Materiales auxiliares para la organización del aprendizaje MATERIALES ELABORADOS O ADAPTADOS POR LOS Clubes de Matemáticas de los CECyT 6, 7, 9 y 11 MAPOA Hoja 1 Índice Introducción Propósitos y Competencias Básicas del Estudiante de Bachillerato Para entrar en materia El Modelo PER El enfoque profundo y sus características El enfoque superficial y sus características Cuestionario de autoevaluación Algunos enunciados sobre la organización La Heurística Heurísticas de uso frecuente Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas El Portafolio Un diagrama del portafolio El portafolio como escaparate Las Fichas Recomendaciones para el trabajo individual Recomendaciones para la discusión general Recomendaciones para el trabajo en equipo Recomendaciones para la elaboración del reporte de la actividad ¿Qué es un problema? ¿Qué es un ejercicio? Antes de entregar tu reporte, ¡revísalo! Cómo construir un mapa conceptual Las actividades de comprensión de Perkins Guía para la elaboración de reportes de lectura Conozcamos mejor nuestros libros de texto Las Matemáticas en mi vida Ficha sobre resolución de problemas y juegos Autoexamen sobre tu manera de pensar Los Formatos de Evaluación Evaluación de presentaciones Autoevaluación de reportes Registro de participaciones Las tres preguntas reveladoras de Mosteller Autoevaluación del curso Autoevaluación de habilidades, actitudes y valores Citas Cita de apertura Cita de cierre MAPOA Hoja 2 Introducción. Algunos auxiliares para la organización del aprendizaje Para lograr el aprendizaje integral y multidimensional que se propone es necesario que todos nos hagamos corresponsables. Esta responsabilidad compartida apunta al fortalecimiento de nuestra autonomía. A lo largo de las sesiones discutiremos explícitamente algunos de los materiales para la organización del aprendizaje y procuraremos convencernos de la importancia de su uso cotidiano. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos a los que haremos referencia constantemente durante las actividades de resolución de problemas y del curso en general. En la medida en que nos familiaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que podemos expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En términos generales, todos estos auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse de su aprendizaje» y contribuyen al logro de nuestra autonomía en la organización de nuestros propios aprendizajes. Los auxiliares para la organización del aprendizaje que se proponen son: En este breve texto se discute el aprendizaje de la resolución de problemas en el contexto de las habilidades intelectuales de alto nivel y se propone un modelo de aprendizaje esquemático, «hacer, reflexionar y comunicar», que contrasta con el tradicional «oír, ver y reproducir». Aquí se presenta por primera vez la idea del problema como el mejor medio de establecer una relación fecunda con una disciplina. Esta idea se discute más detalladamente en «La Heurística». Para entrar en materia. En el modelo de organización del aprendizaje PER (Propósito, Estrategia, Resultado) de Selmes se presenta un marco de referencia para estructurar las actividades de aprendizaje. Se invita a administrar los dos enfoques que se proponen, el superficial y el profundo, con el objeto de formarse un estilo independiente. El modelo PER. La Heurística. En este documento de Schoenfeld se presenta una estrategia de resolución de problemas, acompañada de un diagrama de flujo y de una tabla que incluye las heurísticas de uso más frecuente. MAPOA Hoja 3 El material consta de tres partes: «La estrategia». «Algunas heurísticas de uso frecuente». «Una síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas». El portafolios, que es un recipiente en el que se acumula, organiza y El portafolios reorganiza todo lo que se produce en las actividades, en forma individual o en equipo, así como los comentarios y extensiones de estos productos. El portafolios aporta información sobre: el pensamiento del alumno, su crecimiento en el tiempo, las conexiones que establece, el punto de vista del alumno acerca de su quehacer matemático, el proceso de resolución de problemas. La mejor manera de convencernos de la utilidad del portafolios, de conocer su potencial y advertir sus limitaciones, es usarlo para recopilar todos los reportes de RP, los planes, los reportes de las experiencias, los comentarios de las lecturas, etcétera. Algunos comentarios y sugerencias sobre la elaboración del reporte, el trabajo en equipo, la discusión matemática, el control durante la resolución de problemas en el salón de clases y clases y la elaboración de controles de lectura se presentan en forma de fichas. A partir de los resultados de las investigaciones de algunos educadores se proponen una serie de comentarios, para su discusión, sobre diversos aspectos de las sesiones de resolución de problemas. Las fichas La evaluación de nuestro aprendizaje debe estar basada en las Los formatos de intenciones educativas y los objetivos de nuestro curso, así mismo debe apuntar a mejorar nuestro método de aprendizaje y a reforzar nuestro evaluación conocimiento de nosotros mismos. Estos formatos establecen criterios que nos permitirán evaluar de una forma más integral nuestro propio trabajo y el de nuestros compañeros. Índice MAPOA Hoja 4 Propósitos y Competencias Básicas del Estudiante de Bachillerato Propósitos del Bachillerato la formación integral, que amplía la educación del estudiante en los campos de la cultura, la ciencia y la técnica, la formación propedéutica, que le ayuda a prepararse para una formación profesional superior, con los conocimientos, técnicas, métodos y lenguajes que requiere dicha formación, la formación de capacitación para el trabajo, que le permite capacitarse para incorporarse al mercado laboral, y la formación de autodidaxia, que contribuye a que desarrolle la capacidad de organizar los aprendizajes propios. Competencias Básicas del Estudiante de Bachillerato Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante, de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para su aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo que se considera que son -o deben sercomunes a todos los bachilleratos del país. Se considera que, en términos generales, las competencias básicas que deben estar presentes en el perfil del educando son: Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita, así como interpretar los mensajes en ambas formas. Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos, matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.). Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicos para la resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitud creativa y trabajando individualmente o en grupos. Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de los conocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos y políticos de su comunidad, región y del país. Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual. Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que se refiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, salud física y formación cultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo social. Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana. Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global del medio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad. Índice MAPOA Hoja 5 Para entrar en materia Hay algunas actividades que, a estas alturas de la vida, un estudiante ya sabe hacer, y las hace muy bien. Son acciones y realizaciones a veces más complejas que las que se aprenden en la escuela. Esta capacidad ya probada debe generarte confianza en tu capacidad de aprender también en la escuela. La escuela es el ámbito de los saberes sistemáticos. Para la mayoría de las personas, los aprendizajes más importantes de la vida se dan fuera de los muros y las rejas escolares. Sin embargo, en estos tiempos, pasamos tanto tiempo en la escuela (haz la cuenta) que lo menos que podemos exigirnos, y exigirle a la escuela, es que nos brinde algunos aprendizajes verdaderamente significativos en el presente, que además nos resulten provechosos en el futuro. Para lograr los objetivos del bachillerato, el estudiante invierte tiempo, dinero y esfuerzo, en la adquisición de conocimientos, en el desarrollo de habilidades y en la formación de actitudes. Cuando el estudiante se acerca a la escuela y no hay convicción, o interés genuino, fácilmente cae en la farsa típica de complicidades compartidas: el profesor hace como que enseña y el estudiante hace como que estudia y aprende. El estudiante acude a la escuela con una idea muy definida de lo que debe encontrar en la escuela: Saber algo significa responder lo que el profesor considera correcto. Se realizan actividades siguiendo procedimientos que se enseñan explícitamente. Los exámenes se resuelven aplicando un sistema de claves de baja complejidad. Estas creencias son incompatibles con los aprendizajes que pretendes lograr en este bachillerato. Aquí se trata de que desarrolles tus habilidades intelectuales de alto nivel. Estas habilidades, de nombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas, organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos y actividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte a verdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir las consecuencias… Todo esto es más difícil, pero es lo que haces, y vas a seguir haciendo cada vez más, fuera de la escuela. Nuestro modelo de aprendizaje se puede resumir en los siguientes tres pensamientos: Oigo y olvido, veo y recuerdo, hago y comprendo. (Un viejo proverbio chino) Hacer… y reflexionar acerca de lo que se hace. (S. Papert) No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo eficazmente. (Así decian los grriengos) MAPOA Hoja 6 Así nuestro modelo se puede sintetizar en la tríada Hacer - Reflexionar - Comunicar