Parte 7 Modelos de Transportación

Parte 7 Modelos de Transportación
DEFINICIÓN Y APLICACIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE
El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía
de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
1.
2.
Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más
fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada
fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.
La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es
directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de
“unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.
El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes
y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el arco que une
fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La
cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de
transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.
Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el
modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:
Minimiza Z=  i=1 m  j=1 n C i j X i j
Sujeta a:
 j=1 n X i j <= ai ,
 i=1 m X I j >= bj ,
X i j >=0
i=1,2,…, m
j=1,2,…, n
para todas las i y j
El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una
fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto
requiere que la suma de los envios a un destino satisfaga su demanda.
El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total i=1 m ai debe ser
cuando menos igual a la demanda total j=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la
demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte
equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son
ecuaciones, es decir:
X i j = ai,
i=1,2,..., m
X i j = bj,
j=1,2,..., n
En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor
que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El
equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas
situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución que
explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos
ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también sus implicaciones
prácticas.
Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar)
MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns. Sus
centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades de las plantas
durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200 automóviles. Las demandas
trimestrales en los dos centros de distribución son de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo
del transporte de un automóvil por tren es de 8 centavos por milla. El diagrama de las
distancias recorridas entre las plantas y los centro de distribución son:
Denver
Los Ángeles
1 000
Detroit
1 250
Nueva Orleans 1 275
Miami
1 690
1 350
850
Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida.
Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j del
modelo original:
Denver
Miami
Los Ángeles
80
215
Detroit
100
108
Nueva Orleans
102
68
Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de
distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles transportados de la
fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500 + 1 200 = 3 700) es igual a
la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo de transporte resultante esta
equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene
todas las restricciones de igualdad.
Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32
Sujeto a:
X 11
X 12
X 21
X 11
X 22
X 31
X 31
X 21
X 12
X ij
X 22
X 32
X 32
= 1 000
= 1 500
= 1 200
= 2 300
= 1 400
para todas las i y j
Un método mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en
utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus
renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo
C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el
modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:
Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio)
En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1 300
automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibrada debido a
que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3 700).Nuestro objetivo
consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la
cantidad faltante(=3 700 – 3 500 = 200) en forma optima entre los centros de
distribución.
Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con
una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, envíe su
“producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidad de unidades
enviadas a un destino desde una planta ficticia representará la cantidad faltante en ese
destino.
La única información que falta para completar el modelo son los “costos de
transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe, no
habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo,
podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurre en un costo de
penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribución.
En este caso los costos de transporte unitarios serán iguales a los costos de
penalización unitarios en los diversos destinos.
Los Ángeles
Detroit
Nueva Orleáns
Planta ficticia
Denver
80
100
102
0
Miami
215
108
68
0
1 000
1 300
1 200
200
De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un
destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la demanda en
Denver disminuye a 1 900cualquier automóvil enviado de una planta a un centro de
distribución ficticio representa un excedente en la planta.
Los Ángeles
Detroit
Nueva Orleans
Denver
Miami
80
100
102
215
108
68
Destino
Ficticio
0
0
0
1 000
1 500
1 200
La aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de “transporte”.
El siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otros campos.
Ejemplo 3 (Modelo de inventario de producción)
Una compañía construye una planta maestra para la producción de un articulo en un
periodo de cuatro meses. Las demandas en los cuatro meses son: 100, 200, 180 y 300
unidades. Una demanda para el mes en curso puede satisfacerse a través de:
1. 1.
Producción excesiva en un mes anterior almacenada para su consumo
posterior.
2. 2.
Producción en el mes actual.
3. 3.
Producción excesiva en un mes posterior para cubrir pedidos de meses
anteriores.
El costo de producción variable por unidad en un mes cualquiera es de $4.00. una
unidad producida para consumo posterior incurrirá en un costo de almacenamiento
razón de $0.50 por unidad por mes. Por otra parte, los artículos ordenados en meses
anteriores incurren en un costo de penalización de $2.00 por unidad por mes. La
capacidad de producción para elaborar el producto varía cada mes. Los cálculos de los
cuatro meses siguientes son 50, 180, 280 y 270 unidades, respectivamente.
