Coordenadas cartesianas En muchas actividades, para entender mejor un proceso, se acostumbra presentarlo de manera gráfica; así, por ejemplo, en economía o administración con frecuencia se dibuja una curva para representar diferentes aspectos como los incrementos y decrementos de los costos o ingresos de una determinada compañía o el poder adquisitivo de una población específica en un intervalo de tiempo. En ingeniería se usan gráficas para mostrar la resistencia de un determinado material; en medicina se utilizan cardiogramas que reflejan el funcionamiento del corazón de un individuo; en física, se dibujan curvas para describir la trayectoria de un objeto, como una pelota o una bala de cañón. Si bien las gráficas se emplean con mucha frecuencia, en general su construcción no resulta una tarea sencilla. Por ello, con el fin de ayudar a elaborarlas y entenderlas con precisión es imprescindible comprender el concepto básico sobre el que se fundan todas la gráficas: el plano cartesiano. PLANO CARTESIANO 1 Antes de definir el plano cartesiano1 veamos algunas de sus aplicaciones en la vida cotidiana. Francisco deseaba encontrar la calle Enrique Rebsamen. Para esto compró una guía con mapa de la ciudad donde localizó la calle que buscaba en el sector 28-I del plano 15. Al revisar el plano notó que éste se dividía en columnas y renglones: a cada columna se le asignaba una letra y a cada renglón un número. Con base en esta clave se ubicó en el renglón 28 y de ahí, horizontalmente, se recorrió hacia la derecha hasta llegar a la columna I. En el pequeño cuadro donde se unían el renglón y la columna señalados, encontró la calle que buscaba. En otras palabras, para ubicar un lugar en un plano se requieren dos datos: uno que localiza el lugar de manera vertical y el otro, horizontal. Otro ejemplo de uso de coordenadas cartesianas es el siguiente: Pedro y Juan fueron a comprar boletos para el teatro. En la parte inferior de los boletos estaban las indicaciones que aparecen en la figura 2.1. Figura 2.1 Parte inferior de dos boletos de teatro. 1 Los conceptos coordenadas cartesianas y plano cartesiano adquieren su nombre en honor al eminente matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), quien desarrolló la geometría analítica en el apéndice tercero de su tratado filosófico El discurso del método. 2 Esa noche, Pedro y Juan se dirigieron al teatro. Ya en él procedieron a localizar sus respectivos lugares. Pedro buscó en la hilera 4 el asiento número 5. En cambio, Juan no dio importancia al orden de los números y se dirigió al asiento número 6 de la hilera 2 y allí se acomodó. Poco después de iniciar la función, llegó la persona que, como poseía el boleto con esa ubicación, reclamó el sitio donde estaba Juan quien debió levantarse, lo que motivó las protestas del público, pues les quitaba visibilidad mientras se desplazaba por los asientos. Para distribuir los lugares en el boletaje, el teatro les asignó números a las hileras y a los asientos como se advierte en la figura 2.2. Es decir, igual que en el ejemplo del plano de ciudad, para hallar un lugar específico se requirieron dos datos, a saber, el renglón o hilera y la columna respectiva. Figura 2.2 Sección de los asientos o gradas de un teatro. 3 Lo que tienen en común los ejemplos anteriores es que se puede localizar un lugar (una calle en un plano, una butaca en un teatro) utilizando únicamente un par de datos. Un plano cartesiano extiende idealiza una indefinidamente hoja en de papel cualquier sin grosor dirección que se sobre el papel. Este plano se considera formado por puntos los cuales, aunque parezca sorprendente, también se pueden localizar e identificar números. proporcionando Para consideran dos identificar dos rectas datos, los puntos numéricas en de este un dispuestas caso dos plano en se forma perpendicular que representan, como en los casos anteriores, la columna y el renglón (fig. 2.3). Figura 2.3 Rectas perpendiculares para formar un plano cartesiano. Figura 2.4 Plano cartesiano con una métrica. Después, se escoge una unidad de longitud que permita graduar cada recta y así transformarla en un eje. A las rectas graduadas se les denomina ejes y al punto de intersección, que se denota con O, origen (fig. 2.4). 4 Una convención usual es dar el sentido siguiente a los ejes: para el eje X, a partir de 0 los números que se ubiquen a la derecha serán considerados como positivos; en cambio, los que se sitúen a la izquierda, serán negativos. En el eje Y, los números que estén arriba de 0, serán positivos y los de abajo, negativos (fig. 2.5). Figura 2.5 Plano cartesiano. Así, para ubicar un punto es necesario contar con dos datos: primero, cuánto se "camina" o recorre y en qué dirección en el eje X y segundo, cuánto se "camina" y en cuál dirección en el eje Y. Es importante mencionar que las asignaciones de los ejes como X y Y es arbitraria. Así por ejemplo, es frecuente encontrar en las ciencias sociales denotar a los ejes como eje q y eje p o en la física como eje t y eje v o eje W y eje Z, etc.2 2 El lector recordará que esta técnica se emplea en el popular juego “submarino” en la educación elemental, donde frecuentemente a las columnas se les designa con letras y a los 5 Como en matemáticas la sintaxis es muy importante, se ha establecido que la forma de escribir el lugar que ocupe, un punto en un plano cartesiano es encerrar las coordenadas entre paréntesis circulares, y separando cada uno de ellas por una coma. También se ha establecido que primero se anote el valor en el eje X y después irá el que corresponde al eje Y. En general, a un punto ( x , y ) del plano cartesiano se le llama pareja ordenada, representados con porque se variables- trata que de tienen dos un números - orden. Es necesario recordar que este orden ( x , y ) es muy importante, debido a que sitúa con precisión cada punto; así, por ejemplo, el punto (1 , 1) es distinto del punto (1 , 1) como se observa en la figura 2.6. Figura 2.6 Gráfica de los puntos (1 , 1) y (1 , 1) . renglones, con números. 