El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que debe contar con una nueva actitud del estudiante, que también se responsabiliza y se compromete con su aprendizaje. Juntos podrán definir las distintas maneras de desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y sus riesgos. Los nuevos objetivos son más complejos, lograrlos es una tarea más difícil pero también, creemos, más atractiva e interesante. La resolución de problemas es un proceso muy complejo cuando los problemas que enfrentas son verdaderos problemas. Debido a esta complejidad, los factores que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema y comprender algo de la interacción con el problema son muchos y de distintos niveles. La desatención de uno, o varios, de estos factores puede entorpecer y a veces hacer imposible la solución de un problema o la comprensión que se deriva de la interacción fecunda con el problema. Una componente que influye de manera determinante corresponde a la forma en que las personas interactúan durante la resolución de un problema. Piensa en un laboratorio en el que se estudian algunos procesos, los factores que intervienen en los procesos se administran, se registran continuamente y algunos de ellos se controlan. En cada una de las modalidades de participación durante la resolución de los problemas (individual, grupo chico y grupo completo) se han identificado algunas formas de actuación que obstaculizan unas y contribuyen otras a la solución y a la comprensión. Te damos algunos ejemplos y queremos que pienses en otros, los comentes con tus compañeros y propongas formas de evitarlos o favorecerlos. Una de las críticas más frecuente a la enseñanza escolar actual se refiere a que desarrolla hábitos rígidos en los métodos de aprendizaje de los alumnos y una actitud dependiente de las rutinas y de los profesores (el binomio alumno adicto a las recetas - profesor autoritario y paternalista). Puesto que uno de los propósitos del bachillerato es la autodidaxia, hay una contradicción entre lo que produce realmente la práctica escolar y lo que se propone. Los industriales se quejan de que sus empleados no saben utilizar sus conocimientos fuera de los salones de clases, ni organizar sus propios aprendizajes para incorporar los avances tecnológicos en su práctica profesional. Índice MAPOA Hoja 7 El Modelo PER * Una de las críticas más frecuente a la enseñanza escolar actual se refiere a que desarrolla hábitos rígidos en los métodos de aprendizaje de los alumnos y una actitud dependiente de las rutinas y de los profesores (el binomio alumno adicto a las recetas - profesor autoritario y paternalista). Puesto que uno de los propósitos del bachillerato es la autodidaxia, hay una contradicción entre lo que produce realmente la práctica escolar y lo que se propone. Los industriales se quejan de que sus empleados no saben utilizar sus conocimientos fuera de los salones de clases, ni organizar sus propios aprendizajes para incorporar los avances tecnológicos en su práctica profesional. Casi todos los modelos de organización del aprendizaje se basan en las reglas que han resultado útiles a una persona, generalmente el autor de las recetas, y no suelen tener una base lógica que las sostenga, obtenida a partir del estudio sistemático de los procesos de aprendizaje de los alumnos, que pueden ser muy diversos. Los alumnos que tienen éxito en el estudio casi siempre son organizados, en tanto que una característica común de los que fracasan es que no saben cómo organizar su estudio, además de que acostumbran culpar de su bajo rendimiento a sus compañeros, a sus profesores o a la escuela. Los aprendizajes complejos, como los que se quieren lograr en el bachillerato, se viven como un proceso difícil, poco eficaz, plagado de obstáculos en el que no sirven las recetas. Para mejorar la eficacia del aprendizaje hay que atender tanto al proceso de aprendizaje como a aquello que se está aprendiendo. Es preciso comprender el espectro de enfoques que se pueden adoptar para realizar las actividades de aprendizaje. No existe el mejor método de aprendizaje universal. Un aprendizaje sólido, flexible y duradero y una actitud independiente requieren de por lo menos dos condiciones: A. Un marco de referencia desde el que el alumno pueda estructurar sus pensamientos y acciones acerca de las actividades de aprendizaje; es decir, una base para planear y organizar su aprendizaje. B. La práctica en la aplicación de estrategias distintas y el análisis y la evaluación de estas experiencias con sus compañeros y profesores. Son muchos los factores que influyen en la formación de un estilo independiente de aprendizaje, ya que los alumnos tienen sus propias personalidades, motivaciones, experiencias, aptitudes, intereses y creencias. De parte del profesor es indispensable que haya respeto por las diversas formas de trabajar de los alumnos y de parte de ambos, profesor y alumno, el reconocimiento de que trabajan asociados en el logro de objetivos comunes. Pero un requisito indispensable para que el alumno se forme un estilo independiente de aprendizaje es un lenguaje adecuado para considerar el proceso de aprendizaje. Selección del libro: Selmes Ian. La mejora de las habilidades para el estudio. España: Paidós. Ministerio de Educación y Ciencia, 1988 MAPOA Hoja 8 Se han identificado dos categorías de enfoques de aprendizaje, que se refieren a la intención del alumno en el aprendizaje y su proceso de aprendizaje: A. El enfoque superficial, en el que el alumno busca reproducir hechos o ideas que cumplen con los requisitos de una actividad realizada de forma irreflexiva. Las características de este enfoque son: La pasividad en la realización de la tarea; es decir, disposición para hacer las cosas siempre que le digan qué hacer paso a paso. El aislamiento de los aspectos del material para la realización local de las actividades. La memorización del material sin importar si se comprende o no. B. El enfoque profundo, en el que el alumno busca una comprensión personal del significado de la actividad realizada de manera reflexiva. Las características de las acciones de este enfoque son: El intento de interpretación e integración personal de los materiales. La búsqueda de relaciones entre los materiales. La extracción del significado de los materiales. Los alumnos que tienen éxito en sus estudios adoptan el enfoque superficial o profundo según la idea que se hagan de la situación en que se presenta la actividad de aprendizaje. De manera más superficial la adopción de uno u otro enfoque depende de: El método de evaluación. La formalidad de la enseñanza. La dependencia que se tiene del profesor. El tiempo disponible. La motivación. La angustia que genera. El factor más influyente parece ser el primero, el método de evaluación. A. Las evaluaciones asociadas con el enfoque superficial son los exámenes de opción múltiple, la pregunta que apela a la memoria textual y el ejercicio sin un contexto significativo para el alumno. B. Las evaluaciones asociadas con el enfoque profundo incluyen las preguntas abiertas que implican la interpretación, las relaciones y el significado y, muy desaladamente, la situación problemática que implica la toma de decisiones explícita, una diversidad de soluciones, el uso reflexivo del conocimiento y la comunicación clara de las conclusiones personales. La calidad del aprendizaje depende del enfoque que el alumno adopte. Este enfoque, a su vez, está fuertemente influido por el método de enseñanza y el método de evaluación. De aquí que una característica de las enseñanza eficaz y profesional sea la comparación explícita de los métodos de enseñanza y evaluación con los objetivos de aprendizaje, tanto globales como locales. Para desarrollar las habilidades de independencia y control de sus propios procesos de aprendizaje los alumnos necesitan: Pensar acerca de su aprendizaje, recibir orientación para ser más conscientes de lo que hacen y para evaluar la eficacia de su propio estudio. Práctica en la aplicación de estrategias, ayuda para asimilar un espectro de estrategias que aplicarán selectivamente en la realización de las actividades. MAPOA Hoja 9 Reconocer la importancia de estos nuevos hábitos por medio de una serie de ejercicios prácticos que se centren en los tipos de actividades que los alumnos realizan realmente en forma cotidiana. Oportunidades para reflexionar sobre los conceptos e ideas que conforman el lenguaje que sirve para describir los procesos de estudio y aprendizaje. Aplicar sus nuevas habilidades para el estudio en situaciones tanto familiares como inéditas en los cursos que lleven en la escuela. Los propósitos del bachillerato, un aprendizaje complejo que pone énfasis en el significado, la comprensión y la transferencia, requieren que el alumno asuma una mayor responsabilidad en la organización de su aprendizaje. Los alumnos necesitan reconocer el enfoque adecuado, identificar los requerimientos de una actividad específica y adoptar la estrategia más conveniente. Para ser independientes, los alumnos deben administrar estratégicamente los enfoques y descubrir cuáles funcionan mejor en cada caso para cada persona. Una actitud responsable e independiente, que además resulte eficaz, se puede desarrollar por medio de la práctica en el establecimiento explícito de la conexión entre el propósito, la estrategia y el resultado de cada actividad de aprendizaje. El modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) brinda un marco de referencia para la organización y la autoevaluación del aprendizaje y se puede comenzar a aplicar, desde un nivel local, alrededor de las preguntas siguientes: A. Propósito ¿Cuáles son los objetivos de la actividad? ¿Por qué es importante que realice esta actividad? B. Estrategia ¿Cómo se pueden lograr estos objetivos? ¿Cuál es el plan para realizar la actividad? C. Resultado ¿Qué resultado tuvo la aplicación de la estrategia? ¿Qué características debería tener el