Geometría
Vectores en el espacio.1.
2.
3.
4.
5.
Operaciones con vectores.
Expresión analítica de un vector.
Producto escalar de dos vectores. Propiedades.
Producto vectorial de dos vectores. Propiedades.
Producto mixto de tres vectores. Propiedades.
Objetivos Mínimos
- Concepto de vector en el espacio. Operciones con vectores.
- Vectores linealmente dependientes e independientes.
Base de un espacio vectorial tridimensional.
Coordenadas de un vector respecto a una base.
- Definición de producto escalar de vectores y su expresión analítica.
Aplicaciones del producto escalar de dos vectores:
 para hallar el ángulo entre ellos
 para determinar la proyección de un vector sobre otro
 para comprobar perpendicularidad entre ambos.
- Definición de producto vectorial y su expresión analítica.
Aplicaciones del producto vectorial de dos vectores:
 para calcular el área del paralelogramo que determinan.
 para obtener un vector perpendicular a ambos.
- Definición de producto mixto de tres vectores y su expresión analítica.
Aplicación del producto mixto:
 para calcular el volumen del paralelepípedo que determinan.
Introducción.El concepto de vector fue utilizado desde finales del siglo XVII para
representar y componer magnitudes con dirección y sentido, como son la
Fuerza o la Velocidad.
Es a finales del XVIII cuando Lagrange introduce las coordenadas, con lo
que se aritmetiza el cálculo con magnitudes vectoriales.
Gauss los utilizó para representar los números complejos.
En el siglo XIX, Möbius se sirve de los vectores para resolver problemas
geométricos, dándole sentido a las coordenadas. El primero que utiliza, en
este siglo, la palabra vector es Hamilton.
Finalmente Grassmann amplió la teoría de vectores generalizándola a
espacios de dimensión(n).
Cesáreo Rodríguez
-1-
Geometría
1. Operaciones con vectores.Las características de los vectores en el espacio, así como las operaciones,
son idénticas a las de los vectores en el plano. Recordamos que:
Un Vector es un segmento orientado.
A los puntos P y Q que definen el vector se les llama respectivamente:
“origen” y “extremo” del vector.
Todo vector se caracteriza por:
Módulo: que es la distancia del punto P al Q.
Dirección: que es la misma que la recta que lo contiene (o paralela).
Sentido: para un vector, lo marca el del recorrido de P a Q.
(cada dirección tiene dos sentidos opuestos de recorrido).
Dos vectores son “iguales” si tienen el mismo módulo,
la misma dirección y el mismo sentido.


Los vectores: PQ y RS cumplen las tres condiciones
de igualdad, de ahí que cuando queramos hacer uso de
un vector podamos tomar uno cualquiera de los que
son iguales a él.
Todos ellos son representantes de un único vector.
Habitualmente al vector se le designa con una flecha encima de una letra

minúscula: u (por ejemplo) o bien mediante uno de sus representantes


escribiendo el orígen y el extremo con una flecha encima: PQ (por ejemplo)
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO

Dado un número k  0 y un vector u definimos el


vector k  u  [o simplemente k u ] como aquel que:
 

*tiene la misma dirección que u .

*el mismo sentido que u si k  0 y

sentido contrario al de u si k  0

*su módulo es igual al de u multiplicado por el
valor absoluto de: k .



Si k  1 el vector k u se denomina opuesto del vector u , se escribe:  u


Si k  0 el vector k u es el vector cero: 0 cuyo extremo y orígen coinciden.
Cesáreo Rodríguez
-2-
Geometría
SUMA Y RESTA DE VECTORES.


Dados dos vectores u y v cualesquiera.
Para poder sumarlos hay que tomar un
representante de cada uno de ellos con orígen
común(O).


En ese caso el vector suma: u  v es la diagonal
cuyo orígen es (O).


El vector resta: u  v es la diagonal que va del


extremo de v al extremo de u .
2. Expresión analítica de un vector.   

Dados los vectores del espacio: x , y, z , t ,......,w
y los números: a, b, c, d ,...,l la expresión:





a x  b y  c z  d t  ...... l w
se llama combinación lineal de dichos vectores.
En el ejemplo, a la izquierda, tenemos una


combinación lineal de los vectores u y v .
Decimos que varios vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos
se puede poner como combinación lineal de los restantes.
Cuando no es así, se dice que son linealmente independientes.
Por ejemplo:
*Dos vectores alineados son linealmente dependientes (LD).
*Dos vectores no alineados son linealmente independientes (LI).
*Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano) son (LD).

Así en el ejemplo de más arriba el vector x es coplanario con los vectores








u y v , es decir, x es combinación lineal de u y v : x  2 u  1 v .
Por el contrario tres vectores no coplanarios son (LI).
Cesáreo Rodríguez
-3-
Geometría
  
Dados tres vectores no coplanarios x , y , z del espacio tridimensional.

En estas condiciones, cualquier otro vector u de ese espacio se puede
  
escribir como combinación lineal única de los vectores x , y , z .
  
Se dice que los vectores x , y , z forman una base del espacio tridimensional.
Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí la base se dice
ortogonal y si además de perpendiculares entre sí, tienen todos módulos
uno decimos que la base es ortonormal.
A partir de ahora, salvo indicación en contra, trabajaremos siempre con la
base canónica del espacio tridimensional (que es ortonormal).
Se definen las coordenadas de un vector respecto a esa base como:
tres números (a,b,c) que sirven para pasar desde el punto P(origen) al punto
Q(extremo) del vector dado.
 “a” las unidades que me he de
desplazar sobre la dirección X
(hacia adelante si a es positivo y hacia
atrás si a es negativo).
 “b” las unidades que me he de
desplazar sobre la dirección Y
(hacia la derecha si b es positivo y
hacia la izquierda si b es negativo).
 “c” las unidades que me he de
desplazar sobre la dirección Z
(hacia arriba si c es positivo y hacia
abajo si c es negativo).
OPERACIONES CON COORDENADAS.
Como ya conocemos de cursos anteriores, las coordenadas de los vectores
se comportan razonablemente cuando operamos con ellas. Así:


Si u a, b, c  y v a , b, c son las coordenadas respectivas entonces:


* u  v  a  a , b  b, c  c Coordenadas de la Suma de vectores.

* k u  ka, kb, kc Coordenadas del Producto de un número por un vector.
Como consecuencia de estos resultados, será enormemente útil y cómodo
trabajar con los vectores a partir de sus coordenadas.
Cesáreo Rodríguez
-4-
Geometría
3. Producto escalar de dos vectores. Propiedades.


Se define el producto escalar de dos vectores u y v como el número que
se obtiene del siguiente modo.
 
  
u . v  u v cos u , v 


 
 

 
 
Si  u, v  es agudo, cos u , v   0 y por tanto: u . v  0





 
 
Si  u, v  es obtuso, cos u , v   0 y por tanto: u . v  0




 
Propiedad fundamental del producto escalar.
El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y solamente si
ambos son perpendiculares. Es decir:



 



u  0 y v  0 ; u.v  0  u  v
Otras propiedades del producto escalar.
Resulta conveniente conocer todas las propiedades que vamos a ver a
continuación, por ello se pondrán en práctica con los ejercicios para que las
memorices de forma natural.
 
