FUNCIÓN LINEAL
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Prof. ADRIANA PAPICH MATEMÁTICA FUNCIÓN LINEAL DEFINICIÓN: Se llama FUNCIÓN LINEAL, a una función polinómica de primer grado sin término f : f(x) ax independiente, por lo cual tendrá la forma: (el número a, pueden ser cualquier número real, con a 0 siempre que a , sea distinto de cero ). La representación gráfica en un PLANO CARTESIANO de este tipo de funciones de DOMINIO REAL, es una RECTA, que NO va a ser paralela a los ejes. POR QUÉ EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN LINEAL ES EL CONJUNTO DE LOS REALES? Primero, debemos recordar que el DOMINIO de una función es el conjunto de números, ( en el caso de las funciones numéricas ), que podemos utilizar para llegar a hacer, por ejemplo, su representación gráfica. Consideremos por ejemplo la función f : f(x) 2x , según la definición de función lineal, su representación gráfica, tendría que ser una recta, pero: i) vamos a considerar que el conjunto del cuál vamos a elegir números es el conjunto de los números NATURALES (N), o sea que me indiquen que el dominio es N por ejemplo podríamos elegir los números: 0, 1, 2, 3 en la función f : f(x) 2x f(0) 2(0) f(0) 0 f(2) 2(2) f(2) 4 f(1) 2(1) f(1) 2 f(3) 2(3) f(3) 6 haremos: La gráfica de la función es entonces.............................................................. ya que .......................................................................................................................... ii) Si ahora consideramos que el dominio de la función es el conjunto de los números enteros (Z), podremos elegir por ejemplo los números: -2; -1; 0,1 y 2, calcularemos: f(2) .............. f(1) ............... f(0) ................ f(1) ................. f(2) ................ Puedes realizar su gráfica correspondiente? Qué deduces en relación al gráfico de la función?........................................ ......................................................................................................................... FICHA - FUNCIÓN LINEAL y AFIN- MATEMÁTICA – 1º EMP Paso de la Arena Prof. Adriana Papich 2 iii) Si ahora nos indicaran que el dominio es el conjunto de los números reales, cómo sería el gráfico de la función f : f(x) 2x CONCLUSIONES:.............................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................. ..................... PORQUÉ LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN VA A SER SIEMPRE UNA RECTA NO PARALELA A LOS EJES? Veamos los dos casos posibles: i) f(x) Se la recta es paralela al eje de las ordenadas (eje f(x)). ............................................................................... ............................................................................... .............................................................................. ii) Si la recta es ahora paralela al eje de las abscisas: ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... ......................................................................................... f(x) x k x FUNCIÓN AFIN DEFINICIÓN: Se llama FUNCIÓN AFIN, a una función polinómica de primer grado con término f : f(x) ax b independiente, por lo cuál tendrá la forma: ( los números a y b, pueden ser cualquier con a 0 número real, siempre que a , sea distinto de cero ). La representación gráfica en un PLANO CARTESIANO de este tipo de funciones de DOMINIO REAL, es una RECTA, que NO va a ser paralela a los ejes. FICHA - FUNCIÓN LINEAL y AFIN- MATEMÁTICA – 1º EMP Paso de la Arena Prof. Adriana Papich ESTUDIO y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN AFIN: 1.- CERO DE LA FUNCIÓN: Def.: Se denomina así, al punto de intersección del gráfico de la misma con el eje de las abscisas y como todo punto de dicho eje tiene ordenada 0 , entonces, para calcularlo exigiremos que f(x) 0 . Dada f : f(x) ax b con a 0 ax b 0 , transformándola en una Ecuación de 1er.grado. Si f(x) 0 al resolverla, estaremos hallando la raíz, o sea el valor de x que es abscisa del punto por el cuál va a pasar el G(f) b b f(x) ax b x ,0 es el CERO de la función f a a Vamos a realizar este paso del estudio, en el ejemplo : f : f(x) 2x 1 x b a G(f) 2.-ORDENADA DEL ORIGEN: Def.: Se llama así, al punto de intersección del gráfico de la función (la recta), con el eje de las ORDENADAS ( eje f(x)). Para hallarlo, como el Origen del Sistema Cartesiano, tiene abscisa 0, en la expresión de la función, sustituiremos x, por el O: Si y f : f(x) ax b con a 0 x0 f(x) f(0) a.0 b f(0) 0 b f(0) b b CONCLUSIÓN: La ORDENADA DEL ORIGEN, siempre va a ser x ................................................................................... G(f) Entonces, en nuestro ejemplo: f : f(x) 2x 1 f(0) ............... Ahora, como por dos puntos distintos del plano pasa una única recta, es que ya podemos graficar nuestra función: 3.