producto de esta actividad según el propósito enunciado? Al comparar las respuestas de las dos preguntas anteriores, ¿puedo decir que se ha logrado el propósito enunciado?, ¿que se ha realizado con éxito la actividad? La práctica en la aplicación del modelo PER en todos los niveles, desde una actividad de clase hasta una carrera profesional, acostumbra a pensar en detalles sobre los propósitos, estrategias y resultados de aprendizaje y proporcionan una base para cambiar hacia estrategias más eficaces y personales en la realización de los fines. Además, con la autoevaluación que contiene el modelo PER, se aprende a anticipar las observaciones que el profesor puede hacer sobre el trabajo, lo que contribuye al control de la calidad del trabajo antes de que se evalúe formalmente. Las fichas anexas pueden servir como un prontuario para la organización de los aprendizajes. Índice MAPOA Hoja 10 El enfoque profundo y sus características Integración personal. Intención de hacer una interpretación personal del material. Destaca la importancia de comparar la interpretación personal con las de otras personas. Señala el deseo de relacionar la actividad con la situación personal más allá del contexto inmediato. Intención de vincular las ideas y experiencias personales con el tema de la actividad. Indica el deseo de relacionar la actividad con las situaciones cotidianas. Considera la actividad como una parte del desarrollo personal. Interrelaciones. Intención de relacionar las partes de la actividad entre sí. Intención de relacionar la actividad con otros conocimientos pertinentes. Relaciona lo que sabe sobre otros problemas con un nuevo problema. Relaciona los materiales que estudió anteriormente con los materiales nuevos o éstos con materiales futuros. Intención de relacionar materiales de fuentes diversas. Piensa activamente en las relaciones que puede haber entre las partes del material. Intenta relacionar los diferentes aspectos de un problema. Trascendencia. Intención de centrarse en el significado del material. Intención de reflexionar acerca de la estructura subyacente de la actividad. Intenta hacer otras representaciones del material para comprender mejor su significado. El enfoque superficial y sus características Aislamiento. Se centra en los elementos de procedimiento de la actividad. Tendencia a tratar el material como si estuviera aislado de otros materiales. Considera que la actividad consta de partes separadas. Se concentra en las partes de la actividad y no vuelve sobre una parte una vez que la considera acabada. Memorización. Considera que el contexto de la actividad requiere de la memorización del material. Define el propósito de la actividad como memorizar los pasos. Intención de memorizar el material y nada más. Pasividad. La actividad es definida por otra persona. Indica una actitud irreflexiva y pasiva ante la actividad. Indica dependencia del profesor. Trata el material externamente sin comprometerse. Índice MAPOA Hoja 11 Cuestionario de autoevaluación Preparación ¿Identificaste con exactitud los propósitos de la actividad? Planeación ¿Planeaste adecuadamente tu trabajo? ¿El material es pertinente? ¿Relacionaste la actividad con algunos trabajos anteriores? Presentación ¿Crees que el significado que has tratado de dar a tu trabajo resulta claro para sus lectores? ¿Se obtienen las conclusiones a las que llegaste de las evidencias que presentas? ¿Puedes señalar en donde se muestran con claridad las relaciones entre los diversos aspectos? Resultado ¿Crees que el resultado final logró los objetivos de la actividad? ¿Cuáles son los puntos débiles de tu trabajo? Cambios en tu estrategia Si realizaras de nuevo la actividad, o alguna parecida, ¿qué cambios introducirías en la realización de la actividad? Algunos enunciados sobre la organización La organización es uno de los aspectos que tienen una relación directa con el éxito escolar. Los alumnos bien organizados aprenden mejor. El modo de organizarse y los cambios en el modo de organizarse tienen que ver, sobre todo, con tus actitudes. Lee la lista de situaciones que puedes experimentar cuando estudias o realizas actividades de aprendizaje. Modifica las afirmaciones de forma que puedan aplicarse mejor a ti y discute con tus compañeros de que manera puedes superar las dificultades que detectes. A menudo dejo las cosas, como los ejercicios y las tareas, para el último momento. A menudo me retraso al hacer los trabajos. Parece que trabajo mejor en algunos lugares que en otros. Nunca sé con seguridad lo que debo hacer a continuación. Muy seguido dejo el trabajo que pensaba hacer para el día siguiente. No suelo ser muy puntual para empezar a trabajar. Hay muchas distracciones donde hago la mayor parte de mi trabajo. Me desanimo con facilidad cuando se me dificultan las cosas. Siempre estoy atrasado en las cosas que debo estudiar. A menudo creo que me falta tiempo para estudiar. Índice MAPOA Hoja 12 La Heurística * En estas páginas encontrarás una breve descripción de la estrategia de resolución de problemas que usaremos en este curso. Esta estrategia incluye la mayoría de las acciones sistemáticas de los buenos resolvedores de problemas. Hasta donde sabemos, la mayoría de los buenos resolvedores de problemas usan las técnicas que aquí se indican y lo hacen en un orden parecido al que se da aquí. La estrategia se presenta en forma de un diagrama de flujo en el que se señalan las principales etapas del proceso de resolución de problemas: el análisis, el plan, la exploración, la instrumentación, y la verificación. Dejen que le presente una palabra que usaremos con frecuencia. La palabra es heurística. Proviene del griego, y su traducción aproximada es “lo que sirve para conocer o comprender”. Una estrategia heurística es una técnica o indicación cuyo propósito es ayudarte a comprender mejor un problema y en el mejor de los casos resolverlo. Algunos ejemplos de estas estrategias son: “haz un diagrama”, “considera algunos problemas relacionados, pero más sencillos”, “toma una instantánea”, “aplica la lupa”. En la tabla “HEURÍSTICAS DE USO FRECUENTE” se presenta una lista de las heurísticas más importantes de resolución de problemas, y en otra hoja una “SINTÉSIS ESQUEMÁTICA DE LA ESTRATEGIA DE RESOLUCION DE PROBLEMAS” en diagrama de flujo. El diagrama comienza con un análisis de lo que el problema realmente te pide buscar. Esto significa hacerte una idea del problema: qué se da, qué se pide (los fines), por qué los datos están ahí y si los fines parecen razonables, los principios y procedimientos más importantes que parecen venir al caso o ser aplicables, en qué contexto matemático se da, etcétera. Por supuesto, lee cuidadosamente el problema. Cuáles heurísticas (si las hay) resultan adecuadas durante el análisis, puede depender tanto del problema como de la persona que lo está resolviendo. Pero algunos ejemplos del uso adecuado de ciertas estrategias heurísticas en esta etapa de la resolución de problemas se presentan a continuación: 1. Haz un diagrama, aunque el problema parezca ser tratable con un tipo de argumentación distinto (digamos uno algebraico). Los dibujos a menudo te ayudan a ver algunas cosas. 2. Ejemplifica el problema (estudia casos particulares) lo que puede resultar en que resuelvas el problema para algunos casos particulares o en que adviertas empíricamente ciertos patrones determinables. Si te piden que muestres algo “para todos los triángulos”, ¿se cumple para los isósceles, equiláteros o rectángulos? 3. Trata de hacer algunas primeras simplificaciones. En el problema “Encuentra el área máxima de cualquier triángulo que se pueda inscribir en una circunferencia de radio R”, puedes (1) considerar primero la circunferencia unitaria, (2) advertir que, sin pérdida de generalidad, la base del triángulo se puede suponer horizontal, y (3) estudiar varios bosquejos para conjeturar una respuesta aceptable antes de pasar a la resolución analítica. La planeación es, en cierto sentido, un “control experto”. No es realmente una caja aparte en el diagrama de flujo sino algo que impregna todo el proceso de resolución; su función es asegurarte que las actividades que estás realizando son las que más probablemente (hasta donde puedes decirlo en * Tomado del libro: Schoenfeld A. H.. Mathematical Problem Solving. USA: Academic Press, 1985. Traducción y Adaptación del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu MAPOA Hoja 13 este punto) resulten provechosas. De manera más general, la planeación se ocupa de mantener una perspectiva global sobre lo que estás haciendo y de que estás procediendo jerárquicamente. Debes delinear una vía de resolución del problema en un nivel aproximado y cualitativo y después desarrollarlo en detalle conforme el proceso de resolución avanza. Por ejemplo, no deberás embarcarte en cálculos detallados u operaciones complejas hasta que: hayas considerado algunas alternativas, tengas una justificación clara para ellos y se hayan definido otras etapas de la resolución del problema a partir del punto donde los resultados del cálculo sean necesarios o claramente útiles. (¡Cuán lamentable es gastar tiempo y energías en resolver una ecuación, sólo para descubrir que la solución no ayuda realmente en el resto del problema!) La exploración es el corazón heurístico de la estrategia, puesto que es la fase exploratoria en la que la mayoría de las estrategias heurísticas de la resolución de problemas entran en juego. Como se puede ver en la tabla de “HEURÍSTICAS DE USO FRECUENTE” y en el diagrama de flujo de la “SÍNTESIS ESQUEMÁTICA DE LA ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS”, la exploración se divide en tres etapas. En general, las indicaciones de la primera etapa son más fáciles de usar o más adecuadas para dar un acceso directo a una solución del problema original que las de la segunda etapa; la relación entre las etapas 2 y 3 es análogo. Cuando llegues a la exploración, todos los otros factores permanecen iguales, considera brevemente las indicaciones de la etapa 1 según su aceptabilidad, escoge la que te parezca más adecuada y trata de aprovecharla. Si las estrategias razonables de la etapa 1 resultan insuficientes, continúa con la etapa 2; si fuera necesario, cuando hayas agotado la etapa 2, ensaya las estrategias de la etapa 3. Si logras un avance sustancial en cualquier punto del proceso, puedes regresar a la planeación para diseñar el resto de la resolución o bien reingresar el análisis, con la creencia de que la comprensión lograda en la exploración puede ayudar a reformular el problema y, de esta manera, enfocarlo de otra forma. La instrumentación no requiere comentario, salvo que debe (generalmente) ser el último paso en la resolución real del problema. La verificación (comprobación), por otro lado, se debe subrayar. Los estudiantes raramente comprueban sus soluciones, y esto puede resultar muy costoso. En un nivel local, puedes detectar errores bobos. En un nivel global, al revisar el proceso de la resolución, puedes encontrar resoluciones alternativas, descubrir conexiones con otros temas y, a veces, llegar a advertir, conscientemente, los aspectos de la resolución del problema que puedas usar posteriormente y que te pueden ayudar a ser un mejor resolvedor de problemas. Índice MAPOA Hoja 14 Heurísticas de uso frecuente Análisis 1. Hacer un diagrama, si es posible. 