sucesiones - progresiones

1
UNIDAD EDUCATIVA
INSTITUTO “CECILIO ACOSTA”
MATEMÁTICA
1º de Cs.
APELLIDOS: _____________________
NOMBRES: _____________________
ALUMNO: _______________________________________________________ SECC: __________ Nº DE LISTA: __________
SUCESIONES - PROGRESIONES
Una sucesión numérica es un conjunto de elementos, llamados términos que se forman mediante una
ley determinada. Esto significa que, cada término (con excepción del primero se deriva del anterior de
acuerdo de una operación la cual es siempre la misma (constante) para la formación u obtención de todos y
cada uno de los términos de la sucesión.
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos (números
naturales).
En lugar de usar la notación acostumbrada para una función f  n  , una sucesión se representa por el
símbolo
 A n  y/o A n , al cual se le
denomina “término n-simo” o término general de la sucesión.
EJEMPLO
N =  0, 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 ,.....,n
      

a0 , a1 , a 2 , a 3 , ...................,a n
a0 = 0, es el primer término de la sucesión.
a1 = 1, es el tercer término de la sucesión.
a2 = 2, es segundo término de la sucesión.
an = 2 . n es el término n-simo o general de la sucesión
2
EJEMPLOS:
1.- Determinar cada una de las siguientes sucesiones:
n2
n 1
a) A n : N   / a n 
02

0 1
Para n = 0  a0 
12

11
Para n = 1  a1 
 0
1
2
Para n = 2  a 2 
22

2 1
Para n = 3  a3 
32

3 1
La sucesión es: 0 ,
1
4
,
,
2
3
b) A n : N    / a n 
0
1
4
3
9
4
9
n2
, ..............,
4
n 1
2
n 1
N* es el conjunto de los números naturales sin el cero.
2
11
Para n = 1  a1 
Para n = 2  a 2 

2
2
2
2 1
2
3

Para n = 3  a3 
2

3 1
2
4
Para n = 4  a 4 
2

4 1
2
5
2
1
,
,
3
2
2
5
La sucesión es: 1 ,
1

1
2
, ............ ,
2
n 1
3
2.- Dadas las siguientes sucesiones, encontrar o deducir el término n-simo o general de cada una de ellas.
En cada caso tenemos que encontrar la fórmula o la expresión mediante la cual dando valores a “n” de
0,1, 2, 3, 4, etc. se obtienen los términos dados de la sucesión.
Para encontrar la fórmula debemos observar la Ley de formación (como se van formando los términos,
por lo tanto la respuesta de estos ejercicios dependen más que nada de la habilidad, destreza y la buena pupila
del alumno. Sin embargo trataré de aclarar lo más que pueda para ayudarlos en la deducción de dicha
fórmula.
a) 1, 21, 22 , 23, ....
Se puede observar que la base es la misma (2), y que los exponentes aumentes aumenta de 1 en 1,
comenzando desde cero; ya que todo número elevado a la cero, es igual a la unidad; por lo tanto el termino
general es 2n
1, 21, 22, 23, ...., 2n  n  N
b) 1 ,
1
1
,
,
2
3
1
, ..........
4
Los términos de la sucesión son fracciones, cuyo único numerador es la unidad, y los denominadores
“van” de 1 en 1, es decir, son números consecutivos, por tanto, el término n-simo, es de la forma:
Si queremos podemos asignarles a| n| ( a  0 y n  1 ) los valores para comprobar el ejercicio:
1
n  1
Este ejercicio puede tener también cómo término general a
1,
1
1
1
1
,
,
, ..........,
 n  N
2
3
4
n 1
1,
1
1
1
1
,
,
, ..........,
 n  N
2
3
4
n
1
n
siendo el Dominio:
4
c)
1
,
2
2
3
,
,
3
4
4
5
,
, ...........
5
6
Los términos de la sucesión son fracciones, cuyos numeradores son números consecutivos después de
la unidad, y los denominadores, son una unidad mayor que el numerador respectivo, por lo tanto, el término
general o n-simo de la sucesión dada, es
an 
n 1
n  2
PROGRESIONES
En este nivel, estudiaremos detalladamente dos tipos esenciales de sucesiones que, por la forma en el
cual se construyen, reciben el nombre de PROGRESIONES y pueden ser: Aritméticas y/o Geométricas.
PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresión aritmética es una sucesión en la cual cada término con excepción del primero, es igual
al anterior más una cantidad constante llamada razón.
La razón en toda progresión aritmética, la razón debe ser diferente de cero. Si es positiva, la
progresión aritmética es creciente y si es negativa la progresión aritmética es decreciente.
La razón de una progresión aritmética es igual a un término cualquiera menos el anterior, es decir:
r  a 2 - a1  a 3 - a 2  a 4 - a 3  a n - 2 - a n -
1
 an  an - 1
EJEMPLOS:
1.- Sea la sucesión: 6, 14, 22, 30, 38, ....., es una progresión aritmética creciente cuya razón vale:
r  a 2 - a 1  14 - 6  8
2.- La sucesión: 32, 28, 24, 20, ....., es una progresión aritmética decreciente cuya razón es igual a
r  a 2 - a 1  28 - 32  - 4
En las progresiones aritméticas, la notación es al siguiente.
a1 es el primer término.
a2 es el segundo término.
5
a3 es el tercer término.