 
 Conmutatividad del producto escalar: u . v  v . u (inmediato).
 





Propiedad asociativa:  (u . v )  ( u ). v  u .( v ) (inmediato).

  

   
Propiedad distributiva: u . v  w   u . v  u . w



Módulo de un vector:

 
u  u . u (inmediato de la definición).
 

 u.v
cos
u
,
v

    (inmediato).
 Àngulo de dos vectores:

 u v
 
Cesáreo Rodríguez
-5-
Geometría
 



u.v

Vector proyección de u sobre v es el vector:
v
2
v
 
 
   u.v u.v
u cos u , v   u    


u v
v

es la longitud del segmento (AB), con
signo + ó - según sea(  ) agudo u obtuso.
Si este número lo multiplicamos por el vector unitario:

1
v obtenemos

v
 


el vector proyección de u sobre v buscado:
u.v 1


v
v
 

v
u.v
2

v.
v
Expresión analítica del producto escalar.
Si consideramos una base ortonormal del espacio tridimensional, a la que
  
llamamos con las letras B   i , j , k  (Física). Es fácil comprobar que:


 
 
i . i  1;
j. j 1 ;
 
 
 
i.j 0 ;
k .k  1

i .k  0 ;
 
j .k  0

  
Si las coordenadas de los vectores u y v en la base B   i , j , k  son:






u a, b, c  v a , b, c  el producto escalar de los vectores u y v se obtiene:
 
u . v  a a   b b  c c 
Ejemplo.Respecto de una base ortonormal, las coordenadas de tres vectores son:



u 3,1,5 v 4,7,11 w 2, k ,3 .
 


A) Calcula u . v B) Determina k  para que v y w sean perpendiculares.
 
A) u . v  34   17   511  60
 
B) 0  v . w  4 2  7 k   113  8  7k  33
7k  25  k 
 25
7
Cesáreo Rodríguez
-6-
Geometría


  
Si u a, b, c  v a , b, c  son las coordenadas en la base: B   i , j , k  :


Módulo de un vector

 
u  u .u  a2  b2  c2
Àngulo de dos vectores
 
a a   b b  c c 
  u.v
cos u , v     

 u v
a2  b2  c2
a2  b2  c2


Proyección de u sobre v
 
u.v
Segmento proyección:


v
 
u.v
Vector proyección:
2

v
v
a a   b b  c c 
a2  b2  c2
a a   b b  c c 
a, b, c
a2  b2  c2



  
Ejemplo.- Si u 3,4,12 v 5,2,6 w7, k ,2 en la base B   i , j , k 


 

Calcula: A) u . v


B) u y v

C) ángulo que forman u y v




D) vector proyección de u sobre v E) Determina k  para que u  w .
 

 
A) u . v  49
B) u  u . u  a 2  b 2  c 2  13
 
cos
 u, v  
C)


a a   b b  c c 
a2  b2  c2
a2  b2  c2
 
D) Segmento proyección:
u.v


v

v  65  8,06
 0,467 ;  u , v   117º 52
 

a a   b b  c c 
a2  b2  c2


 49
 6,077 
65

el vector proyección es de módulo: (6,07) y sentido contrario a v .
 
Vector proyección:
u.v
2

v
v


 
E) u  w  u . w  0 ;
k
a a   b b  c c 
a, b, c   49 5,2,6
2
2
2
65
a  b  c
3
4
Cesáreo Rodríguez
-7-
Geometría
4. Producto vectorial de dos vectores. Propiedades.
 
  
El producto vectorial de dos vectores u , v , y escribimos  u x v  , es un


nuevo vector que se define del siguiente modo:
 
  
Si u , v son(LI), entonces el vector  u x v  se caracteriza por:



 
 
  
Módulo: u x v  u v sen u x v 



Dirección: perpendicular a ambos: (u x v )  u y (u x v )  v

Sentido: depende del ángulo que forman los vectores u , v






 
 
 
a) Si  u , v   180º hacia arriba. b) Si  u , v   180º hacia abajo.




(recordemos que la medida del ángulo es en sentido positivo).
 

Si u , v son(LD), o sea alguno de ellos es el vector 0 o tienen la misma
  
   
dirección, entonces el vector  u x v  es el vector cero,es decir, u x v  0  .




Propiedades del producto vectorial de dos vectores.  
 El módulo del vector  u x v  es igual al área del


 
paralelogramo definido por los vectores u , v


Área paralelogramo  u x v ( coloreado amarillo)
(área paralelogramo = base por altura)





u x u  0 cualquiera que sea u
Cesáreo Rodríguez
-8-
Geometría


 
  
(u x v )   v x u  (propiedad anticonmutativa).


efectivamente pues son dos vectores que tienen el mismo módulo, la
misma dirección y sentidos opuestos.
  
Los vectores de la base B   i , j , k  cumplen las igualdades:






a) i x j  k



b) j x k  i


c) k x i  j

  
    
 a u  x v  a  u x v   u x a v  siendo a una constante cualquiera.






 


 


(u x v ) x w no es igual a u x v x w  ( no asociativo).En efecto:


 

 



    
( i x i )x j  0 x j  0
i x i x j   i x k   j



Expresión analítica de u x v





  
Si u a, b, c  v a , b, c  son las coordenadas en la base: B   i , j , k 





i
j k
 
 
b c c a a b
 o bien: u x v  a b c (nemotécnica)
u x v  
,
,







b
c
c
a
a
b


a  b c 
Módulo:

2
2
2
2
b c
c a
a b
uxv 


 a 2 (b 2  c  2 )  b 2 (a  2  c  2 )  c 2 (a  2  b 2 ) 
b c 
c a
a  b
 (2aa bb  2aa cc   2bbcc )
sumamos y
restamos :
a 2 a  2  b 2 b 2  c 2 c  2

a 2 (a  2  b 2  c  2 )  b 2 (a  2  b 2  c  2 ) 



 c 2 (a  2  b 2  c  2 )  (aa   bb   cc ) 2  a 2  b 2  c 2 a  2  b 2  c  2  aa   bb  cc  
 
 
 
 

 
 u v   u . v   u v  u v cos2   u v sen 2   u v sen 




2 2
2
2
2
2
2
2
2

2
2

Dirección:el vector dado es perpendicular a u y a v . Efectivamente:
a b c
b c c a a b
b c
c a
a b
a
,
,
b
c
 a b c 0
a) a, b, c  .







b
c
c
a
a
b
b c 
c a
a  b


a  b c

ídem para el vector v a , b , c  .

     
u x v  w   u x v  u x w (propiedad distributiva).