El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo mínimo. Este
problema se puede formular como un modelo de “transporte”. La equivalencia entre los
elementos de los sistemas de producción y transporte se establece de la manera
siguiente:
Sistema de Transporte
Sistema de Producción
1. Fuente i
1. Periodo de producción i
2. Destino j
2. Periodo de demanda j
3. Oferta en la fuente i
3. Capacidad de producción del periodo i
4. Demanda en el destino j
4. Demanda del periodo j
5. Costo de transporte de la fuente i 5. Costo de producto e inventario del
al destino j
periodo i al j
En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de
transporte:
Demanda
Periodo
1
1
4
2
6
3
8
4
10
Demanda: 100
2
4.5
4
6
8
200
3
5
4.5
4
6
180
El costo de “transporte” unitario del periodo i al j es:
4
5.5
5
4.5
4
300
Capacidad
50
180
280
270
Costo de producción en i,
Cij =
i=j
Costo de producción en i / costo de almacenamiento en i a j
i<j
Costo de producción en i / costo de penalización en i a j i>j
La definición de C i j indica que la producción en el periodo i para el mismo periodo (i
= j) sólo iguala el costo unitario de producción. Si el periodo i se produce para periodos
futuros j (i < j), se incurre en un costo de almacenamiento adicional. De la misma
manera, la producción en i para cubrir j pedidos hechos con anterioridad (i > j) incurre
en un costo de penalización adicional.
PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN (Método Hungaro)
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el
cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver
eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro:
o
o
Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento mas
pequeño en cada renglón de la matriz de costos. Construya una nueva
matriz, al restar de cada costo, el costo mínimo de su renglón. Encuentre,
para esta nueva matriz el costo mínimo en cada columna. Construya una
nueva matriz ( la matriz de costos reducidos ) al restar de cada costo el
costo mínimo de su columna.
o
o
Paso 2.- Dibuje el mínimo numero de líneas
(horizontales o verticales ) que se necesitan para cubrir todos los ceros en
la matriz de costos reducidos. Si se requieren m líneas para cubrir todos
los ceros, siga con el paso 3.
o
o
Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame
su valor k en la matriz de costos reducidos, que no esta cubiertos por las
líneas dibujadas en el paso 2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto
de la matriz de costos reducidos y sume k a cada elemento de la matriz de
costos reducidos cubierto por dos líneas. Regrese al paso 2.
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el
que todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el
conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de
demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de
costos.
Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son
números enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores
enteros.
EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE ASIGNACION
1.
1.
Una empresa ha contratado a 4 individuos para 4 trabajos, los 4
individuos y 4 trabajos pueden mostrarse en una tabla que indique las
clasificaciones obtenidas, analizando al individuo para cada trabajo. Los
renglones se refieren a los hombres, mientras que las columnas se refieren a
los trabajos; el problema consiste en maximizar las calificaciones para
asignar los 4 trabajos.
Se supone que las calificaciones de un individuo es directamente
proporcional a la ganancia que obtendría la compañía si ese individuo se
encargara del trabajo.
2.
2.
Otro problema que utiliza la misma estructura del modelo de
transporte, es la asignación de camiones para reducir al mínimo los costos de
un problema de asignación.
3.
3.
Una empresa cubre el territorio nacional con dos camiones
especialmente equipados para funcionar en condiciones climatológicas
específicas. La empresa ha dividido en cinco regiones geográficas. Se
compra el camión A y se modifica para que funcione eficientemente en las
regiones uno y dos, y para que funcione bastante bien en las regiones tres y
cuatro. El mismo camión no funciona bien en la región cinco. Los gastos de
gasolina, mantenimiento y otros costos directos de operación, serían mínimos
en las regiones uno y dos, promedio en las regiones tres y cuatro, y altos en
la región cinco. Se tiene esa misma información con respecto a los demás
camiones de la compañía, o sea, los tipos B, C y D.
SOLUCION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE.
En esta sección presentamos los detalles para resolver el modelo de transporte.
TECNICA DE TRANSPORTE.
Los pasos básicos de la técnica de transporte son:
Paso 1: determínese una solución factible.
Paso 2: determínese la variable que entra, que se elige entre las variables
no básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del
método simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3.
Paso 3: determínese la variable que sale (mediante el uso de la condición de
factibilidad) de entre las variables de la solución básica actual; después
obténgase la nueva solución básica. Regrese al paso 2.
OBTENCIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS FACTIBLES PARA PROBLEMAS DE
TRANSPORTES
Podemos obtener una solución básica factible (sbf) para un problema de
transporte balanceado mediante el método de la esquina Noroeste, el método de costo
mínimo, o el método de Vogel.
Para obtener una sbf mediante el método de la esquina noroeste, empiece en la
esquina superior izquierda del cuadro del transporte y haga a X11 lo más grande
posible.
Naturalmente, X11 no puede ser mayor que el menor valor Si y así X11 S1
tache el primer renglón del cuadro de transporte; Esto indica que si habrá más
variables básicas del renglón 1 del cuadro. También d1-S1 . Si X11=d1, tache la
primera la columna del cuadro de transporte y cambie S1 – d1.
Si X11= S1 = d1, tache o el renglón 1, o la columna 1 (pero no ambos), del
cuadro de transporte. Si tacha el renglón 1, cambie d1 por cero; si tacha columna 1,
cambie S 1 por 0.
Continúe aplicando este procedimiento a la celda mas noroeste del cuadro que
no cae en un renglón eliminado o en una columna eliminada.
Finalmente, llegara un momento en el cual solo queda una celda a la cual se
puede asignar un valor.
Asigne a esta celda un valor igual a la oferta de su renglón o a la demanda de su
columna, y tache el renglón y la columna de la celda. Se obtiene de esta manera una
solución básica factible.
OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA PARA UN PROBLEMA DE TRANSPORTE