6 Es conveniente resaltar que a las coordenadas cartesianas también se les llama coordenadas rectangulares; a los puntos sobre el eje X, abscisas; y a los puntos sobre el eje Y, ordenadas (fig. 2.7). Abscisa (a ,b) Ordenada Figura 2.7 A la primer coordenada se le llama abscisa; a la segunda ordenada. Ejemplo 2.1 Determina las coordenadas del punto A 3 , 2 que también puede escribirse A 3 , 2 situado en el plano cartesiano de la figura 2.8. Figura 2.8 Punto plano cartesiano. A 3 , 2 en un Solución 7 La respuesta a este ejercicio la podemos obtener maneras. En la primera visualizamos el punto de dos A 3 , 2 en el plano (fig. 2.8). En seguida trazamos una recta paralela al eje Y que pase por el punto A y al ubicar el punto de intersección con el eje X obtenemos la abscisa, que en este caso es 3 (fig. 2.9). De la misma manera, para encontrar la ordenada trazamos un recta paralela al eje X y al situar la intersección con el eje Y encontramos la ordenada, que en este caso es 2 (fig. 2.10). Figura 2.9 Al trazar una recta paralela al eje Y sobre el punto se localiza la abscisa 3. Para la segunda forma basta Figura 2.10 Al trazar una recta paralela al eje X sobre el punto se localiza la ordenada 2. recordar que en el punto A 3 , 2 , la primera coordenada es la abscisa y la segunda la ordenada. Entonces, la abscisa es 3 y la ordenada es 2. Ejemplo 2.2 Dibuje en el plano el punto 4 , 3 . Solución 8 Para hallar este punto en el plano, debemos notar que la primera coordenada, llamada abscisa, es 4, lo cual significa que a partir de 0 debemos recorrer cuatro lugares hacia la derecha (4 es positivo) sobre el eje X (fig. 2.11). Figura 2.11 Localización el plano de la abscisa 4. en Figura 2.12 En la abscisa 4 se traza una recta paralela el eje Y. Figura 2.13 Sobre la recta paralela al eje Y se recorren tres espacios para llegar a la ordenada -3. 9 Después, sobre una recta paralela al eje Y (fig. 2.12), hay que desplazarse tres lugares hacia abajo (-3 es negativo) (fig. 2.13). Con esto localizamos el punto 4 , 3 . Ejemplo 2.3 Dibuja un plano cartesiano que permita observar el punto de coordenadas (7 , 6) . Solución En realidad este problema ofrece múltiples soluciones, puesto que es posible dibujar muchos planos donde sea posible visualizar el punto (7 , 6) . En las figuras 2.14 y 2.15 se ofrecen dos posibles soluciones y se invita al lector a ofrecer más. Figura 2.14.Ubicación punto (7 , 6) en un plano. del Figura 2.15.Ubicación del punto (7 , 6) en otro plano. Observación Cuando se dibuja un plano cartesiano en un cuadro, el origen se puede posicionar en cualquier lugar. Elegir el mejor depende de lo que se desee ilustrar. Definición 2.1 10 A las cuatro regiones en que los ejes cartesianos dividen un plano, se les conoce como cuadrantes. Ellos se numeran a partir del lugar en el cual ambas coordenadas son positivas, y de ahí se recorre la numeración en el sentido inverso al de las manecillas de un reloj (fig. 2.16). Figura 2.16. Los ejes cartesianos definen cuatro cuadrantes. Ejemplo 2.4 Escribe un punto de abscisa 4 y ordenada -7 y señala en cuál de los cuatro cuadrantes se encuentra. Solución Escribimos el punto solicitado: (4 , 7) . Como la abscisa es positiva y la ordenada negativa, este punto se encuentra en el IV cuadrante. Ejemplo 2.5 Escribe las coordenadas de los puntos que se dibujan en el plano cartesiano de la figura 2.17. 11 Figura 2.17. Localizar puntos. Solución Tomemos el punto E, el cual se localiza aproximadamente en las coordenadas abscisa 2 y ordenada 4 , lo que determina el punto (2 , 4) . Te invitamos a localizar los puntos restantes. Ejemplo 2.6 Escribe tres puntos cuya ordenada sea igual a -3. Solución Si denotamos con y a la ordenada, se nos dice que tiene el valor constante y 3 . Entonces, si asignamos a la abscisa valores en forma arbitraria, buscamos. Por ejemplo, se obtiene la respuesta 2 , 3 , 4 , 3 , 0 , 3 , que etc. Éstos y otros puntos aparecen en la figura 2.18. 12 Figura 2.18 Gráfica de puntos de ordenada y 3 . Ejemplo 2.7 Escribe tres puntos cuya abscisa sea igual a tres veces su ordenada. Solución Denotemos por x a la abscisa y por y a la ordenada, el enunciado del problema nos dice que x 3 y . Así, si se asignan valores arbitrarios a la ordenada y, obtenemos puntos como 3 , 1 ; 1 , 13 , 3 , 1 , etc. Éstos puntos se dibujan en la figura 2.19. 13 Figura 2.19 Puntos definidos con la relación x 3 y . Ejemplo 2.8 Escribe tres puntos cuya ordenada sea igual a dos veces su abscisa menos tres unidades. Solución: Si denotamos por x a la abscisa y por y a la ordenada, el y 2 x 3 . Así, si enunciado del problema define la relación asignamos valores determinar los valores respectivos la abscisa es ejemplo, si arbitrarios x 5, a la abscisa, de la entonces podemos ordenada. la ordenada Por es y 2 x 3 2(5) 3 7 . De esta forma establecemos un primer punto: (5 , 7) . Calcula los puntos restantes (fig. 2.20). 