Coordenadas cartesianas
En muchas actividades, para entender mejor un proceso, se
acostumbra presentarlo de manera gráfica; así, por ejemplo,
en economía o administración con frecuencia se dibuja una
curva
para
representar
diferentes
aspectos
como
los
incrementos y decrementos de los costos o ingresos de una
determinada compañía o el poder adquisitivo de una población
específica en un intervalo de tiempo. En ingeniería se usan
gráficas
para
mostrar
la
resistencia
de
un
determinado
material; en medicina se utilizan cardiogramas que reflejan
el funcionamiento del corazón de un individuo; en física, se
dibujan curvas para describir la trayectoria de un objeto,
como una pelota o una bala de cañón. Si bien las gráficas se
emplean con mucha frecuencia, en general su construcción no
resulta una tarea sencilla. Por ello, con el fin de ayudar a
elaborarlas
y
entenderlas
con
precisión
es
imprescindible
comprender el concepto básico sobre el que se fundan todas la
gráficas: el plano cartesiano.
PLANO CARTESIANO
1
Antes de definir el plano cartesiano1 veamos algunas de sus
aplicaciones
en
la
vida
cotidiana.
Francisco
deseaba
encontrar la calle Enrique Rebsamen. Para esto compró una
guía
con
mapa
de
la
ciudad
donde
localizó
la
calle
que
buscaba en el sector 28-I del plano 15. Al revisar el plano
notó que éste se dividía en columnas y renglones: a cada
columna se le asignaba una letra y a cada renglón un número.
Con base en esta clave se ubicó en el renglón 28 y de ahí,
horizontalmente, se recorrió hacia la derecha hasta llegar a
la columna I. En el pequeño cuadro donde se unían el renglón
y la columna señalados, encontró la calle que buscaba. En
otras palabras, para ubicar un lugar en un plano se requieren
dos datos: uno que localiza el lugar de manera vertical y el
otro, horizontal.
Otro
ejemplo
de
uso
de
coordenadas
cartesianas
es
el
siguiente: Pedro y Juan fueron a comprar boletos para el
teatro.
En
la
parte
inferior
de
los
boletos
estaban
las
indicaciones que aparecen en la figura 2.1.
Figura 2.1 Parte inferior de dos
boletos de teatro.
1
Los conceptos coordenadas cartesianas y plano cartesiano adquieren su nombre en honor al
eminente matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), quien desarrolló la
geometría analítica en el apéndice tercero de su tratado filosófico El discurso del método.
2
Esa noche, Pedro y Juan se dirigieron al teatro. Ya en él
procedieron a localizar sus respectivos lugares. Pedro buscó
en la hilera 4 el asiento número 5. En cambio, Juan no dio
importancia al orden de los números y se dirigió al asiento
número 6 de la hilera 2 y allí se acomodó. Poco después de
iniciar la función, llegó la persona que, como poseía el
boleto con esa ubicación, reclamó el sitio donde estaba Juan
quien
debió
levantarse,
lo
que
motivó
las
protestas
del
público, pues les quitaba visibilidad mientras se desplazaba
por los asientos.
Para distribuir los lugares en el boletaje, el teatro les
asignó
números
a
las
hileras
y
a
los
asientos
como
se
advierte en la figura 2.2. Es decir, igual que en el ejemplo
del
plano
de
ciudad,
para
hallar
un
lugar
específico
se
requirieron dos datos, a saber, el renglón o hilera y la
columna respectiva.
Figura
2.2
Sección
de
los
asientos
o
gradas
de
un
teatro.
3
Lo que tienen en común los ejemplos anteriores es que se
puede localizar un lugar (una calle en un plano, una butaca
en un teatro) utilizando únicamente un par de datos. Un plano
cartesiano
extiende
idealiza
una
indefinidamente
hoja
en
de
papel
cualquier
sin
grosor
dirección
que
se
sobre
el
papel. Este plano se considera formado por puntos los cuales,
aunque parezca sorprendente, también se pueden localizar e
identificar
números.
proporcionando
Para
consideran
dos
identificar
dos
rectas
datos,
los
puntos
numéricas
en
de
este
un
dispuestas
caso
dos
plano
en
se
forma
perpendicular que representan, como en los casos anteriores,
la columna y el renglón (fig. 2.3).
Figura 2.3 Rectas perpendiculares para formar un plano
cartesiano.
Figura 2.4 Plano cartesiano con
una métrica.
Después, se escoge una unidad de longitud que permita graduar
cada
recta
y
así
transformarla
en
un
eje.
A
las
rectas
graduadas se les denomina ejes y al punto de intersección,
que se denota con O, origen (fig. 2.4).
4
Una convención usual es dar el sentido siguiente a los ejes:
para el eje X, a partir de 0 los números que se ubiquen a la
derecha serán considerados como positivos; en cambio, los que
se sitúen a la izquierda, serán negativos. En el eje Y, los
números que estén arriba de 0, serán positivos y los de
abajo, negativos (fig. 2.5).
Figura 2.5 Plano cartesiano.
Así, para ubicar un punto es necesario contar con dos datos:
primero, cuánto se "camina" o recorre y en qué dirección en
el eje X y segundo, cuánto se "camina" y en cuál dirección en
el eje Y. Es importante mencionar que las asignaciones de los
ejes como X y Y es arbitraria. Así por ejemplo, es frecuente
encontrar en las ciencias sociales denotar a los ejes como
eje q y eje p o en la física como eje t y eje v o eje W y eje
Z, etc.2
2
El lector recordará que esta técnica se emplea en el popular juego “submarino” en la
educación elemental, donde frecuentemente a las columnas se les designa con letras y a los
5
Como en matemáticas la sintaxis es muy importante, se ha
establecido que la forma de escribir el lugar que ocupe, un
punto en un plano cartesiano es encerrar las
coordenadas
entre paréntesis circulares, y separando cada uno de ellas
por una coma. También se ha establecido que primero se anote
el valor en el eje
X
y después irá el que corresponde al
eje Y.
En general, a un punto ( x , y ) del plano cartesiano se le llama
pareja
ordenada,
representados
con
porque
se
variables-
trata
que
de
tienen
dos
un
números
-
orden.
Es
necesario recordar que este orden ( x , y ) es muy importante,
debido
a
que
sitúa
con
precisión
cada
punto;
así,
por
ejemplo, el punto (1 , 1) es distinto del punto (1 , 1) como se
observa en la figura 2.6.
Figura 2.6 Gráfica de los puntos (1 , 1)
y (1 , 1) .
renglones, con números.
6
Es conveniente resaltar que a las coordenadas cartesianas
también se les llama coordenadas rectangulares; a los puntos
sobre el eje X, abscisas; y a los puntos sobre el eje Y,
ordenadas (fig. 2.7).
Abscisa