a n - 2 es el antepenúltimo
an - 1 es el penúltimo.
an es el último término o término n-simo.
Las progresiones aritméticas pueden ser finitas e infinitas son finitas, las que poseen desde el primer
término hasta el último y son infinitas aquellos que no se sabe cual es el último de sus términos.
EJERCICIOS
1.- Indica cuales de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas:
a) 8,12,16,20..
b) 2,4,8,16,32...
c) –12,-15,-18,-21...
d) 36,33,30,27,24,...
e) ½, 1, 1 ½ , 2, 2 ½,..
f) ¼ , ½, ¾ , 1, 1 ¼, ....
g) 68,59,50,41,...
NOTA: Para comprobar si una sucesión es una progresión aritmética, se calcula la razón y luego se forma la
progresión.
2.- Calcula el valor de “x” para que los términos de cada una de las siguientes sucesiones formen una
progresión aritmética.
6
a) x + 1, x2 + 4, 2x2 – 1, ...
b) x + 3, 2x2 – 1, ...
c) x, 3x + 2, 3x2 + 2,...
d) 4x – 3, 5x, 3x2 + 3, 8x + 4,...
e) 2x –1, 3x + 2, x2 + 5,...
TERMINO N-SIMO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Por la definición de progresión aritmética, en donde a1 es el primer término y “r” la razón, tenemos que:
a2  a 1  r
a3  a 2  r  a 1  r  r  a1  2 . r
a4  a 3  r  a 1  2 r  r  a 1  3 r
a5  a 4  r  a 1  3 r  r  a1  4 r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an  a n - 1  r  a 1  ( n - 1 ) . r
Siendo esta expresión la fórmula que nos permite obtener el último término de una progresión
aritmética y en donde:
an : es el término n-simo o último término de la progresión aritmética.
a1 : es el primer término
n: es el número de término que posee dicha progresión.
7
DESPEJES
1.- a1 = ?
an  a 1  ( n - 1 ) . r
an - ( n - 1 ) . r  a 1
a1  a n - ( n - 1 ) . r
2.- r = ?
an  a 1  ( n - 1 ) . r
an - a 1  ( n - 1 ) . r
a n - a1
n -1
r 
3.- n = ?
 r
a n - a1
n -1
an  a 1  ( n - 1 ) . r
an - a 1  ( n - 1 ) . r
a n - a1
r
n 
 n -1
a n - a1
r
1
NOTA: Primero se efectúa la división y luego se le suma a ese resultado la unidad.
PROBLEMAS
1.- Calcular el vigésimo quinto término de una progresión aritmética que empieza en 12 y la razón es 6.
DATOS
an = ?
n = 25
a1 = 12
r=6
FÓRMULA
an  a 1   n - 1  . r
DESARROLLO
an = 12 + ( 25 –1) .6
an = 12 + ( 24) .6
an = 156
8
2.- Determinar el primer término de una progresión aritmética de 24 términos, cuya razón es 5 y termina en
124.
DATOS
a1 = ?
n = 24
an = 124
r=5
FÓRMULA
DESARROLLO
an  a 1   n - 1  . r
a1 = 124 – (24-1).5
a1 = 124 – (23).5
a1 = 124 – 115
a1 = 9
DESPEJE
a1  a n -  n - 1  . r
3.- Calcular la razón de una progresión aritmética de términos, sabiendo que empieza en 10 y termina en 7.
DATOS
n=?
r=7
a1 = 14 an = 497
FÓRMULA
DESARROLLO
an  a 1   n - 1  . r
DESPEJE
an - a 1   n - 1  . r
n
a n - a1
 n -1
r
n 
a n - a1
r
497 - 14
7
n 
483
7
1
1
n = 69 +1
1
n = 70
Entre 10 y 500, existen 70 números múltiplos de
EJERCICIOS
1.- ¿Cuál es el último término de una progresión aritmética de 13 términos que empieza en 23 y la razón es
9?
R = 131.
2.- Hallar el último término de una progresión aritmética sabiendo que empieza en 15, tiene 14 términos y la
razón es 10.
R = 145.
3.- En una progresión aritmética de 10 términos, el último es 56 y la razón 4. Determinar el primer término.
R = 20
9
4.- Hallar el primer término de una progresión aritmética cuya razón es – 6, sabiendo que el octavo
término es – 23.
R = 19.
5.- En una progresión aritmética de seis términos el primero es 3 y el último 23, ‘Cuál es la razón?.
R = 4.
6.- El primer término de una progresión aritmética es 7 y el décimo –11. Calcular la razón.
R=-2
7.- El primer término de una progresión aritmética es 25, el último la unidad, y la razón –4. Determinar el
número de términos de dicha progresión.
R = 7.
8.- Calcular el número de términos de una progresión aritmética que empieza en 2, termina en 38 y la razón es
4.
R = 10.
RELACIÓN ENTRE DOS TERMINOS CUALESQUIERA DE UNA PROGRESION ARTIMETICA
EJEMPLOS:
1.- En una progresión aritmética, el cuarto término es 12 y la razón es 5, ¿Cuánto vale el décimo término?
DATOS
an  12
r  5
a10  ?
FÓRMULA
a10  a 4  6 . r
DESARROLLO
a10  12  6 . 5
a10  12  30
a10  42
2.- En una progresión aritmética, el décimo sexto término es
53
7
si la razón es 5, ¿Cuánto vale el quinto
término?
DATOS
FÓRMULA
53
7
a5  a 16 - 11. r
a16 
r  8r
a5  ?
DESARROLLO
53
- 11 . 8
7
53
a5 
- 88
7
563
a5  7
a5 
10
3.- Hallar el trigésimo término de una progresión aritmética, sabiendo que el octavo término es 20 y el
vigésimo 56.
DATOS
FÓRMULAS
a30  ?
a30  a 20  10. r
a20  a 8  12 . r
a8  20
a20  56
DESARROLLO
r 
DESPEJE
56 - 20
12