14 Figura 2.20 Gráfica de los puntos que definen la relación y 2 x 3 . Nota Como seguramente habrá advertido al observar las figuras anteriores, al dibujar un plano cartesiano, el origen del plano puede ubicarse en cualquier parte del cuadro. Nota Las graduación (marcas) en los ejes pueden disponerse a una distancia arbitraria pero fija. El número correspondiente a cada marca también es arbitrario; así una misma marca puede corresponder a 1, a 2, a 10, a 100, etc., según como se elija. Definición 2.2 15 A la asignación numérica para cada eje cartesiano se le llama escala. Ejemplo 2.9 Los propietarios de un fraccionamiento desean vender en partes un terreno cuya forma se presenta en la figura 2.21. Figura 2.21. Plano del terreno de un fraccionamiento que incluye nueve lotes rectangulares y uno triangular. Puesto que el precio por metro cuadrado es de $500.00 y los lotes marcados de 1 a 9 son rectangulares, la compañía constructora no tiene problemas para calcular su extensión. En efecto, ya que miden 25 m de frente por 66 m de fondo, cada lote tiene un área aproximada de: Área del lote rectangular = ALR (25)(66) 1650 m2 . Con este dato el ingreso por cada lote rectangular es de $825,000.00. El problema está en el lote número 10, cuya forma es triangular y se desconoce el área de dicho triángulo. Los topógrafos que levantaron las medidas del terreno dibujaron 16 un plano con las coordenadas de los vértices de este lote. Tales coordenadas pueden observarse en la figura 2.22. Figura 2.22 Plano del lote triangular ampliado. Con estos datos la empresa constructora desea evaluar el ingreso que obtendría por la venta de los lotes del terreno, pero para ello es preciso calcular el área del lote 10. Solución Podemos iniciar la resolución de este problema dibujando aparte el triángulo que representa la superficie del lote 10 (fig. 2.23). 17 Figura 2.23. Triángulo que representa el lote 10 del terreno. De este triángulo (lote 10) sólo conocemos las coordenadas de los vértices y la longitud del lado b, lado colindante con el lote 9, que es3 66. De la geometría euclidiana sabemos que cuando se cuenta con la longitud de los lados de un triángulo, es posible calcular su área mediante la fórmula de Herón: A s(s a)(s b)(s c) abc es el semiperímetro, y a, b y c son los lados 2 del triángulo (fig. 2.23). donde s Con esta información el problema se reduce entonces a calcular la longitud de los lados a y c del triángulo, dadas las coordenadas de sus vértices. Para simplificar la solución del problema, calcularemos por separado cada longitud. En primer término, determinaremos la longitud de a, con la intención de extrapolar este resultado a un método más general que nos permita calcular la siguiente longitud de una forma más sencilla. 3 Por el momento no es necesario que escribamos la unidades (metros). 18 Situando la longitud a en un plano cartesiano se obtiene la figura 2.24. Figura 2.24 Segmento de recta Figura 2.25 Las rectas paralelas a los ejes en los a en un plano cartesiano. puntos extremos del segmento forman un triángulo rectángulo de hipotenusa a. Para encontrar la longitud del segmento a, debemos trazar por cada uno de los dos puntos que lo definen, rectas paralelas a cada eje cartesiano. Al hacerlo queda la figura 2.25. Como observamos en la figura 2.25, con la intersección de estas rectas se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa a. Por otra parte, los lados de este triángulo son fáciles de calcular, puesto que su longitud corresponde a la diferencia entre las abscisas y la diferencia entre las ordenadas, respectivamente, como se observa en la figura 2.26. 19 Figura 2.26 Triángulo rectángulo de hipotenusa a desconocida. En otras palabras, el problema se reduce a determinar el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 23 y 67, como se observa en la figura 2.26. Esto es fácil de resolver, puesto que, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, a 2 b2 c2 , luego entonces, se tiene que: a2 (23)2 (67)2 y despejando a: a (23) 2 (67) 2 70.837 es decir, el lado a del triángulo que representa al lote 10 mide 70.837 m. Nota Aunque al resolver la ecuación a2 (23)2 (67)2 hay dos posibles raíces ( a1 (23) 2 (67) 2 70.837 y a2 (23) 2 (67) 2 70.837 ), ya que al elevar a1 y a2 al cuadrado resulta a 2 . En este problema sólo se considera la raíz positiva –cuyo signo se omiteporque se trata de una magnitud, a saber, la longitud de a. 20 Antes de calcular el lado c, se haremos un paréntesis para generalizar el resultado obtenido al calcular la distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos es un resultado importante. Por ello, para encontrar una fórmula con la cual se pueda obtener esa distancia, se hará lo mismo para calcular el lado a, pero sin fijar ningún valor a las coordenadas. En efecto, calcular la distancia entre los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) , equivale a determinar la longitud del segmento de recta formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) . Por ello, se procede de la siguiente forma: primero, se dibuja el segmento en un plano cartesiano (fig. 2.27). En seguida, en cada uno de los puntos extremos del segmento, se trazan segmentos de recta paralelos a los ejes cartesianos que van del punto al eje respectivo. (Por cierto, al valor que definen las rectas sobre cada eje se les llama proyecciones.) Al trazar las rectas paralelas a los ejes se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es precisamente la longitud del segmento que se desea conocer (fig. 2.27). 