(a ,b)

Ordenada
Figura 2.7 A la primer coordenada se le llama abscisa; a la
segunda ordenada.
Ejemplo 2.1
Determina las coordenadas del punto A  3 , 2 que también puede
escribirse
A   3 , 2
situado
en
el
plano
cartesiano
de
la
figura 2.8.
Figura 2.8 Punto
plano cartesiano.
A  3 , 2
en
un
Solución
7
La
respuesta
a
este
ejercicio
la
podemos
obtener
maneras. En la primera visualizamos el punto
de
dos
A   3 , 2 en el
plano (fig. 2.8).
En seguida trazamos una recta paralela al eje Y que pase por
el punto A y al ubicar el punto de intersección con el eje X
obtenemos la abscisa, que en este caso es 3 (fig. 2.9). De la
misma manera, para encontrar la ordenada trazamos un recta
paralela al eje X y al situar la intersección con el eje Y
encontramos la ordenada, que en este caso es 2 (fig. 2.10).
Figura 2.9 Al trazar una recta
paralela al eje Y sobre el
punto se localiza la abscisa
3.
Para
la
segunda
forma
basta
Figura 2.10 Al trazar una
recta paralela al eje X sobre
el punto se localiza la
ordenada 2.
recordar
que
en
el
punto
A   3 , 2 , la primera coordenada es la abscisa y la segunda la
ordenada. Entonces, la abscisa es 3 y la ordenada es 2.
Ejemplo 2.2
Dibuje en el plano el punto
 4 ,  3 .
Solución
8
Para hallar este punto en el plano, debemos notar que la
primera coordenada, llamada abscisa, es 4, lo cual significa
que a partir de 0 debemos recorrer cuatro lugares hacia la
derecha (4 es positivo) sobre el eje X (fig. 2.11).
Figura 2.11 Localización
el plano de la abscisa 4.
en Figura 2.12 En la abscisa 4
se traza una recta paralela
el eje Y.
Figura 2.13 Sobre la recta
paralela al eje Y se recorren
tres espacios para llegar a
la ordenada -3.
9
Después, sobre una recta paralela al eje Y (fig. 2.12), hay
que desplazarse tres lugares hacia abajo (-3 es negativo)
(fig. 2.13). Con esto localizamos el punto
 4 ,  3 .
Ejemplo 2.3
Dibuja un plano cartesiano que permita observar el punto de
coordenadas (7 ,  6) .
Solución
En realidad este problema ofrece múltiples soluciones, puesto
que es posible dibujar muchos planos donde sea posible
visualizar el punto (7 ,  6) . En las figuras 2.14 y 2.15 se
ofrecen dos posibles soluciones y se invita al lector a
ofrecer más.
Figura
2.14.Ubicación
punto (7 ,  6) en un plano.
del Figura
2.15.Ubicación
del
punto (7 ,  6) en otro plano.
Observación
Cuando se dibuja un plano cartesiano en un cuadro, el origen
se
puede
posicionar
en
cualquier
lugar.
Elegir
el
mejor
depende de lo que se desee ilustrar.
Definición 2.1
10
A las cuatro regiones en que los ejes cartesianos dividen un
plano, se les conoce como cuadrantes. Ellos se numeran a
partir del lugar en el cual ambas coordenadas son positivas,
y de ahí se recorre la numeración en el sentido inverso al de
las manecillas de un reloj (fig. 2.16).
Figura 2.16. Los ejes cartesianos definen
cuatro cuadrantes.
Ejemplo 2.4
Escribe un punto de abscisa 4 y ordenada -7 y señala en cuál
de los cuatro cuadrantes se encuentra.
Solución
Escribimos el punto solicitado: (4 ,  7) . Como la abscisa es
positiva y la ordenada negativa, este punto se encuentra en
el IV cuadrante.
Ejemplo 2.5
Escribe las coordenadas de los puntos que se dibujan en el
plano cartesiano de la figura 2.17.
11
Figura 2.17. Localizar puntos.
Solución
Tomemos el punto E, el cual se localiza aproximadamente en
las coordenadas abscisa  2 y ordenada  4 , lo que determina el
punto (2 ,  4) . Te invitamos a localizar los puntos restantes.
Ejemplo 2.6
Escribe tres puntos cuya ordenada sea igual a -3.
Solución
Si denotamos con y a la ordenada, se nos dice que tiene el
valor constante
y  3 . Entonces, si asignamos a la abscisa
valores en forma arbitraria,
buscamos. Por ejemplo,
se obtiene la respuesta
 2 ,  3 ,  4 ,  3 ,  0 ,  3 ,
que
etc. Éstos y
otros puntos aparecen en la figura 2.18.
12
Figura 2.18 Gráfica de puntos de
ordenada y  3 .
Ejemplo 2.7
Escribe tres puntos cuya abscisa sea igual a tres veces su
ordenada.
Solución
Denotemos por x a la abscisa
y por y a la ordenada, el
enunciado del problema nos dice que x  3 y . Así, si se asignan
valores arbitrarios a la ordenada y, obtenemos puntos como
3 , 1 ; 1 , 13  ,  3 , 1 ,
etc. Éstos puntos se dibujan en la
figura 2.19.
13
Figura 2.19 Puntos definidos con
la relación x  3 y .
Ejemplo 2.8
Escribe tres puntos cuya ordenada sea igual a dos veces su
abscisa menos tres unidades.
Solución:
Si denotamos por x a la abscisa y por y a la ordenada, el
y  2 x  3 . Así, si
enunciado del problema define la relación
asignamos
valores
determinar
los
valores
respectivos
la
abscisa
es
ejemplo,
si
arbitrarios
x  5,
a
la
abscisa,
de
la
entonces
podemos
ordenada.
la
ordenada
Por
es
y  2 x  3  2(5)  3  7 .
De esta forma establecemos un primer punto: (5 ,  7) . Calcula
los puntos restantes (fig. 2.20).
14
Figura 2.20 Gráfica de los puntos
que definen la relación y  2 x  3 .
Nota
Como
seguramente
habrá
advertido
al
observar
las
figuras
anteriores, al dibujar un plano cartesiano, el origen del
plano puede ubicarse en cualquier parte del cuadro.
Nota
Las graduación (marcas) en los ejes pueden disponerse a una
distancia arbitraria pero fija. El número correspondiente a
cada marca también es arbitrario; así una misma marca puede
corresponder a 1, a 2, a 10, a 100, etc., según como se
elija.
Definición 2.2
15
A la asignación numérica para cada eje cartesiano se le llama
escala.
Ejemplo 2.9
Los
propietarios
de
un
fraccionamiento
desean
vender
en
partes un terreno cuya forma se presenta en la figura 2.21.
Figura 2.21. Plano del terreno de un fraccionamiento que incluye nueve lotes rectangulares y uno
triangular.
Puesto que el precio por metro cuadrado es de $500.00 y los
lotes
marcados
de
1
a
9
son
rectangulares,
la
compañía
constructora no tiene problemas para calcular su extensión.
En efecto, ya que miden 25 m de frente por 66 m de fondo,
cada lote tiene un área aproximada de:
