UN MODELO DE APRENDIZAJE CONSTRUCTISVA EN

MA. DEL CARMEN CHAMORRO
UN MODELO DE APRENDIZAJE CONSTRUCTIVISTA EN
MATEMÁTICAS: EL APRENDIZAJE
POR ADAPTACIÓN AL MEDIO
UN MODELO DE APRENDIZAJE CONSTRUCTIVISTA EN
MATEMÁTICAS: EL APRENDIZAJE
POR ADAPTACIÓN AL MEDIO*
Ma. del Carmen Chamorro
Desde que se abandona el campo del empirismo, investigar los problemas del
aprendizaje como resultado de la enseñanza, resulta bastante difícil, ya que se trata de
relacionar un aprendiz, un profesor y un saber específico, por lo tanto, hay que investigar
en el interior de una teoría didáctica y no de una teoría psicológica.
Brousseau (1998)1 entiende el aprendizaje por adaptación del siguiente modo:
«El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de dificultades, de
desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este saber, fruto de la adaptación del
alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje» (p. 59).
Esta concepción del aprendizaje2 está en muchos aspectos muy próxima a la de
Piaget: el alumno construye su propio conocimiento y actúa en un medio fuente de
desequilibrios. Considera de singular relevancia la elaboración y el estudio del medio, de
las situaciones que debemos proponer a los alumnos, que ellos puedan «vivir» y en las
cuales los conocimientos matemáticos deben aparecer como la solución óptima a los
problemas propuestos. Serán situaciones donde el alumno desarrolle un trabajo intelectual
comparable, en algunos momentos, a la actividad científica, es decir, donde actúe, formule,
pruebe y construya modelos de lenguaje, conceptos y teorías que intercambie con los
demás, donde reconozca aquellos que están conformes a la cultura y donde recoja aquellos
que le son útiles y pertinentes. Son situaciones de creación y no de redescubrimiento.
Actividad 7: Situación: «La carrera del 20»:
Se trata de un juego que se lleva a cabo entre dos jugadores. El jugador que comienza debe decir el número 1
o bien el 2 y el contrincante debe decir un número 1 o 2 unidades mayor. Gana el jugador que dice 20 por
primera vez.

*
Lleve a cabo este juego con un compañero/a de clase. Determine la estrategia ganadora. ¿Qué
conocimiento matemático deben «construir» los alumnos para «ganar» en esta situación?
Tomado de Chamorro, Ma. del C. et al. (2003). Didáctica de las matemáticas. Madrid, Pearson Educación,
pp. 47-55.
1
Brousseau, G. (1998) Ibidem.
2
La teoría de situaciones de Brousseau (1986, 1998) trata de aproximarse, bajo un modelo teórico, al
problema del aprendizaje de las matemáticas a través de un proceso de adaptación al medio. Por ello,
proporciona herramientas muy potentes para interpretar los fenómenos específicos que se producen en la
construcción de los conocimientos matemáticos.
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Bajo esta perspectiva, según Brousseau (1994), 3 enseñar un conocimiento matemático
concreto es, en una primera aproximación, hacer posible que los alumnos desarrollen con
dicho conocimiento una actividad de creación matemática en el sentido anterior. El profesor
debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones matemáticas que ellos puedan vivir, que
provoquen la emergencia de genuinos problemas matemáticos y en las cuales el conocimiento
en cuestión aparezca como una solución óptima a dichos problemas, con la condición
adicional de que dicho conocimiento sea construible por los propios alumnos. La gestión de
una enseñanza de las matemáticas que dé respuesta a este modelo de actividad matemática
queda bajo la responsabilidad del profesor y no es nada nuevo el afirmar que constituye uno de
los más importantes problemas a los que se enfrenta la didáctica de las matemáticas.