2. Examinar casos particulares. a. Escoger algunos valores especiales para ejemplificar y hacerse una idea o “sentir” el problema. b. Examinar los casos límites, para explorar el espectro de posibilidades. c. Asignar a los parámetros enteros los valores de la sucesión 1, 2, 3, ..., y buscar un patrón inductivo. 3. Tratar de simplificar el problema, a. aprovechando las simetrías posibles, o b. por medio de argumentos “sin pérdida de generalidad”, incluyendo los cambio de escala. Exploración 1. Considerar problemas esencialmente equivalentes: a. Reemplazar las condiciones por otras equivalentes. b. Recombinar los elementos del problema de distintas maneras. c. Introducir elementos auxiliares. d. Reformular el problema por medio de i. un cambio de perspectiva o de notación, ii. la consideración de argumentos por contradicción o la contrarrecíproca, iii. la suposición de que se tiene ya una solución y la determinación de sus propiedades. 2. Considerar problemas ligeramente modificados: a. Establecer submetas (la satisfacción parcial de las condiciones), b. Relajar una condición y después tratar de reimponerla c. Descomponer el dominio del problema y resolver caso por caso. 3. Considera problemas ampliamente modificados: a. Construir un problema análogo con menos variables. b. Mantener constantes todas las variables excepto una para determinar los efectos de esa variable. c. Tratar de aprovechar cualesquiera problemas relacionados que tengan i. forma parecida, ii. datos similares, iii. conclusiones semejantes. Recordatorio: al resolver los problemas más fáciles o relacionados, se debe aprovechar tanto el resultado como el método de resolución. Verificación 1. ¿Pasa la solución obtenida las pruebas específicas siguientes? a. ¿Usa todos los datos pertinentes? b. Está de acuerdo con las estimaciones y predicciones razonables? c. ¿Resiste las pruebas de simetría, análisis dimensional y cambios de escala? 2. ¿Pasa la solución las pruebas generales siguientes? a. ¿Es posible obtenerla de manera distinta? b. ¿Se puede verificar en los casos particulares? c. ¿Se puede reducir a los resultados conocidos? d. ¿Es posible usarla para generar algo que se sabe? Índice MAPOA Hoja 15 Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas El problema dado ANÁLISIS Comprender el enunciado Simplificar el problema Reformular el problema Formulación útil Acceso a los principios y mecanismos Problemas relacionados más accesibles o información nueva Dificultades menores EXPLORACIÓN PLANEACIÓN Estructurar el argumento Descomposición jerárquica: de lo global a lo específico Dificultades mayores Problemas esencialmente equivalentes Problemas ligeramente modificados Problemas ampliamente modificados Resolución esquemática INSTRUMENTACIÓN Ejecución paso a paso Verificación local Solución tentativa VERIFICACIÓN Pruebas específicas Pruebas generales Índice Solución verificada MAPOA Hoja 16 El Portafolios * El portafolios del estudiante se centra en los puntos: El pensamiento del estudiante. Crecimiento en el tiempo. Hay que fechar trabajos. Conexiones matemáticas. Puntos de vista de los estudiantes acerca de sí mismos como matemáticos. El proceso de solución de problemas. ¿Qué contiene un portafolios? Una carta del estudiante al lector de su portafolios que explique cada ítem. Un índice de lo que contiene el portafolios. Una autobiografía matemática. Extractos del diario del estudiante. Notas de las entrevistas con el profesor o con otro estudiante. Los borradores, revisados, y las versiones finales de un trabajo del estudiante acerca de un problema matemático complejo, que incluya escritura, diagramas, gráficas, mapas o lo que resulte más apropiado. Trabajo en el lenguaje básico del estudiante. Reportes escritos que muestren la corrección de los errores o concepciones erróneas del estudiante. Una descripción realizada por el profesor de una actividad del estudiante que muestre su comprensión de algún concepto o relación matemáticos. Una foto o bosquejo hechos por el estudiante (o el profesor) de un trabajo del estudiante con materiales manipulables o con modelos matemáticos de figuras tridimensionales. Un problema inventado o compuesto por el estudiante, con o sin respuesta. Una solución a una pregunta de final abierto realizada como tarea de casa -no basta un bonito conjunto de números sino algo que muestre originalidad y procedimientos insólitos. Un reporte de uno de los proyectos de equipo, con comentarios acerca de la contribución individual, por ejemplo: un estudio del uso de los adultos de las matemáticas en el trabajo, o una reseña del uso que se hace de las matemáticas en los medios masivos. Trabajos de otras áreas temáticas que se relacionen con las matemáticas, como el análisis de datos recopilados y presentados en una gráfica para estudios sociales. Trabajos artísticos del estudiante, como diseños de cuerdas, cuadros con coordenadas y dibujos o mapas a escala. Listas de verificación anotadas por el profesor. Índice * Tomado del libro: Stenmark, J. K. Mathematics Assessment: Myths, Models, Good Questions and Practical Sugestions.. Reston, VA: NCTM, 1992. Traducción y adaptación del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu. MAPOA Hoja 17 Un diagrama del portafolios Un índice de lo que contiene el portafolios Trabajo en el lenguaje básico del estudiante Notas de las entrevistas con el profesor o con otro estudiante Una solución a una pregunta de final abierto realizada como tarea de casa –no basta un bonito conjunto de números sino algo que muestre originalidad y procedimientos poco comunes- Listas de verificación anotados por el profesor Extractos del diario del estudiante Trabajos de otras áreas temáticas que se relacionen con las matemáticas, como el análisis de datos recopilados y presentados en una gráfica para estudios sociales. Una autobiografía matemática Trabajos artísticos del estudiante, como diseños de cuerdas, cuadros con coordenadas y dibujos y mapas a escala Reportes escritos que muestren la corrección de los errores o concepciones erróneas del estudiante Una foto o bosquejo hechos por el estudiante (o el profesor) de un trabajo del estudiante con materiales manipulables o con modelos matemáticos de figuras multidimensionales Una descripción realizada por el profesor de una actividad del estudiante que muestre su comprensión de algún concepto o relación matemáticos. El portafolios del estudiante se centra en: El pensamiento de los estudiantes. El crecimiento en el tiempo. Hay que fechar los trabajos. Conexiones matemáticas. Puntos de vista de los estudiantes acerca de sí mismos como matemáticos. El proceso de solución de problemas. MAPOA Un reporte de uno de los proyectos de equipo, con comentarios acerca de la contribución individual, por ejemplo: Un estudio del uso de los adultos de las matemáticas en el trabajo Una reseña del uso que hace de las matemáticas en los medios de comunicación masivos. Hoja 18 Los borradores, revisados y las versiones finales del trabajo del estudiante acerca de un problema matemático complejo, que incluya texto, diagramas, gráficas, mapas o lo que resulte más apropiado. Una carta del estudiante al lector de su portafolios en donde explique cada ítem Un problema inventado o compuesto por el estudiante, con o sin respuesta, El portafolios como escaparate El portafolios es un escaparate que debe mostrar lo mejor del trabajo realizado por el estudiante, aquello de lo que se puede sentir orgulloso. El portafolios debe mostrar (por calidad de sus trabajos, no por la cantidad) que valió la pena esforzarse durante el semestre y debe contener evidencias de lo que el estudiante sabe hacer ahora. Debe incluir una portada, un índice, una introducción general dirigida al posible lector (familiares, amigos, condiscípulos, profesores, supervisores, autoridades, etc.), una explicación de cuáles son los méritos de cada trabajo y una autoevaluación que describa los aprendizajes que lograste en cada una de las dimensiones (conocimientos, habilidades, actitudes y transferencia). El portafolios debe incluir un mínimo de cinco y un máximo de siete trabajos. Ninguno de ellos puede ser un mero ejercicio. En conjunto los trabajos deben incluir evidencias de la organización de tu propio aprendizaje; el trabajo en equipo; el aprovechamiento individual de las discusiones grupales; tu capacidad para comunicarte por escrito usando adecuadamente el lenguaje común, el lenguaje matemático y una diversidad de representaciones; tu habilidad para resolver problemas; la