Área del lote rectangular = ALR  (25)(66)  1650 m2 .
Con este dato el ingreso por cada lote rectangular es de
$825,000.00.
El
problema
está
en
el
lote
número
10,
cuya
forma
es
triangular y se desconoce el área de dicho triángulo. Los
topógrafos que levantaron las medidas del terreno dibujaron
16
un plano con las coordenadas de los vértices de este lote.
Tales coordenadas pueden observarse en la figura 2.22.
Figura 2.22
Plano del lote triangular ampliado.
Con estos datos
la empresa constructora desea evaluar el
ingreso que obtendría por la venta de los lotes del terreno,
pero para ello es preciso calcular el área del lote 10.
Solución
Podemos
iniciar
la
resolución
de
este
problema
dibujando
aparte el triángulo que representa la superficie del lote 10
(fig. 2.23).
17
Figura 2.23. Triángulo
que representa el lote
10 del terreno.
De este triángulo (lote 10) sólo conocemos las coordenadas de
los vértices y la longitud del lado b, lado colindante con el
lote 9, que es3 66.
De la geometría euclidiana sabemos que cuando se cuenta con
la longitud de los lados de un triángulo, es posible calcular
su área mediante la fórmula de Herón:
A  s(s  a)(s  b)(s  c)
abc
es el semiperímetro, y a, b y c son los lados
2
del triángulo (fig. 2.23).
donde s 
Con
esta
información
el
problema
se
reduce
entonces
a
calcular la longitud de los lados a y c del triángulo, dadas
las coordenadas de sus vértices.
Para simplificar la solución del problema, calcularemos por
separado cada longitud. En primer término, determinaremos la
longitud de a, con la intención de extrapolar este resultado
a un método más general que nos permita calcular la siguiente
longitud de una forma más sencilla.
3
Por el momento no es necesario que escribamos la unidades (metros).
18
Situando la longitud a en un plano cartesiano se obtiene la
figura 2.24.
Figura 2.24 Segmento de recta Figura
2.25
Las
rectas
paralelas a los ejes en los
a en un plano cartesiano.
puntos extremos del segmento
forman un triángulo rectángulo de hipotenusa a.
Para encontrar la longitud del segmento a, debemos trazar por
cada uno de los dos puntos que lo definen, rectas paralelas a
cada eje cartesiano. Al hacerlo queda la figura 2.25.
Como observamos en la figura 2.25, con la intersección de
estas rectas se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa
a. Por otra parte, los lados de este triángulo son fáciles de
calcular, puesto que su longitud corresponde a la diferencia
entre
las
abscisas
y
la
diferencia
entre
las
ordenadas,
respectivamente, como se observa en la figura 2.26.
19
Figura 2.26 Triángulo rectángulo de hipotenusa a
desconocida.
En otras palabras, el problema se reduce a determinar el
valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos
23 y 67, como se observa en la figura 2.26. Esto es fácil de
resolver, puesto que, de acuerdo con el teorema de Pitágoras,
a 2  b2  c2 , luego entonces, se tiene que:
a2  (23)2  (67)2
y despejando a:
a  (23) 2  (67) 2  70.837
es decir, el lado a del triángulo que representa al lote 10
mide 70.837 m.
Nota
Aunque al resolver la ecuación a2  (23)2  (67)2 hay dos posibles
raíces ( a1  (23) 2  (67) 2  70.837 y a2   (23) 2  (67) 2  70.837 ), ya que
al elevar a1 y a2 al cuadrado resulta a 2 . En este problema
sólo se considera la raíz positiva –cuyo signo se omiteporque se trata de una magnitud, a saber, la longitud de a.
20
Antes de calcular el lado c, se haremos un paréntesis para
generalizar el resultado obtenido al calcular la distancia
entre dos puntos.
La distancia entre dos puntos es un resultado importante. Por
ello, para encontrar una fórmula con la cual se pueda obtener
esa distancia, se hará lo mismo para calcular el lado a, pero
sin fijar ningún valor a las coordenadas.
En efecto, calcular la distancia entre los puntos ( x1 , y1 ) y
( x2 , y2 ) , equivale a determinar la longitud del segmento de
recta formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) . Por ello, se
procede de la siguiente forma: primero, se dibuja el segmento
en un plano cartesiano (fig. 2.27). En seguida, en cada uno
de los puntos extremos del segmento, se trazan segmentos de
recta paralelos a los ejes cartesianos que van del punto al
eje respectivo. (Por cierto, al valor que definen las rectas
sobre cada eje se les llama proyecciones.) Al trazar las
rectas paralelas a los ejes se forma un triángulo rectángulo
cuya hipotenusa es precisamente la longitud del segmento que
se desea conocer (fig. 2.27).
21
Figura 2.27 Construcción de un triángulo rectángulo
para encontrar la longitud d de un segmento de recta.
Como
en
la
figura
2.27
hay
un
triángulo
hipotenusa d y catetos de longitud x2  x1
y
rectángulo
de
y2  y1 , al aplicar
el teorema de Pitágoras se obtiene la siguiente fórmula:
d
 x2  x1    y2  y1 
2
2
Esta fórmula representa la longitud de un segmento de recta
determinado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) .
Nota
El teorema de Pitágoras asociado a un triángulo rectángulo
señala la siguiente:
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los
catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
En otras palabras, si en un triángulo rectángulo se forman
cuadrados cuyos lados son la longitud de cada uno de los
22
lados del triángulo, resulta que la suma de las áreas de los
cuadrados
de
los
catetos
es
igual
al
área
del
cuadrado
formado con la hipotenusa (fig. 2.28).
Figura
2.28
El
teorema
de
2
2
Pitágoras establece que a  b  c2 .
Teorema 2.1
La distancia entre los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) .está dada por
d
 x2  x1    y2  y1 
2
2
.
Retomando el ejemplo 2.9, con la fórmula encontrada en el
teorema 2.1 es posible ahora calcular la longitud faltante c,
determinada por los puntos (257 , 350) y (276 , 232) . Para ello, se
sustituyen los valores de los puntos en la fórmula para d. Al
realizar las sustituciones queda:
 276  257    232  350

