000ºC? Determinar asimismo la energía de
formación de una vacante en ese material.
Datos: nv/N=8x10-5; T=600ºC=873K; C=1; K=8.62x10-5 eV/k
Aplicamos la expresión siguiente con los datos arriba indicados: nv/N=C. exp (-Ev/KT)
8x10-5=exp(-Ev/KT) y por tanto Ev=0.70989 eV
Para la segunda parte, nv/N=exp(-0.70989/8.62x10-5 .1273) y por tanto nv/N=1.55x10-3
(comisión C del GRUPO 1)
7) Un contenedor esférico de 4 cm. de diámetro y 0.5 mm de espesor, hecho de hierro
bcc contiene nitrógeno a 700ºC. La concentración en la superficie interna es 0.05% at.
de N y en la externa es 0.002% at. de N. Calcular el gradiente de concentraciones de N
en la pared del contenedor y el número de gramos de nitrógeno que pierde el
contenedor por hora.
Datos:
Diámetro = 4 cm; Radio = 2 cm; Espesor (Δx) = 0,5 mm = 0,05 cm
Hierro (BCC): 2 átomos/celda; Parámetro de la celda bcc del hierro, a = 2,866.10-8 cm
C superficie interna = 0,05 % átomos de N; C superficie exterior = 0,002 % átomos de N
a) Calcular el gradiente de concentraciones: Δc / Δx
Calcular el número de gramos de nitrógeno que pierde el contenedor por hora.
Δc / Δx = (0,002 – 0.05)/0.05 cm = -0,96 % átomos de N/cm
Para calcular el gradiente en función de átomos/cm3.cm, hay que determinar el volumen de
la celdilla unidad:
V celda = a3 = (2,866.10-8 cm)3 = 2,35. 10-23 cm3/celda
Se tiene una C interior de 0,05 % átomos de N = (5 átomos N/10000 át Fe) x 100
Hay que ver el volumen de los 10.000 átomos de hierro:
V 10.000 áts Fe = número de celdas que hay en 104 átomos x V celda
V 10.000 áts Fe = (10.000/2) áts Fe /áts celda x 2,35. 10-23 cm3/celda = 1,175. 10-19 cm3
Con este dato se calcula la concentración de N en átomos/ cm3
Cinterior = 5 átomos de N/ 1,175. 10-19 cm3 = 4,25. 1019 áts N /cm3
Cexterior = 0,2 átomos N / 1,175. 10-19 cm3 = 1,702. 1018 áts N /cm3
Con estos datos se calcula el gradiente de concentraciones:
Δc / Δx = (1,702. 1018 – 4,25. 1019) áts N/cm3 / 0,05 cm = -8,16. 1020 áts N/cm3. cm
b) Para saber el número de gramos que se pierden por hora, hay que ver la difusión:
D = D0 .exp (-Q/RT) = 0, 0047 cm2/s exp (-18000 cal.mol-1/1,987 cal.mol-1.K-1x 973K) =
3, 64. 10-7 cm2/s
D0 = 0, 0047 cm2/s; Q= 18300 cal/mol
R= 1,987 cal/mol.K
Cuando se sabe cuanto difunde el N en hierro (bcc) se calcula el flujo:
J = - D. Δc / Δx 1ª Ley de Fick
J = -3,64. 10-7 cm2/s x (- 8,16. 1020) átsN/cm3. cm = 2, 97. 1014 átsN/cm2.s
Ahora se calcula el número de átomos de N totales = JxÁrea
Áts totales = 2, 97. 1014 átsN/cm2.s x 4xΠ x r2 = 1, 49. 1016 áts N/s
Para saber el número de gramos por hora, se hace un cambio de unidades:
1,49x1016 átsN/s x 3600 s/1H x 1/Na (áts/mol) x 14 g/mol = 0,00125 g N/hora
(comisión C del GRUPO 2)
8) Se desea fabricar un depósito esférico con un espesor de pared de 2 cm y que nos
asegure de que no se perderán más de 50 kg de hidrógeno por año. El depósito tiene
que operar a 500 ºC y puede ser fabricado con alguno de los siguientes materiales:
níquel, aluminio y cobre. ¿Cuál es el material más idóneo? Utilizar los datos de la
siguiente tabla:
Coeficiente de difusión D0 Energía de activación E*
Material
(cm2/s)
para la difusión (cal/mol)
Níquel
0,0055
8900
Aluminio
0,16
10340
9380
Cobre
0,011
El material más idóneo para fabricar el depósito será aquel que en condiciones de idéntico
tamaño y temperatura impida en mayor medida la difusión o pérdida de hidrógeno a través
de sus paredes en comparación con los otros. Esto es tanto como decir, aquel material
donde el hidrógeno se difunda menos.
El coeficiente de difusión de un elemento en un (o a través) de un material viene dado por
la expresión tipo Arrhenius:
Donde D0 es el coeficiente de difusión nominal, Q (o E*) es la
D(T )  D0 exp(Q / RT )
energía de activación, R la constante de los gases y T la temperatura. Substituyendo los
datos de la tabla en dicha expresión, se pueden calcular los coeficientes de difusión del
hidrógeno en los tres elementos metálicos y a una temperatura de 500ºC (773K). Como
ejemplo, podemos mostrar explícitamente el cálculo para el hidrógeno en el níquel:
8900cal / m ol


5
2
D(773K ) Níquel  0.005cn2 / s  exp 
  1.67  10 cm / s
 1.987cal / m olK  773K 
Del mismo modo, obtenemos:
D(773K)Aluminio=1.91·10-4cm2/s
D(773K)Cobre=2.45·10-5cm2/s
Se ve claramente que D(773K)Aluminio > D(773K)Cobre > D(773K)Níquel
Luego el Níquel es el material idóneo
(Comisión C del GRUPO 3)
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