Cesáreo Rodríguez
-9-
Geometría
Ejemplo.-Determina un vector de módulo 9 perpendicular a los vectores:


u 3,2,2 v  1,1,4
Sol.





El vector (u x v )  u y también (u x v )  v , usando la regla nemotécnica:






i
j k
i
j k
 



u x v  a b c  3 2  2  10 i  10 j  5 k  10,10,5
a  b c   1 1 4






u x v  (u x v ).(u x v )  a 2  b 2  c 2  225  15


Un vector unitario en la dirección de ( u x v ) es:
 
u x v 
 

uxv 
1
  1
10,10,5   2 ,  2 , 1  y por tanto basta multiplicar por 9:
u x v  
 
 15
 3 3 3
uxv 
1
9
  9
 u x v   10,10,5  6,6,3 o su opuesto  6,6,3
 
 15
uxv 
1
Ejemplo.- Calcula el área del triángulo definido por los vectores:



u 3,5,1 v 4,7,6 0 0,0,0
Sol.Según vemos en el gráfico adjunto el área
del paralelogramo definido por los vectores


u 3,5,1 v 4,7,6 viene dado por el módulo
del producto vectorial de ambos, es decir:



i
j k
 
Área paralelogramo  u x v  3  5 1 
4
  37,14,41 
7
6
 372   142  412
 3246  56,97
Área triángulo= mitad del área del paralelogramo=
1
56,97   28,49
2
Cesáreo Rodríguez
- 10 -
Geometría
4. Producto mixto de tres vectores. Propiedades.
  
   
Se define el producto mixto de tres vectores u , v , w y se escribe u , v , w al


número que se obtiene al operarlos del siguiente modo:
        
u , v , w  u . v x w 
Interpretación geométrica del producto mixto.   
u , v , w es el volumen del paralelepípedo
  
definido por los vectores u , v , w .
(¡ojo!:acaso con signo menos).
Efectivamente si llamamos  al ángulo

 
que forman los vectores: u y  v x w 


entonces se tiene que:
  
           


u
,
v
,
w

u
.
v
x
w

u
v
x
w
cos


v x w u cos  









PROYECCIÓN
DE
u SOBRE 

 AREA PARALELOGRAMO 
  PERPENDICULAR AL PLANO 



 DEFINIDO POR : 

v ,w
 



 DETERMINADO POR : v , w

 AREA BASE
  ALTURA DEL
 VOLUMEN DEL




 
  PARALELEPÍPEDO  PARALELEPÍPEDO
PARALELEPÍ
PEDO


 

Expresión analítica del producto mixto de tres vectores.


  
Sean los vectores u a, b, c  v a , b, c  wa , b, c  en la base B   i , j , k  .


a b c
 b c  c  a  a  b 
        


u , v , w  u . v x w   a, b, c  b  c  , c  a  , a  b    a  b c 

 a  b  c 
El producto mixto de tres vectores se obtiene como el valor del
determinante de las coordenadas de los vectores.
Cesáreo Rodríguez
- 11 -
Geometría
Ejemplo.- Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por:


 
 
u 1,2,3 v  2,1,0 w   u x v  Justifica por que el resultado es: u x v


Sol.


Calculamos el vector w :

2

i
j k

 
w   u x v   1 2 3   3,6,5


2 1 0
1
2 3
        
Volumen paralelepípedo: u , v , w  u . v x w    2 1 0  70 u 3




3 6 5
Para justificarlo, basta tener en cuenta que el producto mixto de tres

vectores se obtiene como un determinante y el valor de w :
2
  
 
2
   
            




u
,
v
,
w


1
w
,
u
,
v

w
.
u
x
v

u
x
v
.
u
x
v

u
x
v
cos
0
º

uxv











 


2
Ejemplo.- Determina el valor de k para que el volumen del paralelepípedo



determinado por: u 3,5,1 v 2,1,1 w  1,4, k  sea 11u 3
Sol.El volumen se obtiene por el determinante:
3 5 1
        
u , v , w  u . v x w   2 1  1  13m  24
1 4
k
Como ese volumen es de 11u 3 tendremos dos soluciones posibles de:
A) 13m  24  11  m  1
 35
B)  13m  24  11  m 
13
Cesáreo Rodríguez
- 12 -
Geometría
Puntos, Rectas y Planos en el espacio.6.
7.
8.
9.
Sistema de referencia en el espacio.
Aplicaciones de los vectores a problemas geométricos.
Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de dos rectas.
Ecuaciones del plano. Posiciones relativas de planos y rectas.
Objetivos Mínimos
- Concepto de sistema de referencia en el espacio ordinario.
- Saber calcular las coordenadas de un vector dado por dos puntos.
Saber determinar si tres puntos están alineados.
Calcular el punto medio de un segmento.
Saber calcular el simétrico de un punto respecto a otro.
- Conocer la determinación vectorial de una recta en el espacio ordinario.
Saber trabajar con las distintas ecuaciones que expresan una recta.
Analizar correctamente las distintas posiciones que pueden adoptar dos
rectas en el espacio.
- Conocer la determinación vectorial de un plano en el espacio ordinario.
Saber trabajar con las distintas ecuaciones que expresan un plano.
Analizar correctamente las posiciones que pueden adoptar dos planos en el
espacio, así como una recta y un plano.
Introducción.Los inventores de la Geometría Analítica,Descartes y Fermat (siglo XVII),
se interesaron por el estudio de superficies, pero le dedicaron poca
atención para centrar sus esfuerzos en el estudio de curvas planas.
Fué en el siglo (XVIII) cuando matemáticos como Clairaut, Euler y
Lagrange iniciaron el estudio de la Geometría Analítica del espacio.
Por su extraordinario nivel como geómetra, puede considerarse al
matemático francés Monge (1746-1818), como el verdadero padre de la
Geometría Analítica del espacio.
Cesáreo Rodríguez
- 13 -
Geometría
6. Sistema de Referencia en el espacio.
Vamos a construir, a partir de los vectores, un sistema de referencia que
nos va a permitir expresar los puntos del espacio ordinario y
posteriormente las distintas figuras espaciales.
Un sistema de referencia ( R ) en el espacio consiste en un conjunto de tres
vectores (que forman una base) y un punto (origen común de los vectores).
 Al punto fijo se le nombra con la letra O y se llama Origen.
  
 A los vectores de la base: B   i , j , k  (en adelante, supondremos


que la base utilizada es siempre ortonormal).
     
R  O,  i , j , k 

 
A cada punto P del espacio ordinario, le corresponde un vector de orígen O
  
y extremo P  OP  que tiene unas coordenadas, a, b, c  , en la base
 
  


B   i , j , k  del sistema de referencia dado.