36
12
 3
a30  56  10. 3  56  30  86
a 20 - a 8
12
r 
4.- Hallar tres números en progresión aritmética, sabiendo que suman 57 y el producto 5928.
DATOS
FÓRMULAS
a1  a 2  a 3  57
a1 . a 2 . a 3  5 928
a1  a 2 - r
a2  a 2
a3  a 2  r
DESARROLLO
a2 - r  a 2  a 2  r  57
3 . a 2  57
a2 
a2 . ( a 2 - r ) . ( a 2 ) . ( a 2  a 2 )  5 928
a 2 . ( a 2 - r ) . ( a 2  r )  5 928
a2 . ( a 2 - r 2 )  5 928
2
19 . (192 – r2) = 5928
361 - r 2 
5 928
19
 312
361 – r2 = 312.
361 - 312 = r 2
r 2  49  r  
49   7
57
3
 19
11
Si r = 7
a1  a 2 - r  19 - 7  12
a 2  19
a3  a 2  r  19  7  26
Si r = -7
a1  a 2 - r  19 - ( - 7 )  19  7  26
a 2  19 A2 = 19
a3  a 2  r  19  ( - 7 )  19 - 7  12
5.- Hallar cuatro números que en progresión aritmética suman 96, su producto es 308.880.
DATOS
a1  a 2  a 3  96 ( 1 )
a1 . a 2 . a 3  308880( 2 )
FORMULAS
a2  x - 3 . y
a2  x - y
a3  x  y
A4 = x + 3y
DESARROLLO
Para
a1 ya=2 2 a 3  a 4  96 ( 1 )
(x – 3 .y) + (x - y) + (x + y) (x +3 .y) = 90
a1  x - y  24 - 3 . 2  24 - 6  18
4 x = 96
a2  x - y  24 - 2  22
96
4
a3  x  y  24  2  26
x 
 24
a1 . a 2 . a 3 . a 4  308880
(x –
3 y ) .(x - y) . (x + y) . (x + 3 y) = 308.880
a4  x  3 . y  24  3 . 2  24  6  30
Los números son: 18, 22, 26, 30
(x – 3y) . (x + 3y) . (x-y) . (x+y) = 308.880
(x2 - 9 y2) . (x2 - y2) = 308.880
x4 - x2 y2 - 9 x2 y + 9 y4 = 308.880
x4 - 10x2y2 + 9y4 = 308.880
(19)4 – 10(19)2 y2 + 9 y4 = 308.880
331776 – 10(576)y2 + 9y4 = 308.880
Para y = - 2
a1  x - 3 . y  24 - 3 . ( - 2 )  245  6  30
a2  x - y  24 - ( - 2 )  24  2  6
12
a3  x  y  24  ( - 2 )  24 - 2  22
9y4 – 5760y2 +331776 – 308.880 = 0
9y4 – 5 760y2 + 22 896 = 0
9y
9
4
-
57 604 y
9
2

