PROCESOS DE MODELIZACIÓN EN LA EDUCACIÓN
SECUNDARIA CHILENA. UNA PROPUESTA DE AULA QUE
INCORPORA COMO EJE CENTRAL LA EVALUACIÓN DE LOS
APRENDIZAJES.
MARÍA ARAVENA D.; CARLOS CAAMAÑO E.; CARLOS CABEZAS M;
GIMÉNEZ, JOAQUÍN.1
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL MAULE. TALCA-CHILE.
RESUMEN.
La ponencia se enmarca en un Proyecto de tres años financiado por el Fondo Nacional de Desarrollo
Científico y Tecnológico (FONDECYT N° 1030122), en ejecución. Se presenta una propuesta de trabajo
que incorpora dos temas específicos que presentan dificultades en su enseñanza: las funciones en Tercer
Año de Educación Secundaria y las Isometrías en Primer Año. Para el tratamiento de los temas se ha
incorporado como central la modelización de situaciones y su evaluación de tal manera de verificar el
progreso real de los estudiantes mediante la elaboración de pautas que incorporan los aspectos cognitivos,
metacognitivos y de formación transversal necesarios para enfrentar un mundo en cambio permanente.
Para el diseño de la propuesta de aula se ha realizado un estudio sobre: (1) Las deficiencias que existen
en la educación media chilena, donde se coloca de manifiesto que en el aprendizaje de la matemática, se
entrega una visión enciclopédica y artificial del conocimiento, que no comunica bien el saber científico,
no ofrece un acercamiento auténtico al proceso investigativo y sólo da un acceso esquemático y
restringido a una imagen no siempre contemporánea del mundo físico y humano. Dentro de los obstáculos
se incorpora un estudio realizado por Aravena (2001), quien muestra que éstos son similares a los
reportados por Clement, 1985; Janvier, 1981; Kerslak, 1977; Azcárate, 1995 y Cantoral, 1995. Asimismo,
el estudio muestra que las prácticas evaluativas tampoco contribuyen a desarrollar capacidades de alto
nivel, puesto que se basan sólo en pruebas escritas descontextualizadas donde se privilegia la
memorización, los algoritmos y la parcelación del conocimiento, dejando de lado las aplicaciones en
contextos auténticos. Se agrega además, un problema anexo que está relacionado con la diversidad de los
estudiantes en la mayoría de los establecimientos deprimidos socioculturalmente. (2) La componente
histórica-epistemológica que permitió tener en consideración una reconstrucción del conocimiento
matemático apuntando a: que la introducción del concepto de función surga como una necesaria respuesta
a problemas reales para su posterior análisis; los tipos de representaciones mediante el tránsito de una
representación a otra; los obstáculos en la creación de los conceptos, en especial cuando se enseña a
construir aparatos conceptuales nuevos (Filloy, 1989). En el diseño del trabajo geométrico se tuvo en
consideración que en su enseñanza se debe incorporar: manifestaciones artísticas de nuestro entorno
cultural, que lleven a la idea de transformación de forma natural e intuitiva; construcción de la idea de
transformación, de tal manera de ver la necesidad de los aparatos conceptuales y los obstáculos en la
evolución conceptual. (3) Modelos de enseñanza, donde hemos seleccionado y adecuado dos modelos:
para el trabajo con funciones nos hemos enmarcado en las propuestas de Talyzina (1988), Jorba (1996),
Leontiev (1993) y Davydov (1998), y en el trabajo con las isometrías en las propuestas de los VanHiele(1957), Jaime y Gutiérrez (1996), Alsina, Pérez y Ruiz (1989), Fortuny y Giménez (1998) y (4)
Modelos de evaluación, en este aspecto hemos seguido las propuestas de Giménez (1997), Alsina (1998),
William $ Ahmed (1997), Izard (1997). A partir de los estudios realizados, la secuencia de aula en
bloques de trabajo incorpora: (1)Tema funciones: conexión matemática y ciencias, situaciones gráficas y
de la vida cotidiana, interrelación con al geometría, modelización de situaciones de la realidad chilena de
las ciencias y un trabajo matemático –computacional para afianzar los conceptos y procesos matemáticos
(2) Tema de isometrías: Se consideró la jerarquización y secuencialidad de los niveles de Van-Hiele
que da origen a la unidad estructurada de forma interdisciplinar que incorpora: El arte en la historia de la
cultura chilena, donde se introducen los conceptos de traslación rotación y simetría y se formalizan los
conceptos y procedimientos isométricos. El trabajo matemático culmina con construcciones de frisos y
mosaicos y descubriendo las isometrías en las ciencias, donde se interrelacinan los conceptos isométricos
con fenómenos naturales Finalmente se diseñó la organización global de aula donde se incorporan
proyectos de trabajo como actividad de integración en ambos temas.