Se dice que a, b, c  son las coordenadas del punto P en la referencia R .
Recíprocamente a cada terna de coordenadas le corresponde un único
punto.
Cesáreo Rodríguez
- 14 -
Geometría
Ejemplo.Representa los siguientes puntos del espacio ordinario:
P5,2,3 Q3,2,5 R1,4,0 S 0,0,4 T 0,6,3
Sol.-
Ejemplo.Sitúa sobre unos ejes coordenados un punto P proyectalo , P  , sobre el
plano XY .Sigue el proceso hasta determinar las coordenadas del punto P .
Sol.-seleccionamos un punto P cualquiera del espacio ordinario, así:
Para este punto P seleccionado, las coordenadas son: P3,5,2
Cesáreo Rodríguez
- 15 -
Geometría
7. Aplicación de vectores a problemas geométricos.
Coordenadas de un vector que une dos puntos
Observa la siguiente igualdad vectorial:






OP PQ  OQ  PQ  OQ OP
Por tanto si las coordenadas de los
puntos son Pa, b, c  y Qa, b, c

Las coordenadas de PQ son:

PQa   a, b  b, c  c 

Comprobación de que tres puntos están alineados.
Los puntos de coordenadas:
Pa, b, c  , Qa, b, c , Ra, b, c
están alineados siempre que
tengan la misma dirección:

PQa   a, b  b, c  c  y

QRa   a , b  b, c  c 
Es decir, si se cumple:
a  a
b  b
c  c


a   a  b  b c   c 
Ejemplo.- Calcula los valores de “m” y “n” para que los puntos:
P7,1, m , Q8,6,3 , R10, n,9 estén alineados.
Sol.Sabemos que están alineados si se cumple:
a  a
b  b
c  c


a   a  b  b c   c 
87
6 1 3  m
1
7
3 m


 

despejando de las dos igualdades
10  8 n  6 9  3
2 n6
6
A) n  6  14  n  20
B) 6  2m  6  m  0
Cesáreo Rodríguez
- 16 -
Geometría
 Punto medio de un segmento
Si los puntos del segmento tienen de coordenadas: Pa, b, c  Qa, b, c
Fíjate en la igualdad vectorial:


1 
OM  OP  PQ
2
Las coordenadas del punto medio
M se obtienen operando en la
fórmula anterior y obtenemos:

1
OM  a, b, c   a   a, b  b, c   c 
2
 a  a  b  b c  c  
M
,
,

2
2 
 2

Simétrico de un punto respecto a otro
El simétrico del punto Pa, b, c  , (le llamamos P  ) , respecto a otro
Qa, b, c se caracteriza como: aquel para el que Q es el punto medio
del segmento que une P  y P .
Si aplicamos el resultado visto
anteriormente tenemos que:
 a  b   c  
Q
,
,

2
2 
 2
Es decir que tenemos:
a, b, c   a   , b   , c   
2
2 
 2
Despejando en esta última igualdad los valores de  ,  ,  tenemos que:
 ,  ,    2a  a,2b  b,2c  c
Cesáreo Rodríguez
- 17 -
Geometría
8. Ecuaciones recta. Posiciones relativas dos rectas.Una recta ( r ) en el espacio queda determinada vectorialmente conociendo:
 Un punto Pa, b, c  por el que pasa dicha recta r


Un vector d d1 , d 2 , d 3  paralelo a r llamado vector director.
Observa en el dibujo de la
derecha como los vectores







p, ( p  1 d ), ( p  2 d ),.......,( p   d )
todos tienen un extremo sobre la
recta r y origen común en O


En general el vector: ( p   d )
tiene su extremo X sobre la
recta r . Al variar el valor de  el
punto X se mueve sobre r .
Ecuación Vectorial
El punto Pa, b, c  es el extremo de un vector con origen en O que llamamos
vector posición del punto P . El punto arbitrario X de la recta r determina

un vector posición que llamamos x . En estas condiciones tenemos que:



x  p  d
o
x, y, z   a, b, c   d1 , d 2 , d 3 
Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta r (2ª en coordenadas)
Ecuaciones Paramétricas
Si operamos en la expresión en coordenadas de la ecuación vectorial:
 x  a   d1

r : y  b   d2
z  c   d
3

Son las ecuaciones paramétricas de r
Para cada valor de  obtenemos las coordenadas de un punto de r
Ecuación en forma continua
Si en cada ecuación paramétrica despejamos el parámetro  obtenemos:
xa xb xc


d1
d2
d3
Esta es la forma continua de la ecuación de una recta en el espacio.
A veces se nos presenta una recta en forma continua con algún cero en el
denominador. Tal expresión no es correcta aritméticamente, pero se admite
simbólicamente (los denominadores son las coordenadas del vector director)
Cesáreo Rodríguez
- 18 -
Geometría
Forma implícita de la ecuación de una recta
De la forma continua de la recta obtenemos dos ecuaciones (más adelante
veremos que cada una de ellas es la ecuación de un plano) de forma general:
 Ax  By  Cz  D  0
r:
 Ax  By  C z  D  0
Se dice que r se obtiene como intersección de dos planos.
Ejemplo.Obtén las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma continua y las
ecuaciones implícitas de la recta que pasa por los puntos:
P 5,3,7 ; Q2,3,3
Ejemplo.-
Cesáreo Rodríguez
- 19 -
Geometría
Posiciones relativas de dos rectas en el espacio
   


Pa, b, c 
P a , b , c 
Dos rectas r : 
pueden adoptar en el espacio las
s : 










d
d
,
d
,
d
d
d
,
d
,
d
1
2
3
 1 2 3

siguientes posiciones:
A) Coincidentes: Tienen un punto en común y la misma dirección.
B) Paralelas: Ningún punto en común y la misma dirección.
C) Secantes: Un punto en común y distinta dirección.
D) Se cruzan: Ningún punto en común y distinta dirección.
 d1

Consideremos las matrices: M   d 2
d
 3
d 1 
 d1


d 2  y M    d 2
d
d 3 
 3
d1
d 2
d 3
a  a 

b  b 
c   c 
Vamos a analizar ahora en función del rango de las matrices M , M  la
   


Pa, b, c 
P a , b , c 
posición relativa de las rectas r : 
y s : 


d d1 , d 2 , d3 
d d1, d 2 , d 3 
A) Si rango (M)= 1= rango (M’) las rectas son coincidentes.
B) Si rango (M)= 1 y rango (M’)= 2 las rectas son paralelas.
C) Si rango (M)= 2= rango (M’) las rectas son secantes.
D) Si rango (M)= 2 y rango (M’)= 3 las rectas se cruzan.
Ejemplo.
 x  1  5
x  1


Estudia la posición relativa de las rectas: r :  y  2  3 y s :  y  1
 z  5  
z  


El rango (M) = 2 (menor señalado)
rango (M’) = 3 (determinante no nulo)
Las rectas r, s se cruzan.
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- 20 -
Geometría
9. Ecuaciones plano. Posiciones relativas planos/rectas.Un plano (  ) en el espacio queda determinada vectorialmente conociendo:
 Un punto Pa, b, c  perteneciente a dicho plano 



Dos vectores u u1 , u 2 , u 3  y v v1 , v2 , v3  linealmente independientes y
paralelos a  llamados vectores directores.