capacidad para validar los resultados de manera independiente; lo que has aprendido de los exámenes y evaluaciones; el uso de la tecnología; la vinculación con otras materias; las conexiones con las aplicaciones del mundo extraescolar; el uso de materiales manipulables. Índice MAPOA Hoja 19 Las Fichas Recomendaciones para el trabajo individual Durante la resolución del problema debes ser capaz de contestar en cualquier momento las preguntas: ¿Qué estás haciendo exactamente? (¿Puedes describirlo precisamente?) ¿Por qué lo estás haciendo? (¿Cómo encaja en la resolución?) ¿En qué te ayuda? (¿Qué harás con el resultado de lo que estás haciendo cuando lo obtengas) Recomendaciones para la discusión general Construye un argumento coherente para tu explicación. La práctica en la construcción de argumentos cada vez más sólidos te ayudará a vencer uno de los grandes obstáculos del trabajo en equipo: el miedo al ridículo. Escucha atentamente lo que dicen los demás, trata de comprender lo que te proponen. Comprender lo que otro propone nos ayuda a ser tolerantes con las opiniones ajenas. Es indispensable aprender a tolerar los desacuerdos para poder administrarlos de manera provechosa en el trabajo en equipo. Incorpora las aportaciones hechas por otros, contrastando la información que obtuviste con lo que tú piensas: plantea y responde preguntas para comprenderlo. Te acostumbrarás a entablar un diálogo fecundo con un interlocutor, primero exterior y luego interior, que, por medio de preguntas y respuestas, te permitirá afinar la interacción con el problema. Participa con argumentos bien construidos. Un argumento que no sólo te convenza a ti, sino que sirva para convencer a un amigo y, al cabo, hasta a un adversario. Así de buenos y sólidos deben ser tus argumentos. Recuerda que la discusión es una conversación con un propósito determinado, acerca de una cuestión, en la que hay auténticas contribuciones de los participantes y verdadera interacción. MAPOA Hoja 20 Recomendaciones para el trabajo en equipo Organiza el trabajo de tu equipo. Expresa y explica claramente tus ideas. Combina y contrasta tus ideas con las de tus compañeros. Las conclusiones deben apuntar a una solución que tenga sentido, cuente con una validación explícita por parte del equipo y, además, resista una crítica seria. ¡Cuidado! Hay que considerar cuidadosamente las ideas, de argumentar, porque Se imponen las ideas más sencillas, no necesariamente las más fecundas. Los estudiantes que plantean las ideas más sencillas suelen presentarlas con mucha seguridad, todos las comprenden aparentemente y se traducen generalmente en operaciones y cálculos que se muestran como evidencias. A los estudiantes escépticos no se les da tiempo, y a veces ni siquiera oportunidad, para articular sus objeciones. En las discusiones suele imponerse la confianza de los sencillos a los titubeos de los escépticos. El pensamiento impulsivo y superficial parece ser más popular que el pensamiento reflexivo. Los estudiantes no suelen mostrar deseos de escuchar a sus compañeros, no piden explicaciones. Recomendaciones para la elaboración del reporte de la actividad Elabora el reporte al mismo tiempo que realizas la actividad. Incluye en tu reporte una descripción lo más completa que puedas del proceso de resolución. Aunque no hayas llegado a resolver el problema, formula una conclusión. Procura que en tu reporte haya evidencias de la comprensión que lograste del problema, de la planeación y de tus resultados. Recuerda que para evaluar tu reporte se aplica una escala analítica que considera estos tres aspectos. Registra tus planes, tanto locales como globales, en tu reporte en forma textual, en esquemas o diagramas. Si decides abandonar una vía de solución que ya habías comenzado a desarrollar, no borres tu procedimiento, simplemente enciérralo en un círculo y escribe una nota breve que explique por qué lo desechaste. MAPOA Hoja 21 ¿Qué es un problema? Un problema es una situación matemática o extramatemática que: no tiene una solución inmediata, admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones, puede consumir mucho tiempo, quizás varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental, imaginación y creatividad. Un buen problema: no es paralizante, no es inmediato, es potencialmente soluble, es generador de conjeturas y preguntas, es controlable por parte del alumno, es decir, el alumno puede generar criterios para decidir cuando está resuelto el problema, genera un conflicto emocional, contribuye a que el alumno produzca conocimientos nuevos o reorganice los que ha adquirido. ¿Qué es un ejercicio? Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo o rutina, no necesariamente sencillos. Los más complejos pueden requerir la combinación de varios procedimientos con destrezas específicas. En un ejercicio puede requerirse una articulación de registros de representación, pero esta articulación suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina o en el esquema. La administración de los conocimientos y procedimientos no es compleja, se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmente hace poco tiempo. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino la frecuentación de una vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Su esquema metafórico es la suma no la integración. Puede ser laborioso, raramente difícil. Índice MAPOA Hoja 22 Antes de entregar tu reporte, ¡revísalo! Instrucciones para los estudiantes. Por favor, muestra en tu reporte todo tu trabajo. Tu reporte debe ser lo suficientemente explícito como para que lo evalúe alguien que no te conozca. Asegúrate de que quien lo lea tenga claro cómo resolviste el problema y cuál fue tu razonamiento. La evaluación del reporte tiene como guía los criterios siguientes: Tu comprensión del problema y el tipo de matemáticas que usaste. El uso correcto de las matemáticas. El uso de las estrategias de resolución de problemas y el razonar correctamente. La comunicación de tus ideas matemáticas y tus conclusiones. Puedes usar tus herramientas tecnológicas y los materiales auxiliares que necesites para resolver los problemas. Guía para la revisión del reporte de tu resolución del problema. 1. Comprensión conceptual del problema Usé diagramas, dibujos y símbolos para explicar mi trabajo. Usé toda la información importante para resolver correctamente el problema. Pensé detenidamente sobre el problema y siento que sé de lo que hablo. 2. Conocimiento de los procedimientos Realicé cálculos y usé términos y fórmulas matemáticos correctamente. Resolví correctamente el problema y verifiqué mi solución. Usé las ideas y el lenguaje matemáticos con precisión. Verifiqué la corrección de mi respuesta. 3. Habilidades y estrategias de resolución de problemas Busqué otras formas posibles de resolver el problema. Usé estrategias de resolución de problemas que evidencian un buen razonamiento. Mi trabajo es claro y organizado. 4. Comunicación Me comuniqué clara y efectivamente con el lector de mi reporte. En mi solución un paso conduce al siguiente, hay una ligazón. Usé claramente la terminología y el vocabulario matemáticos. Mis frases y afirmaciones tienen sentido, no faltan ni sobran palabras. Índice MAPOA Hoja 23 Cómo construir un mapa conceptual* (y sus criterios de puntuación) 1. Identificar una pregunta referida al problema, el tema o el campo de conocimiento que se quiere representar mediante el mapa. Luego, basándose en esta pregunta, hay que identificar de 10 a 20 conceptos que sean pertinentes a la pregunta y hay que hacer una lista con ellos. A algunas personas les puede resultar útil escribir estas etiquetas conceptuales en tarjetas o en hojitas de post-it para manipularlas mejor. Si se trabaja con un programa de computadora especialmente diseñado para este fin hay que introducir la lista de conceptos. Las etiquetas conceptuales deben estar compuestas por tres palabras a lo sumo. 2. Hay que ordenar los conceptos colocando el más amplio o inclusivo al principio de la lista. A veces es difícil identificarlo. Suele resultar de utilidad el discutir y reflexionar sobre la pregunta original para decidir el orden de los conceptos. En ocasiones esto conduce a modificar la pregunta o a escribir otra distinta. 3. Revisar la lista y añadir más conceptos si son necesarios. 4. Comenzar a construir el mapa colocando el concepto más incluyente o general (pueden ser varios) en la parte superior. Suelen ser dos o tres los conceptos generales en la parte superior del mapa. 5. A continuación hay que escoger de uno a cuatro subconceptos y colocarlos debajo de cada concepto general. Si hay más de cuatro subconceptos que aparentemente van debajo de un concepto general, se puede identificar un concepto intermedio adecuado, con el que se puede crear un nivel jerárquico nuevo en el mapa. 6. Luego hay que unir los conceptos con líneas y denominar a estas líneas con palabras de unión adecuadas, que deben definir la relación entre ambos conceptos, de modo que se lea un enunciado o proposición válidos. Estos enlaces son los que crean el significado. Cuando se une de forma jerárquica un número amplio de ideas relacionadas, se advierte la estructura del significado de un tema determinado. 7. Ahora hay que modificar la estructura del mapa, añadir, quitar o cambiar conceptos supraordenados. Es posible que sea necesario realizar varias veces esta modificación; de hecho, es un proceso que se puede repetir de forma continua, conforme se adquieren conocimientos o ideas nuevos. Es ahí dónde son útiles los post-it o, mejor aún, los paquetes para crear mapas. 8. Buscar vínculos cruzados entre los conceptos de diversas partes del mapa y colocar palabras de enlace adecuadas. Los vínculos cruzados suelen contribuir al descubrimiento de nuevas relaciones creativas en el campo de conocimientos en cuestión. 9. Se pueden incluir en las etiquetas conceptuales ejemplos específicos de los conceptos. 