LÍMITES DE FUNCIONES.
Actividades iniciales
La noción de límite de una función en un punto x0 se introduce para estudiar el comportamiento (o
tendencia) de la función y  f (x) cuando la variable independiente x se aproxima al punto x0 .
1.- A partir de la gráfica de la función y  f (x) , calcula:
a) f (1)  1
f ) lím f ( x)  0
x  
j ) lím f ( x)  
x 2
n) lím f ( x)  1
x 4
b) f (0)  2
c) f (2)  3
g ) lím f ( x)  
d ) f (3)  0
h) lím f ( x)  2
x 0
x 0
k ) lím f ( x)  1
l ) lím f ( x)  3
x 2
x 2
ñ) lím f ( x)  1
i) lím f ( x)   
x 0
m) lím f ( x)  0
x 3
o) lím f ( x)  1
x 4
e) f (4)  1
x 4
p) lím f ( x)   
x 
y  f (x)
.
o
.
1
2

 x
2.- Dada la función f ( x)  
 x 1
 x 2  2
si x  1
si  1  x  2
si x  2
Calcula:
a) lím f ( x) 
x  1
Como en x  1 cambia la expresión analítica de la función, tenemos que estudiar los límites laterales.
lím f ( x)  lím

x  1

2  2
x  1
Como lím
x  1
y
lím f ( x)  lím

x  1

x  1
x
1
1 1



x 1 11  2 2
f ( x)  lím f ( x)   lím f ( x) (el límite no existe)
x  1
x  1
b) lím f ( x)
x 2
Como en x  2 cambia la expresión analítica de la función, tenemos que estudiar los límites laterales.
lím f ( x)  lím
x 2

x 2

x
2

2 y
x 1 2 1
Como lím f ( x)  lím f ( x)
x 2
x 2


lím f ( x)  lím x 2  2  2 2  2  2
x 2
x 2
  lím f ( x)  2
x 2
2
.- Concepto de límite de una función en un punto.
Sea f : A  R  R y sea
x0 un punto de acumulación de A.
Diremos que el nº real L es el límite de la función
f cuando x "tiende a" x0 , y escribiremos
Lím f ( x)  L si y solo si   0    0 / x  x0   y x  A  f ( x)  L  
x  x0
Otra definición alternativa: (Utilizando entornos; es la que vamos a adoptar este año).
Lím f ( x)  L si y solo si  E(L ,  )  E( x0 ,  ) /  x  E * ( x0 ,  )  A  f ( x)  E(L ,  )
x  x0
Explicación: Cuando nos aproximamos a
x0 en una cantidad menor que  , entonces el valor que toma la
función en ese punto x , f ( x) , se aproxima al valor del límite, L, en una cantidad menor que
.
Nota aclarativa:
E ( L ,  )  ( L   , L   )  se lee: “entorno de centro L y radio  (epsilon)”.
E( x0 ,  )  ( x0   , x0   )  se lee: “entorno de centro x0 y radio  (delta)”.
E * ( x0 ,  )  E( x0 ,  )  x0   se lee: “entorno reducido de centro x0 y radio  ”.
.- Límites laterales:
La noción de límite lateral aparece cuando nos aproximamos al punto de abscisas
por la izquierda.
x  x0 por la derecha o
Límite lateral por la izquierda:
Lím f ( x)  L si y solo si  E(L ,  )  E  ( x0 ,  ) /  x  E  ( x0 ,  )  A  f ( x)  E(L ,  )
x  x0
x0 , por la izquierda, en una cantidad menor que  , entonces el
valor que toma la función en ese punto x , f ( x) , se aproxima al valor del límite, L, en una cantidad
Explicación: Cuando nos aproximamos a
menor que
.
Límite lateral por la derecha:
Lím f ( x)  L si y solo si  E(L ,  )  E  ( x0 ,  ) /  x  E  ( x0 ,  )  A  f ( x)  E(L ,  )
x  x0
x0 , por la derecha, en una cantidad menor que  , entonces el
valor que toma la función en ese punto x , f ( x) , se aproxima al valor del límite, L, en una cantidad
Explicación: Cuando nos aproximamos a
menor que
.
Nota aclarativa:
E  ( x0 ,  )  ( x0   , x0 )
E  ( x0 ,  )  ( x0 , x0   )
.- Unicidad del límite:
El límite de una función en un punto, si existe, es único.
Si existe el Lím f ( x)  L , entonces este límite es único.
x  x0
En virtud de la propiedad anterior, enunciamos el siguiente resultado:
Lím f ( x)  L si y solo si Lím f ( x)  L  Lím f ( x)
x  x0
x  x0
x  x0
3
Límites infinitos:
Sea f : A  R  R y sea
x0 un punto de acumulación de A.
Lím f ( x)   si y solo si  k  R  E( x0 ,  ) /  x  E * ( x0 ,  )  A  f ( x)  k
x  x0
Ejemplos:
Lím f ( x)  
x 2
Lím f ( x)  
x 3
Límites finitos en el infinito:
Sea f : A  R  R
Lím f ( x)  L si y solo si  E(L ,  )  k  R /  x  k  f ( x)  E(L ,  )
x  
Ejemplos.
Lím f ( x)  0
Lím f ( x)  2
Lím f ( x)  0
Lím f ( x)  2
x  
x  
x  
x  
4
Límites infinitos en el infinito:
Sea f : A  R  R
Lím f (x)   si y solo si  k  R  M  R /  x  M  f ( x)  K
x  
Ejemplos:
Lím f ( x)  
Lím f ( x)  
Lím f ( x)  
Lím f ( x)  
Lím f ( x)  
Lím f ( x)  
x  
x  
x  
x  
x  
x  
5
OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES.
Sea
x0  R donde R  R   ,
Sean f , g : A  R  R dos funciones con Lím f ( x)  L
x  x0
y
Lím g ( x)  L'
x  x0
Se definen las siguientes operaciones con límites:
a) Lím  f  g x   Lím f ( x)  Lím g ( x)  L  L'
x  x0
x  x0
x  x0
b) Lím  k  f  ( x)  k  Lím f ( x)  k  L
x  x0
k  R
x  x0
c) Lím  f  g  ( x)  Lím f ( x)  Lím g ( x)  L  L'
x  x0
x  x0
x  x0
Lím f ( x)
f 
L
x  x0
d ) Lím   ( x) 