Fíjate en el gráfico de más arriba y observa como el vector de posición p
nos lleva hasta el punto P del plano  . A continuación la combinación lineal:


 u   v nos permite acceder desde P a cualquier punto X del plano  .
Ecuación vectorial del plano
Según acabamos de describir para el plano  tenemos su ecuación vectorial




x  p  u   v
o
x, y, z   a, b, c    u1 , u 2 , u3    v1 , v2 , v3 
Los parámetros  y  pueden tomar cualquier valor. Al hacerlo el punto X
recorre el plano  .
Ecuaciones paramétricas del plano
Si operamos la ecuación vectorial obtenemos las ecuaciones paramétricas
 x  a   u1   v1

 :  y  b   u 2   v2
z  c   u   v
3
3

Cesáreo Rodríguez
- 21 -
Geometría
Ecuación implícita del plano
Si en las ecuaciones paramétricas eliminamos los parámetros  y 
obtenemos una única ecuación llamada ecuación implícita del plano 
Ax  By  Cz  D  0
A, B, C, D son númerosreales
Para eliminar los parámetros se procede del siguiente modo:
u1  v1   x  a

u 2   v 2   y  b
u   v   z  c
3
 3
Sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas (  y  ) que tiene solución
(los infinitos puntos del plano  ). Por tanto el determinante de la matriz
ampliada ha de ser cero (según el teorema de Rouché). Por tanto:
u1 v1 x  a
u 2 v 2 y  b  0 y desarrollando obtenemos: Ax  By  Cz  D  0
u 3 v3 z  c
Ecuación normal del plano
Si conocemos un punto Pa, b, c  del plano  y una dirección perpendicular

n  A, B, C  (llamado vector normal) a dicho plano, cualquier punto X del plano


determina, (con P ), un vector PX que es perpendicular a n y por tanto
podemos establecer la siguiente ecuación vectorial:


n . PX  0
o
Ax  a   B y  b   C z  c   0
Esta es la llamada ecuación normal del plano 
Recíprocamente si conocemos la ecuación implícita del plano 
 : Ax  By  Cz  D  0 sabemos que el vector de coordenadas  A, B, C  es un
vector perpendicular al plano  .
Observación.


El producto vectorial de los vectores directores u u1 , u 2 , u 3  y v v1 , v2 , v3  del




plano  , determinan un vector perpendicular n a dicho plano: u x v  n
Cesáreo Rodríguez
- 22 -
Geometría
Posiciones relativas de planos y rectas en el espacio
*) Dos planos:  y   pueden situarse en el espacio de tres modos:
Si las ecuaciones implícitas:  : Ax  By  Cz  D  0   : Ax  By  C z  D  0
A B C
 A B C D
 y M   

Consideremos las matrices: M  
 A B C  
 A B C  D 
A) Si rango (M) = 1 =rango (M’) los planos son coincidentes.
B) Si rango (M) =1 y rango (M’) =2 los planos son paralelos.
C) Si rango (M) =2 =rango (M’) los planos son secantes.
Observa en el caso C) que la intersección de los dos planos secantes es la
recta que tiene por ecuación implícita las de ambos planos.

Pa, b, c 
**) Plano y recta: Una recta r : 
y un plano  : Ax  By  Cz  D  0



d
d
,
d
,
d
 1 2 3
pueden adoptar las siguientes posiciones relativas en el espacio:
 
A) Si  n . d  0  recta r contenida en el plano 
 P  
 
B) Si  n . d  0  recta r paralela al plano 
 P  
 
C) Si  n .d  0  recta r secante con el plano 

Cesáreo Rodríguez
- 23 -
Geometría
Lenguaje de las ecuaciones: variables, parámetros…
A) Ecuaciones implícitas
En el espacio (tres dimensiones) una ecuación significa una superficie.
Así por ejemplo:
a) 2 x  y  2 z  2
b) 2 x  y  2
c) z  0 Son ecuaciones de planos.
x 2  y 2  z 2  25 Es la ecuación de una superficie esférica.
x 2  y 2  25 Es la ecuación de una superficie cilíndrica.
Cada ecuación es una restricción entre las variables ( x, y, z ).
La ausencia de una variable en una ecuación significa que esa variable no
está sometida a ninguna restricción y, por lo tanto, tiene absoluta libertad
de movimiento.
Una línea se da como intersección de dos superficies:
 x 2  y 2  z 2  25
2 x  y  2 z  2

es
una
recta
 es una circunferencia


z  0
z  0
B) Ecuaciones paramétricas
Las ecuaciones paramétricas dan, explícitamente, el comportamiento de
cada variable. Cada parámetro es un grado de libertad.
Una ecuación con un parámetro describe una línea.
Una ecuación con dos parámetros describe una superficie.
Si solamente aparece un parámetro en una de las variables, esa variable se
mueve libremente sin tener en cuenta las demás.
Así por ejemplo:
En el plano XY la ecuación r : x  y  2 representa una recta r .
En el espacio XYZ esa misma ecuación  : x  y  2 representa un plano 
pues la variable z, al no intervenir en la ecuación, no está sometida a ninguna
restricción y se mueve libremente. Por eso el plano  está formado por
rectas paralelas al eje Z.
Resumiendo:
x  y  2
Ecuación implícita: plano : x  y  2 recta r : 
z  0
x  
x  


Ecuaciones paramétricas: plano :  y  2   recta r :  y  2  
z  
z  0


En paramétricas la z del plano  necesita un parámetro para ella sola, para
moverse libremente y describir ese plano paralelo al eje Z.
Por el contrario la z en la recta r siempre es cero.
Cesáreo Rodríguez
- 24 -
Geometría
Problemas métricos en el espacio.10.
11.
12.
13.
14.
Procedimientos métricos para determinar rectas y planos.
Medida de ángulos entre rectas y planos.
Distancia entre puntos rectas y planos.
Medida de áreas y volúmenes.
Lugares geométricos en el espacio.
Objetivos Mínimos
- Conocer y aplicar las propiedades del producto escalar y vectorial para
determinar direcciones perpendiculares a rectas y planos.
- Saber calcular el ángulo entre rectas,entre planos y recta y plano a
través de los vectores que caracterizan su dirección, que en el caso de
una recta es su vector director y en el del plano es su vector normal.
- Conocer y aplicar las distintas fórmulas que permiten determinar la
distancia entre los elementos del espacio (puntos, rectas planos...)
Deducir la distancia entre puntos, rectas y planos mediante razonamientos
constructivos (alternativa al aprendizaje de las fórmulas anteriores).
- Deducir las fórmulas que permiten calcular el área de un triángulo y el
volúmen de un tetraedro de vértices conocidos.
- Saber calcular distintos lugares geométricos del espacio (plano mediador,
plano bisector, esfera...)
Introducción.En la unidad anterior trabajamos problemas de intersección, incidencia o
paralelismo, que son propiedades afines del espacio.
En esta unidad pretendemos resolver problemas que tienen que ver con un
proceso de medida (ángulos, distancias, áreas,...) que son las propiedades
métricas del espacio ordinario.
Además de las aportaciones a la Geometría métrica de Monge y sus
discípulos cabe señalar, como logros importantes, la fórmula del cálculo de
la distancia de un punto a un plano (Lagrange) o la del volumen de un
paralelepípedo (Cauchy).
También es importante en este campo, desde un punto de vista didáctico,
las aportaciones del matemático español Pedro Puig Adam (1900-1960).
Cesáreo Rodríguez
- 25 -
Geometría
10. Procedimientos métricos para determinar rectas/planos.Los problemas afines tratan de incidencias (una figura incide en otra cuando
está contenida en ella, y una figura coincide con otra cuando cada una de
ellas incide en la otra), paralelismos e intersecciones.
La perpendicularidad es un problema métrico, pues nos servimos del
producto escalar y el producto vectorial para determinar vectores
perpendiculares a otros.
En este apartado usaremos este procedimiento métrico para determinar las
ecuaciones de una recta o de un plano.
Plano paralelo a dos rectas