Paso 1: Si el problema no está balanceado, balancéelo.

Paso 2: Utilice uno de los métodos descritos anteriormente para
obtener una solución básica factible.

Paso 3: Utilice el hecho de que U1=0, y Ui+Vj=Cij en todas las
variables básicas para encontrar (U1,U2...Um V1,V2...Vn) para la sbf actual.

Paso 4: Si Ui + Vj – Cij es menor o igual a cero, para todas las
variables no básicas, entonces la sbf actual es óptima. Si no es así se introduce
la variable con valor más positivo de Ui + Vj –Cij en la base. Para hacer esto,
encuentre un circuito cerrado (se puede demostrar que solamente existe un
circuito cerrado) que contiene la variable que entra y algunas de las variables
básicas. Después, tomando en cuenta solamente las celdas en el circuito
cerrado marque las que se encuentren alejadas en número par (0,2,4,6,...) de
celdas de la variable que entra como celdas pares. También marque las celdas
en el circuito cerrado, que se encuentra un número impar de celdas de la
variable que entra como celdas impares. Ahora encuentre la celda impar cuya
variable toma el menor valor. Llame este valor teta. La variable correspondiente
a esta celda impar saldrá de la base. Para realizar el pivoteo, disminuye el valor
de cada celda impar en teta y aumenta el valor de cada celda par en teta. Los
valores de las variables que no se encuentran en el circuito cerrado permanecen
sin cambio. Ahora se completó el bloqueo.
Sí teta es igual a cero, la variable que entra será igual a cero, y una variable
impar que tiene un valor actual de cero, saldrá de la base. En este caso, existía
un sbf degenerada antes del pivoteo y resultará después del pivoteo.
Si más de una celda impar en el circuito cerrado es igual a teta. Puede
escoger arbitrariamente una de estas celdas impares para que salga de la base;
se obtendrá una vez más una sbf degenerada. El pivoteo produce una nueva
sbf.

Paso 5: Regrese a los pasos 3 y 4, utilizando la nueva sbf. Para
un problema de maximización, proceda como se especificó, pero cambie el paso
4 por el paso 4’.

Paso 6: Si Ui + Vj –Cij es mayor o igual a cero, para todas las
variables no básicas, entonces, la sbf actual es óptima. De otra manera, coloque
la variable con el valor más negativo de Ui + Vj – Cij en la base mediante el
procedimiento de pivoteo.
METODO DE ESQUINA NOROESTE
4. Problema de Minimizar Costos de Transportación
Descripción: Es un problema clásico donde el objetivo es analizar la manera de obtener
el costo mínimo de transportar una serie de productos desde n fabricas, hasta m
almacenes. Una de las formas más comunes de presentar y solucionar problemas de
transportación es utilizando una matriz con filas que representen las fuentes o orígenes
y con columnas que representaran los destinos. Los costos de “shipping” desde las
fuentes a hacia los orígenes son los datos que se indican en las sub-celdas superiores
en cada una de las celdas mayores. Los totales de oferta y la demanda se mostraran
en los márgenes de la matriz.
Metodología: Método “Northwest Corner” para resolver problemas de transportación
En su forma simple el método de Northwest-corner se basa en asignar la mayor
cantidad posible a la celda superior izquierda, y sucesivamente de izquierda a derecha
continuar asignado por fila hasta lograr asignar la totalidad de oferta y demanda que se
encuentran en las respectivas filas y columnas.
Ejemplo del Ciclo “Northwest Corner” para Solucionar de Problema de Transportación
1
Destinos
2
3
3
2
0
1
45 0
45
2
1
5
0