-SIGNO DE LA FUNCIÓN: Def.: Llamaremos signo de la función, al SIGNO DE LAS ORDENADAS DEL GRÁFICO. Es decir, si los puntos de la recta tienen ordenada POSITIVA, diremos que la FUNCIÓN es POSITIVA; y si el signo de las ordenadas de los puntos de la recta son NEGATIVAS, entonces la función, en esa zona, se dice NEGATIVA. 3 FICHA - FUNCIÓN LINEAL y AFIN- MATEMÁTICA – 1º EMP Veamos las siguientes gráficas: sg Paso de la Arena Prof. Adriana Papich f(x) f(x) sg sg sg x x sg sg Cuál sería entonces, para ti, el signo de la función? Represéntalo sobre la representación del eje Ox, dibujado debajo. Para determinar el signo de una función, SIN TENER el gráfico de la misma , representaremos el eje Ox, y en él, el valor de la raíz de la función. Comenzaremos a la DERECHA de la raíz, colocando el signo del coeficiente principal del polinomio, o sea, el SIGNO DE a y a la IZQUIERDA, el OPUESTO del SIGNO de a. op.sg.(a) 0 sg.(a) COEFICIENTE DIRECTOR DE LA RECTA: Def.: Se denomina así, al coeficiente principal de la expresión de la función, o sea, al valor de a. Dados dos puntos de la recta, A(x A , y A ) y B(x B , y B ) , podemos hallar dicho coeficiente director por intermedio de la siguiente relación: y yA a= B xB x A Vamos a intentar demostrar el porqué de dicha expresión: Ejemplo: En la función representada anteriormente: f : f(x) 2x 1 El valor de a es 2, veremos si obtenemos dicho valor considerando dos puntos cualesquiera del gráfico de la misma: f(0) 2(0) 1 f(0) 1 f(1) 2(1) 1 f(1) 3 1,3y2,5 G(f) usando la fórmula: f(2) 2(2) 1 f(2) 5 f(3) 2(3) 1 f(3) 7 53 2 a = a =2 el cuál coincide con el valor dado en la expresión de la función. a= 21 1 4 FICHA - FUNCIÓN LINEAL y AFIN- MATEMÁTICA – 1º EMP Paso de la Arena Prof. Adriana Papich 5 Te animas a verificar si: i) Considerando en otro orden los puntos dados, el valor hallado cambia .? ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................ ii) considerando otros dos puntos cualesquiera cambia el valor de a .? .................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................. CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS: Dos rectas, serán PARALELAS si tienen el MISMO COEFICIENTE DIRECTOR. f : f(x) ax b Dadas , se cumplirá: G ( f ) // G ( g ) a m g : g(x) mx n f (x) g : g(x) 2x 3 , Ejemplo: las funciones f : f(x) 2x 1 y tendrán gráficas paralelas ya que tienen el mismo coeficiente director Realiza las gráficas de las dos, en el siguiente sistema y verifica lo expresado anteriormente: CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS: Dos rectas, serán PERPENDICULARES si sus COEFICIENTES DIRECTORES son INVERSOS y OPUESTOS. Dadas f : f(x) ax b 1 , se cumplirá: G ( f ) G ( g ) a m g : g(x) mx n 1 g : g(x) x 3 , tendrán gráficas 2 PERPENDICULARES ya que sus COEFICIENTES DIRECTORES son Números INVERSOS y OPUESTOS. Ejemplo: las funciones f : f(x) 2x 1 y Realiza las gráficas de las dos, en el siguiente sistema y verifica lo expresado anteriormente: EJERCICIOS: 1.- Estudio y gráfica de : i)f : f(x) 3x 1 iii)h: h(x) 5 2x ii)g : g(x) 5x 10 iv)j : j(x) 3(x 2) v)m : m(x) 2(x 2)2 (x 1)2x vi)n : n(x) 2(x 1)(x 1) 2(x 3)x 2.- Resolver, con las funciones del ejercicio anterior, las siguientes ecuaciones: x FICHA - FUNCIÓN LINEAL y AFIN- MATEMÁTICA – 1º EMP Paso de la Arena Prof. Adriana Papich i)f(x) x 2 ii)g(x) 3 iii)m(x) x 8 3.- Sea f : f(x) ax b , se pide: i) hallar a y b sabiendo que G (f) pasa por los puntos A (3 ,1) y B (-1,-7). ii) Para los valores de a y b hallados en i), realizar estudio y gráfica de f. iii) Determinar g : g ( x ) = m x + n , si G(f) // G(g) y se sabe además que el G(g) pasa por el punto C(1 ,-3 ). 4.- Sea f : f(x) ax b se pide: i) hallar a y b sabiendo que su raíz es 2 y pasa por el punto B ( 1 ,- 1 ) ii) estudio y gráfica de f. iii) Hallar g: g (x) = mx+n, si G (g) G (f) y la raíz de g es 4. 5.- Dados los puntos A (-1, 1 ) y B ( 2 , 4 ), pertenecientes al gráfico de una función f , f : f(x) ax b iv) determinar f v) estudio y gráfica de f. vi) Determinar una función g : g ( x ) = m x + n , sabiendo que G(f) // G(g) y (1 ,-1) G ( g ). vii) Resolver f ( x ) = - x 2 6.- Dados los puntos A (1 ,4) y B (- 2 ,1), pertenecientes al gráfico de una función f, f : f(x) ax b i) determinar f ii) estudio y gráfica de f. iii) Determinar una función g : g (x) = m x + n , sabiendo que G ( f ) // G ( g ) y (-1,-3) G(g). iv) Resolver f ( x ) = - 2 ( 2 x + 1 ) 6