En consecuencia, «el aprendizaje se considera como una modificación del
conocimiento que el alumno debe producir por sí mismo y que el maestro sólo debe
provocar» (Brousseau, 1994, p. 66). Esta consideración del aprendizaje nos lleva a los
siguientes razonamientos: para hacer funcionar un conocimiento en el alumno, el docente
ha de buscar una situación apropiada. Para que sea una situación de aprendizaje es
necesario que la respuesta inicial que el alumno dé, frente a la pregunta planteada, no sea la
que queremos enseñarle: si ya fuese necesario poseer el conocimiento a enseñar para poder
responder, no se trataría de una situación de aprendizaje, sería de aplicación de
conocimientos ya aprendidos o de refuerzo de conocimientos anteriores. La «respuesta
inicial» sólo debe permitir al alumno utilizar una estrategia de base con la ayuda de sus
conocimientos anteriores; pero, muy pronto, esta estrategia debe mostrarse lo
suficientemente ineficaz como para que el alumno se vea obligado a realizar
acomodaciones (es decir, modificaciones en su sistema de conocimientos) para responder a
la situación propuesta. Esto lo hemos podido constatar por medio de los ejemplos que
hemos analizado anteriormente.
El trabajo del docente consiste, pues, en proponer al alumno una situación de
aprendizaje para que produzca sus conocimientos como respuesta personal a una pregunta,
y los haga funcionar o los modifique como respuesta a las exigencias del medio (situaciónproblema) y no a un deseo del maestro. Hay una gran diferencia entre adaptarse a un
problema que plantea el medio, insoslayable, y adaptarse al deseo del docente. La
significación del conocimiento es completamente diferente. Una situación de aprendizaje es
una situación donde lo que se hace tiene carácter de necesidad, independientemente de la
voluntad del maestro. La resolución del problema se vuelve entonces responsabilidad del
alumno, que debe hacerse cargo de obtener un resultado.
Desde esta perspectiva, el alumno aprenderá matemáticas, si:


3
Entra en el problema, haciéndolo suyo.
Pone en funcionamiento una estrategia de «base» (que puede ser pesada y
antieconómica, defectuosa...).
Brousseau, G. (1994): Los diferentes roles del maestro. En Parra, C. y Saiz, I. (Eds.): Didáctica de las
matemáticas, (p. 65-95) Buenos Aires: Paidos.
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
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Cuando la estrategia de base se hace insuficiente, trata de superar el desequilibrio
y anticipa y emite hipótesis que le permitan:

Elaborar procedimientos, ponerlos en funcionamiento, y según los efectos
producidos, adoptarlos o modificarlos...
 Automatizar aquellos que sean solicitados con más frecuencia.
 Ejercer un control sobre los resultados.
 Construir con sentido un conocimiento matemático.
APRENDIZAJE Y GESTIÓN DE VARIABLES DIDÁCTICAS
Según acabamos de ver, se considera que el alumno «aprende» cuando modifica él
mismo su relación al conocimiento, adaptándose a las situaciones-problema que le presenta
el profesor. Entre las elecciones que el profesor lleva a cabo en las situaciones de
enseñanza, algunas de ellas van a ser fundamentales por la significación de los
conocimientos matemáticos que espera que el alumno aprenda. Estas elecciones
fundamentales se denominan variables didácticas.
«Una variable didáctica es un elemento de la situación que puede ser modificado por el maestro, y que
afecta a la jerarquía de las estrategias de solución que pone en funcionamiento el alumno (por el costo,
por la validez, por la complejidad, etc.)» (Briand, Chevalier, 1995, p. 68).4
No podemos considerar que «todo» sea variable didáctica en una situación. Una
variable didáctica es un elemento de la situación tal que, si actuamos sobre él, podemos
provocar adaptaciones y aprendizajes. Veamos los siguientes ejemplos:
a) Situación de reproducción de un triángulo dado
El profesor divide la clase en dos grupos: emisores y receptores; da al grupo de emisores una hoja en la que
hay dibujado un triángulo:
B
21 cm
10 cm
A
C
25 cm
y les indica la siguiente consigna: «Enviar un mensaje escrito al grupo de receptores para que construyan, sin
verlo, un triángulo igual al dado». Disponen de doble decímetro.
Los mensajes que envían los alumnos son del tipo: «Construye un triángulo de lados: AB = 10 cm; BC =
21cm y AC = 25 cm». Los receptores siguen los datos del mensaje y construyen sin dificultades el triángulo
pedido.
4
Briand, J., Chevalier, M.C. (1995): Les enjeux didactiques dans l'enseignement des mathématiques. París: Hatier.