22 896

9
a4  x  3 . y  24  3 . ( - 2 )  24 - 6  18
0
9
Los números son: 30 , 26 , 22 , 18.
y4 – 640y2 +2544 = 0
Se realiza un cambio de variable y la
ecuación se transforma en una ecuación
cuadrática.
y2 = u
u2 – 640u + 2544 = 0
Resolviendo con la calculadora o aplicando la resolverte de las ecuaciones de segundo grado; obtenemos:
u1  4
 y =  2 (es solución)
u 2 = 636  y=  25,22 (no es solución).
6.- En una progresión aritmética, la suma del cuarto término con el noveno es 64 y la del séptimo con
undécimo es 8. Hallar el décimo quinto término de dicha progresión.
DATOS
FORMULAS
a4  a 9  64 ( 1 )
a7  a 7  84 ( 2 )
a15  ?
a4  a 9  64 ( 1 )
a1  3 . r  a1  8 . r  64
2 . a1  11. r  64
- 1 2 a1 + 11 r = 64
2a1  16 . r  64
_________________________
-2 a1 – 11r = - 64
2a1  16 . r  84
5 r = 20
a4  a 1  3 . r
a9  a 1  8 . r
a7  a 1  6 . r
a11  a 1  10 . r
a15  a 1  14.r
DESARROLLO
a7  a 11  84 ( 2 )
a1  6 . r  a 1  10 . r  84
2 . a 1  16 . r  84
13
20
r =
5
r = 4
2a1  11. r  64
2a1  11( 4 )  64
2a1  44  64 2
2a1  64 - 44 2
20
a1 
= 10
2
a15
a15
a15
a15
 a 1  14 . r
 10  14 ( 4 )
 10  56
 66
7.- En una progresión aritmética, la suma del tercer y séptimo términos es 93, y la diferencia entre el quinto y
el primero es 36. Determinar el cuarto término y la razón de la progresión.
Datos
Formulas
a3 + a7 = 93 (1)
a3 = a 1 + 2 r
a5 – a 1 = 36 (2)
a7 = a 1 + 6 r
a5 = a 1 + 4 r
a4 = ?
a4 = a 1 + 3 r
r= ?
a3 + a7 = 93 (1)
a5 – a 1 = 36
2 a 1 + 8 r = 93
a 1 + 2 r + a 1 + 6 r = 93
a 1 + 4 r - a 1 = 36
2 a 1 + 8 (9 ) = 93
2 a 1 + 8 r = 93
4 r = 36
r=
r=9
a 4 = a1 + 3 r
a4=
a4 =
a4 =
21
2
+ 3 (9)
21