Asignar la cantidad
máxima (45) a la primera
celda del extremo
izquierdo.
En las filas y columnas
con 0 no se puede
asignar nada más a
ninguna celda.
La fila 1 esta en cero
para asignar.
60

Fuente 3
s
5
4
0
35
50 5
50 5
1
3
60
60
Destinos
2
2
30
30

3

0
1
45 0
45
2
1

5
0
4
0
60 55
5
Fuente 3
s
5

35
50 5 0
1
3
60
Destinos
2
2
3
0
45 0
45
1
5
5
Fuente
3
s
5
0

0
35
50 5 0
1
60 5
Destinos
2

60 55 0
55
4

30
1
2
En la columna 1 de la
segunda fila podemos
asignar el restante 5.
El proceso de
asignación debe
analizarse siempre de
izquierda a derecha.
La columna 1 estaría en
cero para asignar.
Note que debemos
restar 5 al total de 60 de
la fila 2.
30
3

En la columna 2 de
la segunda fila se
asignó el restante
55.
Note que la fila 2
esta en cero para
asignar.
Al total de la
columna 2 se restó
los 55, solo tiene 5
para asignar.
3
2
0
1
45 0

60 55 0

45
2
1
5
5
Fuente
3
s
0
55
5
4
50 5 0
5
60 5 0

0
35 30
1
3
Destinos
2
2
En la fila 3
podemos asignar 5
en la columna 2.
La columna 2
ahora esta en cero
para asignar.
Note que se
restaron 5 al total
de la fila 3.
30
3
0

En la fila 3 podemos
asignar 30 en la
45
columna 3.
1
5
0
2
60 55 0  La columna 3 ahora
esta en cero para
5
55
asignar.
 La fila 3 también
5
4
0
esta en cero para
Fuente
3
35 30 0
asignar.
s
5
30
 Por lo tanto se
50 5 0
60 5 0
30 0
culmina el
procedimiento.
Todas la filas y columnas están en cero para asignar lo que termina el procedimiento.
La solución se determina multiplicando los costos por las cantidades asignadas a las
celdas correspondientes luego de la última interacción.
1
45 0
Sol = 45(3) + 5(1) + 55(5) + 5(4) + 30(0) = 135 + 5 + 275 + 20 + 0 = 435
Determinación general del modelo de transporte requiere que:
m