Si el plano  es paralelo a las rectas r y s con vectores directores d y d 



respectivamente, entonces un vector normal al plano es n  d x d 
En este caso, si conocemos un punto Pa, b, c  del plano  y si la dirección



perpendicular tiene de coordenadas n  d x d    A, B, C  , podemos
determinar la ecuación normal de dicho plano, (que según sabemos es):


n . PX  0
o
Ax  a   B y  b   C z  c   0
Recta definida por dos planos
Cuando una recta se da de forma implícita (intersección de dos planos)

 Ax  By  Cz  D  0
n ( A, B, C )  
r:
 
 Ax  By  C z  D  0 n( A' , B' , C ' )  

Un vector director para la recta



r se obtiene: d  n x n 
Un punto P para esa recta lo
obtenemos al resolver el sistema
que forman las dos ecuaciones de
los planos cuya intersección es r
Así pues ya tenemos una determinación vectorial para la recta r que es:
     
r :  P, d    P, n x n 

 

A partir de aquí ya podemos escribir cualquier ecuación de r .
Cesáreo Rodríguez
- 26 -
Geometría
11. Medida de ángulos entre rectas y planos.Para determinar el ángulo entre rectas, entre planos y entre rectas y
planos, necesitamos disponer para cada figura de un vector que caracterice
su dirección. En la recta es obvio que su vector director la caracteriza,
mientras que en el plano ese papel lo desempeña su vector normal (para un
plano cualquiera solo hay una dirección perpendicular a ese plano).


Para medir el ángulo que forman dos vectores u a, b, c  v a , b, c  usaremos
la fórmula del producto escalar de ambos:
 
u.v
 
cos u , v     

 u v
a a   b b  c c 
a2  b2  c2
a2  b2  c2
Al tomar valor absoluto en el numerador, esta
fórmula nos da el menor de los ángulos que forman
ambos vectores.
Según vemos en el dibujo del lado derecho el
menor de los dos ángulos (  y su suplementario)
 
es:    u, v 


Ángulo entre dos rectas


El ángulo entre dos rectas, r y r  con direcciones d y d  respectivamente
vendrá dado por:
 
d .d 
   
cos d , d    

 d d




Evidentemente basta con tomar como vectores u  d y v  d 
Ejemplo. Calcula el ángulo  que forman las rectas:
2 x  3 y  5z  4  0
x  3 y 1 z
r:


s:
5  0
5
3
1
x  2 y


Sol Como d 5,3,1 y d   2,3,5x1,2,0   10,5,7 
 
d .d 
58
   
cos( )  cos d , d     
 0,7432   41º59'35"

 d d
6090
Cesáreo Rodríguez
- 27 -
Geometría
Ángulo entre dos planos
El ángulo  entre dos planos  y   es el
mismo que el que forman sus respectivos


vectores normales: n y n Por tanto:
 
cos  
n . n


n n
Ángulo entre recta y plano
El ángulo  entre una recta r y un plano  es el
que forma la recta r con su proyección sobre el
plano  .
Para determinarlo basta darse cuenta que este
ángulo  es complementario del ángulo que

forman el vector director  d  de la recta r y el
 

vector normal  n  del plano  . Por tanto:
 
 
   , r ; cos90º   
n .d
 
n d
Ejemplo. Calcula el ángulo que forman el plano  : 2 x  5 y  7 z  11  0 y la
x  3 y 1 z 1


recta: r :
2
5
1




.Sol.  d 2,5,1 y n 2,5,7  Aplicando la fórmula anterior:


 
   , r ; cos90º   
n .d
 
n d

 28
30 78
 0,5788 90º   55º    35º
Ejemplo. Calcula el ángulo entre:  : x  2 y  4 z  0 y   : 2 x  y  3  0



Sol  n 1,2,4 y n2,1,0 son los vectores normales respectivos:


 
cos  
n . n


n n

4
105
 0,39036   67º1'23"
Cesáreo Rodríguez
- 28 -
Geometría
12. Distancia entre puntos, rectas y planos.Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos
Pa, b, c  y Qa, b, c es el módulo del

vector PQa   a, b  b, c  c  O sea:

d P, Q   PQ 
a'a 2  b'b2  c'c 2
Distancia de un punto a una recta
 
La distancia de un punto Pa, b, c  a una recta r :  R, d 


es igual a la longitud del segmento perpendicular que une
P con la recta r .
Coincide con la distancia entre los puntos P y P ' , siendo
P ' la proyección de P sobre r . Es decir:
d P, r   d P, P' P' proyecciónde P sobre r
Para calcular el valor de esa distancia hay varios métodos:
A) método del producto vectorial (cálculo directo)
El área del paralelogramo de la figura izquierda es:


RP x d . Si esta área la dividimos por la longitud de la

base del paralelogramo: d obtenemos la altura h del
paralelogramo, que coincide con la distancia buscada.

d P, r  

RP x d

d
Ejemplo.- Calcula la distancia de P5,1,6 a la recta r :
Sol R1,0,5

d  2,1,1



RP x d  0,6,6  72
d  6

d P, r  
x 1
y
z 5


.
2
1
1

RP x d

d

72
6
 12 u
Cesáreo Rodríguez
- 29 -
Geometría
B) método constructivo
Determinamos el plano  perpendicular a la
 
recta r :  R, d  que pasa por el punto Pa, b, c .


