1 RELACIONES ENTRE ESCALAS TERMOMETRICAS Mario Melo Araya Ex Profesor Universidad de Chile [email protected] En este trabajo se ofrece una presentación de las ecuaciones que relacionan a las diferentes escalas termométricas, deducidas considerando que tales relaciones son lineales y, por lo tanto, utilizando la ecuación de una línea recta en un sistema de coordenadas cartesianas. Se pretende, de este modo, superar la tradicional falta de rigurosidad de las ecuaciones empleadas tradicionalmente por ignorar el Principio de Homogeneidad Dimensional. Por ejemplo, la ecuación T = t + 273.15 tradicionalmente se utiliza para expresar en la escala Kelvin (temperatura termodinámica en el Sistema Internacional) la temperatura Celsius. Si, por ejemplo, t = 25 ºC, el resultado que se da (298.15 ºK) se obtiene del modo siguiente: T = 25 ºC + 273.15 = 298.15 ºK o también. T = 25 + 273.15 = 298.15 ºK pero, la primera suma, algebraicamente, no es correcta porque los términos 25 ºC y 273.15 no son semejantes. Además, en el resultado apareció una unidad, el ºK, de manera matemáticamente inexplicable. En el segundo cálculo hay una unidad que se omite y otra que aparece de manera, también, matemáticamente inexplicable. Conocimientos previos requeridos: Temas 2, 3, 4, 5 y 6 de esta página web. Normas SI para tabular y graficar cantidades de magnitudes físicas. Ecuación de la línea recta. En la Tabla 1 se muestran algunas temperaturas en las escalas Celsius, Kelvin, Fahrenheit y Rankine 2 Tabla 1 t/ºC T/K tF/ºF T/ºR 100 373.15 212 671.67 0 273.15 32 491.67 -17.78 255.37 0 459.67 -273.15 0 -459.67 0 Considerando que las relaciones entre las escalas termométricas son lineales y que la homogeneidad dimensional se consigue utilizando notaciones adimensionales en sus planteamientos, será fácil hallar las ecuaciones requeridas. Recordando que la ecuación y = mx + b representa una línea recta, en donde b es la ordenada en el origen y m es su pendiente, igual a la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el eje x, o sea, y y = mx + b Δy m = —— = tg φ Δx Δy φ Δx b φ x sólo habría que evaluar la pendiente m y la ordenada b en el origen. Los gráficos requeridos se obtienen a partir de los valores señalados en la Tabla 1. A. RELACION ENTRE LAS ESCALAS KELVIN Y CELSIUS. 3 y = T/K T/K x = t/ºC b = 273.15 373.15 100 m = 1 273.15 100 luego, T/K = t/ºC + 273.15 -273.15 0 100 t/ºC o bien, T = (t/ºC + 273.15) K (1) Problema. Expresar la temperatura de 25ºC en la escala Kelvin. T = (25 ºC/ºC + 273.15) K = (25 + 273.15) K = 298.15 K B. RELACION ENTRE LAS ESCALAS RANKINE Y FAHRENHEIT. TR/ºR y = TR/ºR x = tF/ºF b = 459.67 671.67 671.67 212 459.67 m = 212/212 = 1 luego, 212 TR/ºR = tF/ºF + 459.67 o bien, -459.67 0 212 tF/ºF TR = (tF/ºF + 459.67) ºR (2) 4 C. RELACION ENTRE LAS ESCALAS FAHRENHEIT Y CELSIUS tF /ºF y = tF/ºF 212 180 x = t/ºC b = 32 180 9 m = —— = — 100 5 = 1.8 luego. 32 tF/ ºF = 1.8 t/ºC + 32 100 0 100 (3) t/ºC o bien, tF = (1.8 t/ºC + 32) ºF Problema. Expresar la temperatura de 25 ºC en la escala Fahrenheit. tF 1.8 x 25 ºC = ( —————— + 32) ºF = (45 + 32) ºF = 77 ºF ºC D. RELACION ENTRE LAS ESCALAS RANKINE Y CELSIUS. Introduciendo en la ecuación (2) el valor de tF/ºF, dado en la ecuación (3), se obtiene: TR/ºR = (1.8 t/ºC + 32) + 459.67 TR/ºR = 1.8 t/ºC + 491.67 (4) Un cuadro completo de todas las ecuaciones que relacionan las escalas termométricas puede obtenerse a partir de las ecuaciones deducidas anteriormente. En efecto, despejando 5 t/ºC en las ecuaciones (1), (3) y (4) se tienen las ecuaciones que relacionan, explícitamente, la temperatura Celsius con las otras escalas termométricas; ecuaciones que reunidas en una serie de igualdades, queda: t T ºC 273 . 15 K 5 TR 9 º R 5 tF 491 . 67 32 9 ºF (5) Aunque esta serie de igualdades puede cubrir las doce posibilidades de cálculos que se puedan presentar, pueden obtenerse otras series de igualdades explícitas para T, TR y tF, simplemente despejando T/K, TR/ºR y tF/ºF en (5). Ellas son: T K TR 5 TR 9 ºR 9 T ºR tF 5 K ºF 9 t 5 ºC t 273 . 15 ºC 9 t 5 ºC 32 5 tF 459 . 67 9 ºF 273 . 15 9 T 5 K 459 . 67 tF 459 . 67 ºF TR 459 . 67 ºR Conclusión. Teniendo presente las conductas de entrada señaladas, basta recordar o disponer de los valores de dos puntos fijos comunes en las escalas termométricas, para deducir, fácilmente, cualquiera de las ecuaciones que las relacionan, evitando así su memorización. Bibliografía. Melo Mario, Química Básica en el rigor del lenguaje matemático. Tomo I: Estequiometría Nº Inscripción 67.381 (1987).