c

c  119.51
2
2
23
por tanto, el área del triángulo de lados a  70.387 , b  166 y
c  119.51 , que representa el lote 10 se calcula de la siguiente
forma:
Para aplicar la fórmula de Herón A  s(s  a)(s  b)(s  c) , primero
se calcula el semiperímetro s que resulta ser:
a  b  c 70.38  166  119.51

 117.94
 s
2
2
Entonces al sustituir los valores respectivos en la fórmula

A  s(s  a)(s  b)(s  c)
nos queda
177.94 177.94  70.38177.94  166177.94  119.51

A

A  3654.11 m 2
que es la superficie total del lote 10.
Con este dato el valor que se obtiene al vender el lote 10
será de: $1,827,055.00.
Nota
En el teorema 2.1, aparece la fórmula d 
 x2  x1    y2  y1 
2
2
. En
general, esta relación es independiente del cuadrante donde
se encuentren los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) . Esto se debe a que
las diferencias
 x2  x1 
2
y
 y2  y1 
2
están elevadas al cuadrado,
es decir, el resultado siempre será un número no negativo
(positivo
o
cero).
Así,
lo
menos
que
puede
valer
cada
diferencia al cuadrado es cero. Nótese también que como la
raíz
cuadrada
carece
de
signo,
esto
significa
que
es
positiva, como debe ser, puesto que la distancia d es siempre
un número no negativo.
Nota
24
Obsérvese que para calcular el valor de una longitud d, al
sustituir los valores de los puntos, no importa qué punto se
elige para ser
 x1 , y1 
o
 x2 , y2  :
el resultado no cambia. Esto
se debe a que la única alteración posible podría ocurrir en
el signo de la diferencia, pero como cada diferencia está
elevada al cuadrado, siempre son positivas (o cero), lo cual
no cambia el resultado.
Nota
Para que la fórmula de distancia sea aplicable en el plano
cartesiano, los ejes deben tener la misma escala. Cuando las
escalas en cada eje son distintas o bien denotan cantidades
de diversa índole -por ejemplo, en el eje Y, grados y en el
X, unidades de tiempo o en el eje Y, velocidad y en el eje X,
tiempo, o en el eje Y, precio y en el eje X, cantidad- la
fórmula de la distancia pierde sentido.
Definición 2.3
Se llaman proyecciones de un punto
 x , y
a los valores que
resultan de la intersección en cada eje cartesiano con las
líneas paralelas a los ejes, trazadas desde el punto
 x , y .
De acuerdo con la definición 2.3, por ejemplo, al punto
 5 , 6
se le asocian las siguientes proyecciones:


5
5 , 6 
6
5 , 6 
proyección sobre el eje X
proyección sobre el eje Y (fig. 2.29).
25
Figura 2.29. Proyecciones sobre
los ejes cartesianos.
Ejemplo 2.10
En un plano euclidiano se sitúa el segmento formado por los
puntos (2 , 3) y (7 , 8) . Resuelve los incisos que se presentan a
continuación.
a). Calcula la longitud del segmento.
b). Si pudieras mover los ejes cartesianos ¿dónde los
ubicarías para simplificar los cálculos?
c). Si pudieras mover el segmento ¿dónde lo pondrías para
simplificar los cálculos?
Solución
La resolución del inciso a es sencilla, pues es suficiente
con aplicar el resultado del teorema 2.1 y efectuar los
cálculos. Así,

d
 2  7    3  8
2
2
=
 5   5
2
2
 25  25  50  7.071
Para encontrar el resultado del inciso b, nos ayudaremos de
las siguientes figuras:
26
Figura 2.30 Segmento de recta
formado por los puntos (2 , 3) y
(7 , 8) .
Figura 2.31 Movimiento de los
ejes del plano para situar al
segmento en el origen.
En la figura 2.30 se observa el dibujo del segmento en un
plano euclidiano. Si se mueven los ejes de tal forma que el
origen quede en el punto
 2 , 3 ,
extremo del segmento, los
puntos que definen el segmento se transformarían en la
siguiente forma:
  2 , 3 
 0 , 0

  5 , 5
 7 , 8 
Por tanto, la distancia, para los nuevos puntos, será:

d  52  52  50
El inciso c se resuelve de forma similar al inciso anterior,
sólo que en este caso debe moverse el segmento.
Nota
Observe que la solución a los incisos (b) y (c) es la misma.
Es decir, mover los ejes, equivale a mover el segmento.
Nota
27
Debido a que la longitud de un segmento no cambia, aunque se
mueva o modifique la posición de los ejes, se le llama un
invariante en el plano.
Ejemplo 2.11
Considerando que las coordenadas de un extremo de un segmento
de longitud 6, son
 3 , 9 ,
determina las coordenadas del otro
extremo.
Solución
Si denotamos al punto desconocido como
 x , y ,
de acuerdo con
la fórmula de la distancia tenemos que:

d
 x  (3)    y  9
2
2
Como la distancia o longitud del segmento es 6, se tiene
 x  (3)    y  9

2
6
2
Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos al cuadrado ambos
miembros de la ecuación:


2
 x  (3)    y  9   62
2
2
 x  (3)    y  9   36
2
2
 x  3   y  9   36



2
2
Con este resultado, los valores de x y y se determinan, al
asignar un valor arbitrario a cualquiera de las dos variables
mientras se despeja la otra. Por ejemplo, si a x la asignamos
el valor de 0 tenemos que
 0  3
2
 x  3
2
  y  9   36 se transforma en
2
  y  9   36 .
2
o bien:
9   y  9   36 , que equivale a
2

 y  9
2
 36  9

 y  9
2
 27
y finalmente
28
y  9  27 ;
de donde
y  14 .19
Con lo que determinamos el punto
0 , 14.19 .
Te invitamos a asignar diferentes valores a x o a y para, de
esta forma, encontrar diferentes puntos que satisfagan la
condición inicial.
Ejercicios 2.1
1. Calcule la distancia entre los puntos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
 1 , 2 , 5 ,  9
3 ,  2 ,  3 , 9
 10 ,  92 , 85 ,  96
 7 , 12 ,  4 ,  6
 2 ,  3 y  5 , 4
 7 ,  4 y  4 ,  6
 2 , 5 y  4 , 5
 8 , 3 y  4 ,  5
2. Escriba dos puntos cuya distancia sea igual a 13.
Observación
En realidad hay varias formas de construir un plano. El
primero que se ha explicado es un plano cartesiano, en el
cual los ejes son perpendiculares y la escala en cada eje es
la misma. Sin embargo, es conveniente precisar que a este
plano se le suele llamar plano euclidiano, por lo que el
plano cartesiano es una generalización del euclidiano. Es
decir, en un plano cartesiano los ejes no son siempre
perpendiculares (pueden ser oblicuos), y la medida o escala
en cada eje puede ser distinta, tanto en tamaño de marca como
en las unidades. Por ejemplo, cuando se grafica temperatura
contra tiempo, uno de los ejes puede escalarse en segundos,
29
minutos u horas, mientras el otro puede escalarse en grados.
También es frecuente graficar volumen contra unidades, por lo
que en un eje se pone el volumen, el cual se mide en unidades
al cubo, y en el otro eje sólo unidades. En otros casos, las
marcas en el eje vertical pueden representar millares
mientras que el eje horizontal unidades, etc. En fin, cuando
el plano tiene ejes perpendiculares y éstos tienen escalas
iguales recibe el nombre de plano euclidiano; cuando sus ejes
no necesariamente son perpendiculares y es posible cambiar
las unidades y distancias en las marcas de cada uno de ellos
se llama plano cartesiano.
Cabe anotar que la fórmula de distancia sólo es válida cuando
el plano es euclidiano, es decir, cuando los ejes son
perpendiculares y la escala es la misma en cada uno de ellos;
en cambio, en el ejemplo siguiente, el 2.12, donde se
introduce la proporción de un segmento o los puntos
intermedios, el resultado es válido para un plano cartesiano
y consecuentemente para un euclidiano. Es decir, como el
plano euclidiano es un caso particular del cartesiano, todo
resultado válido en un plano euclidiano también lo será para
el plano cartesiano.
Ejemplo 2.12
Los propietarios del fraccionamiento del ejemplo 2.9, ante la
baja demanda para el lote 10, desean dividirlo en tres
partes, esperando que con esto se pueda lograr la venta del
lote mencionado. Dado que la parte del frente es la más
solicitada, dividirán el frontis en tres partes iguales. Para
calcular las respectivas proporciones, para venderlo en
30
partes, se requiere encontrar las coordenadas ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 )
que dividan el segmento formado por los puntos (234 , 283) y
(257 , 350) en un tercio y dos tercios de su longitud (fig.
2.32).
Figura 2.32. División del frontis del lote 10 del terreno a
fraccionar.
Solución
Como en el ejemplo 2.9, usaremos la geometría euclidiana para
hallar la división solicitada. Con el propósito de encontrar
relaciones geométricas que permitan resolver el problema,
dibujemos en un plano cartesiano el segmento del que se desea
encontrar las coordenadas que lo dividen en un tercio. Si en
seguida se trazan sus proyecciones hacia los ejes
cartesianos, se notará que se forman los triángulos
rectángulos
ABC
y
ADP,
como se aprecia en la figura 2.33.
31
figura 2.33 Segmento de recta formado por los puntos
(234 , 283) y (257 , 350) , y sus respectivas proyecciones
a los ejes. Sobre él un punto ( x , y ) .
De la figura 2.33 se infiere que los triángulos rectángulos
ABC
y
ADP
son semejantes por tener ángulos en común. Luego
entonces, se tiene que
AP AD

AC AB
pero, por hipótesis del problema,
AP , es 1/3 de
AC , es
decir:
AP 1

AC 3
de la primera igualdad se obtiene:
AD 1

AB 3
al despejar AD queda
1
AD    AB
3
pero como ya se sabe
AB  x2  x1  257  234  23
32
Así, para encontrar P  ( x , y) en términos de las coordenadas
conocidas
1
AD     23  7.66
 3
Sin embargo, ya que ésta es la longitud del segmento
AD a
partir del punto A, para hallar la abscisa del punto referido
es necesario sumar esta cantidad a la abscisa del primer
punto, esto es, 234.
Luego entonces, para obtener la abscisa x del punto ( x , y ) que
divide al segmento en un tercio se realiza lo siguiente:
x x
x  x1  2 1  234  7.66  241.66
3
Al realizar este mismo procedimiento para la ordenada y del
punto ( x , y ) que divide al segmento en un tercio se obtiene
también que
y  y1 
y2  y1
350  283
 283 
 283  22.33  305.33
3
3
De esta forma se establece que las coordenadas (241.66 , 305.33)
dividen en un tercio al segmento de recta formado por los
puntos (234 , 283) y (257 , 350) .
Antes de dar respuesta a la segunda pregunta planteada en
este ejemplo (determinar el punto que divide en una razón de
2/3 el segmento de recta), es conveniente generalizar el
resultado obtenido; es decir, establecer la fórmula que
determine las coordenadas de un punto ( x , y ) que divide a un
segmento en una razón r.
Para obtener las coordenadas del punto P  ( x , y) que divide al
segmento de recta formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) en
una razón r, se realiza el mismo procedimiento explicado
33
antes que consiste en trazar el segmento con las proyecciones
a los ejes cartesianos en los puntos referidos (fig. 2.34).
Figura 2.34 Figura de apoyo para encontrar las
coordenadas ( x , y ) que dividen el segmento de recta
L en una razón r.
En primer término, con la ayuda de esta figura y de la
geometría euclidiana, se establecerá el valor de la abscisa
x.
Como los triángulos rectángulos ABC y ADP son semejantes,
se tiene que:
AP AD