21 Figura 2.27 Construcción de un triángulo rectángulo para encontrar la longitud d de un segmento de recta. Como en la figura 2.27 hay un triángulo hipotenusa d y catetos de longitud x2 x1 y rectángulo de y2 y1 , al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene la siguiente fórmula: d x2 x1 y2 y1 2 2 Esta fórmula representa la longitud de un segmento de recta determinado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) . Nota El teorema de Pitágoras asociado a un triángulo rectángulo señala la siguiente: En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. En otras palabras, si en un triángulo rectángulo se forman cuadrados cuyos lados son la longitud de cada uno de los 22 lados del triángulo, resulta que la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos es igual al área del cuadrado formado con la hipotenusa (fig. 2.28). Figura 2.28 El teorema de 2 2 Pitágoras establece que a b c2 . Teorema 2.1 La distancia entre los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) .está dada por d x2 x1 y2 y1 2 2 . Retomando el ejemplo 2.9, con la fórmula encontrada en el teorema 2.1 es posible ahora calcular la longitud faltante c, determinada por los puntos (257 , 350) y (276 , 232) . Para ello, se sustituyen los valores de los puntos en la fórmula para d. Al realizar las sustituciones queda: 276 257 232 350 c c 119.51 2 2 23 por tanto, el área del triángulo de lados a 70.387 , b 166 y c 119.51 , que representa el lote 10 se calcula de la siguiente forma: Para aplicar la fórmula de Herón A s(s a)(s b)(s c) , primero se calcula el semiperímetro s que resulta ser: a b c 70.38 166 119.51 117.94 s 2 2 Entonces al sustituir los valores respectivos en la fórmula A s(s a)(s b)(s c) nos queda 177.94 177.94 70.38177.94 166177.94 119.51 A A 3654.11 m 2 que es la superficie total del lote 10. Con este dato el valor que se obtiene al vender el lote 10 será de: $1,827,055.00. Nota En el teorema 2.1, aparece la fórmula d x2 x1 y2 y1 2 2 . En general, esta relación es independiente del cuadrante donde se encuentren los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) . Esto se debe a que las diferencias x2 x1 2 y y2 y1 2 están elevadas al cuadrado, es decir, el resultado siempre será un número no negativo (positivo o cero). Así, lo menos que puede valer cada diferencia al cuadrado es cero. Nótese también que como la raíz cuadrada carece de signo, esto significa que es positiva, como debe ser, puesto que la distancia d es siempre un número no negativo. Nota 24 Obsérvese que para calcular el valor de una longitud d, al sustituir los valores de los puntos, no importa qué punto se elige para ser x1 , y1 o x2 , y2 : el resultado no cambia. Esto se debe a que la única alteración posible podría ocurrir en el signo de la diferencia, pero como cada diferencia está elevada al cuadrado, siempre son positivas (o cero), lo cual no cambia el resultado. Nota Para que la fórmula de distancia sea aplicable en el plano cartesiano, los ejes deben tener la misma escala. Cuando las escalas en cada eje son distintas o bien denotan cantidades de diversa índole -por ejemplo, en el eje Y, grados y en el X, unidades de tiempo o en el eje Y, velocidad y en el eje X, tiempo, o en el eje Y, precio y en el eje X, cantidad- la fórmula de la distancia pierde sentido. Definición 2.3 Se llaman proyecciones de un punto x , y a los valores que resultan de la intersección en cada eje cartesiano con las líneas paralelas a los ejes, trazadas desde el punto x , y . De acuerdo con la definición 2.3, por ejemplo, al punto 5 , 6 se le asocian las siguientes proyecciones: 5 5 , 6 6 5 , 6 proyección sobre el eje X proyección sobre el eje Y (fig. 2.29). 25 Figura 2.29. Proyecciones sobre los ejes cartesianos. Ejemplo 2.10 En un plano euclidiano se sitúa el segmento formado por los puntos (2 , 3) y (7 , 8) . Resuelve los incisos que se presentan a continuación. a). Calcula la longitud del segmento. b). Si pudieras mover los ejes cartesianos ¿dónde los ubicarías para simplificar los cálculos? c). Si pudieras mover el segmento ¿dónde lo pondrías para simplificar los cálculos? Solución La resolución del inciso a es sencilla, pues es suficiente con aplicar el resultado del teorema 2.1 y efectuar los cálculos. Así, d 2 7 3 8 2 2 = 5 5 2 2 25 25 50 7.071 Para encontrar el resultado del inciso b, nos ayudaremos de las siguientes figuras: 26 Figura 2.30 Segmento de recta formado por los puntos (2 , 3) y (7 , 8) . Figura 2.31 Movimiento de los ejes del plano para situar al segmento en el origen. En la figura 2.30 se observa el dibujo del segmento en un plano euclidiano. Si se mueven los ejes de tal forma que el origen quede en el punto 2 , 3 , extremo del segmento, los puntos que definen el segmento se transformarían en la siguiente forma: 2 , 3 0 , 0 5 , 5 7 , 8 Por tanto, la distancia, para los nuevos puntos, será: d 52 52 50 El inciso c se resuelve de forma similar al inciso anterior, sólo que en este caso debe moverse el segmento. Nota Observe que la solución a los incisos (b) y (c) es la misma. Es decir, mover los ejes, equivale a mover el segmento. Nota 27 Debido a que la longitud de un segmento no cambia, aunque se mueva o modifique la posición de los ejes, se le llama un invariante en el plano. Ejemplo 2.11 Considerando que las coordenadas de un extremo de un segmento de longitud 6, son 3 , 9 , determina las coordenadas del otro extremo. Solución Si denotamos al punto desconocido como x , y , de acuerdo con la fórmula de la distancia tenemos que: d x (3) y 9 2 2 Como la distancia o longitud del segmento es 6, se tiene x (3) y 9 2 6 2 Para eliminar la raíz cuadrada, elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación: 2 x (3) y 9 62 2 2 x (3) y 9 36 2 2 x 3 y 9 36 2 2 Con este resultado, los valores de x y y se determinan, al asignar un valor arbitrario a cualquiera de las dos variables mientras se despeja la otra. Por ejemplo, si a x la asignamos el valor de 0 tenemos que 0 3 2 x 3 2 y 9 36 se transforma en 2 y 9 36 . 