Solución a los ejercicios de vectores:

Tema 0: Solución ejercicios de introducción vectores
Gymnázium Budějovická
Solución a los ejercicios de vectores:
Nota 1: Estas soluciones pueden tener errores y erratas (es un rollo escribiros las
soluciones bonitas con el ordenador), así que hay que verlas con espíritu crítico y
confiar también en vuestra lógica y vuestro “saberhacer”. Se agradecerá que los
errores que se puedan detectar sean comunicados al profe, Diki Moc!!.
1. Determinar las componentes de un vector de módulo 5 unidades, que forma
60º con el eje positivo OX. ¿Y si el ángulo es de 120º ?
Solución:
1
v x  v·cos  5·cos60  5·  2,5
2
a)
3
v y  v·sen  5·sen60  5·
 2,5· 3
2
b)
v x  v·cos  5·cos120  5·
v y  v·sen  5·sen120  5·
-1
2
3
 2,5
 2,5· 3
2
2. ¿Qué dirección (ángulo con eje OX) tendrá el vector de coordenadas (-4, 7)?
¿Y el vector (3,-4)? ¿Y el vector (0,-6)? ¿Cuáles serán las coordenadas de los
vectores opuestos (de sentido contrario) a estos?
Solución:
v
a) 1  arctg y
v
 x

7 
  arctg   -60,26 pero en realidad estamos buscando un ángulo en el II
-4

1  180º60,26º  119,74º
cuadrante (cos <0 y sen >0) luego:
v
b)  2  arctg y
v
 x
del
III

-4
  arctg   53,13º (o lo que es lo mismo, si queremos escribir este ángulo
 3 

cuadrante
como
 2  360º53,13º  306,77º
positivo
(sentido
contrario
a
las
agujas
del
reloj)
)
3. Un vector tiene su punto de aplicación (origen) en el punto (2,4) y su extremo
en el punto (7,7). Determina el módulo de ese
(7,7)
vector, así como su dirección (ángulo con OX)
Solución

v  (vx ,v y )  (7  2,7  4)  (5,3)

v  v  v x2  v y2  25  9  34
(2,4)
 vy 
3
  arctg   30,96º  31,0º
5 
 vx 
  arctg
4. Calcula el módulo del vector cuyas coordenadas son (4,-3)

Solución: v  v 
v x2  v y2  42  (3) 2  25  5  0
5. La suma de vectores, ¿será conmutativa?. Demostrarlo gráficamente mediante
algún ejemplo.
1
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Solución: ya lo hemos visto en clase la suma de vectores es conmutativa (os dejo como ejercicio
“demostrarlo” gráficamente mediante un ejemplo)
6. Las direcciones de dos vectores, cuyos módulos son de 3 y 4 unidades, forman
entre sí un ángulo recto. ¿Cuánto valdrá el módulo de su resultante?

Solución: R  R 
32  42  5
7. En el caso anterior, ¿cómo podríamos determinar la dirección del vector
resultante?
Solución: Suponiendo los vectores coincidiendo con los ejes X e Y:
  
 R  v1  v 2


v1  (v1x ,v1y )  (3,0) y v 2  (v2x ,v2y )  (0,4)
y aplicando trigonometría básica, el ángulo que forma el vector resultante con el eje X es:
 
  arctg   53,13º = (esta sería la solución si el vector de módulo 4 esta verticalmente)
4
3
8. ¿Cómo se procederá para determinar la resultante de un conjunto de vectores
libres?
Solución: Desplazando los vectores hacia el mismo punto y haciendo coincidir sus orígenes.
9. ¿Cómo se determinaría la resultante (gráfica) de un conjunto de vectores que
poseen la misma dirección:
a. con igual sentido,
b. con sentidos diferentes.
¿Qué conclusiones pueden deducirse de estas situaciones?
Solución: Pensadlo vosotros, es fácil
10.

Obtener todos los elementos de la resultante de los vectores A  (2,5) ,


B  (0,-3) y C un vector de módulo=4 unidades y α=35º.

Solución: C  (C·cos35,C·sen35) (4·cos35,4·sen35) (3,28 ; 2,29)
   
R  A  B  C  (2,5)  (0,3)  (3,28;2,29)  (5,28;0,71)

R  R  (5,28)2  (0,71)2  5,33
  0,71
  7,66º
 5,28 
  arctg
11.
¿Puede el módulo de un vector ser negativo? ¿Y las componentes de un
vector, pueden ser negativas?
Solución: No, los módulos siempre son positivos
Si, por supuesto que pueden serlo, son números escalares “normales”.
12.



Dibujar los vectores: A  (-3,-4) , B  (0,-3) y C  (-3,4)
Solución: Dibujar vectores si sabéis no?
2
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13.