10. Los mapas conceptuales se pueden realizar de formas muy distintas para un mismo grupo de conceptos. No hay una forma única de elaborarlos. A medida que se modifica la comprensión de las relaciones entre los conceptos, también se modifican los mapas. *Tomado de ‘Aprendiendo a aprender’ de Novak y Gowin MAPOA Hoja 24 Criterios de puntuación de los mapas conceptuales 1. Proposiciones. ¿Se indica la relación de significado entre dos conceptos mediante la línea que los une y mediante la(s) palabra(s) de enlace correspondiente(s)? ¿Es válida esta relación? Anota un punto por cada proposición válida y significativa que aparezca (ver el modelo de puntuación más adelante). 2. Jerarquía. ¿Presenta el mapa una estructura jerárquica? ¿Es cada uno de los conceptos subordinados más específico y menos general que el concepto que hay dibujado sobre él (en el contexto del material para el que se construye el mapa conceptual)? Anota cinco puntos por cada nivel jerárquico válido. 3. Conexiones cruzadas. ¿Muestra el mapa conexiones significativas entre los distintos segmentos de la jerarquía conceptual? ¿Es significativa y válida la relación que se muestra? Anota diez puntos por cada conexión cruzada válida y significativa y dos por cada conexión cruzada que sea válida pero que no ilustre alguna síntesis entre grupos relacionados de proposiciones o conceptos. Las conexiones cruzadas pueden indicar capacidad creativa y hay que prestar una atención especial para identificarlas y reconocerlas. Las conexiones cruzadas creativas o singulares pueden ser objeto de un reconocimiento especial o recibir una puntuación adicional. 4. Ejemplos. Los acontecimientos y objetos concretos que sean ejemplos válidos de lo que designa el término conceptual pueden añadir un punto, cada uno, al total (estos ejemplos no van dentro de una figura porque no son conceptos). 5. Además se puede construir y puntuar un mapa de referencia del material que se va a representar en los mapas conceptuales y dividir las puntuaciones de los estudiantes entre la puntuación del mapa de referencia para obtener un porcentaje que sirva de comparación. Por supuesto que algunos estudiantes pueden construir mapas mejores que el de referencia y su porcentaje será mayor que el 100%, de acuerdo con lo anterior. Índice MAPOA Hoja 25 Las actividades de comprensión de Perkins Consideramos la comprensión no como un estado de posesión sino de capacitación. Cuando entendemos algo, no sólo tenemos información sino que somos capaces de hacer ciertas cosas con ese conocimiento. Estas cosas que podemos hacer, que revelan comprensión y la desarrollan, se denominan "actividades de comprensión". Por ejemplo supongamos que alguien entiende la primera ley de Newton. ¿Qué tipo de actividades de comprensión sería capaz de realizar esa persona? Veamos algunas de ellas: La explicación. La ejemplificación. La aplicación. La justificación. La comparación y el contraste. La contextualización. La generalización. Y podemos agregar muchas más dentro del mismo espíritu. Algunas de estas actividades de comprensión son bastante modestas en sus exigencias; por ejemplo, es relativamente fácil encontrar ejemplos de la primera ley de Newton. El alumno puede tomarlos del futbol, del beisbol o del rugby. Otras, en cambio, son bastante complicadas: la generalización, por ejemplo. La variedad de actividades revela algunas características importantes de la comprensión. En primer lugar, identificamos la comprensión a través de las actividades creativas en las que los estudiantes "van más allá de la información suministrada". La comprensión consiste en un estado de capacitación para ejercitar tales actividades de comprensión. En segundo lugar, las diferentes actividades de comprensión requieren distintos tipos de pensamiento. Justificar la primera ley de Newton no es exactamente lo mismo que aplicarla, aunque hay semejanzas en la forma de razonamiento. En tercer lugar, la comprensión no es algo "que se da o no se da". Es abierta y gradual. Respecto de un tema determinado, uno puede entender poco (es decir, puede realizar pocas actividades de comprensión) o mucho ( es decir, puede realizar muchas actividades de comprensión), pero no puede entender todo pues siempre aparecen nuevas extrapolaciones que uno no ha explorado y que aún no es capaz de hacer. Esta perspectiva permite esclarecer la meta de la pedagogía de la comprensión: capacitar a los alumnos para que realicen una variedad de actividades de comprensión vinculadas con el contenido que están aprendiendo. Además evoca el principio básico que señalamos en la introducción: el aprendizaje es una consecuencia del pensamiento. Todas las actividades de comprensión -explicar, encontrar nuevos ejemplos, generalizar, etc.- requieren pensar. * De 'La escuela inteligente', pp 82-83, de David Perkins. Índice MAPOA Hoja 26 Guía para la elaboración de reportes de lectura Debes procurar hacer una lectura más profunda que el simple inspeccionar las frases que están escritas. Aquí se te proporciona una guía (que, como toda guía, no puede ser exhaustiva ni puntual) que te puede servir al leer y reportar tus lecturas Incluye en tus controles de lectura: 1. 2. 3. 4. Un diagrama que destaque la estructura de la lectura. Un resumen que contenga las ideas principales del texto. Tus comentarios y opiniones de lo expuesto por el autor. Una lista de las dudas que te hayan surgido durante la lectura y sus respuestas, así sean parciales. 5. Diez de las palabras más importantes que aparecieron en la lectura y su significado (esta parte irá conformando tu glosario personal). 6. Tres aspectos que se conecten con los contenidos del curso o de otros cursos si lo consideras pertinente. Índice MAPOA Hoja 27 Conozcamos mejor nuestros libros de texto Esta actividad consiste en la presentación de uno de los libros que te pueden servir como consulta y apoyo en el curso actual de matemáticas. Se trata de que, como estudiantes, conozcamos mejor una de nuestras herramientas básicas de trabajo: los libros de texto y de consulta y de que usemos la biblioteca de la escuela. Además de los textos de matemáticas, la actividad se puede extender a los libros de las otras materias, con el propósito de identificar en las otras materias los vínculos con, o la presencia de, las matemáticas. Guía para la presentación de textos La actividad será desarrollada por equipos de dos personas. La presentación se hará en un tiempo máximo de 20 minutos con el apoyo de acetatos y otros materiales audiovisuales. Los elementos que se deberán tomar en cuenta en la presentación son: 1. Ficha bibliográfica 2. Mensajes al lector (estudiante y profesor) 3. Propuesta didáctica ¿cómo propone el texto que el lector aprenda? 4. Indicaciones de cómo usar el texto. 5. Herramientas para el estudio (índices, tablas, resúmenes, cuestionarios, apéndices, bibliografía adicional, recursos tecnológicos, internet, etc.) 6. Estructura del texto (distribución del contenido, unidades, capítulos, secciones, etc.) 7. Secciones especiales (preguntas, actividades, lecturas extra, recomendaciones de videos, programas de computadora, etc.) 8. Descripción del lenguaje que se usa en el libro. 9. Manejo de representaciones (textual, simbólico, gráfico). 10. Comparar con el programa de la materia, objetivos, contenidos, instrumentación didáctica, tipo de aprendizaje y establecer las coincidencias y las diferencias. Índice MAPOA Hoja 28 Las Matemáticas en mi vida (Una autobiografía matemática) Escribe un texto titulado "Las matemáticas en mi vida". Toma en cuenta los puntos siguientes: 1. Relato escrito en un mínimo de dos cuartillas. 2. Usa el esquema de las dimensiones del aprendizaje (conocimientos, habilidades, actitudes y transferencia) para la descripción de los que sabes de matemáticas y trata explícitamente lo relativo a la forma en que lo usas fuera de tu clase de matemáticas. 3. Haz una evaluación de tu último curso de matemáticas, evalúa a tu profesor y autoevalúate. 4. Describe lo que consideras buenas y malas clases, explica por qué las calificas así. 5. Incluye el aspecto emocional. 6. Describe la actitud de tus familiares con respecto a las matemáticas. 7. Trata lo que han sido las matemáticas en tu pasado, lo que son en tu presente y lo que esperas que sean en tu futuro. 8. ¿Qué espero de mi profesor? 9. ¿Qué estoy dispuesto a hacer para aprender? Especifica. 10. ¿Qué son las matemáticas? 11. ¿Cómo aprendo matemáticas? 12. ¿De dónde salieron las matemáticas? 