2 o bien: 9 y 9 36 , que equivale a 2 y 9 2 36 9 y 9 2 27 y finalmente 28 y 9 27 ; de donde y 14 .19 Con lo que determinamos el punto 0 , 14.19 . Te invitamos a asignar diferentes valores a x o a y para, de esta forma, encontrar diferentes puntos que satisfagan la condición inicial. Ejercicios 2.1 1. Calcule la distancia entre los puntos: a) b) c) d) e) f) g) h) 1 , 2 , 5 , 9 3 , 2 , 3 , 9 10 , 92 , 85 , 96 7 , 12 , 4 , 6 2 , 3 y 5 , 4 7 , 4 y 4 , 6 2 , 5 y 4 , 5 8 , 3 y 4 , 5 2. Escriba dos puntos cuya distancia sea igual a 13. Observación En realidad hay varias formas de construir un plano. El primero que se ha explicado es un plano cartesiano, en el cual los ejes son perpendiculares y la escala en cada eje es la misma. Sin embargo, es conveniente precisar que a este plano se le suele llamar plano euclidiano, por lo que el plano cartesiano es una generalización del euclidiano. Es decir, en un plano cartesiano los ejes no son siempre perpendiculares (pueden ser oblicuos), y la medida o escala en cada eje puede ser distinta, tanto en tamaño de marca como en las unidades. Por ejemplo, cuando se grafica temperatura contra tiempo, uno de los ejes puede escalarse en segundos, 29 minutos u horas, mientras el otro puede escalarse en grados. También es frecuente graficar volumen contra unidades, por lo que en un eje se pone el volumen, el cual se mide en unidades al cubo, y en el otro eje sólo unidades. En otros casos, las marcas en el eje vertical pueden representar millares mientras que el eje horizontal unidades, etc. En fin, cuando el plano tiene ejes perpendiculares y éstos tienen escalas iguales recibe el nombre de plano euclidiano; cuando sus ejes no necesariamente son perpendiculares y es posible cambiar las unidades y distancias en las marcas de cada uno de ellos se llama plano cartesiano. Cabe anotar que la fórmula de distancia sólo es válida cuando el plano es euclidiano, es decir, cuando los ejes son perpendiculares y la escala es la misma en cada uno de ellos; en cambio, en el ejemplo siguiente, el 2.12, donde se introduce la proporción de un segmento o los puntos intermedios, el resultado es válido para un plano cartesiano y consecuentemente para un euclidiano. Es decir, como el plano euclidiano es un caso particular del cartesiano, todo resultado válido en un plano euclidiano también lo será para el plano cartesiano. Ejemplo 2.12 Los propietarios del fraccionamiento del ejemplo 2.9, ante la baja demanda para el lote 10, desean dividirlo en tres partes, esperando que con esto se pueda lograr la venta del lote mencionado. Dado que la parte del frente es la más solicitada, dividirán el frontis en tres partes iguales. Para calcular las respectivas proporciones, para venderlo en 30 partes, se requiere encontrar las coordenadas ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) que dividan el segmento formado por los puntos (234 , 283) y (257 , 350) en un tercio y dos tercios de su longitud (fig. 2.32). Figura 2.32. División del frontis del lote 10 del terreno a fraccionar. Solución Como en el ejemplo 2.9, usaremos la geometría euclidiana para hallar la división solicitada. Con el propósito de encontrar relaciones geométricas que permitan resolver el problema, dibujemos en un plano cartesiano el segmento del que se desea encontrar las coordenadas que lo dividen en un tercio. Si en seguida se trazan sus proyecciones hacia los ejes cartesianos, se notará que se forman los triángulos rectángulos ABC y ADP, como se aprecia en la figura 2.33. 31 figura 2.33 Segmento de recta formado por los puntos (234 , 283) y (257 , 350) , y sus respectivas proyecciones a los ejes. Sobre él un punto ( x , y ) . De la figura 2.33 se infiere que los triángulos rectángulos ABC y ADP son semejantes por tener ángulos en común. Luego entonces, se tiene que AP AD AC AB pero, por hipótesis del problema, AP , es 1/3 de AC , es decir: AP 1 AC 3 de la primera igualdad se obtiene: AD 1 AB 3 al despejar AD queda 1 AD AB 3 pero como ya se sabe AB x2 x1 257 234 23 32 Así, para encontrar P ( x , y) en términos de las coordenadas conocidas 1 AD 23 7.66 3 Sin embargo, ya que ésta es la longitud del segmento AD a partir del punto A, para hallar la abscisa del punto referido es necesario sumar esta cantidad a la abscisa del primer punto, esto es, 234. Luego entonces, para obtener la abscisa x del punto ( x , y ) que divide al segmento en un tercio se realiza lo siguiente: x x x x1 2 1 234 7.66 241.66 3 Al realizar este mismo procedimiento para la ordenada y del punto ( x , y ) que divide al segmento en un tercio se obtiene también que y y1 y2 y1 350 283 283 283 22.33 305.33 3 3 De esta forma se establece que las coordenadas (241.66 , 305.33) dividen en un tercio al segmento de recta formado por los puntos (234 , 283) y (257 , 350) . Antes de dar respuesta a la segunda pregunta planteada