x  x0 g
Lím g ( x) L'
 
x x
0


f ) Lím
f ( x) 
e) Lím f ( x) g ( x )   Lím f ( x) 
x  x0
 x x0

x  x0
Lím g ( x )
x  x0
 LL '
Lím f ( x)  L
x  x0
g ) Lím Log a f ( x)  Log a  Lím f ( x)  Log a L
 x  x0

x  x0
Todos estos límites estarán definidos, salvo en los siguientes casos de indeterminación.
 0
;
; 0     ;     ; 1 ;  0 ; 0 0
 0
Si al calcular un límite nos aparece una de estas indeterminaciones, debemos transformar el límite en otro
equivalente (mediante técnicas algebraicas o utilizando la definición del número e) para así, resolver la
indeterminación.
Observación:
No son indeterminaciones los siguientes casos:
  
0  0
k
   en este caso, debemos estudiar los límites laterales.
0
6
.- Situaciones del tipo
K
con K  0
0
Este tipo de situaciones pueden aparecer al estudiar el límite del cociente de dos funciones polinómicas.
En este tipo de situaciones siempre nos encontraremos con dos ramas infinitas: una puede tender a   y
la otra a   , o bien las dos tender a   ó   .
Este tipo de límites está, por tanto, caracterizado por la presencia de una asíntota vertical.
Se resuelven estudiando los límites laterales.
Los límites laterales siempre van a ser   ó  
Si los límites laterales coinciden el límite existe y será   ó   , y si un límite lateral es   y el otro
  , entonces el límite no existe.
Ejemplos:
a) Lím
x 0
K
0
1

x
Estudiamos los límites laterales.
Lím
1 1

 
x 0
Lím
1
1
   
x 0
x 0
x 0
Como Lím
x 0
1
1
1
 Lím se concluye que no existe el Lím
x 0 x
x x 0 x

Nota: Cuando me acerco a 0 por la izquierda ( x  0 ) x toma valores muy cercanos a 0, pero negativos.
En la expresión
1

, 0 es una cantidad muy cercana a cero pero negativa (-0,0000....01)

0

Cuando me acerco a 0 por la derecha ( x  0 ) x toma valores muy cercanos a 0, pero positivos.
En la expresión
b) Lím
x 1
2

x 1
1
, 0  es una cantidad muy cercana a cero pero positiva (0,0000....01)
0
K
0
Estudiamos los límites laterales.
Lím
2 2

 
x  1 0
Lím
2 2

 
x  1 0
x 1
x 1
Como Lím
x 1
2
2
2
 Lím
se concluye que no existe el Lím
x 1 x  1
x  1 x 1 x  1


Nota: 0 es una cantidad muy pequeña pero negativa, por eso -2 partido de 0 es positivo (menos entre
menos es más) y el resultado es   .
Igual explicación se puede dar para el otro límite lateral.
7
c) Lím
x 2
x

x2
K
0
Estudiamos los límites laterales.
Lím
x
2
   
x2 0
Lím 
x
2
   
x2 0
x 2
x 2
Como
x
x
x
 Lím 
se concluye que no existe el Lím
x 2 x  2
x  2 x 2 x  2
Lím 
x 2
d ) Lím
x 0
K
0
3

x2
Estudiamos los límites laterales.
Lím
3
3
   
2
x
0
Lím
3
3
   
2
x
0
x 0
x 0
Como Lím
x 0
e) Lím
x  1
3
3
3
 Lím 2 se concluye que el Lím 2  
2
x 0 x
x 0 x
x
1
x  1
2
K
0