AC AB
pero como
AP
r
AC
entonces
34
y despejando
AD
r
AB
AD  r AB
Pero AB  x2  x1 . Luego
AD  r AB  r  x2  x1 
Pero como lo indica la igualdad, el segmento AD es una parte
del segmento AB , por lo que para obtener la coordenada x, es
necesario sumar al segmento AD  r  x2  x1  la distancia x1 (fig.
2.35).
Figura 2.35 Note que x  x1  r  x2  x1  y y  y1  r  y2  y1  .
En otras palabras, la abscisa x, del punto que divide un
segmento formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) es:
x  x1  r ( x2  x1 )  (1  r ) x1  rx2
1
Así, por ejemplo, si la razón r  , se comprueba que:
2
35
x x
1
 1
x  (1  r ) x1  rx2  1   x1  x2  1 2
2
2
 2
De igual forma se comprueba que la ordenada y, del punto P
que divide un segmento formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 )
es:
y  y1  r ( y2  y1 )  (1  r ) y1  ry2
Observación
Al operar con ecuaciones se usa de manera indiscriminada la
propiedad de que, en general, si Z  W , entonces, también se
vale decir que W  Z .
Teorema 2.2
Las coordenadas del punto P   x , y  que divide a un segmento
de recta formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) , en una razón
r
AP
son:
AC
x  x1  r ( x2  x1 )  (1  r ) x1  rx2
y  y1  r ( y2  y1 )  (1  r ) y1  ry2
con r entre 0 y 1.
Continuando con el ejemplo 2.12, para encontrar las
coordenadas del punto que divide al segmento formado por los
puntos (234 , 283) y (257 , 350) en dos tercios de su longitud; es
decir, en una razón de 2/3, se procede a aplicar el teorema
2.2. Gracias a lo que establece el teorema anterior, ya no se
necesita elaborar construcciones geométricas como las
anteriores. En efecto, los datos que se tienen son:
2
r  ; x1  234 ; x2  257 ; y1  283 ; y2  350
3
por lo que, aplicando el teorema 2.2,se obtiene las
coordenadas buscadas:
36
 2
2
x  (1  r ) x1  rx2  1   234    257  249.33
 3
3
 2
 2
y  (1  r ) y1  ry2  1   283    350  327.66
 3
 3
Por lo tanto, las coordenadas del punto que está a 2/3 del
segmento de recta solicitado son
Antes
de
finalizar
esta
 x , y    249.33 , 327.66 .
sección
se
verá
un
teorema
que
proporciona otra manera de calcular las coordenadas de un
punto intermedio a un segmento de recta y que usualmente
aparece en los libros de texto.
Ejemplo 2.13
Demuestra que las coordenadas de un punto intermedio P  ( x , y)
que divide a un segmento AC , formado por los puntos ( x1 , y1 ) y
( x2 , y2 ) , en una razón q 
AP
, también se pueden calcular
PC
mediante
x
y  qy2
x1  qx2
y y 1
1 q
1 q
con q  1
Solución
En realidad lo que probaremos es que estas fórmulas son una
consecuencia del teorema 2.2. En efecto, utilizando la figura
2.33, se sabe que
AP
,
AC
pero AC = AP + PC , por ello, al sustituir
igualdad anterior nos queda
AP
 r
AP  PC
o sea


r

r AP  PC

AC
en la
= AP ;
es decir,

r AP  rPC  AP ;

r AP  AP  rPC ;
37
AP  r  1  rPC ;
AP r


PC r  1
y por lo tanto
AP
r
 q
,

PC 1  r

Es decir, existe una relación entre q y r, expresada por la
última igualdad. En efecto,
r
q
expresa a q en función de r.
1 r
Ahora para encontrar la expresión para r, se despejará r en
ésta última ecuación. Para ello se tiene:

q 1  r   r ;
al multiplicar por q, queda

q  qr  r ;

q  r  qr ;
o
factorizando r, queda

q  r 1  q  ;
despejando r , se obtiene:
q
 r
1 q
o sea, que al sustituirla en las fórmulas del teorema 2.2,
x  x1  r ( x2  x1 ) y y  y1  r ( y2  y1 ) obtenemos:
x1 1  q    q  ( x2  x1 )
 q 
x  qx2
= 1
.
x  x1  r ( x2  x1 )  x1  
 ( x2  x1 ) =
1 q
1 q
 1 q 
Lo cual es la igualdad requerida. Análogamente, si se hubiera
partido de la igualdad:
y  y1  r ( y2  y1 ) , al sustituir r 