La intersección de este plano  con la recta r
nos da el punto P ' (proyección de P sobre r ). La
distancia del punto P a la recta r se calcula
como la distancia entre los puntos P y P'
d P, r   d P, P' P' proyecciónde P sobre r
Ejemplo.- Calcula la distancia de P5,1,6 a la recta r :
x 1
y
z 5


.
2
1
1
Sol
El plano  , perpendicular a la recta r , tiene por vector normal el vector


director de la recta r , es decir, n  d   2,1,1 Ecuación normal de 
x  5 2   y  1 1  z  61  0  2x  y  z  3  0
 x  1  2
x 1
y
z 5

r:


 r : y  0  
2
1
1
z  5  

Sustituyendo en la ecuación del plano  las coordenadas de r obtenemos P '
21  2       5     3  0    1  P' 3,1,4
d  P, r   d  P, P ' 
5  32   1  12  6  42
 12 u
C) método del punto genérico
El punto genérico Q de la recta r tiene sus coordenadas dependientes del

parámetro  Si obligamos a que el vector PQ sea perpendicular a r

(producto escalar por d sea cero) obtenemos  para determinar P '
Ejemplo.- Calcula la distancia de P5,1,6 a la recta r :
x 1
y
z 5


.
2
1
1
Sol

Q1  2,,5    PQ 4  2 ,1   ,1   


d  2,1,1

d . PQ  0   2 4  2    11     1 1     0    1
  1
Q  P' 3,1,4  ; d P, r   d P, Q   d P, P' 
5  32   1  12  6  42
 12 u
Cesáreo Rodríguez
- 30 -
Geometría
Distancia de un punto a un plano
La distancia de un punto Pa, b, c  a un plano  es igual a la distancia entre el
punto P y la proyección P ' de ese punto sobre el plano:
d P,    d P, P' P' proyecciónde P sobre 
A) método directo
Sea  : Ax  By  Cz  D  0 y el punto Pa, b, c  .
Sea P ' proyección de P sobre 
Tomemos un punto Q ,  ,   del plano 

Sabemos que n  A, B, C 
La distancia del punto Pa, b, c  al plano  es

igual al módulo del vector: P' P  d P' , P 
proyección


d P,    d P' , P   P' P  QR


QP sobre n



QP . n


a   A  b   B  c   C
A2  B 2  C 2
n


Aa  Bb  Cc   A  B  C  P ' Aa  Bb  Cc  D

A2  B 2  C 2
A2  B 2  C 2
d P,   
Aa  Bb  Cc  D
A2  B 2  C 2
B) método constructivo
Determinamos la recta r que pasa por P y
es perpendicular a 
La intersección de r y  es el punto P '
La distancia de P a  coincide con la
distancia entre los puntos P y P '
d P,    d P, P' P' proyecciónde P sobre 
Ejemplo. Calcula la distancia de P3,1,7 a  : x  3 y  5 z  1  0
x  3  



 
B) determinamos r :  P, d , r    d  n 1,3,5 r :  y  1  3


 z  7  5

3     31  3   57  5   1  0     34  P'  71 ,  67 , 415
35
 35 35
35 
d P,    d P, P' 
40460
 33  5,74 u
1225
Comprueba que por el método A) obtienes el mismo resultado.
Cesáreo Rodríguez
- 31 -
Geometría
Distancia de una recta a un plano
Si la recta r y el plano  son secantes la distancia: d r ,    0
Si no son secantes puede ocurrir que:
 r esté contenida en  , por tanto: d r ,    0
 r sea paralela a  , en ese caso si P  r : d r,    d P,  
Distancia entre dos planos
Si los planos  y  ' son secantes la distancia: d  ,  '  0
Si los planos no son secantes puede ocurrir:
  coincide con  ' , por tanto: d  ,  '  0

 es paralelo a  ' , en ese caso si P   : d  ,  '  d P,  '
Ejemplo
Calcula la distancia de r :
x  3 y 1 z  2


a  : x  3y  z  6  0
5
2
1
Sol


El vector director de r : d 5,2,1 y el vector normal de  n 1,3,1 :
 
d . n  5.1  2.(3)  (1).(1)  5  6  1  0
En consecuencia la recta y el plano son paralelos.
Tomamos un punto P cualquiera de la recta r , por ejemplo: P3,1,2
d r ,    d P,   
3  3.1  (2).  6
1 9 1

8
11
 2,41 u
Ejemplo
Calcula la distancia del plano  : x  5 y  2 z  19  0 al  ': 2 x  10y  4 z  0
Sol


El vector normal del plano  n 1,5,2  y el de  ' n'2,10,4
2  10 4


1 5 2
Los planos son pues paralelos.
Si tomamos un punto P cualquiera de  , por ejemplo: P1,0,9
d  ,  '  d P,  ' 
2.1  10.0  4.9
4  100  16

38
120
 3,47 u
Cesáreo Rodríguez
- 32 -
Geometría
Distancia entre dos rectas
Si las rectas r y s son secantes la distancia d r , s   0
Si las rectas r y s son paralelas, tomamos un punto P cualquiera de r y
calculamos a continuación la distancia de P a s ; d r , s   d P, s 
Si las rectas r y s se cruzan, hay varios métodos para calcular la distancia:
A) método del producto mixto (cálculo directo)
El volumen del paralelepípedo es:
   
V  u , v , PQ


El área de la base es:


A uxv
La altura h es la d Q,   que coincide con
la distancia entre ambas rectas: d r , s 
Por tanto tendremos la fórmula:
d r , s   d Q,    h 
V

A
   
u , v , PQ


uxv
Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas:
x  5  
 x  4  3


r :  y  1
s : y  3  
 z  8  2
 z  5  4


Sol.



u 1,0,2; v 3,1,4; P5,1,8, Q4,3,5; PQ 1,4,3
1 3 
 1 3  1




Las rectas se cruzan pues: M   0  1 y M    0  1 4 
 2 4  3
2 4 




rango(M )  2 rango(M ' )  3 Compruébalo tú, por tanto:
1
d r , s   d Q,    h 
V

A
   
u , v , PQ


uxv
1
3
0 1

2
4
4
3
2,2,1

9
3u
3
Cesáreo Rodríguez
- 33 -
Geometría
B) método constructivo
Determinamos el plano  paralelo a la recta s y que contiene a la recta r
d r , s   d s,  
Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas:
x  5  
 x  4  3


r :  y  1
s : y  3  
 z  8  2
 z  5  4


Sol
Vamos a determinar el plano  calculando un vector normal a dicho plano:



i

 
n  uxv  1
j
0
k



2  2 i  2 j  1 k  2,2,1
3 1 4
El punto P5,1,8  r Por tanto la ecuación del plano  es:
 : 2x  5  2 y  1  1z  8  0   : 2x  2 y  z  0
Para calcular la distancia entre las rectas r y s (se cruzan) aplicamos:
2.4  2.3  5 9
d r, s   d s,    d Q,    d 4,3,5,   
 3u
3
4  4 1
Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas:
Cesáreo Rodríguez
- 34 -
Geometría
C) método del vector variable
Llamamos R a un punto genérico de la recta r
Las coordenadas de R dependen del parámetro 
Llamamos S a un punto genérico de la recta s
Las coordenadas de S dependen del parámetro 