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El profesor a continuación presenta la situación siguiente:
b) Situación de reproducción de un rombo
Da al grupo de emisores una hoja en la que hay dibujado un rombo ABCD,
cuyos lados miden 15 cm.
Consigna: «Enviar un mensaje a los receptores, de tal manera, que construyan,
sin verlo, un rombo igual al dibujado».
Los emisores miden los lados del rombo y emiten mensajes, en su mayoría, del
tipo: debes dibujar una figura con cuatro lados que mida cada uno 15 cm. Es
como un cuadrado un poco aplastado.
La figura que construyen los receptores no coincide con la original. Evidentemente, no tienen datos suficientes.
La estrategia de base empleada, análoga a la utilizada para la construcción del
triángulo, en este caso, no ha sido válida. Los alumnos se enfrentan a un fuerte
desequilibrio. Construyen diversos cuadriláteros, pero no coinciden con el
dado.
El objetivo de esta situación es que los alumnos sean capaces de tener en cuenta un segmento no representado
ostensiblemente en la figura: la diagonal del rombo. Considerando este dato, además de la medida del lado, la
figura estará unívocamente determinada. La diagonal, en este caso, no es un elemento descriptivo, sino un
elemento necesario para la construcción de esta figura. Esta relación de necesidad sólo la pueden construir los
alumnos con sentido en este tipo de situaciones.
La elección llevada a cabo por el profesor: dibujar primero un triángulo y posteriormente un rombo supone el
control de una variable didáctica5 muy pertinente en esta situación: el tipo de figura a representar, ya que
provoca en el alumno la «necesidad de concebir un segmento no representado» como algo válido para
resolver el problema. Ha existido la construcción de un aprendizaje con sentido: la determinación de la
diagonal me permite encontrar la solución.
El esquema siguiente muestra la conexión que debe existir entre las hipótesis de
aprendizaje adoptadas por el maestro y la gestión que ha de ejercer sobre las variables
didácticas de una situación de enseñanza.
5
Ha existido un «salto informacional»: se llama salto informacional a un cambio de valor de una variable
didáctica en el interior de una situación de aprendizaje susceptible de provocar un cambio de estrategia
(Briand, 1995, p. 69).
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Hipótesis de aprendizaje
Maestro/a
Gestión y
Control
Acción
SITUACIÓN
Medio
Alumno/a
(estrategias)
Retroacción
Variables didácticas
En la actividad introductoria (ej. 1, 2ª secuencia de enseñanza), la maestra puede gestionar las siguientes
variables didácticas: elección y diseño de las piezas para la construcción de la gran ciudad, posibilidad de
tirar a la vez uno o más dados, los puntos marcados en cada cara de los dados, la necesidad de escribir un
mensaje para «comprar» las piezas, etc. Una gestión adecuada de estas variables permitirá que los alumnos
pasen de una estrategia de base: encontrar una pieza que tenga «tantos cuadraditos como puntos tiene el
dado», a una nueva estrategia: «descomponer una colección dada en varias sub-colecciones cuya unión sea
coordinable con la inicial y, posteriormente, construir un mensaje en el que deban formular estas acciones».
Cuando el alumno pasa de la estrategia de base a la nueva, decimos que ha construido un nuevo
conocimiento: ha llevado a cabo un aprendizaje. A diferencia de la 1a secuencia de enseñanza, en la
segunda, la descomposición de los primeros números se construye en un contexto funcional: es necesario
descomponerlos porque esto les permite resolver un problema.
En esta situación (véase ejemplo 3) existen dos variables didácticas sobre las que puede actuar el
profesor: los números que definen la transformación: n  p (razón de proporcionalidad: p/n).
● Si p es múltiplo de n, por ejemplo: si la longitud de 4 unidades se transformase en 8 unidades
(4à8), entonces, el alumno se queda en el modelo aditivo y los números con los que trabajará
serán enteros (ya que resolverá el problema calculando «el doble» de las longitudes de todas las
piezas).
● Si p/n es racional no decimal, tal como ocurría en el ejemplo 3, donde se pedía que la longitud de
4 unidades se transforme en 7 unidades (47), entonces hay un fuerte desequilibrio, ya que
estamos obligados a prescindir del modelo «aditivo» y de los números enteros.