1
Giménez Joaquín. Catedrático de la Universidad de Barcelona. Colaborador Internacional. Proyecto de
Incentivo a la Cooperación Internacional FONDECYT N° 7030099
FUNDAMENTACIÓN.
La investigación aborda un problema vigente que está relacionado con las dificultades
que presentan los estudiantes en el aprendizaje de la matemática en la enseñanza media
chilena, especialmente en los establecimientos municipalizados. La bibliografía
revisada da cuenta que una de las dificultades en la enseñanza de la matemática es la
forma como se articula el contenido, donde se destaca una orientación de los problemas
al ámbito puramente matemático, no se relaciona el contenido con otras áreas de la
propia matemática, como también son escasas las aplicaciones hacia otras áreas del
conocimiento. Se orienta preferentemente el trabajo en el aula a la ejercitación y el
manejo de algoritmos con escasa vinculación con problemas del mundo real. Siendo
consistente además con los sistemas tradicionales de evaluación imperantes en Chile,
basados sólo en pruebas escritas que no contribuyen a desarrollar capacidades de alto
nivel. Al mismo tiempo, la región del Maule- Talca, históricamente ha sido reconocida
como una de las áreas geográficas con los rendimientos más deficitarios a nivel de
mediciones nacionales de la calidad de la educación, apreciándose además, que estas
diferencias son mayores en los establecimientos deprimidos socioculturalmente, donde
se manifiesta más claramente la diversidad (Fuentes, Caamaño y otros, 1996).
A partir de este reconocimiento, se aborda dos áreas deficientes en Chile, a partir de
contenidos matemáticos específicos, para el desempeño matemático actual y futuro de
los estudiantes de educación media: el álgebra y la geometría. Dentro del tema del
álgebra el trabajo de funciones es tratado, en general, desde un punto de vista
estrictamente matemático generando una serie de obstáculos y dificultades en la
comprensión de los conceptos y procesos matemáticos (Aravena,2001) similares a
investigaciones reportadas por Booth, (1988), Clement, (1985), Janvier (1981)), Arcavi
(1995); Azcárate (1995) y Cantoral (1995). Respecto de los temas geométricos, tenemos
una gran desventaja con respecto a otros países, tanto en la investigación, como en la
práctica educativa. Esto es, a partir de los 60, surgió una nueva estratificación de
saberes, privilegiándose el pensamientos abstracto por sobre las representaciones, se
desplaza la aritmética, se separa el álgebra de la geometría y se dejan de lado las
aplicaciones (Aravena, Caamaño, 2000 y Aravena, 2001). Esta desintegración tuvo
como consecuencia que en la mayoría de los establecimientos no se enseñaran temas de
geometría, y en los que este tema era tratado, sólo era visto desde un punto de vista
eminentemente teórico, sin aplicaciones y alejado de la realidad del estudiante.
Producto de la utilización de la matemática en el mundo actual, consideramos de vital
importancia que exista una complementariedad del pensamiento algebraico con el
geométrico y el analítico y una integración con las otras áreas del conocimiento
(Gutiérrez, 1996), de tal manera que los estudiantes desarrollen esquemas de
razonamientos cada vez más abstractos a partir de objetos matemáticos concretos. Pero
para tener éxito, es de vital importancia el diseño de una sistemática de evaluación que
regule los aprendizajes continuamente y que permita evaluar las capacidades
desarrolladas mediante esta integración. Este énfasis de integración basado en lo
algébrico – geométrico- analítico permite una mejor compresión de la matemática. La
perspectiva histórica muestra que muchos problemas analíticos no resultaron claros
hasta que fueron abordados por métodos algebraicos y en la actualidad existen
problemas cuya solución obliga a resultados numéricos, siendo factibles después de la
algebrización de dichos problemas. Además desde el punto de vista algébricogeométrico numerosas investigaciones acerca del aporte que hace la visualización y la
intuición geométrica a la comprensión y tratamiento de los problemas matemáticos,
confirman nuestro planteamiento (Caamaño, 2001; Giménez, 1998).