RS es un vector con origen en r y extremo en s

Las coordenadas del vector RS dependen de los parámetros:  y 

Obligamos al vector RS a que sea perpendicular a las rectas r y s . Para ello
Da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
(  y  ). Al resolverlo, obtenemos dos valores para  y  y

dos puntos R0 y S 0  un vector: R0 S 0 perpendicular a r y s .
Ahora para calcular la distancia entre las rectas r y s tenemos que:
d r, s   d R0 , S0 
Ejemplo. Calcula la distancia entre las rectas:
Cesáreo Rodríguez
- 35 -
Geometría
13. Medida de áreas y volúmenes.Recordemos que el módulo del producto vectorial de dos vectores, nos da el
área del paralelogramo determinado por ellos.
Recordemos también, que el valor absoluto del producto mixto de tres
vectores nos da el volumen del paralelepípedo determinado por ellos.
Pues bien, a partir de estos resultados tenemos que:
Área de un triángulo del que se conocen los tres vértices.
El área del triángulo de vértices A, B, C se obtiene
como la mitad del área del paralelogramo determinado




por los vectores: u  AC y v  AB . Es decir:
Volumen de un tetraedro de vértices conocidos.
El volumen del tetraedro de vértices:
A, B, C, D (sombreado en verde) es una
sexta parte del volumen del paralelepípedo



determinado por los vectores AB, AC, AD
Efectivamente, ese paralelepípedo se
descompone en seis tetraedros iguales.
Fíjate en la figura de al lado:
El plano BCFE lo divide en dos prismas
triangulares iguales.
Cada uno de estos dos prismas triangulares se descompone en tres
tetraedros iguales, así por ejemplo el prisma ABCDEF se descompone en
tres tetraedros que son:
1) ABCD; 2) BCDE; 3) DFEC.
Por tanto tenemos:
Volúmentetraedro 
1    
 AB, AC, AD
6

Cesáreo Rodríguez
- 36 -
Geometría
Ejemplo. Calcula el área del triángulo de vértices:
A 5,2,1; B1,7,5; C 1,0,4
Sol.




AB6,5,4 AC4,2,3  AB x AC23,2,32
Área 

1 
1
1
AB x AC  23,2,32 
1557  19,73 u 2
2
2
2
Ejemplo. Calcula el volumen del tetraedro de vértices:
A3,5,7; B1,0,1; C7,1,4; D11,4,6
Sol.



AB 2,5,8, AC4,6,3, AD8,1,13
1
Volúm entetraedro 
6
 2 5 8
1
642
     1
4  6  3   642 
 107 u 3
 AB, AC, AD  
6
6

 6
8  1  13
Ejemplo. Calcula el área del triángulo de vértices:
A1,3,5; B2,5,8; C5,1,11
Sol
Ejemplo. Calcula el volumen del tetraedro de vértices:
A2,1,4; B1,0,2; C4,3,2; D1,5,6
Sol
Cesáreo Rodríguez
- 37 -
Geometría
14. Lugares geométricos en el espacio.Un lugar geométrico se define como el conjunto de todos los puntos que
cumplen una determinada propiedad.
Plano mediador.
Llamamos plano mediador de un segmento, al plano perpendicular a dicho
segmento en su punto medio.
Es, por tanto, el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan
de los extremos del segmento.
Si X es un punto arbitrario del plano mediador y A y B son los extremos del
segmento dado, la ecuación de ese plano se obtiene de la igualdad:
d  X , A  d  X , B
Ejemplo.
Determina el L.G. de los puntos que equidistan de A4,1,7; B 2,5,1
Sol
Cesáreo Rodríguez
- 38 -
Geometría
Plano Bisector.
Se define el semiplano bisector como aquel semiplano que divide a un ángulo
diedro en dos iguales.
Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los
semiplanos que forman el ángulo diedro.
Si X es un punto arbitrario del semiplano bisector  y  y  ' son los
semiplanos que forman el ángulo diedro, la ecuación de ese plano bisector se
obtiene de la igualdad:
d  X ,    d  X ,  '
Ejemplo.
Determina el L.G. de los puntos que equidistan de los planos:
A) : x  y  z  2  0 y  ': x  y  z  2  0
B) : x  3 y  2 z  8  0 y  ': x  3 y  2 z  0
Sol.
A) d  X ,    d  X ,  ' 


x y z2
x y z2
Dos posibilidades:
3
3
x  y  z  2  x  y  z  2  2y  0  y  0
x  y  z  2   x  y  z  2  2x  2z  4  0  x  z  2  0

Son los plano bisectores de los ángulos diedros formados por los planos
 y   . Los dos planos obtenidos se cortan en la recta r determinada por los
puntos 1,0,1 y 0,0,2 al igual que  y   .
Además, son perpendiculares, pues el producto escalar:
0,1,0. 1,0,1  0
B) d  X ,    d  X ,  ' 
x  3 y  2z  8
x  3 y  2z
Dos posibilidades:
14
14
 x  3 y  2 z  8  x  3 y  2 z  8  0  imposible
 x  3 y  2z  8  x  3 y  2z  2x  6 y  4z  8  0  x  3 y  2z  4  0
Los planos  y   son paralelos.

El plano obtenido es también paralelo a ellos.
Cesáreo Rodríguez
- 39 -
Geometría
Esfera.La superficie esférica es el lugar gométrico de los puntos del espacio cuya
distancia al centro Pa, b, c  es constante: r
Si X x, y, z  es un punto genérico de la esfera de centro Pa, b, c  y radio r
entonces cumplen la siguiente condición:
d  X , P   r  x  a    y  b  z  c   r 2
2
2
2
Desarrollando la expresión anterior llegamos a una expresión del tipo:
x2  y 2  z 2  Ax  By  Cz  D  0
Recíprocamente, una ecuación como la anterior corresponde a una esfera
2
2
2
 A  B  C 
 A  B C 
de centro P
,
,
 y radio r           D siempre que
2
2 
2 2 2
 2
el radicando sea positivo.
Ejemplo. La esfera: x  3   y  b  z  1  25 y el plano: 2 x  2 y  z  2  0
se cortan en una circunferencia. Determina su radio.
Sol
La esfera tiene el centro: P3,2,1 y radio r  5
2
2
2
La distancia d del centro de la esfera P3,2,1 al
plano 2 x  2 y  z  2  0 se obtiene:
d
2.3  2.(2)  1  2

9
3
9
2 2  2 2  12
El radio s de la circunferncia se obtiene (observa el
gráfico adjunto) aplicando Pitágoras: s 2  d 2  r 2  s  52  32  4
Ejemplo Determina si la ecuación: x 2  y 2  z 2  4x  6z  12  0 corresponde a
una esfera, y en caso afirmativo, obtén el radio y el centro.
Sol
2
2
2
 A  B  C 
 A  B C 
r           D  25  5 y P
,
,
  2,0,3
2
2 
2 2 2
 2
La ecuación corresponde a una esfera de centro P2,0,3 y radio r  5
Cesáreo Rodríguez
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