y
q
, se obtendría
1 q
y1  qy2
,
1 q
38
que es la fórmula requerida.
Recíprocamente, si se parte de las fórmulas
y  qy2
x  qx2
y y 1
x 1
1 q
1 q
r
al sustituir en ellas q 
, después de
1 r
cálculos correspondientes, se llega a las
realizar
los
fórmulas
que
aparecen en el teorema 2.2, lo que indicaría que las fórmulas
del teorema 2.2 son una consecuencia de las fórmulas
y  qy2
x  qx2
x 1
y y 1
.
1 q
1 q
Teorema 2.3
Las coordenadas del punto P  ( x , y) que divide a un segmento
AC , formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) , en una razón
AP
q
, están dadas por:
PC
y  qy2
x  qx2
x 1
y y 1
1 q
1 q
con q  1 .
En otras palabras, se puede usar cualquiera de las fórmulas
dadas en los teoremas 2.2 y 2.3 para calcular las coordenadas
de un punto P  ( x , y) que divide a un segmento de recta AC ,
en una razón dada, ya sea
AP
AP
o bien
.
AC
PC
Nota
Recuerde
que
el
teorema
2.3
se
refiere
a
que
el
punto
P  ( x , y) divide al segmento AC , de tal forma que
AP
 q . Esto es diferente a lo que señala el teorema 2.2,
PC
donde la razón r se forma con el cociente de los dos
segmentos formados en el segmento AC , mediante el punto
AP
 r . De aquí
P( x , y) , es decir, se refiere al cociente de
AC
que r y q estén relacionados por:
39
q
r
q
o r
1 r
1 q
Observación
En el teorema 2.2 se solicita que la razón q  1 . Esto se
x  qx2
debe a que si q  1 en el cociente x  1
, el denominador
1 q
sería cero, pero como se sabe, este resultado no se puede
p
dar, puesto que el cociente
representa el número que
q
resulta de repartir p en q partes iguales. Debido a lo
anterior, en los números reales no se permite dividir entre
0.
Ejercicios 2.2
1. Encuentre las coordenadas del punto medio de los segmentos
formados por los puntos
a)
b)
c)
d)
 2 ,  3 y  5 , 4
 7 ,  4 y  4 ,  6
 2 , 5 y  4 , 5
 8 , 3 y  4 ,  5
2. Halle las coordenadas del punto localizado a 4/5 del
segmento formado por los puntos
 2 , 5
y
 4 ,  5 .
3. Sabiendo que las coordenadas de un extremo de un segmento
de recta son
 2 , 2 ,
3 , 1
y que las coordenadas del punto medio son
encuentre las coordenadas del otro extremo del
segmento.
4. Un triángulo isósceles es aquél que tiene dos lados
iguales. Demuestre que con las coordenadas
 7 , 3
3 ,  3
,
 5 , 8
y
se forma un triángulo isósceles.
5. Si el baricentro es un punto ubicado a dos tercios de la
mediana de un triángulo y la mediana es el segmento de recta
40
que va de un vértice al punto medio del lado opuesto,
determine las coordenadas del baricentro.
Nota histórica
La geometría analítica es, sin duda alguna, el descubrimiento
matemático
cálculo.
más
Su
importante
función
del
siglo
consiste
en
XVII,
analizar
después
los
del
objetos
geométricos mediante métodos algebraicos, y viceversa. Hasta
antes de la aparición de la geometría analítica, el estudio
de los objetos geométricos seguía la pauta desarrollada por
los antiguos griegos. Curiosamente, al igual que el cálculo
el nacimiento de la geometría analítica se atribuye a dos
eminentes
matemáticos,
en
este
caso,
los
franceses
René
Descartes (1596-1650) y Pierre Fermat (1601-1665).
Descartes,
más
preocupado
por
cuestiones
filosóficas,
desarrolló la geometría analítica en el tercero y último
apéndice de su tratado filosófico El discurso del método.
Empujado por la necesidad económica y por las persecuciones
religiosas, Descartes se refugió en Suecia bajo la protección
de
una
joven
Sabedora
la
y
arrogante
reina
de
monarca,
que
la
Descartes
soberana
nunca
se
Cristina.
levantaba
temprano, debido a sus reflexiones nocturnas, le obligaba a
darle
clases
a
las
5:00
a.m.
Como
consecuencia
de
esto,
Descartes enfermó de una neumonía, la cual produjo su muerte
en Estocolmo en febrero de 1650. La notación de variables
utilizando las
exponentes
para
últimas letras
las
variables
del alfabeto,
y
la
el empleo de
denotación
de
los
41
coeficientes por las primeras letras del alfabeto, son tres
contribuciones que se deben a Descartes.
Tanto
Descartes
como
Fermat
desarrollaron
la
geometría
analítica motivados por introducir los métodos algebraicos de
François Viète (1540-1603) a la resolución de problemas de
cónicas y lugar geométrico propuestos por Apolonio (260?-200?
a.C.).
Ejemplo 2.14
Determina las coordenadas de, al menos, dos segmentos cuyo
punto medio sea
 4 , 5 .
Solución
Una respuesta a este problema consiste en fijar de manera
arbitraria las coordenadas de un punto que defina uno de los
extremos del segmento. Con ello y la longitud, podremos
obtener las coordenadas del otro punto extremo. Así, en forma
arbitraria se proponen las coordenadas del punto
 3 , 4 .
Ahora bien, podemos suponer que x1  3 y y1  4 . De acuerdo al
teorema 2.2 se tiene que:
x  (1  r ) x1  rx2
y  (1  r ) y1  ry2
donde,
en
este
caso,
 x , y    4 , 5 ,  x1 , y1   (3 , 4) ,
y
r
1
,
2
luego
1
1
4     3     x2 
2
2
1
1
5     4      y2 
2
2
Al despejar en cada caso a x2 y y2 , se tiene

8  3  x2
10  4  y2

x2  5
y2  6
42
Entonces, las coordenadas del otro extremo del segmento son
 5 , 6 .
Para comprobar este resultado, aplicamos el teorema 2.3, es
decir, que las coordenadas del punto medio estarán dadas por:
y  qy2
x  qx2
y y 1
x 1
1 q
1 q
De acuerdo con los resultados encontrados, tenemos que:
x1  3 y y1  4 ; x2  5 y y2  6 y q  1 (recuerda que q representa
la razón entre los dos segmentos que el punto produce y como
son iguales su cociente debe ser 1.
Entonces, sustituyendo estos valores, tenemos que
x  qx2 3  1 5 3   5 8
 x 1