2
27
1
21  54
2

75
2
36
4
2 a 1 + 72 = 93
2 a 1 = 93 – 72
a1 =
21
2
14
RELACION ENTRE LOS TERMINOS EQUIDISTANTES DE
UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Sea la Progresión Aritmética: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37. Sumemos los términos extremos y sus
equidistantes:
a1 + an = 2 + 37 = 39
a2 + a n - 1 = 7 + 32 = 39
a3 + a n - 2 = 12 + 27 = 39
Los términos centrales: 17 + 22 = 39
Se puede deducir, según lo anterior que:
“La suma de los términos extremos y la de sus términos extremos en una progresión aritmética cuyo
número de términos es par, son iguales”.
Ahora veamos, una progresión aritmética cuyo número de términos es impar.
- 17, - 9 , - 1 , 7, 15 , 23 , 31 , 39 , 47
Sumemos los términos extremos y sus equidistantes:
a1 + an
= 17 + 47 = 30
a2 + a n - 1 = 9 + 39 = 30
a3 + a n - 2 = -1 + 31 = 30
a4 + a n - 3 = 7 + 23 = 30
El término central (ac) de una progresión aritmética es igual a la mitad tanto de la suma de sus
términos extremos como la de los equidistantes a sus extremos, es decir:
ac 
a1  a n
2
15
de donde se desprende que:
2ac = a1 + an
Por lo que se puede asegurar dos premisas:
1.-
El término central (ac) de una progresión aritmética, cuyo número de términos sea impar, es igual a la
semi-suma de sus términos extremos.
2.-
El doble del término central (ac) de una progresión aritmética de número de términos impar, es igual a
la suma de sus extremos.
EJERCICIOS
1.- Calcular el término central de una progresión aritmética de 11 términos que empiezan en – 3 y
termina en 43.
Datos
ac  ?
Fórmula
ac 
a1  a n
2
Desarrollo
ac 
ac 
n=11
- 3  43
2
40
2
 20
a 1 = -3
ac  43
2.- En una progresión aritmética cuyo término central es 14, calcular el último término sabiendo que
empieza en –2.
Datos
Fórmula
Desarrollo
16
ac 
ac  14
a1  - 2
a1  a n
2
an  2 . ( 14 ) - ( - 2 )
an  28  2
DESPEJE
2 . a c  a1  a n
an  ?
an  30
an  2 . a c - a 1
SUMA DE LOS “N” PRIMEROS TERMINOS
Sea la progresión aritmética: a1, a2,, a3 , ......., an-2 , an-1 , an
y la suma de sus términos:
S = a1 + a2, + a3 + ....... + an-2 , + an-1 , + an ó
+ S = an + an-1 + an-2,+ ……+ a3 + a2, + a1
2S = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …. + (a3 + an-2) + (a2 + a-n1) + (a1 + an)
en donde, todos los binomios por ser términos equidistantes a los extremos, la suma es igual a ellos(los
términos extremos), por lo tanto:
2S = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + …. + (a1 + an) + (a1+ a-n) + (a1 + an) n – veces:
2S = (a1 + an) . n
S 
 a1
 a n . n
2
Es la expresión usada para calcular la suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética y
S
=
es la suma de los “n” términos de progresión aritmética
a1 =
es el primer término de la progresión aritmética.
an =
es el término n-simo o último término de la progresión
n
es el número de términos de la progresión
=
DESPEJES
1.-
a1 = ?
S 
 a1
 a n . n
2
17
2S = (a1 + an) . n
2S
n
= a 1 + an
2 .S
n
a1 
2.-
an = ?
S=
- an
(a1  a n )
n
2
2 . S = (a 1 + an ) . n
2 .S
n
 a1  a n
an  2 . S - a 1
3.-
S 
n=?