en este ejemplo (determinar el punto que divide en una razón de 2/3 el segmento de recta), es conveniente generalizar el resultado obtenido; es decir, establecer la fórmula que determine las coordenadas de un punto ( x , y ) que divide a un segmento en una razón r. Para obtener las coordenadas del punto P ( x , y) que divide al segmento de recta formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) en una razón r, se realiza el mismo procedimiento explicado 33 antes que consiste en trazar el segmento con las proyecciones a los ejes cartesianos en los puntos referidos (fig. 2.34). Figura 2.34 Figura de apoyo para encontrar las coordenadas ( x , y ) que dividen el segmento de recta L en una razón r. En primer término, con la ayuda de esta figura y de la geometría euclidiana, se establecerá el valor de la abscisa x. Como los triángulos rectángulos ABC y ADP son semejantes, se tiene que: AP AD AC AB pero como AP r AC entonces 34 y despejando AD r AB AD r AB Pero AB x2 x1 . Luego AD r AB r x2 x1 Pero como lo indica la igualdad, el segmento AD es una parte del segmento AB , por lo que para obtener la coordenada x, es necesario sumar al segmento AD r x2 x1 la distancia x1 (fig. 2.35). Figura 2.35 Note que x x1 r x2 x1 y y y1 r y2 y1 . En otras palabras, la abscisa x, del punto que divide un segmento formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) es: x x1 r ( x2 x1 ) (1 r ) x1 rx2 1 Así, por ejemplo, si la razón r , se comprueba que: 2 35 x x 1 1 x (1 r ) x1 rx2 1 x1 x2 1 2 2 2 2 De igual forma se comprueba que la ordenada y, del punto P que divide un segmento formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) es: y y1 r ( y2 y1 ) (1 r ) y1 ry2 Observación Al operar con ecuaciones se usa de manera indiscriminada la propiedad de que, en general, si Z W , entonces, también se vale decir que W Z . Teorema 2.2 Las coordenadas del punto P x , y que divide a un segmento de recta formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) , en una razón r AP son: AC x x1 r ( x2 x1 ) (1 r ) x1 rx2 y y1 r ( y2 y1 ) (1 r ) y1 ry2 con r entre 0 y 1. Continuando con el ejemplo 2.12, para encontrar las coordenadas del punto que divide al segmento formado por los puntos (234 , 283) y (257 , 350) en dos tercios de su longitud; es decir, en una razón de 2/3, se procede a aplicar el teorema 2.2. Gracias a lo que establece el teorema anterior, ya no se necesita elaborar construcciones geométricas como las anteriores. En efecto, los datos que se tienen son: 2 r ; x1 234 ; x2 257 ; y1 283 ; y2 350 3 por lo que, aplicando el teorema 2.2,se obtiene las coordenadas buscadas: 36 2 2 x (1 r ) x1 rx2 1 234 257 249.33 3 3 2 2 y (1 r ) y1 ry2 1 283 350 327.66 3 3 Por lo tanto, las coordenadas del punto que está a 2/3 del segmento de recta solicitado son Antes de finalizar esta x , y 249.33 , 327.66 . sección se verá un teorema que proporciona otra manera de calcular las coordenadas de un punto intermedio a un segmento de recta y que usualmente aparece en los libros de texto. Ejemplo 2.13 Demuestra que las coordenadas de un punto intermedio P ( x , y) que divide a un segmento AC , formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) , en una razón q AP , también se pueden calcular PC mediante x y qy2 x1 qx2 y y 1 1 q 1 q con q 1 Solución En realidad lo que probaremos es que estas fórmulas son una consecuencia del teorema 2.2. En efecto, utilizando la figura 2.33, se sabe que AP , AC pero AC = AP + PC , por ello, al sustituir igualdad anterior nos queda AP r AP PC o sea r r AP PC AC en la = AP ; es decir, r AP rPC AP ; r AP AP rPC ; 37 AP r 1 rPC ; AP r PC r 1 y por lo tanto AP r q , PC 1 r Es decir, existe una relación entre q y r, expresada por la última igualdad. En efecto, r q expresa a q en función de r. 1 r Ahora para encontrar la expresión para r, se despejará r en ésta última ecuación. Para ello se tiene: q 1 r r ; al multiplicar por q, queda q qr r ; q r qr ; o factorizando r, queda q r 1 q ; despejando r , se obtiene: q r 1 q o sea, que al sustituirla en las fórmulas del teorema 2.2, x x1 r ( x2 x1 ) y y y1 r ( y2 y1 ) obtenemos: x1 1 q q ( x2 x1 ) q x qx2 = 1 . x x1 r ( x2 x1 ) x1 ( x2 x1 ) = 1 q 1 q 1 q Lo cual es la igualdad requerida. Análogamente, si se hubiera partido de la igualdad: y y1 r ( y2 y1 ) , al sustituir r y q , se obtendría 1 q y1 qy2 , 1 q 38 que es la fórmula requerida. Recíprocamente, si se parte de las fórmulas y qy2 x qx2 y y 1 x 1 1 q 1 q r al sustituir en ellas q , después de 1 r cálculos correspondientes, se llega a las realizar los fórmulas que aparecen en el teorema 2.2, lo que indicaría que las fórmulas del teorema 2.2 son una consecuencia de las fórmulas y qy2 x qx2 x 1 y y 1 . 1 q 1 q Teorema 2.3 Las coordenadas del punto P ( x , y) que divide a un segmento AC , formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) , en una razón AP q , están dadas por: PC y qy2 x qx2 x 1 y y 1 1 q 1 q con q 1 . En otras palabras, se puede usar cualquiera de las fórmulas dadas en los teoremas 2.2 y 2.3 para calcular las coordenadas de un punto P ( x , y) que divide a un segmento de recta AC , en una razón dada, ya sea AP AP o bien . AC PC Nota Recuerde que el teorema 2.3 se refiere a que el punto P ( x , y) divide al segmento AC , de tal forma que AP q . Esto es diferente a lo que señala el teorema 2.2, PC donde la razón r se forma con el cociente de los dos segmentos formados en el segmento AC , mediante el punto AP r . De aquí P( x , y) , es decir, se refiere al cociente de AC que r y q estén relacionados por: 39 q r q o r 1 r 1 q Observación En el teorema 2.2 se solicita que la razón q 1 . Esto se x qx2 debe a que si q 1 en el cociente x 1 , el denominador 1 q sería cero, pero como se sabe, este resultado no se puede p dar, puesto que el cociente representa el número que q resulta de repartir p en q partes iguales. Debido a lo anterior, en los números reales no se permite dividir entre 0. Ejercicios 2.2 1. Encuentre las coordenadas del punto medio de los segmentos formados por los puntos a) b) c) d) 2 , 3 y 5 , 4 7 , 4 y 4 , 6 2 , 5 y 4 , 5 8 , 3 y 4 , 5 2. Halle las coordenadas del punto localizado a 4/5 del segmento formado por los puntos 2 , 5 y 4 , 5 . 