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





Dados los vectores a  (1,0) y b  (3,0) . Obtener el vector c  a  b



Solución: c  a  b  (1,0)  (3,0)  (4;0)
14.



Dados los vectores e  (2,0) y f  (0,3). Obtener el vector h  3·e  2·f



Solución: h  3·e  2·f  3·(2,0)  2·(0,3)  (3·2;2·3) (6;6)
15.
Obtener las componentes de un vector, si sabemos que su módulo es de 12
unidades y forma un ángulo de 30° con la parte positiva del eje OX.
Solución: Este tipo de ejercicio lo hemos hecho ya un millón de veces.
v x  v·cos  12·cos30  12·
3
 6· 3
2
1
v y  v·sen  12·sen30  12·  6
2
16.
Obtener las componentes de un vector, si sabemos que su módulo es de 8
unidades y forma un ángulo de 300° con la parte positiva del eje OX.
Solución:
1
v x  v·cos  8·cos300  8·  4
2
 3 
  -4· 3
v y  v·sen  8·sen300  8·
 2 


 A
17.
Dado el vector A  (-3,7), comprueba que el vector u   es un vector de
A

modulo unidad en la misma dirección y sentido que A . (Ayuda: Calcula el vector

u y después usa la fórmula (3) para comprobar que la tangente de los ángulos


que forman con el eje X , tanto A como u son iguales.


2
2
Solución: A  (-3,7)  A  A  Ax  Ay  58

 A
1 
1
 3 7 
u     ·A 
(3,7)  
,

58
A
A
 58 58 
Veamos que ambos vectores forman el mismo ángulo con el eje X:


7 
  tg 


-3



7 
 7



 7   α A  α u  arctg - 3 
58
 tg 



  tg 
 - 3 
-3

58 



A
tg(α A )  tg  Y
 AX
u
tg(α u )  tg  Y
 uX



El valor de este ángulo esta calculado en el ejercicio siguiente
3
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18.
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Determina TODAS las características (módulo, ángulo con eje X) del vector

A del ejemplo anterior.

Solución: Solo os queda por obtener el angulo que A  (-3,7) forma con el eje X.
7 
  -66,8º Ojo!!! este ángulo está en el IV cuadrante pero nuestro vector esta en
-3
el II cuadrante tenemos que buscar el ángulo equivalente.  α  180 - 66,8º  113,2º
  arctg
19.
Dado los vectores A=-5i +4j; B=-i -7j. Obtener todas las características del
vector P= 5A -3B.



Solución: P  5·A  3·B  5·(-5,4)  3·(-1,-7)  (25  3;20  21)  (22;41)
El módulo y el ángulo que forma P con el eje x lo calculáis vosotros (ya sabéis como).
20.



Dado el vector H  2i  5 j . Obtener un vector unitario en su MISMA
dirección y sentido.



Solución: H  2i  5 j  (2,5) 

H  H  H x2  Hy2  29

 H
1 
1
5 
 2
u     ·H 
(2,5)  
,
  (0,37;0,93)
29
H
H
 29 29 
21.
Expresar en notación de vectores unitarios (como suma de vectores unitarios
 
i y j ) los vectores de los ejercicio 14 al 18.
Solución: Os dejo este ejercicio a vosotros para que practiquéis, es trivial.

22.
Dado el vector a con origen en el origen de coordenadas y de componentes:
ax=3 unidades, ay=4 unidades. Exprésalo en forma vectorial, calcula su módulo y
el ángulo que forma con el eje OX
Solución:




4
a  3i  4 j  (3,4) ; v  a  42  32  25  5  0 ;   arctg   53,13º
3
23.
¿Es posible que la suma de dos vectores, de módulos 3 y 4 sea un vector de
módulo 1?
Solución: ¿Que pensais vosotros? Que ocurriría si por ejemplo sumamos los vectores

- 3·i

4·i
El modulo de la suma de dos vectores siempre cumple que:
 
 
 
a  b  ab  a  b
4
Tema 0: Solución ejercicios de introducción vectores
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Esto no hay que saberlo para mi asignatura es solo por información y curiosidad. Trata de
imaginarte o de dibujar de que forma puedes sumar dos vectores para obtener un vector lo más
largo posible (módulo mayor) o lo más corto posible (módulo menor).
24.
Calcula las componentes cartesianas del vector a que tiene por origen el
origen de coordenadas, de módulo cinco unidades y que forma un ángulo de 52º
con el eje de las abscisas.
Solución:
v x  v·cos  5·cos52  5·0,616  3,08
v y  v·sen  5·sen52  5·0,788  3,94
5