De las investigaciones realizadas en Chile, no existen estudios que muestren como
desarrollar un proceso de modelización en la educación secundaria, mediante el trabajo
de proyectos, que incluya una propuesta integrada reguladora que contemple las
características anteriormente descritas para tratar el contenido matemático. Esto es, en
nuestro estudio nos interesamos por la formación matemática en estudiantes secundarios
de manera integrada, donde se trabajen los contenidos con problemas concretos
incorporando la modelización de situaciones y el trabajo de proyectos en grupo como
integración del contenido, que enriquece el trabajo matemático de aula y permite el
desarrollo de capacidades y habilidades matemáticas necesarias en un mundo cada vez
más matematizado (William & Ahmes,1997); Niss,1996; Blomhoj, 2000; Giménez,
1998; Alsina, 1998, Abrantes,1994 y Aravena 2001).
A partir de la situación descrita, la propuesta articula tres ámbitos: modelización,
proyectos y evaluación que sitúa un trabajo de manera integrada en unos contenidos
matemáticos específicos para su mejor aprendizaje, de tal manera que los estudiantes se
apropien de los conceptos y objetos matemáticos como proceso de integración y
construcción, contextualizada en un ambiente de resolución de problemas a través de la
regulación continua de los aprendizajes (Giménez, 1997), donde la planificación del
desarrollo de los contenidos contemple una enseñanza investigativa y cíclica
(Dubinsky,1996)y unas bases para su enseñanza basado en la teoría de la actividad (
Talyzina,1988; Jorba,1996; Leontiev,1993 y Davydov,1998).
ORGANIZACIÓN DE LA SECUENCIA DE TRABAJO DE MODELIZACIÓN.
Hemos seleccionado problemas que ofrecen una visión integradora de ésta con las otras
ciencias y de sus aplicaciones, de tal manera que permita a los estudiantes comprender
los diferentes fenómenos sociales y desarrollar la capacidad crítica y el rol de la
matemática en la sociedad. Incorporando actividades computacionales colocando el
énfasis en la construcción y comparación de procedimientos y procesos rutinarios, de tal
manera que el estudiante reconozca su utilidad y sus limitaciones. Hemos adecuando los
problemas a la realidad educativa de nuestro país. En efecto, la búsqueda de nuestra
identidad y la valoración de nuestro patrimonio histórico-cultural, ha sido incorporado
con fuerza en la propuesta de isometrías puesto que nuestras culturas pasadas trabajaban
en forma “intuitiva” numerosos aspectos de la geometría, y en particular de las
isometrías. Mostramos en términos globales el diseño de la propuesta.
TEMA DE FUNCIONES.
(1)Contenidos. Para quienes se inician en un trabajo de modelización incorporamos
contenidos claves que no estaban en el programa de estudio, tales como: interpolación
lineal y cuadrática, ajuste de datos y aproximación, contenidos que han estado presentes
en la historia de la matemática y de las ciencias desde los primeros rudimentos de la
idea de modelo (Boyer, 1996), cuyo conocimiento es vital cuando se trabaja con
problemas reales a través de la modelización de situaciones. Aún más, la idea de
aproximación permite a los estudiantes comprender que “incluso las ciencias más
precisas funcionan normalmente con aproximaciones” (De Guzmán, 1998) y, que
cuando se modela un fenómeno del mundo real estamos representando una
simplificación de la realidad, aislando ciertas variables y considerando sólo ciertos
aspectos del problema y que muchos modelos matemáticos no pueden resolverse con
exactitud, donde la única alternativa consiste en buscar una aproximación a la solución
exacta. Por ello, hemos tenido en consideración una reconstrucción del conocimiento
matemático que considere: que la introducción del concepto de función surja como una
necesaria respuesta a problemas reales para su posterior análisis y los obstáculos en la
creación de los conceptos. (2) Los tipos de representaciones. Nos hemos basado en
los estudios históricos e investigaciones, que muestran que la búsqueda de formas de
representación para analizar un fenómeno ha sido una constante en la historia y que
tales representaciones, ponen en funcionamiento diferentes procesos cognitivos
(Janvier, 1987; Font, 2001). El paso de una representación a otra se ha organizado de tal
manera que el estudiante pueda ampliar y reorganizar la información que está implícita
en una de las formas de representación y, para deducir, generalizar y afianzar
conceptos, se utilice software matemático simplificando algunas de las posibles
traducciones entre las representaciones. La tabla que se presenta organiza las
traducciones entre las diferentes formas de representación, agregando nuevas
componentes a observar en el trabajo matemático que las utilizadas por Janvier (1987) y
las modificadas por Font (2000).