13. Incluye tus opiniones y en caso de que consultes algún libro, específica la fuente. Índice MAPOA Hoja 29 Ficha sobre resolución de problemas y juegos* Para desarrollar esta actividad no tienes que construir ni manipular ningún material, sólo debes leer con atención lo que sigue y reflexionar sobre la lectura ya que en las próximas actividades deberás recordar lo que aquí se dice. ¿Qué es un problema o un juego matemático? Es una situación que implica un propósito u objetivo que hay que conseguir, y que es aceptada como problema por alguien. Sin esa aceptación no hay problema. Hay obstáculos para alcanzar ese propósito, y requiere deliberación, ya que el que lo afronta no conoce ningún algoritmo o procedimiento para resolverlo. Un problema debe representar un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo. Además debe tener interés en sí mismo, estimular el deseo de proponerlo a otras personas: no debe ser un problema con trampa o un acertijo, ni dejar bloqueado inicialmente a quien lo ha de resolver. No confundas problema con ejercicio: éstos son cuestiones que de un golpe de vista se ve en qué consisten y cuál es el medio para resolverlas. A la hora de resolver un ejercicio se suele tener a la mano una receta que facilita su solución y en general la resolución de un ejercicio exige poco tiempo, situaciones que no suelen darse ante un problema o juego. ¿Qué es resolver un problema o juego? La resolución de un problema o juego es un proceso de acontecimientos que nos lleva a recorrer diferentes etapas en un viaje: aceptar el desafío, formular las preguntas adecuadas a cada caso, clarificar el objetivo, definir y ejecutar el plan de acción y evaluar la solución. Llevará consigo el uso de la heurística (el arte del descubrimiento), pero no de una manera predecible, porque si el método (que no existe) pudiera ser predicho de antemano, se convertiría en un algoritmo pasando de problema a mero ejercicio. Todo esto comporta, para cada uno de los problemas a resolver, una inmersión en el mundo particular del problema, poniendo de manifiesto las técnicas, habilidades, estrategias y actitudes personales de cada individuo que aborda el problema. La resolución de problemas es un proceso, no un procedimiento paso a paso: es fundamentalmente un viaje, no un destino (…"no hay camino, se hace camino al andar"). Este viaje queda plasmado en ir cubriendo las siguientes etapas: deseo de acercarse al problema, aceptar el desafío, correr un riesgo, hallar la respuesta, comprender una pregunta, descubrir nuevos conocimientos o crear una solución. ¿Quién es un buen resolvedor de problemas? El que tiene deseo de afrontarlo (yo quiero), acepta el desafío con entusiasmo (yo puedo), está en posesión del equipamiento de técnicas y estrategias (heurística) matemáticas oportunas (estoy dispuesto a aprenderlas) y tiene talento para ello (aunque el talento es fundamental para llegar lejos en el viaje, no lo es para disfrutar de él). Y por fin, el que practica las virtudes de la paciencia y la perseverancia. * Tomada de: J. L. Antón Bozal, et, al Taller de Matemáticas. Narcea Ediciones y MEC de España. Madrid, 1994. MAPOA Hoja 30 ¿Qué se aprende resolviendo problemas? Se aprende fundamentalmente a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento, a dominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos, nuestra autoestima. ¿Cuál es la mejor forma de resolver problemas? La única forma es resolviendo problemas. Cada problema afrontado, con o sin éxito, nos enseña a resolver el siguiente. De alguna manera se aprende a aprender, por eso es interesante esta actividad. Pero recuerda que ésta, como todo arte, es una actividad que requiere fe (en que puedes), coraje (en que quieres), humildad (porque no lo sabes todo) y disciplina (estás dispuesto a esforzarte por seguir aprendiendo). Regla de oro: Lo que importa es el camino Siempre debes tener en cuenta que lo que importa es el camino. No pongas la mira en el éxito, sino en el proceso. Es el proceso el que te enseña. Un problema resuelto es un problema muerto, pero si aún se te resiste, vive en ti como problema. Bloqueos y Desbloqueos Dijimos anteriormente que un problema constituye un auténtico reto. Sabemos, más o menos, a dónde queremos llegar, pero ignoramos el camino. Ante esta situación caben actitudes positivas como confianza, tranquilidad, disposición de aprender, curiosidad, gusto por el reto, etc. y otras negativas o bloqueos que pueden obstaculizar nuestro avance como, miedo a lo desconocido, nerviosismo, prisa por acabar o cierta desazón ante la prueba. En la tabla siguiente puedes ver los tipos de bloqueos que nos pueden afectar y algunas pautas para reflexionar sobre ellos e intentar superarlos. Bloqueos de origen Pautas para superar los bloqueos Afectivo Apatía, abulia, pereza por el comienzo. Miedo al fracaso, a la equivocación, al ridículo. Ansiedades. Repugnancias Piensa en las distintas formas de comenzar tu tarea. Escoge una y comienza. El inicio puede tener carácter provisional. Los fallos y equivocaciones nos enseñan sobre las formas adecuadas de proceder. Aminorar la hiperactividad cuando nos percatamos de estar empujados a ella. Actúa ocasionalmente contra la tendencia que te arrastra. Examinar cómo otros se enfrentan con actividades parecidas y comparar procedimientos. Tratar de descomponer en partes más sencillas. Establecer prioridades. Permanecer abierto a lo extraño. No te contentes con la primera respuesta, busca varias respuestas. Déjate llevar por ideas imaginativas y por tu fantasía. Cultiva, en lo posible, la actitud lógica. Juega con tus problemas. Cognoscitivo Dificultades en la percepción del problema. Incapacidad de desglosar el problema. Visión estereotipada. Culturales y Ambientales La sabiduría popular dice: "Busca la respuesta correcta" "Esto no es lógico" "Hay que ser práctico" MAPOA Hoja 31 Autoexamen sobre tu manera de pensar La resolución de problemas nos debe llevar a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento, a dominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos. en definitiva, nos ayuda a conocernos mejor a nosotros mismos. El conocerte a ti mismo, en ese ámbito, te proporcionará la posibilidad de utilizar tus recursos de la forma más eficaz posible y alcanzar con seguridad un conocimiento más pleno. Lee con atención, reflexiona detenidamente y escribe con cuidado y orden las respuestas a las siguientes cuestiones: 1. Cuando te enfrentas a un problema, ¿con qué papel de los siguientes te identificas más? investigador detective explorador actor negociante matemático Explica brevemente tu elección. profesor juez constructor conductor de coches científico el más listo de la clase 2. Cuando te enfrentas a un problema, ¿con qué estado de animo te identificas más? optimista pesimista vigilante derrotado angustiado aburrido Explica brevemente por qué. desanimado crítico divertido indiferente disgustado tranquilo 3. ¿Qué es lo que más te ayuda a concentrarte? El silencio, la paz, la tranquilidad, la música, viajar, pasear, contemplar el paisaje, etc. Explica por qué. 4. Si no te sale un problema, qué prefieres hacer: continuar a pesar de todo, olvidarte de él por un tiempo, abandonarlo definitivamente, seguir pensando en él en casa. Explica por qué. 5. A la vista de la tabla de bloqueos, ¿de qué tipo son los bloqueos que encuentras al resolver un problema? Explica por qué. 6. ¿Qué buscas en la resolución de problemas? Entretenimiento, ejercicio, cumplimiento de un deber, satisfacer mi curiosidad, autosuperación, preparación más eficaz, etc. Explica por qué. 7. ¿Cómo eres respecto al trabajo? Me cuesta ponerme en marcha, soy de esfuerzos prolongados, me canso y me aburro fácilmente, soy de intensos altibajos. Explica cuál puede ser la causa. 8. En el trabajo, ¿qué te produce más satisfacción: pensar autónomo, observar, mirar como lo hacen los otros, explorar, repetir, repasar, asegurarse, no trabajar? ¿qué es lo que más trabajo te cuesta? 9. ¿Qué tipos de problemas son los que más te gustan? 10. Tu pensamiento, ¿anda casi siempre bajo control o a ratos anda vagando y divagando? ¿cuál crees que sea la causa? Índice MAPOA Hoja 32 Los Formatos de Evaluación Evaluación de presentaciones Problema: Criterios Bien Adecuado Necesita mejorar Explicaron claramente Explicaron razonamientos, no sólo pasos Solicitaron otras soluciones al grupo Presentaron más de una solución Extendieron el problema, presentando un problema nuevo o relacionándolo con otros problemas o temas Plantearon al grupo buenas preguntas Justificaron sus soluciones local y globalmente Respondieron las preguntas que les formularon Mantuvieron la atención del grupo (no aburrieron) Condujeron una discusión fecunda (ya sea que hayan obtenido una respuesta correcta o incorrecta) Hablaron fuerte y claramente No se trataron con rudeza, ni entre ellos, ni al resto del grupo Se apoyaron entre ellos durante la presentación Participaron todos durante la presentación Presentación estructurada (evidencias de planeación) Puntos posibles 5; puntos obtenidos por el equipo: Equipo: Evaluador: Índice MAPOA Hoja 33 Autoevaluación de reportes Equipo:_______________________________________________________________ Nombre de la actividad: __________________________________________________ RP1: Comprensión de la actividad 1 2 3 4 Mal entendí el problema o no entendí lo suficiente para comenzar o avanzar Entendí el problema lo suficiente para resolver parcialmente el problema Entendí el problema, incluyendo la identificación y el uso de información necesaria para resolver el problema Identifiqué factores especiales más allá de los necesarios para resolver el problema y los apliqué consistente y correctamente RP2: Cómo resolviste el problema: 1 2 3 4 Mi enfoque no funcionó o no hay evidencia de enfoque Mi enfoque me condujo a resolver sólo parcialmente el problema Mi enfoque funcionó o pudo haber funcionado Mi enfoque funcionó bien y fue eficaz e incluso resultó sofisticado RP3: Por qué – Las decisiones que tomaste a lo largo del proceso 1 2 3 4 No hay evidencia de mi razonamiento en mi trabajo o mi razonamiento es incorrecto Mi razonamiento es sólo parcialmente correcto o es correcto sólo para parte del problema Mi trabajo indica que apliqué un razonamiento correcto al tomar decisiones a lo largo del problema Mi trabajo muestra claramente que razoné correctamente al tomar decisiones a lo largo del problema e incluye una explicación de mis criterios RP4: Y entonces – los resultados 1 2 3 4 Resolví el problema y me detuve o hice observaciones inadecuadas e impertinentes Resolví el problema e hice un comentario matemáticamente pertinente o hice observaciones acerca de alguna parte del problema Resolví el problema y establecí una conexión matemática con otros problemas matemáticos o del "mundo real" Resolví el problema y generalicé la solución o extendí la solución a una situación más complicada, con evidencias de procesos de síntesis o de abstracción 1 2 3 4 No usé palabras o símbolos matemáticos más allá de los que había en el problema o usé los símbolos consistentemente de manera inadecuada o imprecisa Usé palabras y/o símbolos matemáticos pero cometí algunos errores o mi uso carece de variedad Usé palabras y/o símbolos precisa y adecuadamente al comunicar mi solución y mi uso muestra variedad Use palabras y/o símbolos precisa y adecuadamente en todo mi trabajo, usé palabras y