a1  a n . n
2
2. S = ( a 1 + a n ) . n
2 . S = ( a 1 + an ). n
n 
2 .S
a1  a n
EJERCICIOS
1.-
Hallar la suma de los veinte primeros términos de una progresión aritmética que empieza en 5
y termina en 58.
18
Datos
Fórmula
S  ?
S 
Desarrollo
 a1 
a n . n
2
S 
5
 58  . 20
2
n = 20
S =  5  58  .10
a1  5
S = 63 . 10
an  56
S = 630
2.-
Calcular el primer término de una progresión aritmética de 12 términos, que termina en 58 y la
suma es 366.
Datos
S
a1 = ?
n = 12
Fórmula
 a1  a n . n
2
DESPEJE
Desarrollo
2 . 366
a1 
- 58
12
732
a1 
- 58
12
a1  61 - 58
2 . S   a1  a n . n
2.S
 a1  a n
S = 366
a1  3
n
2 .S
a1 
- an
n
3.- La suma de los 40 primeros términos de una progresión aritmética que empieza en 4, es 1060,
an  58
calcular el último término.
Datos
Fórmula
S 
n = 40
a1  4
 a1 
Desarrollo
a n . n
2
an 
2 . 1 060
40
- 4
2 120
40
- 4
DESPEJE
S = 1060
2 . S   a1  a n . n
an  ?
2.S
 a1  a n
n
an 
an  53 - 4
an  49
an 
2.S
n
- a1
4.- ¿Cuántos términos se necesitan para que la suma de los términos de una progresión aritmética que
empieza en 4 y termina en 100 sea 520.
Datos
Fórmula
Desarrollo
S 
n=?
a1  4
a n . n
2
19
n 
2 . 520
4  100
1 040
104

 10
DESPEJE
S = 520
an  100
5.-
 a1 
2 . S   a1  a n . n
2.S
n 
a1  a n
Hallar la suma de los primeros cien enteros positivos múltiplos de siete.
Datos
a1 = 7
n = 100
Fórmulas
an  a 1   n - 1  . r
 a1 
S 
a n . n
2
r=7
Desarrollo
an =7 + (100 – 1) . 7
an = 7 + 99.7 =
an = 7 + 693 = 700
7
 700  . 100
2
an = ?
S 
S=?
S = 35.350

707 . 100
2
6.- Calcular la razón de una progresión aritmética de 20 términos que empieza en –10 y la suma es 420.
Datos
Fórmulas
r= ?
an  a 1   n - 1  . r
n = 21
a1  - 10
S = 420
 a1 
S 
a n . n
2
DESPEJES
Desarrollo
2 . 420
-  - 10
21
840
an 
 10
21
an 
an = 40 + 10 = 50
r 
50 -  - 10
21 - 1
r 
60
20
2 . S   a1  a n . n
2.S
 a1  a n
n
2 .S
- a1
n
an - a 1   n - 1  . r
an 

r  3


50  10
20
20
r 
a n - a1
n -1
7.- En una progresión aritmética se sabe que: la suma del cuarto término con el décimo es 60 y la del séptimo
con el décimo cuarto es 109. Calcular la suma de los primeros veinte términos.
Datos
Fórmulas
 a 4  a 10  60