(3) Modelo de enseñanza para el contenido. Uno de los motivos de la evaluación, es
el control de consecución de los objetivos de aprendizaje. Por ello, la elección del
modelo de enseñanza juega un papel crucial en la regulación y autorregulación de los
aprendizajes. Las características de este tipo de trabajo, requiere que el estudiante sea
capaz de utilizar el conocimiento disponible en situaciones nuevas, regulando sus
propios procesos de razonamiento y elaborando su propia manera de ser..Para ello, se
seleccionó y modificó el Modelo de Jorba (1996), que regula los aprendizajes en ciclos
y fases. El ciclo contiene: la regulación y autorregulación y las fases de aprendizaje:
exploración del problema; introducción de conceptos y procedimientos; estructuración
y aplicación.
FASES: Modelo de Jorba para regulación y análisis del trabajo matemático de aula y
proyectos. Modificado.
Abstracto
INTRODUCCIÓN DE
CONCEPTOS Y
PROCEDIMIENTOS
Reconocimiento lenguaje
matemático y conceptos
involucrados y procedimientos.
Construcción del conocimiento
FAMILIARIZACIÓN CON EL CONTENIDO
Matematización.
Conceptualización.
Comunicación.
Resultados del proceso.
EXPLORACIÓN
Concreto
Simple
PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN REAL y
recococimiento de la información ,
organización, interpretación y planificación de
la información del problema (datos- tablasgráficos- ejes)
Tercera fase.
Elementos que deben
notarse.
ESTRUCTURACIÓN
APLICACIÓN
CONCLUSIONESINTERPRETACIÓN
GENERALIZACIÓNCONSISTENCIA,
UTILIDAD- PROYECCIÓN.
Matematización
Simbolización,
destrezas específicas
y las habilidades
observables a través
de sus explicaciones
orales o escritas.
(1)Operatoria algebraica, colocar
las ecuaciones matemáticas en
juego,
. (2)ajuste como aproximación
para la situación, destrezas
específicas.
(3)
Cálculos
matemáticos
correctos, aproximación de los
datos. Representación gráfica
correcta de los datos. Evaluación
de alguno de los datos en el
modelo descrito.
Interpretación realidad
Modelo de Jorba(1996) modificado
complejo
Tercera fase del modelo
(4) Los tipos de situaciones permiten una visión integradora de los aspectos teóricos y
funcionales de la matemática. Éstas conectan la matemática con la vida real, con las
ciencias, con el arte y con la propia matemática. Se establece así una clasificación que
interrelaciona lo algébrico-geométrico-analítico. La visualización geométrica ha sido
considerada como un paso necesario para la formalización analítica presentando
situaciones en las cuales hay que construir la función a partir de elementos geométricos
como recurso para introducir y visualizar los conceptos de crecimiento y decrecimiento
y a la vez los fundamentos de optimización. El ejemplo muestra una situación de la
región.
(5)
La regulación continua de los aprendizajes. Iniciamos las actividades
seleccionando los conceptos a través de problemas donde el trabajo de los estudiantes se
manifieste a partir de la intuición y la exploración (fase 1), donde la deducción empiece
a ocupar un lugar central, pero que se fundamente en la argumentación que faciliten la
construcción del conocimiento de los alumnos (fase 2). El reconocimiento de
situaciones de modelaje y el trabajo matemático incorpora los contenidos
procedimentales tales como la matematización y conceptualización, de tal manera de
estructurar los conceptos y procedimientos y la sistematización de ellos (fase 3). La
aplicación de conceptos a situaciones similares o en contextos de aplicación le permite
familiarizarse con el contenido, reconocer las posibilidades que ofrece, interpretar la
realidad, saber utilizar el nuevo aprendizaje, reconocer su utilidad y establecer
proyecciones ( fase 4). Se presenta un ejemplo que coloca de manifiesto los contenidos
cognitivos conceptuales, procedimentales, metacognitivos y de formación transversal
considerados para la regulación del trabajo de aula.
TEMA ISOMETRÍAS.
(1)
Contenidos. En el tratamiento del contenido hemos seguido las propuestas de
Fortuny y Giménez (1998), relacionando los valores culturales, sociales y
antropológicos del uso y la concepción de la forma en la sociedad, permitiendo una
conexión interdisciplinar, esto es, con la geografía, el arte y la ciencia en general.