3. Sabiendo que las coordenadas de un extremo de un segmento de recta son 2 , 2 , 3 , 1 y que las coordenadas del punto medio son encuentre las coordenadas del otro extremo del segmento. 4. Un triángulo isósceles es aquél que tiene dos lados iguales. Demuestre que con las coordenadas 7 , 3 3 , 3 , 5 , 8 y se forma un triángulo isósceles. 5. Si el baricentro es un punto ubicado a dos tercios de la mediana de un triángulo y la mediana es el segmento de recta 40 que va de un vértice al punto medio del lado opuesto, determine las coordenadas del baricentro. Nota histórica La geometría analítica es, sin duda alguna, el descubrimiento matemático cálculo. más Su importante función del siglo consiste en XVII, analizar después los del objetos geométricos mediante métodos algebraicos, y viceversa. Hasta antes de la aparición de la geometría analítica, el estudio de los objetos geométricos seguía la pauta desarrollada por los antiguos griegos. Curiosamente, al igual que el cálculo el nacimiento de la geometría analítica se atribuye a dos eminentes matemáticos, en este caso, los franceses René Descartes (1596-1650) y Pierre Fermat (1601-1665). Descartes, más preocupado por cuestiones filosóficas, desarrolló la geometría analítica en el tercero y último apéndice de su tratado filosófico El discurso del método. Empujado por la necesidad económica y por las persecuciones religiosas, Descartes se refugió en Suecia bajo la protección de una joven Sabedora la y arrogante reina de monarca, que la Descartes soberana nunca se Cristina. levantaba temprano, debido a sus reflexiones nocturnas, le obligaba a darle clases a las 5:00 a.m. Como consecuencia de esto, Descartes enfermó de una neumonía, la cual produjo su muerte en Estocolmo en febrero de 1650. La notación de variables utilizando las exponentes para últimas letras las variables del alfabeto, y la el empleo de denotación de los 41 coeficientes por las primeras letras del alfabeto, son tres contribuciones que se deben a Descartes. Tanto Descartes como Fermat desarrollaron la geometría analítica motivados por introducir los métodos algebraicos de François Viète (1540-1603) a la resolución de problemas de cónicas y lugar geométrico propuestos por Apolonio (260?-200? a.C.). Ejemplo 2.14 Determina las coordenadas de, al menos, dos segmentos cuyo punto medio sea 4 , 5 . Solución Una respuesta a este problema consiste en fijar de manera arbitraria las coordenadas de un punto que defina uno de los extremos del segmento. Con ello y la longitud, podremos obtener las coordenadas del otro punto extremo. Así, en forma arbitraria se proponen las coordenadas del punto 3 , 4 . Ahora bien, podemos suponer que x1 3 y y1 4 . De acuerdo al teorema 2.2 se tiene que: x (1 r ) x1 rx2 y (1 r ) y1 ry2 donde, en este caso, x , y 4 , 5 , x1 , y1 (3 , 4) , y r 1 , 2 luego 1 1 4 3 x2 2 2 1 1 5 4 y2 2 2 Al despejar en cada caso a x2 y y2 , se tiene 8 3 x2 10 4 y2 x2 5 y2 6 42 Entonces, las coordenadas del otro extremo del segmento son 5 , 6 . Para comprobar este resultado, aplicamos el teorema 2.3, es decir, que las coordenadas del punto medio estarán dadas por: y qy2 x qx2 y y 1 x 1 1 q 1 q De acuerdo con los resultados encontrados, tenemos que: x1 3 y y1 4 ; x2 5 y y2 6 y q 1 (recuerda que q representa la razón entre los dos segmentos que el punto produce y como son iguales su cociente debe ser 1. Entonces, sustituyendo estos valores, tenemos que x qx2 3 1 5 3 5 8 x 1 4 1 q 11 2 2 y qy2 4 1 6 10 x 1 5 1 q 11 2 El resultado comprueba lo acertado de la respuesta. Escala Cuando los pintores y escultores realizan un cuadro o una escultura de una persona, toman la nariz de referencia. Así, la longitud el rostro será tres narices, la distancia a la oreja dos, etc., es decir, escalan de acuerdo con la nariz. Uno de los conceptos más importantes para la gráfica de una función es la escala. Mediante una escala adecuada se puede resaltar lo más características de importante la curva, de una ocultar curva, y deformar llegar a las falsas conclusiones, etc. Por ejemplo, en la figura 2.36 se grafica un círculo, en las figuras 2.37, 2.38 y 2.39 se muestran las gráficas del mismo círculo, pero con diferentes escalas. 