Funciones de forma jerárquicas

Funciones de forma jerárquicas
Supongamos que se desea hallar la solución mediante elementos finitos del siguiente
problema para un elemento sometido a carga axial sobre el cual actúa una fuerza
distribuida que varía linealmente como 2 x, es decir
EA
d 2u
 2 x  0,
dx2
u (0)  u (2)  0 .
(1)
La solución exacta de este problema está dada por
(2)
EAu  (4x  x 3 ) / 3 .
Para obtener una solución mediante elementos finitos podemos dividir el dominio en
dos elementos de 1 unidad de longitud cada uno con las siguientes propiedades, para
cada elemento.
Matriz de rigidez,
 1  1
[ K ](1)  [ K ]( 2)  EA
.
 1 1 
(3)
Además, con cada elemento están asociados los siguientes vectores de fuerzas en los
nodos, equivalentes a las cargas distribuidas.
Elemento 1, en su centro (coordenada 0.5) la carga distribuida es igual a 0.5 * 2  1 , por
tanto con este elemento está asociado el vector
1*1 / 2   0.5 
    .
(4)
( P) (1)  
1*1 / 2   0.5 
Elemento 2, en su centro (coordenada 1.5), la carga distribuida es igual a 1.5 * 2  3 , por
tanto, para este elemento
 3 *1 / 2  1.5 
    .
(5)
( P) ( 2)  
 3 *1 / 2  1.5 
Las ecuaciones globales quedan entonces como
 1  1 0  Q1   0.5  R1 
  

EA 1 2  1 Q2    0.5  1.5 
 0  1 1  Q3   1.5  R3 
(6)
Dado que Q1  Q3  0 , entonces, de la segunda ecuación se deduce que
EAQ2  1
(7)
que es igual en este caso a la respuesta exacta. Si deseamos obtener una aproximación
para x = 0.5, la respuesta aproximada arroja un valor de 0.5 vs el exacto, según la
ecuación 2, igual a 0.625.
1
La pregunta que surge es:
¿Cómo podemos mejorar la aproximación para la posición x = 0.5 ?
La respuesta obvia es que repitamos el problema utilizando ahora 4 elementos en vez de
2. No obstante, en este caso deberíamos empezar el ejercicio desde cero, sin utilizar
para nada la respuesta anterior. Surge entonces el interrogante de cómo mejorar la
aproximación utilizando para ello los resultados anteriores y sin necesidad de repetir el
ejercicio desde cero. Esto se puede lograr mediante la utilización de las funciones de
forma jerárquicas, tal como se explica a continuación.
En cada elemento tenemos hasta el momento una aproximación lineal del
desplazamiento
q 
u  [l1 l 2 ] 1 
 q2 
(8)
donde l1 y l2 son las funciones de forma lineales definidas como
1 s
1 s
,
l2 
(9)
2
2
en un dominio natural desde -1 hasta 1. El vector de desplazamientos claramente
identifica los desplazamientos en cada uno de los nodos del elemento. Una forma de
mejorar la aproximación es incorporar una función cuadrática, de tal manera que ahora
la aproximación para u sea
l1 
u  [l1
l2
 q1 
 
N 3 ( s )] q 2 
 
 
(10)
donde
(11)
N 3 ( s)  1  s 2 .
El la Figura 1 se observa que esta parábola es máxima e igual a la unidad en el centro y
es igual a cero en los extremos. Entonces, con esta aproximación lo que se pretende es
mejorar la respuesta en el interior del elemento. El parámetro  indica qué tanto se
separa la función de su aproximación lineal en el centro del elemento.
2
Figura 1. Representación de las funciones de forma l1 , l2
y N 3 ( s) .
Con base en procedimientos ya conocidos (identificación de la matriz de rigidez en la
ecuación de la energía potencial, cálculo de la matriz [B], etc) se puede establecer la
rigidez de este elemento con una función de forma jerárquica, que resulta ser
0 
 1 1
EA 
[K ] 
1 1
0  .
(12)

L
 0
0 16 / 3
Observe que en esta matriz de rigidez obtenemos ceros en las entradas (1,3) y (2,3) lo
cual indica que las ecuaciones NO ESTÁN ACOPLADAS, y podemos calcular
directamente el valor del parámetro  .
Además, el vector de fuerzas asociado con este elemento es
(e)
( P)
(e)
1 / 2 
 Lb0 1 / 2 
2 / 3
(13)
donde b0 es igual a la carga uniformemente distribuida en el elemento. Note que para el
problema anterior la carga NO ES UNIFORME, no obstante, para cada elemento la
estamos aproximando como si fuera uniforme, donde el valor tomado es el de la carga
en el centro de cada elemento.
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Por tanto, en el problema anterior, la nueva aproximación para el elemento (1) implica
plantear la ecuación
16 EA (1) 2
  1 *1
(14)
3x1
3
de donde resulta que
EA (1)  1 / 8 .
(15)
Por tanto, la aproximación de u(x) en el elemento (1) resulta ser igual a
 0 


u  [l1 l 2 N 3 ( s )] 1 
(16)
1 / 8 


Y la aproximación para la función u(x) en el centro del elemento (1) es igual a la exacta,
aprovechando además los primeros resultados. Observe (Figura 2) que 1/8 es la
separación en el centro del elemento con respecto a la aproximación lineal.
Figura 2. Aproximación lineal y cuadrática para el problema en consideración, elemento
(1). En el centro del elemento (posición 0.5) la aproximación cuadrática difiere 1/8 de la
lineal.
La función jerárquica de tercer grado está definida como s(s 2  1) . Mayor información
puede encontrarse por ejemplo en el libro:
Zienkiewicz, O.C. y Taylor, R.L., The finite element method, Fourth Edition, McGraw
Hill, New York, 1989.
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