Los valores de np ponen en juego el sentido de la multiplicación de un entero por un racional. La
gestión que de ellos haga el maestro en la situación, va a permitir al alumno el paso de la multiplicación de
un entero por un entero (modelo aditivo, adición reiterada) a la multiplicación de un entero por un racional
(modelo multiplicativo, imagen por una aplicación lineal).
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De todo lo anterior podemos deducir que la construcción de situaciones de
enseñanza-aprendizaje en las que se determinen variables didácticas, que controladas por el
profesor permitan a los alumnos realizar elecciones y anticipaciones, tomar decisiones,
llevar a cabo acciones, comunicaciones, etc. que, posteriormente, puedan probar y validar,
es una tarea compleja, fruto de un serio análisis didáctico y de una elaborada ingeniería
didáctica.6
Actividad 8: Determine las variables didácticas que puede gestionar el profesor en la situación descrita en la
actividad 7. Establezca la dependencia que existe entre las elecciones del profesor y las estrategias de
solución que pueden llevar a cabo los alumnos.
ERRORES Y OBSTÁCULOS EN EL APRENDIZAJE
Aunque la teoría sobre los obstáculos epistemológicos tiene sus raíces en la obra del
filósofo y epistemólogo de la ciencia Bachelard (1983), la introducción de la noción de
obstáculo en la didáctica de las matemáticas se debe a Brousseau: «El error no es solamente
el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar, según se creía en las teorías
empiristas o conductistas del aprendizaje; sino el efecto de un conocimiento anterior, que
tuvo su interés, su éxito, y que ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Los errores
de este tipo no son fortuitos e imprevisibles, su origen se constituye en un obstáculo»
(Brousseau, 1998, p. 120).7
Se establece, pues, una estrecha conexión entre cierto tipo de errores y la
constitución de obstáculos. Veamos una serie de conocimientos que tienen los alumnos,
basados en aprendizajes hechos en escuela elemental, generalmente implícitos, que ponen
en funcionamiento en sus tareas escolares:
 Todo número es siempre mayor que su mitad: la mitad de 24 es 12.
 Sumar dos números significa ir añadiendo al primero, una a una, todas las
unidades que tiene el segundo: 35 más 7 es igual a 42 (36, 37, 38, 39, 40, 41 y 42)
 El siguiente de un número es siempre una unidad mayor que él: el siguiente de
3453 es 3454...
 Para multiplicar a · b es necesario sumar a consigo mismo tantas veces como
indica b: 7 x 5 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7.
Estos conocimientos tienen un dominio de validez limitado: el conjunto de los
números naturales; en este dominio, su empleo conduce a respuestas correctas, pero cuando
los alumnos los aplican a otros dominios numéricos, como el de los números decimales o
los números enteros, les provocan errores persistentes o inadaptaciones locales que
6
7
Este apartado se tratará en el Capítulo 3 de este libro.
Brousseau, G. (1998) Ibidem.
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conllevan pérdidas de sentido:
● «
1
 8   8 »error
2
● Sumar: 2347 + 0,567 +  inadaptación
● «el siguiente de 1,6 es 1,7»  error
● Multiplicar: 2,75 x 14,348  inadaptación
Los caracteres esenciales que nos permiten identificar, en los comportamientos de los
alumnos, un obstáculo epistemológico son:
● Siempre se trata de un conocimiento, no de una ausencia de conocimiento.
● Este conocimiento permite al alumno producir respuestas correctas en
determinados dominios de problemas.
● Este mismo conocimiento engendra respuestas erróneas para ciertos campos de
problemas.
● Los errores producidos no son esporádicos sino muy persistentes y resistentes a la
corrección.
El origen de los obstáculos puede ser: epistemológico, ontogenético y didáctico.
Los obstáculos de origen epistemológico están estrechamente ligados al saber
matemático. La construcción del conocimiento matemático se enfrenta y se apoya en ellos.
El proceso de aprendizaje que llevan a cabo los alumnos pasa por situaciones en las que,
necesariamente, se encuentran con ellos.
Actividad 9: Los errores que siguen los cometen los alumnos de forma persistente:
1 1 1
 
5 3 8
a  b2  a 2  b 2
23  2 5  28
¿Podría determinar el obstáculo epistemológico que los provoca?