a  a  109
14
 7
a 4  a1  3 . r
a 1  3 . r  a 1  9 . r  60
a 7  a1  6 . r
2 . a 1  12 . r  60 ( 3 )
a 10  a 1  9 . r
a 1  6 . r  a 1  13. r  109
a14  a 1  13. r
a20  a 1  19 . r
 a1  a n . n
S
2
S=?
n = 20
- 1 2a1+ 12r = 60 (3)
2a1 + 19r = 109 (4)
2a1 - 12r = - 60
2a1 +19r = 109
7r = 49
r 
Desarrollo
2 . a 1  19. r  109( 4 )
2a1+ 12r = 60
2a1 + 12.7= 60
2a1 + 84 = 60
2a1 = 60 - 84
a1 = -24
2
a1 = -12
49
7
r= 7
 - 12
 121  . 20
2
a20 = - 12 +19 (7)
S 20 
a20 = - 12 + 133
S 20   109  .10  1 090
a20 = 121
8.- Hallar cuántos enteros consecutivos de la progresión: 10 , 11 , 12 ,13, . . . . . , se deben tomar para que la
suma sea 2035.
21
Datos
Fórmula
an = + (n – 1) .r
n =?
S 
a1 = 10
S = 2035
r=1
 a1 
a n . n
2
En ambas fórmulas hay dos
incógnitas por lo tanto hay
que insertar una dentro de
la otra
Desarrollo
2 S = (a1 + an) . n
2 S = (a1 + a1 +(n-1 ) . r
2 S = (2a1 + n . r – r) . n
2 S = 2a1 n + n2 r – r n
Se sustituyen los elementos
conocidos y nos queda una
ecuación cuadrática
2 = (2035) = (10) n + n2 – n
20 n + n2 - n – 2 (2035) = 0
n2 + 19 n – 4070 = 0
Resolviendo con la calculadora:
Se tiene que:
n1 = 55
n2 = -74 (No es solución) ¿Por qué no es solución?
Se deben sumar 55 enteros consecutivos a partir de 10
EJERCICIOS
1.- Hallar el cuarentavo término y la suma de los primeros 40 términos de la progresión aritmética: 10, 8, 6,
4......
2.- En una progresión aritmética se sabe que: a6  10 y a15  30 . Calcular la suma de los primero 20
términos de dicha progresión.
3.- En una progresión aritmética, el cuarto término más el octavo suman 36 y el quinto sumado con el
undécimo es igual a 48. Calcular la suma de los 30 primeros términos de la progresión dada.
4.-
Hallar la suma de las trece primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que:
a13 - a7 = 3
a3 + a5 = 11
22
5.- Calcular la suma de los primeros quince términos de una progresión aritmética en donde se cumple que:
a2 . a7 = 75
a5 + a10 = 32
6.-
Calcular la suma de los veinte primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que:
a 10
a4
 4
4a7 – 3a3 = 51
7.- Calcular la suma de los 20 primeros múltiplos de 4.
8.- Calcular la suma de los múltiplos de 7 comprendidos entre 100 y 200.
9.- Calcular la suma de todos los números de tres cifras.
10.- Hallar cuánto tiempo se empleará en saldar una deuda de Bs. 880 pagando Bs. 25 en el primer mes,
Bs 27, en el segundo, Bs. 29 en el tercero, etc...
11.- En una progresión aritmética se cumple que: a20  39 y S20  400 . Hallar la razón.
12.- En una progresión aritmética se sabe que: S10 = 135 y a1 = 0. Hallar S8 .
13.- En una progresión aritmética se cumple que: S10 = 120 y S20 = 440. Hallar S30 .
14.- ¿Cuántos términos de la progresión: 24, 22,20 _____, se necesitan para que la suma sea 150?.
INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS
23
Dados los extremos de una progresión aritmética: a1 y an. Se llama interpolar “m” medias
aritméticas entre ellos, a formar una progresión aritmética cuyo número de términos “n” sea igual a m + 2 (n
= m + 2).
El problema consiste en calcular la razón y después formar la progresión:
Ejemplos:
1.-
Interpolar 5 medios aritméticos entre 2 y 26
Datos
Fórmula
Desarrollo
an  a 1   a 1  a n  . r
a1 = 2
an = 26
DESPEJE
m=5
r 
r 
26 - 2
7 -1

24
6
 4
a n - a1
n -1
n =5+2=7
a1 = 2
a2 = a1 + r = 2 + 4 = 6
a3 = a2 + r = 6 + 4 = 10
a4 = a3 + r = 10 + 4 = 14
2.-
a5 = a4 + r = 14 + 4 = 18
a6 = a5 + r = 18 + 4 = 22
a7 = a6 + r = 22 + 4 = 26
Interpolar 3 medios diferenciales entre:  2 y  3
Datos
Fórmula
Desarrollo
a1 
2
an  a 1   n - 1  . r
an 
3
DESPEJE
r 
m=3
r 
3
2
5-1
3

4
4
a n - a1
n -1
n =3+2=5
a1 = 2
a2 = a1 + r =
2

3
4
2

4.
2

3 4
2

3
2

4
3
24
a3
3
2

4
=
3
a2
3

a4 = a3 + r =
4
2
2
 3
4
=
2

 2
4
2
2
r
3
2
3
4
2
3

Interpolar 4 medios aritméticos o diferencial 4 es entre – 2 y
1
3

4
2
Fórmula
a1 = - 2
an 
3
2  3

4
Datos
3
 2
4

a5 = a4 + r =
3.-
+
r 
1
- - 2
3
6 - 1
1
3
r 
DESPEJE
r 
a1 = - 2
a n - a1
n - 1
- 30  7
15
a2 = a1 + r = - 2
7

15
a3 = a2 + r = -
23
15

7
15

a4 = a3 + r = -
16
15

7
15
-
9
15
a 5 = a4 + r = -
9
15

7
15
 -
2
15
a6 = a5 + r = -
2
15

7
15


3
Desarrollo
an = a1 +(n -1) .r
m= 4
3
4
3
 -
23
15
- 23  7
15
5:5
15 : 5

 -
1
5
16
15

1
 2
3
5

7
3
5
1

7
15

6 1
3
5