ai
n
=
 bj
i=1
j=1
Este requisito da origen a una ecuación dependiente, lo que significa que el modelo
de transporte tiene sólo m + n –1 ecuaciones independientes. Por lo tanto, como en el
método simplex, una solución factible básica inicial debe incluir m + n – 1 variables
básicas.
Normalmente, si el modelo de transporte se formula como una tabla simplex, sería
necesario utilizar variables artificiales para asegurar una solución básica inicial. Sin
embargo, cuando se utiliza la tabla de transporte, una solución factible básica inicial se
puede obtener fácil y directamente. Presentamos un procedimiento llamado regla de la
esquina noroeste para este fin.
Destino
1
Fuente
1
2
10
X11
2
X12
12
X21
3
Demanda
X13
X22
X23
Oferta
15
20
25
18
5
X24
16
X33
15
11
X14
9
14
X32
15
4
20
7
0
X31
5
3
0
X34
10
El método de la esquina noroeste comienza con la asignación de la máxima
cantidad admisible através de la oferta y la demanda de la variable x11 (la de la
esquina noroeste de la tabla). Después se tacha la columna (renglón) satisfecha, lo que
indica que las variables restantes de la columna (renglón) tachada son iguales a cero.
Si se satisfacen una columna y un renglón al mismo tiempo, sólo una (una u otro)
puede ser tachado. (Esta condición garantiza la ubicación automática de variables
básicas cero, si las hay). Después de ajustar las cantidades de oferta y demanda de
todos los renglones y columnas no tachados, la cantidad factible máxima se asigna al
primer elemento no tachado de la nueva columna (renglón). El proceso se completa
cuando se deja sin tachar exactamente un renglón o una columna.
El procedimiento que se acaba de describir se aplica ahora en el ejemplo:
1. 1.
x11 = 5, se tacha la columna 1. Por lo tanto, no se puede hacer otra
asignación en la columna 1. La cantidad que falta en el renglón 1 son 10
unidades.
2. 2.
x12 = 10, se tacha el renglón 1 y faltan 5 unidades en la columna 2.
3. 3.
x22 = 5, se tacha la columna 2 y faltan 20 unidades en el renglón 2.
4. 4.
x23 = 15, se tacha la columna 3 y faltan 5 unidades en el renglon 2.
5. 5.
x24 = 5, se tacha el renglón 2 y faltan 5 unidades en la columna 4.
6. 6.
x34 = 5, se tacha el renglón 3 o la columna 4. Como sólo un renglón ouna
columna se mantiene sin tachar, el proceso llega a su fin.
La solución básica inicial resultante se presenta a continuación.
Las variables básicas son x11 = 5, x22 =10, x23 =15, x24 =5 y x34 = 5. Las variables
restantes son no básicas en el nivel cero. El costo de transporte asociado es:
5 x 10 +10 x 0 + 5 x 7+ 15 x 9 + 5 x 20 +5 x 18 = $410.
1
5
1
2
3
5
2
10
5
3
15
15
4
15
15
25
5
5
5
10
Cuando se satisfacen al mismo tiempo una columna y un renglón, la siguiente
variable que se agregará a la solución básica estará necesariamente en el nivel cero.
La siguiente tabla ilustra este aspecto. La columna 2 y el renglón 2 se satisfacen
simultáneamente.
1
2
1
5
2
5
5
3
0
4
10
5
5
0
3
5
10
5
8
8
7
7
15
15
Si se tacha la columna 2, x23 se vuelve básica en el nivel cero en el paso
siguiente, ya que la demanda restante del renglón 2 vale ahora cero.(Este caso se
presenta en la tabla anterior). Si en cambio se cruza el renglón 2, x32 sería la variable
básica cero.
Las soluciones iniciales de las dos últimas tablas incluyen el número adecuado de
variables básicas, o sea, m + n-1 = 6. La regla de la esquina noroeste produce siempre
el número adecuado de variables básicas.
DETERMINACION DE LA VARIABLE DE ENTRADA
(METODO DE MULTIPLICADORES)
La variable que entra se determina mediante el uso de la condición de optimalidad
del método simplex. Los cálculos de los coeficientes de la función objetivo están
basados en las relaciones primales-duales. Primero presentamos la mecánica del
método y después damos una explicación con base en la teoría de la dualidad. Otro
método, llamado procedimiento Saltando Piedras, también sirve para determinar la
variable que entra.
En el método de multiplicadores asociamos los multiplicadores u i y vj con el renglon i
y la columna j de la tabla de transporte. Para cada variable basica xij ed la solucion
actual, los multiplicadores ui y vj deben satisfacer la ecuacion que sigue:
ui + vj = cij , para cada variable basica xij
Estas ecuaciones producen m+n-1 ecuaciones con m+n incognitas. Los valores de
los multilicadores se pueden determinar a partir de estas ecuaciones suponiendo un
valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores y resolviendo las m+n-1
multipilicadores desconocidos restantes.
Al hacer esto, la evaluacion de cada variable no basica Xpq esta dada por:
Cpq = up – vq - cpq
Después se selecciona la variable que entra como la variable no basica con la
variable no basica con la variable cpq mas positiva.
Si aplicamos este procedimiento a las variables no basicas estan dadas como:
X11:
X12:
X22:
X23:
X24:
X34:
U1
U1
U2
U2
U2
U3
+
+
+
+
+
+
V1
V2
V2
V3
V4
V4
=
=
=
=
=
=
C11
C12
C22
C23
C24
C34
=
=
=
=
=
=
10
0
7
9
20
18
Haciendo u1= 0 los valores de los multiplicadores se determinan sucesivamente
como V1=10, V2=0, U2=7, V3=2, V4=13, y U3=5. Las evaluaciones de las variables no
basicas estan dadas de la manera siguiente:
X13: c13 = u1 + v3 – c13 = 0+2-20 = -18
X14: c14 = u1+ v4 – c14 = 0+13-11 = 2
X21: c21 = u2 + v1 – c21 = 7+10-12 = 5
X31: c31 = u3+v1 – c3 = 5+10-0 = 15
X32: c32 = u3+v2 – c32 = 5+0-14 = -9
X33: c33 = u3 +v3 – c33 = 5+2-16 = -9
Como x31 tiene la variable cpq mas positiva, esta se selecciona como la variable que
entra.
Las ecuaciones ui+vj = cij que utilizamos para determinar los multiplicadores, tienen una
estructura tan sencilla que es necesario escribirlos en forma explicita.