Espacio vectorial
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama
de la matemática llamada álgebra lineal. Las operaciones que podemos realizar
entre ellos son: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar,el producto
punto, el producto vectorial y el triple producto escalar con algunas restricciones
naturales como el cierre de estas operaciones, la asociatividad de estas y la
combinación de estas operaciones, siguiendo, llegamos a la descripción de una
estructura matemática llamada espacio vectorial.
Definición formal
Dado un cuerpo conmutativo de escalares K (como el cuerpo de los números
reales o el cuerpo de los números complejos). Y un conjunto V dotado de una ley
de composición interna (+), (suma de vectores), y una ley de composición externa
(·), (producto por un escalar), respecto al cuerpo K, es un espacio vectorial si y
solo si:
V tiene estructura de grupo conmutativo, respecto a la ley de composición
interna (+), (suma de vectores). Esto significa que:
1. La suma de vectores es ley de composición interna.
2. La suma de vectores es asociativa.
3. La suma de vectores es conmutativa.
4. Existe un elemento neutro o nulo.
5. Existe un elemento simétrico u opuesto aditivo.
Dónde
representa el vector nulo.
Respecto a su ley de composición externa (·), (producto por un escalar), se
cumple:
6. El producto es ley de composición externa.
7. El producto posee asociatividad mixta.
8. El producto es distributivo respecto a la suma en V.
9. El producto es distributivo respecto a la suma en K.
10. Existe el elemento neutro para el producto.
Subespacio vectorial
Definido un espacio vectorial V, un subconjunto S de V, que a su vez cumple las
leyes de espacio vectorial se lo denomina subespacio vectorial. En otras
palabras, sea V un espacio vectorial, S es un subespacio de V si y solo si se
cumple simultáneamente:
S no es un conjunto vacío.
S es igual o está incluído en V.
S es un espacio vectorial.
Condición suficiente de existencia
Es posible afirmar la existencia de un subespacio vectorial sin necesidad de
probar los 10 axiomas de existencia de espacio vectorial. Para ello se definen 4
axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea
V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:
1. S no es un conjunto vacío.
2. S es igual o está incluído en V.
3. La suma es ley de composición interna.
4. El producto es ley de composición externa.
Propiedades del espacio vectorial.
Además se cumplen las siguientes 10 propiedades (5 propiedades para la suma
vectorial y 5 para el producto por escalares):
(En adelante, y como es costumbre, los vectores se indican con letras latinas con
una flecha encima; si no es así se trata de escalares)
Para la Suma de vectores
1 Cerradura
2 Asociatividad
3 Conmutatividad
4 Inverso Aditivo
5 Neutro Aditivo
Para el Producto por Escalares
6 Cerradura
7 Asociativa
8 Distributiva 1
9 Distributiva 2
10 Neutro del producto
(Aquí la suma entre escalares es la definida para el cuerpo de escalares; parece
lioso pero la suma entre vectores puede ser construida con otras reglas muy
diferentes a las de la suma entre escalares. Sin embargo, como ocurre con los
vectores geométricos habituales y los números reales, una suma puede llevar a la
otra o estar relacionadas.)
Otras propiedades.
Las propiedades de la 1 a la 5 indican que
bajo la suma vectorial.
es grupo abeliano o conmutativo
También, de las propiedades anteriores, se pueden probar inmediatamente las
siguientes fórmulas útiles:
1
1
1
2
1
3
Otra forma de definir un espacio vectorial
Podemos utilizar las estructuras algebraicas para una definición alternativa,
formalmente más elegante desde el punto de vista matemático.
Premisas [editar]
Sea
un grupo conmutativo respecto de la ley de composición interna +.
Entonces el conjunto de los de
lineales de , forma un anillo
las aplicaciones.
Por otra parte, sea el cuerpo
también es un anillo.
(escrito
), o sea de las aplicaciones
, donde o es la ley de la composición de
, con sus leyes + y *; que, por el hecho de serlo,
A su vez, para cualquier a de , se llama homotecia de razón a al morfismo de
. (Como morfismo, es una aplicación
, lo que implica el
axioma 1 del producto por escalares)
Con estas premisas tenemos la siguiente
Definición
Se dice que
, +, *
es un espacio vectorial sobre
si y sólo si
es un morfismo de anillos.
Consecuencias de esta definición
El hecho que ( V, + ) sea un grupo abeliano resume en sí mismo los
axiomas 1, 2, 3, 4 y 5 de la suma vectorial.
El que ha sea homotecia da cuenta del axioma 4 del producto por escalares
ya que es lineal.
El que f sea un morfismo de anillos significa que
f(a + b) = f(a) + f(b), es decir que ha + b = ha + hb o sea
(axioma 10)
f(ab) = f(a)o f(b), es decir hab = hao hb, o sea
(axioma 7)
f(1) = I, o sea h1 = I, donde 1 es el neutro de (K, .) e I es la identidad,
es decir la aplicación
de V. La identidad es obviamente el neutro de
End V. Esto se escribe
para cuaquier vector . (axioma 8 )
Se podría añadir
, la aplicación nula de V, pero es una
consecuencia de la tercera premisa.
El último punto ( f(1)= I ) equivale a afirmar que f no es la aplicación nula
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