Estudiamos los límites laterales.
Lím
x  1
Lím
x  1
1
x  1
2
1
x  1
Como Lím
x  1
2

1
 
0

1
 
0
1
x  1
2
 Lím
x  1
1
x  1
2
se concluye que el Lím
x  1
1
x  12
 
8
RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES:
Hacemos un breve repaso del cálculo de límites y resolución de indeterminaciones ya tratados el curso
anterior.
Veamos algunos ejemplos:
. Indeterminaciones del tipo


Calcula los siguientes límites:
a) Lím
x 3  3x 2  4 x  5
2 x 2  3x  1
x 
b) Lím
x 
c) Lím
x 
d ) Lím
x 
e) Lím
x  
4 x3  5 x2  2 x  3
2
x 
x 
x3  x2  3 x  4
x  2 x  2 x  4x  3
4
3
4 x3
 Lím
3 x  4 x  5x  4
3
2
3x
3
2
2
2 x 3  5x  4
x6  x4  2 x3  x2
 Lím
x 
x6  2 x3
4
3
 Lím
x 
x  
 2 x3
x3  2 x3
x6  2 x3
 Lím
3 x2
x x
4
 Lím
x 
 2 x3
x 
2
k
 0 con k  R

Nota :
 Lím
x 
3 x2
x x
2
2
 Lím
x 
2  x 
3 x2
2x
3
2 x3
 Lím
. Indeterminaciones del tipo

x3
1
 Lím  0
4
x  x
x  x
x  3x  4 x  x  5 x  3
4
3
 Lím
3 x2  4 x  5
 2 x3
 Lím
x3
 x
 Lím     
x  2 x 2
x   2 
 Lím
 x3
 x 6
 2  x 
3
 Lím
x 
2

3
2
 2 x3
x6  2 x3

2
0
.
0
Calcula los siguientes límites:
x3  1

x 1 x  1
0
0
a) Lím
1
1
1
 Lím
x 1
0
0
-1
1
1
1
1
1
0
x  1  x 2  x  1  Lím x 2  x  1  12  1  1  3
x 1
0
0
x 1








x  2  x 2  2 x  3  Lím x 2  2 x  3  5  1
x  7x  6

Lím
x 2 x 3  2 x 2  5 x  6
x   2 x  2  x 2  4 x  3
x 2 x 2  4 x  3
15 3
3
b) Lím
1
-2
1
0
-7
-6
-2
4
6
-2
-3
0
1
-2
1
-2
-5
6
-2
8
-6
-4
3
0
9
0
0

0
0


0
0

x  1  x 2  3x  2  Lím x 2  3x  2  Lím x  1  x  2 
x 3  4 x 2  5x  2

Lím
x  1 x 3  x 2  x  1
x  1
x  1
x  1  x  1   x  1
x  1  x 2  1
x2 1
x  2  1
 Lím
x  1  x  1
2
c) Lím
1
-1
1
-1
4
5
2
-1
-3 -2
3
2
1
-1
0
1


1
-1
-1
-1
0
1
0
-1
0


-1 -2
1
2
0
0
 x  2  2 0


x24
x2
  Lím  x  2  2  x  2  2   Lím
d ) Lím 
 Lím



x 2 
x  2 ( x  2) 
x  2  2  x 2 ( x  2)  x  2  2
x22
 x  2  x 2  x  2
1
1
 Lím

x 2
x22 4






Nota: El producto de una suma por una diferencia es una diferencia de cuadrados, es decir, es igual al
cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.
a  b  a  b  a 2  b 2


x2 2 
e) Lím
x 0
 
x22 
x2

2
 22  x  2  4
0
0





x
1  1  x 
x  1 1 x
x  1 1 x
 Lím 

 Lím
 Lím

2


x

0
x

0
x

0
2


1

1

x
1 1 x
1

1

x
1

1

x


1  1 x
x








x  1 1 x
x  1 1 x
 Lím
 Lím 1  1  x  2
x 0
x 0
x 0
11 x
x
 Lím
0
f ) Lím
x 1
 Lím
x 1
 Lím
x 1