 4
1 q
11
2
2
y  qy2 4  1 6  10
 x 1

 5
1 q
11
2
El resultado comprueba lo acertado de la respuesta.
Escala
Cuando los pintores y escultores realizan un cuadro o una
escultura de una persona, toman la nariz de referencia. Así,
la longitud el rostro será tres narices, la distancia a la
oreja dos, etc., es decir, escalan de acuerdo con la nariz.
Uno de los conceptos más importantes para la gráfica de una
función es la escala. Mediante una escala adecuada se puede
resaltar
lo
más
características
de
importante
la
curva,
de
una
ocultar
curva,
y
deformar
llegar
a
las
falsas
conclusiones, etc. Por ejemplo, en la figura 2.36 se grafica
un círculo, en las figuras 2.37, 2.38 y 2.39 se muestran las
gráficas del mismo círculo, pero con diferentes escalas.
43
Figura 2.36 Gráfica de un Figura 2.37 Gráfica de un
círculo a escala 1 en los dos círculo a escala 10 y 0.02 en
los ejes.
ejes.
Figura 2.38 Gráfica de un Figura 2.39 Gráfica de un
círculo a escala 1 y 10 en círculo a escala 100 en los
dos ejes.
los ejes.
El plano del terreno presentado en la figura 2.24 muestra un
ejemplo de la escala. Para realizarlo se tomaron las medidas
y
luego
se
escaló
un
plano
cartesiano
de
tal
forma
que
pudiera dibujarse el plano del terreno en una hoja. A cada
marca se le asoció una cantidad de 50 m, 100 m o 1000 m,
44
dependiendo de las longitudes asociadas al terreno. A este
proceso de redefinir una escala en un plano cartesiano se
llama escalamiento y es muy importante para poder realizar la
gráfica de cualquier figura.
Ejemplo 2.15
Señala que se debería hacer con el plano de la figura 2.40 si
se desea graficar el punto (8 , 10) :
a) Cambiar la escala.
b) Modificar el origen.
c) Ambos, es decir, cambiar escala y modificar el origen.
Figura 2.40. Plano cartesiano
Solución
Este problema es curioso, porque cualesquiera de las tres
respuestas es correcta.
Iniciemos con la respuesta al inciso a. Por ejemplo, si se
modifica la escala se puede proponer ahora que cada marca sea
de dos unidades o tres, o proponer escalas diferentes en los
ejes como se muestran en las figuras 2.41, 2.42, 2.43 y 2.44.
45
Figura 2.41 Gráfica del punto Figura 2.42 Gráfica del punto
(8 , 10) en un plano con escala (8 , 10) en un plano con escala
en el eje X de 2 y eje Y de 2. en el eje X de 3 y eje Y de 3.
Figura 2.43 Gráfica del punto Figura 2.44 Gráfica del punto
(8 , 10) en un plano con escala (8 , 10) en un plano con escala
en el eje X de 5 y eje Y de en el eje X de 10 y eje Y de
5.
10.
Observación
Aunque las coordenadas son fijas, la posición del punto
cambia al usar otra escala en los ejes.
46
Nota
Observe que se han elegido en las figuras 2.43 y 2.44 escalas
diferentes para cada eje cartesiano.
Ahora se dará respuesta al inciso b, es decir, ubicar el
punto modificando el origen.
En este caso se puede cambiar el origen hacia el extremo
derecho inferior, de tal forma que el punto a graficar sea
visible, como se muestra en las figuras 2.45 y 2.46.
Figura 2.45 El
origen
permite
punto (8 , 10) .
traslado
dibujar
del
el
Figura 2.46 Traslado de origen
que permite dibujar (8 , 10) .
El tercer caso se deja como ejercicio al lector. (Sugerencia:
Este caso es una combinación de los casos a y b).
Observación
La elección de una escala adecuada para graficar curvas,
segmentos o rectas es muy importante, puesto que una mala
47
elección de escala puede ocultar información importante o
conducir a falsas conclusiones.
Ejemplo 2.16
En un plano con origen en el centro, determina cómo se ve el
segmento formado por los puntos (2 , 3) y (8 , 7) en un plano con
las siguientes escalas:
a) Una unidad por cada marca en cada eje.
b) 10 por cada marca, en ambos ejes.
c) 1000 por cada marca, en los dos ejes.
d) De una unidad en el eje X y de 10 unidades por marca en
el eje Y.
e) De una unidad en el eje Y y de 10 en el eje X.
Solución
Se construye en cada caso el plano y el segmento, con la
escala señalada y se aprecia cómo la interpretación es muy
diferente con diferentes escalas (figs. 2.47, 2.48, 2.49 y
2.50.)
48
Figura
2.47
Gráfica
del
segmento
formado
por
los
puntos (2 , 3) y (8 , 7) en un
plano de escala 1, en ambos
ejes.
Figura
2.49
Gráfica
del
segmento
formado
por
los
puntos (2 , 3) y (7 , 8) en un
plano de escala 10, en eje Y,
y 1 en eje X.
Figura
2.48
Gráfica
del
segmento
formado
por
los
puntos (2 , 3) y (8 , 7) en un
plano de escala 10, en eje Y,
y 10 en eje X.
Figura
2.50
Gráfica
del
segmento
formado
por
los
puntos (2 , 3) y (7 , 8) en un
plano de escala 1, en eje Y ,
y 10 en eje X.
RESUMEN
Definición
49
Se llama escala a la asignación numérica para cada eje
cartesiano.
Teorema
La longitud del segmento de recta determinado por los puntos
( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) está dado por d 
 x2  x1    y2  y1 
2
2
.
Definición
Dado un punto
 x , y
si se trazan líneas paralelas a los ejes
a partir de este punto, al valor que resulta de la
intersección en cada eje cartesiano, con las líneas paralelas
se les llama proyecciones.
Definición
Se llama plano euclidiano a un plano cartesiano con ejes
perpendiculares y una misma escala en ambos ejes.
Definición
Cuando los ejes no son necesariamente perpendiculares o
tampoco las escalas son necesariamente las mismas en cada
eje, se le llama plano cartesiano.
Teorema
Si se tiene un segmento de recta formado por los puntos
( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) , entonces, las coordenadas del punto P   x , y 
que divide al segmento en una razón r 
AP
son:
AC
x  x1  r ( x2  x1 )  (1  r ) x1  rx2
y  y1  r ( y2  y1 )  (1  r ) y1  ry2
con r entre 0 y 1.
Teorema
Las coordenadas del punto P  ( x , y) que divide a un segmento
AC , formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) , en una razón
50
q
AP
, están dadas por:
PC
x
y  qy2
x1  qx2
y y 1
1 q
1 q
con q  1 .
AUTOEVALUACIÓN
1. Construya, para cada caso, un plano euclidiano de tal
forma que:
a) el punto
b) el punto
 20 , 10 sea posible
 10 , 5 se vea.
de verse.
2. Dibuje un plano cartesiano con el origen

a) al centro del plano.

b) fuera del centro.
En ambos casos debe ser posible situar el punto
100 , 10000 .
3. Encuentre la distancia del segmento de recta definido por
los puntos A   2 , 5 y B  12 , 15 .
a) Mueva el segmento de tal forma que el punto A   2 , 5

quede
en
el
origen
del
plano.
Encuentre
las
nuevas
coordenadas del punto B y calcule de nuevo la distancia
entre los nuevos puntos.
Para
hacer
las
operaciones
aritméticas
utilice
una
calculadora.
4. Si las coordenadas de un segmento de recta son
(2 , 7) ,
determine las coordenadas de otro punto del segmento de tal
forma que su longitud sea 8.
5.
Determine
las
coordenadas
del
punto
P
que
divide
al
segmento formado por los puntos A  3 , 4 y B  6 , 5 en:
a) la mitad.
51
b) en dos tercios y un tercio.
6. Establezca las coordenadas de los extremos de un segmento
cuyo punto medio sea
 7 , 3 .
52
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