símbolos variados y usé un lenguaje matemático sofisticado en algunas partes de mi solución C1: Lenguaje matemático C2: Representación matemática 1 2 3 4 No usé gráficas, tablas, diagramas ni modelos o hice representaciones inadecuadas Hice intentos de usar representaciones para comunicar mi solución Usé representaciones adecuadas de manera precisa al comunicar mi solución Usé representaciones sofisticadas para comunicar mi solución 1 2 3 4 La presentación de mi solución no es clara La presentación de mi solución contiene algunas partes claras La presentación de mi solución es clara, pero el lector tiene que completar algunos detalles para comprender mi solución La presentación de mi solución es clara, bien organizada y con detalles en todas sus partes C3: Presentación Índice MAPOA Hoja 34 Registro de Participaciones de la Semana ____ Nombre del alumno Fecha Grupo Nombre de la actividad En qué consistió la participación Evaluación Ponderac de la ión participación Índice MAPOA Hoja 35 Las tres preguntas reveladoras de Mosteller ¿Cuál fue el punto más importante del día? ¿Cuál fue el punto más confuso del día? ¿Acerca de qué cuestión te gustaría aprender más? ¿Cuál fue el punto más importante del día? ¿Cuál fue el punto más confuso del día? ¿Acerca de qué cuestión te gustaría aprender más? Índice MAPOA Hoja 36 Auto-evaluación del curso Ejemplo: para el curso de Álgebra I N S T R U C C I O N E S: El objetivo de este cuestionario es obtener información que permita evaluar el trabajo del equipo que ha organizado y coordinado este curso y aprovechar esta experiencia para planear mejor los cursos siguientes Debes ser responsable de tus propias opiniones y juicios por eso es importante que pongas tu nombre al evaluar el curso. Te recordamos que el objetivo general de este curso es: * Al término del curso el alumno generará modelos algebraicos de situaciones problemáticas que se le presenten, en donde, para sus soluciones, haga uso de polinomios, transformaciones elementales de expresiones algebraicas, planteamiento y resolución de ecuaciones, sus representaciones gráficas y una primera aproximación a las funciones lineales y cuadráticas, lo que le permitirá analizar situaciones y problemas surgidos en su entorno, así como tener el fundamento para el desarrollo posterior de conceptos y métodos matemáticos. Contesta, con entera libertad, las preguntas que se te plantean a continuación. 1. ¿Te ha parecido adecuado el plan general del curso? ¿por qué? 2. ¿Te han servido los materiales que se te han proporcionado y las técnicas de trabajo para lograr los objetivos del curso? Explica. 3. En cuestionarios, trabajos y resúmenes anteriores dejaste constancia de lo que piensas acerca de la naturaleza de las matemáticas, de la noción de problema y de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas ¿se ha modificado de alguna manera tu manera de pensar al respecto? Explica lo más detalladamente posible. 4. ¿El curso ha cumplido tus expectativas? Explica. 5. ¿Tienes alguna sugerencia para cursos siguientes? Índice MAPOA Hoja 37 Autoevaluación de habilidades, actitudes y valores* Nombre del alumno: _________________________________________ Matrícula: _____________ Grupo: ____________________________________________________ Fecha: ________________ I N S T R U C C I O N E S: Autoevalúa tus logros en el desarrollo de cada uno de los aspectos mencionados a continuación. Liderazgo: Habilidad para generar en tu grupo un estado de ánimo que favorezca el logro de un objetivo común. Habilidad para se comprometa y cumpla sus promesas. Coordinación eficiente de las tareas y los recursos. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Análisis, síntesis y evaluación: Habilidad para identificar elementos esenciales y relevantes de una situación compleja, analizando sus múltiples relaciones. Habilidad para generar explicaciones y/o interpretaciones sobre los fenómenos. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Pensamiento crítico: Capacidad para determinar si hay inconsistencias lógicas en una explicación o argumentación. Capacidad de exigir o identificar evidencias basadas en hechos comprobables, que confirmen la veracidad o falsedad de un argumento. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Comunicación efectiva: Habilidad para expresarse en forma oral y escrita utilizando las reglas gramaticales y sintácticas de nuestro idioma. Habilidad para verificar la congruencia entre lo que se dice y lo que se escucha. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Trabajo en equipo: Capacidad de declarar la necesidad de trabajar en común con otros de modo que se comparta una meta y se establezcan y cumplan los compromisos implicados en el logro de la misma. Disposición para escuchar y legitimar puntos de vista diferentes al propio. Capacidad para enriquecer la visión y las posibilidades de acción del equipo. Poco 0 * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Adaptada a partir de: Auto-evaluación de habilidades, actitudes y valores. DEI, ITESM-CEM. MAPOA Hoja 38 Búsqueda y manejo de información: Habilidad para utilizar fuentes (personas, bancos de información, navegación por Internet, etc.) de manera efectiva, en la búsqueda de una información particular. Esto incluye la capacidad para (1) identificar, de entre una gran cantidad de datos, la información pertinente al tema de interés, y (2) e valuar la calidad de la información recabada. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Espíritu emprendedor: Actitud para enfrentar retos y ver posibilidades de desarrollo profesional y personal donde la mayoría de la gente sólo ve problemas y limitaciones. Esto implica la habilidad de tomar riesgos, generar redes de ayuda, manejar el agobio, generar un estado de ánimo de ambición y entusiasmar a otros para construir un futuro compartido. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Búsqueda de la calidad y la excelencia: Actitud de superación constante. Esto implica (1) estar abierto a las observaciones que otros nos hagan sobre cosas que podemos mejorar en los diferentes ámbitos de nuestra actividad cotidiana, (2) establecer instancias de retroalimentación que nos permitan identificar las áreas de mejora y las principales variables involucradas, (3) generar los cambios en las prácticas correspondientes. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Creatividad: Capacidad de generar ideas originales e innovadoras, facilidad para encontrar diferentes posibilidades de abordar un problema y encontrar soluciones, habilidad para encontrar respuestas o soluciones a problemas que otros consideran irresolubles, capacidad de romper paradigmas. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Uso eficiente de la informática y las telecomunicaciones: Habilidad para el uso eficiente de la computadora, no como fin sino como medio para eficientar el trabajo, capacidad en el manejo de paquetes computacionales básicos (procesa dor de textos, hoja de cálculo, base de datos, gráficos y presentaciones) y de aplicaciones en el área de especialidad, habilidad para navegar en Internet, uso eficiente del correo electrónico. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Alta capacidad de trabajo: Habilidad de cumplir con los compromisos contraído bajo situaciones normales o de presión. Habilidad de producir una gran cantidad de acciones efectivas con resultados de calidad a través de establecer conversaciones y redes de ayuda. Esta habilidad implica ser capaz de conseguir estos resultados sin caer en el agobio, el exceso de horas de trabajo y el desgaste físico y emocional. Poco 0 1 2 3 MAPOA 4 5 6 7 8 Hoja 39 9 Mucho 10 Capacidad de aprender por cuenta propia: Capacidad de observar el proceso de aprendizaje propio, de tal modo que se puedan generar interpretaciones flexibles sobre el objeto de aprendizaje, reconocer los ámbitos de ignorancia y observar las ventajas y limitaciones de diferentes estilos de aprender. Capacidad de involucrarse en un proceso permanente de reflexión sobre las acciones, en donde la observación de los procesos permita modificar las acciones, y en donde ese cambio genere asimismo una modificación en la interpretación del objeto de aprendizaje. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 Capacidad de identificar y resolver problemas: Esta habilidad se compone de dos elementos: (1) La habilidad de identificación de problemas, entendida como la capacidad de reconocer cuáles son los procesos de una situación determinada que al estar incompletos, inacabados o al no producir los resultados esperados requieren ser modificados o mejorados; y (2) La habilidad de resolver problemas entendida como la capacidad de encontrar alternativas de solución para un problema, y la capacidad de formular y llevar a cabo estrategias de acción para su solución. Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Mucho 10 7 8 9 Mucho 10 9 Mucho 10 De manera general ¿cuánto has aprendido durante en este curso? Poco 0 1 2 3 4 5 6 ¿Qué tanto te sientes motivado(a) a seguir aprendiendo esta materia por tu cuenta? Poco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ¿Consideras que durante el curso se promovió el valor de la honestidad? En caso afirmativo, menciona las acciones o aspectos concretos en los que se promovió. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ¿Consideras que durante el curso se promovió el valor de la responsabilidad? En caso afirmativo, menciona los acciones o aspectos concretos en los que se promovió. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ MAPOA Hoja 40 Índice Citas Cita de apertura: Voy con las riendas tensas y refrenando el vuelo, porque no es lo que importa llegar solo ni pronto sino llegar con todos y a tiempo. León Felipe Cita de cierre: ¡Oh mar que bebiste la tarde hasta descubrir sus estrellas: no lo sabías, y ya sabes que los hombres se libran de ellas! Alfonso Reyes Índice MAPOA Hoja 41 MAPOA Hoja 42