● Los obstáculos de origen ontogenético están ligados al desarrollo neurofisiológico
de los sujetos. Los errores que cometen los alumnos en torno a la conservación de
las colecciones de objetos son de este tipo. Así, dadas las dos situaciones
siguientes: 8
8
Ejemplo propuesto en Briand, J, Chevalier, M.C. (1995, p.118).
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Colección A
Colección A
Colección B
Colección B
alumnos de una determinada edad admiten perfectamente que, en la primera situación, las
dos colecciones A y B tienen la misma cantidad de elementos, mientras que en la segunda,
sólo por tener la colección B sus elementos más expandidos, les conduce a afirmar que la
cantidad de elementos de B es mayor que la de A. En este caso, la percepción espacial de la
colección se impone a la lógica numérica. Se trata de errores cometidos por alumnos que
están en un estadio del desarrollo cognitivo caracterizado por la falta de conservación de las
cantidades.
● Los obstáculos de origen didáctico son debidos a las decisiones que toma el
profesor o el propio sistema educativo en relación con algunos conocimientos
matemáticos. Por ejemplo, la presentación ostensiva que llevan a cabo los
profesores de las figuras geométricas, a la que anteriormente nos hemos referido,
constituye un verdadero obstáculo didáctico para los procesos de prueba y
demostración en geometría. Los alumnos mantienen durante mucho tiempo una
profunda confusión entre el simple dibujo que «muestra», basta con mirar, y la
construcción geométrica fundada en propiedades, proposiciones y teoremas
geométricos.
Pedimos a los alumnos que lleven a cabo la tarea que sigue:
Medir el segmento AB
A
B
tomando como unidad de medida el segmento U
La mayoría de los alumnos proceden superponiendo el segmento AB reiteradamente sobre U y dan la medida
de U tomando como unidad el segmento AB. Se resisten a medir con una unidad mayor el objeto a medir.
«¿Cómo vamos a medir AB con U?» Normalmente, en las aulas, este tipo de actividades está ausente, en
caso de llevarse a cabo medidas efectivas sobre objetos reales, la unidad de medida es generalmente menor
que el objeto a medir. Así, esta decisión didáctica constituye un verdadero obstáculo didáctico para generar
conocimientos matemáticos relativos a la necesidad del fraccionamiento de la unidad de medida o a la
conmensuración de cantidades de longitud.
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Actividad 10: Ante una tarea escolar en la que se pedía llevar a cabo la descomposición canónica de
números naturales, los alumnos dieron las siguientes respuestas:
235 = 200 + 30 + 5,
3 576 = 3 000 + 500 + 70 + 6,
47 = 40 + 7
50 = 47 + 3
70= 65 + 5
340 = 300 + 40
El maestro corrigió las tres últimas indicando a los alumnos que debían expresar canónicamente:
50 = 50 + 0, 70 = 70 + 0, 340 = 300 + 40 + 0 (debéis «sumar cero», hay ausencia de unidades)
¿Por qué razones didácticas, la mayoría de los alumnos, en sus producciones, no incluyó el cero como un
sumando en la descomposición canónica?
Actividad 11: Resuelva las siguientes actividades escolares y determine su diferencia, desde el punto de
vista de los conocimientos matemáticos qué es necesario movilizar en cada una de ellas:
– Dado el lado a dibuja un rectángulo con
centro en A:
 A
– Dado el lado a construye un rectángulo
con centro en A:
A
¿Qué posibles estrategias podrán desarrollar los alumnos para resolverlas? ¿Qué conocimientos, de los
aplicados por los alumnos en la primera actividad, pueden constituirse en obstáculo para la segunda?
En general, podemos afirmar que los obstáculos entran normalmente en el proceso de
construcción del conocimiento, es ilusorio querer evitar a toda costa errores debidos a los
obstáculos. Bien al contrario, los alumnos deben enfrentarse a ellos, superarlos y tomar
conciencia de sus limitaciones. Para que esto sea posible el profesor debe necesariamente
ponerlos ante situaciones donde interactúen con un medio que les provoque desequilibrios y
retroacciones.
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