 3x  2  4x 3 3x  2  4x 3 
3x  2  4x 3 0

 Lím 


x 1 
x 1
x

1
3
x

2

4
x

3


3x  2
x  1  
x  1  
 
2
4x3

2
3x  2  4x 3
 x 1
3x  2  4x 3

 Lím

 Lím
x 1
x 1
3 x  2  4 x  3
x  1  
x  1  
3x  2  4x 3
 x  1
3x  2  4x 3

 Lím

 Lím
x 1
3x  2  4 x  3
x  1  
x 1

3x  2  4x 3
1
3x  2  4x 3



1 1

11 2
10
0
0
  x  2  2   2 x  2 
 2 x  2   2 x  2   x  2  2
 x  2   2    2 x  2 


x  2  4   2 x  2  Lím x  2   2 x  2  2  2  2 
 Lím 
 Lím
 2 x   2    x  2  2 
2 x  4   x  2  2
2  x  2   x  2  2 2   2  2  2


g ) Lím
 x  2  2 x  2  2 2x  2 
  Lím
 Lím 


x 2 
2x  2
x  2  2 2 x  2  x 2
 2x  2
x2 2
x 2
2
x 2

2

42


x2 2 
2
2
42

x 2
2
x 2
22
4 1
 
2  2  2 8 2
. Indeterminaciones del tipo 0  
Este tipo de indeterminaciones se resuelven transformándolas en las del tipo
0

ó en las del tipo .
0

Calcula el siguiente límite:
1

Lím   x 2  3 x  
x   x

 x 2  3x 

 Lím 

x  
x


0


 x2 
  Lím x  1
 Lím 
x   x 
x  x


. Indeterminaciones del tipo   
Calcula los siguientes límites:
a) Lím  4 x  5 x  2 x  
x  

2
 Lím
x 
 Lím
x 
4 x2  5 x  4 x2
4 x 2  5 x  2x

5x
 Lím
x 
4 x 2  5 x  2x



5x
 Lím
x 
4 x 2  2x
 Lím
x 
5x

2x  2x
5x 5

4x
4
 x2  2 x2  1

b) Lím 


x 
x

1
x


 Lím
 4 x 2  5 x  2 x    4 x 2  5 x  2 x 
 

 Lím 
x 
2
 4 x  5 x  2 x 




 Lím
  Lím x
x3  2 x  x3  x2  x  1
x 
x x
2
x 
x 
3




x  x 2  2  x  1  x 2  1

x  x  1
 2 x  x3  x2  x  1
x x
2
 x2  x 1

x 
x2  x
 Lím


 x2
 1
x  x 2
 Lím
11
. Indeterminaciones del tipo 1
x

x   
Se resuelven aplicando la definición del nº e: Lím 1 
1
  e , o bien, aplicando directamente la
x
siguiente fórmula:
Lím  f ( x)
e
g ( x)
x  x0
Lím
x xo
 g ( x )   f ( x) 1 
donde x0  R   
Veamos algunos ejemplos:
 x2 

a) Lím  2
x  x  3 


x2
1



x2
 Lím 1  2
 1
x 
x 3 

x2
(sumamos y restamos "1" en la base)

x2  x2  3 

 Lím 1 
x 
x 2  3 

x2
3 

 Lím 1  2

x   
x  3
x2

(dividimos el numerador y el denominador entre (-3))

3 


 Lím 1  2 3 
x   
x 3


3 

x2




1 
 Lím 1  2
x   
x 3


3 

x2

(el siguiente paso es conseguir la misma expresión en el exponente y en el denominador de la base)
x 2  3 3
x 

 3 x 2  3
2



1 
 Lím 1  2
x   
x 3


3 





1 
 Lím 1  2
x  
x 3




3 

x 2 3
 3







x2 
3
x 2 3
3 x 2




1 
 Lím 1  2
x  
x 3




3 

x 2 3
 3
 x 2 3







(aplicamos la definición de número e)
e
Lím
x 
 3 x 2 


 x 2 3 


e
Lím
x 
 3 x 2

 x2





1
e3
 e 3 
Vamos a resolver este mismo límite aplicando la fórmula:
Lím  f ( x)
e
g ( x)
x  x0
 x2 

a) Lím  2
x  x  3 


Lím
e
x 
 3 x 2 


 x 2 3 


x2

Lím
x 
e

1
 3 x 2

 x2





Lím
x xo
e
 g ( x )   f ( x) 1 
Lím
x 
 e 3 
2


 2  x

 x   2 1  
x

3


 

e
Lím
x 
2
2

 2  x  x 3  

x 

2
x

3  

 

e
Lím
x 
 2  3  
 x  2 
  x 3  

1
e3
Como vemos resulta mucho más fácil aplicar la fórmula para calcular el límite (así lo haremos de ahora en
adelante)
2
x
b) Lím 1  3 x  
x 0
1
e
2

Lím  13 x 1
x 0  x

e
Lím
x 0
6x
x
 e6
12
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