43 Figura 2.36 Gráfica de un Figura 2.37 Gráfica de un círculo a escala 1 en los dos círculo a escala 10 y 0.02 en los ejes. ejes. Figura 2.38 Gráfica de un Figura 2.39 Gráfica de un círculo a escala 1 y 10 en círculo a escala 100 en los dos ejes. los ejes. El plano del terreno presentado en la figura 2.24 muestra un ejemplo de la escala. Para realizarlo se tomaron las medidas y luego se escaló un plano cartesiano de tal forma que pudiera dibujarse el plano del terreno en una hoja. A cada marca se le asoció una cantidad de 50 m, 100 m o 1000 m, 44 dependiendo de las longitudes asociadas al terreno. A este proceso de redefinir una escala en un plano cartesiano se llama escalamiento y es muy importante para poder realizar la gráfica de cualquier figura. Ejemplo 2.15 Señala que se debería hacer con el plano de la figura 2.40 si se desea graficar el punto (8 , 10) : a) Cambiar la escala. b) Modificar el origen. c) Ambos, es decir, cambiar escala y modificar el origen. Figura 2.40. Plano cartesiano Solución Este problema es curioso, porque cualesquiera de las tres respuestas es correcta. Iniciemos con la respuesta al inciso a. Por ejemplo, si se modifica la escala se puede proponer ahora que cada marca sea de dos unidades o tres, o proponer escalas diferentes en los ejes como se muestran en las figuras 2.41, 2.42, 2.43 y 2.44. 45 Figura 2.41 Gráfica del punto Figura 2.42 Gráfica del punto (8 , 10) en un plano con escala (8 , 10) en un plano con escala en el eje X de 2 y eje Y de 2. en el eje X de 3 y eje Y de 3. Figura 2.43 Gráfica del punto Figura 2.44 Gráfica del punto (8 , 10) en un plano con escala (8 , 10) en un plano con escala en el eje X de 5 y eje Y de en el eje X de 10 y eje Y de 5. 10. Observación Aunque las coordenadas son fijas, la posición del punto cambia al usar otra escala en los ejes. 46 Nota Observe que se han elegido en las figuras 2.43 y 2.44 escalas diferentes para cada eje cartesiano. Ahora se dará respuesta al inciso b, es decir, ubicar el punto modificando el origen. En este caso se puede cambiar el origen hacia el extremo derecho inferior, de tal forma que el punto a graficar sea visible, como se muestra en las figuras 2.45 y 2.46. Figura 2.45 El origen permite punto (8 , 10) . traslado dibujar del el Figura 2.46 Traslado de origen que permite dibujar (8 , 10) . El tercer caso se deja como ejercicio al lector. (Sugerencia: Este caso es una combinación de los casos a y b). Observación La elección de una escala adecuada para graficar curvas, segmentos o rectas es muy importante, puesto que una mala 47 elección de escala puede ocultar información importante o conducir a falsas conclusiones. Ejemplo 2.16 En un plano con origen en el centro, determina cómo se ve el segmento formado por los puntos (2 , 3) y (8 , 7) en un plano con las siguientes escalas: a) Una unidad por cada marca en cada eje. b) 10 por cada marca, en ambos ejes. c) 1000 por cada marca, en los dos ejes. d) De una unidad en el eje X y de 10 unidades por marca en el eje Y. e) De una unidad en el eje Y y de 10 en el eje X. Solución Se construye en cada caso el plano y el segmento, con la escala señalada y se aprecia cómo la interpretación es muy diferente con diferentes escalas (figs. 2.47, 2.48, 2.49 y 2.50.) 48 Figura 2.47 Gráfica del segmento formado por los puntos (2 , 3) y (8 , 7) en un plano de escala 1, en ambos ejes. Figura 2.49 Gráfica del segmento formado por los puntos (2 , 3) y (7 , 8) en un plano de escala 10, en eje Y, y 1 en eje X. Figura 2.48 Gráfica del segmento formado por los puntos (2 , 3) y (8 , 7) en un plano de escala 10, en eje Y, y 10 en eje X. Figura 2.50 Gráfica del segmento formado por los puntos (2 , 3) y (7 , 8) en un plano de escala 1, en eje Y , y 10 en eje X. RESUMEN Definición 49 Se llama escala a la asignación numérica para cada eje cartesiano. Teorema La longitud del segmento de recta determinado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) está dado por d x2 x1 y2 y1 2 2 . Definición Dado un punto x , y si se trazan líneas paralelas a los ejes a partir de este punto, al valor que resulta de la intersección en cada eje cartesiano, con las líneas paralelas se les llama proyecciones. Definición Se llama plano euclidiano a un plano cartesiano con ejes perpendiculares y una misma escala en ambos ejes. Definición Cuando los ejes no son necesariamente perpendiculares o tampoco las escalas son necesariamente las mismas en cada eje, se le llama plano cartesiano. Teorema Si se tiene un segmento de recta formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) , entonces, las coordenadas del punto P x , y que divide al segmento en una razón r AP son: AC x x1 r ( x2 x1 ) (1 r ) x1 rx2 y y1 r ( y2 y1 ) (1 r ) y1 ry2 con r entre 0 y 1. Teorema Las coordenadas del punto P ( x , y) que divide a un segmento AC , formado por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) , en una razón 50 q AP , están dadas por: PC x y qy2 x1 qx2 y y 1 1 q 1 q con q 1 . AUTOEVALUACIÓN 1. Construya, para cada caso, un plano euclidiano de tal forma que: a) el punto b) el punto 20 , 10 sea posible 10 , 5 se vea. de verse. 2. Dibuje un plano cartesiano con el origen a) al centro del plano. b) fuera del centro. En ambos casos debe ser posible situar el punto 100 , 10000 . 3. Encuentre la distancia del segmento de recta definido por los puntos A 2 , 5 y B 12 , 15 . a) Mueva el segmento de tal forma que el punto A 2 , 5 quede en el origen del plano. Encuentre las nuevas coordenadas del punto B y calcule de nuevo la distancia entre los nuevos puntos. Para hacer las operaciones aritméticas utilice una calculadora. 4. Si las coordenadas de un segmento de recta son (2 , 7) , determine las coordenadas de otro punto del segmento de tal forma que su longitud sea 8. 5. Determine las coordenadas del punto P que divide al segmento formado por los puntos A 3 , 4 y B 6 , 5 en: a) la mitad. 51 b) en dos tercios y un tercio. 6. Establezca las coordenadas de los extremos de un segmento cuyo punto medio sea 7 , 3 . 52