Hemos adecuado los problemas a la realidad educativa de nuestro país, valorando
nuestro patrimonio cultural. Al respecto, la valoración de nuestro patrimonio es esencial
en un mundo globalizado, especialmente por la sobrevaloración que existe de patrones
culturales ajenos a las realidades socioculturales de nuestra región (Thomas, 2000). En
efecto, la búsqueda de nuestra identidad y la valoración de nuestro patrimonio lo hemos
incorporado con fuerza en nuestra propuesta. La geometría en general y en particular las
isometrías por su presencia en la naturaleza y contextos culturales y científicos, proveen
de un ambiente adecuado por excelencia para introducir a los estudiantes en la
enseñanza de la geometría. A continuación mostramos dos actividades de clase donde
se observa la riqueza de figuras en el diseño prehispánico y en la cultura Diaguita del
Norte de Chile.
¿Se repite este modulo?
Textil prehispánico . Periodo intermedio tardío (1000
dC-1400dC).Bolsa faja con decoración zoomorfa, usada
para cenír la camisa..Costa de Arica.
¿Qué otra figura
se repite en el
tapiz?
Problema 4
Textil prehispánico
Isometrías en la cultura Diaguita. Norte de Chile
(2) Modelo pedagógico de los Van- Hiele. En la descripción de los procesos de
razonamiento, identificamos una secuencia de tipos de razonamiento y en las fases de
aprendizaje hemos organizado la propuesta de tal manera ayudar a los estudiantes a
alcanzar con facilidad un nivel superior. Esto permite que los estudiantes pueden
recorrer progresivamente esta fascinante teoría consiguiendo, en consecuencia, una
relación más cercana con la matemática, su lenguaje y sus métodos. Por el carácter
gráfico del quehacer geométrico y para facilitar la visualización de los objetos de
estudio, incorporamos en algunas actividades el uso de software que simulan
movimientos en el plano y permiten la manipulación por parte de los estudiantes con el
objeto de buscar regularidades de la dinámica de transformaciones y procurar
generalizaciones. Mostramos un ejemplo de una matriz para el caso de las traslaciones y
la foto de una mujer mapuche donde se observa la presencia de las isometrías en el
collar de plata.
(3)La regulación
de los
aprendizajes.
Identificamos un proceso de regulación de lo que el alumno aprenderá desde una
perspectiva de evaluación continua. Para ello, iniciamos las actividades explorando
elementos de nuestra cultura a partir de la intuición que faciliten posteriormente la
construcción del conocimiento geométrico.
IMPLICACIÓNES DIDÁCTICAS. La organización permite: 1. Formar a los
estudiantes para una participación activa en el ámbito social y cultural. Esto
responde a la necesidad actual de comprender los diferentes fenómenos sociales y para
ello se debe desarrollar una visión integrada de las matemáticas que les permita a los
estudiantes comprender y valorar la utilidad de los conceptos y procesos en un mundo
cada vez más matematizado (Niss, 1989). Las matemáticas configuran un código
lingüístico que permite expresar ideas de un contexto social. En este marco de
comunicación la propuesta entrega los elementos matemáticos para que los alumnos
accedan a la información y adquieran elementos de juicio para opinar críticamente sobre
los acontecimientos que se exponen. 2. Formación matemática para entender los
fenómenos científicos. Responde a la necesidad de comprender la importancia de la
matemática en el desarrollo científico y tecnológico, evitando la descontextualización
con las otras áreas del conocimiento. La propuesta ofrece la posibilidad de vincular la
matemática con las ciencias y permite que el estudiante de significado a los conceptos y
métodos matemáticos apreciando la aplicabilidad de los conceptos, la utilidad de las
representaciones gráficas y geométricas de los fenómenos y de la manipulación
algebraica en la descripción matemática del fenómeno en estudio (Aravena, 2001). 3.
Una formación matemática para un conocimiento personal y grupal Necesitamos
formar a los estudiantes como agentes del desarrollo, que puedan contribuir no sólo a
solucionar problemas, sino a plantear nuevos problemas. La discusión que genera este
tipo de problemas es un medio potente para la autorregulación del conocimiento y para
desarrollar una actitud positiva hacia la matemática. La propuesta potencia el desarrollo
de la autonomía basada en la reflexión de la propia experiencia (Abrantes, 1994) y
aporta los elementos necesarios para el desarrollo interpersonal e intrapersonal en la
formación matemática de los estudiantes (Aravena, 2001).
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